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TEMA 2 ( 30 puntos )
La proporcin de piezas defectuosas fabricadas por una mquina es p = 0.05 cuando la mquina
funciona bien y p = 0.1 cuando funciona mal.
Para determinar si la mquina funciona bien o no, se dispone de una muestra aleatoria de 100
piezas, de las cuales 8 son defectuosas.
a) Con un contraste con nivel de significacin 0.05, funciona bien la mquina ? b) Cul es error tipo II ?
TEMA 4 ( 30 puntos )
La tabla muestra la natalidad por cada 1000 habitantes en EE.UU. durante los aos 1915
1955. Ajustar a los datos: a) una parbola de mnimos cuadrados b) una exponencial. Cul de
los dos ajustes es ms conveniente ?
TEMA 4 ( 30 puntos )
En un experimento llevado a cabo para determinar cual de tres sistemas de misiles es preferible,
se midi el promedio de consumo de los propulsores para 24 encendidos estticos. Se utilizaron
cuatro tipo diferentes de propulsores. En el experimento se obtuvieron observaciones duplicadas
de promedios de consumos. Los datos, despus de codificarse, aparecen en la siguiente tabla.
Tipo de Propulsor
Sistema de misiles b1 b2 b3 b4
a1 34,0
32,7
30,1
32,8
29,8
26,7
29,0
28,9
a2 32,0
33,2
30,0
29,8
28,7
28,1
27,6
27,8
a3 28,4
29,3
27,3
28,9
29,7
27,3
28,8
29,1
Utilizando un nivel de significacin de 0,05 probar las siguientes hiptesis.
a) no existe diferencia entre las tasas de medias de consumo del propulsor cuando se utilizan diferentes misiles
b) no existe diferencia entre las tasas de medias de consumo de los cuatro tipos de propulsor c) no existe interaccin entre los diferentes sistemas de misiles y los diferentes tipos de
propulsor Solucin:
Clculo de totales en la tabla
b1 b2 b3 b4 Total
a1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0
a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4
a3 27,7 56,2 57,.0 57,9 228,8
Total 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2
AO Natalidad por cada
1000 habitantes
1915 25
1920 23,7
1925 21,3
1930 18,9
1935 16,9
1940 17,9
1945 19,5
1950 23,6
1955 24,6
-
SST = 34,02 + 32,7
2 + ... + 29,1
2
24
7102=91,68
SSA = 52,1424
710
8
8,2284,2370,244 2222
SSB = 08,4024
710
6
2,1713,1701,1796,189 22222
SS(AB) = 17,2200,2101608,2105652,210302
9,57...2,657,66 222
SSE = 91,68 14,52 40,08 22,17 = 14,91
Con estos valores tenemos la siguiente tabla:
Fuente de
variacin
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrado medio f
calculada
Sistema de misiles 14,52 2 7,26 5,85
Tipo de propulsor 40,08 3 16,36 10,77
Interaccin 22,17 6 3,70 2,98
Error 14,91 12 1,24
Total 91,68 23
Regiones crticas: f1 > 3,89 ; f2 > 3,49 ; f3 < 3,00
Con estos valores, se concluye que:
a) sistemas diferentes de misiles implican diferentes tasas de promedio de consumo del propulsor b) las tasas de promedio de consumo del propulsor no son las mismas para los cuatro tipos de propulsor. c) la interaccin es insignificante al nivel 0,05.
TEMA1 ( 20 puntos )
Dado un conjunto de N datos: X1, X2, X3,...,XN, con media X y desviacin
tpica S, encontrar la media y la desviacin tpica de la variable:
Yi = A + BXi ( i = 1, 2, 3,...,N), en funcin de X y S.
Solucin:
Datos: X1, X2, X3,...,XN ; N
)XX(S;
N
XX
2i
Y1 = A + BX1 ; Y2 = A + BX2 ; Y3 = A + BX3 ; ...; YN = A + BXN
SBS
XBAY
Y
SBN
)XXB
N
)YY(S
N
)XXB
N
)XBBX
N
)XBA(BXA
N
)YY(S
XBAN
XB
N
NA
N
XBNA
N
BXA...BXA2BXABXA
N
YY
2
12
Y
2
122
1
2
12
Y
N31i
-
489992,008,001,0
58,2;;
22
Npq
e
zN
N
pqze cc
166415,05,001,0
58,2N;pq
e
zN;
N
pqze
22
cc
Un artculo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notific los resultados de una investigacin sobre los
errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir informacin falsa a la tripulacin. Es posible
que tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al
provocar que el piloto apagara el motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontr que el
8% tenan errores en el cableado que podan mostrar informacin falsa a la tripulacin.
a) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporcin de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta.
b) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimacin preliminar de p, de qu tamao debe se la muestra para producir una estimacin de p que difiera, con una confianza de 99% del verdadero
valor a lo ms en 1%?. Interpretar.
c) De que tamao debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporcin muestral difiera de la proporcin verdadera a lo ms en 1%, sin importar cual sea el valor verdadero de p ?
Interpretar.
Solucin:
a) N = 1600 aeroplanos ; p(error) = 0.08 ; p/ 99% de confianza: zc = 2,58
Respuesta: Con un 99% de confianza, podemos afirmar que la proporcin de aeroplanos que tienen este tipo de error
se encuentran entre el 6,3% y 9,7%.
b)
Respuesta: El tamao de la muestra debe ser de al
menos 4899 aeroplanos, para que la proporcin muestral no difiera del verdadero a lo ms en 1%.
c) Si no conocemos el valor de p tomamos p = 0,5 y q = 0,5 ya que estos son los valores que pueden producir el
mayor error posible:
Respuesta: Si no conocemos el valor de p, y tomamos
p = 0,5, entonces el tamao de la muestra debe ser de al menos 16641 aeroplanos. Esto es aproximadamente 3
veces mayor que si conocemos el valor de p.
Tema 5 El nmero Y de bacterias por unidad de volumen en un cultivo, despus de X horas est dado en la siguiente tabla:
Y(horas) 0 1 2 3 4 5 6
X(cantidad
De bacterias 32 47 65 92 132 190 275
a) ajustar una curva del tipo y = abx, por el mtodo de mnimos cuadrados.
b) expresar la ecuacin en la forma Y = A 10BX
.
c) estimar la cantidad de bacterias para 7 horas.
d) graficar los datos y la curva.
e) calcular el coeficiente de correlacin
Solucin:
y = abx ; log y = log a + x log b ; haciendo z = log y; log a = A; log b = B la ecuacin nos queda:
z = A + B x
La ecuacin de la recta auxiliar se obtiene resolviendo el sistema:
z = A N + B X
Xz = A X + B X2
X (cantidad ) Y(horas) z = log y X2 Xz
32 0 1,50515 0 0
47 1 1,67210 1 1,67210
65 2 1,81291 4 3,62582
92 3 1,96379 9 5,89137
132 4 2,12057 16 8,48228
190 5 2,27875 25 11,39375
275 6 2,43933 36 14,63598
21 13,7926 91 42,7013
017,008,0;1600
92,008,058,208,0;
N
pqzp c
-
13, 7926 = 7 A + 21 B
42,7013 = 21 A + 91 B
A = 1,82857 ; B = 0,04727 ; a = 67,39 ; b = 1,11499
a = 1,22107 ; b = 1,00674
Tema 4 (25 puntos) A una muestra aleatoria de 40 estudiantes universitarios el Departamento Acadmico le aplic una prueba estndar
de Matemtica. La media fue de 58,0 puntos y la desviacin tpica de 5,0 puntos.
a) probar la hiptesis de que en general los alumnos no superan el puntaje en sa prueba que es de 60 puntos.
(utilizar = 0,01).
Si se considera que si el puntaje promedio en la prueba es de 56 puntos se tiene una diferencia considerable respecto
del valor hipottico de 60,0 puntos, calcular e interpretar :
b) error tipo I y error tipo II
c) la potencia de la prueba.
TEMA 4 Se tiene inters en estudiar la rapidez de combustin de un agente propulsor slido. Suponiendo que la desviacin
estndar de combustin es de = 2,5 cm/s y que la rapidez de combustin sigue una distribucin normal.
Se realiza una prueba sobre una muestra de 35 especimenes y se observa que el promedio de rapidez de combustin
es de 48, 9 cm/s.
El inters recae en decidir si la rapidez de combustin promedio es o no de 50 cm/s.
a) Cul sera la hiptesis alternativa y cual la hiptesis nula? Explicar el significado de cada una de ellas.(2p) b) Usara un contraste a una o dos colas? por qu? (2 puntos) c) Qu regla de decisin adoptara para un nivel de significacin del 5%? (2 puntos) d) Cul es la probabilidad de cometer error tipo I? (1 punto)
e) Suponiendo que la hiptesis alternativa especfica es = 52 cm/s, cul es el error tipo II? (2 puntos) f) Calcular e interpretar la potencia de la prueba. (1 punto)
Solucin:
a) H0: = 50 cm/s y el promedio de combustin es de 50 cm/s
H1: 50 cm/s y el promedio de combustin no es de 50 cm/s
En la hiptesis nula se plantea lo que el investigador quiere anular, en este caso en decidir si la rapidez de
combustin promedio es o no de 50 cm/s.
En la hiptesis alternativa se plantea si la rapidez de combustin promedio es o no de 50 cm/s.
b) Se usara un contraste a dos colas, porque interesa saber si la rapidez de combustin promedio mayor o menor de
50 cm/s
c) Para un nivel = 0,05: z = 1,96
Regla de decisin: a) Aceptar H0 si zc ( z calculada con los datos ) se encuentra entre 1,96 y 1,96.
b) Rechazar H0 en caso contrario.
a) la probabilidad de cometer error tipo I es del 5%. e)
8,05,2
5250z
: del apndice II, para = 0,7881
Respuesta: la probabilidad de cometer error tipo II es del 78,81%.
b) la potencia de la prueba est dado por 1 = 1 0,7881 = 0,2119 Respuesta: la probabilidad de rechazar correctamente una hiptesis nula falsa es del 21,19%.
9,48 5250
50x
96,11z
96,12z
aceptacin
dezona
9,48
0z
-
TEMA 5 La presin P de un gas correspondiente a varios volmenes V se registr de la siguiente manera:
La ley de los gases ideales est dado por la frmula P V = C, donde y C son constantes.
Determinar si la parbola P = a V2 + b V + c ajusta mejor a los datos dados que la frmula P V
= C.
Solucin:
Para verificar cual de las dos curvas ajusta mejor a los datos, calculamos el coeficiente de correlacin de ambas
curvas.
Para P V = C:
Tomando logaritmos: ln (P V ) = ln C ; ln P + ln V = ln C ; para ln P = y ; ln V = x; ln C = b ; = a ;
tenemos: y = a x + b ( ecuacin de una recta )
V(cm3) P(kg/cm
2) x = ln V y = ln P x
2 xy y
2
50 64,7 3,91202 4,16976 15,30392 16,31220 17,38691
60 51,3 4,09434 3,93769 16,76366 16,12226 15,50541
70 40,5 4,24850 3,70130 18,04971 15,72496 13,69964
90 25,9 4,49981 3,25424 20,24829 14,64347 10,59001
100 7,8 4,60517 2,05412 21,20759 9,45959 4,21942
= 370 190,2 21,35984 17,11714 91,57317 72,26248 61,40139
y = a N + b x 17,11714 = a 5 + b 21,35984 a = 14,7594
xy = a x + b x2 72,26248 = a 21,35984 + b 91,57317 b = 2,65357
Con estos resultados, la recta auxiliar es: y = 5,32437 + 0,307411 x
C = ln-1
14,7594 = 2569957,706 ; = 2,65357
Con estos resultados, la ecuacin pedida es: P V2,65357
= 2568863,128
Para P = a V2 + b V + c
V(cm3) P(kg/cm
2) V
2 V
3 V
4 V P V
2 P Pest
50 64,7 2500 125000 6250000 3235 161750
60 51,3 3600 216000 12960000 3078 184680
70 40,5 4900 343000 24010000 2835 198450
90 25,9 8100 729000 65610000 2331 209790
100 7,8 10000 1000000 100000000 780 78000
= 370 190,2 29100 2413000 118830000 12259 832670
P = a N + b V + c V2 190,2 = a 5 + b 370 + c 29100
VP = a V + b V2 + c V
3 12259 = a 370 + b 29100 + c 2413000
V2 P = a V
2 + b V
3 + c V
4 832670 = a 29100 + b 2413000 + c 118830000
resolviendo el sistema: a = 116,176 ; b = 1,05609 ; c = 0,0000026
con lo que la ecuacin de la parbola queda: P = 116,176 V2 1,055609 V + 0,0000026
TEMA 4
El nmero de pulgadas que una estructura recin construida se hunde en el suelo est dado por:
y = 3 (1 e- x
), donde x es el nmero de meses que lleva construido.
Con los siguientes valores de x e y en mediciones hechas, calcular:
V(cm3) 50 60 70 90 100
P(kg/cm2) 64,7 51,3 40,5 25,9 7,8
-
x 2 4 6 12 18 24
y 1,04 1,88 2,26 2,78 2,97 2,99
a) la ecuacin que ajusta los datos b) el coeficiente de correlacin c) estimar el hundimiento de una estructura a los 3 aos de haberse construido.
Solucin:
Y = 3 ( 1 e-ax
) ; y = 3 3 e
-ax ; 3 e
-ax = 3 y ; tomando logaritmos miembro a
miembro:
ln (3 e-x
) = ln (3 y) ; ln 3 + ln e-x
= ln (3 y) ; ln 3 x = ln ( 3 y). Haciendo ln 3
= A, x = X, = B, y ln (3 y) = Y, tenemos: Y = A + B X
x y Y = ln ( 3 - x ) Y2
X y x2
y e s t ( y e s t - y m e d )2
( y - y m e d )2
2 1 . 0 4 0 . 6 7 0 . 4 5 1 . 3 5 4 1 . 1 4 1 . 3 8 3 8 1 . 6 3 8 4
4 1 . 8 8 0 . 1 1 0 . 0 1 0 . 4 5 1 6 1 . 8 5 0 . 2 1 9 7 1 . 1 9 3 6
6 2 . 2 6 - 0 . 3 0 0 . 0 9 - 1 . 8 1 3 6 2 . 2 9 0 . 0 0 0 9 0 . 0 0 3 6 y m e d = 2 . 3 2
1 2 2 . 7 8 - 1 . 5 1 2 . 2 9 - 1 8 . 1 7 1 4 4 2 . 8 3 0 . 2 6 1 7 0 . 2 1 1 6
1 8 2 . 9 7 - 3 . 5 1 1 2 . 3 0 - 6 3 . 1 2 3 2 4 2 . 9 6 0 . 4 0 9 7 0 . 4 2 2 5
2 4 2 . 9 9 - 4 . 6 1 2 1 . 2 1 - 1 1 0 . 5 2 5 7 6 2 . 9 9 0 . 4 4 9 6 0 . 4 4 8 9
6 6 . 0 0 1 3 . 9 2 - 9 . 1 5 3 6 . 3 5 - 1 9 0 . 0 1 1 1 0 0 . 0 0 2 . 7 2 5 4 2 . 9 1 8 6
10.16611006
)01.190(66110015.9
XXN
XYXXYA
222
2
24.0
6611006
)15.9(66)01.190(6
XXN
YXXYNB
222
Como = B, tenemos que = 0.24
Verificacin para el valor de A:
de la ecuacin: ln 3 = 1.10
de los datos: A = 1.10. Entonces se verifica que ln3 A
a) Con esto, la ecuacin que ajusta los datos es: y = 3 (1 e- 0.24 X)
b) 97.09186.2
7254.2
)yy(
)yy(r
2med
2medest
Conclusin: la correlacin entre los datos y la curva de ajuste es perfecta
c) Para 3 aos, o sea 36 meses, tenemos: y = 3 (1 e- 0.24 36
) = 3
Conclusin: se estima que el hundimiento de la estructura a los 3 aos de haberse
construido es de 3 pulgadas. TEMA 3
Se toma una muestra de estudiantes y se les pide su opinin en cuanto a una propuesta de cambio de plan de
estudios. Los resultados son los siguientes:
Pruebe la hiptesis de que la opinin con respecto al cambio es independiente del nivel de la
clase. Utilice = 0.05
Clase A favor En contra
Primer ao 120 80
Segundo ao 70 130
Tercer ao 60 70
Cuarto ao 40 60
-
Solucin: Hemos de decidir entre las hiptesis:
H0: La opinin con respecto al cambio es independiente del nivel de clase.
HA: La opinin con respecto al cambio no es independiente del nivel de clase.
Calculo de las frecuencias esperadas:
Clculo de 2:
97.26
54
)5460(
70
)7070(
108
)108130(
108
)10880(
46
)4640(
60
)6060(
92
)9270(
92
)92120(
2
222222222
Del apndice IV, para (4-1)(2-1) = 3 grados de libertad,
el valor de 2
.95 es 7.81
2
.95 = 7.81
Como 2.95 cae en la regin crtica se rechaza H0 y se acepta HA.
Conclusin: La opinin de los estudiantes con respecto al cambio no es independiente del nivel
de clase.
TEMA 1 a) Cuando se toman muestras en una poblacin infinita, qu sucede son el error estndar
promedio si el tamao de la muestra : i) aumenta de 100 a 200 ? ii) disminuye de 360 a
90 ?
b) Dado una tabla de contingencia, se calcula 2. Luego, cada nmero se multiplica por una
constante k. Cunto valdra la nueva 2 ?
Solucin:
a) i) Sea e1 el error antes de la variacin en la cantidad muestreada: 100N
e1
1
. Luego
del incremento, el error ser de: 200N
e2
2
. Entonces,
2
ee;2
200
100
e
e 12
2
1
Conclusin: si la muestra aumenta de 100 a 200, el error queda dividido por 2 ,
respecto del error inicial.
Clase A favor
frec. obs.
A favor
frec. esp.
En contra
frec. obs.
En contra
frec. esp.
total
1 ao 120 290200/630=
92
80 340200/630=
108
200
2 ao 70 290200/630=
92
130 340200/630=
108
200
3 ao 60 290130/630=
60
70 340130/630=
70
130
4 ao 40 290100/630=
46
60 340100/630=
54
100
total 290 340 630
-
ii) Sea e1 el error antes de la variacin en la cantidad muestreada: 360N
e1
1
. Luego
del incremento, el error ser de: 90N
e2
2
. Entonces, 12
2
1 e2e;2
1
90
360
e
e
Conclusin: si la muestra aumenta de 100 a 200, el error queda multiplicado por 2,
respecto del error inicial.
c) Sea 2 el valor ji-cuadrado para los datos iniciales y 2 el valor ji-cuadrado para los datos multiplicados por una constante k.
d) Por definicin: e
)eo( 22 . Tambin: 222222 k
e
)eo(k
ke
)eo(k
ke
)keko('
Conclusin: Si de una tabla de contingencia, se calcula 2. Luego, cada nmero se
multiplica por una constante k, entonces el nuevo valor de 2. queda multiplicado por la
constante k.
TEMA 3 El representante de una comunidad informa a una empresa que se propone construir un centro comercial que el
ingreso medio por hogar es de 150.000 gs diarios. Para ese tipo de rea, puede suponerse que los ingresos tienen
una distribucin aproximadamente normal y que puede suponerse una desviacin estndar es de 12.000 gs.
Si de una muestra de 15 hogares se obtiene una media de 152.000 gs, contrastar la hiptesis de la empresa
constructora que afirma que el ingreso medio por hogar es de 150.000 con un nivel de significacin = 0.05.
Suponiendo, en el problema anterior, que el equipo de ingenieros de la empresa constructora afirma que el salario
medio por hogar es de 160.000 gs, en discrepancia con lo que afirma el representante de la comunidad ( 150.000 gs
por hogar):
Con el mismo nivel de significacin, calcular e interpretar: a) la probabilidad del error tipo I b) la probabilidad
del error tipo II c) la potencia asociada a esta prueba.
TEMA 5 Las cantidades Y de una sustancia no transformada en 6 reacciones qumicas similares despus de X minutos son:
a) dibujar el diagrama de dispersin b) ajustar una curva de la forma Y = C DX y graficar. c) estimar la cantidad de sustancia no transformada despus de
un periodo de 4 minutos.
TEMA 4 Los datos siguientes datos se refieren a la cantidad de hidrgeno presente (y, en partes por milln) en muestras de
sondaje taladradas en intervalos de un pie de longitud de un molde de fundicin al vaco (x, localizacin de la
muestra de sondaje en pies desde la base):
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 1,28 1,53 1,03 0,81 0,74 0,65 0,87 0,81 1,10 1,03
a) Ajustar una parbola por el mtodo de mnimos cuadrados. b) Graficar los datos y la parbola.
c) Calcular el coeficiente de correlacin y estimar la cantidad de hidrgeno presente cuando la
localizacin de la muestra de sondaje es de 7 pies desde la base.
X
(minutos)
Y
(miligramos)
1 23,5
2 16,9
2 17,5
3 14,0
5 9,8
5 8,9
-
Solucin: a) sea Y = a0 + a1 X + a2 X
2 la ecuacin de la parbola pedida. Formamos el sistema:
y = a0 N + a1 x + a2 x2
xy = a0 x + a1 x2 + a2 x
3
x2y = a0 x
2 + a1 x
3 + a2 x
4
9,85 = 10 a0 + 55 a1 + 385 a2
51,04 = 55 a0 + 385 a1 + 3025 a2
358,1 = 385 a0 + 3025 a1 + 25333 a2
Resolviendo el sistema se obtiene:
a0 = 1,751 ; a1 = 0,316 ; a2 = 0,025
Rta: la parbola de mnimos cuadrados que ajusta los datos es Y = 1,751 0,316 X + 0,025 X2
TEMA 5 Se est capacitando a nueve personas en cuatro materias distintas y se les asigna, en forma aleatoria, a tres mtodos
diferentes de instruccin. A cada instruccin se le asignaron tres estudiantes, como se indica en el siguiente cuadro.
Realizar un anlisis de todas las diferencias posibles a un nivel de significacin 0.05.
MATERIA Mtodo de Instruccin
A1 A2 A3 70 83 81
B1 79 89 86
72 78 79
77 77 74
B2 81 87 69
79 88 77
82 94 72
B3 78 83 79
80 79 75
85 84 68
B4 90 90 71
87 88 69
Solucin
MATERIA Mtodo de Instruccin
A1 A2 A3 x 70 83 81 234 78
B1 79 89 86 254 84,67
72 78 79 229 76,33
77 77 74 228 76
B2 81 87 69 237 79
79 88 77 244 81,33
82 94 72 248 82,67
B3 78 83 79 240 80
80 79 75 234 78
85 84 68 237 79
B4 90 90 71 251 83,67
87 88 69 244 81,33
960 1020 900 2880
x 80 85 75
x y xy x2y x
2x
3x
4yest (yest-ymed)
2(y-ymed)
2
1 1.28 1.28 1.28 1 1 1 1.46 0.225625 0.087025
2 1.53 3.06 6.12 4 8 16 1.22 0.055225 0.297025
3 1.03 3.09 9.27 9 27 81 1.03 0.002025 0.002025
4 0.81 3.24 12.96 16 64 256 0.89 0.009025 0.030625
5 0.74 3.7 18.5 25 125 625 0.8 0.034225 0.060025
6 0.65 3.9 23.4 36 216 1296 0.76 0.050625 0.112225
7 0.87 6.09 42.63 49 343 2401 0.76 0.050625 0.013225
8 0.81 6.48 51.84 64 512 4096 0.82 0.027225 0.030625
9 1.1 9.9 89.1 81 729 6561 0.93 0.003025 0.013225
10 1.03 10.3 103 100 1000 10000 1.1 0.013225 0.002025
55 9.85 51.04 358.1 385 3025 25333 0.47085 0.64805
78,533XxxxcV
600XxacV
89,30XxbcV
35136gl;1600V
358602640XxV
8036
2880X
2kjjK
JKI
2k
b
1kC
2j
a
1jR
2
l,k,jl,k,j
-
Variacin Grados de libertad Cuadrado medio F de la prueba Valores de F para
nivel 0,05
entre materias
VR = 30,89
a 1 = 3 3,10
1a
Vs R2R
5676,0
s
s2E
2R
p/ 3 y 24 gl:
FC = 3
entre mtodos
VC = 600
b 1 = 2 300
1b
Vs C2C
54,16
s
s2E
2C
p/ 2 y 24 gl:
FC = 3,41
Interaccin
VI = 533,78
(a 1)( b 1) = 6 96,88
)1b)(1a(
Vs I2I
905,4
s
s2E
2I
p/ 6 y 24 gl:
FC = 2,51
Residual
VE = 453,33
ab(c 1) = 24 14,18
)1c(ab
Vs E2E
Total
V = 1600
abc 1 = 35
Conclusin: al nivel 0,05 se puede concluir:
Existe diferencia significativa entre mtodos de instruccin
Existe diferencia significativa entre mtodos de instruccin
No existe diferencia significativa entre materias
TEMA 3 ejercicio resuelto 10.27 en Estadstica - Murray Spiegel
Una moneda da 6 caras en 6 tiradas. Podemos concluir al nivel de significacin a) 0.05 b) 0.01 de que la moneda
es buena?
Solucin:
Contraste a dos colas
Hay que decidir entre dos hiptesis:
H0: p = 0,5 y la moneda es buena
HA: p 0,5 y la moneda no es buena
La probabilidad de obtener 6 caras en 6 tiradas, con p = 0,5 utilizando la distribucin binomial est dada por:
015625,064
1
2
1
2
1C)6X(p
06
66
las dems posibilidades estn dadas por: 015625,064
1)6X(p)0X(p
64
20)3X(p;
64
15)4X(p)2X(p;
64
6)5X(p)1X(p
la distribucin de probabilidades es como se indica
Contraste a una sola cola:
como 1/64 = 0,015625 > 0,01 y 1/64 = 0,015625 < 0,05 rechazamos H0 al nivel 0,05 pero no al nivel 0,01
Contraste a dos colas:
como 1/64 + 1/64 = 1/32 > 0,01 y 1/64 + 1/64 < 0,05 rechazamos H0 al nivel 0,05 pero no al nivel 0,01
641
641
646
646
6415
6415
6420
X
)X(p
-
TEMA 4 Un cientfico de la computacin ha desarrollado un algoritmo para generar nmeros enteros aleatorios en el intervalo
0 9. El cientfico codifica el algoritmo y genera 1000 dgitos aleatorios. La siguiente tabla contiene los datos de las
frecuencias observadas. Existe evidencia de que el generador funciona de manera correcta al nivel de significacin
0.05?
Solucin:
Calculamos las frecuencias esperadas:
Nmeros aleatorios 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 total
Frec. Observadas 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94 1000
Frec. Esperadas 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000
Formulamos las hiptesis:
H0: El generador de nmeros aleatorios funciona de manera correcta.
HA: El generador de nmeros aleatorios funciona de manera incorrecta.
Clculo de 2:
72,336,059,001,0026,015,001,029,149,036e
)eo( 22
Como 2 < 9,16295. , entonces caemos
en zona de aceptacin.
Conclusin: Al nivel 0,05 no hay razn para rechazar
la hiptesis nula, con lo que se concluye que el
generador de nmeros aleatorios funciona de manera
correcta.
*Una compaa de productos para el consumidor est desarrollando un nuevo shamp y est interesada en la altura
de la espuma ( en mm ). La altura de la espuma tiene una distribucin normal con desviacin tpica de 20 mm. La
compaa desea probar:
HO: = 175 mm, contra HA: > 175 mm, utilizando resultados obtenidas con 10 muestras.
a) encontrar la probabilidad del error tipo I si la regin crtica es X > 185 mm ( 7 puntos ) b) cul es la probabilidad de error tipo II si la verdadera altura promedio de la espuma es de 195 mm? (7
puntos )
c) Si el tamao de la muestra fuese 16, donde debe colocarse la frontera de la regin crtica si se desea que la probabilidad del error tipo I siga siendo la misma que cuando el tamao de la muestra era de 10 ? (6 puntos )
Solucin:
a)
58,1
1020
175185
1020
xz
del apndice II, para z = 1,58: A = 0,0571
Respuesta: el error tipo I, o sea la probabilidad de rechazar una
hiptesis verdadera, es del 5,71 %
Nmeros
aleatorios 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frecuencia 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94
05,0
9,16295.
185X
z
175
0z
A
-
b)
58,1
1020
195185
1020
xz
del apndice II, para z = 1,58: = 0,0571
Respuesta: el error tipo II, o sea la probabilidad de
aceptar una hiptesis falsa, es del 5,71 %
c)
9,18217516
2058,1
NzX
Respuesta: Para tamao de la muestra 16, y si se desea que la
probabilidad del error tipo I siga siendo la misma que cuando el
tamao de la muestra era de 10, la frontera de la regin crtica debe
colocarse en X = 182,9 mm.
TEMA 3
Una muestra aleatoria de 30 empleados de nivel secretarial de una organizacin grande, el
departamento de seleccin de personal le aplica una prueba estndar de mecanografa. Los
resultados muestrales son: X = 63 p.p.m. (palabras por minuto) y S = 5 p.p.m. Pruebe la
hiptesis de las secretarias exceden la velocidad de mecanografa de 60 p.p.m., utilizando =
1%.
Considerando que si la velocidad promedio de mecanografa es de 64 p.p.m. se tiene una
diferencia considerable con respecto al valor hipottico de 60 p.p.m., determinar:
a) Error tipo I (). Interpretar.
b) Error tipo II (). Interpretar.
Encontrar la potencia de la prueba (1 - ) e interpretar lo que ello significa.
Solucin:
N = 30 ; X =63 ppm ; S = 5 ppm H0 : m = 60 ppm, y no hay diferencia entre las velocidades en mecanografa con el valor
hipottico
H1 > m = 60 ppm, y hay diferencia entre las velocidades en mecanografa con el valor hipottico
De la tabla, para a = 1%
z = 2.33
Clculo de z:
28.3
30
5
6063
N
Xzc
Como zc > z rechazamos H0 y aceptamos A1
Conclusin: las secretarias exceden en velocidad mecanogrfica al valor hipottico 60 ppm.
Otra forma: calculando X: 13.626030
533.2X;
N
Xz
Como X > X concluimos que las secretarias exceden en velocidad mecanogrfica al valor
hipottico 60 ppm.
175 195185X
?X
58,1z
175
0z
A
-
a) a = 1% Conclusin: La probabilidad de rechazar una hiptesis verdadera es de 1%
b) 13.626030
533.2X
05.29128.0
87.1
30
5
6413.62
N
Xzc
b = 0.5 ( Area entre z = 0 y z = -2.05 = 0.5 0.4798 = 0.0202
Conclusin: La probabilidad de aceptar una hiptesis falsa es de 2.02%
c) Potencia = 1 b = 0.9798 Conclusin: La probabilidad de rechazar una hiptesis falsa es de 97.98 %