Autorizada la entrega del proyecto de la alumna:
D.ª Nuria Merchán Ríos
Madrid, 8 de septiembre de 2009
EL DIRECTOR DEL PROYECTO
Fdo.: Dr. D. Francisco Javier Rodríguez Gómez
Vº Bº del Coordinador de Proyectos
Fdo.: D. Eduardo Alcalde Lancharro Fecha: ……/ ……/ ……
PROYECTO FIN DE CARRERA
SOFTWARE DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON VALOR EN FRONTERA DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
AUTORA: NURIA MERCHÁN RÍOS
MADRID, SEPTIEMBRE 2009
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO EN INFORMÁTICA
Agradecimientos y dedicatoria
“Sé perseverante, porque el agua horada la roca a fuerza de caer sobre
ella.
Prosigue y no desmayes, y ten en mucho lo poco conseguido, pues la
llovizna no es abundante y, sin embargo, cala.”
El collar de la paloma, Ibn Hazm de Córdoba
Gracias a mis padres y a mi hermana que siempre han estado ahí
apoyándome y recordándome esta cita de este poeta cordobés. También
quiero darle las gracias a mi director Francisco Javier, por su ayuda y
paciencia.
Finalmente, quiero dedicarle este proyecto, de forma muy especial a
aquellos que se emocionarían sabiendo que ya terminé esta ingeniería.
Software para la resolución de EDO I
Resumen
Es objeto del presente proyecto el abordar un desarrollo software para el estudio, análisis e
implementación de los métodos numéricos que se encargan de resolver de manera
aproximada las ecuaciones diferenciales de segundo orden con la siguiente estructura:
y≥ = f Hx, y, y£L a§ x § b
que verifica las condiciones de frontera en los puntos extremos del intervalo:
yHaL = a y yHbL = b.
Este tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presentan con frecuencia en
numerosos problemas de Ingeniería Civil (deflexiones de una viga de sección rectangular
con carga uniforme), en Física (potenciales electroestáticos en materiales cargados
uniformemente), y en Química (análisis del flujo de la corriente en un tubo al vacío,
ecuación de Van der Pol).
Los métodos numéricos objeto de análisis, estudio e implantación son:
1.- Método del disparo lineal. Se basa en la sustitución del problema lineal con condiciones
de frontera por otros dos problemas con valores iniciales. Se emplea el método de Runge-
Kutta de cuarto orden (que resuelve ecuaciones diferenciales de primer orden) con el fin de
conseguir las aproximaciones de este método.
Proyecto Fin de Carrera II
2.- Método del disparo para problemas no lineales. Aun pareciéndose al método lineal, la
solución del problema no se expresa como una combinación lineal de las soluciones a los
problemas de dos valores iniciales, si no que utiliza una sucesión de problemas con valor
inicial. Este método se auxilia del método de de Runge-Kutta de cuarto orden y del método
de resolución de ecuaciones no lineales de Newton.
3.- Método de las diferencias finitas para problemas lineales. Este método reemplaza las
derivadas en las ecuaciones diferenciales por una aproximación de cocientes de diferencias
finitas adecuadas.
4.- Método de las diferencias finitas para problemas no lineales. Utiliza, como en el
método anterior, el método de diferencias finitas, pero al dar origen a un sistema de
ecuaciones no lineales, se requiere un proceso iterativo para su resolución, en particular se
emplea el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
5.- Método de Raileigh-Ritz. En este método se selecciona de un conjunto de todas las
funciones, suficientemente derivables que verifican las condiciones de frontera, aquellas
que reducen al mínimo unas determinadas integrales. Posteriormente, se disminuye el
conjunto de funciones candidatas para obtener la aproximación a la solución del problema
con valor de frontera. Es decir, la función que aproxima la solución es una combinación
lineal de ciertas funciones básicas que son linealmente independientes.
En el método lineal segmentario cada función básica es sustituida por un polinomio lineal
definido por intervalos.
Software para la resolución de EDO III
En el método de los trazadores cúbicos cada función básica es sustituida por un polinomio
cúbico o trazador B (polinomio cúbico en forma de campana). Este método da origen a un
sistema lineal de ecuaciones con una matriz simétrica de banda con un ancho máximo de
valor siete, que se resuelve mediante el método de descomposición de Cholesky.
Los citados métodos, tras haberse estudiado detalladamente, se diseñan y se programan en
un lenguaje con capacidades de cálculo numérico, simbólico y con funcionalidades gráficas,
a fin de analizar tanto las aproximaciones numéricas con su cota de error, como representar
las gráficas de la solución exacta de la ecuación diferencial junto a la función aproximada
obtenida.
Por ultimo, se presentan todos los algoritmos de este proyecto bajo una interfaz gráfica de
usuario (GUI) que facilita y permite comprobar cada uno de los métodos para cualquier
ecuación diferencial de segundo orden con valor en la frontera de dos puntos. Los
resultados, numéricos y gráficos, se presentan en la propia interfaz de usuario diseñada, y el
detalle de todos los pasos intermedios con los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
y demás fórmulas, se indican en un fichero del entorno de desarrollo empleado: el programa
Mathematica.
Proyecto Fin de Carrera IV
Abstract
The objective of this project is to develop software for the study, analysis and
implementation of numerical methods which are used to solve in an approximate way a
second-order differential equations with the following structure:
y≥ = f Hx, y, y£L a§ x § b
Which verifies the boundary-values conditions at the endpoints of the interval:
yHaL = a y yHbL = b.
This types of second-order differential equations are often presented in many problems of
Civil Engineering (alterations of a rectangular beam section with uniform weight load) in
Physics (electrostatic potentials in materials uniformly loaded) and in Chemistry (The Van
der Pol equation, i.e. an analysis of the flow of the stream in a vacuum pipe/tube
(Relaxation Oscillations).
The numerical methods to be analysed, studied and implanted/introduced are:
1. - Linear shooting method. Which is based on the substitution of the boundary-value
linear problem for two other problems with initial values. The fourth-order Runge-Kutta
method (which solves first-order differential equations) with the aim of achieving the
approximations of this method.
Software para la resolución de EDO V
2. - The shooting method for nonlinear problems. Even though it is similar to the linear
method, the solution to the problem is not expressed as a linear combination of the
solutions to the problems with two initial values Instead a succession of problems with
initial value is used. This method is supported by the fourth-order Runge Kutta method and
the Newton method for solving nonlinear equations.
3. - The finite-difference method for linear problems. This method replaces the derivatives
in the differential equations for an approximation of quotients of adequate finite differences.
4. - The finite-difference method for nonlinear problems. Like the previous method, it uses
the finite-difference method, but as it gives rise to a system of nonlinear equations, a
repeated process is required in order to solve it; in particular the Newton method for
nonlinear equations systems is applied.
5. - Raileigh-Ritz method. In this method, a whole group of all the functions is selected,
enough derivative, which verify the boundary-values conditions, those ones that reduce
some specific integral signs to the minimum. As a result, the group of candidate functions
for obtaining the approximation to the solution of the problem with boundary-value is
diminished. That is to say, the function which brings up the solution is a linear combination
of some basic functions which are independent in a linear way.
The piecewise linear method, each basic function is substituted by a linear polynomial
defined by intervals.
In the cubic spline method, each basic function is substituted by a cubic polynomial or B
Proyecto Fin de Carrera VI
tracer (cubic polynomial with a bell shape). This method gives rise to a linear system of
equations with a symmetric band matrix with a maximum width of seven which is solved
through Cholesky's decomposition method.
When studied in detail, the methods mentioned above are designed and programmed in a
language with numerical, symbolic calculation capacities and with graphic functions with
the aim of analysing the numerical approximations with their error figure, and also
representing the exact graphics solution of the differential equation together with the
approximate function obtained.
Finally, all the algorithms of this project under a graphical user interface (GUI) facilitates
and allows checking each of the methods for any second-order differential equation with
boundary-value of two points. The numerical and graphic results are presented in the
designed user interface itself, and the detail of all the intermediate steps with the linear and
nonlinear equation system together with the rest of the formula are shown in a file of the
development environment used: the Mathematica programme.
Software para la resolución de EDO VII
Índice
Agradecimientos y dedicatoria I......................................................................................
Resumen II.........................................................................................................................
Abstract V...........................................................................................................................
Índice VIII..............................................................................................................................
1. Introducción y motivación... 1.......................................................................................
2. Objetivos del proyecto... 5.............................................................................................
3. Análisis de requisitos... 7...............................................................................................
3.1. Requisitos funcionales... 7...................................................................................
4. Metodología... 13.............................................................................................................
5. El método del disparo lineal... 20....................................................................................
5.1. Método de Runge-Kutta... 20................................................................................
5.2. Método del disparo lineal... 24..............................................................................
6. El método del disparo no lineal... 30...............................................................................
7. El método lineal de diferencias finitas... 38....................................................................
8. El método lineal de diferencias finitas para problemas no lineales... 45.........................
9. El método de Rayleigh-Ritz... 54....................................................................................
9.1. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz... 54................................................
9.2. Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz... 72...........................................
9.2.1. Método de Cholesky... 93............................................................................
10. Estudio de la arquitectura... 95......................................................................................
11. Diseño externo... 96.......................................................................................................
11.1. Métodos lineales... 97..........................................................................................
Proyecto Fin de Carrera VIII
11.2. Métodos no lineales... 103.....................................................................................
11.3. Métodos de Rayleigh-Ritz... 110...........................................................................
11.4. Menú Ayuda... 131................................................................................................
12. Valoración económica y planificación... 133.................................................................
12.1. Valoración económica del proyecto... 133............................................................
12.2. Planificación temporal del proyecto... 138............................................................
13. Conclusiones... 139..........................................................................................................
Anexo I. Manual de Instalación y de Usuario... 143..............................................................
Bibliografía... 146..................................................................................................................
CD-ROM. Software de Resolución de Problemas con valor en frontera para la Resolución
de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. (en Mathematica”).
† Código de los algoritmos numéricos.
Código (Problemas de Contorno con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb
† Interfaz de usuario.
Interfaz.nb
† Conjunto de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias resueltos con los
diferentes métodos numéricos de aproximación.
Problemas (Problemas de Contorno con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb
Software para la resolución de EDO IX
1. Introducción y motivación
La construcción de infraestructuras de gran tamaño y para uso público,
principalmente edificios, obras hidráulicas y de transporte, es hoy en día de gran
importancia. Por ello, existe una rama de la ingeniería llamada Ingeniería Civil que aplica
los conocimientos de Física, Química y Geología a la elaboración de dichas infraestructuras.
Figura 1
Puente ValdebebasHMadridL.
Figura 2
Croquis del puente ValdebebasHMadridL.
Software para la resolución de EDO 1
Un problema común en las obras de ingeniería civil, como la que se puede observar
en las imágenes anteriores, es el que se relaciona con la deflexión de una viga de sección
transversal rectangular sujeta a una carga uniforme, mientras sus extremos están soportados
de modo que no experimentan deflexión alguna.
Figura 3
Deflexión de una viga.
La ecuación diferencial que aproxima esta situación física es una ecuación
diferencial de segundo orden de la forma
„2w
„x2= S
E I w+
q x2 E I
Hx- 1L
donde w = w HxL es la deflexión a una distancia x desde el extremo izquierdo de la viga, l es
la longitud, q representa la intensidad de la carga uniforme, E es el módulo de elasticidad, S
el esfuerzo en los extremos y finalmente I es el momento central de inercia.
Esta ecuación diferencial tiene asociadas dos condiciones de frontera dadas por la
suposición de que no ocurre deflexión alguna en los extremos de la viga
w H0L = w HlL = 0.
Proyecto Fin de Carrera 2
Cuando la viga tiene un espesor uniforme, el producto E I es constante y la solución
exacta se obtiene fácilmente. No obstante, en muchas aplicaciones el espesor no es
uniforme y, por lo tanto, el momento de inercia I es una función de x, y se requieren
métodos de aproximación para hallar la solución del cálculo de la deflexión, y es esto a lo
que el presente proyecto está dedicado.
El presente proyecto tratará de calcular las aproximaciones de las ecuaciones
diferenciales dadas mediante la aplicacion de diferentes métodos numéricos que se van a
desarrollar:
è Método del disparo lineal; para ecuaciones lineales, se basa en la sustitución del
problema lineal con valor de frontera por dos problemas con valor inicial.
è Método del disparo para problemas no lineales; la solución a este problema no
puede expresarse como una combinación lineal de las soluciones de los problemas de dos
valores iniciales. Se necesitan utilizar las soluciones de una sucesión de problemas con un
valor inicial.
è Método de diferencias finitas para problemas lineales; se basa en reemplazar las
derivadas en la ecuación diferencial mediante una aproximación de cociente de diferencias
adecuada.
è Método de diferencias finitas para problemas no lineales; se parece al método
lineal, pero en este caso el sistema de ecuaciones no será lineal y, por lo mismo se requiere
un proceso iterativo para resolverlo.
Software para la resolución de EDO 3
è Método de Rayleigh-Ritz; en este método el problema se aborda de una forma
distinta, ya que se reformula el problema de valor de frontera como un problema que
consiste en seleccionar, del conjunto de todas las funciones suficientemente derivables que
satisfacen las condiciones de frontera, aquélla que reduzca al mínimo una determinada
integral.
La motivación del presente proyecto es realizar un software sencillo e intuitivo
capaz de calcular, una vez introducida la ecuación, la aproximación a dichas funciones
utilizando los métodos citados anteriormente. Y así permitir el cálculo de las deflexiones de
las vigas en los problemas de Ingeniería Civil, entre otras áreas técnicas.
Conocer diversos algoritmos para la aproximación de ecuaciones diferenciales no
estudiados durante toda la carrera es otra motivación, ya que amplían los conocimientos de
matemáticas adquiridos hasta el momento y proporcionan una aplicación práctica a estas
aproximaciones como puede ser en el ámbito de la Ingeniería Civil.
Otra motivación es aprender la utilización de la herramienta y el lenguaje
Mathematica que es un programa orientado a áreas científicas, de ingeniería, matemáticas y
áreas computacionales.
Proyecto Fin de Carrera 4
2. Objetivos del proyecto
Los objetivos que se proponen para este proyecto han sido los de conocer e
implementar cinco métodos diferentes para aproximar con un grado de similitud aceptable
ecuaciones diferenciales procedentes, en este caso, del cálculo de las deflexiones de vigas
de longitud l al aplicarle una fuerza, entre otras aplicaciones prácticas. Además, se intenta
mostrar a través de una aplicación software estas aproximaciones calculadas con unas
gráficas para poder observar la solución obtenida por el programa.
Por lo tanto, otro objetivo que se propone es el de diseñar dicha aplicación con una
interfaz de usuario que permita insertar las fórmulas y mostrar los resultados obtenidos y la
función gráfica de la aproximación y de la solución exacta.
Además se considera la finalidad educativa y formativa la intencionalidad principal
del proyecto.
A continuación, se citan los objetivos propuestos para el desarrollo correcto de la
aplicación:
1.- Estudio del método del disparo lineal para su comprensión, y así diseñar un
algoritmo para su posterior programación. Realización de diferentes ejercicios para
comprobar el correcto funcionamiento del programa. Este método implementa para su
funcionamiento el método de Runge-Kutta, con lo cual también es necesario su estudio.
2.- Estudio del método del disparo no lineal para su comprensión y el posterior
Software para la resolución de EDO 5
diseño del algoritmo y programación del mismo. De igual manera, se requiere la
programación de diferentes ejercicios para comprobar el correcto funcionamiento del
programa. Aquí hay que enfrentarse a un método que trata problemas que no son lineales
como en el método anterior.
3.- Estudio del método de las diferencias finitas para su comprensión, y diseñar el
algoritmo y posteriormente su programación. Se realizarán diferentes ejercicios para
comprobarlo. Este método trata problemas diferentes a los anteriores, ya que presentan la
dificultad de que son algo inestables.
4.- Estudio del método de las diferencias finitas no lineal, diseño del algoritmo y
programación. Se realizará una tanda de ejercicios para comprobar su funcionamiento. Este
método trata problemas que son también algo inestables pero que además son no lineales.
5.- Estudio del método de Rayleigh-Ritz, que se compone de dos métodos: el
método lineal segmentario y el método de los trazadores cúbicos. Diseño de ambos
algoritmos y su programación. De igual manera hay que realizar ejercicios para su
comprobación. Este es sin duda el método más complejo por su forma de tratar los
problemas.
6.- Diseño y programación de una interfaz de usuario para la aplicación que permita
al usuario realizar de manera cómoda el cálculo de las aproximaciones de las ecuaciones
introducidas y que muestre los resultados de forma gráfica. Se realizará gracias a un paquete
que se añade a Mathematica y que permite la creación de estos interfaces.
Proyecto Fin de Carrera 6
3. Análisis de requisitos
3.1. Requisitos funcionales
RF001. Métodos de la aplicación.
La aplicación debe implementar sies métodos de aproximación de ecuaciones
diferenciales para generar dicha aproximación y gráficos que muestren el resultado. Los
métodos que se implementen serán los siguientes:
Método del disparo lineal.
Método del disparo no lineal.
Método lineal de las diferencias finitas.
Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales.
Método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario.
Método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos.
RF002. Método del disparo lineal.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
(1)-y≥ + pHxL y£ + qHxL y+ rHxL = 0,
a§ x§ b yHaL = a yHbL = b.
Software para la resolución de EDO 7
RF003. Método del disparo no lineal.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se necesitan unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para la función.
(2)y≥ = f Hx, y, y£L,
a§ x§ b f HaL = yHaL = a f HbL = yHbL = b.
RF004. Método lineal de las diferencias finitas.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
(3)y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxL,
a§ x§ b yHaL = a yHbL = b.
RF005. Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
(4)y≥ = f Hx, y, y£L,
a§ x § b yHaL = a yHbL = b.
Proyecto Fin de Carrera 8
RF006. Método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
(5)-
„
„ x pHxL „ y
„ x+ qHxL y = f HxL,
0§ x § 1 y H0L = y H1L = 0.
RF007. Método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos.
Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas
condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la
existencia de una solución para dicha función.
(6)-
„
„ x pHxL „ y
„ x+ qHxL y = f HxL,
0§ x § 1, y H0L = yH1L = 0.
Software para la resolución de EDO 9
RF008. Interfaz de Usuario.
El interfaz de usuario debe permitir la ejecución de todos los métodos de una forma
sencilla para el usuario y que a su vez muestre los resultados de forma clara.
Este interfaz debe contener las siguientes ventanas:
Ventana menú. Al iniciar la aplicación aparecerá una ventana donde se podrá
elegir el método que se desea ejecutar. Además debe incluir un acceso a una ayuda para el
usuario.
Ventana para el método del disparo lineal. Debe incluir tres casillas de texto para
introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del intervalo, dos
casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última casilla para
introducir el tamaño del paso del intervalo. También debe mostrar la solución obtenida
mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana para el método del disparo no lineal. Debe incluir una casilla de texto
para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del
intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última
casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo. Así mismo debe mostrar la solución
calculada mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.
Proyecto Fin de Carrera 10
Ventana para el método lineal de diferencias finitas. Debe incluir tres casillas de
texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del
intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última
casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo. Debe mostrar la solución obtenida
mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana para el método lineal de diferencias finitas para problemas no
lineales. Debe incluir una casilla de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos
casillas para introducir los valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de
frontera del intervalo y otra última casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo.
Así mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación
obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana para el método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario. Debe incluir tres
casillas de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los
valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra
última casilla para introducir el número de subintervalos que se realizarán del intervalo. Así
mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación
obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana para el método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos. Debe incluir tres
casillas de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los
valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra
última casilla para introducir el número de subintervalos que se realizarán del intervalo. Así
Software para la resolución de EDO 11
mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación
obtenida y un gráfico comparativo.
Ventana ayuda al usuario. Debe contener una ayuda para que el usuario sepa
cómo debe ejecutar cada método, qué parámetros usa y su pseudocódigo.
Ventana acerca de la aplicación. Debe contener los datos relevantes de la
aplicación, nombre, autor, director y otros datos que se consideren.
Proyecto Fin de Carrera 12
4. Metodología
A continuación, se describe la metodología utilizada para el desarrollo de la
aplicación del proyecto, la cual, al tratarse de un desarrollo de un software que implementa
funciones matemáticas, no utiliza una metodología estándar.
La metodología de desarrollo empleada está basada en el modelo estructurado de
Yourdon y se siguen unos determinados pasos formales necesarios en este desarrollo, pero
adaptándola a las necesidades de implementación del proyecto. Seguidamente se muestra de
manera gráfica las diferentes fases en la que se observa que se han propuesto diferentes
paquetes de trabajo (WP).
Figura 4
Fases del desarrollo de la aplicación.
Software para la resolución de EDO 13
WP.01.- Definición del problema.
Es el paquete de trabajo fundamental para el desarrollo del proyecto, ya que se
estudiarán todas las propuestas e ideas que se tienen para el desarrollo del mismo. Se
marcan los límites y alcance del proyecto y de qué manera serán abordados. De esta manera
se obtendrán los objetivos generales a conseguir.
Es necesario obtener y estudiar información relacionada con los métodos de
aproximación que se van a programar en el proyecto para tener todo el conocimiento
necesario para el correcto desarrollo. Así como las herramientas que se van a emplear para
el mismo.
WP.02.- Análisis de requisitos.
En este paquete de trabajo se procederá a describir y a analizar todo lo que la
aplicación tiene que poder hacer una vez que el proyecto esté terminado. Se clasifican
requisitos como funcionales y no funcionales, divididos a su vez en requisitos para cada
uno de los métodos que se implementan.
Estos requisitos han de ser tenidos en cuenta durante todo el desarrollo del proyecto
y tienen que ser verificados en la fase de pruebas.
Proyecto Fin de Carrera 14
WP.03.- Desarrollo de los métodos.
Este módulo de trabajo a su vez se ha dividido en otro ciclo iterativo que se repite
para cada método, de manera que cada método se termina totalmente antes de pasar al
siguiente, con un mayor grado de complejidad. A continuación se puede ver de manera
gráfica lo explicado anteriormente.
Figura 5
Desarrollo de los métodos numéricos.
WP.03.1.- Análisis de conceptos.
Se estudia en profundidad el método a implementar. Es necesario buscar toda la
información posible para conseguir una correcta relación de conceptos así como de todas
las funciones que a su vez utiliza el método.
Software para la resolución de EDO 15
WP.03.2.- Análisis de requisitos.
Es necesario aplicar todos los requisitos específicos que se propusieron para cada
uno de los métodos, como la manera de introducir las ecuaciones, cómo deben tratarse y
cómo tienen que ser las salidas.
WP.03.3.- Diseño del algoritmo.
Es necesario escribir un pseudocódigo con toda la información recabada hasta este
punto, que cumpla con los requisitos y funcionalidades necesarios.
WP.03.4.- Codificación del método.
Se codifica en el lenguaje especificado el pseudocódigo del paquete de trabajo
anterior, de manera que pueda implementar ya la funcionalidad requerida correctamente.
WP.03.5.- Realización de ejercicios de prueba.
En este paquete de trabajo se tiene que probar rigurosamente el correcto
funcionamiento del método implementado, de no ser así, se debe volver a la codificación
del método (WP.03.5) si el fallo es de programación, o al diseño del algoritmo (WP.03.4) si
el fallo es conceptual.
WP.03.6.- Documentación del método.
Se realiza una explicación detallada de la funcionalidad del método.
Proyecto Fin de Carrera 16
WP.04.- Desarrollo del interfaz de usuario.
Este módulo de trabajo a su vez se ha dividido en otro ciclo iterativo que se repite
para cada método, de manera que cada método tiene su interfaz totalmente terminada antes
de pasar al siguiente. De igual manera, como se especifica en los requisitos, se desarrolla un
interfaz menú desde el que se acceden a los demás. A continuación se puede ver de manera
gráfica.
Figura 6
Desarrollo del interfaz de usuarioHGUIL.
WP.04.1.- Análisis de requisitos del interfaz.
Es necesario aplicar todos los requisitos específicos que se propusieron para cada
uno de los interfaces de cada método, como la manera de introducir las ecuaciones y cómo
tienen que mostrarse las salidas.
Software para la resolución de EDO 17
WP.04.2.- Diseño del interfaz.
Es necesario realizar un diseño previo de cuáles serán y de cómo aparecerán los
componentes del interfaz para que se adapte a los requisitos expuestos.
WP.04.3.- Programación del interfaz.
Se programa en el lenguaje y con la herramienta especificada de manera que se
pueda ejecutar la funcionalidad completa requerida.
WP.04.4.- Realización de pruebas del interfaz.
Se realizan pruebas de entrada y salida. De manera que si ocurriera algún error se
tendría que volver al paquete de programación del interfaz (WP.04.3) para subsanarlo si el
error fuera de programación o al paquete de diseño del interfaz (WP.04.2) si el error fuera
de diseño o si no se ajustase a los requisitos.
WP.05.- Realización de pruebas globales.
En este paquete de trabajo se comprueba la funcionalidad completa de la aplicación.
Hay que validar que el programa hace lo que tiene que hacer, navegar correctamente por la
aplicación, y comprobar que la ejecución es correcta y que muestra los resultados correctos
en función del método elegido. Si se produce algún error se tiene que volver al método
donde ha ocurrido y verificarlo de nuevo.
Proyecto Fin de Carrera 18
También se tiene que validar el cumplimiento de todos los requisitos enunciados al
comienzo del desarrollo.
WP.06.- Documentacion final.
En este paquete de trabajo se ha considerado que se deben desarrollar dos tareas
fundamentalmente. Se puede observar gráficamente a continuación.
Figura 7
Documentación final.
WP.06.1.- Documentación del proyecto.
Se describe con detalle todos los métodos implementados, así como todos los
componentes del ciclo de desarrollo utilizados, valoración económica, planificación,
además de todos los documentos que se consideren oportunos.
WP.06.2.- Realización de manual de usuario.
En este paquete de trabajo se realiza un documento para la ayuda al usuario al
manejo de la aplicación, navegación por la misma, explicación de funcionalidad y temas
que puedan resultarle de interés para una correcta utilización del software.
Software para la resolución de EDO 19
5. El método del disparo lineal
En los métodos de la serie de Taylor para resolver problemas de valor inicial el
error global final es del orden de O IhNM, donde N se puede elegir suficientemente grande
para que el error sea pequeño. El inconveniente de este método es la elección del valor de N
y el cálculo de las derivadas, que puede ser muy complicado.
Cada método de Runge-Kutta se deriva del correspondiente de Taylor de orden N
en el que el error global final es del orden de O IhNM. Se realiza una simplificación para
realizar varias evaluaciones de funciones en cada paso para eliminar el cálculo de las
derivadas de orden superior. Estos métodos se pueden construir para cualquier orden N.
5.1. Método de Runge-Kutta
El método más empleado es el de orden N = 4 ya que es muy preciso, estable y fácil
de programar. El método de Runge-Kutta de orden cuarto, también llamado RK4 simula la
precisión del de la serie de Taylor de orden N = 4. Se basa en el cálculo de la aproximación
yi+1 del modo siguiente:
(7)yi+1 = yi +w1 F1 + w2 F2 +w3 F3 +w4 F4,
siendo
(8)
F1 = h f Hxi , yiL,F2 = h f Hxi + a1 h, yi + b1 F1L,F3 = h f Hxi + a2 h, yi + b2 F1 + b3 F2L,F4 = h f Hxi + a3 h, yi + b4 F1 + b5 F2 + b6 F3L.
Proyecto Fin de Carrera 20
Si se igualan los coeficientes con los del método de la serie de Taylor de orden
N = 4, de modo que el error local sea del orden O Ih5M, en el método de Runge-Kutta se
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(9)
b1 = a1,
b2 + b3 = a2,
b4 + b5 + b6 = a3,
w1 +w2 +w3 +w4 = 1,
w2 a1 +w3 a2 +w4 a3 =1
2,
w2 a12 +w3 a2
2 +w4 a32 =
1
3,
w2 a13 +w3 a2
3 +w4 a33 =
1
4,
w3 a1 b3 +w4Ha1 b5 + a2 b6L = 1
6,
w3 a1 a2 b3 +w4 a3Ha1 b5 + a2 b6L = 1
8,
w3 a12 b3 +w4Ia1
2 b5 + a22 b6M = 1
12,
w4 a1 b3 b6 =1
24.
El sistema tiene 11 ecuaciones y 13 incógnitas. Las dos condiciones adicionales más
empleadas son
(10)a1 =1
2, b2 = 0.
Con estas restricciones la solución al sistema de ecuaciones viene dado por los
valores
Software para la resolución de EDO 21
(11)
a1 =1
2, a2 =
1
2, a3 = 1,
b1 =1
2, b2 = 0, b3 =
1
2, b4 = 0, b5 = 0, b6 = 1,
w1 =1
6, w2 =
1
3, w3 =
1
3, w4 =
1
6.
Sustituyendo estas variables en la fórmula general del método de Runge-Kutta de
orden N = 4, se obtiene la siguiente regla para generar los las aproximaciones yi+1:
(12)
yi+1 = yi +HF1 + 2 F2 + 2 F3 + F4L
6,
F1 = h f Hxi , yiL,F2 = h f xi +
h
2, yi +
1
2 F1 ,
F3 = h f xi +h
2, yi +
1
2 F2 ,
F4 = h f Hxi + h, yi + F3L.
Se llama método de cuarto orden debido a que reproduce los términos de la serie de
Taylor incluyendo el término h4, por lo que el error es O Ih5M.
Error del método frente al tamaño del paso
El término de error de la regla de Simpson usada para aproximar la integral de la
expresión yHx1L - yHx0L = Ÿx0
x1 f Hx, yHxLL „ x con un tamaño de paso de h ê 2 viene dado por
(13)-yH4LHxL h5
2880.
Si este fuera el único error cometido en cada paso, entonces después de los M pasos
el error acumulado por el método de Runge-Kutta de orden N = 4 HRK4L sería:
Proyecto Fin de Carrera 22
(14)-‚i=1
MyH4LHxiL h5
2880º
Hb- aL5760
yH4LHxL h4 º O Ih4M.
El método de RK4 tiene un error global final de orden O Ih4M.Precisión del método de Runge-Kutta
Se supone que yHxL es la solución del problema de valor inicial e yHxL œ C4+1@x0, bD,y 8Hxi , yiL<i=0
M es la sucesión de aproximaciones generadas por el método de Runge-Kutta de
orden 4. Entonces:
(15)
ei = †yHxiL - yi § = O Ih4M ,
ei+1 = †yHxi+1L - Hyi + h Tn Hxi , yiLL§ = O Ih4+1M = OIh5M,Tn Hxi , yiL = ‚
j=1
n yH jLHxiLj !
h j-1.
El error global final del intervalo en el extremo derecho viene dado por
(16)EHyHbL, hL = †yHbL - yM § = O Ih4M.Si se emplea el método de Runge-Kutta de orden N = 4 con tamaños de paso h y
h ê 2, se obtiene un error global final que viene dado por:
(17)
EHyHbL, hL º C h4,
E yHbL, h
2º C
h
2
4
=1
16 C h4 º
1
16 EHyHbL, hL.
Si el tamaño de paso se reduce a la mitad en el método RK4 el error global final se
reducirá en un factor de 116.
A continuación se presenta el algoritmo que calcula los valores del problema de
valor inicial empleando el método de Runge-Kutta de orden N = 4.
Software para la resolución de EDO 23
è Algoritmo 1. Método de Runge-Kutta de orden N = 4 HRK4L
Input Hy£ = f Hx, yL , yHaL = y0, a, b, hLn ≠ Hb - aL êhx0 ≠ a
For i = 0, 1, 2, 3, ..., n - 1 do
F1 ≠ h f Hxi, yiLF2 ≠ h f Jxi + h
2, yi +
1
2 F1N
F3 ≠ h f Jxi + h
2, yi +
1
2 F2N
F4 ≠ h f Hxi + h, yi + F3Lyi+1 ≠ yi + 1 ê6 HF1 + 2 F2 + 2 F3 + F4Lxi+1 ≠ xi + h
End
Return H8y0, y1, ..., yn <LOutput
5.2. Método del disparo lineal
Es el método utilizado para resolver de manera aproximada ecuaciones diferenciales
de segundo orden, con unas condiciones de frontera y un valor inicial. Se proponen una
serie de condiciones que garantizan la existencia de una solución para dicha función.
ô Teorema 1. Se supone:
y≥ = f Hx, y, y£L, ab xb b, f HaL = a, f HbL = b
continua en el conjunto
D = 8Hx, y, y£L » a § x§ b, -¶ < y< ¶, -¶ < y£ < ¶<
y ∑ f ê∑ y y ∑ f ê∑ y£son también continuas en D.
Si ∑ f∑y Hx, y, y£L > 0 para toda Hx, y, y£L œ D y existe una constante M , con
Proyecto Fin de Carrera 24
… ∑ f∑y Hx, y, y£L … § M , para toda Hx, y, y£L œ D,entonces el problema tiene una solución
única.
El método del disparo se basa en dividir la función en dos funciones y1HxL y
y2HxL que se obtienen de manera aproximada, después se aproxima la solución mediante la
siguiente ecuación:
(18)yHxL = y1HxL + b - y1HbLy2HbL y2HxL.
Esta ecuación representa la solución única al problema con valor de frontera
siempre y cuando y2HbL ∫ 0.
El algoritmo que se utiliza para obtener una aproximación a la función es el
siguiente.
Con la función:
(19)y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxLse toman como datos de entrada los extremos a y b, las condiciones de frontera a y b,
yHaL = a e yHbL = b, y el número de subintervalos N.
Software para la resolución de EDO 25
è Algoritmo 2. Método del disparo lineal
Input HpHxL, qHxL, r HxL, a, b, a, b, hLmatriz u, v, k, kp, w
vector xi, yi
(* Se inicializan los vectores y matrices *)
For i = 1, ..., 4 do
For j = 1, 2 do
ki, j ≠ 0
kpi, j
≠ 0
End
End
For i = 0, ...., 60- 1 do
xi ≠ 0
End
For i = 0, ..., 3- 1 do
For j = 0, ..., 60- 1 do
ui, j ≠ 0
vi, j ≠ 0
wi, j ≠ 0
End
End
n ≠ Round B b-ah
F;u1,0 ≠ a
u2,0 ≠ 0
v1,0 ≠ 0
v2,0 ≠ 1
For i = 0, 1, ..., n - 1 do
xi ≠ a + i µh
k1,1 ≠ h µu2,i
k1,2 ≠ h µ IpHxiLµu2,i + q HxiLµu1,i + rHxiLMk2,1 ≠ h µ Iu2,i + 1
2 k1,2M
k2,2 ≠ h µ Jp Jxi + h
2Nµ Iu2,i + 1
2 k1,2M + q Jxi + h
2Nµ
µ Iu1,i + 1
2 k1,1M + rJxi + h
2NN
k3,1 ≠ h µ Iu2,i + 1
2 k2,2M
k3,2 ≠ h µ Jp Jxi + h
2Nµ Iu2,i + 1
2 k2,2M + q Jxi + h
2Nµ
µ Iu1,i + 1
2 k2,1M + rJxi + h
2NN
k4,1 ≠ h µ Iu2,i + k4,2M
Proyecto Fin de Carrera 26
k4,2 ≠ h µ IpHxi + hLµ Iu2,i + k3,2M + qHxi + hLµ Iu1,i + k3,1M+ rHxi + hLM
u1,i+1 ≠ u1,i +1
6 Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1M
u2,i+1 ≠ u2,i +1
6 Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2M
k£1,1 ≠ h µv2,i
k£1,2 ≠ h µ IpHxiLµv2,i + qHxiLµv1,iM
k£2,1 ≠ h µ Iv2,i + 1
2 k£
1,2Mk£
2,2 ≠ h µ JpJxi + h
2Nµ Iv2,i + 1
2 k£
1,2M +qJxi + h
2Nµ Iv1,i + 1
2 k£
1,1MNk£
3,1 ≠ h µ Iv2,i + 1
2 k£
2,2M k£
3,2 ≠ h µ JpJxi + h
2Nµ Iv2,i + 1
2 k£
2,2M +qJxi + h
2Nµ Iv1,i + 1
2 k£
2,1MNk£
4,1 ≠ h µ Iv2,i + k£3,2M
k£4,2 ≠ h µ IpHxi + hLµ Iv2,i + k£
3,2M +qHxi + hLµ Iv1,i + k£
3,1MMv1,i+1 ≠ v1,i +
1
6 Ik£
1,1 + 2 k£2,1 + 2 k£
3,1 + k£4,1M
v2,i+1 ≠ v2,i +1
6 Ik£
1,2 + 2 k£2,2 + 2 k£
3,2 + k£4,2M
End
w1,0 ≠ a
w2,0 ≠b-u1,n
v1,n
For i = 0, 1, ..., n do
w1,i = u1,i +w2,0 µv1,i
w2,i = u2,i +w2,0 µv2,i
End
Return J8xi<i=0n , 9w1,i=i=0n NOutput
Software para la resolución de EDO 27
Ejemplo.
à Problema 1. Represéntese con u el potencial electrostático entre dos esferas metálicasconcéntricas de radio R1 y R2 con R1 < R2, tales que el potencial de la esfera interior semantenga constante en V1 voltios y el potencial de la esfera exterior sea 0 volts. Elpotencial de la región situada entre ambas esferas está regido por la ecuación de Laplace,que en esta aplicación particular se reduce a:
„2u
„r2+ 2
r „u„r
= 0 R1 b r b R2 uHR1L = V1, uHR2L = 0
Supóngase que R1 = 2 plg, R2 = 4plg y que V1 = 110volts.a) Aproximar uH3L por medio del algoritmo del disparo lineal.b) Comparar los resultados de la parte (a) con el potencial real uH3L, donde
uHrL = V1 R1
r I R2-r
R2-R1M.
Método del disparo lineal para el problema con valor de frontera:
y≥ = -2
xy£ + 0y + 0
x œ @2., 4.D, yH2.L = 110., yH4.L = 0. h = 0.2
i xi u1,i v1,i w1,i w2,i
0 2.0000000000 110.0000000000 0.0000000000 110.0000000000 -110.0007250420
1 2.2000000000 110.0000000000 0.1818140590 90.0003216920 -90.9098962614
2 2.4000000000 110.0000000000 0.3333271869 73.3337677598 -76.3896741012
3 2.6000000000 110.0000000000 0.4615313634 59.2312153917 -65.0894867210
4 2.8000000000 110.0000000000 0.5714210884 47.1432659743 -56.1231128776
5 3.0000000000 110.0000000000 0.6666591047 36.6670151264 -48.8894884031
6 3.2000000000 110.0000000000 0.7499925253 27.5002784455 -42.9692901652
7 3.4000000000 110.0000000000 0.8235221130 19.4119704861 -38.0627707556
8 3.6000000000 110.0000000000 0.8888818110 12.2223563183 -33.9510573337
9 3.8000000000 110.0000000000 0.9473615838 5.7895389053 -30.4713128917
10 4.0000000000 110.0000000000 0.9999934088 0.0000000000 -27.5003625208
Tabla de errores
Proyecto Fin de Carrera 28
xi w1,i yHxiL »w1,i - yHxiL»2.0000000000 110.0000000000 110.0000000000 0.0000000000
2.2000000000 90.0003216920 90.0000000000 0.0003216920
2.4000000000 73.3337677598 73.3333333333 0.0004344264
2.6000000000 59.2312153917 59.2307692308 0.0004461609
2.8000000000 47.1432659743 47.1428571429 0.0004088314
3.0000000000 36.6670151264 36.6666666667 0.0003484598
3.2000000000 27.5002784455 27.5000000000 0.0002784455
3.4000000000 19.4119704861 19.4117647059 0.0002057803
3.6000000000 12.2223563183 12.2222222222 0.0001340961
3.8000000000 5.7895389053 5.7894736842 0.0000652211
4.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
Gráficas de la solución de la ecuación diferencial
yHxL = 110 H4- xLx
y la aproximación obtenida con el método del disparo lineal con
un tamaño de paso h = 0.2
2.5 3.0 3.5 4.0X
20
40
60
80
100
Y
Software para la resolución de EDO 29
6. El método del disparo no lineal
Este método se utiliza para resolver problemas no lineales con valor de frontera de
segundo orden:
(20)y≥ = f Hx, y, y£L,a § x§ b, f HaL = yHaL = a, f HbL = yHbL = b.
Tiene parecido con el método anterior sin embargo la solución de un problema no
lineal no puede expresarse como una combinación de dos problemas iniciales, así que para
este método se utiliza en lugar de dos problemas una sucesión de ellos, donde t es un
parámetro para la aproximación de la solución, de la siguiente forma:
(21)y≥ = f Hx, y, y£L, a § x§ b, yHaL = a, y£HaL = t.
Se escoge el parámetro t = tk de tal forma que
límkz¶
yHb, tkL = yHbL = b,
donde yHb, tkL es la solucion del problema de valor inicial con t = tk e yHxL es la solución al
problema con valor de frontera.
La ténica que se sigue es empezar con un parámetro t0, que determinará la posición
inicial a partir de la cual se traza una recta que tratará de aproximar la solución, como si de
un disparo se tratase, buscando el objetivo desde el punto Ha, aL a lo largo de la curva que
describe la solución al problema de valor inicial dado por
y≥ = f Hx, y, y£L, a§ x§ b, yHaL = a, y£HaL = t0.
Proyecto Fin de Carrera 30
x
y
••••
a b
••••
ββββ
αααα
y (b, t 0)
(a, αααα)
(b, y (b, t 0))
y (x, t 0)
pendiente t 0
Figura 8
Problema del valor inicial con la elevación inicialt0 desde el puntoHa, aL.
Si yHb, t0L no está lo suficientemente cerca de b se utilizarán las elevaciones
t1, t2, ... y así sucesivamenete hasta que se considere que el valor yHb, tkL se aproxima lo
suficiente al valor b, es decir, se acierte en el blanco. Véase la siguiente figura.
x
y
••••
a b
••••
ββββ
αααα (a, αααα)
y (x, t 0)
••••
••••
•••• y (x, t 1)
y (x, t 3)
y (x, t 2)
y (b, t 0)
y (b, t 1)
y (b, t 3)
y (b, t 2)
Figura 9
Problema del valor inicial con diferentes elevaciones.
Software para la resolución de EDO 31
Los parámetros tk se calculan de tal forma que:
yHb, tL - b = 0.
Ecuación no lineal en cuya resolución se puede aplicar el método de Newton o del
de la Secante.
Para utilizar el método de la Secante se necesitan unas aproximaciones iniciales
t0 y t1 y luego generar las t restantes mediante la siguiente ecuación:
(22)tk = tk-1 -HyHb, tk-1L - bL Htk-1 - tk-2L
yHb, tk-1L - yHb, tk-2L , k = 2, 3, ...
Para generar la misma sucesión 8tk< con el método de Newton sólo se necesita la
primera aproximación de la sucesion t0. Se aplica la siguiente ecuación:
(23)tk = tk-1 -yHb, tk-1L - b
„ y„ t Hb, tk-1L .
Este método requiere que se conozca „ y„ t Hb, tk-1L, que es un problema porque no se
dispone de la función yHb, tL, sólo de unos valores yHb, t0L, yHb, t1L, ... , yHb, tk-1L.
Si se modifica el problema de valor inicial (20), teniendo en cuenta que la solución
se basa en y y en t se tiene:
(24)
y≥Hx, yL = f Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL,a§ x§ b, yHa, tL = a, y£Ha, tL = t.
Proyecto Fin de Carrera 32
Para calcular „ y„ t Hb, tL cuando t = tk-1, se calcula la derivada parcial de la ecuación
anterior respecto de t:
(25)
∑ y≥
∑ t Hx, tL = ∑ f
∑ t Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL
∑ y≥
∑ t Hx, tL = ∑ f
∑ x Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑x
∑ t
+∑ f
∑ y Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑ y
∑ t+∑ f
∑ y£ Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑ y£
∑ t.
Dado que x y t son independientes entonces ∑ x∑ t
= 0 y
(26)
∑ y≥
∑ t Hx, tL =
∑ f
∑ y Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑ y
∑ t Hx, tL + ∑ f
∑ y£ Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑ y£
∑ t.
con a§ x§ b. Las condiciones iniciales resultan:
∑ y∑ t Ha, tL = 0 y ∑ y£
∑ t Ha, tL = 1.
Si se simplifica la ecuación anterior usando zHx, tL en lugar de ∑ y∑ t Hx, tL y si se
invierte el orden de derivar de x y de t, se convierte en el problema de valor inicial:
(27)
z≥Hx, tL = ∑ f
∑ y Hx, y, y£L zHx, tL + ∑ f
∑ y£ Hx, y, y£L z£Hx, tL,
a§ x§ b, zHa, tL = 0, z£Ha, tL = 1, zHx, tL = ∑ y
∑ t Hx, tL.
Como se ve, el método de Newton necesita que los dos problemas de valor inicial
sean resueltos en cada iteración del método.
Software para la resolución de EDO 33
(28)tk = tk-1 -yHb, tk-1L - b
zHb, tk-1L .
De todos modos ningún problema de valor inicial puede resolverse de manera
exacta. Se puede buscar una solución aproximada utilizando un método como éste, cuyo
algoritmo se plantea un poco más abajo (algoritmo 3). En dicho algoritmo se utiliza el
método de Runge-Kutta de cuarto orden para aproximar la dos soluciones que necesita el
método de Newton.
è Algoritmo 3. Método del disparo no lineal
El siguiente algoritmo aproxima la solución numérica del problema no lineal de
valor de la frontera dado por
y≥ = f Hx, y, y£L, a§ x§ b, f HaL = yHaL = a, f HbL = yHbL = b
con un paso dado por h con una tolerancia tol o un número máximo de m iteraciones.
Input Hf HxL, a, b, a, b, h, tol, mLmatriz k, kp, w
vector xi, yi,ui, vi
(* Se inicializan los vectores y matrices *)
For i = 1, ..., 4 do
For j = 1, 2 do
ki, j ≠ 0
kpi, j
≠ 0
End
End
For i = 0, ...., 60- 1 do
xi ≠ 0
End
For j = 0, ..., 60- 1 do
Proyecto Fin de Carrera 34
ui, j ≠ 0
vi, j ≠ 0
wi, j ≠ 0
End
n ≠ Round B b-ah
F;tk≠ Round B a-b
b-aF;
cont = 1;
While cont § m do
w1,0 ≠ a
w2,0 ≠ tk
u1 ≠ 0
u2 ≠ 1
For i = 1, 2, ..., n - 1 do
xi ≠ a + Hi - 1Lµhk1,1 ≠ h µu2,i-1
k1,2 ≠ h µ If HxiL, w1,i-1, ww,i-1Mk2,1 ≠ h µ Iw2,i +
1
2 k1,2M
k2,2 ≠ h µ Jf HxiL + h
2, w1,i-1 +
1
2µk1,1,
w2,i-1 +1
2µk1,2N
k3,1 ≠ h µ Iuw2,i-1 +1
2 k2,2M
k2,2 ≠ h µ Jf HxiL + h
2, w1,i-1 +
1
2µk2,1,
w2,i-1 +1
2µk2,2N
k4,1 ≠ h µ Iw2,i-1 + k4,2Mk2,2 ≠ h µ Jf HxiL + h
2, w1,i-1 +
1
2µk3,1,
w2,i-1 +1
2µk3,2N
w1,i+1 ≠w1,i +1
6 Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1M
w2,i+1 ≠w2,i +1
6 Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2M
k£1,1 ≠ h µv2
k£1,2 ≠ h µ IfyIxi, w1,i-1, 22,i-1M u1
+ fy£ Ixi, w1,i-1, 22,i-1M u2Mk£
2,1 ≠ h µ Iv2 + 1
2 k£
1,2M
k£2,2 ≠ h µ IfyIxi + 1
2, w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + 1
2µk£
1,1M+ fy£ Ixi + 1
2, w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + 1
2µk£
1,2MMk£
3,1 ≠ h µ Iv2 + 1
2 k£
2,2M
k£3,2 ≠ h µ IfyIxi + 1
2, w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + 1
2µk£
2,1M+ fy£ Ixi + 1
2, w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + 1
2µk£
2,2MM
Software para la resolución de EDO 35
k£4,1 ≠ h µ Iv2 + k£
3,2Mk£
4,2 ≠ h µ IfyIxi + 1
2, w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + k£
2,1M+ fy£ Ixi + 1
2, w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + k£
2,2MM
v1,i+1 ≠ v1,i +1
6 Ik£
1,1 + 2 k£2,1 + 2 k£
3,1 + k£4,1M
v2,i+1 ≠ v2,i +1
6 Ik£
1,2 + 2 k£2,2 + 2 k£
3,2 + k£4,2M
End
If …w1,N - b … b tol do
For i = 0, 1, ..., N do
xi ≠ a + i µh
SALIDA Ixi, w1,i, w2,iMProceso terminado
End
End If
tk = tk -w1,N-b
u1
cont = cont + 1
End While
SALIDA HNúmeromáximode iteraciones excedidoLProceso terminado sin éxito
Return J8xi<i=0n , 9w1,i=i=0n NOutput
Ejemplo.
à Problema 2. La ecuación de Van der Pol:y≥ - mIy2 - 1M y£ + y= 0
rige el flujo de la corriente en un tubo al vacío con tres elementos internos. Seam = 1
2 , yH0L = 0, y yH2L = 1. Aproximar la solución yHtL para t = 0.2i, donde 1 § i § 9.
Método del disparo no lineal para el problema con valor de frontera:
y≥ =1
2Iy2 - 1M z - y
x œ @0., 2.D, yH0.L = 0., yH2.L = 1. h = 0.2
Proyecto Fin de Carrera 36
i xi w1,i w2,i
0 0.0000000000 0.0000000000 1.4493098115
1 0.2000000000 0.2741820867 1.2876947955
2 0.4000000000 0.5138861327 1.1076209444
3 0.6000000000 0.7168357586 0.9212303115
4 0.8000000000 0.8821406042 0.7310688000
5 1.0000000000 1.0088521172 0.5346865325
6 1.2000000000 1.0953383832 0.3282347528
7 1.4000000000 1.1393133677 0.1095119683
8 1.6000000000 1.1384586255 -0.1191497223
9 1.8000000000 1.0915768064 -0.3486231536
10 2.0000000000 1.0000169321 -0.5628194818
Gráficas de la solución de la ecuación diferencial
yHxL = 88yHxL Ø InterpolatingFunction@H 0. 2. L, <>D@xD<<y la aproximación obtenida con el método del disparo lineal con
un tamaño de paso h = 0.2
0.5 1.0 1.5 2.0X
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Y
Software para la resolución de EDO 37
7. El método lineal de diferencias finitas
El método de las diferencias finitas se utiliza para resolver problemas que presentan
cierta inestabilidad y que con los métodos anteriormente estudiadoss no podían resolverse.
Este método tiene mejor estabilidad pero cuesta más llegar a una solución con
precisión. Este método sustituye las derivadas en la ecuacion diferencial mediante una
aproximacion del cociente de diferencias adecuada.
El problema de valor de frontera de segundo orden
(29)y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxL, a § x§ b, yHaL = a, yHbL = b
requiere utilizar las aproximaciones del cociente de diferencias para aproximar tanto a
y£como a y≥. Primero, se escoge el número de subintervalos n+ 1 en los que se va a dividir
el intervalo @a, bD, cuyos extremos de estos subintervalos son los puntos de malla. Se
calcula el valor del subintervalo h=Hb-aLHn+1L , y al calcularse h así se facilita la aplicación de un
algoritmo matricial con el cual se resuelve un sistema lineal que contenga una matriz nµn.
Para los puntos de malla xi , para i = 1, 2, 3, ...,n, la ecuación que se aproxima es:
(30)y≥HxiL = pHxiL y£HxiL + qHxiL yHxiL + rHxiL.Al desarrollar y en el tercer polinomio de Taylor alrededor de xi evaluada en xi+1 y
xi-1, se tiene:
yHxi+1L = yHxi + hL = yHxiL + h y£HxiL + h2
2 y≥HxiL + h3
6 yH3LHxiL + h4
24 yH4LIxi
+M
Proyecto Fin de Carrera 38
para alguna xi+en Hxi , xi+1L, y
yHxi-1L = yHxi - hL = yHxiL - h y£HxiL + h2
2 y≥HxiL - h3
6 yH3LHxiL + h4
24 yH4LHxi
-L
para alguna xi+en Hxi , xi+1L, suponiendo y œ C4@xi-1, xi+1D. Si se suman estas escuaciones y
se simplifica se obtiene la fórmula de las diferencias centradas para y≥HxiL:
(31)y≥HxiL = 1
h2@yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1LD - h2
12 yH4LHxiL.
De manera semejante se obtiene para y£HxiL:
(32)y£HxiL = 1
2 h@yHxi+1L - yHxi-1LD - h2
6 yH3LHhiL,
hi œ Hxi-1, xi+1L.Si se sustituyen las ecuaciones de las diferencias centradas en los términos y de la
ecuación (24) resulta:
(33)
yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1Lh2
= pHxiLB yHxi+1L - yHxi-1L2 h
F +
qHxiL yHxiL + rHxiL - h2
12A2 pHxiL yH3LHhiL - yH4LHziLE.
El método de diferencia finitas se obtiene utilizando esta ecuación junto con las
condiciones de frontera yHaL = a e yHbL = b para definir
(34)
w0 = a, wn+1 = b
2 wi -wi+1 - wi-1
h2+ pHxiL K wi+1 -wi-1
2 hO qHxiL wi = rHxiL
i = 1, 2, ..., n.
Software para la resolución de EDO 39
Esta ecuación se puede reescribir como sigue:
(35)- 1+h
2 pHxiL wi-1 + I2+ h2 qHxiLM wi - 1-
h
2 pHxiL wi-1 = -h2 rHxiL.
Y el sistema de ecuaciones que resulta se expresa en forma de matriz tridiagonal
nµn de la forma
(36)A w= b
siendo
A=
2+ h2 qHx1L -1+ h2 pHx1L 0 ∫ 0
-1- h2 pHx2L 2+ h2 qHx2L -1+ h
2 pHx2L ∏ ª
0 ∏ ∏ ∏ 0
ª ∏ ∏ ∏ -1+ h2 pHxn-1L
0 ∫ 0 -1+ h2 pHxnL 2+ h2 qHxnL
w =
w1
w2
ª
wn-1
wn
, y b =
-h2 rHx1L + I1+ h2 pHx1LM w0
-h2 rHx2Lª
-h2 rHxn-1L-h2 rHxnL + I1+ h
2 pHxnLM wn+1
Se expresa en el teorema siguiente las condiciones bajo las que el sistema lineal
tridiagonal anterior tiene solución única.
ô Teorema 2. Se supone que p, q y r son continuas en el intervalo @a, bD. Si qHxL ¥ 0 en
@a, bD, entonces el sistema lineal tridiagonal tiene una solución única siempre y cuando
h < 2 L, donde L = máxa§x§b » pHxL ».
Proyecto Fin de Carrera 40
è Algoritmo 4. Método lineal de las diferencias finitas
Input HpHxL, qHxL, r HxL, a, b, a, b, hLvector xi, ai, bi, ci, di, li, ui, wi, zi
(* Se inicializan vectores y matrices *)
For i = 0, ...., n + 1 do
xi ≠ 0
ai ≠ 0
bi ≠ 0
ci ≠ 0
di ≠ 0
li ≠ 0
ui ≠ 0
wi ≠ 0
zi ≠ 0
End
n ≠ Round B b-ah
F - 1
x1 ≠ a + h
a1 ≠ 2+ h2 qHxiLb1 ≠ -1+ J h
2N pHxiL
d1 ≠ -h2 rHxiL + J1+ J h2
N pHxiLN a
For i = 2, ..., n - 1 do
xi ≠ a + i h
ai ≠ 2+ h2 qHxiLbi ≠ -1+ J h
2N pHxiL
ci ≠ -1 - J h2
N pHxiLdi ≠ -h2 rHxiL
End
xn ≠ b - h
xn+1 ≠ b
an ≠ 2 + h2 qHxnLcn ≠ -1- J h
2N pHxnL
dn ≠ -h2 rHxnL + J1- J h2
N pHxnLN b(* Se resuelve un sistema lineal tridiagonal *)
l1 ≠ a1
u1 ≠b1
a1
z1 ≠d1
l1
For i = 2, ..., n - 1 do
Software para la resolución de EDO 41
li ≠ ai - ci ui-1
ui ≠bi
li
zi ≠di-ci zi-1
li
End
ln ≠ an - cn un-1
zn ≠dn-cn zn-1
ln
w0 ≠ a
wn+1 ≠ b
wn ≠ zn
For i = n - 1, ..., 1do
wi ≠ zi - ui wi+1
End
Return I8xi<i=0n , 8wi<i=0n MOutput
Ejemplo:
à Problema 3. La deflexión de una placa rectangular larga y uniformemente cargada, yque se encuentra bajo una fuerza de tensión axial, se rige por la ecuación diferencial desegundo orden.
Sea S la fuerza axial y q la intensidad de la carga uniforme. La deflexión W a lolargo de la longitud elemental está dada por:
W≥HxL = SE I WHxL + q x
2 E I Hx- lL xœ @0, lD WH0L = 0, WHlL = 0.
Donde l es la longitud de la placa, q la intensidad de la carga uniforme, E elmódulo de elasticidad, S el esfuerzo en los extremos y el momento decentral de inerciaes I . Sean l = 120 plg, q= 100 lbê pie, E = 3.0µ107 lb ë plg2, S= 1000 lb, e
I = 625 plg4. Aproximar la deflexión WHxL de la vifa en intervalos de 6 plg.
Método de las diferencias finitas para el problema con valor de frontera:
y≥ = 0.y£ + 5.33333µ10-8y + 2.66667µ10-9 Hx - 120.L xx œ @0., 120.D, yH0.L = 0., yH120.L = 0. h = 6.
Proyecto Fin de Carrera 42
i xi wi
0 0.0000000000 0.0000000000
1 6.0000000000 0.0022980631
2 12.0000000000 0.0045304665
3 18.0000000000 0.0066384627
4 24.0000000000 0.0085702157
5 30.0000000000 0.0102808010
6 36.0000000000 0.0117322061
7 42.0000000000 0.0128933298
8 48.0000000000 0.0137399822
9 54.0000000000 0.0142548850
10 60.0000000000 0.0144276711
11 66.0000000000 0.0142548850
12 72.0000000000 0.0137399822
13 78.0000000000 0.0128933298
14 84.0000000000 0.0117322061
15 90.0000000000 0.0102808010
16 96.0000000000 0.0085702157
17 102.0000000000 0.0066384627
18 108.0000000000 0.0045304665
19 114.0000000000 0.0022980631
20 120.0000000000 0.0000000000
Gráfica de la aproximacion obtenida con el método lineal de diferencia finitas
con un tamaño de paso h = 6.
Software para la resolución de EDO 43
20 40 60 80 100 120X
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
Y
Proyecto Fin de Carrera 44
8. El método lineal de diferencias finitas para problemas no lineales
Este método es parecido al expuesto anteriormente para problemas lineales, sin
embargo estos problemas no tendrán un sistema de ecuaciones lineal y por lo tanto hace
falta un proceso iterativo para resolverlos. Sea el caso de los problemas no lineales con
valor de frontera:
(37)y≥ = f Hx, y, y£L, a§ x§ b, yHaL = a, yHbL = b
Para el desarrollo de este método se supondrá que f satisface las siguientes
condiciones:
ô 1.- f y las derivadas parciales fy ª ∑ f ê∑ y y fy£ ª ∑ f ê∑ y£ son continuas en
D = 8Hx, y, y£L » a§ x§ b, -¶ < y < ¶, -¶ < y£ < ¶<;
2.- fyHx, y, y£L ¥ d en D para alguna d > 0;
3.- Existen las constantes k y L, con
k = máxHx,y,y£L e DfyHx, y, y£L , L = máxHx,y,y£L e D
fy£Hx, y, y£L .
Esto garantiza que exista una solución única.
Al igual que en el método anterior, se divide el intervalo @a, bD en N + 1
subintervalos de ancho el valor h que se calcula como h= Hb- aL ê HN + 1L cuyos extremos
se encuentran en xi = a+ h i, para i = 0, 1, ... , N + 1. Si se supone que la solución exacta
Software para la resolución de EDO 45
tiene una cuarta derivada acotada permite reemplazar y≥HxiL y y£HxiL en cada una de las
ecuaciones:
(38)y≥HxiL = f Hxi , yHxiL, y£HxiLLpor la fórmula adecuada de diferencias centradas. Esto da, para toda i = 1, 2, ..., N,
(39)
yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1Lh2
= f xi ,yHxi+1L - yHxi-1L
2 h-
h2
6 yH3LHhiL +
h2
12 yH4LHxiL,
para alguna hi y zi en el intervalo Hxi-1, xi+1L.
Los resultados del método de diferencias finitas se emplean cuando se eliminan los
términos de error y las condiciones de frontera:
w0 = a, wn+1 = b,
y
-wi+1- 2 wi +wi-1
h2+ f Ixi , wi ,
wi+1-wi-1
2 h M = 0,
para toda i = 1, 2, ..., N.
Proyecto Fin de Carrera 46
El sistema no lineal NµN obtenido con este método es el siguiente:
(40)
2 w1 -w2 + h2 f Kx1, w1,w2 - a
2 hO = 0
-w1 + 2 w2 -w3 + h2 f Kx2, w2, w3 - w1
2 hO = 0
ª
-wN-2 + 2 wN-1 -wN + h2 f KxN-1, wN-1,wN -wN-2
2 hO = 0
-wN-1 + 2 wN + h2 f xN , wN, b -wN-1
2 h- b = 0
Este sistema tiene una solución única siempre y cuado h< 2 ê L.
Para resolver este sistema con una solución aproximada, se aplica el método de
Newton para sistemas no lineales. Se genera una sucesión de iteraciones
:Iw1HkL, w2
HkL, ..., wNHkLMt> que converge a la solución del sistema (34), con la condición de que
la aproximación inicial Iw1H0L, w2
H0L, ..., wNH0LMt
se acerque lo suficiente a la solución
Hw1, w2, ..., wNLt, y de que la matriz jacobiana del sistema no sea singular. En el caso del
sistema (34), la matriz jacobiana JHw1, w2, ..., wNL es tridiagonal. Su elemento i j - ésimo
viene dada por la expresión:
(41)
JHw1, w2, ..., wNLi, j =
:-1+ h
2 fy£ Ixi , wi,wi+1-wi-1
2 h M, i = j - 1, j = 2, ...,N
2+ h2 fy Ixi , wi ,wi+1-wi-1
2 h M, i = j, j = 1, ...,N
-1- h2 fy£ Ixi , wi,
wi+1-wi-1
2 h M, i = j + 1, j = 1, ...,N - 1
Software para la resolución de EDO 47
donde w0 = a y wN+1 = b.
El método de Newton para los sistemas no lineales requiere que en cada iteración se
resuelva el sistema lineal de N µN:
(42)
JHw1, w2, ..., wNL Hv1, ..., vnLT = - 2 w1 -w2 - a + h2 f Kx1, w1,w2 - a
2 hO,
-w1 + 2 w2 -w3 + h2 f Kx2, w2,w3 -w1
2 hO, ... ,
-wN-2 + 2 wN-1 -wN + h2 f KxN-1, wN-1,wN - wN-2
2 hO,
-wN-1 + 2 wN + h2 f xN, wN,b -wN-1
2 h- b
T
para v1, v2, ..., vN, porque
wiHkL = wi
Hk-1L + vi , para cada i = 1, 2, ...,N,
Puesto que J es tridiagonal, se puede aplicar el algoritmo de factorización de Crout
para los sistemas tridiagonales.
El algoritmo de este método se describe a continuación.
Proyecto Fin de Carrera 48
è Algoritmo 5. Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales
Input Hf HxL, a, b, a, b, h, tol, mLvector xi, ai, bi, ci, di, li, ui, wi, zi
(* Se inicializan vectores y matrices *)
For i = 0, ...., n + 1 do
xi ≠ 0
ai ≠ 0
bi ≠ 0
ci ≠ 0
di ≠ 0
li ≠ 0
ui ≠ 0
wi ≠ 0
zi ≠ 0
End
n ≠ Round B b-ah
F - 1
w0 ≠ a
wn+1 ≠ b
For i = 1, ..., n do
wi ≠ a+ i J b-a
b-aN h
End
cont≠1
While cont § m do
x1 ≠ a + h
t =Iw2-aM2 h
a1 ≠ 2+ h2 fy Hx1, w1, tLb1 ≠ -1 + J h
2N fy£ Hx1, w1, tL
d1 ≠ -I2 w1 -w2 - a + h2 f Hx1, w1, tLMFor i = 2, ..., n - 1 do
xi ≠ a + i h
t =Hwi+1-wi-1L
2 h
ai ≠ 2 + h2 fy Hxi, wi, tLbi ≠ -1+ J h
2N fy£ Hxi, wi, tL
ci ≠ -1- J h2
N fy£ Hxi, wi, tLdi ≠ -I2 wi -wi+1 -wi-1 + h
2 f Hxi, wi, tLMEnd
Software para la resolución de EDO 49
xn ≠ b - h
t =Hb-wn-1L
2 h
an ≠ 2+ h2 fy Hxn , wn, tLcn ≠ -1- J h
2N fy£ Hxn, wn, tL
dn ≠ -I2 wn -wn-1 - b + h2 f Hxn, wn , tLM(* Se resuelve un sistema lineal tridiagonal *)
l1 ≠ a1
u1 ≠b1
a1
z1 ≠d1
l1
For i = 2, ..., n - 1 do
li ≠ ai - ci ui-1
ui ≠bi
li
zi ≠di-ci zi-1
li
End
ln ≠ an - cn un-1
zn ≠dn-cn zn-1
ln
vn ≠ zn
wn ≠wn + vn
For i = n - 1, ..., 1do
vi ≠ zi - ui vi+1wi ≠wi + vi
End
If »» v »» b tol do
For i = 0, ..., N - 1do
xi ≠ a + i h
SALIDA Hxi, wiLProceso terminado
End
End If
cont≠cont+1
SALIDA H ' Númerode iteraciones excedido'LReturn I8xi<i=0N-1, 8wi<i=0N-1MOutput
Proyecto Fin de Carrera 50
Ejemplo.
à Problema 4. Sea el problema de valor de frontera
y≥ = Jx2Hy£L2- 9 y2 + 4 x6N í x5, xœ @1, 2D, yH1L = 0, yH2L = ln 256.
y su solución exacta yHxL = x3 ln x.Aproximar la solución aplicando el método no lineal de diferencias finitas
tomando h= 0.05 y una tolerancia de 10-4.
Método del diferencias finitas para el problema
no lineal con valor de frontera.
y≥ =4 x6 + z2 x2 - 9y2
x5
x œ @1., 2.D, yH1.L = 0., yH2.L = 5.54518 h = 0.05
i xi wi
0 1.0000000000 0.0000000000
1 1.0500000000 0.0562377725
2 1.1000000000 0.1263684409
3 1.1500000000 0.2118227193
4 1.2000000000 0.3140662227
5 1.2500000000 0.4345979113
6 1.3000000000 0.5749486970
7 1.3500000000 0.7366801826
8 1.4000000000 0.9213835170
9 1.4500000000 1.1306783480
10 1.5000000000 1.3662118644
11 1.5500000000 1.6296579151
12 1.6000000000 1.9227161994
13 1.6500000000 2.2471115203
14 1.7000000000 2.6045930975
15 1.7500000000 2.9969339343
16 1.8000000000 3.4259302347
17 1.8500000000 3.8934008681
18 1.9000000000 4.4011868793
19 1.9500000000 4.9511510405
20 2.0000000000 5.5451774445
Tabla de errores.
Software para la resolución de EDO 51
xi wi yHxiL »wi - yHxiL»1.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.
1.0500000000 0.0562377725 0.0564807138 2.4294129214µ10-4
1.1000000000 0.1263684409 0.1268578493 4.8940844341µ10-4
1.1500000000 0.2118227193 0.2125604441 7.3772477638µ10-4
1.2000000000 0.3140662227 0.3150516501 9.8542746209µ10-4
1.2500000000 0.4345979113 0.4358272487 1.2293373602µ10-3
1.3000000000 0.5749486970 0.5764142890 1.4655920832µ10-3
1.3500000000 0.7366801826 0.7383698367 1.6896540091µ10-3
1.4000000000 0.9213835170 0.9232798173 1.8963003043µ10-3
1.4500000000 1.1306783480 1.1327579472 2.0795992538µ10-3
1.5000000000 1.3662118644 1.3684447399 2.2328755092µ10-3
1.5500000000 1.6296579151 1.6320065809 2.3486658077µ10-3
1.6000000000 1.9227161994 1.9251348654 2.4186660246µ10-3
1.6500000000 2.2471115203 2.2495451902 2.4336699615µ10-3
1.7000000000 2.6045930975 2.6069765975 2.3834999521µ10-3
1.7500000000 2.9969339343 2.9991908635 2.2569291292µ10-3
1.8000000000 3.4259302347 3.4279718297 2.0415950205µ10-3
1.8500000000 3.8934008681 3.8951247721 1.7239039938µ10-3
1.9000000000 4.4011868793 4.4024758053 1.2889259445µ10-3
1.9500000000 4.9511510405 4.9518713190 7.2027851232µ10-4
2.0000000000 5.5451774445 5.5451774445 0.
Gráficas de la solución de la ecuación diferencial
yHxL = x3 logHxLy la aproximación obtenida
con el método de las diferencias finitas no lineal
con un tamaño de paso h = 0.05
Proyecto Fin de Carrera 52
1.2 1.4 1.6 1.8 2.0X
1
2
3
4
5
Y
Software para la resolución de EDO 53
9. El método de Rayleigh-Ritz
Este método aborda el problema de hallar la aproximación de la función con un
planteamiento distindo al visto en los anteriores métodos.
Para empezar, se reformula el problema de valor de frontera como un problema que
consista en seleccionar la función que reduzca al mínimo una determinada integral de entre
todas las funciones suficientemente derivables que satisfagan las condiciones de frontera.
El tamaño de del conjunto de funciones se disminuye, obteniéndose así una aproximación a
la solución al problema de minimización y por lo tanto, una aproximación a la solución del
problema con valor de frontera.
9.1. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz
Para explicar este método se considera la aproximación de una solución a este
problema lineal con valor de frontera. Esta ecuación describe la deflexión y HxL de una viga
de longitud l , con una sección transversal variable qHxL, y los exfuerzos agregados pHxL y
f HxL. Satisface la la ecuación diferencial:
(43)-„
„ x pHxL „ y
„ x+ qHxL y = f HxL, para 0§ x § 1
con las condiciones de frontera
(44)y H0L = y H1L = 0
ô Se supone que p œ C1@0, 1D, que q, f œ C@0, 1D y d > 0, tal que
pHxL ¥ d tal que qHxL ¥ 0 para cada x en @0, 1D.
Proyecto Fin de Carrera 54
Con estas suposiciones se garantiza que el problema de valor de frontera,
anteriormente descrito tiene una solución única.
Los problemas con valor de frontera describen fenómenos físicos, en este caso la
solución a la ecuación la viga satisface la propiedad variacional, que resulta indispensable
para el desarrollo del método de Rayleigh-Ritz y que además caracteriza la solución de esa
ecuación como la función que reduce al mínimo cierta integral sobre las funciones
enC02@0, 1D, el conjunto de esas funciones u en C2@0, 1D con la propiedad de que
uH0L = uH1L = 0.
La caracterización de este método se establece en el siguiente teorema.
ô Teorema 5. Sea p œ C1@0, 1D, q, f œ C@0, 1D y además
pHxL ¥ d > 0 qHxL ¥ 0 para 0 § x § 1.
La función y œ C02@0, 1D es la solucion única de la ecuacion diferencial
- „„x IpHxL „y
„xM + qHxL y = f HxL, 0 § x § 1
si y sólo si y es la función única en C20@0, 1D que reduce al mínimo la integral
I @uD = Ÿ0
19pHxL @u£HxLD2 + qHxL @uHxLD2 - 2 f HxL uHxL= „ x.
Reduciendo al mínimo la integral, el método de Rayleigh-Ritz aproxima la solución
de yHxL sólo sobre el conjunto más pequeño de las funciones que contienen combinaciones
Software para la resolución de EDO 55
lineales de ciertas funciones básicas f1, f2, ..., fn. Estas funciones son linealmente
independientes y satisfacen:
fiH0L = fiH1L = 0, para cada i = 1, 2, ..., n.
Después de resolver las constantes c1, c2, ..., cn, que reducen al mínimo
I A⁄ i=1n ci fiE, se obtiene una aproximación fHxL = ⁄ i
n ci fiHxL a la solución yHxL de la
ecuacion anterior. De acuerdo con la ecuación de la integral I @uD, se tiene:
(45)
I @fD = I B‚i=1
n
ci fi FI @fD =
‡0
1:pHxLB‚i=1
n
ci fi£ HxLF
2
+ qHxLB‚i=1
n
ci fi HxLF2
- 2 f HxL ‚i=1
n
ci fi HxL> „ x
Cuando se considera I como una función de c1, c2, ..., cn para encontrar un mínimo
es necesario tener
(46)∑ I
∑ c j= 0 j = 1, 2, ..., n
Derivando se obtiene:
(47)
∑ I
∑ c j= ‡
0
1:2 pHxL ‚i=1
n
ci f£iHxL f£ jHxL + 2 qHxL ‚
i=1
n
ci fiHxL f jHxL
- 2 f HxL f jHxL> „ x
Proyecto Fin de Carrera 56
y al sustituir en la ecuacion anterior se obtiene:
(48)
0 = ‚i =1
n
B‡0
19pHxL f£ iHxL f£ jHxL + qHxL fiHxL f jHxL= „ x F ci -
‡0
1
f HxL f jHxL „ x, j = 1, 2, ..., n.
De estas ecuaciones se obtiene un sistema lineal A c = b de n µ n en las variables
c1, c2, ..., cn, donde esta matriz simétrica viene definida por
(49)
ai j = ‡0
1ApHxL f£ iHxL f£ jHxL + qHxL fiHxL f jHxLE „ x
bi = ‡0
1
f HxL f jHxL „ x.
La elección más elemental de las funciones básicas requiere la intervención de
polinomios lineales seccionados. El primer paso es escoger puntos x0, x1, ... xn+1 para
formar una partición dentro del intervalo @0, 1D de tal manera que
0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1.
Al utilizar hi = xi+1 - xi para toda i = 0, 1, ..., n, se definen las funciones básicas
f1HxL, f2HxL, ..., fnHxL mediante la expresión:
(50)fiHxL = :
0, 0§ x§ xi-1x-xi-1
hi-1, xi-1 < x§ xi
xi+1-xhi
, xi < x § xi+1
0, xi+1 < x§ 1
i = 1, 2, ...,n.
Las funciones fi son lineales y seccionadas, por ello, aunque las derivadas fi£, no
Software para la resolución de EDO 57
son continuas, son constantes en el subintervalo abierto (x j , x j+1L para j = 0, 1, ..., n.
Se obtiene, por tanto,
(51)fi
£HxL = :0, 0< x< xi-1
1hi-1
, xi-1 < x< xi
- 1hi
, xi < x < xi+1
0, xi+1 < x< 1
i = 1, 2, ...,n.
Como fi y fi£ son distintos de cero solamente en (xi - 1, xi+1L,
fi HxL f j HxL ª 0 y fi£HxL f j
£HxL ª 0,
excepto cuando j toma un valor igual a i - 1, i, o i + 1. Por lo tanto, el sistema lineal dado
en el teorema se reduce a un sistema lineal tridiagonal de n µ n. Los elementos de A que
son distintos de cero son:
ai, i = Ÿ0
19pHxL@fi£ HxLD2 + qHxL@fiHxLD2= „ x
= I 1hi-1
M2 Ÿxi-1
xi pHxL „ x + I- 1hi
M2 Ÿxi
xi+1 pHxL „ x
+ I 1hi-1
M2 Ÿxi-1
xi Hx- xi-1L2 qHxL „ x + I 1hi
M2 Ÿxi
xi+1Hxi+1 - xL2 qHxL „ x
para i = 1, 2, ..., n;
ai ,i+1 = Ÿ0
19pHxL fi£HxL f£ i+1HxL + qHxL fi
£HxL fi+1HxL= „ x
= -I 1hi
M2 Ÿxi
xi+1 pHxL „ x + I 1hi
M2 Ÿxi
xi+1Hxi+1 - xL Hx- xiL qHxL „ x,
para i = 1, 2, ..., n- 1;
Proyecto Fin de Carrera 58
ai ,i-1 = Ÿ0
19pHxL fi£HxL f£ i-1HxL + qHxL fi
£HxL fi-1HxL= „ x
= -I 1hi-1
M2 Ÿxi-1
xi pHxL „ x + I 1hi-1
M2 Ÿxi-1
xi Hxi - xL Hx- xi-1L qHxL „ x,
para i = 1, 2, ..., n;
Los valores de la matriz b son:
bi = Ÿ0
1f HxL fiHxL „ x= 1
hi-1 Ÿxi-1
xi Hx- xi-1L f HxL „ x + 1hi Ÿxi
xi+1Hxi+1 - xL f HxL „ x,
para i = 1, 2, ..., n;
Por lo tanto, se obtienen seis tipos de integrales a evaluar:
(52)
Q1, i =1
hi
2
‡xi
xi+1Hxi+1 - xL Hx- xiL qHxL „ x, i = 1, 2, ...,n- 1,
Q2, i =1
hi-1
2
‡xi-1
xi Hx- xi-1L2 qHxL „ x, i = 1, 2, ...,n,
Q3, i =1
hi
2
‡xi
xi+1Hxi+1 - xL2 qHxL „ x, i = 1, 2, ...,n,
Q4, i =1
hi-1
2
‡xi-1
xi
pHxL „ x, i = 1, 2, ...,n+ 1,
Q5, i =1
hi-1 ‡
xi-1
xi Hx- xi-1L f HxL „ x, i = 1, 2, ...,n,
Q6, i =1
hi ‡
xi
xi+1Hxi+1 - xL f HxL „ x, i = 1, 2, ...,n.
Software para la resolución de EDO 59
La matriz A y b del sistema lineal A c = b contienen los elementos:
(53)
ai, i = Q4,i +Q4,i+1 + Q2, i +Q3, i , i = 1, 2, ..., n,
ai,i+1 = -Q4,i+1 +Q1,i , i = 1, 2, ..., n- 1,
ai,i-1 = - Q4,i + Q1-1, i = 2, 3, ..., n,
bi = Q5,i +Q6,i , i = 1, 2, ...,n.
Los elementos de c son los coeficientes desconocidos c1, c2, ..., cn, a partir de los
cuales se construye la aproximación de Rayleigh-Ritz f, dada por fHxL = ⁄ i=1n ci fiHxL.
En este método existe la dificultad práctica de tener que evaluar las 6 n integrales.
Estas integrales puede evaluarse directamente o mediante una fórmula de cuadratura. La
evaluación de la integral consiste en aproximar las funciones p, q y f con su polinomio
interpolante lineal seccionado, e integrar luego la aproximación.
Supóngse que se comienza por la integral de Q1,i . La interpolación lineal
segmentaria de q es
PqHxL = ⁄ i=0n+1 qHxiL fiHxL
donde f1, f2, ..., fn están definidas en la fórmula (50) y además,
f0HxL = :x1-x
x1, 0§ x§ x1
0, entonces
fn+1HxL = :x-xn
1-xn, xn § x§ 1
0, entonces
Puesto que el intervalo de integración es @xi , xi+1D, Pq se reduce a
Proyecto Fin de Carrera 60
PqHxL = qHxiL fiHxL + qHxi+1L fi+1HxL.
La aproximación a Q1, i se obtiene integrando la aproximación al integrando
Q1,i = I 1hi
M2 Ÿxi
xi+1Hxi+1 - xL Hx- xiL qHxL „ x
º I 1hi
M2 Ÿxi
xi+1Hxi+1 - xL Hx- xiLA qHxi L Hxi+1-xLhi
+qHxi+1L Hx-xiL
hiE „ x
= hi
12@qHxiL + qHxi+1LD.
De la misma manera se realizan las aproximaciones a las integrales restantes,
obteniéndose los siguientes resultados:
(54)
Q1,i ºhi
12@qHxiL + qHxi+1LD
Q2,i ºhi-1
12@3 qHxiL + qHxi-1LD
Q3,i ºhi
12@3 qHxiL + qHxi+1LD
Q4,i ºhi-1
2@pHxiL + pHxi-1LD
Q5,i ºhi-1
6@2 f HxiL + f Hxi-1LD
Q6,i ºhi
6@2 f HxiL + f Hxi+1LD.
En el algoritmo que se desarrolla a continuación se establece el sistema lineal
tridiagonal donde se incorpora el algoritmo de factorización de Crout para resolver el
sistema.
Se aproxima la solución al problema de valor de frontera:
- „„x IpHxL „y
„yM + qHxL y = f HxL, 0§ x§ 1, y H0L = yH1L = 0
Software para la resolución de EDO 61
è Algoritmo 6. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz
Input HpHxL, qHxL, f HxL, nLvector xi, ci,hi
(* Se inicializan vectores y matrices *)
x0 ≠ 0
For i = 1, ...., n do
xi ≠ 0
ci ≠ 0
hi ≠ 0
End
For i = 0, ..., n do
hi ≠ xi+1 - xiEnd
For i = 1, ..., n do
fiHxL ô :0, 0 § x § xi-1x-xi-1hi-1
, xi-1 < x § xixi+1-x
hi, xi < x § xi+1
0, xi+1 < x § 1
End
(* Se calculan Q1, j, Q2, j, Q3, j, Q4, j, Q5, j, Q6, j *)
For i = 1, ..., n - 1do
Q1,i ≠hi
12@qHxiL + qHxi+1LD
Q2,i ≠hi-1
12@3 qHxiL + qHxi-1LD
Q3,i ≠hi
12@3 qHxiL + qHxi+1LD
Q4,i ≠hi-1
2@pHxiL + pHxi-1LD
Q5,i ≠hi-1
6@2 f HxiL + f Hxi-1LD
Q6,i ≠hi
6@2 f HxiL + f Hxi+1LD
End
(* Se calculan Q2,n, Q3,n, Q4,n, Q4,n+1, Q5,n, Q6,n *)
Q2,n ≠hn-1
12@3 qHxnL + qHxn-1LD
Q3,n ≠hn
12@3 qHxnL + qHxn+1LD
Q4,n ≠hn-1
2@pHxnL + pHxn-1LD
Q5,n ≠hn-1
6@2 f HxnL + f Hxn-1LD
Q6,n ≠hn
6@2 f HxnL + f Hxn+1LD
Proyecto Fin de Carrera 62
(* Creación del sitema lineal tridiagonal simétrico *)
For i = 1, 2, ..., n - 1do
ai ≠ Q4,i +Q4,i+1 +Q2,i +Q3,i
bi ≠ Q1,i +Q4,i+1
bi ≠ Q5,i +Q6,i
End
an ≠ Q4,n +Q4,n+1 +Q2,n +Q3,n
bn ≠ Q5,n +Q6,n
(* Resolución del sitema lineal tridiagonal simétrico *)
a1 ≠ a1
z1 ≠b1
a1
z1≠b1
a1
For i = 2, ..., n - 1do
ai ≠ ai - bi-1 zi-1
zi ≠bi
ai
zi ≠ Hbi - bi-1 zi-1L aiEnd
an ≠an - bn-1 zn-1
zn ≠Hbn-bn-1 zn-1L
an
cn ≠ zn
For i = n - 1, ..., 1do
ci ≠ zi - zi ci+1End
(* Cálculo de la función lineal segmentaria aproximante f(x) *)
fHxL ≠ ⁄i=1n
ci fiHxLReturn HfHxLLOutput
Ejemplo.
à Problema 5. Considérese el problema con valor de frontera- „
„x He-x y£L + e-x y= Hx- 1L - Hx+ 1L e-Hx-1L xœ @0, 1D, yH0L = 0, yH1L = 0
y su solución exacta y= xHex - eL.Aplíquese el método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la
solución f HxL.
Software para la resolución de EDO 63
Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la
solución al problema de valor de frontera.
-„
„xHpHxL„y
„xL + qHxL y = f HxL
‰-x y + ‰-x„y
„x- ‰-x
„2y
„x2= x - ‰1-x Hx + 1L - 1
pHxL = ‰-x qHxL = ‰-x f HxL = x - ‰1-x Hx + 1L - 1
x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0
Puntos.
n = 19
x0 = 0.
Hxi, hiL =
x1 h1
x2 h2
x3 h3
x4 h4
x5 h5
x6 h6
x7 h7
x8 h8
x9 h9
x10 h10
x11 h11
x12 h12
x13 h13
x14 h14
x15 h15
x16 h16
x17 h17
x18 h18
x19 h19
=
0.05 0.05
0.1 0.05
0.15 0.05
0.2 0.05
0.25 0.05
0.3 0.05
0.35 0.05
0.4 0.05
0.45 0.05
0.5 0.05
0.55 0.05
0.6 0.05
0.65 0.05
0.7 0.05
0.75 0.05
0.8 0.05
0.85 0.05
0.9 0.05
0.95 0.05
xn+1 = 1.
Integrales a evaluar.
Q1, i =H 1hi
L2‡xi
xi+1Hxi+1-xLHx-xiLqHxL „x i = 1, 2,..., n-1.
Proyecto Fin de Carrera 64
Q1, i =
0.00773167892989
0.00735460049901
0.00699591239997
0.00665471772621
0.00633016331282
0.00602143760506
0.00572776862784
0.00544842205530
0.00518269937615
0.00492993614483
0.00468950032202
0.00446079069256
0.00424323536325
0.00403629033268
0.00383943813018
0.00365218652294
0.00347406728447
0.00330463502367
Q2, i =H 1
hi-1L2‡
xi-1
xi Hx-xi-1L2qHxL „x i = 1, 2,..., n.
Q2, i =
0.0160539948995
0.0152710323292
0.0145262552940
0.0138178014636
0.0131438993339
0.0125028637990
0.0118930919363
0.0113130589980
0.0107613146000
0.0102364790940
0.00973724011750
0.00926234931313
0.00881061920657
0.00838092023745
0.00797217793420
0.00758337022839
0.00721352489808
0.00686171713755
0.00652706724376
Software para la resolución de EDO 65
Q3, i =H 1hi
L2‡xi
xi+1Hxi+1-xL2qHxL „x i = 1, 2,..., n.
Q3, i =
0.0156576162758
0.0148939853189
0.0141675970837
0.0134766352203
0.0128193719648
0.0121941638167
0.0115994474294
0.0110337357029
0.0104956140628
0.00998373692465
0.00949682432916
0.00903365874132
0.00859308200560
0.00817399245081
0.00777534213490
0.00739613422427
0.00703542050173
0.00669229899497
0.00636591172154
Q4, i =H 1
hi-1L2‡
xi-1
xi
pHxL„x i = 1, 2,..., n+1.
Proyecto Fin de Carrera 66
Q4, i =
19.5082301997
18.5568025859
17.6517766444
16.7908893388
15.9719880026
15.1930249559
14.4520523852
13.7472174732
13.0767577655
12.4389967637
11.8323397329
11.2552697146
10.7063437332
10.1841891878
9.68750042016
9.21503544952
8.76561286740
8.33810888325
7.93145451444
7.54463291322
Q5, i =1
hi-1‡xi-1
xi Hx-xi-1Lf HxL „x i = 1, 2,..., n.
Q5, i =
-0.0920823543453
-0.0906464595925
-0.0890671552422
-0.0873588716292
-0.0855349728124
-0.0836078260911
-0.0815888674426
-0.0794886629483
-0.0773169664427
-0.0750827736090
-0.0727943727297
-0.0704593922905
-0.0680848456236
-0.0656771727653
-0.0632422796942
-0.0607855751060
-0.0583120048712
-0.0558260843146
-0.0533319284470
Software para la resolución de EDO 67
Q6, i =1
hi‡xi
xi+1Hxi+1-xLf HxL „x i = 1, 2,..., n.
Q6, i =
-0.0911418082118
-0.0896086461892
-0.0879418169777
-0.0861550321492
-0.0842609837696
-0.0822714112291
-0.0801971639778
-0.0780482604087
-0.0758339431140
-0.0735627307280
-0.0712424665587
-0.0688803641976
-0.0664830502873
-0.0640566046152
-0.0616065976921
-0.0591381259668
-0.0566558448167
-0.0541639994481
-0.0516664538317
Sistema tridiagonal simétrico: A.x = b.
A =
38.0967 -18.5491 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-17.6444 36.2387 -17.6444 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -16.7839 34.4714 -16.7839 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -15.9653 32.7902 -15.9653 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -15.1867 31.191 -15.1867 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -14.446 29.6698 -14.446 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -13.7415 28.2228 -13.7415 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -13.0713 26.8463 -13.0713 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -12.4338 25.537 -12.4338 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -11.8274 24.2916 -11.8274 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11.2506 23.1068 -11.2506 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10.7019 21.9799 -10.7019 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10.1799 20.9079 -10.1799 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9.68346 19.8882 -9.68346 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9.2112 18.9183 -9.2112 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.76196 17.9956 -8.76196 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.33463 17.118 -8.33463 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7.92815 16.2831 -7.92815
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7.92815 15.489
Proyecto Fin de Carrera 68
b =
-0.183224
-0.180255
-0.177009
-0.173514
-0.169796
-0.165879
-0.161786
-0.157537
-0.153151
-0.148646
-0.144037
-0.13934
-0.134568
-0.129734
-0.124849
-0.119924
-0.114968
-0.10999
-0.104998
Solución al sistema lineal tridiagonal simétrico.
c =
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
c11
c12
c13
c14
c15
c16
c17
c18
c19
=
-0.0833579867539
-0.161325802637
-0.233488871405
-0.299404271441
-0.358598918782
-0.410567638309
-0.454771116422
-0.490633728118
-0.517541230961
-0.534838318030
-0.541826021412
-0.537758957369
-0.521842403760
-0.493229199752
-0.451016457281
-0.394242073107
-0.321881029648
-0.232841472121
-0.125960548737
Tabla de errores en la aproximación.
Software para la resolución de EDO 69
i xi fiHxiL = ci yHxiL »fHxiL - yHxiL»1 0.0500000000 -0.0833579868 -0.0833505366 7.4501497537µ10-6
2 0.1000000000 -0.1613258026 -0.1613110910 1.4711598641µ10-5
3 0.1500000000 -0.2334888714 -0.2334671379 2.173354501µ10-5
4 0.2000000000 -0.2994042714 -0.2993758141 2.8457380887µ10-5
5 0.2500000000 -0.3585989188 -0.3585641029 3.4815839019µ10-5
6 0.3000000000 -0.4105676383 -0.4105269063 4.0732044091µ10-5
7 0.3500000000 -0.4547711164 -0.4547249980 4.611846945µ10-5
8 0.4000000000 -0.4906337281 -0.4905828523 5.0875790496µ10-5
9 0.4500000000 -0.5175412310 -0.5174863393 5.4891625123µ10-5
10 0.5000000000 -0.5348383180 -0.5347802789 5.8039150726µ10-5
11 0.5500000000 -0.5418260214 -0.5417658458 6.0175586367µ10-5
12 0.6000000000 -0.5377589574 -0.5376978168 6.1140527621µ10-5
13 0.6500000000 -0.5218424038 -0.5217816496 6.0754120577µ10-5
14 0.7000000000 -0.4932291998 -0.4931703847 5.8815060138µ10-5
15 0.7500000000 -0.4510164573 -0.4509613589 5.5098396669µ10-5
16 0.8000000000 -0.3942420731 -0.3941927200 4.9353133337µ10-5
17 0.8500000000 -0.3218810296 -0.3218397301 4.129959513µ10-5
18 0.9000000000 -0.2328414721 -0.2328108456 3.0626548779µ10-5
19 0.9500000000 -0.1259605487 -0.1259435607 1.6988050936µ10-5
Gráfica de la aproximacion obtenida con el método
lineal segmentario de Rayleigh-Ritz.
Proyecto Fin de Carrera 70
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
Y
Software para la resolución de EDO 71
9.2. Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz
La matriz tridiagonal A dada por la funciones básicas es definida positiva, así que,
el sistema lineal es estable respecto al error de redondeo. De acuerdo con todas las hipótesis
formuladas se tiene:
° fHxL - yHxL ° = OIh2M, para todaxen@0, 1D.
Se utilizan las funciones lineales seccionadas básicas que producen una solución
aproximada a la ecuación diferencial que describe el problema de valor de frontera del
apartado anterior, que es continua pero no diferenciable en el intervalo [0, 1]. Sin embargo,
se necesita un conjunto más complejo de funciones básicas para construir una aproximación
que pertenezca C02@0, 1D. Esto se consigue con unas funciones similares al los trazadores
cúbicos interpolantes.
Como definicion de un trazador cubico interpolante S en cinco nodos x0, x1, x2, x3
y x4 para la función f se tiene:
a) S es un polinomio cúbico (Sj) en el intervalo [x j , x j+1] para toda j = 0, 1, 2, 3,
obteniéndose 16 constantes para S, 4 para cada polinomio cúbico.
b) SHx jL = f Hx jL, paraj = 0, 1, 2, 3, 4.
c) Sj+1Hx j+1L = SjHx j+1L, paraj = 0, 1, 2.
d) S£j+1Hx j+1L = Sj
£Hx j+1L, paraj = 0, 1, 2.
e) S≥j+1Hx j+1L = S≥
jHx j+1L, paraj = 0, 1, 2.
Proyecto Fin de Carrera 72
f) Satisface una de las siguientes condiciones de frontera:
Libre: S≥Hx0L = S≥Hx4L = 0
Sujeto:S£Hx0L = f £Hx0L y S£Hx4L = f £Hx4L.
Las funciones de los trazadores cúbicos que se utilizan en estas funciones basicas
reciben el nombre de trazadores B o trazadores en forma de campana que difieren de los
trazadores interpolantes en que se satisfacen las condiciones de frontera descritas en el
punto f . Se flexibilizan dos de las condiciones dadas en los puntos b al e.
Ya que el trazador debe tener dos derivadas continuas en [x0, x4], se eliminan dos
de las condiciones de interpolación. Se modifica la condición del punto b, quedando:
b) SHx jL = f Hx jL para j = 0, 2, 4.
El trazador B básico, S, que se define a continuación usa los siguientes nodos
x0 = -2, x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1 y x4 = 2, que satisfacen las condiciones:
SHx0L = 0, SHx2L = 1, SHx4L = 0
y también
S≥Hx0L = S≥Hx4L = 0 y S£Hx0L = S£Hx4L = 0
En consecuencia, SeC2H-¶, ¶L.
Software para la resolución de EDO 73
(55)SHxL = :
0, x§ -214 H2+ xL3, -2§ x§ -114 AH2+ xL3 - 4 H1+ xL3E, -1< x § 014 AH2- xL3 - 4 H1- xL3E, 0< x§ 114 H2- xL3, 1< x§ 2
0, 2< x
Para constuir las funciones básicas fi en C02@0, 1D, primero se divide el intervalo
[0,1] en intervalos uniformemente espaciados eligiendo un entero positivo n y definiendo
un h= 1n+1 . Se obtienen los nodos equiespaciados xi = i h, siendo i = 0, 1, ..., n, n+ 1.
Así las funciones básicas 8fi<i=0n+1 se definen como sigue:
(56)fiHxL = :
SI xh
M - 4 SI x+hh
M, i = 0
SI x-hh
M - sI x+hh
M, i = 1
SI x-i hh
M, 2§ i § n- 1
SI x-n hh
M -SI x-Hn+2L hh
M, i = n
SI x-Hn+1L hh
M - 4 SI x-Hn+2L hh
M, i = n+ 1
El conjunto 8fi<i=0n+1 es un conjunto de trazadores cúbicos linealmente independientes
que satisfacen fiH0L = fiH1L = 0 para i = 0, 1, ...,n, n+ 1. Puesto que fiHxL y fi£HxL son
distintas de cero, solo con xi-2 § x § xi+2, la matriz de aproximación de Rayleigh-Ritz es
una matriz de banda con un ancho máximo de banda de siete:
Proyecto Fin de Carrera 74
(57)A=
a0,0 a0,1
a1,0 a1,1
a0,2 a0,3
a1,2 a1,3
a2,0 a2,1
a3,0 a3,1
a2,2 a2,3
a3,2 a3,3
0a1,4
∫ 0
∏ ª
a2,4 a2,5
a3,4 a3,5 a3,6
0
ª
0 ∫ 0
∏
∏
an-2,n+1
an-1,n+1
an+1,n-2 an+1,n-1
an,n+1
an+1,n an+1,n+1
donde
ai j = Ÿ0
18pHxL fi£HxL f j
£HxL + qHxL fiHxL f jHxL< „ x
para i, j = 0, 1, ..., n+ 1. La matriz A es definida positiva y se puede resolver el sistema
lineal mediante el algoritmo de Choleski o mediante el método de la eliminación gaussiana.
Se supone fHxL = ⁄i=0n+1 ci fiHxL para toda x en el intervalo [0, 1]. En los nodos xi para
i = 0, ..., n+ 1, se tiene:
f0HxiL = :14 , si i = 1
0, otro caso
f1HxiL = :1, si i = 114, si i = 2
0, otro caso
fnHxiL = :1, si i = n14 , si i = n- 1
0, otro caso
fn+1HxiL = : 14 , si i = n
0, otro caso
y para j = 2, 3, ..., n- 1,
Software para la resolución de EDO 75
f jHxiL = :1, si i = j14 , si i = j - 1 o i = j + 1
0, otro caso
Como se puede observar a continuación en las gráficas, para algunos valores de
f HxL.
−2 −1 1 2x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
y � SHxL
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
y
y � φi@0D
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
y � φi@1D
Proyecto Fin de Carrera 76
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
y � φi@5D
Figura 10
Gráficas defi HxL.
En el siguiente algoritmo se describe la construcción de la aproximación al trazador
cúbico fHxL por el método de Rayleigh-Ritz para el problema con valor de frontera
explicado anteriormente.
è Algoritmo 7. Método de trazadores cúbicos Rayleigh-Ritz
Se aproxima la solución al problema con valor de frontera
- „„x IpHxL „y
„xM + qHxL y = f HxL, 0§ x§ 1, y H0L = yH1L = 0
con la suma de trazadores cúbicos fHxL = ⁄i=1n ci fiHxL.
Input HpHxL, qHxL, f HxL, nLvector xi, hi,ci
(* Se inicializan vectores y matrices *)
For i = 0, ...., n + 1 do
xi ≠ 0
ci ≠ 0
hi ≠ 0
Software para la resolución de EDO 77
End
h ≠ 1
n+1
For i = 0, ..., n + 1do
xi ≠ i h
End
x-2 ≠ 0
x-1 ≠ 0
xn+2 ≠ 1
xn+3 ≠ 1
(* Se define la funcion S *)
SHxL ≠ :
0, x § -21
4 H2+ xL3, -2 < x § -1
1
4AH2+ xL3 - 4 H1+ xL3E, -1 < x § 0
1
4AH2- xL3 - 4 H1- xL3E, 0 < x § 1
1
4 H2 - xL3, 1 < x § 2
0, 2 � x
f0 ≠ SI xh
M - 4 SJ x+hh
Nf1 ≠ SI x-x1
hM - SJ x+h
hN
For i = 2, ..., n - 1 do
fi ≠ SI x-xih
MEnd
fn ≠ SI x-xnh
M -SJ x-Hn+2L hh
Nfn+1 ≠ SI x-xn+1
hM - 4 SJ x-Hn+2L h
hN
For i = 0, ..., n + 1do
For j = i, i + 1 , ..., mín H8i + 3, n + 1<LdoL ≠máxI9x j-2, 0=MU ≠mínH8xi+2, 1<L
ai j ≠ ŸLU 9pHxL fi £HxL f j £HxL+ qHxL fiHxL f jHxL= „x
If i ∫ j then
a j i ≠ ai j
End If
End
If i ¥ 4 then
For j = 0, ..., i - 4do
ai j ≠ 0
End
Proyecto Fin de Carrera 78
End If
If i § n - 3 then
For j = i + 4, ..., n + 1do
ai j ≠ 0
End
End If
L ≠máxH8xi-2, 0<LU ≠mínH8xi+2, 1<L
bi ≠ ŸLU f HxL fiHxL „xEnd
(* Se resuelve el sistema lineal de banda A c = b *)
A ≠ Iai jMi, j=0n+1
b ≠ Hb0, b1, ..., bn+1LT
c ≠ Hc0, c1, ..., cn+1LTc ≠ Cholesky HA, b, nL(* Cálculo de la función aproximante al trazador cúbico f(x) *)
fHxL ≠ ⁄i=1n
ci fiHxLReturn HfHxLLOutput
Ejemplo.
à Problema 6. Considérese el problema con valor de frontera-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y= -4 x2 x œ @0, 1D, yH0L = 0, yH1L = 0
y su solución exacta y= x2 - x.Aplíquese el método de los trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz para aproximar
la solución f HxL.-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y= -4 x2 - „
„x IpHxL „y
„xM + qHxL y = f HxL
f HxL = -4 x2
qHxL = 2
-x2 y≥ - 2 x y£ = - „„x Ix2
„y„x
MM - Ix2 y≥ + 2 xM y£ fl pHxL = x2.
Software para la resolución de EDO 79
Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz para aproximar la
solución al problema de valor de frontera.
-„
„xHpHxL„y
„xL + qHxL y = f HxL
-„2y
„x2x2 - 2
„y
„xx + 2y = -4 x2
pHxL = x2 qHxL = 2 f HxL = -4 x2
x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0
Puntos.
n = 9
x0 = 0.
HxiL =
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
=
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHaj L, SHbj L f j HxL0 0 0 0.2 0 0.1
1.2.
1
4JH2 -10.xL3 -4 H1- 10.xL3 N - H2 -10. Hx + 0.1LL3 1.
2.
1
4JH2 -10. xL3 - 4 H1 -10. xL3 N - H2- 10. Hx + 0.1LL3
0 0 0 0.2 0.1 0.22.3.
1
4H2 -10.xL3 2.
3.
1
4H2 -10. xL3
0 1 0 0.2 0 0.11.2.
1
4JH2 -10.xL3 -4 H1- 10.xL3 N - H2 -10. Hx + 0.1LL3 0.
2.
1
4JH10. Hx -0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - 1
4H2- 10. Hx + 0.1LL3
0 1 0 0.2 0.1 0.22.3.
1
4H2 -10.xL3 1.
3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 -4 H1- 10. Hx -0.1LL3N
0 2 0 0.2 0 0.11.2.
1
4JH2 -10.xL3 -4 H1- 10.xL3 N - H2 -10. Hx + 0.1LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3
0 2 0 0.2 0.1 0.22.3.
1
4H2 -10.xL3 0.
0
1
4JH10. Hx -0.2L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.2L + 1L3N
0 3 0.1 0.2 0.1 0.22.3.
1
4H2 -10.xL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H0,0L = 0.0785714
a H0,1L = 0.0861607
a H0,2L = -0.0367857
Proyecto Fin de Carrera 80
a H0,3L = -0.00419643
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL0 0 0.2 0 0.1
1.2.
1
4IH2- 10. xL3 - 4 H1- 10. xL3M - H2- 10. Hx + 0.1LL3
0 0 0.2 0.1 0.22.3.
1
4H2- 10. xL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H0L = -0.000933333
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHaj L, SHbj L f j HxL1 1 0 0.3 0 0.1
0.2.
1
4JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L +1L3 N - 1
4H2 -10. Hx + 0.1LL3 0.
2.
1
4JH10. Hx -0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - 1
4H2- 10. Hx + 0.1LL3
1 1 0 0.3 0.1 0.21.3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N 1.
3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 -4 H1- 10. Hx -0.1LL3N
1 1 0 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 -10. Hx - 0.1LL3 2.
4.
1
4H2- 10. Hx - 0.1LL3
1 2 0 0.3 0 0.10.2.
1
4JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L +1L3 N - 1
4H2 -10. Hx + 0.1LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3
1 2 0 0.3 0.1 0.21.3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N 0.
0
1
4JH10. Hx -0.2L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.2L + 1L3N
1 2 0 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 -10. Hx - 0.1LL3 1.
0
1
4JH2- 10. Hx -0.2LL3 -4 H1- 10. Hx -0.2LL3N
1 3 0.1 0.3 0.1 0.21.3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N -1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
1 3 0.1 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 -10. Hx - 0.1LL3 0.
0
1
4JH10. Hx -0.3L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.3L + 1L3N
1 4 0.2 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 -10. Hx - 0.1LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H1,1L = 0.445
a H1,2L = 0.06125
a H1,3L = -0.173571
a H1,4L = -0.0116964
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
Software para la resolución de EDO 81
i L U k k+h SHaiL, SHbi L fi Hx L1 0 0.3 0 0.1
0.2.
1
4IH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3M - 1
4H2 - 10. Hx + 0.1LL3
1 0 0.3 0.1 0.21.3.
1
4IH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M
1 0 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 - 10. Hx - 0.1LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H1L = -0.00796667
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL2 2 0 0.4 0 0.1
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3
2 2 0 0.4 0.1 0.20.
0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M
2 2 0 0.4 0.2 0.31.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M
2 2 0 0.4 0.3 0.42.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.2LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.2LL3
2 3 0.1 0.4 0.1 0.20.
0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
2 3 0.1 0.4 0.2 0.31.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M
2 3 0.1 0.4 0.3 0.42.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.2LL3 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M
2 4 0.2 0.4 0.2 0.31.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
2 4 0.2 0.4 0.3 0.42.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.2LL3 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M
2 5 0.3 0.4 0.3 0.42.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.2LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H2,2L = 0.901429
a H2,3L = -0.0516964
a H2,4L = -0.398571
a H2,5L = -0.0229464
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
Proyecto Fin de Carrera 82
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL2 0 0.4 0 0.1
-1.0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3
2 0 0.4 0.1 0.20.0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M
2 0 0.4 0.2 0.31.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M
2 0 0.4 0.3 0.42.0
1
4H2- 10. Hx - 0.2LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H2L = -0.026
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL3 3 0.1 0.5 0.1 0.2
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
3 3 0.1 0.5 0.2 0.30.
0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M
3 3 0.1 0.5 0.3 0.41.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M
3 3 0.1 0.5 0.4 0.52.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.3LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.3LL3
3 4 0.2 0.5 0.2 0.30.
0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
3 4 0.2 0.5 0.3 0.41.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M
3 4 0.2 0.5 0.4 0.52.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.3LL3 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M
3 5 0.3 0.5 0.3 0.41.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
3 5 0.3 0.5 0.4 0.52.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.3LL3 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M
3 6 0.4 0.5 0.4 0.52.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.3LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H3,3L = 1.65143
a H3,4L = -0.220446
a H3,5L = -0.713571
a H3,6L = -0.0379464
Software para la resolución de EDO 83
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL3 0.1 0.5 0.1 0.2
-1.0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
3 0.1 0.5 0.2 0.30.0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M
3 0.1 0.5 0.3 0.41.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M
3 0.1 0.5 0.4 0.52.0
1
4H2- 10. Hx - 0.3LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H3L = -0.056
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL4 4 0.2 0.6 0.2 0.3
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
4 4 0.2 0.6 0.3 0.40.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L+ 1L3M
4 4 0.2 0.6 0.4 0.51.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M
4 4 0.2 0.6 0.5 0.62.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.4LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.4LL3
4 5 0.3 0.6 0.3 0.40.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
4 5 0.3 0.6 0.4 0.51.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M
4 5 0.3 0.6 0.5 0.62.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.4LL3 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M
4 6 0.4 0.6 0.4 0.51.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
4 6 0.4 0.6 0.5 0.62.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.4LL3 -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L+ 1L3M
4 7 0.5 0.6 0.5 0.62.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.4LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H4,4L = 2.70143
a H4,5L = -0.445446
a H4,6L = -1.11857
a H4,7L = -0.0566964
Proyecto Fin de Carrera 84
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL4 0.2 0.6 0.2 0.3
-1.0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
4 0.2 0.6 0.3 0.40.0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M
4 0.2 0.6 0.4 0.51.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M
4 0.2 0.6 0.5 0.62.0
1
4H2- 10. Hx - 0.4LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H4L = -0.098
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL5 5 0.3 0.7 0.3 0.4
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
5 5 0.3 0.7 0.4 0.50.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M
5 5 0.3 0.7 0.5 0.61.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M
5 5 0.3 0.7 0.6 0.72.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.5LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.5LL3
5 6 0.4 0.7 0.4 0.50.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
5 6 0.4 0.7 0.5 0.61.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L+ 1L3M
5 6 0.4 0.7 0.6 0.72.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.5LL3 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M
5 7 0.5 0.7 0.5 0.61.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
5 7 0.5 0.7 0.6 0.72.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.5LL3 -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L+ 1L3M
5 8 0.6 0.7 0.6 0.72.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.5LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H5,5L = 4.05143
a H5,6L = -0.726696
a H5,7L = -1.61357
a H5,8L = -0.0791964
Software para la resolución de EDO 85
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL5 0.3 0.7 0.3 0.4
-1.0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
5 0.3 0.7 0.4 0.50.0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M
5 0.3 0.7 0.5 0.61.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M
5 0.3 0.7 0.6 0.72.0
1
4H2- 10. Hx - 0.5LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H5L = -0.152
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL6 6 0.4 0.8 0.4 0.5
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L+ 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
6 6 0.4 0.8 0.5 0.6-1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3M -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.6L + 1L3M
6 6 0.4 0.8 0.6 0.71.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M
6 6 0.4 0.8 0.7 0.82.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3
6 7 0.5 0.8 0.5 0.6-1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
6 7 0.5 0.8 0.6 0.71.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.7L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.7L + 1L3M
6 7 0.5 0.8 0.7 0.82.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M
6 8 0.6 0.8 0.6 0.71.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
6 8 0.6 0.8 0.7 0.82.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.8L + 1L3M
6 9 0.7 0.8 0.7 0.82.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 -1.
-3.
1
4H10. Hx - 0.9L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H6,6L = 5.70143
a H6,7L = -1.0642
a H6,8L = -2.19857
a H6,9L = -0.105446
Proyecto Fin de Carrera 86
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHai L, SHbi L fiHxL6 0.4 0.8 0.4 0.5
-1.0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
6 0.4 0.8 0.5 0.6 -1.11022 µ10-15
0
1
4JH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3N
6 0.4 0.8 0.6 0.71.0
1
4JH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3N
6 0.4 0.8 0.7 0.82.0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H6L = -0.218
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL7 7 0.5 0.9 0.5 0.6
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L+ 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
7 7 0.5 0.9 0.6 0.7-1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.7L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3M -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.7L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.7L + 1L3M
7 7 0.5 0.9 0.7 0.81.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M
7 7 0.5 0.9 0.8 0.92.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3
7 8 0.6 0.9 0.6 0.70.
0
1
4IH10. Hx - 0.7L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
7 8 0.6 0.9 0.7 0.81.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.8L + 1L3M
7 8 0.6 0.9 0.8 0.92.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M
7 9 0.7 0.9 0.7 0.81.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M -1.
-3.
1
4H10. Hx - 0.9L + 2L3
7 9 0.7 0.9 0.8 0.92.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 0.
-2.
1
4IH10. Hx - 0.9L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.9L + 1L3M
7 10 0.8 0.9 0.8 0.92.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 -1.
-2.
1
4H10. Hx -1.L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H7,7L = 7.65143
a H7,8L = -1.45795
a H7,9L = -2.87357
a H7,10L = -0.135446
Software para la resolución de EDO 87
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHx7 0.5 0.9 0.5 0.6
-1.0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
7 0.5 0.9 0.6 0.7 -1.11022µ10-15
01
4IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3
7 0.5 0.9 0.7 0.81.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.7LL3
7 0.5 0.9 0.8 0.92.0
1
4H2- 10. Hx - 0.7LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H7L = -0.296
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL8 8 0.6 1. 0.6 0.7
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
8 8 0.6 1. 0.7 0.80.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L+ 1L3M
8 8 0.6 1. 0.8 0.91.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M
8 8 0.6 1. 0.9 1.2.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.8LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.8LL3
8 9 0.7 1. 0.7 0.80.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M -1.
-3.
1
4H10. Hx - 0.9L + 2L3
8 9 0.7 1. 0.8 0.91.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M 0.
-2.
1
4IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L+ 1L3M
8 9 0.7 1. 0.9 1.2.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.8LL3 1.
-1.
1
4IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3M - 1
4H10. Hx - 1.1L + 2L3
8 10 0.8 1. 0.8 0.91.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M -1.
-2.
1
4H10. Hx - 1.L + 2L3
8 10 0.8 1. 0.9 1.2.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.8LL3 0.
-1.
1
4IH10. Hx - 1.L+ 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L+ 1L3M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H8,8L = 9.90143
a H8,9L = -1.73875
a H8,10L = -2.96179
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
Proyecto Fin de Carrera 88
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL8 0.6 1. 0.6 0.7
-1.0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
8 0.6 1. 0.7 0.80.0
1
4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M
8 0.6 1. 0.8 0.91.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M
8 0.6 1. 0.9 1.2.0
1
4H2- 10. Hx - 0.8LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H8L = -0.386
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHaj L, SHbj L f j HxL9 9 0.7 1 0.7 0.8
-1.-3.
1
4H10. Hx -0.9L +2L3 -1.
-3.
1
4H10. Hx - 0.9L +2L3
9 9 0.7 1 0.8 0.90.-2.
1
4JH10. Hx - 0.9L +2L3 - 4 H10. Hx -0.9L +1L3 N 0.
-2.
1
4JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L +1L3 N
9 9 0.7 1 0.9 1.1.-1.
1
4JH2 -10. Hx - 0.9LL3 -4 H1- 10. Hx -0.9LL3 N - 1
4H10. Hx -1.1L +2L3 1.
-1.
1
4JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 -10. Hx - 0.9LL3 N - 1
4H10. Hx - 1.1L +2L3
9 10 0.8 1 0.8 0.90.-2.
1
4JH10. Hx - 0.9L +2L3 - 4 H10. Hx -0.9L +1L3 N -1.
-2.
1
4H10. Hx -1.L +2L3
9 10 0.8 1 0.9 1.1.-1.
1
4JH2 -10. Hx - 0.9LL3 -4 H1- 10. Hx -0.9LL3 N - 1
4H10. Hx -1.1L +2L3 0.
-1.
1
4JH10. Hx -1.L +2L3 -4 H10. Hx -1.L +1L3 N - H10. Hx - 1.1L +2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H9,9L = 16.645
a H9,10L = 7.82991
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL9 0.7 1 0.7 0.8
-1.-3.
1
4H10. Hx - 0.9L + 2L3
9 0.7 1 0.8 0.90.-2.
1
4IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3M
9 0.7 1 0.9 1.1.-1.
1
4IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3M - 1
4H10. Hx - 1.1L + 2L3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
Software para la resolución de EDO 89
b H9L = -0.437967
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHaj L, SHbj L f j HxL10 10 0.8 1 0.8 0.9
-1.-2.
1
4H10. Hx - 1.L + 2L3 -1.
-2.
1
4H10. Hx - 1.L + 2L3
10 10 0.8 1 0.9 1.0.-1.
1
4JH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3 0.
-1.
1
4JH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 N- H10. Hx -1.1L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H10,10L = 14.1786
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbi L fi Hx L10 0.8 1 0.8 0.9
-1.-2.
1
4H10. Hx - 1.L + 2L3
10 0.8 1 0.9 1.0.-1.
1
4IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H10L = -0.176933
Sistema con una matriz simétrica en banda: A.x = b.
A =
0.0785714 0.0861607 -0.0367857 -0.00419643 0 0 0 0 0 0 0
0.0861607 0.445 0.06125 -0.173571 -0.0116964 0 0 0 0 0 0
-0.0367857 0.06125 0.901429 -0.0516964 -0.398571 -0.0229464 0 0 0 0 0
-0.00419643 -0.173571 -0.0516964 1.65143 -0.220446 -0.713571 -0.0379464 0 0 0 0
0 -0.0116964 -0.398571 -0.220446 2.70143 -0.445446 -1.11857 -0.0566964 0 0 0
0 0 -0.0229464 -0.713571 -0.445446 4.05143 -0.726696 -1.61357 -0.0791964 0 0
0 0 0 -0.0379464 -1.11857 -0.726696 5.70143 -1.0642 -2.19857 -0.105446 0
0 0 0 0 -0.0566964 -1.61357 -1.0642 7.65143 -1.45795 -2.87357 -0.135446
0 0 0 0 0 -0.0791964 -2.19857 -1.45795 9.90143 -1.73875 -2.96179
0 0 0 0 0 0 -0.105446 -2.87357 -1.73875 16.645 7.82991
0 0 0 0 0 0 0 -0.135446 -2.96179 7.82991 14.1786
Proyecto Fin de Carrera 90
b =
-0.000933333
-0.00796667
-0.026
-0.056
-0.098
-0.152
-0.218
-0.296
-0.386
-0.437967
-0.176933
Solución al sistema lineal simétrico. Se aplica el método de Cholesky.
La matriz A es definida positiva.
c =
c0
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
=
-0.00222222222147
-0.0622222222237
-0.108888888890
-0.142222222226
-0.162222222225
-0.168888888894
-0.162222222225
-0.142222222224
-0.108888888891
-0.0622222222165
-0.00222222223236
f HxiL =
0
-0.0933333333355
-0.163333333335
-0.213333333339
-0.243333333338
-0.253333333341
-0.243333333337
-0.213333333336
-0.163333333336
-0.0933333333247
-7.77156120782µ10-18
Software para la resolución de EDO 91
f HxL = ‚i=0
n+1
ciHxL fiHxL =
-0.00222222 4 H10. Hx - 1.1L + 1L3 - H10. Hx - 1.1L + 2L3 +1
4IH2- 10. Hx - 1.LL3 - 4 H1- 10. Hx - 1.LL3M + -0.0622222
1
4IH2- 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.9LL3M - 1
4H10. Hx - 1.1L + 2L3 +
1
4-0.108889 IH2- 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.8LL3M +
1
4-0.142222 IH2- 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.7LL3M +
1
4-0.162222 IH2- 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.6LL3M +
1
4-0.168889 IH2- 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.5LL3M +
1
4-0.162222 IH2- 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.4LL3M +
1
4-0.142222 IH2- 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.3LL3M +
1
4-0.108889 IH2- 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.2LL3M +
1
4-0.0622222 IH2- 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M +
-0.002222221
4IH2- 10. xL3 - 4 H1- 10. xL3M - H2- 10. Hx + 0.1LL3
Tabla de errores en la aproximación con el método.
i xi ci fHxiL yHxiL »fHxiL - yHxiL»0 0 -0.0022222222 0.0000000000 0.0000000000 0.
1 0.1 -0.0622222222 -0.0900000000 -0.0900000000 0.
2 0.2 -0.1088888889 -0.1600000000 -0.1600000000 0.
3 0.3 -0.1422222222 -0.2100000000 -0.2100000000 0.
4 0.4 -0.1622222222 -0.2400000000 -0.2400000000 0.
5 0.5 -0.1688888889 -0.2500000000 -0.2500000000 0.
6 0.6 -0.1622222222 -0.2400000000 -0.2400000000 0.
7 0.7 -0.1422222222 -0.2100000000 -0.2100000000 0.
8 0.8 -0.1088888889 -0.1600000000 -0.1600000000 0.
9 0.9 -0.0622222222 -0.0900000000 -0.0900000000 0.
10 1. -0.0022222222 0.0000000000 0.0000000000 0.
Gráficas de la aproximación f HxL cúbica de Rayleigh-Ritz y la solución exacta.
Proyecto Fin de Carrera 92
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
y
y � fHxL
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
y
y � x2 - x
9.2.1. Método de Cholesky
El metodo de factorizacion de Cholesky es utilizado para resolver los sistemas de
ecuaciones de tipo A x= b, donde la matriz A es definida positiva, que a menudo aparecen
en este tipo de problemas.
Para factorizar esta matriz A en L L£, donde L es una matriz triangular inferior, se
aplica el siguiente método:
Algoritmo de factorización de Cholesky
Input IIai jM, HbiL, nMl1,1 ≠ a1,1
For i = 2, 3, ..., n do
l j i ≠ aj i ë l1,1End
For i = 1, 2, 3, ..., n do
li i ≠ ai i - Sk=1
i-1
li k2
1ê2
For j = i + 1, i + 2, ..., n do
l j i ≠ a j i - Sk=1
i-1
l j k.li k ì li iEnd
End
ln n ≠ an n - Sk=1
i-1
ln k2
1ê2
Software para la resolución de EDO 93
y1 ≠ b1 ë l1,1For i = 2, ..., n do
yi ≠ bi - Sk=1
i-1
li j y j ì li iEnd
xn ≠ yn ê ln nFor i = n - 1, ..., 1 do
xi ≠ yi - Sj=i+1
n
l j i x j ì li i
End
Return H xiLOutput
Proyecto Fin de Carrera 94
10. Estudio de la arquitectura
En esta sección se analiza la arquitectura propuesta para la correcta implantación de
la plataforma de desarrollo del proyecto.
Como soporte software, en primer lugar, se propone un sistema operativo
comercial, como Windows XP, Windows Vista, Machintosh, etc.
Es necesaria también una herramienta matemática para la programación de la
aplicación, en este caso Mathematica en su versión 6.0, y el paquete gráfico The Super
Widget Package (SWP) para la creación de la interfaz de usuario (GUI).
Para la ejecución de la aplicación es necesario contar también con la JVM (Java
Virtual Machine) ya que utiliza un núcleo Java para la ejecución de las interfaces y por
último, un software que permita la generación de ficheros PDF para la impresión de la
documentación en formato digital, como por ejemplo PDFCreator.
Software para la resolución de EDO 95
11. Diseño externo
A continuación se describe el diseño de las ventanas de la interfaz de usuario que se
ha desarrollado para esta aplicación, incluyendo una descripción y características generales
de cada una de las ventanas. Se puede observar que se trata de una interfaz muy sencilla que
hace que la realización de operaciones sea fácil y cómoda para el usuario final.
Figura 11
Ventana de la aplicaciónAproximación de Ecuaciones Diferenciales.
Proyecto Fin de Carrera 96
11.1. Métodos lineales
Método del disparo lineal.
En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los
parámetros necesarios para la ejecución de este método. La ecuación debe de ser
introducida en la forma y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxL, que se indica en la parte superior
derecha de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método. A
continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y los valores
de frontera correspondientes a dicho intervalo.
Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo. En la parte
inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “ Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
Software para la resolución de EDO 97
ô En el ejemplo se han tomado los siguientes datos:
y≥ = y£ + 2 y+ cosHxL donde pHxL = 1, qHxL = 2 y rHxL = cosHxL,
definida en el intervalo A0, p2 E con unos valores de frontera f HaL = -0.3 y f HbL = -0.1 y
un tamaño de paso de p8 .
La solución exacta a la ecuación diferencia es y = 110 HsenHxL + 3 cosHxLL, la cual
se puede ver representada en la gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a
la representación de la aproximación obtenida en color rojo.
Figura 12
Ventana :Método del disparo lineal.
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Proyecto Fin de Carrera 98
Método del disparo lineal para el problema con valor de frontera:
y≥ = 1.y£ + 2.y + cosHxLx œ @0., 1.5708D, yH0.L = -0.3, yH1.5708L = -0.1 h = 0.392699
i xi u1,i v1,i w1,i w2,i
0 0.0000000000 -0.3000000000 0.0000000000 -0.3000000000 -0.0997924893
1 0.3926990817 -0.2650158208 0.5050394157 -0.3154149613 0.0225360287
2 0.7853981634 -0.1383948423 1.4473056289 -0.2828250738 0.1414535329
3 1.1780972451 0.1321628120 3.4005282847 -0.2071843706 0.2388551820
4 1.5707963268 0.6588350398 7.6041297787 -0.1000000000 0.2999187862
Tabla de errores
xi w1,i yHxiL »w1,i - yHxiL»0.0000000000 -0.3000000000 -0.3000000000 0.0000000000
0.3926990817 -0.3154149613 -0.3154322030 0.0000172417
0.7853981634 -0.2828250738 -0.2828427125 0.0000176386
1.1780972451 -0.2071843706 -0.2071929830 8.6123787982µ10-6
1.5707963268 -0.1000000000 -0.1000000000 0.0000000000
Método de las diferencias finitas.
El diseño de esta ventana es muy similar a la del método del disparo lineal. En ella
se encuentran también diferentes casillas de texto donde se introducen los parámetros
necesarios para la ejecución de este método.
La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxL, que se
indica en la parte superior derecha de la ventana. Existe también otra casilla de texto donde
se puede introducir de manera opcional la ecuación real para hacer una comparativa a
posteriori del error cometido por el método.
A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y
Software para la resolución de EDO 99
los valores de frontera correspondientes a dicho intervalo.
Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo.
En la parte inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “ Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación.
Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
ô En el ejemplo se toman los siguientes datos:
y≥ = 2 y£ - y+ x ex - x donde pHxL = 2, qHxL = -1 y rHxL = x ex - x
definida en el intervalo @0, 2D con unos valores de frontera f HaL = 0 y f HbL = -4 y un
tamaño de paso de 0.2.
La ecuación solución exacta es y = 16 x3 ex - 5
3 x ex + 2 ex - x- 2, la cual se puede ver
representada en la gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la represent-
ación de la aproximación obtenida en color rojo.
Proyecto Fin de Carrera 100
Figura 13
Ventana :Método de las diferencia finitas.
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método de las diferencias finitas para el problema con valor de frontera:
y≥ = 2.y£ + -1.y + ‰x x - x
x œ @0., 2.D, yH0.L = 0., yH2.L = -4. h = 0.2
i xi wi
0 0.0000000000 0.0000000000
1 0.2000000000 -0.1603338739
2 0.4000000000 -0.3906039636
3 0.6000000000 -0.7066424059
4 0.8000000000 -1.1207043851
5 1.0000000000 -1.6367404975
6 1.2000000000 -2.2430435498
7 1.4000000000 -2.9011389354
8 1.6000000000 -3.5293610693
9 1.8000000000 -3.9789836227
10 2.0000000000 -4.0000000000
Software para la resolución de EDO 101
Tabla de errores
xi wi yHxiL »wi - yHxiL»0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.
0.2000000000 -0.1603338739 -0.1627001994 2.3663254409µ10-3
0.4000000000 -0.3906039636 -0.3949876064 4.3836427792µ10-3
0.6000000000 -0.7066424059 -0.7122849228 5.6425168725µ10-3
0.8000000000 -1.1207043851 -1.1263932218 5.6888366605µ10-3
1.0000000000 -1.6367404975 -1.6408590858 4.1185882674µ10-3
1.2000000000 -2.2430435498 -2.2438063263 7.6277646196µ10-4
1.4000000000 -2.9011389354 -2.8971552041 3.9837312552µ10-3
1.6000000000 -3.5293610693 -3.5207514812 8.6095880741µ10-3
1.8000000000 -3.9789836227 -3.9693901290 9.5934937405µ10-3
2.0000000000 -4.0000000000 -4.0000000000 0.
Proyecto Fin de Carrera 102
11.2. Métodos no lineales
Método del disparo no lineal.
En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los
parámetros necesarios para la ejecución de este método.
La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = f HxL y£, que se indica en la
parte superior derecha de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método. A
continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y los valores
de frontera correspondientes a dicho intervalo.
Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo. En la parte
inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “ Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
Software para la resolución de EDO 103
ô En el ejemplo se toman los siguientes datos:
y≥ = 18 I32 + 2 x3 - y y£M donde f HxL = 1
8 I32 + 2 x3 - y y£M
definida en el intervalo @1, 3D con unos valores de frontera f HaL = 17 y f HbL = 433 y un
tamaño de paso de h = 0.2.
La ecuación real dada es y = x2 + 16x
, la cual se puede ver representada en la
gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproxi-
mación obtenida en color rojo.
Figura 14
Ventana :Método del disparo no lineal.
Proyecto Fin de Carrera 104
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método del disparo no lineal para el problema con valor de frontera:
y≥ =1
8I2 x3 - y z + 32M
x œ @1., 3.D, yH1.L = 17., yH3.L = 14.3333 h = 0.1
i xi w1,i w2,i
0 1.0000000000 17.0000000000 -14.0001920179
1 1.1000000000 15.7554961488 -11.0233385768
2 1.2000000000 14.7733911653 -8.7112939059
3 1.3000000000 13.9977542927 -6.8676175175
4 1.4000000000 13.3886317842 -5.3634064170
5 1.5000000000 12.9167227086 -4.1112334541
6 1.6000000000 12.5600506102 -3.0501060229
7 1.7000000000 12.3018095681 -2.1364242137
8 1.8000000000 12.1289280960 -1.3383516879
9 1.9000000000 12.0310864790 -0.6322028142
10 2.0000000000 12.0000288758 -0.0000610418
11 2.1000000000 12.0290719448 0.5718286786
12 2.2000000000 12.1127474726 1.0941681346
13 2.3000000000 12.2465382236 1.5753844538
14 2.4000000000 12.4266798245 2.0221865406
15 2.5000000000 12.6500101951 2.4399689503
16 2.6000000000 12.9138537239 2.8331091970
17 2.7000000000 13.2159311827 3.2051894605
18 2.8000000000 13.5542889444 3.5591638905
19 2.9000000000 13.9272428451 3.8974862467
20 3.0000000000 14.3333332740 4.2222082675
Tabla de errores.
Software para la resolución de EDO 105
xi w1,i yHxiL »w1,i - yHxiL»1.0000000000 17.0000000000 17.0000000000 0.0000000000
1.1000000000 15.7554961488 15.7554545455 0.0000416033
1.2000000000 14.7733911653 14.7733333333 0.0000578320
1.3000000000 13.9977542927 13.9976923077 0.0000619850
1.4000000000 13.3886317842 13.3885714286 0.0000603556
1.5000000000 12.9167227086 12.9166666667 0.0000560420
1.6000000000 12.5600506102 12.5600000000 0.0000506102
1.7000000000 12.3018095681 12.3017647059 0.0000448622
1.8000000000 12.1289280960 12.1288888889 0.0000392071
1.9000000000 12.0310864790 12.0310526316 0.0000338474
2.0000000000 12.0000288758 12.0000000000 0.0000288758
2.1000000000 12.0290719448 12.0290476190 0.0000243257
2.2000000000 12.1127474726 12.1127272727 0.0000201999
2.3000000000 12.2465382236 12.2465217391 0.0000164844
2.4000000000 12.4266798245 12.4266666667 0.0000131579
2.5000000000 12.6500101951 12.6500000000 0.0000101951
2.6000000000 12.9138537239 12.9138461538 7.5700547360µ10-6
2.7000000000 13.2159311827 13.2159259259 5.2567860820µ10-6
2.8000000000 13.5542889444 13.5542857143 3.2300976915µ10-6
2.9000000000 13.9272428451 13.9272413793 1.4657825673µ10-6
3.0000000000 14.3333332740 14.3333333333 5.9304811728µ10-8
Método de las diferencias finitas para problemas no lineales.
El diseño de esta ventana es muy similar a la del método del disparo lineal, en ella
se encuentran también diferentes casillas de texto donde se introducen los parámetros
necesarios para la ejecución de este método. En esta ventana se encuentran diferentes
casillas de texto donde se introducen los parámetros necesarios para la ejecución de este
método.La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = f HxL y£, que se indica en la
parte superior derecha de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.A
Proyecto Fin de Carrera 106
continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y los valores
de frontera correspondientes a dicho intervalo.
Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo. En la parte
inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “ Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
ô En el ejemplo se toman los siguientes datos:
y≥ = 2 y3 donde f HxL = 2 y3
definida en el intervalo @1, 2D con unos valores de frontera f HaL = 14 y f HbL = 1
5 y un
tamaño de paso de h = 0.25.
La ecuación real dada es y = 1x+3 , la cual se puede ver representada en la gráfica
en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproximación
obtenida en color rojo.
Software para la resolución de EDO 107
Figura 15
Ventana :Método delas disferencias finitas para problemas no lineales.
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método del diferencias finitas para el problema
no lineal con valor de frontera.
y≥ = 2y3
x œ @1., 2.D, yH1.L = 0.25, yH2.L = 0.2 h = 0.25
i xi wi
0 1.0000000000 0.2500000000
1 1.2500000000 0.2353010811
2 1.5000000000 0.2222306398
3 1.7500000000 0.2105320965
4 2.0000000000 0.2000000000
Tabla de errores.
Proyecto Fin de Carrera 108
xi wi yHxiL »wi - yHxiL»1.0000000000 0.2500000000 0.2500000000 0.
1.2500000000 0.2353010811 0.2352941176 6.9634618716µ10-6
1.5000000000 0.2222306398 0.2222222222 8.4175641572µ10-6
1.7500000000 0.2105320965 0.2105263158 5.78067356µ10-6
2.0000000000 0.2000000000 0.2000000000 0.
Software para la resolución de EDO 109
11.3. Métodos de Rayleigh-Ritz
Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz.
En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los
parámetros necesarios para la ejecución de este método. La ecuación debe de ser
introducida en la forma pHxL y≥ + qHxL y= f HxL, que se indica en la parte superior derecha
de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.
A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo, que
en este método es siempre @0, 1D.
Por último el número de subintervalos que se realizan en el intervalo original dado.
En la parte inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “ Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
Proyecto Fin de Carrera 110
ô Se toman los siguientes datos:
y≥ + p2 y= 2 p2 senHp xL donde pHxL = 1, qHxL = p2 y f HxL = 2 p2 senHp xL,
definida en el intervalo @0, 1D y un número de subintervalos de 9.
La ecuación real dada es y = senHp xL, la cual se puede ver representada en la
gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproxi-
mación obtenida en color rojo.
Figura 16
Ventana : Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz.
Software para la resolución de EDO 111
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la
solución al problema de valor de frontera.
-„
„xHpHxL„y
„xL + qHxL y = f HxL
p2 y -„2y
„x2= 2 p2 sinHp xL
pHxL = 1 qHxL = p2 f HxL = 2 p2 sinHp xLx œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0
Puntos.
n = 9
x0 = 0.
Hxi, hiL =
x1 h1
x2 h2
x3 h3
x4 h4
x5 h5
x6 h6
x7 h7
x8 h8
x9 h9
=
0.1 0.1
0.2 0.1
0.3 0.1
0.4 0.1
0.5 0.1
0.6 0.1
0.7 0.1
0.8 0.1
0.9 0.1
xn+1 = 1.
Integrales a evaluar.
Q1, i =H 1hi
L2‡xi
xi+1Hxi+1-xLHx-xiLqHxL „x i = 1, 2,..., n-1.
Q1, i =
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
0.164493406685
Proyecto Fin de Carrera 112
Q2, i =H 1
hi-1L2‡
xi-1
xi Hx-xi-1L2qHxL „x i = 1, 2,..., n.
Q2, i =
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
Q3, i =H 1hi
L2‡xi
xi+1Hxi+1-xL2qHxL „x i = 1, 2,..., n.
Q3, i =
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
0.328986813370
Q4, i =H 1
hi-1L2‡
xi-1
xi
pHxL„x i = 1, 2,..., n+1.
Q4, i =
10.0000000000
10.0000000000
10.000000000
10.0000000000
10.0000000000
10.000000000
10.0000000000
10.0000000000
10.0000000000
10.0000000000
Q5, i =1
hi-1‡xi-1
xi Hx-xi-1Lf HxL „x i = 1, 2,..., n.
Software para la resolución de EDO 113
Q5, i =
0.204675558016
0.492161466035
0.731471180669
0.899179399679
0.978869674097
0.962741364629
0.852373222577
0.658568850666
0.400299171133
Q6, i =1
hi‡xi
xi+1Hxi+1-xLf HxL „x i = 1, 2,..., n.
Q6, i =
0.400299171133
0.658568850666
0.852373222577
0.962741364629
0.978869674097
0.899179399679
0.731471180669
0.492161466035
0.204675558016
Sistema tridiagonal simétrico: A.x = b.
A =
20.658 -9.83551 0 0 0 0 0 0 0
-9.83551 20.658 -9.83551 0 0 0 0 0 0
0 -9.83551 20.658 -9.83551 0 0 0 0 0
0 0 -9.83551 20.658 -9.83551 0 0 0 0
0 0 0 -9.83551 20.658 -9.83551 0 0 0
0 0 0 0 -9.83551 20.658 -9.83551 0 0
0 0 0 0 0 -9.83551 20.658 -9.83551 0
0 0 0 0 0 0 -9.83551 20.658 -9.83551
0 0 0 0 0 0 0 -9.83551 20.658
b =
0.604975
1.15073
1.58384
1.86192
1.95774
1.86192
1.58384
1.15073
0.604975
Proyecto Fin de Carrera 114
Solución al sistema lineal tridiagonal simétrico.
c =
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
=
0.310286675614
0.590200329525
0.812341063015
0.954964193344
1.00410877480
0.954964193344
0.812341063015
0.590200329525
0.310286675614
Tabla de errores en la aproximación.
i xi fiHxiL = ci yHxiL »fHxiL - yHxiL»1 0.1000000000 0.3102866756 0.3090169944 1.2696812395µ10-3
2 0.2000000000 0.5902003295 0.5877852523 2.4150772329µ10-3
3 0.3000000000 0.8123410630 0.8090169944 3.32406864µ10-3
4 0.4000000000 0.9549641933 0.9510565163 3.9076770484µ10-3
5 0.5000000000 1.0041087748 1.0000000000 4.1087748009µ10-3
6 0.6000000000 0.9549641933 0.9510565163 3.9076770483µ10-3
7 0.7000000000 0.8123410630 0.8090169944 3.32406864µ10-3
8 0.8000000000 0.5902003295 0.5877852523 2.4150772329µ10-3
9 0.9000000000 0.3102866756 0.3090169944 1.2696812395µ10-3
Método de los trazadores cúbicos de Rayleigh - Ritz.
En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los
parámetros necesarios para la ejecución de este método. La ecuación debe de ser
introducida en la forma pHxL y≥ + qHxL y= f HxL, que se indica en la parte superior derecha
de la ventana.
Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la
ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.
A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo, que
Software para la resolución de EDO 115
en este método es siempre @0, 1D.
Por último el número de subintervalos que se realizan en el intervalo original dado.
En la parte inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “ Salir”.
Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el
cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,
mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en
rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve
a la ventana principal.
A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.
ô Se toman los siguientes datos:
-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y= -4 x2 donde pHxL = x2, qHxL = 2 y f HxL = -4 x2,
definida en el intervalo @0, 1D y un número de subintervalos de 9.
La ecuación real dada es y = x2 - x, la cual se puede ver representada en la
gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproxi-
mación obtenida en color rojo.
Proyecto Fin de Carrera 116
Figura 17
Ventana :
Método de los trazadores cúbicos segmentario de Rayleigh- Ritz.
Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.
Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz para aproximar la
solución al problema de valor de frontera.
-„
„xHpHxL„y
„xL + qHxL y = f HxL
-„2y
„x2x2 - 2
„y
„xx + 2y = -4 x2
pHxL = x2 qHxL = 2 f HxL = -4 x2
x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0
Software para la resolución de EDO 117
Puntos.
n = 9
x0 = 0.
HxiL =
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
=
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL0 0 0 0.2 0 0.1
1.
2.
1
4IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3M - H2 -10. Hx + 0.1LL3 1.
2.
1
4IH2 - 10. xL3 - 4 H1 -10. xL3M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3
0 0 0 0.2 0.1 0.22.
3.
1
4H2 - 10. xL3 2.
3.
1
4H2 - 10. xL3
0 1 0 0.2 0 0.11.
2.
1
4IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3M - H2 -10. Hx + 0.1LL3 0.
2.
1
4IH10. Hx -0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3M - 1
4H2 - 10. Hx + 0.1LL3
0 1 0 0.2 0.1 0.22.
3.
1
4H2 - 10. xL3 1.
3.
1
4IH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M
0 2 0 0.2 0 0.11.
2.
1
4IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3M - H2 -10. Hx + 0.1LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3
0 2 0 0.2 0.1 0.22.
3.
1
4H2 - 10. xL3 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L+ 1L3M
0 3 0.1 0.2 0.1 0.22.
3.
1
4H2 - 10. xL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H0,0L = 0.0785714
a H0,1L = 0.0861607
a H0,2L = -0.0367857
a H0,3L = -0.00419643
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
Proyecto Fin de Carrera 118
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL0 0 0.2 0 0.1
1.2.
1
4IH2- 10. xL3 - 4 H1- 10. xL3M - H2- 10. Hx + 0.1LL3
0 0 0.2 0.1 0.22.3.
1
4H2- 10. xL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H0L = -0.000933333
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHaj L, SHbj L f j HxL1 1 0 0.3 0 0.1
0.2.
1
4JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L +1L3 N - 1
4H2 -10. Hx + 0.1LL3 0.
2.
1
4JH10. Hx -0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - 1
4H2- 10. Hx + 0.1LL3
1 1 0 0.3 0.1 0.21.3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N 1.
3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 -4 H1- 10. Hx -0.1LL3N
1 1 0 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 -10. Hx - 0.1LL3 2.
4.
1
4H2- 10. Hx - 0.1LL3
1 2 0 0.3 0 0.10.2.
1
4JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L +1L3 N - 1
4H2 -10. Hx + 0.1LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3
1 2 0 0.3 0.1 0.21.3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N 0.
0
1
4JH10. Hx -0.2L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.2L + 1L3N
1 2 0 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 -10. Hx - 0.1LL3 1.
0
1
4JH2- 10. Hx -0.2LL3 -4 H1- 10. Hx -0.2LL3N
1 3 0.1 0.3 0.1 0.21.3.
1
4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N -1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
1 3 0.1 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 -10. Hx - 0.1LL3 0.
0
1
4JH10. Hx -0.3L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.3L + 1L3N
1 4 0.2 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 -10. Hx - 0.1LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H1,1L = 0.445
a H1,2L = 0.06125
a H1,3L = -0.173571
a H1,4L = -0.0116964
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbi L fi Hx L1 0 0.3 0 0.1
0.2.
1
4IH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3M - 1
4H2 - 10. Hx + 0.1LL3
1 0 0.3 0.1 0.21.3.
1
4IH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M
1 0 0.3 0.2 0.32.4.
1
4H2 - 10. Hx - 0.1LL3
Software para la resolución de EDO 119
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H1L = -0.00796667
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL2 2 0 0.4 0 0.1
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3
2 2 0 0.4 0.1 0.20.
0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L+ 1L3M
2 2 0 0.4 0.2 0.31.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M
2 2 0 0.4 0.3 0.42.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.2LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.2LL3
2 3 0.1 0.4 0.1 0.20.
0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
2 3 0.1 0.4 0.2 0.31.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L+ 1L3M
2 3 0.1 0.4 0.3 0.42.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.2LL3 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M
2 4 0.2 0.4 0.2 0.31.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
2 4 0.2 0.4 0.3 0.42.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.2LL3 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L+ 1L3M
2 5 0.3 0.4 0.3 0.42.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.2LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H2,2L = 0.901429
a H2,3L = -0.0516964
a H2,4L = -0.398571
a H2,5L = -0.0229464
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL2 0 0.4 0 0.1
-1.0
1
4H10. Hx - 0.2L + 2L3
2 0 0.4 0.1 0.20.0
1
4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M
2 0 0.4 0.2 0.31.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M
2 0 0.4 0.3 0.42.0
1
4H2- 10. Hx - 0.2LL3
Proyecto Fin de Carrera 120
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H2L = -0.026
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL3 3 0.1 0.5 0.1 0.2
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
3 3 0.1 0.5 0.2 0.30.
0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L+ 1L3M
3 3 0.1 0.5 0.3 0.41.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M
3 3 0.1 0.5 0.4 0.52.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.3LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.3LL3
3 4 0.2 0.5 0.2 0.30.
0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
3 4 0.2 0.5 0.3 0.41.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L+ 1L3M
3 4 0.2 0.5 0.4 0.52.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.3LL3 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M
3 5 0.3 0.5 0.3 0.41.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
3 5 0.3 0.5 0.4 0.52.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.3LL3 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M
3 6 0.4 0.5 0.4 0.52.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.3LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H3,3L = 1.65143
a H3,4L = -0.220446
a H3,5L = -0.713571
a H3,6L = -0.0379464
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL3 0.1 0.5 0.1 0.2
-1.0
1
4H10. Hx - 0.3L + 2L3
3 0.1 0.5 0.2 0.30.0
1
4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M
3 0.1 0.5 0.3 0.41.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M
3 0.1 0.5 0.4 0.52.0
1
4H2- 10. Hx - 0.3LL3
Software para la resolución de EDO 121
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H3L = -0.056
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL4 4 0.2 0.6 0.2 0.3
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
4 4 0.2 0.6 0.3 0.40.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L+ 1L3M
4 4 0.2 0.6 0.4 0.51.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M
4 4 0.2 0.6 0.5 0.62.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.4LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.4LL3
4 5 0.3 0.6 0.3 0.40.
0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
4 5 0.3 0.6 0.4 0.51.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M
4 5 0.3 0.6 0.5 0.62.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.4LL3 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M
4 6 0.4 0.6 0.4 0.51.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
4 6 0.4 0.6 0.5 0.62.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.4LL3 -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L+ 1L3M
4 7 0.5 0.6 0.5 0.62.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.4LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H4,4L = 2.70143
a H4,5L = -0.445446
a H4,6L = -1.11857
a H4,7L = -0.0566964
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL4 0.2 0.6 0.2 0.3
-1.0
1
4H10. Hx - 0.4L + 2L3
4 0.2 0.6 0.3 0.40.0
1
4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M
4 0.2 0.6 0.4 0.51.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M
4 0.2 0.6 0.5 0.62.0
1
4H2- 10. Hx - 0.4LL3
Proyecto Fin de Carrera 122
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H4L = -0.098
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL5 5 0.3 0.7 0.3 0.4
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
5 5 0.3 0.7 0.4 0.50.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M
5 5 0.3 0.7 0.5 0.61.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M
5 5 0.3 0.7 0.6 0.72.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.5LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.5LL3
5 6 0.4 0.7 0.4 0.50.
0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
5 6 0.4 0.7 0.5 0.61.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L+ 1L3M
5 6 0.4 0.7 0.6 0.72.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.5LL3 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M
5 7 0.5 0.7 0.5 0.61.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
5 7 0.5 0.7 0.6 0.72.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.5LL3 -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L+ 1L3M
5 8 0.6 0.7 0.6 0.72.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.5LL3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H5,5L = 4.05143
a H5,6L = -0.726696
a H5,7L = -1.61357
a H5,8L = -0.0791964
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL5 0.3 0.7 0.3 0.4
-1.0
1
4H10. Hx - 0.5L + 2L3
5 0.3 0.7 0.4 0.50.0
1
4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M
5 0.3 0.7 0.5 0.61.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M
5 0.3 0.7 0.6 0.72.0
1
4H2- 10. Hx - 0.5LL3
Software para la resolución de EDO 123
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H5L = -0.152
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL6 6 0.4 0.8 0.4 0.5
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L+ 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
6 6 0.4 0.8 0.5 0.6-1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3M -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.6L + 1L3M
6 6 0.4 0.8 0.6 0.71.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M
6 6 0.4 0.8 0.7 0.82.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3
6 7 0.5 0.8 0.5 0.6-1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.6L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
6 7 0.5 0.8 0.6 0.71.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.7L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.7L + 1L3M
6 7 0.5 0.8 0.7 0.82.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M
6 8 0.6 0.8 0.6 0.71.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
6 8 0.6 0.8 0.7 0.82.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.8L + 1L3M
6 9 0.7 0.8 0.7 0.82.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 -1.
-3.
1
4H10. Hx - 0.9L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H6,6L = 5.70143
a H6,7L = -1.0642
a H6,8L = -2.19857
a H6,9L = -0.105446
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHai L, SHbi L fiHxL6 0.4 0.8 0.4 0.5
-1.0
1
4H10. Hx - 0.6L + 2L3
6 0.4 0.8 0.5 0.6 -1.11022 µ10-15
0
1
4JH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3N
6 0.4 0.8 0.6 0.71.0
1
4JH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3N
6 0.4 0.8 0.7 0.82.0
1
4H2 - 10. Hx - 0.6LL3
Proyecto Fin de Carrera 124
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H6L = -0.218
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL7 7 0.5 0.9 0.5 0.6
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L+ 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
7 7 0.5 0.9 0.6 0.7-1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.7L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3M -1.11022µ10-15
0
1
4IH10. Hx - 0.7L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.7L + 1L3M
7 7 0.5 0.9 0.7 0.81.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M
7 7 0.5 0.9 0.8 0.92.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3
7 8 0.6 0.9 0.6 0.70.
0
1
4IH10. Hx - 0.7L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3M -1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
7 8 0.6 0.9 0.7 0.81.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.8L + 1L3M
7 8 0.6 0.9 0.8 0.92.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 1.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M
7 9 0.7 0.9 0.7 0.81.
0
1
4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M -1.
-3.
1
4H10. Hx - 0.9L + 2L3
7 9 0.7 0.9 0.8 0.92.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 0.
-2.
1
4IH10. Hx - 0.9L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.9L + 1L3M
7 10 0.8 0.9 0.8 0.92.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 -1.
-2.
1
4H10. Hx -1.L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H7,7L = 7.65143
a H7,8L = -1.45795
a H7,9L = -2.87357
a H7,10L = -0.135446
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHai L, SHbi L fiHxL7 0.5 0.9 0.5 0.6
-1.0
1
4H10. Hx - 0.7L + 2L3
7 0.5 0.9 0.6 0.7 -1.11022 µ10-15
0
1
4JH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3N
7 0.5 0.9 0.7 0.81.0
1
4JH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3N
7 0.5 0.9 0.8 0.92.0
1
4H2 - 10. Hx - 0.7LL3
Software para la resolución de EDO 125
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H7L = -0.296
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL8 8 0.6 1. 0.6 0.7
-1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3 -1.
0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
8 8 0.6 1. 0.7 0.80.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M 0.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L+ 1L3M
8 8 0.6 1. 0.8 0.91.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M 1.
0
1
4IH2- 10. Hx -0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M
8 8 0.6 1. 0.9 1.2.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.8LL3 2.
0
1
4H2 - 10. Hx - 0.8LL3
8 9 0.7 1. 0.7 0.80.
0
1
4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M -1.
-3.
1
4H10. Hx - 0.9L + 2L3
8 9 0.7 1. 0.8 0.91.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M 0.
-2.
1
4IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L+ 1L3M
8 9 0.7 1. 0.9 1.2.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.8LL3 1.
-1.
1
4IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3M - 1
4H10. Hx - 1.1L + 2L3
8 10 0.8 1. 0.8 0.91.
0
1
4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M -1.
-2.
1
4H10. Hx - 1.L + 2L3
8 10 0.8 1. 0.9 1.2.
0
1
4H2 -10. Hx - 0.8LL3 0.
-1.
1
4IH10. Hx - 1.L+ 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L+ 1L3M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H8,8L = 9.90143
a H8,9L = -1.73875
a H8,10L = -2.96179
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL8 0.6 1. 0.6 0.7
-1.0
1
4H10. Hx - 0.8L + 2L3
8 0.6 1. 0.7 0.80.0
1
4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M
8 0.6 1. 0.8 0.91.0
1
4IH2- 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M
8 0.6 1. 0.9 1.2.0
1
4H2- 10. Hx - 0.8LL3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
Proyecto Fin de Carrera 126
b H8L = -0.386
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHaj L, SHbj L f j HxL9 9 0.7 1 0.7 0.8
-1.-3.
1
4H10. Hx -0.9L +2L3 -1.
-3.
1
4H10. Hx - 0.9L +2L3
9 9 0.7 1 0.8 0.90.-2.
1
4JH10. Hx - 0.9L +2L3 - 4 H10. Hx -0.9L +1L3 N 0.
-2.
1
4JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L +1L3 N
9 9 0.7 1 0.9 1.1.-1.
1
4JH2 -10. Hx - 0.9LL3 -4 H1- 10. Hx -0.9LL3 N - 1
4H10. Hx -1.1L +2L3 1.
-1.
1
4JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 -10. Hx - 0.9LL3 N - 1
4H10. Hx - 1.1L +2L3
9 10 0.8 1 0.8 0.90.-2.
1
4JH10. Hx - 0.9L +2L3 - 4 H10. Hx -0.9L +1L3 N -1.
-2.
1
4H10. Hx -1.L +2L3
9 10 0.8 1 0.9 1.1.-1.
1
4JH2 -10. Hx - 0.9LL3 -4 H1- 10. Hx -0.9LL3 N - 1
4H10. Hx -1.1L +2L3 0.
-1.
1
4JH10. Hx -1.L +2L3 -4 H10. Hx -1.L +1L3 N - H10. Hx - 1.1L +2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
a H9,9L = 16.645
a H9,10L = 7.82991
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL9 0.7 1 0.7 0.8
-1.-3.
1
4H10. Hx - 0.9L + 2L3
9 0.7 1 0.8 0.90.-2.
1
4IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3M
9 0.7 1 0.9 1.1.-1.
1
4IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3M - 1
4H10. Hx - 1.1L + 2L3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H9L = -0.437967
Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.
i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL10 10 0.8 1 0.8 0.9
-1.
-2.
1
4H10. Hx - 1.L+ 2L3 -1.
-2.
1
4H10. Hx - 1.L + 2L3
10 10 0.8 1 0.9 1.0.
-1.
1
4IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3M - H10. Hx - 1.1L+ 2L3 0.
-1.
1
4IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
ai, j = ‡L
U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x
Software para la resolución de EDO 127
a H10,10L = 14.1786
Tabla de datos para el cálculo de bHiL.
i L U k k+h SHaiL, SHbi L fi Hx L10 0.8 1 0.8 0.9
-1.-2.
1
4H10. Hx - 1.L + 2L3
10 0.8 1 0.9 1.0.-1.
1
4IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3M - H10. Hx - 1.1L + 2L3
bi = ‡L
U Hf HxL fiHxLL„x
b H10L = -0.176933
Sistema con una matriz simétrica en banda: A.x = b.
A =
0.0785714 0.0861607 -0.0367857 -0.00419643 0 0 0 0 0 0 0
0.0861607 0.445 0.06125 -0.173571 -0.0116964 0 0 0 0 0 0
-0.0367857 0.06125 0.901429 -0.0516964 -0.398571 -0.0229464 0 0 0 0 0
-0.00419643 -0.173571 -0.0516964 1.65143 -0.220446 -0.713571 -0.0379464 0 0 0 0
0 -0.0116964 -0.398571 -0.220446 2.70143 -0.445446 -1.11857 -0.0566964 0 0 0
0 0 -0.0229464 -0.713571 -0.445446 4.05143 -0.726696 -1.61357 -0.0791964 0 0
0 0 0 -0.0379464 -1.11857 -0.726696 5.70143 -1.0642 -2.19857 -0.105446 0
0 0 0 0 -0.0566964 -1.61357 -1.0642 7.65143 -1.45795 -2.87357 -0.135446
0 0 0 0 0 -0.0791964 -2.19857 -1.45795 9.90143 -1.73875 -2.96179
0 0 0 0 0 0 -0.105446 -2.87357 -1.73875 16.645 7.82991
0 0 0 0 0 0 0 -0.135446 -2.96179 7.82991 14.1786
b =
-0.000933333
-0.00796667
-0.026
-0.056
-0.098
-0.152
-0.218
-0.296
-0.386
-0.437967
-0.176933
Solución al sistema lineal simétrico. Se aplica el método de Cholesky.
La matriz A es definida positiva.
Proyecto Fin de Carrera 128
c =
c0
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
=
-0.00222222222147
-0.0622222222237
-0.108888888890
-0.142222222226
-0.162222222225
-0.168888888894
-0.162222222225
-0.142222222224
-0.108888888891
-0.0622222222165
-0.00222222223236
f HxiL =
0
-0.0933333333355
-0.163333333335
-0.213333333339
-0.243333333338
-0.253333333341
-0.243333333337
-0.213333333336
-0.163333333336
-0.0933333333247
-7.77156120782µ10-18
Software para la resolución de EDO 129
f HxL = ‚i=0
n+1
ciHxL fiHxL =
-0.00222222 4 H10. Hx - 1.1L + 1L3 - H10. Hx - 1.1L + 2L3 +1
4IH2- 10. Hx - 1.LL3 - 4 H1- 10. Hx - 1.LL3M + -0.0622222
1
4IH2- 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.9LL3M - 1
4H10. Hx - 1.1L + 2L3 +
1
4-0.108889 IH2- 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.8LL3M +
1
4-0.142222 IH2- 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.7LL3M +
1
4-0.162222 IH2- 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.6LL3M +
1
4-0.168889 IH2- 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.5LL3M +
1
4-0.162222 IH2- 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.4LL3M +
1
4-0.142222 IH2- 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.3LL3M +
1
4-0.108889 IH2- 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.2LL3M +
1
4-0.0622222 IH2- 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M +
-0.002222221
4IH2- 10. xL3 - 4 H1- 10. xL3M - H2- 10. Hx + 0.1LL3
Tabla de errores en la aproximación con el método.
i xi ci fHxiL yHxiL »fHxiL - yHxiL»0 0 -0.0022222222 0.0000000000 0.0000000000 0.
1 0.1 -0.0622222222 -0.0900000000 -0.0900000000 0.
2 0.2 -0.1088888889 -0.1600000000 -0.1600000000 0.
3 0.3 -0.1422222222 -0.2100000000 -0.2100000000 0.
4 0.4 -0.1622222222 -0.2400000000 -0.2400000000 0.
5 0.5 -0.1688888889 -0.2500000000 -0.2500000000 0.
6 0.6 -0.1622222222 -0.2400000000 -0.2400000000 0.
7 0.7 -0.1422222222 -0.2100000000 -0.2100000000 0.
8 0.8 -0.1088888889 -0.1600000000 -0.1600000000 0.
9 0.9 -0.0622222222 -0.0900000000 -0.0900000000 0.
10 1. -0.0022222222 0.0000000000 0.0000000000 0.
Proyecto Fin de Carrera 130
11.4. Menú Ayuda
Ayuda al usuario.
Al ejecutar esta opción del menú se abre un fichero de Mathematica con una
descripción de cada uno de los métodos implementados en la aplicación que sirve de ayuda
a la ejecución de los mismos.
El usuario puede ir desplegando cada uno de los métodos donde, aparte de una
descripción, encontrará el pseudocódigo de dicho método.
Figura 18
Ventana : Ayuda al usuario.
Software para la resolución de EDO 131
Acerca de la aplicación.
Al ejecutar esta opción aparece esta ventana con toda la información relevante del
programa.
Figura 19
Ventana : Acerca de la aplicación
Proyecto Fin de Carrera 132
12. Valoración económica y planificación
12.1. Valoración económica del proyecto
En este apartado se detalla la valoración económica de cada una de las actividades
que comprenden la realización y puesta en funcionamiento del presente proyecto.
Las diferentes partidas o ítems que componen el proyecto y que se han incluido en
este análisis de costes se detallan a continuación.
1. Especificaciones y Desarrollo Software
Esta partida o ítem se ha dividido en dos grandes fases debido a su gran alcance e
importancia.
En primer lugar, aparece la fase de requisitos. Esta fase incluye las fases de
especificación de requisitos, del análisis funcional y del plan de pruebas.
Y en segundo lugar, se indica la fase de desarrollo del software. Esta fase es sin
duda la que ha supuesto más coste, en términos de tiempo, y la que distingue el presupuesto
del de otro proyecto que comprenda el mismo ámbito o sea del mismo tipo. En esta fase se
indican los diferentes métodos de aproximacion programados y probados.
Para cada una de las fases anteriores se reseñan los costes directos, expresados en
meses/hombre (meses completos dedicados para cada actividad), necesarios para acometer
Software para la resolución de EDO 133
cada una de ellas, indicándose la categoría del realizador: Jefe de Proyecto o
Analista/Programador. La actividad del Jefe de Proyecto se ha estimado en un 14%
respecto de la actividad del Analista/Programador.
Por último, cabe destacar que no debe haber confusión con el significado de los
costes unitarios aquí expresados. Estos costes representan la valoración económica real que
determinaría la empresa por la realización completa de todas las actividades reseñadas y
poner a cargo de este proyecto a dicho Jefe de Proyecto o Analistas en su caso.
2. Instalación, Pruebas e Integración del Software
En este apartado se recogen los costes directos de las actividades de integración y de
pruebas del software en el entorno de desarrollo y en el de explotación, incluidos los gastos
adicionales, tales como los desplazamientos y las dietas. Estos costes han sido calculados
del mismo modo que en el apartado anterior.
3. Equipamiento y Licencias Software
Costes de todo el equipamiento e infraestructura (PCs, impresoras, RAL,
comunicaciones), si fuera necesario. Así mismo, se han de especificar en este apartado las
licencias necesarias para el entorno de explotación.
Para la implementación de este software sólo es necesario una licencia del lenguaje
numérico y simbólico de Mathematica®, en concreto de la versión 6.0 aquí utilizada, y
disponer de un PC. Como la venta de este software será con toda seguridad a una persona
Proyecto Fin de Carrera 134
jurídica no se contempla en este presupuesto la adquisición de dicha plataforma hardware,
debido a que en los tiempos presentes cualquier empresa o persona jurídica dispone de un
PC, haciéndose sólo referencia a la licencia del Mathematica®.
4. Apoyo logístico (Formación)
En este concepto se ampara la formación a impartir a los posibles operadores y
administradores del sistema a implantar. Se incluye en la formación la entrega de toda la
documentación necesaria para el curso de formación.
5. Incrementos e IVA
Se parte de la suma de las partidas (1), (2), (3), y (4) formando el Coste Directo del
Proyecto. A este Coste Directo se le aplican los Gastos Generales H13%L y el Beneficio
Industrial H6%L. La suma de los conceptos de Coste Directo, Gastos Generales y Beneficio
Industrial constituyen el Total Importe sin IVA.
A este importe se le sumarán los impuestos correspondientes como IVA H16%L,para la Península y Baleares, IGIC H5%L para las islas Canarias o IPSI para Ceuta H3%L y
Melilla H4%L.
Total Proyecto
La suma del Total Importe sin IVA más la partida de Incrementos e IVA determinan
el importe total del desarrollo, implantación y puesta en servicio del proyecto.
Software para la resolución de EDO 135
En función de lo explicado anteriormente se puede proceder a calcular los costes
estimados del presente proyecto.
El importe total del proyecto asciende a 24.176, 04 € (VEINTICUATRO MIL
CIENTO SETENTA Y SEIS EUROS CON CUATRO CÉNTIMOS ), impuestos
incluidos.
Proyecto Fin de Carrera 136
El detalle de cada una de las partidas reseñadas se expresa en la tabla siguente:
Software para la resolución de EDO 137
12.2. Planificación temporal del proyecto
En el diagrama de Gantt de actividades siguiente se reflejan las tareas e hitos más
importantes para el desarrollo y ejecución de este Proyecto Fin de Carrera, así como la
planificación temporal final dedicada a cada uno de ellas.
Figura 20
Planificación temporal del Proyecto.
Proyecto Fin de Carrera 138
13. Conclusiones
Una vez realizado el presente proyecto fin de carrera sobre el estudio, programación
y aplicación de diferentes métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden con valor en frontera se pueden expresar las siguientes
conclusiones al mismo.
1.- La aproximación a la solución mediante el método del disparo lineal que
utiliza el método de Runge-Kutta de cuarto orden, ofrece una precisión o exactitud OIh4M.Tiene el inconveniente de que utiliza una técnica por error en el redondeo que puede, en
algún caso, presentar algún problema oculto, pudiendo ofrecer una pérdida de los dígitos
significativos debido al proceso de cancelación en el algoritmo empleado, es decir, pérdida
de significación al restar dos cantidades próximas entre sí. Tiene la ventaja de que ha sido
un método relativamente fácil de implementar en el lenguaje de programación Mathematica.
2.- El método del disparo no lineal, también emplea el método Runge-Kutta de
cuarto orden para aproximar la solución pero ha exigido el empleo del método de Newton
para la resolución de una ecuación no lineal. La aplicación de estos métodos implica que el
problema de valor inicial se resuelva de una manera aproximada y no exacta.
También se podría haber utilizado en este algoritmo el método de la Secante para la
resolución de la ecuación no lineal que aparece, si bien el método empleado, el de Newton,
ofrece una mayor rapidez de convergencia. Reseñar que el método del disparo para
problemas no lineales es vulnerable a los errores de redondeo, singularmente si las
soluciones y HxL y z Hx, tL fueran funciones que crecieran muy rápidamente en el intervalo
Software para la resolución de EDO 139
@a, bD.
3.- Los métodos de diferencias finitas, para problemas lineales y no lineales,
presentan mejores características de estabilidad, a costa de realizar más cómputo para
obtener la solución con la misma precisión. Estos métodos de diferencias finitas reemplazan
las derivadas en la ecuación diferencial por un cociente de diferencias centradas, lo que
obliga a escoger un parámetro h, tamaño del subintervalo, no demasiado pequeño. En
particular, el método de las diferencias finitas para problemas lineales emplea la
resolución de un sistema lineal tridiagonal, cuya solución única requiere que cumpla el
teorema ya explicitado en el método. Este método presenta un error del orden OIh2M frente
al error de truncamiento OIh4M que incluía el método de Runge-Kutta.
4.- En el método de las diferencias finitas para problemas no lineales aparece un
sistema de ecuaciones no lineal, lo que ha exigido un método numérico iterativo: el método
de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales. Esto implica que en cada paso de la
iteración se tiene que resolver de N µ N y se tiene que emplear el concepto de la matriz
Jacobiana. Este método es del orden de convergencia OIh2M.
5.- Se ha abordado el problema con valor en frontera para la resolución de
ecuaciones diferenciales en el método de Rayleigh-Ritz, primero, reformulando el
problema seleccionando del conjunto de todas las funciones suficientemente derivables
aquellas que reducen al mínimo una determinada integral. Y en segundo lugar, se reduce el
tamaño de funciones candidatas para dar una aproximación al problema. El método emplea
un pequeño conjunto de funciones que son combinaciones lineales de ciertas funciones
básicas, ello da origen a la resolución de un sistema lineal formado por una matriz
Proyecto Fin de Carrera 140
simétrica, en el que cada elemento se obtiene mediante la integración en el intervalo @0, 1Dde una combinación de las funciones que intervienen en la ecuación diferencial y las
funciones básicas y sus derivadas.
Una elección de las funciones básicas es la selección de polinomios lineales
definidos por tramos (método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz). Y otra elección la
utilización de funciones básicas formadas por trazadores cúbicos definidos por intervalos
linealmente independientes (método de los trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz). La
dificultad práctica de este método es la evaluación de las integrales, que se pueden hacer
mediante fórmulas de cuadratura o mediante su evaluación directa. En el presente proyecto
se ha utilizado la técnica de evaluación directa con Mathematica.
En el método lineal segmentario se ha resuelto el sistema tridiagonal simétrico
mediante el método de eliminación de Gauss, mientras que en el método de los trazadores
cúbicos, al aparecer una matriz simétrica definida positiva se ha empleado el método de
Cholesky.
La evaluación de las integrales en el método de los trazadores cúbicos, se ha
realizado mediante la evaluación directa con las funciones de Mathematica, lo que ha
producido una mayor aproximación de las integrales.
Este método es especialmente recomendable cuando el problema con valor de
frontera se define en el intervalo [0, 1].
6.- Habiendo estudiado e implementado los métodos reseñados anteriormente se
establece como líneas futuras de trabajo o mejoras a incluir en este proyecto fin de carrera
Software para la resolución de EDO 141
las que a continuación se indican:
a) En el método de las diferencias para problemas lineales se podría mejorar la
precisión empleando la serie de Taylor de quinto orden para aproximar y≥HxiL e y£HxiL, pero
el sistema lineal resultante no sería tridiagonal, lo que requeriría un mayor esfuerzo
computacional para su resolución. También se podría utilizar para mejorar la precisión el
método de extrapolación de Richardson para los dos métodos de las diferencias finitas.
b) En el método de Rayleigh-Ritz, los trazadores cúbicos (trazadores B) se podrían
definir con una base formada por polinomios cúbicos definidos por intervalos de Hermite.
c) Otra técnica que podría complementar los anteriores métodos sería el método de
colocación: este procedimiento selecciona un conjunto de funciones básicas, 8f1, ..., fn< y
un conjunto de puntos 8x1, …, xn< definidos en el intervalo@0, 1D tomando estos puntos
como los nodos de las raíces de polinomios ortogonales.
Proyecto Fin de Carrera 142
Anexo I. Manual de Instalación y de Usuario
Manual de Instalación
Para poder instalar el software Mathematica es necesario disponer de entre 900 y
1.200 MB libres de disco duro, 1 GB de memoria RAM y una unidad de CD-ROM.
La versión de Mathematica que se va a instalar es la version 6.0. Para instalarla
simplemente hay que ejecutar el fichero setup.exe que se encuentra en el CD. Para la
correcta visión y ejecución del proyecto es necesario instalar unas plantillas.
Las plantillas de Mathematica se copian en el directorio donde se haya instalado el
Software de Resolución de Problemas con valor en frontera para la Resolución de
Ecuuaciones Diferenciales Ordinarias en el mismo directorio.
D:\Software EDO\
Las plantillas básicas a emplear en el PFC son cuatro:
a) Proyecto_Fin_de_Carrera.nb: plantilla a emplear con el fichero PFC.
b) Proyecto_Fin_de_Carrera(Resumen).nb: plantilla que se usará con el fichero
PFC (Nombre y Apellidos) (Resumen, Abstact, Índice).nb.
c) Proyecto_Fin_de_Carrera (Sin código).nb. Se empleará con el fichero PFC
cuando tenga los problemas incluidos.
d) Código_Métodos_Numéricos_12.nb (Ficheros de Problemas y de los
Software para la resolución de EDO 143
Algoritmos Numéricos).
También es necesario instalar un paquete especial para poder visualizar y utilizar la
interfaz de usuario. El paquete de Mathematica The Super Widget Package (SWP) se ha
diseñado para crear interfaces de usuario (GUI) con Mathematica. Se necesita el fichero
superwidgetpackage.zip V. 4.52 compatible con Mathematica 5.2 o versiones superiores.
La instalación de Super Widget Package (Versión 4.52 libre) se realiza del modo
siguiente:
1. Se copia el fichero superwidgetpackage.zip en el directorio indicado en el directorio
$BaseDirectory, ejecutado en Mathematica.
Ejemplo: "C:\ProgramData\\Mathematica"
2. Se debe preservar la estructura de ficheros contenida en el fichero ZIP. Se
descomprime el fichero pero preservando la estructura de ficheros.
3. Se inicia Mathematica, y en menú Help se selecciona Rebuild Help index. Para
integrar la documentación de SWP con el resto de Mathematica.
4. La ayuda de este paquete, Super Widget Package (SWP), se encuentra en Help
Browser y en la solapa Add-ons & Links.
Proyecto Fin de Carrera 144
Manual de Usuario
Para utilizar la aplicación es necesario tener instalado el software Mathematica 6.0,
el paquete The Super Widget y las plantillas suministradas en el CD.
a) Se debe abrir y ejecutar todo el fichero "Código (Problemas de Contorno con
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb". Para ejecutar todo el fichero se debe seleccionar
en la barra de herramientas de Mathematica "Kernel", "Evaluation" y "Evaluate Notebook".
Así serán reconocidos todos los algoritmos desarrollados.
b) Se ejecuta el archivo denominado "Interfaz.nb".
Para resolver problemas con esta interfaz se siguen los siguientes pasos:
1. Seleccionar el método del menú principal.
2. Introducir los datos necesarios para la resolución del problema como se indica en la
ventana del método.
3. Pulsar el botón "Método".
Una vez que se han obtenido los resultados si que quiere volver a resolver un
problema con el mismo método volver a introducir los datos en la misma ventana y pulsar
el botón "Método". Si se quiere resolver un problema con otro método o salir de la
aplicación se debe cerrar la ventana del método y se vuelve a la ventana principal de la
aplicación desde la que se puede cerrar la aplicación o ejecutar problemas con cualquier
método siguiendo los pasos anteriores.
Software para la resolución de EDO 145
Bibliografía
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