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EjercitaciónCálculo I
Carola Muñoz R.1
Ejercicios• Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que:
1)Si a + b = 0 a + c = 0 b = c
Demostración:
Asociatividad ---------- > b + ( a + c ) = ( b + a ) + c
Conmutatividad ---------- > b + ( a + c ) = ( a + b ) + c
utilizando las hipótesis dadas: Neutro aditivo ---------- > b + 0 = 0 + c b = c
2
Ejercicios• Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que:
3) ( x ) = x
Demostración:
Se tiene que x + ( x) = 0, esta ecuación dice que x es el inverso aditivo de x.
x = ( x )3
Ejercicios• Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que:
3)( x ) y = ( x y ) = x ( y )
Demostración:
a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a
Previamente se demostrará que ( 1) a = ( a)
= ( 1 + ( 1)) a ---------- > Distributividad = 0 a ---------- > Inverso aditivo
a + ( a) = 0 ---------- > Inverso aditivo
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entonces:a + ( a) = a + ( 1) a
a + ( a) + ( a) = a + ( 1) a + ( a) --> Inverso aditivo de ( a )
0 + ( a) = 0 + ( 1) a
( a) = ( 1) a
Teniendo en cuenta lo demostrado anteriormente se tiene que:
( x ) y = [ ( 1 ) x ] y
= x [ ( 1 ) y ] --> Conmutatividad
= x ( y )
= ( 1 ) x y --> Conmutatividad
= ( x y )
( x ) y = ( x y ) = x ( y )
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Ejercicios• Si a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, demostrar que a c + b d 1
Demostración:
( a c )2 0 -------> a2 2ac + c2 0
( b d )2 0 -------> b2 2bd + d2 0
a2 + b2 2ac 2bd + c2 + d2 0
1 2ac 2bd + 1 0
2 2ac 2bd 0
2 ( 1 ac bd ) 0 / 2 1 ac + bd
------------->
6
Ejercicios• Si a b c , a, b, c, + . Demostrar
que
6b
caa
cbc
ba
abc)c(b a)b(a c)c(a b 222222
abcc)ac(ac)bc(bb)ab(a
bca
acb
cba
abcaccabccbabba 222222
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Ejercicios• Si a b c , a, b, c, + . Demostrar
que
6b
caa
cbc
ba
( a c )2 > 0 -------> a2 + c2 > 2ac
( a b )2 > 0 -------> a2 + b2 > 2ab
( b c )2 > 0 -------> b2 + c2 > 2bc
a2 + c2 > 2ac / b
a2 + b2 > 2ab / c
b2 + c2 > 2bc / a
------->
------->
------->
b (a2 + c2) > 2abc
c (a2 + b2) > 2abc
a (b2 + c2) > 2abc
b (a2 + c2) + c (a2 + b2) + a (b2 + c2) > 6abc
6abc
)ca(b)bc(a)cb(a 222222
8
Ejercicios• Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b
Demostración:
2
1ab
b1
a1
2
a > b / + a
a + a > b + a
2 a > a + b / 2
a > ( a + b ) 2
1
( a b )2 > 0
a2 2ab + b2 > 0 / + 2ab
a2 2ab + 2ab+ b2 > 0 + 2aba2 + b2 > 2ab / + 2ab
a2 + 2ab + b2 > 2ab + 2ab / + 2ab
( a + b)2 > 4ab /
a + b > 2 / 1/2 ab
( a + b ) > ab2
1
a > b / + a
a + a > b + a
2 a > a + b / (a+b)
/.bbba
2ab
b
b1
a1
2
9
Ejercicios• Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b
Demostración:
2
1 abb1
a1
2
( a + b)2 > 4ab / (ab)2
22
2
(ab)4ab
(ab)b)(a
/ab4
b1
a1 2
21/ab2
b1
a1
1()/ab1
2b1
a1
ab
b1
a1
2
a > ( a + b ) 2
1
( a + b ) > 2
1ab
TRANSITIVIDAD
a > (a + b ) > > > b
2
1ab
b1
a1
2
ab
b1
a1
2
b
b1
a1
2
10
Ejercicios• Si a, b, c , demostrar que: b2c2 + c2a2+ a2b2 abc ( a + b + c )
Demostración:
Como ( a b )2 0 -------> a2 + b2 2ab
Como ( b c )2 0 -------> b2 + c2 2bc
Como ( c a )2 0 -------> c2 + a2 2ca
a2 + b2 2ab / c2
( a2 + b2 ) c2 2abc2
b2 + c2 2bc / a2
( b2 + c2 ) a2 2bca2
c2 + a2 2ca / b2
( c2 + a2 ) b2 2cab2
a2c2 + b2c2 2abc2 b2a2 + c2a2 2bca2 c2b2 + a2b2 2cab2
a2c2 + b2c2 + b2a2 + c2a2 + c2b2 + a2b2 2abc2 + 2bca2 + 2cab2
2 a2c2 + 2b2c2 + 2c2a2 2abc2 + 2bca2 + 2cab2
2 (b2c2 + c2a2 + a2b2 ) 2bca ( a + b + c )
b2c2 + c2a2 + a2b2 abc ( a + b + c ) 11
EjerciciosDemuestre que :
1c)c)(bb)(a(a
2abcb)a)(c(c
aba)c)(b(b
acc)b)(a(a
bc
Se busca el mínimo común denominador que es el mínimo común múltiplo
1c)(bc)(ab)(a
bc ( b + c ) + ac (a + c ) + ab ( a + b ) + 2abc
Se desarrolla el denominador
1c)(bc)(ab)(a
b2c + bc2 + a2c + ac2 + a2b + ab2 + 2abc
Se desarrolla el numerador
12abcabbaaccabccb 222222
b2 c + bc2 + a2 c + ac2 + a2b + ab2 + 2abc12