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Wilmer Velilla-Diacuteaz
Efecto de las fronteras de grano
en la tenacidad a la fractura de
materiales nano-cristalinos fisurados Tesis doctoral
Para el grado de Doctor en Ingenieriacutea Mecaacutenica
Barranquilla Mayo 2019
Universidad del Norte
Divisioacuten de Ingenieriacuteas
Departamento de Ingenieriacutea Mecaacutenica
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UNINORTE Universidad del Norte
Tesis para el grado de Doctor en Ingenieriacutea Mecaacutenica
Divisioacuten de Ingenieriacuteas
Departamento de Ingenieriacutea Mecaacutenica
i
Agradecimientos
El proyecto de investigacioacuten presentado en esta tesis fue desarrollado durante los antildeos 2015-2019
en el departamento de Ingenieriacutea Mecaacutenica de la Universidad del Norte Barranquilla Colombia
Este proyecto fue financiado por Colciencias a traveacutes del programa nacional de doctorados
nacionales convocatoria Ndeg 647 (2015) y la Universidad del Norte bajo el nuacutemero de contrato UN-
OJ-2015-29312
Gracias al PhD Habib Zambrano por ensentildearme un enfoque adecuado de investigacioacuten en el aacuterea
de mecaacutenica de la fractura y por el gran apoyo recibido en este proyecto
Gracias al PhD Alejandro Pacheco por su guiacutea para desarrollar esta investigacioacuten fundamentando
en teoriacuteas de la mecaacutenica del medio continuo y de dinaacutemica molecular agradecido tambieacuten por
su apoyo en las pasantiacuteas realizadas en la Universidad Teacutecnica Federico Santa Mariacutea es la
experiencia profesional maacutes enriquecedora en lo corrido de mi vida
Gracias al PhD Harvey Zambrano por su disposicioacuten para realizar charlas teacutecnicas y cientiacuteficas
Gracias a mis amigos Roger Pinzoacuten agradecido con Dios por contar con tu apoyo y amistad
incondicional Gracias Diego Mendoza por tus recomendaciones apoyo consejos y asesoriacuteas sin
intereacutes durante este proceso le pido a Dios que los guarde siempre y los mantenga en el correcto
vivir para que sigan siendo testimonio mostrando con sus vidas que el trabajo fuerte y realizado
con excelencia e integridad siempre trae grandes recompensas
Gracias a mi Suegra Lesbia Garciacutea una mujer que me ha aceptado y amado como un hijo cuanto
agradezco a Dios por su vida gracias nuevamente por su apoyo incondicional en este proceso
Gracias a mi Padre Carlos Velilla por tus consejos y apoyo a pesar de los momentos difiacuteciles
vividos con tu salud ahora eres milagro y testimonio del poder de Dios
Gracias a mi Madre Emilse Diaz todos los logros que he alcanzado sin dudas alguna ha sido en
gran parte gracias a ti mamaacute tu amor tu guiacutea tu constancia y apoyo en todas las aacutereas de mi vida
es incondicional
Victoria hija miacutea eres el motivo por el cual lucho maacutes cada diacutea me has hecho mejor persona me
has ensentildeado un nuevo significado de amor me esmerareacute por ser un buen ejemplo para ti espero
poder ensentildearte y guiarte para que alcances tus objetivos Te amo
Gracias a mi esposa Melissa Parejo por el apoyo la paciencia el amor y los sacrificios que has
tenido que hacer para que yo logre este objetivo Le doy gracias a Dios por bendecirme maacutes de lo
que yo esperaba con tu vida Te amo
Por uacuteltimo y el maacutes importante eres tu mi Dios quiero agradecerte y dedicarte este tiacutetulo Gracias
por darme sabiduriacutea y conocimiento para desarrollar este trabajo Gracias por darme el querer
como el hacer en tiempos de dificultad durante esta investigacioacuten sin ti mi Dios nada de esto
hubiera sido posible Toda la gloria sea para Ti
ii
Iacutendice General
AGRADECIMIENTOS I
RESUMEN VIII
NOMENCLATURA IX
CAPIacuteTULO 1 1
INTRODUCCIOacuteN 1
11 OBJETIVO PRINCIPAL Y MOTIVACIOacuteN 1
12 MATERIALES NANO-CRISTALINOS 1
13 PARAacuteMETROS DE LA MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 2
14 ORGANIZACIOacuteN DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO 2 5
SIMULACIONES MOLECULARES 5
21 INTRODUCCIOacuteN 5
22 MECAacuteNICA ESTADIacuteSTICA 5
221 Ensambles termodinaacutemicos 6
23 DINAacuteMICA MOLECULAR 6
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos 7
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff 8
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM 9
234 Condiciones de frontera perioacutedicas 9
234 Caacutelculo de propiedades 10
24 POTENCIAL INTERATOacuteMICO EN ALUMINIO 11
241 Potencial de pares 12
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros 13
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales 13
25 SELECCIOacuteN DEL POTENCIAL INTERATOacuteMICO 14
iii
CAPIacuteTULO 3 15
CONSTRUCCIOacuteN Y EJECUCIOacuteN DE EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES 15
31 INTRODUCCIOacuteN 15
32 CONSTRUCCIOacuteN DE LAS GEOMETRIacuteAS 15
33 ETAPAS DE LA SIMULACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL 16
34 MODELACIOacuteN PRELIMINAR PARA VALIDAR EL CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN EL MONOCRISTAL
17
35 MODELACIOacuteN DEL MONOCRISTAL Y BICRISTAL 17
36 RESULTADOS DE LA MODELACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL EN MONOCRISTAL Y
BICRISTAL DE ALUMINIO 19
37 DISCUSIOacuteN 22
38 CONCLUSIONES 22
CAPIacuteTULO 4 23
TENSOR DE ESFUERZOS LOCAL 23
41 INTRODUCCIOacuteN 23
42 CAMPO DE ESFUERZOS LOCAL PARA NANOCRISTALES DE ALUMINIO 23
43 VERIFICACIOacuteN DE LOS ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL 25
44 RESULTADOS DE ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL Y BICRISTAL 28
45 DISCUSIOacuteN 29
46 CONCLUSIONES 29
CAPIacuteTULO 5 30
MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
51 INTRODUCCIOacuteN 30
52 MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
53 ESTIMACIOacuteN DE 119870119868 31
54 ESTIMACIONES DE 119869 33
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten 33
542 Integral 119869 de contorno 34
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD 36
iv
55 PROPAGACIOacuteN DE LAS NANO-FISURAS 37
56 RASGAMIENTO Y FRACTURA 37
57 DISCUSIOacuteN 39
58 CONCLUSIONES 39
CAPIacuteTULO 6 41
METODOLOGIacuteA PARA ESTIMAR LA TENACIDAD A LA FRACTURA EN CRISTALES Y
BICRISTALES DE ALUMINIO 41
61 INTRODUCCIOacuteN 41
62 TENACIDAD A LA FRACTURA 119870119862 41
63 TENACIDAD A LA FRACTURA 119869119862 42
64 DISCUSIOacuteN 43
65 CONCLUSIONES 44
CAPIacuteTULO 7 45
CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 45
71 CONCLUSIONES 45
72 TRABAJO FUTUROS 45
BIBLIOGRAFIacuteA 47
v
Listado de Figuras
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas 7
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas 10
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff 12
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120651 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales 12
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre 13
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas 16
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y
(c) sistema atomiacutestico 17
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
18
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 119949120782 = 120783120787119938 18
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano 19
Fig 11 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120787119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 19
Fig 12 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120783120782119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 20
Fig 13 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120783120787119938 Parte superior comportamiento del monocristal
y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 14 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales 24
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal 26
Fig 17 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en monocristales con diferentes 119949120782 28
Fig 18 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio 29
Fig 19 Modo de carga I 31
Fig 20 120648 vs 120634119963119963 para un monocristal sin defectos 32
Fig 21 120648 vs 120634119963119963 para monocristal y bicristal 33
Fig 22 119934 y 119932 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 33
vi
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34
Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =
120783120782119938 36
Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37
Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37
Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38
Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43
vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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2
UNINORTE Universidad del Norte
Tesis para el grado de Doctor en Ingenieriacutea Mecaacutenica
Divisioacuten de Ingenieriacuteas
Departamento de Ingenieriacutea Mecaacutenica
i
Agradecimientos
El proyecto de investigacioacuten presentado en esta tesis fue desarrollado durante los antildeos 2015-2019
en el departamento de Ingenieriacutea Mecaacutenica de la Universidad del Norte Barranquilla Colombia
Este proyecto fue financiado por Colciencias a traveacutes del programa nacional de doctorados
nacionales convocatoria Ndeg 647 (2015) y la Universidad del Norte bajo el nuacutemero de contrato UN-
OJ-2015-29312
Gracias al PhD Habib Zambrano por ensentildearme un enfoque adecuado de investigacioacuten en el aacuterea
de mecaacutenica de la fractura y por el gran apoyo recibido en este proyecto
Gracias al PhD Alejandro Pacheco por su guiacutea para desarrollar esta investigacioacuten fundamentando
en teoriacuteas de la mecaacutenica del medio continuo y de dinaacutemica molecular agradecido tambieacuten por
su apoyo en las pasantiacuteas realizadas en la Universidad Teacutecnica Federico Santa Mariacutea es la
experiencia profesional maacutes enriquecedora en lo corrido de mi vida
Gracias al PhD Harvey Zambrano por su disposicioacuten para realizar charlas teacutecnicas y cientiacuteficas
Gracias a mis amigos Roger Pinzoacuten agradecido con Dios por contar con tu apoyo y amistad
incondicional Gracias Diego Mendoza por tus recomendaciones apoyo consejos y asesoriacuteas sin
intereacutes durante este proceso le pido a Dios que los guarde siempre y los mantenga en el correcto
vivir para que sigan siendo testimonio mostrando con sus vidas que el trabajo fuerte y realizado
con excelencia e integridad siempre trae grandes recompensas
Gracias a mi Suegra Lesbia Garciacutea una mujer que me ha aceptado y amado como un hijo cuanto
agradezco a Dios por su vida gracias nuevamente por su apoyo incondicional en este proceso
Gracias a mi Padre Carlos Velilla por tus consejos y apoyo a pesar de los momentos difiacuteciles
vividos con tu salud ahora eres milagro y testimonio del poder de Dios
Gracias a mi Madre Emilse Diaz todos los logros que he alcanzado sin dudas alguna ha sido en
gran parte gracias a ti mamaacute tu amor tu guiacutea tu constancia y apoyo en todas las aacutereas de mi vida
es incondicional
Victoria hija miacutea eres el motivo por el cual lucho maacutes cada diacutea me has hecho mejor persona me
has ensentildeado un nuevo significado de amor me esmerareacute por ser un buen ejemplo para ti espero
poder ensentildearte y guiarte para que alcances tus objetivos Te amo
Gracias a mi esposa Melissa Parejo por el apoyo la paciencia el amor y los sacrificios que has
tenido que hacer para que yo logre este objetivo Le doy gracias a Dios por bendecirme maacutes de lo
que yo esperaba con tu vida Te amo
Por uacuteltimo y el maacutes importante eres tu mi Dios quiero agradecerte y dedicarte este tiacutetulo Gracias
por darme sabiduriacutea y conocimiento para desarrollar este trabajo Gracias por darme el querer
como el hacer en tiempos de dificultad durante esta investigacioacuten sin ti mi Dios nada de esto
hubiera sido posible Toda la gloria sea para Ti
ii
Iacutendice General
AGRADECIMIENTOS I
RESUMEN VIII
NOMENCLATURA IX
CAPIacuteTULO 1 1
INTRODUCCIOacuteN 1
11 OBJETIVO PRINCIPAL Y MOTIVACIOacuteN 1
12 MATERIALES NANO-CRISTALINOS 1
13 PARAacuteMETROS DE LA MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 2
14 ORGANIZACIOacuteN DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO 2 5
SIMULACIONES MOLECULARES 5
21 INTRODUCCIOacuteN 5
22 MECAacuteNICA ESTADIacuteSTICA 5
221 Ensambles termodinaacutemicos 6
23 DINAacuteMICA MOLECULAR 6
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos 7
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff 8
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM 9
234 Condiciones de frontera perioacutedicas 9
234 Caacutelculo de propiedades 10
24 POTENCIAL INTERATOacuteMICO EN ALUMINIO 11
241 Potencial de pares 12
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros 13
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales 13
25 SELECCIOacuteN DEL POTENCIAL INTERATOacuteMICO 14
iii
CAPIacuteTULO 3 15
CONSTRUCCIOacuteN Y EJECUCIOacuteN DE EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES 15
31 INTRODUCCIOacuteN 15
32 CONSTRUCCIOacuteN DE LAS GEOMETRIacuteAS 15
33 ETAPAS DE LA SIMULACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL 16
34 MODELACIOacuteN PRELIMINAR PARA VALIDAR EL CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN EL MONOCRISTAL
17
35 MODELACIOacuteN DEL MONOCRISTAL Y BICRISTAL 17
36 RESULTADOS DE LA MODELACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL EN MONOCRISTAL Y
BICRISTAL DE ALUMINIO 19
37 DISCUSIOacuteN 22
38 CONCLUSIONES 22
CAPIacuteTULO 4 23
TENSOR DE ESFUERZOS LOCAL 23
41 INTRODUCCIOacuteN 23
42 CAMPO DE ESFUERZOS LOCAL PARA NANOCRISTALES DE ALUMINIO 23
43 VERIFICACIOacuteN DE LOS ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL 25
44 RESULTADOS DE ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL Y BICRISTAL 28
45 DISCUSIOacuteN 29
46 CONCLUSIONES 29
CAPIacuteTULO 5 30
MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
51 INTRODUCCIOacuteN 30
52 MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
53 ESTIMACIOacuteN DE 119870119868 31
54 ESTIMACIONES DE 119869 33
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten 33
542 Integral 119869 de contorno 34
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD 36
iv
55 PROPAGACIOacuteN DE LAS NANO-FISURAS 37
56 RASGAMIENTO Y FRACTURA 37
57 DISCUSIOacuteN 39
58 CONCLUSIONES 39
CAPIacuteTULO 6 41
METODOLOGIacuteA PARA ESTIMAR LA TENACIDAD A LA FRACTURA EN CRISTALES Y
BICRISTALES DE ALUMINIO 41
61 INTRODUCCIOacuteN 41
62 TENACIDAD A LA FRACTURA 119870119862 41
63 TENACIDAD A LA FRACTURA 119869119862 42
64 DISCUSIOacuteN 43
65 CONCLUSIONES 44
CAPIacuteTULO 7 45
CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 45
71 CONCLUSIONES 45
72 TRABAJO FUTUROS 45
BIBLIOGRAFIacuteA 47
v
Listado de Figuras
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas 7
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas 10
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff 12
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120651 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales 12
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre 13
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas 16
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y
(c) sistema atomiacutestico 17
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
18
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 119949120782 = 120783120787119938 18
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano 19
Fig 11 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120787119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 19
Fig 12 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120783120782119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 20
Fig 13 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120783120787119938 Parte superior comportamiento del monocristal
y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 14 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales 24
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal 26
Fig 17 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en monocristales con diferentes 119949120782 28
Fig 18 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio 29
Fig 19 Modo de carga I 31
Fig 20 120648 vs 120634119963119963 para un monocristal sin defectos 32
Fig 21 120648 vs 120634119963119963 para monocristal y bicristal 33
Fig 22 119934 y 119932 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 33
vi
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34
Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =
120783120782119938 36
Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37
Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37
Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38
Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43
vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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i
Agradecimientos
El proyecto de investigacioacuten presentado en esta tesis fue desarrollado durante los antildeos 2015-2019
en el departamento de Ingenieriacutea Mecaacutenica de la Universidad del Norte Barranquilla Colombia
Este proyecto fue financiado por Colciencias a traveacutes del programa nacional de doctorados
nacionales convocatoria Ndeg 647 (2015) y la Universidad del Norte bajo el nuacutemero de contrato UN-
OJ-2015-29312
Gracias al PhD Habib Zambrano por ensentildearme un enfoque adecuado de investigacioacuten en el aacuterea
de mecaacutenica de la fractura y por el gran apoyo recibido en este proyecto
Gracias al PhD Alejandro Pacheco por su guiacutea para desarrollar esta investigacioacuten fundamentando
en teoriacuteas de la mecaacutenica del medio continuo y de dinaacutemica molecular agradecido tambieacuten por
su apoyo en las pasantiacuteas realizadas en la Universidad Teacutecnica Federico Santa Mariacutea es la
experiencia profesional maacutes enriquecedora en lo corrido de mi vida
Gracias al PhD Harvey Zambrano por su disposicioacuten para realizar charlas teacutecnicas y cientiacuteficas
Gracias a mis amigos Roger Pinzoacuten agradecido con Dios por contar con tu apoyo y amistad
incondicional Gracias Diego Mendoza por tus recomendaciones apoyo consejos y asesoriacuteas sin
intereacutes durante este proceso le pido a Dios que los guarde siempre y los mantenga en el correcto
vivir para que sigan siendo testimonio mostrando con sus vidas que el trabajo fuerte y realizado
con excelencia e integridad siempre trae grandes recompensas
Gracias a mi Suegra Lesbia Garciacutea una mujer que me ha aceptado y amado como un hijo cuanto
agradezco a Dios por su vida gracias nuevamente por su apoyo incondicional en este proceso
Gracias a mi Padre Carlos Velilla por tus consejos y apoyo a pesar de los momentos difiacuteciles
vividos con tu salud ahora eres milagro y testimonio del poder de Dios
Gracias a mi Madre Emilse Diaz todos los logros que he alcanzado sin dudas alguna ha sido en
gran parte gracias a ti mamaacute tu amor tu guiacutea tu constancia y apoyo en todas las aacutereas de mi vida
es incondicional
Victoria hija miacutea eres el motivo por el cual lucho maacutes cada diacutea me has hecho mejor persona me
has ensentildeado un nuevo significado de amor me esmerareacute por ser un buen ejemplo para ti espero
poder ensentildearte y guiarte para que alcances tus objetivos Te amo
Gracias a mi esposa Melissa Parejo por el apoyo la paciencia el amor y los sacrificios que has
tenido que hacer para que yo logre este objetivo Le doy gracias a Dios por bendecirme maacutes de lo
que yo esperaba con tu vida Te amo
Por uacuteltimo y el maacutes importante eres tu mi Dios quiero agradecerte y dedicarte este tiacutetulo Gracias
por darme sabiduriacutea y conocimiento para desarrollar este trabajo Gracias por darme el querer
como el hacer en tiempos de dificultad durante esta investigacioacuten sin ti mi Dios nada de esto
hubiera sido posible Toda la gloria sea para Ti
ii
Iacutendice General
AGRADECIMIENTOS I
RESUMEN VIII
NOMENCLATURA IX
CAPIacuteTULO 1 1
INTRODUCCIOacuteN 1
11 OBJETIVO PRINCIPAL Y MOTIVACIOacuteN 1
12 MATERIALES NANO-CRISTALINOS 1
13 PARAacuteMETROS DE LA MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 2
14 ORGANIZACIOacuteN DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO 2 5
SIMULACIONES MOLECULARES 5
21 INTRODUCCIOacuteN 5
22 MECAacuteNICA ESTADIacuteSTICA 5
221 Ensambles termodinaacutemicos 6
23 DINAacuteMICA MOLECULAR 6
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos 7
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff 8
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM 9
234 Condiciones de frontera perioacutedicas 9
234 Caacutelculo de propiedades 10
24 POTENCIAL INTERATOacuteMICO EN ALUMINIO 11
241 Potencial de pares 12
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros 13
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales 13
25 SELECCIOacuteN DEL POTENCIAL INTERATOacuteMICO 14
iii
CAPIacuteTULO 3 15
CONSTRUCCIOacuteN Y EJECUCIOacuteN DE EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES 15
31 INTRODUCCIOacuteN 15
32 CONSTRUCCIOacuteN DE LAS GEOMETRIacuteAS 15
33 ETAPAS DE LA SIMULACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL 16
34 MODELACIOacuteN PRELIMINAR PARA VALIDAR EL CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN EL MONOCRISTAL
17
35 MODELACIOacuteN DEL MONOCRISTAL Y BICRISTAL 17
36 RESULTADOS DE LA MODELACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL EN MONOCRISTAL Y
BICRISTAL DE ALUMINIO 19
37 DISCUSIOacuteN 22
38 CONCLUSIONES 22
CAPIacuteTULO 4 23
TENSOR DE ESFUERZOS LOCAL 23
41 INTRODUCCIOacuteN 23
42 CAMPO DE ESFUERZOS LOCAL PARA NANOCRISTALES DE ALUMINIO 23
43 VERIFICACIOacuteN DE LOS ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL 25
44 RESULTADOS DE ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL Y BICRISTAL 28
45 DISCUSIOacuteN 29
46 CONCLUSIONES 29
CAPIacuteTULO 5 30
MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
51 INTRODUCCIOacuteN 30
52 MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
53 ESTIMACIOacuteN DE 119870119868 31
54 ESTIMACIONES DE 119869 33
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten 33
542 Integral 119869 de contorno 34
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD 36
iv
55 PROPAGACIOacuteN DE LAS NANO-FISURAS 37
56 RASGAMIENTO Y FRACTURA 37
57 DISCUSIOacuteN 39
58 CONCLUSIONES 39
CAPIacuteTULO 6 41
METODOLOGIacuteA PARA ESTIMAR LA TENACIDAD A LA FRACTURA EN CRISTALES Y
BICRISTALES DE ALUMINIO 41
61 INTRODUCCIOacuteN 41
62 TENACIDAD A LA FRACTURA 119870119862 41
63 TENACIDAD A LA FRACTURA 119869119862 42
64 DISCUSIOacuteN 43
65 CONCLUSIONES 44
CAPIacuteTULO 7 45
CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 45
71 CONCLUSIONES 45
72 TRABAJO FUTUROS 45
BIBLIOGRAFIacuteA 47
v
Listado de Figuras
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas 7
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas 10
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff 12
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120651 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales 12
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre 13
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas 16
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y
(c) sistema atomiacutestico 17
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
18
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 119949120782 = 120783120787119938 18
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano 19
Fig 11 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120787119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 19
Fig 12 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120783120782119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 20
Fig 13 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120783120787119938 Parte superior comportamiento del monocristal
y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 14 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales 24
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal 26
Fig 17 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en monocristales con diferentes 119949120782 28
Fig 18 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio 29
Fig 19 Modo de carga I 31
Fig 20 120648 vs 120634119963119963 para un monocristal sin defectos 32
Fig 21 120648 vs 120634119963119963 para monocristal y bicristal 33
Fig 22 119934 y 119932 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 33
vi
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34
Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =
120783120782119938 36
Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37
Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37
Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38
Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43
vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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ii
Iacutendice General
AGRADECIMIENTOS I
RESUMEN VIII
NOMENCLATURA IX
CAPIacuteTULO 1 1
INTRODUCCIOacuteN 1
11 OBJETIVO PRINCIPAL Y MOTIVACIOacuteN 1
12 MATERIALES NANO-CRISTALINOS 1
13 PARAacuteMETROS DE LA MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 2
14 ORGANIZACIOacuteN DE LA TESIS 3
CAPIacuteTULO 2 5
SIMULACIONES MOLECULARES 5
21 INTRODUCCIOacuteN 5
22 MECAacuteNICA ESTADIacuteSTICA 5
221 Ensambles termodinaacutemicos 6
23 DINAacuteMICA MOLECULAR 6
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos 7
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff 8
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM 9
234 Condiciones de frontera perioacutedicas 9
234 Caacutelculo de propiedades 10
24 POTENCIAL INTERATOacuteMICO EN ALUMINIO 11
241 Potencial de pares 12
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros 13
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales 13
25 SELECCIOacuteN DEL POTENCIAL INTERATOacuteMICO 14
iii
CAPIacuteTULO 3 15
CONSTRUCCIOacuteN Y EJECUCIOacuteN DE EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES 15
31 INTRODUCCIOacuteN 15
32 CONSTRUCCIOacuteN DE LAS GEOMETRIacuteAS 15
33 ETAPAS DE LA SIMULACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL 16
34 MODELACIOacuteN PRELIMINAR PARA VALIDAR EL CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN EL MONOCRISTAL
17
35 MODELACIOacuteN DEL MONOCRISTAL Y BICRISTAL 17
36 RESULTADOS DE LA MODELACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL EN MONOCRISTAL Y
BICRISTAL DE ALUMINIO 19
37 DISCUSIOacuteN 22
38 CONCLUSIONES 22
CAPIacuteTULO 4 23
TENSOR DE ESFUERZOS LOCAL 23
41 INTRODUCCIOacuteN 23
42 CAMPO DE ESFUERZOS LOCAL PARA NANOCRISTALES DE ALUMINIO 23
43 VERIFICACIOacuteN DE LOS ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL 25
44 RESULTADOS DE ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL Y BICRISTAL 28
45 DISCUSIOacuteN 29
46 CONCLUSIONES 29
CAPIacuteTULO 5 30
MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
51 INTRODUCCIOacuteN 30
52 MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
53 ESTIMACIOacuteN DE 119870119868 31
54 ESTIMACIONES DE 119869 33
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten 33
542 Integral 119869 de contorno 34
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD 36
iv
55 PROPAGACIOacuteN DE LAS NANO-FISURAS 37
56 RASGAMIENTO Y FRACTURA 37
57 DISCUSIOacuteN 39
58 CONCLUSIONES 39
CAPIacuteTULO 6 41
METODOLOGIacuteA PARA ESTIMAR LA TENACIDAD A LA FRACTURA EN CRISTALES Y
BICRISTALES DE ALUMINIO 41
61 INTRODUCCIOacuteN 41
62 TENACIDAD A LA FRACTURA 119870119862 41
63 TENACIDAD A LA FRACTURA 119869119862 42
64 DISCUSIOacuteN 43
65 CONCLUSIONES 44
CAPIacuteTULO 7 45
CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 45
71 CONCLUSIONES 45
72 TRABAJO FUTUROS 45
BIBLIOGRAFIacuteA 47
v
Listado de Figuras
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas 7
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas 10
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff 12
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120651 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales 12
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre 13
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas 16
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y
(c) sistema atomiacutestico 17
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
18
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 119949120782 = 120783120787119938 18
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano 19
Fig 11 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120787119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 19
Fig 12 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120783120782119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 20
Fig 13 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120783120787119938 Parte superior comportamiento del monocristal
y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 14 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales 24
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal 26
Fig 17 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en monocristales con diferentes 119949120782 28
Fig 18 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio 29
Fig 19 Modo de carga I 31
Fig 20 120648 vs 120634119963119963 para un monocristal sin defectos 32
Fig 21 120648 vs 120634119963119963 para monocristal y bicristal 33
Fig 22 119934 y 119932 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 33
vi
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34
Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =
120783120782119938 36
Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37
Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37
Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38
Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43
vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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iii
CAPIacuteTULO 3 15
CONSTRUCCIOacuteN Y EJECUCIOacuteN DE EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES 15
31 INTRODUCCIOacuteN 15
32 CONSTRUCCIOacuteN DE LAS GEOMETRIacuteAS 15
33 ETAPAS DE LA SIMULACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL 16
34 MODELACIOacuteN PRELIMINAR PARA VALIDAR EL CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN EL MONOCRISTAL
17
35 MODELACIOacuteN DEL MONOCRISTAL Y BICRISTAL 17
36 RESULTADOS DE LA MODELACIOacuteN DEL ENSAYO DE TENSIOacuteN UNIAXIAL EN MONOCRISTAL Y
BICRISTAL DE ALUMINIO 19
37 DISCUSIOacuteN 22
38 CONCLUSIONES 22
CAPIacuteTULO 4 23
TENSOR DE ESFUERZOS LOCAL 23
41 INTRODUCCIOacuteN 23
42 CAMPO DE ESFUERZOS LOCAL PARA NANOCRISTALES DE ALUMINIO 23
43 VERIFICACIOacuteN DE LOS ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL 25
44 RESULTADOS DE ESFUERZOS LOCALES EN MONOCRISTAL Y BICRISTAL 28
45 DISCUSIOacuteN 29
46 CONCLUSIONES 29
CAPIacuteTULO 5 30
MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
51 INTRODUCCIOacuteN 30
52 MECAacuteNICA DE LA FRACTURA 30
53 ESTIMACIOacuteN DE 119870119868 31
54 ESTIMACIONES DE 119869 33
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten 33
542 Integral 119869 de contorno 34
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD 36
iv
55 PROPAGACIOacuteN DE LAS NANO-FISURAS 37
56 RASGAMIENTO Y FRACTURA 37
57 DISCUSIOacuteN 39
58 CONCLUSIONES 39
CAPIacuteTULO 6 41
METODOLOGIacuteA PARA ESTIMAR LA TENACIDAD A LA FRACTURA EN CRISTALES Y
BICRISTALES DE ALUMINIO 41
61 INTRODUCCIOacuteN 41
62 TENACIDAD A LA FRACTURA 119870119862 41
63 TENACIDAD A LA FRACTURA 119869119862 42
64 DISCUSIOacuteN 43
65 CONCLUSIONES 44
CAPIacuteTULO 7 45
CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 45
71 CONCLUSIONES 45
72 TRABAJO FUTUROS 45
BIBLIOGRAFIacuteA 47
v
Listado de Figuras
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas 7
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas 10
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff 12
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120651 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales 12
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre 13
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas 16
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y
(c) sistema atomiacutestico 17
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
18
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 119949120782 = 120783120787119938 18
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano 19
Fig 11 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120787119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 19
Fig 12 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120783120782119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 20
Fig 13 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120783120787119938 Parte superior comportamiento del monocristal
y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 14 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales 24
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal 26
Fig 17 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en monocristales con diferentes 119949120782 28
Fig 18 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio 29
Fig 19 Modo de carga I 31
Fig 20 120648 vs 120634119963119963 para un monocristal sin defectos 32
Fig 21 120648 vs 120634119963119963 para monocristal y bicristal 33
Fig 22 119934 y 119932 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 33
vi
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34
Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =
120783120782119938 36
Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37
Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37
Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38
Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43
vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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iv
55 PROPAGACIOacuteN DE LAS NANO-FISURAS 37
56 RASGAMIENTO Y FRACTURA 37
57 DISCUSIOacuteN 39
58 CONCLUSIONES 39
CAPIacuteTULO 6 41
METODOLOGIacuteA PARA ESTIMAR LA TENACIDAD A LA FRACTURA EN CRISTALES Y
BICRISTALES DE ALUMINIO 41
61 INTRODUCCIOacuteN 41
62 TENACIDAD A LA FRACTURA 119870119862 41
63 TENACIDAD A LA FRACTURA 119869119862 42
64 DISCUSIOacuteN 43
65 CONCLUSIONES 44
CAPIacuteTULO 7 45
CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 45
71 CONCLUSIONES 45
72 TRABAJO FUTUROS 45
BIBLIOGRAFIacuteA 47
v
Listado de Figuras
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas 7
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas 10
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff 12
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120651 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales 12
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre 13
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas 16
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y
(c) sistema atomiacutestico 17
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
18
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 119949120782 = 120783120787119938 18
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano 19
Fig 11 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120787119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 19
Fig 12 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120783120782119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 20
Fig 13 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120783120787119938 Parte superior comportamiento del monocristal
y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 14 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales 24
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal 26
Fig 17 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en monocristales con diferentes 119949120782 28
Fig 18 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio 29
Fig 19 Modo de carga I 31
Fig 20 120648 vs 120634119963119963 para un monocristal sin defectos 32
Fig 21 120648 vs 120634119963119963 para monocristal y bicristal 33
Fig 22 119934 y 119932 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 33
vi
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34
Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =
120783120782119938 36
Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37
Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37
Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38
Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43
vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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v
Listado de Figuras
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas 7
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas 10
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff 12
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120651 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales 12
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre 13
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas 16
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y
(c) sistema atomiacutestico 17
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
18
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 119949120782 = 120783120787119938 18
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano 19
Fig 11 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120787119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 19
Fig 12 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para el bicristal con 119949120782 = 120783120782119938 parte superior comportamiento del
monocristal y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA
implementado en OVITO 20
Fig 13 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120783120787119938 Parte superior comportamiento del monocristal
y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 14 Curva 120648119963119963 vs 120634119963119963 para bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO 21
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales 24
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal 26
Fig 17 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en monocristales con diferentes 119949120782 28
Fig 18 Campo de esfuerzos 120648prime119963119963 en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio 29
Fig 19 Modo de carga I 31
Fig 20 120648 vs 120634119963119963 para un monocristal sin defectos 32
Fig 21 120648 vs 120634119963119963 para monocristal y bicristal 33
Fig 22 119934 y 119932 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 119949120782 = 120784120782119938 33
vi
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34
Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =
120783120782119938 36
Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37
Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37
Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38
Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43
vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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vi
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119921 de contorno 34
Fig 24 120648119963119963120490120785 para (a) monocristal a 120634119963119963 = 120788 120791 (b) bicristal a 120634119963119963 = 120788 120788 35
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 119949120782 = 120783120782119938 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 119949120782 =
120783120782119938 36
Fig 26 CTOD vs 120634119963119963 para (a) monocristales y (b) bicristales 36
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120634119963119963 = 120788 120790 (b) primer rasgamiento a 120634119963119963 = 120788 120787
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120634119963119963 = 120785120782 37
Fig 28 Valores maacuteximos de 119921 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales 37
Fig 29 DXA en bicristales con 119949120782 = 120783120782119938 (a) antes del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120788) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120634119963119963 = 120788 120789) 38
Fig 30 Maacuteximos 119921 para monocristales (SC) y bicristales (BC) 38
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120648119963119963119930119932 vs 119949120782119923 para estimar 119922119914 42
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD 43
vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
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vii
Listado de tablas
Tabla 1 Funciones del potencial interatomico propuesto por Mendelev et al 14
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120648prime119963119963 y 120648119963119963 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos 27
Tabla 4 119922119920 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal 32
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119921 39
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119921 39
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal 43
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo 44
viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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viii
Resumen
Las limitaciones de la mecaacutenica del medio continuo para predecir el comportamiento de materiales
a escala nanomeacutetrica han conducido al desarrollo de modelos a nivel atoacutemico para describir su
comportamiento mecaacutenico La solucioacuten de un modelo atoacutemico para describir el comportamiento
del material permite conocer sus posibles configuraciones de equilibrio haciendo posible calcular
a traveacutes de la mecaacutenica estadiacutestica propiedades fiacutesicas y quiacutemicas a nivel macroscoacutepico El poder
de prediccioacuten de los resultados obtenidos en simulaciones a nivel atoacutemico estaacute determinado por la
exactitud de la descripcioacuten de la energiacutea en el material ie potencial interatoacutemico en el caso de las
simulaciones de Dinaacutemica Molecular los meacutetodos de solucioacuten utilizados para integrar el sistema
de ecuaciones resultante bajo diferentes tipos de ensamble (NVE NPT) y el tamantildeo del sistema
mismo (nuacutemero de partiacuteculas) Se han desarrollado muacuteltiples trabajos basados en simulaciones a
nivel atoacutemico para describir la resistencia de materiales poli-cristalinos en funcioacuten del tamantildeo de
grano Simulaciones de pruebas cuasi-estaacuteticas de carga por nano-indentacioacuten han permitido
constatar los iacutendices de resistencia para materiales con tamantildeos de grano a escala nanomeacutetrica
Para el estudio del comportamiento de nano-materiales fisurados se han utilizado una serie de
metodologiacuteas derivadas en su mayoriacutea de la Teoriacutea de la Mecaacutenica de Fractura desplazamiento de
la abertura de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) la integral 119869 y la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea de deformacioacuten (ERR por sus siglas en ingleacutes) Los resultados de
simulaciones implementando dinaacutemica molecular ha evidenciado un incremento de hasta 10 veces
el valor de algunas propiedades de los nano-materiales respecto al valor de la misma propiedad en
el material con tamantildeo de grano convencional tal es el caso de la resistencia de la fluencia Debido
a la presencia de la energiacutea de las fronteras de grano aparece una contribucioacuten energeacutetica no tenida
en cuenta en la teoriacutea claacutesica del continuo La influencia energeacutetica de las fronteras de grano
aumenta a medida que el tamantildeo promedio de grano disminuye haciendo que la fraccioacuten
volumeacutetrica de estas estructuras puede llegar a ser hasta la mitad del volumen para una muestra
con tamantildeo de grano de aproximadamente1-4 nm
Actualmente la tenacidad a la fractura ha sido estimada en escala nano-meacutetrica usando los modelos
CTOD integral 119869 y ERR para un tamantildeo especiacutefico de fisura inicial en cristales simples bicristales y policristales Incluso han surgido nuevas teoriacuteas que intentan conciliar las observaciones
experimentales con los modelos teoacutericos que describen el comportamiento de materiales
fracturados Dentro de estas aproximaciones al problema podemos encontrar la teoriacutea de mecaacutenica
de la fractura discreta (DFM por sus siglas en ingleacutes) y la teoriacutea de mecaacutenica de la fractura cuaacutentica
(QFM por sus siglas en ingleacutes) [12] En la presente investigacioacuten se desarrolloacute una nueva
metodologiacutea para estimar un valor de tenacidad a la fractura que sea vaacutelido para cualquier tamantildeo
de fisura inicial en un cristal simple y en un bicristal sujeto a cargas en modo I Los resultados
permitieron identificar que la tenacidad a la fractura en el bicristal es casi cinco veces el valor de
del observado en el cristal simple
ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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ix
Nomenclatura
Abreviaturas
BC bicristal
CTOD desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura
DM dinaacutemica molecular
EAM meacutetodo del aacutetomo embebido
ERR velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten J m-2
FCC cubica centrada en las caras
FT primer rasgamiento
GB frontera de grano
LEFM mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica
NC nanocristalino
NEMS sistemas nano-electromecaacutenicos
NPT ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NVE ensamble microcanoacutenico
NVT ensamble canoacutenico
120583119881119879 ensamble macrocanoacutenico
SC monocristal
Letras latinas
119886 paraacutemetro de red m
119860 propiedad del material
119861 funcioacuten de enlace
119890 119902 nuacutemeros enteros
119864 moacutedulo de elasticidad Pa
119891 factor geomeacutetrico de la fisura
119865120572120573 fuerza en la partiacutecula 120572 ejercida por la partiacutecula 120573 N
ℎ longitud de suavizado m
119867 energiacutea total del sistema J
119869 integral 119869 J m-2
119869119862 tenacidad a la fractura J m-2
119896119861 constante de Boltzmann J K-1
119870 energiacutea cineacutetica J
119870119868 factor de intensificacioacuten de esfuerzos modo I MParadicm
119870119862 tenacidad a la fractura MParadicm
119897 tamantildeo de la fisura m
1198970 tamantildeo de fisura inicial m
119871 longitud de la caja de simulacioacuten m
1198711 1198712 vectores de los bordes de la caja de simulacioacuten m
119901 cantidad de movimiento kg ms
119875 presioacuten del sistema Pa
x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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x
119898 masa del aacutetomo kg
119899 vector unitario normal a una trayectoria
119873 nuacutemero de aacutetomos en el sistema
119903 posicioacuten del aacutetomo m
velocidad del aacutetomo ms
aceleracioacuten del aacutetomo ms2
119903120572120573 distancia relativa entre aacutetomos 120572 y 120573 m
119877 punto material m
119878119880 esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten Pa
119905 espesor m
119879 temperatura K
119879119894 vector de traccioacuten Pa
119906119894 componentes del vector de desplazamientos m
119880 energiacutea potencial J
119880119889 Energiacutea de deformacioacuten liberada J
119907 velocidad del aacutetomo ms
119881 volumen m3
119908 densidad de energiacutea de deformacioacuten Pa
119882 trabajo externo J
Letras griegas
Γ camino para evaluar la integral 119869 120576 deformacioacuten unitaria
120576 velocidad de deformacioacuten s-1
120577 aacutengulo de frontera de grano torcida
120578 120598 coeficientes de potencial de Lennard-Jones
120579 aacutengulo de frontera de grano inclinada
120582 variable de integracioacuten de Hardy
120584 coeficiente de Poisson
120585 altura del sistema atomiacutestico a una deformacioacuten dada m
Π energiacutea potencial del sistema
120588120572 contribucioacuten del aacutetomo 120572-eacutesimo a la densidad local de electrones
120590119909119909 120590119910119910 120590119911119911 esfuerzo global del sistema Pa
120590119894119895prime tensor de esfuerzos de Cauchy local calculado con meacutetodo de Hardy
119894119895prime promedio de los tensores de esfuerzos de Cauchy locales
120590119900 esfuerzo maacuteximo global del sistema durante el ensayo de tensioacuten
120591 variable temporal s
120593 contribucioacuten del potencial de pares a la energiacutea de cohesioacuten J
Φ energiacutea de embebimiento J
120595 contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572
120569 funcioacuten de localizacioacuten
xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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xi
Subiacutendice y superiacutendice
0 inicial
119891 final
119901 segmento de camino para evaluar la integral 119869 119894 119895 componentes vectoriales
119909 119910 119911 direcciones
120572 120573 aacutetomos o partiacuteculas
1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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1
Capiacutetulo 1
Introduccioacuten
11 Objetivo principal y motivacioacuten
Los materiales nano-cristalinos (tamantildeo promedio de grano menor a 100 nm) han permitido el
desarrollo de sistemas nano-electromecaacutenicos (NEMS por sus siglas en ingleacutes) los cuales tienen
un gran espectro de aplicaciones en diversos campos [3ndash8] En el aacuterea de la salud se han
desarrollado nano-robots empleados en procedimientos quiruacutergicos molecular y la dosificacioacuten de
medicamentos para el tratamiento de enfermedades consideradas terminales como el caacutencer [6]
Otra aplicacioacuten a resaltar por su impacto es el arreglo de nano-canales para obtener agua potable
a partir de agua salada [9] y el desarrollo de micro-motores de diaacutemetro de 250 120583m para
aplicaciones meacutedicas [10] El gran rango de aplicaciones y las propiedades mecaacutenicas
excepcionales de este tipo de materiales ha hecho que el estudio de materiales nano-cristalinos sea
un campo de investigacioacuten muy activo A pesar de sus evidentes ventajas la prediccioacuten de las
propiedades fiacutesicas y quiacutemicas de estos materiales sigue siendo un reto en la actualidad debido a
la ausencia de una teoriacutea que explique y permita predecir la dinaacutemica de su deformacioacuten bajo
diferentes condiciones de carga Trabajos previos han demostrado que sus propiedades mecaacutenicas
(eg esfuerzo uacuteltimo a tensioacuten 119878119880 y la tenacidad a la fractura 119870119862 119869119862) a medida que disminuye el
tamantildeo promedio de grano son de orden de magnitud superior al compararlas con materiales de
mayor tamantildeo de grano de la misma especie (119878119880 del orden de 1GPa) [11ndash19] Incluso se ha
demostrado que teoriacuteas como la relacioacuten tradicional de Hall-Petch no describe correctamente la
relacioacuten del tamantildeo de grano con su resistencia a la tensioacuten en esta escala [2021] Asiacute mismo se
ha demostrado que la presencia de defectos y fronteras de grano (GBs por sus siglas en ingleacutes) en
la estructura determina el comportamiento mecaacutenico [22ndash31]
El principal objetivo de esta tesis es estimar el efecto de la GB en la tenacidad a la fractura mediante
la comparacioacuten de la tenacidad a la fractura de un bicristal con la de un monocristal de aluminio
Para estimar la tenacidad a la fractura a escala nano-meacutetrica se desarrolloacute una metodologiacutea
novedosa para obtener un valor de tenacidad que fuera valido para cualquier tamantildeo de fisura Con
esta metodologiacutea se propone un procedimiento para estimar un valor de tenacidad a la fractura en
materiales NC el cual no depende del tamantildeo inicial de fisura
12 Materiales nano-cristalinos
Los materiales nano-cristalinos (NC) se caracterizan por tener una alta fraccioacuten volumeacutetrica de
frontera de grano que altera significativamente sus propiedades fiacutesicas mecaacutenicas y quiacutemicas en
comparacioacuten con los materiales policristalinos de tamantildeo de grano convencional [2131ndash35]
Razoacuten por la cual existen algunas teoriacuteas de la Mecaacutenica de medios continuos que no son
suficientes Para explicar los diferentes fenoacutemenos que se dan en la escala nanomeacutetrica como es el
2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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2
caso de la relacioacuten de Hall-Petch [36ndash38] En este sentido el objetivo de muchas investigaciones
ha sido validar o encontrar nuevas teoriacuteas que describan el comportamiento de los materiales NC
En especial las teoriacuteas que incluyen irreversibilidades en los soacutelidos NC (rompimiento de enlaces
atoacutemicos) como es el caso de la deformacioacuten plaacutestica y fluencia [39ndash42] el comportamiento frente
a cargas de fatiga [1943ndash45] y la mecaacutenica de la fractura [22946ndash50] La investigacioacuten actual
abarca la uacuteltima temaacutetica mencionada y se concentra en estudiar el comportamiento de
monocristales y bicristales de aluminio con defectos iniciales para estimar la tenacidad a la fractura
y la alteracioacuten de esta propiedad debido a la presencia de fronteras de grano
13 Paraacutemetros de la Mecaacutenica de la fractura
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento de las fisuras en los soacutelidos [51] La
resistencia de un material a la propagacioacuten inestable de una fisura en su interior (fractura fraacutegil)
estaacute medida por la tenacidad a la fractura Cuando la fractura es duacutectil la propagacioacuten se
caracteriza por estar acompantildeada de una deformacioacuten plaacutestica significativa y algunas veces del
proceso de rasgamiento [51]
Histoacutericamente se desarrollaron primero dos enfoques para el anaacutelisis de la fractura fraacutegil los
cuales conforman la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica (LEFM por sus siglas en ingleacutes) El
primero es el criterio de la velocidad de liberacioacuten de la energiacutea (ERR) y el segundo consiste en la
aproximacioacuten del intensificador de esfuerzos (119870119868) Estos dos enfoques son equivalentes en ciertas circunstancias ERR plantea que la propagacioacuten de la fisura ocurre de forma inestable cuando la
energiacutea invertida para el crecimiento de una fisura es mayor a la resistencia del material
Inicialmente Griffith en 1920 propuso este enfoque energeacutetico basado en un nuevo criterio de
ruptura el estado de equilibrio (miacutenima energiacutea) debe ser despueacutes de una ruptura del soacutelido
acompantildeada de una reduccioacuten continua en su energiacutea potencial Griffith consideroacute que la energiacutea
potencial total en un material fisurado estaba compuesta por la energiacutea potencial asociada a la
deformacioacuten y la energiacutea requerida para crear una nueva superficie A partir de este balance
planteoacute una metodologiacutea para estimar el esfuerzo requerido para que la fisura se propague de forma
inestable en un material Sin embargo Irwin [52] en 1956 desarrolloacute el concepto de ERR a partir
de la teoriacutea planteada por Griffith ERR resultoacute ser maacutes uacutetil para resolver los problemas de
ingenieriacutea de esa eacutepoca y comenzoacute a ser conocido como el paraacutemetro de la mecaacutenica de la fractura
requerido para calcular la tenacidad a la fractura [53] El segundo meacutetodo utiliza una aproximacioacuten
del intensificador de esfuerzos 119870119868 en este meacutetodo se asume que el material fallaraacute localmente
debido a una combinacioacuten criacutetica de esfuerzo y deformacioacuten en la punta de la fisura el
intensificador de esfuerzos en este punto criacutetico se define como la tenacidad a la fractura (119870119862) [53]
Posteriormente en los 1960s se comenzoacute a observar que la LEFM no predeciacutea correctamente el
inicio de la propagacioacuten de la fisura cuando se presentaba una deformacioacuten plaacutestica significativa
antes de la falla Esto dio inicio al desarrollo de nuevos paraacutemetros para la mecaacutenica de la fractura
de materiales elasto-plaacutesticos En 1961 Wells [54] desarrolloacute el concepto de tamantildeo de la apertura
de la punta de la fisura (CTOD por sus siglas en ingles) y planteoacute una relacioacuten entre 119870119868 y la CTOD Y en ese mismo antildeo Irwing [55] establecioacute una correccioacuten en la zona plaacutestica para establecer una
relacioacuten entre el CTOD y la ERR [53] En 1968 Rice [56] desarrolloacute otro paraacutemetro de la mecaacutenica
de la fractura para materiales no lineales Rice generalizoacute la ERR para materiales no lineales y
demostroacute que esta ERR no lineal podiacutea ser expresada como una integral de liacutenea a lo largo de
cualquier camino que envolviera a la fisura a este paraacutemetro Rice lo llamoacute la integral 119869
3
14 Organizacioacuten de la tesis
El trabajo actual estaacute escrito en el orden que se presenta a continuacioacuten El capiacutetulo 2 contiene una
introduccioacuten a los conceptos y teoriacuteas usadas en la teacutecnica de simulacioacuten de dinaacutemica molecular
(DM) Ademaacutes se presentan los diferentes potenciales interatoacutemicos utilizados en las simulaciones
DM junto con las ecuaciones que los gobiernan y se detalla el funcionamiento del potencial
implementado para los metales conocido como el meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) En el
capiacutetulo 3 inicialmente se indican los procedimientos seguidos para la construccioacuten de los
especiacutemenes y la estrategia de simulacioacuten para el ensayo de tensioacuten uniaxial bajo control de
desplazamiento asimismo se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten para los diferentes
monocristales y bicristales mediante sus curvas de esfuerzo vs deformacioacuten En el capiacutetulo 4 se
presenta el procedimiento para realizar el caacutelculo del tensor de esfuerzos de Cauchy local a partir
de los resultados de las simulaciones de DM usando el meacutetodo propuesto por Hardy [57] En el
capiacutetulo 5 se hace una introduccioacuten a las teoriacuteas usadas para estimar los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura 119870119868 integral 119869 CTOD y ERR Ademaacutes se introduce el concepto de primer
rasgamiento para el primer cristal en los bicristales y los criterios para considerar la falla del
material durante los ensayos computacionales El capiacutetulo 6 contiene la metodologiacutea para estimar
la tenacidad a la fractura vaacutelida para todos los tamantildeos de fisura inicial evaluados en monocristales y bicristales de aluminio Inicialmente en este capiacutetulo se estudia el efecto de la GB sobre la
tenacidad 119870119862 y se observa que el 119870119862 estimado para el monocristal coincide con las magnitudes
reportadas por otros investigadores seguidamente se obtiene que 119870119862 para el bicristal es casi 25
veces el 119870119862 del monocristal Posteriormente se estimoacute la tenacidad a la fractura considerando
fractura elasto-plaacutestica en funcioacuten de 119869 y se encontroacute que la tenacidad a la fractura 119869119862 para el monocristal coincidiacutea con el orden de magnitud reportado en la literatura asimismo se observoacute
que 119869119862 para el bicristal es de casi cinco veces el 119869119862 para el monocristal Esta metodologiacutea fue publicada en el journal ldquoComputational Materials Sciencerdquo bajo el tiacutetulo ldquoThe role of the grain
boundary in the fracture toughness of aluminum bicrystalrdquo [58] Finalmente en el capiacutetulo 7 se
presentan las conclusiones y sugerencias en trabajos futuros A continuacioacuten se relacionan los
productos de esta tesis hasta el momento
PONENCIAS EN CONGRESOS INTERNACIONALES
XVI Jornadas de Mecaacutenica Computacional
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia de las fronteras de grano en la propagacioacuten de nano-fisurasrdquo
Lugar La Serena Chile Antildeo 2017
XVII Congreso Chileno de Ingenieriacutea Mecaacutenica | COCIM 2017
Tiacutetulo de la ponencia ldquoInfluencia del tamantildeo de fisuras en la distribucioacuten de esfuerzos locales
durante la propagacioacuten de fisuras en materiales nano-cristalinosrdquo
Lugar Santiago de Chile Chile Antildeo 2017
IX Congreso Internacional de Ingenieriacutea Mecaacutenica y Mecatroacutenica VII Congreso
Internacional de Ingenieriacutea Mecatroacutenica y Automatizacioacuten
4
Tiacutetulo de la ponencia ldquoComportamiento mecaacutenico de bicristales de aluminio con nano-fisuras
sujetos a tensioacuten uniaxialrdquo
Lugar Bogotaacute Colombia Antildeo 2019
PUBLICACIOacuteN EN JOURNAL ISISCOPUS
Nombre del Journal Computational Materials Science
Tiacutetulo de la publicacioacuten ldquoThe role of the grain boundary in the fracture toughness of aluminum
bicrystalrdquo [58]
ISSN 0927-0256 Vol 167 (2019) pp 34-41
5
Capiacutetulo 2
Simulaciones moleculares
21 Introduccioacuten
Las simulaciones moleculares representan los sistemas fiacutesicos (gas liacutequido o soacutelido) como una
coleccioacuten de partiacuteculas (aacutetomos considerados como partiacuteculas) y utilizan un potencial interatoacutemico
para estimar el comportamiento entre dichas partiacuteculas El meacutetodo de dinaacutemica molecular (DM)
comienza a ser implementado en los antildeos 1950rsquos con Alder y Wainwright quienes estudiaron las
interacciones entre esferas soacutelidas considerando que la fuerza en una partiacutecula dentro de un
sistema de muacuteltiples partiacuteculas en cualquier instante debe considerar la influencia de cada
partiacutecula vecina [5960] Posteriormente en 1964 Rahman y Stillinger en 1974 hicieron las
primeras simulaciones usando DM para estudiar el comportamiento de fluidos [6162] Los
primeros estudios que incluyeron simulaciones de DM para modelar el proceso fractura fue en los
1970s cuando Ashurt y Hoover estudiaron cristales de 512 partiacuteculas con defectos y encontraron
que los resultados para la energiacutea entropiacutea concentracioacuten de esfuerzos y comportamiento de la
fisura era consistente con las teoriacuteas macroscoacutepicas de elasticidad [63] En 1983 Yip et al usaron
DM para estudiar la propagacioacuten de fisuras y el comportamiento de la punta de la fisura en hierro-
120572 y cobre en este trabajo encontraron que se formaban dislocaciones parciales en la punta de la
fisura [64] En 1998 Shastry y Farkas usaron estaacutetica molecular para estudiar la propagacioacuten de
fisuras en CoAl y FeAl con los resultados de las simulaciones estimaron la energiacutea de superficie
por el meacutetodo de Griffith [65] Posteriormente Farkas et al encontraron la influencia de la
orientacioacuten cristalograacutefica en el factor de intensificacioacuten de esfuerzos en modo I (119870119868) usando simulaciones de DM en Fe [66] y hasta la actualidad se ha utilizado la DM para obtener indicadores
del comportamiento mecaacutenico de los materiales NC En este capiacutetulo se hace una introduccioacuten de
los principios fundamentales de la teacutecnica de DM los algoritmos de integracioacuten numeacuterica las
condiciones de frontera la hipoacutetesis Ergoacutedica y la importancia de la seleccioacuten del potencial
interatoacutemico para obtener una descripcioacuten correcta de los fenoacutemenos estudiados Finalmente se
discute en la seccioacuten 25 la seleccioacuten del meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para estudiar el
proceso de la propagacioacuten de nano-fisuras
22 Mecaacutenica estadiacutestica
Esta teoriacutea permite estimar propiedades macroscoacutepicas de los materiales a partir de las propiedades
microscoacutepicas de sus aacutetomos es decir la mecaacutenica estadiacutestica utiliza las posiciones y cantidad de
movimiento de los aacutetomos de un sistema para estimar propiedades macroscoacutepicas tales como
presioacuten temperatura tensor de esfuerzo tensor de deformacioacuten energiacutea entre otros El teorema
que se utiliza para relacionar las propiedades microscoacutepicas con las macroscoacutepicas de un sistema
es la hipoacutetesis Ergoacutedica de Boltzman la cual plantea que el promedio de una propiedad 119860 en el
tiempo es igual a su promedio en un ensamble El promedio en un ensamble hace referencia al
promedio sobre todas las configuraciones posibles del sistema consideradas simultaacuteneamente
6
(Los tipos de ensambles termodinaacutemicos se mostraraacuten maacutes adelante) El siacutembolo lang rang describe una variable promediada
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 = lang119860rang119864119899119904119886119898119887119897119890 (1)
En la teoriacutea de ensambles termodinaacutemicos cada propiedad macroscoacutepica estaacute conectada
directamente a una funcioacuten de las coordenadas y momento lineal de las partiacuteculas que conforman
el sistema Para una simulacioacuten de DM se tiene entonces
lang119860rang119879119894119890119898119901119900 =1
119873sum119860(119901 119903)
119873
119894=1
(2)
donde 119873 es el nuacutemero de partiacuteculas 119901 = 119901120572119894 y 119903 = 119903120572
119894 son el conjunto de los momentos lineales y el conjunto de los vectores de posicioacuten de todas las partiacuteculas en el sistema respectivamente
119901120572119894 = 119898120572119907120572
119894 es el momento lineal de la partiacutecula 120572 119898120572 y 119907120572 son la masa y velocidad del aacutetomo 120572
respectivamente
221 Ensambles termodinaacutemicos
La temperatura o la presioacuten de un sistema se pueden estimar a partir de las posiciones y velocidades
de los aacutetomos que conforman dicho sistema gracias al concepto de ensamble introducido por
Gibbs Un ensamble es una coleccioacuten de sistemas descritos por el mismo conjunto de interacciones
microscoacutepicas que comparten un mismo conjunto de propiedades macroscoacutepicas (eg la misma
energiacutea total volumen o nuacutemero de moles) [67] Entre los diferentes ensambles se encuentran el
microcanoacutenico tambieacuten conocido como ensamble 119873119881119864 lo cual significa que el nuacutemero de
partiacuteculas 119873 el volumen del sistema 119881 y la energiacutea total del sistema se mantienen constantes este
ensamble considera un sistema aislado El ensamble isoteacutermico-isobaacuterico (119873119875119879) considera
sistemas nuacutemero de partiacuteculas presioacuten y temperatura constantes El ensamble canoacutenico (119873119881119879) en el cual el sistema es cerrado con nuacutemero de partiacuteculas volumen y temperatura constante y el
ensamble macrocanoacutenico (120583119881119879) en el cual se considera que el sistema es abierto En el presente
estudio se desea un sistema que se acerque maacutes a la realidad razoacuten por la cual las simulaciones
se desarrollan con un ensamble 119873119875119879
23 Dinaacutemica molecular
La dinaacutemica molecular es un meacutetodo basado en simulaciones moleculares que permite determinar
el movimiento de cada aacutetomo 120572 a traveacutes de sus posiciones 119903120572119894(120591) velocidades 120572
119894(120591) y aceleraciones
120572119894(120591) donde 120591 es la variable temporal (ver figura 1) Esta teacutecnica (DM) considera los aacutetomos
como partiacuteculas razoacuten por la cual se puede solucionar numeacutericamente las ecuaciones de
movimiento planteadas por Newton para todas las partiacuteculas de un sistema claacutesico de muchos
cuerpos
7
Fig 1 Representacioacuten esquemaacutetica del sistema atomiacutestico con partiacuteculas
El esquema de integracioacuten de las ecuaciones de Newton y la seleccioacuten del paso de tiempo son
definidos de tal forma que se cumpla la conservacioacuten de la energiacutea impliacutecita en las ecuaciones de
Newton La energiacutea total o el Halmitoniano (119867) de un sistema es
119867 = 119870 + 119880 (3)
donde 119870 es la energiacutea cineacutetica del sistema y 119880 la energiacutea potencial 119870 es funcioacuten de la energiacutea
cineacutetica de todos los 119873 aacutetomos que conforman el sistema
119870 =1
2sum119898120572(120572
119894)2119873
120572=1
(4)
Se puede observar que la energiacutea cineacutetica depende solamente de las velocidades o momento lineal
de los aacutetomos La energiacutea potencial es la suma de la energiacutea potencial de todas las partiacuteculas
119880 = sum119880120572(119903)
119873
120572=1
(5)
En este punto es importante notar que la energiacutea potencial de cada aacutetomo 119880120572 es funcioacuten solamente
de su vector de posicioacuten y de los vectores de posiciones de todas las partiacuteculas que estaacuten en el
sistema estos uacuteltimos expresados como 119903 = 119903120572119894
231 Caacutelculo de posiciones y velocidades de los aacutetomos
Las etapas que se realizan en las simulaciones atomiacutesticas implementando DM para obtener en
cada paso de tiempo la actualizacioacuten de las posiciones y velocidades de las partiacuteculas del sistema
se pueden resumir en los siguientes pasos
Paso 1 Estimacioacuten de la fuerza sobre cada aacutetomo Inicialmente cada aacutetomo tiene una posicioacuten
y velocidad especificada en el sistema atomiacutestico La posicioacuten depende del arreglo de la estructura
cristalina para el caso de los metales Debido a que se conocen las posiciones de las partiacuteculas se
puede calcular la fuerza en cada aacutetomo mediante el gradiente de la energiacutea potencial entre aacutetomos
(119880) el cual depende solamente de la distancia relativa entre aacutetomos
8
119865120572119894 = minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(6)
Donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente del vector de fuerza resultante en el aacutetomo 120572 119903120572120573
119894 es el vector
de posiciones relativa entre el aacutetomo 120572 y sus vecinos 120573
Paso 2 Estimacioacuten de las velocidades de los aacutetomos Aplicando la definicioacuten de la segunda ley
de Newton 119865120572119894 = 119898120572120572
119894 se puede reescribir la ecuacioacuten como
119898120572
d2119903120572119894
d1205912= minus
120597119880(119903)
120597119903120572120573119894
(7)
A partir del gradiente de la energiacutea potencial y considerando que la fuerza es constante en un paso
de tiempo el cambio en la velocidad de cada aacutetomo se toma esencialmente como el producto entre
la aceleracioacuten de cada aacutetomo y el paso de tiempo implementado en la simulacioacuten Despueacutes de que
todas las velocidades de los aacutetomos han sido calculadas se implementa un termostasto para escalar
las velocidades y garantizar que la energiacutea total (en caso de que el ensamble sea 119873119881119864) o la
temperatura (en caso de que el ensamble sea 119873119875119879) del sistema se mantenga constante Generalmente el termostato implementado en sistemas atomiacutesticos es el de Nose-Hoover el cual
es un algoritmo determinista para mantener la temperatura alrededor del valor establecido
previamente en la simulaciones de DM [6869]
Paso 3 Actualizacioacuten de los vectores de posicioacuten de los aacutetomos Una vez estimada la fuerza
sobre cada aacutetomo y escaladas las velocidades usando el termostato los vectores de posicioacuten (119903120572119894)
de cada aacutetomo 120572 pueden ser estimados a partir de algoritmos de integracioacuten de Leap-Frog o Verlet
debido a la segunda ley de Newton
119865120572119894 = 119898120572
d2119903120572119894
d1205912 (8)
Paso 4 Proceso iterativo Una vez actualizado los vectores de posicioacuten estos se convierten en
los datos de entrada para repetir el paso 1 nuevamente hasta el paso 3 Mientras maacutes aacutetomos tenga
el sistema de la simulacioacuten el costo computacional se incrementaraacute
232 Lista de aacutetomos vecinos y cutoff
Existen estrategias para reducir los costos computacionales en las simulaciones de DM tal como
se presentoacute en la seccioacuten anterior el caacutelculo de la fuerza implica que se deben visitar todos los
aacutetomos del sistema para calcular el aporte de cada aacutetomo del sistema en la fuerza resultante sobre
un aacutetomo Para reducir esta cantidad de caacutelculos se implementa la estrategia de realizar una lista
de vecinos basado en una distancia de corte (cutoff) La distancia de corte considera un radio de
distancia en el cual los aacutetomos comprendidos en esta regioacuten aportan una fuerza significativa sobre
la fuerza resultante en el aacutetomo de estudio Los aacutetomos dentro del cutoff conformaraacuten la lista de
vecinos Lo primero que se hace en la simulacioacuten antes de realizar el caacutelculo de fuerzas es
identificar la lista de los vecinos maacutes cercanos para cada aacutetomo para posteriormente ejecutar los
pasos mencionados en el proceso de simulacioacuten de DM
9
233 Algoritmos de integracioacuten usados en DM
La funcioacuten que deben cumplir los meacutetodos de integracioacuten es generar nuevas coordenadas (119903120572119894) y
velocidades (120572119894) de los aacutetomos a partir de los valores actuales es decir
119903120572119894(1205910) rarr 119903120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 119903120572
119894(1205910 + 3Δ120591) rarr 119903120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (9)
y
120572119894(1205910) rarr 120572
119894(1205910 + Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 2Δ120591) rarr 120572
119894(120591 + 3Δ120591) rarr 120572119894(1205910 + 4Δ120591)hellip (10)
Los meacutetodos de integracioacuten maacutes implementados en las simulaciones de DM se relacionan a
continuacioacuten
Algoritmo de Leap-Frog
Las posiciones de las partiacuteculas en la simulacioacuten son actualizadas como
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 119903120572119894 (120591 +
1
2Δ120591)Δ120591 (11)
y
120572119894 (120591 +
1
2Δ120591) = 120572
119894 (120591 minus1
2Δ120591) + 120572
119894(120591)Δ120591 (12)
Algoritmo de velocidades de Verlet
En este algoritmo las posiciones son actualizadas de la forma
119903120572119894(120591 + Δ120591) = 119903120572
119894(120591) + 120572119894(120591)Δ120591 +
1
2120572119894(120591)Δ1205912 (13)
donde
120572119894(120591 + Δ120591) = 120572
119894(120591) +1
2(120572119894(120591) + 120572
119894(120591 + Δ120591))Δ120591 (14)
Una vez integradas las ecuaciones presentadas (correspondientes a la mecaacutenica de Newton) en esta
seccioacuten el ensamble termodinaacutemico seraacute el 119873119881119864 Modificando las ecuaciones de movimiento se
pueden obtener diferentes ensambles termodinaacutemicos Para el caso del 119873119875119879 se debe seleccionar un termostato y un baroacutestato para garantizar que la presioacuten y temperatura sean constantes durante
la simulacioacuten [70]
234 Condiciones de frontera perioacutedicas
El concepto de fronteras perioacutedicas es ampliamente usado en simulaciones de DM y es utilizado
para estudiar propiedades en volumen (bulk) lo cual significa que no hay superficies libres en las
direcciones que se aplican estaacutes condiciones La figura 2 presenta el caso en 2D donde los aacutetomos
de la configuracioacuten original de trabajo son los que se encuentran dentro de la caja punteada las
condiciones de frontera perioacutedicas consisten en hacer reacuteplicas de la configuracioacuten original de
trabajo En cada caja de reacuteplica los aacutetomos se mueven exactamente igual que los aacutetomos de la caja
original
10
Fig 2 Esquema de sistema de partiacuteculas con condiciones de frontera perioacutedicas
Con la finalidad de entender las posiciones de las partiacuteculas en las reacuteplicas inicialmente se debe
considerar que cada partiacutecula en la caja de simulacioacuten (liacutenea punteada) estaacute interactuando con las
partiacuteculas dentro de la misma caja y con las partiacuteculas cercanas que se encuentran dentro de las
cajas de reacuteplicas Las posiciones de los aacutetomos que se mueven fuera de la caja principal (en las
reacuteplicas) estaacuten dadas por
119903119894119903119890119901
= 119903119894 + 1198901 + 1199022 (15)
donde 1 y 2 son vectores que corresponden a los bordes de la caja de simulacioacuten 119890 y 119902 son
cualquier entero que va desde minusinfin a infin En los sistemas estudiados se verificoacute que la cantidad de partiacuteculas en la caja de simulacioacuten era suficiente para representar los fenoacutemenos de propagacioacuten
de fisuras al compararlo con los resultados obtenidos en otros estudios
234 Caacutelculo de propiedades
A continuacioacuten se mencionan la forma de calcular algunas propiedades de intereacutes en el trabajo
actual
2341 Caacutelculo de la temperatura
La temperatura 119879 se encuentra definida en funcioacuten de la energiacutea cineacutetica del sistema 119870 tal como
se presenta a continuacioacuten
119879 =2
3
lang119870rang
119873119896119861 (16)
donde el valor numeacuterico de la constante de Boltzmann es 119896119861 = 13806503 times 10minus23J Kminus1
2342 Calculo de la presioacuten
La presioacuten estaacute dada por la ecuacioacuten
119875 =119873119896119861119879
119881minus1
3
1
119881sum sum lang 119903120572120573
d119880
d119903120572120573rang
119873
120573=1120573lt120572
119873
120572=1
(17)
11
donde el primer teacutermino proviene de la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas y el
segundo termino de las fuerzas de interaccioacuten entre las partiacuteculas 120572 y 120573 en el volumen total del
sistema 119881
2343 Tensor de esfuerzos en sistemas atomiacutesticos
El concepto de esfuerzo es propio de la teoriacutea de mecaacutenica de medios continuos y es usado en
muchos casos para estimar las propiedades mecaacutenicas de los materiales en escala convencional
(microscoacutepica y macroscoacutepica) Cuando se calculan cantidades macroscoacutepicas a partir de los
resultados de simulaciones atomiacutesticas se estaacute realizando un proceso de modelamiento de
fenoacutemenos usando multi-escala El concepto de tensor de esfuerzos en escala nanomeacutetrica es
diferente al planteado en la teoriacutea del continuo El teorema de Virial usado para estimar el tensor
de esfuerzos de un sistema que tiene partiacuteculas que interactuacutean entre siacute en un volumen fijo fue
propuesto inicialmente por Clausius [71] y Maxwell [7273] Esta cantidad es vaacutelida para estimar
esfuerzos globales en un sistema atomiacutestico y estaacute definida en [74] Generalmente es conocido
como el tensor de esfuerzo de Virial este tensor es definido como el negativo del tensor de
presiones promedios del sistema tal como se presenta en la siguiente ecuacioacuten
120590119894119895 =1
119881(minussum119865120572
119894119903120572119895 minus
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
=1
119881
(
minus1
2sumsum
120597119880
120597119903120572120573 119903120572120573119894 119903120572120573
119895
119903120572120573 minus
119873
120573=1120573ne120572
119873
120572=1
sum119898120572119907120572119894119907120572
119895
119873
120572=1
)
(18)
donde 119865120572119894 es la 119894-esima componente de la fuerza sobre el aacutetomo 120572 119903120572
119895 es la 119895-esima componente del
vector de posicioacuten del aacutetomo 120572 Los teacuterminos 119907120572119894 119907120572
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima componente del
vector de velocidades del aacutetomo 120572 respectivamente 119903120572120573119894 119903120572120573
119895 son la 119894-esima y la 119895-esima
componente del vector de posiciones relativas entre los aacutetomos 120572 y 120573 La primera parte de la ecuacioacuten del tensor de esfuerzos de Virial hace referencia al aporte configuracional y el segundo
a la contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica de las partiacuteculas que conforman el sistema Sin embargo
esta cantidad es promediada en el espacio y tiempo por lo que es inapropiada para estimar
esfuerzos locales (en cada partiacutecula) En la presente investigacioacuten se hace una estimacioacuten del tensor
de esfuerzos de Cauchy local basado en el meacutetodo propuesto por Hardy para estimar propiedades
locales a partir de los resultados de simulaciones atomiacutesticas [57] El detalle del proceso realizado
se encuentra en el capiacutetulo 4
24 Potencial interatoacutemico en aluminio
En las simulaciones moleculares el potencial interatoacutemico determina el comportamiento
energeacutetico del sistema en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos La seleccioacuten del
potencial adecuado depende de las caracteriacutesticas de los materiales De forma general los
potenciales interatoacutemicos pueden ser clasificados de la siguiente forma
12
241 Potencial de pares
Esta es la descripcioacuten maacutes sencilla de la energiacutea potencial entre aacutetomos debido a que 119880 depende
solo de la distancia entre dos partiacuteculas La energiacutea potencial de un sistema estaacute dada por
119880 =1
2sum sum 120593(119903120572120573)
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(19)
donde 120593 es la energiacutea potencial del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 El valor de frac12 es debido a que la sumatoria de la energiacutea potencial de enlaces considera la interaccioacuten de cada aacutetomo con todos
los aacutetomos dentro de un volumen representativo limitado por un radio de corte conocido como
rcutoff En la figura 3 se explica graacuteficamente la situacioacuten mencionada
Fig 3 (a) Interacciones del aacutetomo uno y (b) del aacutetomo con cinco aacutetomos cercanos en un rcutoff
Los potenciales interatoacutemicos son funciones matemaacuteticas que describen la energiacutea potencial de un
par de aacutetomos en funcioacuten de la distancia relativa entre los aacutetomos en la siguiente figura se presenta
uno de los posibles esquemas de 120593
Fig 4 Comportamiento tiacutepico de 120593 en funcioacuten de la distancia relativa entre aacutetomos para metales
Uno de los potenciales de pares maacutes usado es el potencial de Lennard-Jones (LJ-12)[75] A
continuacioacuten se presenta la funcioacuten matemaacutetica de este potencial
120593 = 4120598 [(120578
119903120572120573)
12
minus (120578
119903120572120573)
6
] (20)
13
donde 120598 es la profundidad del potencial y 120578 en esta ecuacioacuten hace referencia a la distancia entre
los aacutetomos donde 120593 = 0
242 Campos de fuerzas para materiales bioloacutegicos y poliacutemeros
Estos potenciales describen las interacciones entre aacutetomos basados en una combinacioacuten de
teacuterminos energeacuteticos Un ejemplo es el potencial de CHARMM el cual es usado en proteiacutenas y
biofiacutesica [70]
119880 = 119880119887119900119899119889 + 119880119886119899119892119897119890 + 119880119905119900119903119904119894119900119899 + 119880119862119900119906119897119900119898119887 + 119880119907119889119882 (21)
243 Meacutetodo del aacutetomo embebido (EAM) para metales
Estos potenciales consideran el entorno de un aacutetomo es decir los aacutetomos cercanos al aacutetomo del
cual se desea estimar su resistencia de enlace La ecuacioacuten que gobierna estos potenciales es de la
siguiente forma
119880 = sum sum 120593(119903120572120573) +sumΦ(120588120572)
119873
120572=1
119873
120573=120572+1
119873minus1
120572=1
(22)
donde Φ es la funcioacuten de embebimiento y 120588120572 es la contribucioacuten del aacutetomo 120572 a la densidad local de electrones
120588120572 = sum 120595120573(119903120572120573)120573ne120572
(23)
aquiacute 120595120573 es la contribucioacuten de los aacutetomos 120573 a la densidad electroacutenica del aacutetomo 120572 Este tipo de
potencial considera que la energiacutea del enlace entre dos aacutetomos depende de la distancia entre los
dos aacutetomos y de las posiciones de los aacutetomos vecinos esta suposicioacuten corrige la falencia del
potencial de pares en los aacutetomos cercanos a la superficie de cristales debido a que estos cambian
su energiacutea a pesar de tener la misma distancia entre ellos este efecto se puede ver en la figura 5
Fig 5 Diferencia en las propiedades de los enlaces entre aacutetomos cercanos a superficies libre
14
25 Seleccioacuten del potencial interatoacutemico
En la presente investigacioacuten se estudia la influencia de defectos estructurales presentes en el
material de estudio (aluminio) El potencial EAM es el maacutes adecuado para simular el proceso de
propagacioacuten de fisuras en este tipo de materiales NC [4776ndash78] ademaacutes dada la naturaleza del aluminio y el fenoacutemeno de propagacioacuten de fisuras el potencial a utilizar es el EAM obtenido por
Mendelev et al [77] el cual ya ha sido utilizado para simulaciones asociadas a la propagacioacuten de
fisuras en bicristales de aluminio [2979] A continuacioacuten se presentan las ecuaciones analiacuteticas
del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al
Tabla 1 Funciones del potencial interatoacutemico propuesto por Mendelev et al [77]
Funcioacuten Valor Cutoffs
120593 (119903) (065196946237834 + 76046051582736 ∙ 119903 minus58187505542843 ∙ 1199032 + 10326940511805 ∙ 1199033)
15 minus 23
+ 13695567100510(32 minus 119903)4
minus44514029786506(32 minus 119903)5 +95853674731436(32 minus 119903)6
minus83744769235189(32 minus 119903)7
+29906639687889(32 minus 119903)8
23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32 23 minus 32
minus23612121457801(48 minus 119903)4
+25279092055084(48 minus 119903)5
minus 33656803584012(48 minus 119903)6
+ 094831589893263(48 minus 119903)7
minus020965407907747(48 minus 119903)8
23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48 23 minus 48
+024809459274509(65 ndash 119903)4
minus054072248340384(65 minus 119903)5
+046579408228733(65 minus 119903)6
minus018481649031556(65 ndash 119903)7
+0028257788274378(65 minus 119903)⁸
23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65 23 minus 65
120595(119903) 000019850823042883(25 minus 119903)4
+ 010046665347629(26 minus 119903)4 +010054338881951(27 minus 119903)4 +0099104582963213(28 minus 119903)4 +0090086286376778(30 minus 119903)4 +00073022698419468(34 minus 119903)4 +0014583614223199(42 minus 119903)4 minus00010327381407070(48 minus 119903)4 +00073219994475288(56 minus 119903)4 +00095726042919017(65 minus 119903)4
0 minus 25 0 minus 26 0 minus 27 0 minus 28 0 minus 30 0 minus 34 0 minus 42 0 minus 48 0 minus 560 minus 65
Φ(120588) minus 12058812057212 0 minusinfin
15
Capiacutetulo 3
Construccioacuten y ejecucioacuten de experimentos
computacionales
31 Introduccioacuten
Los sistemas atomiacutesticos deben ser construidos de tal forma que la cantidad de partiacuteculas que
conforman el sistema sean suficientes para describir correctamente el fenoacutemeno que se estaacute
estudiando En esta investigacioacuten se construyoacute un sistema para estudiar la propagacioacuten de nano-
fisuras con un nuacutemero de partiacuteculas que ha demostrado en investigaciones anteriores ser
suficiente para describir el fenoacutemeno de estudio correctamente en monocristales y bicristales
[122829] Estos sistemas contaron con ca 194000 partiacuteculas Adicionalmente para las pruebas
iniciales del caacutelculo de esfuerzos locales usando el meacutetodo de Hardy (el cual requiere un alto costo
computacional) se construyoacute otro sistema de ca 16000 partiacuteculas con dimensiones 20119886 times 20119886 times
10119886 donde el paraacutemetro de red para el aluminio es 119886 = 405 Å estas dimensiones se tomaron
considerando que Zimmerman [80] realizoacute un estudio similar donde implementoacute la misma teoriacutea
de Hardy para un material con estructura FCC y trabajoacute un sistema con dimensiones 20119886 times 20119886 times
3119886 Despueacutes de verificado los coacutedigos para estimar los esfuerzos locales en los sistemas pequentildeos
se continuoacute con el caacutelculo de los esfuerzos locales en los monocristales y bicristales con ca
195000 partiacuteculas En este capiacutetulo inicialmente se presenta la metodologiacutea para construir los
monocristales y bicristales de aluminio seguido del protocolo de simulacioacuten para las pruebas
mecaacutenicas de deformacioacuten Despueacutes se presentan los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial
acompantildeado de un anaacutelisis de las dislocaciones presentes para el sistema con ca 194000
partiacuteculas donde se logra observar que las fronteras de grano actuacutean como una barrera a la
propagacioacuten de la fisura y que una vez que la fisura llega a la frontera de grano se inicia un
comportamiento de fractura duacutectil
32 Construccioacuten de las geometriacuteas
La representacioacuten fiacutesica de los metales en escala nanomeacutetrica se hace a partir de su estructura
cristalina para el aluminio se utiliza la estructura cristalina cubica centrada en las caras (FCC por
sus siglas en ingles) En el caso de la mecaacutenica cuaacutentica se utiliza la estructura electroacutenica en los
campos de fases se utiliza una representacioacuten de las fases y en el continuo se consideran los
materiales como soacutelidos sin imperfecciones En la figura 6 se ilustra un esquema con los tamantildeos
y tiempos que se usan en cada escala para una mejor comprensioacuten
16
Fig 6 Representacioacuten fiacutesica de materiales a diferentes escalas
La representacioacuten del aluminio utilizado en la presente investigacioacuten se llevoacute a cabo a partir de la
generacioacuten de reacuteplicas de celdas FCC en las direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] para el monocristal
y el primer cristal de los bicristales de aluminio Para esto se desarrolloacute un coacutedigo en Matlabcopy en
el cual se debe definir el nuacutemero de celdas a replicar en cada direccioacuten
33 Etapas de la simulacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial
Todas las simulaciones del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada fueron
realizadas en el presente usando una velocidad de deformacioacuten constante de 1 times 10minus4ps y un paso
de tiempo de 0001 ps bajo el siguiente protocolo
Etapa 1 Equilibrio Inicial En esta etapa se desarrolloacute un algoritmo para minimizar la energiacutea del
sistema usando el meacutetodo del gradiente conjugado con las siguientes condiciones tolerancia
miacutenima de 1 times 10minus15 y maacuteximo nuacutemero de iteraciones de 10000 En la primera parte de este
algoritmo se otorgan valores de velocidad a los aacutetomos para generar una temperatura de 300 K y
se re-escalan estas en 10000 pasos Posteriormente se utiliza el ensamble isoteacutermico-isobaacuterico
NPT para equilibrar el sistema a 300 K y una presioacuten de 101 bares en 20000 pasos de tiempo
Etapa 2 Proceso de deformacioacuten El sistema se deforma 001 de su longitud inicial a una
velocidad constante de deformacioacuten usando 10000 pasos de tiempo
Etapa 3 Proceso de equilibrio En esta etapa el sistema fue equilibrado a la temperatura y presioacuten
seleccionados mediante el ensamble NPT en 20000 pasos de tiempo Adicionalmente la longitud
del sistema se mantuvo fija en la direccioacuten de deformacioacuten del sistema
Etapa 4 Las etapas 2 y 3 se repiten hasta la fractura final de los cristales Las posiciones y
velocidades de los aacutetomos en las etapas de equilibrio y deformacioacuten fueron actualizadas en cada
17
paso de tiempo implementando un termostato de tipo Noseacute-Hoover [6869] El coacutedigo para las
simulaciones del ensayo fue desarrollado y ejecutado en LAMMPS [81]
34 Modelacioacuten preliminar para validar el caacutelculo de esfuerzos en el
monocristal
Debido al alto costo computacional requerido para calcular los esfuerzos locales de un sistema de
partiacuteculas (procedimiento detallado en el capiacutetulo 4) inicialmente se ensayaron sistemas con pocas
partiacuteculas para validar que el esfuerzo local calculado era correcto El sistema seleccionado para
realizar los ensayos de tensioacuten uniaxial fue un monocristal simple con ca 16000 partiacuteculas
considerando que Zimmerman [80] utilizoacute un sistema con menos partiacuteculas (ca 5000 partiacuteculas)
para estimar la integral 119869 usando el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales en un material FCC
Se construyeron en total siete especiacutemenes uno de ellos sin fisura inicial y los otros seis con una
fisura inicial de 1198970 = 4119886 5119886 6119886 7119886 8119886 9119886 unidades de celda Donde el paraacutemetro de red para el
aluminio es 119886 = 405 Å Con el espeacutecimen sin defectos iniciales (sin fisura inicial) se verificoacute que
el esfuerzo uacuteltimo de tensioacuten era acorde al orden de magnitud reportado por Tang y Yang [82] para
una velocidad de deformacioacuten de 1 times 10minus4ps Para el caso del monocristal sin defecto se consideraron condiciones de frontera perioacutedicas en todas las direcciones En el caso de los
especiacutemenes con fisura inicial se implementaron condiciones de superficie libre en la direccioacuten 119909
y condiciones de frontera perioacutedicas en las direcciones 119910 119911 Las dimensiones del sistema de
partiacuteculas fueron 119871119909 = 20119886 119871119910 = 10119886 y 119871119911 = 20119886 las cuales se presentan en la figura 7 junto con
el monocristal una vez pasado la etapa de equilibrio
Fig 7 (a) Monocristal fisurado despueacutes del equilibrio (b) esquema con dimensiones de nano-fisura y (c)
sistema atomiacutestico
35 Modelacioacuten del monocristal y bicristal
Los bicristales se diferencian de los monocristales por tener una frontera de grano entre dos
cristales con orientacioacuten diferente Es decir el bicristal estaacute conformado por dos granos o cristales
El primer cristal se construye de igual forma que un monocristal (reacuteplicas de la celda FCC en las
direcciones [1 0 0][0 1 0][0 0 1]) y el segundo cristal se construye a partir de una matriz de rotacioacuten
para generar los vectores de posicioacuten de las partiacuteculas que conforman el segundo grano en la
orientacioacuten deseada Existen varios tipos de fronteras de grano y son clasificados de acuerdo a su
orientacioacuten los dos comuacutenmente estudiados son frontera de grano inclinada la cual se puede
18
definir como 120579 lang1 0 0rang y frontera de grano rotada que se puede definir como 120577 lang0 1 0rang En la figura 8 se presenta un esquema para comprender mejor el concepto de la orientacioacuten en el segundo grano
acorde al tipo de frontera de grano presente
Fig 8 (a) Inclinacioacuten del arreglo del grano 2 para GB inclinada y (b) rotacioacuten del grano 2 en GB rotada
Igualmente puede presentarse una frontera de grano tipo mixta la cual se presenta cuando se
variacutean los aacutengulos 120579 120577 del grano 2 respecto al grano 1 para el mismo sistema atomiacutestico El caso
de estudio en la presente investigacioacuten consiste en un bicristal con aacutengulo de inclinacioacuten 120579 = 30deg fisura inicial 1198970 y dimensiones de caja de simulacioacuten en funcioacuten del paraacutemetro de red tal como se presenta en la figura 9
(a) (b)
Fig 9 (a) Configuracioacuten del bicristal y (b) dimensiones de la fisura para 1198970 = 15119886
Para el sistema del monocristal con ca 195000 partiacuteculas se implementaron las mismas
dimensiones [1 0 0][0 1 0][0 0 1] es decir no se rotaron las posiciones de las partiacuteculas del sistema
Para visualizar las dislocaciones y el paraacutemetro de centro-simetriacutea el cual es definido en [83] se
implementoacute el anaacutelisis de dislocaciones DXA [84] en OVITO [85] El paraacutemetro de centro-
simetriacutea es importante debido a que puede ser usado para evidenciar cuando un aacutetomo hace parte
de una red perfecta de un defecto local o de una superficie En la figura 10 se presenta un bicristal
sin imperfecciones y con la GB definida despueacutes de la etapa de equilibrio
19
Fig 10 Bicristal fisurado en equilibrio mostrando la frontera de grano
Las simulaciones del ensayo de tensioacuten con deformacioacuten controlada ejecutadas en LAMMPS se
corrieron en estaciones de trabajo de 40 procesadores 80 procesadores y en una suacuteper computadora
con disponibilidad de 600 procesadores Para el caacutelculo del volumen de cada aacutetomo se
implementaron las teselaciones de Voronoi propuestas originalmente por Georgy Voronoi [86] e
implementadas en el algoritmo voro++ [87]
36 Resultados de la modelacioacuten del ensayo de tensioacuten uniaxial en monocristal
y bicristal de aluminio
Las curvas de esfuerzo-deformacioacuten para los diferentes ensayos de tensioacuten se construyeron con
los resultados de las simulaciones de DM y en los picos de la curva se realizoacute un anaacutelisis de
dislocaciones usando DXA en OVITO Junto con la curva de los bicristales se presenta la curva
del monocristal con el mismo tamantildeo de fisura inicial 1198970 A continuacioacuten se presentan los casos
para los monocristales y los bicristales La liacutenea roja es el comportamiento del monocristal (SC) y
la liacutenea azul el del bicristal (BC)
Fig 11 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 5119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
20
Para el caso del monocristal se observa un comportamiento de fractura fraacutegil debido a la
propagacioacuten inestable de la fisura Sin embargo en el caso del bicristal se puede observar que 120590119911119911 cae varias veces En cada paso de deformacioacuten se le realizoacute un DXA para observar que ocurriacutea en
la caiacuteda del esfuerzo la primera caiacuteda ocurre en 120576119911119911 = 0065 al realizar el DXA se observa la aparicioacuten de dislocaciones (que coinciden con la orientacioacuten de los planos de deslizamiento y
pueden asociarse con la deformacioacuten plaacutestica) en el segundo cristal Para 120576119911119911 = 0083 se observa
la interaccioacuten entre dislocaciones generadas desde la punta de la fisura y la la frontera de grano
En 120576119911119911 = 0108 se observa la coalescencia de varias vacancias pequentildeas en los dos cristales
(proceso tiacutepico de la fractura duacutectil) y finalmente en 120576119911119911 = 02 se observa que la coalescencia de vacancias ha formado defectos de mayor tamantildeo en los dos granos del bicristal (confirmando el
comportamiento duacutectil del material para este tamantildeo de 1198970)
Fig 12 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para el bicristal con 1198970 = 10119886 parte superior comportamiento del monocristal
y en la derecha comportamiento del bicristal con el anaacutelisis de dislocaciones DXA implementado en
OVITO
Para el tamantildeo de fisura inicial 1198970 = 10119886 se observa fractura fraacutegil en el monocristal al igual que a lo largo del grano 1 del bicristal Se considera comportamiento fraacutegil en el primer rasgamiento
(propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1 y posterior detencioacuten de la propagacioacuten inestable
al alcanzar la frontera de grano) debido a la ausencia de dislocaciones en los dos cristales antes y
justo despueacutes de detenerse la propagacioacuten de la fisura al alcanzar la frontera de grano tal como se
observa para 120576119911119911 = 0066 Para producir la fractura del grano 2 se debioacute continuar la modelacioacuten con el respectivo aumento progresivo de la deformacioacuten en la direccioacuten z para los siguientes
valores de deformacioacuten se observa el tiacutepico comportamiento de fractura duacutectil es decir nucleacioacuten
de vacancias coalescencia y crecimiento de vacancias Para 1198970 = 15119886 20119886 el comportamiento es
similar al observado para 1198970 = 10119886 tal como se observa en las figuras 13 y 14
21
Fig 13 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 15119886 Parte superior comportamiento del monocristal y
la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
Fig 14 Curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 para bicristal con 1198970 = 20119886 Parte superior presenta comportamiento del
monocristal y la derecha bicristal con DXA implementado en OVITO
22
37 Discusioacuten
Las curvas esfuerzo-deformacioacuten muestran claramente como las caiacutedas en los esfuerzos se deben
a la liberacioacuten de energiacutea para crear una nueva superficie (monocristal o primer rasgamiento) o
energiacutea de deformacioacuten plaacutestica (en el bicristal) debido al movimiento de los planos de
deslizamientos estos defectos se representan como dislocaciones mediante el anaacutelisis DXA Para
el caso de los monocristales fisurados las fisuras se propagan de forma inestable sin que exista
oportunidad de que se observen dislocaciones es decir sin presentacioacuten de deformacioacuten plaacutestica
Para el caso de 1198970 = 5119886 se observa que antes de la propagacioacuten de la fisura a traveacutes del grano 1
aparecen dislocaciones generadas desde la punta de la fisura hacia la frontera de grano y en
viceversa es decir desde la frontera de grano hacia la punta de la fisura Adicionalmente se
encuentra que el esfuerzo global maacuteximo disminuye a medida que 1198970 es mayor A su vez se observa
que a mayor 1198970 aparecen menos dislocaciones en el grano 2 a medida que se deforma el material
Los ensayos en este capiacutetulo se llevaron hasta 120576119911119911 = 20 con la finalidad de observar el
comportamiento mecaacutenico antes y despueacutes del primer rasgamiento En el capiacutetulo 5 se presentan
las simulaciones completas hasta la fractura final del bicristal
38 Conclusiones
De los resultados del ensayo de tensioacuten uniaxial con deformacioacuten controlada implementando
simulaciones DM se encontraron los siguientes hallazgos
Las fronteras de grano son zonas de nucleacioacuten de defectos Estos defectos interactuacutean con las dislocaciones provenientes de la punta de la fisura produciendo una barrera estructural
para la propagacioacuten de la misma Es posible que la fisura se detiene en la frontera de grano
debido al cambio en la orientacioacuten de los planos de deslizamiento en el segundo cristal
Independiente del tamantildeo inicial de la fisura si no hay frontera de grano la propagacioacuten es inestable Se evidencia que la ductilidad experimentada por el material fisurado proviene
de la interaccioacuten de las dislocaciones generadas desde los diferentes defectos en la
estructura (fronteras de grano y punta de la fisura)
En ausencia de una frontera de grano la disminucioacuten del esfuerzo promedio maacuteximo se debe a la disminucioacuten del aacuterea efectiva de la probeta
23
Capiacutetulo 4
Tensor de esfuerzos local
41 Introduccioacuten
En las uacuteltimas deacutecadas las simulaciones atomiacutesticas han ayudado a entender el comportamiento
de materiales nano-cristalinos [17222347707888ndash90] Varias investigaciones han logrado
calcular medidas del continuo con los resultados de simulaciones de DM Tal es el caso de
Zimmerman et al [91] que implementaron el meacutetodo propuesto por Hardy [57] el cual propone
cuantificar medidas de la mecaacutenica del medio continuo (tensor de esfuerzos de Cauchy) a partir de
los resultados de DM usando funciones de localizacioacuten La propuesta de Hardy acaboacute con los
siguientes tres inconvenientes que existiacutean hasta ese momento (I) La validez de las leyes de
conservacioacuten para el continuo dependiacutean de un ensamble en particular (II) la formula obtenida
para la parte configuracional del tensor de esfuerzo contiene una suma infinita que debe truncarse
(III) la dificultad en la evaluacioacuten de expresiones que contuvieran la funcioacuten delta de Dirac Batra
y Pacheco tambieacuten plantearon una funcioacuten de localizacioacuten para determinar el tensor de esfuerzos
de Cauchy para un nano-cristal de Au con FCC [17] sin embargo la fuerza interatoacutemica se estima
a partir del gradiente del potencial interatoacutemico el cual cambia de acuerdo al tipo de material y
fenoacutemeno de estudio Para el caso del EAM se deben hacer caacutelculos con los vecinos para estimar
las fuerzas interatoacutemicas y las componentes del tensor [57] lo que hace que sea alto el costo
computacional sin embargo estas medidas del continuo son relevantes en esta escala dado que
con este tensor de esfuerzos locales se pueden verificar teoriacuteas de escala convencional tal como
lo hizo Zimmerman et al para estimar la integral 119869 en un monocristal de Al [80] En el presente
capiacutetulo se estima el campo de esfuerzo para un monocristal de Al usando el meacutetodo de Hardy
para el potencial EAM de Mendelev [77] Inicialmente se trabaja con un sistema de ca 16000
aacutetomos para poder validar los coacutedigos implementados dado el alto costo computacional y una vez
verificado los caacutelculos del tensor de Cauchy local se procede a implementar los coacutedigos en los
sistemas de ca 195000 aacutetomos La diferencia entre el esfuerzo global y el esfuerzo promedio de
los esfuerzos locales del sistema fue menor al 2 para los sistemas con ca 195000 aacutetomos
42 Campo de esfuerzos local para nanocristales de aluminio
Usualmente el tensor de esfuerzos de Cauchy ha sido considerado como la parte del tensor de
esfuerzos de Virial que corresponde solamente a la energiacutea potencial del sistema Zimmerman et
al [92] demostraron que al usar el meacutetodo de Hardy para estimar los esfuerzos locales la
contribucioacuten de la energiacutea cineacutetica solo es significativa para sistemas sujetos a una temperatura
mayor a un-octavo de la temperatura de fusioacuten por lo cual queda la siguiente expresioacuten para el
tensor de Cauchy
120590(119903) = minus1
2119881sum 119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895
(24)
24
El meacutetodo propuesto por Hardy estima las contribuciones de las fuerzas entre aacutetomos al tensor
local de Cauchy mediante una funcioacuten de longitud de enlace entre los aacutetomos La funcioacuten de enlace
119861 permite definir coeficientes apropiados para la evaluacioacuten de un polinomio cuacutebico que hace maacutes eficiente el caacutelculo de la fuerza o la energiacutea del sistema atomiacutestico Al agregar la funcioacuten de enlace
para hacer el caacutelculo de tensor de esfuerzos locales de Cauchy 120590119894119895prime queda la ecuacioacuten propuesta por
Hardy [57]
120590119894119895prime = minus
1
2sum119865120572120573
119894
120572120573
119903120572120573119895119861(119903120572 119903120573 119877) (25)
119877 denota el punto material donde se determinaraacute el esfuerzo y 119861 tiene la forma propuesta por
Hardy [57]
119861(119903120572 119903120573 119877) = int 120569(120582119903120572120573
1
0
+ 119903120573 minus 119877)119889120582 (26)
Esta ecuacioacuten representa la fraccioacuten del enlace entre los aacutetomos 120572 y 120573 contenida en un volumen
representativo de un punto material (ver figura 15) 120569 denota la funcioacuten de localizacioacuten o kernel
que se define en la ecuacioacuten 27 y 120582 es la variable de integracioacuten de Hardy Las cantidades de la
mecaacutenica del medio continuo que se calculan para el punto material 119877 dependen solamente de las propiedades de los aacutetomos dentro del volumen representativo El volumen estaacute definido por un
radio de dos veces el paraacutemetro de red 119886 = 405 Å en el caso del aluminio Para entender el
volumen representativo se presenta la siguiente figura en la cual se presentan los aacutetomos a tener
en cuenta por su contribucioacuten 119877 es la posicioacuten del aacutetomo al que se va a calcular la propiedad los
aacutetomos 120572 son los aacutetomos de la lista de vecinos del aacutetomo con posiciones 119877 y los aacutetomos 120573 son los
que conforman la lista de vecinos de los aacutetomos 120572
Fig 15 Esquema del volumen representativo para determinar propiedades locales
Hardy propone un procedimiento de suavizado el cual considera que las partiacuteculas de un sistema
poseen una distancia espacial denominada longitud de suavizado en la cual se puede implementar
una funcioacuten kernel para suavizar las propiedades de las partiacuteculas Por lo tanto para cualquier
punto material 119877 del sistema se puede obtener una propiedad al sumar todas las contribuciones
relevantes de las partiacuteculas 120572 120573 presentes en el rango de la funcioacuten kernel Para cada contribucioacuten
25
de las partiacuteculas 120572 120573 sobre el punto material 119877 debe ponderarse la distancia entre 119877 y la partiacutecula
120572 o 120573 (esto lo realiza la funcioacuten kernel) En la presente investigacioacuten debido a que el material
tiene estructura cristalina FCC se implementoacute la funcioacuten kernel propuesta por Batra y Pacheco
[17]
120569(119877) =1
120587ℎ3
(1 minus
3
21199042 +
3
41199043) 119904 le 1
1
4(2 minus 119904)3 1 lt 119904 le 2
0 otros valores de 119904
119904 =|120582119903120572120573 + 119903120573 minus 119877|
ℎ
(27)
aquiacute ℎ es la longitud de suavizado que determina el tamantildeo del soporte compacto de la funcioacuten de
localizacioacuten La longitud de suavizado de la funcioacuten de localizacioacuten es 2119886 Para evaluar la integral de la funcioacuten de enlace se utilizoacute la cuadratura de Gauss de 5-puntos [17] Tal como se mencionoacute
anteriormente para calcular el tensor de esfuerzos locales se necesita el gradiente del potencial
interatoacutemico Para el caso del potencial EAM el gradiente es de la siguiente forma
119865120572120573119894 = minusnablari 119880 = minusnablari 119880120572
= minussum [120597Φ120572(120588120572)
120597120588120572
120597120595120573(119903120572120573)
120597119903120572120573+120597Φ120573(120588120573)
120597120588120573
120597120595120572(119903120572120573)
120597119903120572120573120573ne120572
+120597120593120572120573(119903120572120573)
120597119903120572120573] (119903120572119894 minus 119903120573
119894
119903120572120573)
(28)
Las funciones analiacuteticas de 120593120595 Φ se tomaron del trabajo de Mendelev et al [77] A partir de las ecuaciones analiacuteticas del potencial de Mendelev se calculoacute el gradiente del potencial entre
partiacuteculas Debido al costo computacional se desarrolloacute un coacutedigo paralelizado en Fortran 90
usando OpenMP
43 Verificacioacuten de los esfuerzos locales en monocristal
Para verificar los resultados del campo de esfuerzos locales estimado usando las proyecciones de
Hardy se calculoacute el promedio de los esfuerzos calculados de todas las partiacuteculas del sistema a una
deformacioacuten 120576119911119911 = 85 y se comparoacute con el esfuerzo global obtenido de las simulaciones de DM
(esfuerzo de Virial) La figura 16 presenta los esfuerzos promedios desviacioacuten estaacutendar y esfuerzo
maacuteximo calculado con las funciones de enlace para diferentes tamantildeos iniciales de fisura
26
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886 1198970 = 7119886
1198970 = 8119886 1198970 = 9119886
Fig 16 Anaacutelisis del comportamiento de los esfuerzos locales en el monocristal
La tabla 1 presenta los valores estimados con los resultados de DM (120590119911119911 DM) y los promedios de los calculados con el meacutetodo de Hardy (120590 prime119911119911) junto con la diferencia entre estos valores a una
deformacioacuten unitaria de 85
27
Tabla 2 Comparacioacuten entre 120590 prime119911119911 y 120590119911119911 DM en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
120590119911119911 DM
120590 prime119911119911 Meacutetodo de
Hardy
Diferencia
porcentual ()
4119886 293 282 375
5119886 279 266 466
6119886 27 258 444
7119886 245 218 1102
8119886 186 168 967
9119886 169 152 1005
Al revisar la diferencia porcentual se observa que todos los valores estaacuten por debajo 111 lo cual
es aceptable considerando el nuacutemero de caacutelculos que se deben hacer para poder estimar los
esfuerzos locales de un sistema a pesar de que se trabajoacute con doble precisioacuten Una vez verificado
que el procedimiento es aceptable se investigoacute la influencia del tamantildeo de la fisura en el esfuerzo
ultimo del monocristal La tabla 2 presenta la reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo tomando
como referencia el 119878119880 = 618 GPa de un monocristal de aluminio sin defecto
Tabla 3 Reduccioacuten del esfuerzo global maacuteximo en monocristal con ca 16000 aacutetomos
1198970
Esfuerzo
global maacuteximo
DM
reduccioacuten
4119886 314 4919
5119886 297 5194
6119886 289 5324
7119886 251 5939
8119886 236 6181
9119886 217 6489
Como se puede observar en la tabla 3 la inclusioacuten de una fisura en el monocristal sin defecto
reduce de golpe el esfuerzo uacuteltimo a menos del 49 de su resistencia sin defectos Con la finalidad
de observar las variaciones en el campo de esfuerzos locales 120590119911119911prime para los monocristales con
diferentes tamantildeos de fisura inicial se graficaron los esfuerzos para cada aacutetomo usando OVITO a
una 120576119911119911 = 85 En la figura 17 se puede observar la distribucioacuten de los esfuerzos locales para los
diferentes tamantildeos de fisura usando las funciones de Hardy
28
1198970 = 4119886
1198970 = 5119886
1198970 = 6119886
1198970 = 7119886
1198970 = 8119886
1198970 = 9119886
Fig 17 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en monocristales con diferentes 1198970
Con la aproximacioacuten estimada de los esfuerzos locales se puede apreciar como la regioacuten con
valores de esfuerzos iguales a cero se encuentra en la misma regioacuten planteada por Griffith al usar
el anaacutelisis de esfuerzo de Inglis [93] en su balance de energiacutea para estimar el esfuerzo de falla
44 Resultados de esfuerzos locales en monocristal y bicristal
Para el sistema de ca 195000 aacutetomos se observoacute una diferencia porcentual entre el esfuerzo Virial
y el promedio de los locales menor al 2 Esto significa que mientras maacutes aacutetomos contenga el
sistema mejor seraacute la aproximacioacuten sin embargo la mayor limitante es el costo computacional
A continuacioacuten se presentan los campos de esfuerzos locales 120590119911119911prime para el monocristal y bicristal
con 1198970 = 10119886
29
Fig 18 Campo de esfuerzos 120590119911119911prime en la izquierda para el monocristal y en la derecha para el bicristal de
aluminio
45 Discusioacuten
El campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura para 1198970 lt 7119886 presentoacute esfuerzos maacuteximos mayores en aproximadamente 10 lo cual denota que hay mayor energiacutea en la punta de la fisura
para los tamantildeos de fisuras maacutes pequentildeos (1198970 lt 7119886) esto se podriacutea relacionar con lo observado en
el capiacutetulo 3 en el cual para un tamantildeo de fisura pequentildeo (1198970 = 5119886) se generan dislocaciones
desde la punta de la fisura (ver figura 11) y las dislocaciones son generadas desde los puntos con
mayor energiacutea en el sistema
46 Conclusiones
A partir de los campos de esfuerzos calculados para el monocristal se encontraron los siguientes
hallazgos
Para 1198970 = 4119886 el esfuerzo maacuteximo en la punta de la fisura aumenta en casi un 17 del
calculado para 1198970 = 9119886
La energiacutea de deformacioacuten liberada estaacute relacionada con el tamantildeo de la fisura inicial y el volumen del material tal como se puede observar en la figura 17 Donde se considera que
el volumen con energiacutea de deformacioacuten liberada es donde los esfuerzos son cero
El promedio de los esfuerzos locales calculados usando el meacutetodo de Hardy es acorde al esfuerzo global del sistema La diferencia fue menor al 2 para sistemas con ca 195000
partiacuteculas y menor a 12 para sistemas con ca 16000 partiacuteculas
La inclusioacuten de una fisura inicial reduce el esfuerzo maacuteximo a tensioacuten del espeacutecimen en
menos de un 49 como puede observarse en la tabla 3
30
Capiacutetulo 5
Mecaacutenica de la fractura
51 Introduccioacuten
La mecaacutenica de la fractura estudia el comportamiento mecaacutenico de los materiales con fisuras o
defectos internos y establece la tenacidad a la fractura como la propiedad con la cual se puede
cuantificar la resistencia que tiene un material a fallar por propagacioacuten inestable de fisuras [5153]
La dinaacutemica de defectos estructurales tales como dislocaciones y fronteras de grano en materiales
NC determina sus propiedades mecaacutenicas [1-3] En general estos defectos actuacutean como barreras
oponieacutendose a la propagacioacuten de fisuras tal como se observoacute en el capiacutetulo 3 Actualmente se han
realizado muacuteltiples investigaciones usando la teacutecnica de DM para estimar paraacutemetros de mecaacutenica
de la fractura para diferentes tipos de nano-materiales [48498994ndash100] La mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica es una de las teoriacuteas maacutes implementadas para estimar la falla fraacutegil de los
componentes debido a la facilidad y precisioacuten de sus caacutelculos sin embargo cuando el
comportamiento del material es muy duacutectil esta teoriacutea pierde validez por lo que es necesario el
uso de la mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica Dos de los meacutetodos maacutes usados dentro de la
mecaacutenica de la fractura elasto-plaacutestica son el Desplazamiento de la apertura de la punta de la
fisura (CTOD por sus siglas en ingleacutes) y la integral 119869 La aplicabilidad de estos dos meacutetodos a
nivel atomiacutestico han sido estudiada en las uacuteltimas deacutecadas basados en simulaciones de DM En el
presente trabajo con los resultados de las simulaciones de ensayos mecaacutenicos usando el potencial
EAM de Mendelev [77] (capitulo 3) y los tensores de esfuerzo de Cauchy locales para los
monocristales y bicristales de aluminio (capitulo 4) se calcularon los paraacutemetros de la mecaacutenica
de la fractura En este capiacutetulo se presenta el procedimiento para calcular el intensificador de
esfuerzos 119870119868 la velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten ERR el desplazamiento de la
apertura de la punta de la fisura CTOD y la integral 119869 a partir de los resultados de las simulaciones de las pruebas mecaacutenicas usando DM Adicionalmente se verificaron las consideraciones de Rice
para estimar la integral 119869 usando los esfuerzos locales obtenidos en el capiacutetulo 4 y los gradientes
de deformacioacuten calculados con OVITO
52 Mecaacutenica de la fractura
La propiedad mecaacutenica maacutes importante en elementos fisurados es la tenacidad a la fractura Esta
propiedad mecaacutenica puede ser estimada en materiales predominantemente lineales elaacutesticos a
partir del intensificador de esfuerzos 119870119862 o en materiales elasto-plasticos por medio de la integral
119869119862 o del Desplazamiento de la apertura de la punta de la fisura CTODc Griffith planteoacute el primer
criterio de ruptura en un material predominantemente lineal elaacutestico si 119870119868 gt 119870119862 la fisura se
propaga Griffith llegoacute a esta conclusioacuten a traveacutes de un balance energeacutetico y aplicando parte del
trabajo de Inglis [93] Mientras que Rice planteoacute la estrategia para obtener otro paraacutemetro para la
tenacidad para materiales no lineales 119869119862 [56] A su vez Wells tambieacuten propuso un paraacutemetro basado en la CTOD [54] para medir la tenacidad en materiales duacutectiles donde no es posible aplicar
31
la LEFM Adicionalmente Irwing propuso una modificacioacuten para poder realizar el caacutelculo de las
zonas plaacutesticas [5355] Estas teoriacuteas han funcionado bien para estimar propiedades macroscoacutepicas
en materiales con tamantildeo de grano convencional En el caso de los nanomateriales se ha
evidenciado que existen nuevos efectos que deben ser considerados como es el caso de las
fronteras de grano cuya fraccioacuten volumeacutetrica genera una energiacutea considerable que afecta el valor
de las propiedades estimadas En el presente capitulo se estiman el intensificador de esfuerzos 119870119868 la integral 119869 y la CTOD a partir de simulaciones en modo de carga I (ver figura 19)
Adicionalmente se establece una metodologiacutea para obtener la tenacidad 119870119862 y 119869119862
Fig 19 Modo de carga I
53 Estimacioacuten de 119922119920
119870119868 es conocido como uno de los paraacutemetros de la LEFM que permite estimar el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la fisura en materiales predominantemente elaacutesticos En la presente
investigacioacuten con el fin de tener en cuenta un comportamiento elasto-plaacutestico el 119870119868 se estimoacute a
partir de el esfuerzo global maacuteximo 120590119900 la CTOD (paraacutemetro elasto-plaacutestico) el coeficiente de
Poisson 120584 y el moacutedulo de elasticidad 119864 bajo consideraciones de deformacioacuten plana tal como aparece en [53]
119870119868 = radic120587
4∙ 119862119879119874119863 ∙
119864
1 minus 1205842∙ 120590119900 (29)
Las propiedades 119864 y 120584 se obtienen de los resultados de una simulacioacuten de un ensayo de tensioacuten uniaxial para un monocristal de aluminio sin defecto (ver figura 20) implementando el mismo
procedimiento de desplazamiento controlado con escalones de equilibrio tal como se presentoacute en
el capiacutetulo 3 en la seccioacuten 33 La curva esfuerzo-deformacioacuten construida a partir del esfuerzo de
Virial se presenta en la figura 20
32
Fig 20 120590 vs 120576119911119911 para un monocristal sin defectos
Las constantes que se obtuvieron fueron 120584 = 036 y 119864 = 6058 GPa Este valor de moacutedulo de
elasticidad se encontroacute acorde a los resultados experimentales reportados por Haque y Saif [101]
Con estos resultados primero se estimoacute el 119870119868 necesario para propagar la fisura a traveacutes del primer
cristal (a este punto se le llama primer rasgamiento) y luego el 119870119868 necesario para propagar la fisura
despueacutes del primer rasgamiento a traveacutes del segundo grano produciendo la rotura final del
material Adicionalmente se estimaron los valores para el monocristal de aluminio con la
finalidad de comparar resultados obtenidos en la literatura El 120590119900 se tomoacute de las curvas esfuerzo-
deformacioacuten del ensayo de tensioacuten presentadas en la figura 21 el CTOD se estimoacute de la abertura
de la fisura justo antes de que se propagaraacute este procedimiento se explica con mayor detalle en la
seccioacuten 543 En la tabla 4 se presentan los valores estimados para el intensificador de esfuerzos
para diferentes tamantildeos de fisura inicial
Tabla 4 119870119868 para monocristal primer rasgamiento en el bicristal y falla final en el bicristal
1198970
119870119868 (MParadicm)
Falla monocristal
119870119868 (MParadicm)
Primer rasgamiento
119870119868 (MParadicm)
Falla bicristal
5119886 047 044
098
10119886 044 043
0933
15119886 042 041
0931
20119886 040 042
0869
33
Fig 21 120590 vs 120576119911119911 para monocristal y bicristal
54 Estimaciones de 119921
541 Velocidad de liberacioacuten de energiacutea de deformacioacuten
La estimacioacuten de la velocidad de liberacioacuten de energiacutea estaacute definida como la energiacutea invertida en
la generacioacuten de una nueva fisura y su estimacioacuten se hace conforme a la formula [5389]
119869-ERR= minus119889Π
119889119905Δ119897= minus
Δ(119880minus119882)
119889119905Δ119897= minus
(119880119891minusU0)minus(119882119891minusW0)
119905Δ119897 (30)
donde Π es la energiacutea potencial 119880 es la energiacutea de deformacioacuten almacenada en el soacutelido 119882 es el
trabajo externo aplicado y (119905Δ119897) representa el aacuterea de la fisura 119905 es el espesor del sistema Δ119897 es la
longitud de la nueva fisura creada Para estimar 119869 maacutexima en el primer rasgamiento 119882119891 119880119891 Δ119897 y
119905 fueron obtenidas justo despueacutes que 1198970 comenzoacute a propagarse y para el valor de 119869 maacutexima
alcanzada durante toda la simulacioacuten 119882119891 119880119891 Δ119897 y 119905 fueron estimadas en la fractura final tal como
se presenta en la figura 21 para el caso especiacutefico del bicristal con 1198970 = 20119886
Fig 22 119882 y 119880 durante el ensayo de tensioacuten para el bicristal con 1198970 = 20119886
La fractura final se considera cuando 119880 o 120590119911119911 desciende hasta un valor constante cercano a cero
(ver figuras 21 y 22) Es importante tener en cuenta que Buehler et al [89] usoacute esta misma
metodologiacutea pero despreciando la diferencia en la energiacutea de deformacioacuten La energiacutea de
deformacioacuten en la presente investigacioacuten se calculoacute como la diferencia entre la energiacutea potencial
34
antes y despueacutes del proceso de deformacioacuten del sistema El trabajo externo requerido para alcanzar
una deformacioacuten unitaria especifica 120576119911119911prime se calcula como se propone en [51] para un ensayo de
tensioacuten uniaxial En este sentido 119882 se calculoacute numeacutericamente como la integral de la curva
esfuerzo global del sistema vs deformacioacuten y se multiplicoacute posteriormente por el volumen del
sistema
119882 = 119881int 120590119911119911119889120576119911119911
120576119911119911prime
0
(31)
542 Integral 119921 de contorno
Rice propuso la siguiente expresioacuten [5356] para calcular 119869 alrededor de un camino cualquiera que
envuelve la punta de la fisura (Γ)
119869 = int (119908119889119911 minus 119879119894 sdot120597119906119894120597119909
119889119904)Γ
(32)
donde Γ es seleccionado y dividido en cinco segmentos (Γ119901 donde 119901 = 12 hellip 5) tal como se
muestra en la figura 23
Fig 23 Camino seleccionado para evaluar la integral 119869 de contorno
119906119894 en la ecuacioacuten 32 denota las componentes del vector de desplazamientos d119904 es el incremento
de longitud a lo largo de Γ 119908 es la densidad de energiacutea de deformacioacuten y 119879119894 hace referencia a las
componentes del vector de traccioacuten [53] el cual estaacute definido para cada camino como
119879119894
Γ119901= 120590
119894119895
Γ119901119899119895 (33)
donde 120590119894119895
Γ119901 es el tensor de esfuerzos a lo largo de Γ119901 119894 119895 son las 119909 119910 119911 componentes y 119899119895 con las
componentes del vector unitario normal al camino Γ119901 Finalmente la densidad de energiacutea de
deformacioacuten estaacute dada por [53]
119908Γ119901 = int 120590119894119895
Γ119901
120576119894119895
0
119889120576119894119895 (34)
donde 120576119894119895 es el tensor de deformaciones a lo largo del camino Γ119901 En este punto se necesita conocer
120590119894119895
Γ119901 para poder determinar 119908Γ119901 Implementando el meacutetodo de Hardy para calcular el tensor de
esfuerzos local 120590119894119895prime (explicado en el capiacutetulo anterior) se calcularon el tensor de esfuerzos 120590
119894119895
Γ119901
35
como el promedio de los 120590119894119895prime a lo largo de cada Γ119901 Los resultados de estos caacutelculos permitieron
confirmar las consideraciones de Rice propuestas en [56] y las cuales se enumeran a continuacioacuten
1 En las porciones del camino a lo largo de las superficies de la fisura 119879119894 = 0 y d119911 = 0
por lo tanto acorde a la figura 119869 = 1198691 + 1198692 + 1198693 + 1198694 + 1198695
2 En los caminos uno (Γ1) y cinco (Γ5) se calculoacute 120590119894119895Γ15 y se verifico que 120590119894119895
Γ15 = 0 por
lo cual 119908 = 0 y 119879119894 = 0 entonces queda 1198691 = 1198695 = 0
3 En los caminos dos (Γ2) y cuatro (Γ4) claramente d119911 = 0 En adicioacuten 119879119894Γ24 =
(0 0 120590119894119895Γ24) (120597119906119894120597119909)
Γ24 = (120597119906119909120597119909 0 0)Γ24 donde las componentes del gradiente de
deformacioacuten (119863119894119895) fueron estimadas mediante OVITO luego 119879119894 ∙ 120597119906119894120597119909 = 0 y 1198692 =
1198694 = 0
4 Debido a las condiciones de superficie libre a lo largo del camino tres 119879119894Γ3 = 0
En la ecuacioacuten 34 solo la componente 120590119911119911Γ3 es considerada puesto que las magnitudes de las
componentes restantes en el tensor 120590119894119895Γ3 son despreciables Por lo tanto la integral de contorno para
el camino seleccionado queda dada por 119869 = 1198693
119869 = int 119908119889119911 = int 119908Γ3119889119911120585
0
= 119908Γ3120585 = (int 120590119894119895Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 = (int 120590119911119911Γ3
120576119894119895
0
119889120576119894119895) 120585 Γ3
(35)
donde 120585 es la altura del sistema (ver figura 23) Con la finalidad de verificar que 120590119911119911Γ3 es constante
y tiende a tener la misma magnitud que el esfuerzo global del sistema 120590119911119911 a una 120576119911119911 especiacutefica se
realizoacute el caacutelculo de 120590119911119911Γ3 y se comproboacute la afirmacioacuten anterior tal como se presenta en la siguiente
figura para el caso del monocristal y el bicristal con 1198970 = 10119886
Fig 24 1205901199111199111205483 para (a) monocristal a 120576119911119911 = 69 (b) bicristal a 120576119911119911 = 66
36
La diferencia entre 120590119911119911Γ3 y 120590119911119911 fue menor a 5 Por lo tanto 119908Γ3 para el primer rasgamiento y para
la fractura final se calculoacute a partir de la integral numeacuterica de la curva 120590119911119911 vs 120576119911119911 del ensayo de tensioacuten uniaxial Es decir
119869-CI = 120585 int 1205901199111199111205761199111199110
119889120576119911119911 (36)
543 Desplazamiento de la abertura de la punta de la fisura CTOD
Este meacutetodo tambieacuten considera que ERR es equivalente a 119869 [53] y usando las ecuaciones propuestas por Irwing que relaciona el CTOD con la ERR [53102] se puede obtener que
119869-CTOD=4
120587∙CTOD∙120590119900 (37)
donde 120590119900 es el esfuerzo global maacuteximo en la direccioacuten 119911 durante toda la simulacioacuten y CTOD es estimado como la distancia entre dos aacutetomos seleccionados tal como se presenta en la figura 25
para el caso del monocristal y despueacutes del primer rasgamiento en el bicristal
Fig 25 CTOD (a) monocristal con 1198970 = 10119886 (b) bicristal despueacutes del primer rasgamiento con 1198970 = 10119886
Skogsrud y Thaulow [103] tambieacuten usaron una metodologiacutea similar para estimar el CTOD en
simulaciones moleculares Los valores obtenidos para el CTOD de los resultados de las
simulaciones del ensayo de tensioacuten se presentan en la figura 26 para los monocristales (SC) y
bicristales (BC) con diferentes tamantildeos de fisura inicial
(a)
(b)
Fig 26 CTOD vs 120576119911119911 para (a) monocristales y (b) bicristales
37
55 Propagacioacuten de las nano-fisuras
Para bicristales la nano-fisura comienza a propagar en valores de 120576119911119911 similares a los del cristal
simple para 1198970 gt 5119886 Luego la nano-fisura en los bicristales se detiene en la frontera de grano
(esto es lo que consideramos la etapa del primer rasgamiento y que solo se da en los bicristales)
Despueacutes que la nano-fisura llega a la frontera de grano comienza un proceso de falla muy similar
al de los materiales duacutectiles viz nucleacioacuten de vacancias seguido por su crecimiento y
coalescencia En el caso de los monocristales La propagacioacuten de las nano-fisuras a traveacutes de todo
el cristal fue inestable similar a la fractura en materiales fraacutegiles La figura 27 muestra la
propagacioacuten de la nano-fisura para 1198970 = 15119886 usando el paraacutemetro de centro-simetriacutea
- (a) (b) (c)
Fig 27 (a) Propagacioacuten de fisura en monocristal a 120576119911119911 = 68 (b) primer rasgamiento a 120576119911119911 = 65
y (c) fractura final bicristal con coalescencia de vacancias en el segundo cristal a 120576119911119911 = 30
56 Rasgamiento y fractura
Los valores maacuteximos de 119869 alcanzados antes del primer rasgamiento (fenoacutemeno observado
solamente en los bicristales) fueron comparados con los valores maacuteximos de 119869 durante toda la
simulacioacuten para el caso de los monocristales tal como se muestra en la figura 28
Fig 28 Valores maacuteximos de 119869 para monocristales (SC) y para primer rasgamiento (FT) en bicristales
Valores similares se obtuvieron usando los tres meacutetodos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 ademaacutes es importante mencionar que no se observaron dislocaciones generadas al interior de los cristales
38
antes y en un paso de tiempo despueacutes del primer rasgamiento (para 1198970 gt 5119886) tal como se muestra
en la figura 29 para el caso de 1198970 = 10119886
Fig 29 DXA en bicristales con 1198970 = 10119886 (a) antes del primer rasgamiento (120576119911119911 = 66) y (b) despueacutes
del primer rasgamiento (120576119911119911 = 67)
Por un lado para 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 los valores maacuteximos de 119869 antes del primer rasgamiento estimados mediante ERR no fueron acordes con los resultados del monocristal para los mismos
tamantildeos de nano-fisura inicial Por otro lado para 1198970 = 5119886 se obtuvo la misma inconsistencia al implemen1tar el meacutetodo de la integral de contorno Sin embargo solo los resultados del meacutetodo
CTOD fueron consistentes dando valores similares de 119869 para el primer rasgamiento en los
bicristales y el maacuteximo 119869 en los monocristales con las mismas 1198970 Las dislocaciones comenzaron a
aparecer en los bicristales con 1198970 = 5119886 y 1198970 = 20119886 cuando 120576119911119911 = 81 y 120576119911119911 = 55
respectivamente y despueacutes del primer rasgamiento cuando 120576119911119911 = 201 y 120576119911119911 = 71 La figura
30 muestra los valores maacuteximos de 119869 calculados para monocristal y el bicristal durante todo el
proceso de deformacioacuten hasta la fractura final con diferentes 1198970
Fig 30 Maacuteximos 119869 para monocristales (SC) y bicristales (BC)
Los valores usados para estimar 119869-CI 119869-ERR y 119869-CTOD son presentados en la tabla 5
39
Tabla 5 Datos usados para el caacutelculo de las maacuteximas 119869
119949120782 120643(m) 119960 (Pa) 119934119943 (J) 119932119943 (J) 120491119949 (m) 119957 (m) 120648119952 (Pa) CTOD (m)
Fractura
final en
monocristal
5a 176E-8 122E+8 624E-16 214E-16 203E-8 795E-9 296E+9 137E-9
10a 175E-8 151E+8 485E-16 175E-16 198E-8 795E-9 256E+9 141E-9
15a 174E-8 174E+8 445E-16 129E-16 168E-8 798E-9 238E+9 140E-9
20a 175E-8 129E+8 409E-16 151E-16 160E-8 798E-9 213E+9 143E-9
Primer
rasgamiento
en bicristal
5a 180E-8 223E+8 730E-16 163E-16 203E-9 702E-9 304E+9 121E-9
10a 172E-8 149E+8 487E-16 326E-16 810E-9 801E-9 284E+9 123E-9
15a 176E-8 128E+8 415E-16 316E-16 608E-9 802E-9 255E+9 122E-9
20a 178E-8 149E+8 483E-16 278E-16 446E-9 794E-9 228E+9 144E-9
Fractura
final en
bicristal
5a 223E-8 696E+8 237E-15 322E-16 223E-8 696E-9 304E+9 587E-9
10a 216E-8 529E+8 171E-15 250E-16 167E-8 800E-9 284E+9 562E-9
15a 223E-8 512E+8 164E-15 266E-16 147E-8 799E-9 255E+9 622E-9
20a 212E-8 475E+8 153E-15 208E-16 144E-8 804E-9 228E+9 606E-9
Al reemplazar estos valores en las respectivas ecuaciones se encontraron los valores de 119869 presentados en la tabla 6
Tabla 6 Valores maacuteximos de 119869
119949120782 Fractura final en monocristal Primer rasgamiento en bicristal Fractura final en bicristal
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
119869-CI
(Jm-2)
119869-ERR
(Jm-2)
119869-CTOD
(Jm-2)
5a 214 254 318 401 3985 288 1550 1323 1400
10a 264 196 283 257 247 274 1144 1096 1252
15a 303 235 260 225 202 244 1143 1172 1246
20a 226 202 238 265 580 258 1009 1147 1085
57 Discusioacuten
Los valores estimados del 119870119868 son similares para el monocristal y el primer rasgamiento en el
bicristal lo mismo pasa para 119869-CTOD para 119869-CI fueron los mismos para 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 sin
embargo 119869-ERR para 1198970 = 5119886 tiene un valor que se aleja significativamente del primer
rasgamiento esto se considera debido al comportamiento duacutectil en el bicristal para 1198970 = 5119886 esta
fisura es muy pequentildea para generar un rasgamiento fraacutegil como ocurrioacute con el resto de los 1198970 y
esto es debido a que el meacutetodo ERR no es recomendable para la descripcioacuten de la fractura duacutectil
58 Conclusiones
Durante el proceso de estimacioacuten de los indicadores de la tenacidad a la fractura 119870119868 119869-ERR 119869-CI
y 119869-CTOD a partir de los resultados de las simulaciones DM se encontraron los siguientes
hallazgos
Los esfuerzos locales promediados a lo largo de los caminos para evaluar la 119869-CI coinciden
con las suposiciones de Rice
40
Los valores de 119869 y del 119870119868 para el monocristal coinciden con el orden de magnitud de los
valores reportados en la literatura para tamantildeos de fisura similares
Por valores de 1198970 = 5119886 se observoacute un comportamiento duacutectil en el primer cristal y para
valores mayores de 1198970 el comportamiento en el cristal fue fraacutegil
En un bicristal existe un tamantildeo criacutetico de 1198970 por encima del cual se obtendraacute fractura fraacutegil y por debajo una fractura duacutectil en el cristal con fisurado
41
Capiacutetulo 6
Metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en cristales y bicristales de
aluminio
61 Introduccioacuten
La tenacidad a la fractura en escala nanometrica se ha estimado como el valor criacutetico de los
paraacutemetros 119870119868 119869 ERR CTOD (valor maacuteximo alcanzado justo antes de la fractura) sin embargo los valores criacuteticos han sido estimados para un solo tamantildeo de fisura Tal es el caso de Jin y Yuan
[100] que estimaron un 119869119862 con el meacutetodo de la integral de contorno y ERR para grafeno usando resultados de simulaciones DM El valor criacutetico de la ERRC ha sido usado como la tenacidad en
esta escala debido a su formulacioacuten energeacutetica [50104ndash107] en materiales sin frontera de grano
La ERR no es apropiada para describir el comportamiento de materiales duacutectiles y tal como se
presentoacute en el capiacutetulo 3 los monocristales siempre se comportaron como materiales fraacutegiles y la
ductilidad de un material se debe a la dinaacutemica de dislocaciones generadas por la inclusioacuten de una
GB El meacutetodo del CTOD ha sido implementado de igual forma para estimar la tenacidad a la
fractura [50108109] sin embargo nuevamente lo hacen para monocristales sin frontera de grano
En este capiacutetulo se desarrolla una metodologiacutea novedosa para estimar un valor de la tenacidad a la
fractura que es vaacutelido para todos los tamantildeos de fisura en un monocristal o bicristal La
metodologiacutea fue implementada usando por separado los resultados de los paraacutemetros de la
mecaacutenica de la fractura Todos los meacutetodos ajustaron de forma correcta en la estimacioacuten de la
tenacidad a la fractura del monocristal y del bicristal Sin embargo al estudiar el primer
rasgamiento en el cual el valor del paraacutemetro evaluado debiacutea ser similar al valor de la tenacidad
del monocristal se encontroacute que solo el CTOD arrojoacute resultados acordes con la tenacidad a la
fractura del monocristal Los valores de los indicadores 119869-CI y 119869-ERR se alejaron del valor
esperado para 1198970 = 5119886 Esto se considera debido a la dinaacutemica de dislocaciones presentes durante el primer rasgamiento propio de los materiales duacutectiles
62 Tenacidad a la fractura 119922119914
Para estimar la tenacidad a la fractura usando 119870119868 se realizoacute un graacutefico adimensional de 120590119911119911119878119880 vs
1198970119871 (con 119871 = 60119886) Donde el esfuerzo uacuteltimo a la tensioacuten (119878119880) para el monocristal sin defecto se
obtiene de la figura 20 119878119880 = 6182 Gpa valor que coincide con el reportado por Tang y Yang en [82] para las mismas velocidades de deformacioacuten Implementando la teoriacutea de la mecaacutenica de la
fractura lineal elaacutestica (LEFM) usando la forma alternativa como plantea [51]
42
120590119911119911 =119870119868
119891radic120587 ∙ 1198970 (38)
Los valores de 119870119868 son los reportados en la tabla 4 y tomando que 119891 para una fisura de borde estaacute dado por [53]
119891 = 0265(1 minus 120574)4 +0857 + 0265120574
(1 minus 120574)32
(39)
donde 120574 = 119897060119886 En la figura 31 se presenta con ciacuterculos y triaacutengulos los valores normalizados
de la ecuacioacuten 38 (120590119911119911119878119880) con los 119870119868 para la falla del bicristal y los 119870119868 para la falla del monocristal
respectivamente (ver tabla 4) Para ajustar un uacutenico valor de 119870119868 en la funcioacuten de la ecuacioacuten 38 normalizada se utilizoacute el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y el valor que mejor ajustoacute todos los
puntos de la graacutefica para el caso del monocristal fue 119870119862 = 045 MParadicm el cual coincide con el valor encontrado por Chandra [15] usando el meacutetodo de Griffith sin embargo hay que tener en
cuenta que Chandra et al hicieron el estimado con un solo tamantildeo de fisura Para el caso del
bicristal (BC) al compararlo con los resultados obtenido mediante DM el valor que mejor ajustoacute
fue 119870119862 = 095 MParadicm
Fig 31 Esfuerzo normalizado 120590119911119911119878119880 vs 1198970119871 para estimar 119870119862
63 Tenacidad a la fractura 119921119914
Con la finalidad de caracterizar la tenacidad a la fractura en funcioacuten de 119869 se implementaron las
ecuaciones de la mecaacutenica de la fractura lineal elaacutestica que relaciona el intensificador de esfuerzos
en modo I con la integral 119869 con condiciones de deformacioacuten plana [51] Las condiciones de
frontera perioacutedicas en la direccioacuten 119910 del espeacutecimen garantizan la deformacioacuten plana puesto que se considera un material con espesor infinito La ecuacioacuten queda de la siguiente forma
119870119868 = radic119869 ∙119864
1 minus 1205842 (40)
43
en esta ecuacioacuten 119870119868 se reemplaza por [51]
119870119868 = 119891 ∙ 120590119911119911119890119902radic120587 ∙ 1198970 (41)
Igualando las ecuaciones 40 y 41 se puede obtener la siguiente expresioacuten para 120590119911119911119890119902
120590119911119911119890119902= radic
119869 ∙ 119864(1 minus 1205842)
1198912 ∙ 120587 ∙ 1198970 (42)
Con la finalidad de normalizar el esfuerzo equivalente 120590119911119911119890119902
de la ecuacioacuten 42 se usa nuevamente
119878119880 del monocristal sin defecto de la figura 20 La estrategia para ajustar un valor uacutenico de 119869 valido para todos los tamantildeos de fisura inicial consistioacute en construir una graacutefica del esfuerzo normalizado
(120590119911119911119890119902119878119880) vs 1198970119871 En esta grafica se ubican los puntos del esfuerzo normalizado al evaluar los
valores maacuteximos de la integral 119869 calculados utilizado por los meacutetodos de CTOD ERR y CI para
los diferentes tamantildeos de fisura inicial 1198970 = 5119886 10119886 15119886 20119886 Posteriormente se ajusta la
ecuacioacuten 42 normalizada a los puntos con un solo valor de 119869 que es el considerado como la tenacidad a la fractura para cualquier tamantildeo de fisura inicial A continuacioacuten se presentan los
resultados de las curvas ajustadas con sus respectivos valores de 119869119862 para el caso del monocristal
y del bicristal
Fig 32 Esfuerzo equivalente normalizado estimado mediante (a) CI (b) ERR y (c) CTOD
Las curvas fueron ajustadas a los datos usando el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Chandra et al
[15] reportoacute valores similares de la tenacidad para monocristales pero para un solo tamantildeo
especifico de 1198970 En la siguiente tabla se presentan los valores de tenacidad a la fractura para cada meacutetodo
Tabla 7 Tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal
119921119940 ndash CI (Jm-2) 119921119940 ndash ERR (Jm-2) 119921119940 ndash CTOD (Jm-2)
Monocristal 236 234 297
Bicristal 1361 1237 1324
64 Discusioacuten
Al comparar los valores de la tenacidad a la fractura del monocristal y el bicristal se puede
observar que 119869119862 del bicristal se aumenta en un 577 529 and 445 del valor de 119869119862 del monocristal para los meacutetodos CI ERR y CTOD respectivamente En este sentido la frontera de
44
grano aumenta la tenacidad del material de forma significativa Con la finalidad de determinar cuaacutel
de los meacutetodos tiene menor error se calcula el error de las curvas ajustadas en comparacioacuten a los
datos usando miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo Los valores se presentan en la tabla 8
Tabla 8 Error de miacutenimos cuadrados para cada meacutetodo
CI ERR CTOD
Monocristal 000352869 000249363 000211611
Primer rasgamiento 004447074 465584299 000194489
Bicristal 003016880 000723650 000614448
65 Conclusiones
En este capiacutetulo se desarrolloacute e implementoacute una nueva metodologiacutea para estimar la tenacidad a la
fractura en materiales NC que es vaacutelida para cualquier tamantildeo de la fisura inicial y se encontraron
los siguientes hallazgos
El CTOD es el meacutetodo que menor error residual tiene para todos los casos monocristal primer rasgamiento y bicristal
La metodologiacutea propuesta permite estimar un valor uacutenico de tenacidad a la fractura para el monocristal y el bicristal que es vaacutelido para cualquiera de los tamantildeos de fisuras evaluados
El CTOD es el uacutenico meacutetodo de los tres usados que permite estimar un valor de 119869 y de 119870119868 durante el primer rasgamiento acorde a la tenacidad calculada del monocristal
La inclusioacuten de una frontera de grano aumenta significativamente la tenacidad a la fractura del material NC
45
Capiacutetulo 7
Conclusiones y trabajos futuros
71 Conclusiones
En este proyecto se desarrollaron simulaciones implementando DM para estudiar la tenacidad a la
fractura en monocristales y bicristales de aluminio a partir de ensayos simulados de tensioacuten
uniaxial 119869119862 del monocristal y bicristal fueron calculados y comparados para establecer el efecto de la frontera de grano Los principales hallazgos de esta investigacioacuten se resumen a continuacioacuten
El monocristal fisurado presentoacute un comportamiento de fractura fraacutegil sin evidencia de
emisioacuten de dislocaciones El mismo comportamiento fraacutegil fue observado durante el primer
rasgamiento de los bicristales con 1198970 = 10119886 1198970 = 15119886 y 1198970 = 20119886 Sin embargo las
dislocaciones aparecieron antes del primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 5119886 Por lo cual existe un tamantildeo criacutetico para el tamantildeo de fisura inicial por debajo del cual el
material se comporta como duacutectil en el primer cristal
La frontera de grano actuoacute como una barrera que frenoacute el crecimiento inestable de la fisura
despueacutes del primer rasgamiento cuando la fisura llegoacute a la frontera de grano comenzoacute un
proceso de fractura duacutectil dando lugar a la nucleacioacuten de vacancias seguido por
crecimiento y coalescencia de estas hasta la fractura final
La tenacidad a la fractura 119869119862 del monocristal coincide con la maacutexima 119869 alcanzada durante
el primer rasgamiento en los bicristales con 1198970 = 10119886 y 1198970 = 15119886 para los tres meacutetodos
empleados Sin embargo para el meacutetodo del CTOD todos los valores coincidieron para
todos los 1198970
119869119862 del bicristal de aluminio es casi cinco veces el valor del 119869119862 del monocristal basado en
los resultados del meacutetodo del CTOD
119870119862 del bicristal de aluminio es casi 25 veces el valor de 119870119862 del monocristal
La metodologiacutea desarrollada para la estimacioacuten de la tenacidad a la fractura permite estimar
un 119869119862 valido para cualquier tamantildeo de fisura inicial en los monocristales y los bicristales de aluminio
72 Trabajo futuros
Debido a la naturaleza del proyecto de investigacioacuten existieron efectos en las propiedades de
los materiales que no lograron ser estudiados Estos efectos pueden ser desarrollados por otros
investigadores en el aacuterea
El efecto de la variacioacuten en los aacutengulos de la frontera de grano En este punto se pueden
hacer ensayos con bicristales con diferentes aacutengulos con la finalidad de observar la
46
variacioacuten en la tenacidad Se pueden evaluar fronteras de grano mixtas y rotadas en
cualquier otro NC
El efecto del tamantildeo de grano En este iacutetem se pueden desarrollar policristales y realizar
las mismas pruebas con la finalidad de cuantificar la tenacidad y observar el cambio de la
tenacidad a la fractura en un policristal y cualquier otro tipo de NC
Se puede estudiar el efecto del incremento en la densidad de dislocaciones y el movimiento
de los planos de deslizamiento durante cada paso de deformacioacuten en el ensayo de tensioacuten
para establecer correlaciones con la tenacidad a la fractura
Se puede intentar desarrollar experimentos del ensayo de tensioacuten con filamentos de cristal
simple de aluminio para tener resultados experimentales propios aparte de los encontrados
en la literatura
47
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