Download - El modelo ARIMA con Función de Transferencia
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El modelo ARIMA con Función de Transferencia
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El modelo ARIMA con Función de Transferencia
1. Descripción del problema
2. Evaluación del modelo ARMA
3. Búsqueda de la solución máximo-verosímil
4. Búsqueda de la solución inicial
5. La regresión lineal
6. Algoritmo del estimador
7. Guía de referencia
8. Simulación
Indice
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Descripción del Problema
El modelo ARIMA con Función de Transferencia (Box y Jenkins, 1976)
iti
i
itt x
BB
zr ,
Noise
tt rBw
Differenced noise
Difere
nciac
ión
Difere
nciac
ión
tzOutput
Input
tix ,
Función de transferencia
tt wBB
a
Residuals N(0,I)
Filtro ARMA
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El modelo ARIMA con Función de Transferencia es altamente no lineal
Descripción del Problema
iti
i
itt x
BB
zBBB
a ,
iti
i
itt x
BB
zBBB
a ,
ptpttqtqtt wwwaaa 1111 ptpttqtqtt wwwaaa 1111
itiiptiiititiiqtiiit xxxyyyii ,1,1,1,1 itiiptiiititiiqtiiit xxxyyyii ,1,1,1,1
tii
iit x
BB
y ,
Efectos
j
sj
j
sj
j
sj
j
j
j
BB
BB
BB
Estacionalidad
BB
BBB
BBB
Bi
ii
BB
BBB
BBB
Bi
ii
Pi-Weights Psi-Weights
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La función de distribución conjunta
Evaluación del modelo ARMA
011
1
01
110
2,..1,, ;/),(
k
k
k
itjtjijikjijik wwE
011
1
01
110
2,..1,, ;/),(
k
k
k
itjtjijikjijik wwE
La matriz de las autocovarianzas de orden k del ruido diferenciado es simétrica y de Toeplitz
011
01
0
2,..1,,
0
00
00;/),(
k
k
litjtjijikjijik lwaE
011
01
0
2,..1,,
0
00
00;/),(
k
k
litjtjijikjijik lwaE
La matriz de las covarianzas de orden k del ruido diferenciado con los residuos es triangular inferior y de Toeplitz
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La función de distribución conjunta
Evaluación del modelo ARMA
TpwT
qa
ptpttqtqtt
wwuaau
wwwaaa
1010
1111
;
TpwT
qa
ptpttqtqtt
wwuaau
wwwaaa
1010
1111
;
Las ecuaciones en recurrencia precisan de valores iniciales
Estimación mediante la esperanza condicionada por el ruido diferenciado
wwuEuwwaEawwuEu Tuww
TTuaa wa
111 |ˆ;|ˆ;|ˆ wwuEuwwaEawwuEu Tuww
TTuaa wa
111 |ˆ;|ˆ;|ˆ
mwwuwumwauwu
Tu
Twupuuuaquu
TTm
Twa
Tuamaaau
Tu
Twu
Tq
Tuu
Twuquu
w
a
wa
mpmqmp
Tmqmpmq
wwaa
wwwwwwa
wa
awwawaa
I
I
w
u
a
u
N
w
uw
a
ua
I
w
aN
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
2
,
,2
0
00
0
,
;,
mwwuwumwauwu
Tu
Twupuuuaquu
TTm
Twa
Tuamaaau
Tu
Twu
Tq
Tuu
Twuquu
w
a
wa
mpmqmp
Tmqmpmq
wwaa
wwwwwwa
wa
awwawaa
I
I
w
u
a
u
N
w
uw
a
ua
I
w
aN
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
2
,
,2
0
00
0
,
;,
La distribución conjunta de los valores iniciales y posteriores es
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La función de distribución conjunta
Evaluación del modelo ARMA
1
2
1
0
1
2
1
0
011
012
01
0
2
21
10
0
00
000
0000
00
0
00
0
10)(
pppp
p
p
p
kikik
p
iik
m
m
m
m
pkm
1
2
1
0
1
2
1
0
011
012
01
0
2
21
10
0
00
000
0000
00
0
00
0
10)(
pppp
p
p
p
kikik
p
iik
m
m
m
m
pkm
qtqttptptt aaawww ...... 1111 qtqttptptt aaawww ...... 1111
Si en la ecuación en diferencias del modelo ARMA
Multiplicamos por ktw y tomamos esperanzas
kqkqkkpkpkk m ...... 1111 kqkqkkpkpkk m ...... 1111
pkpkkkBBB ...;1 110 pkpkkkBBB ...;1 110
Los psi-weights se calculan por expansión finita
Tomando en cuenta la simetría de la función de autocovarianzas
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Matrices de Toeplitz y matrices circulantes
Evaluación del modelo ARMA
kjkjmn
kj taaT ,,
kjkjmn
kj taaT ,,
Una matriz circulante se diagonaliza mediante la transformada rápida de Fourier (FFT) en O(n·log(n)) flops y almacenamiento en memoria O(n)
01321
10432
34012
23101
12210
/21
0
1
1..0,/2
,,
;
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
nijken
kjcnkn
nkjnijk
nnnHn
lnlakjnn
kj
nnn
nnnn
n
nnkj
C
Diagonal
eFFFC
cccaaC
01321
10432
34012
23101
12210
/21
0
1
1..0,/2
,,
;
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
nijken
kjcnkn
nkjnijk
nnnHn
lnlakjnn
kj
nnn
nnnn
n
nnkj
C
Diagonal
eFFFC
cccaaC
El producto de una matriz de Toeplitz por un vector se calcula en O(n·log(n)) flops y almacenamiento en memoria O(n)
yTuz
yu
XX
XTuC
CT circulanteXX
XTToeplitzde
00
32
1
yTuz
yu
XX
XTuC
CT circulanteXX
XTToeplitzde
00
32
1
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Inversión de matrices simétricas de Toeplitz
Evaluación del modelo ARMA
Una matriz de Toeplitz simétrica cumple la ecuación de desplazamiento de Schur
Tbb
Taajijil
jixjil
njijix
tntttbtntttta
jijiz
jijiz
njiijTTT
LLLLTlL
zZbbaaZTZT
ji
;
;
0,
,..1,,
0/10/10;0/10/10
10,
11,..1,
Tbb
Taajijil
jixjil
njijix
tntttbtntttta
jijiz
jijiz
njiijTTT
LLLLTlL
zZbbaaZTZT
ji
;
;
0,
,..1,,
0/10/10;0/10/10
10,
11,..1,
Su inversa no es de Toeplitz pero sí cumple el mismo tipo de ecuación
Tbb
Taa
nkknkTTT
LLLLT
abbbbaaZZTT
1
1..1011 ;0
Tbb
Taa
nkknkTTT
LLLLT
abbbbaaZZTT
1
1..1011 ;0
Así pues el producto de la inversa de una matriz de Toeplitz por un vector también tiene coste O(n·log(n)). Con el método de Durbin o el de Schur se calcula la inversa y el determinante de una matriz de Toeplitz en O(n2) flops e incluso existen métodos de O(n·log(n)) flops. El almacenamiento en memoria es siempre O(n)
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Estacionariedad de los polinomios AR y MA
Evaluación del modelo ARMA
Para que el modelo ARMA esté bien definido los polinomios AR y MA han de ser estacionarios, esto es, todas sus raíces han de tener módulo mayor que la unidad.
Puesto que
1;
BFFBFB
j
jsj
jsj
j
jsj
jsj
FB
FB
1;
BFFBFB
j
jsj
jsj
j
jsj
jsj
FB
FB
Resulta evidente que las autocovarianzas no varían al sustituir por su inversa cualquiera de las raíces de los factores estacionales AR ó MA. Por tanto se puede forzar la estacionariedad del modelo invirtiendo aquellas raíces reales o complejas cuyo módulo sea inferior a la unidad.
11;1
jjjj
jj
j
jsj
s rrCrBrBpBrBp s 11;1
jjjj
jj
j
jsj
s rrCrBrBpBrBp s
Teniendo en cuenta que
Bastará con factorizar los polinomios desestacionalizados mediante el cambio de variable correspondiente
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Factorización de polinomios
Evaluación del modelo ARMA
Para factorizar un polinomio es necesario un método de búsqueda de raíces reales o complejas que sea rápido y robusto como la iteración de Laguerre de convergencia global y de orden cúbico
Czz
DADACDAC
AnBnD
acAB
abA
zpczpbzpa
zpzp
kk
nnn
kkk
n
j
jj
1
,max
1
/2
/
;;;
1
111
2
2
0
Czz
DADACDAC
AnBnD
acAB
abA
zpczpbzpa
zpzp
kk
nnn
kkk
n
j
jj
1
,max
1
/2
/
;;;
1
111
2
2
0
Una vez hallada una raíz real o compleja se divide el polinomio por el monomio o binomio respectivamente correspondiente y se continúa el proceso. Es conveniente reajustar las raíces sobre el polinomio original y buscar las raíces en orden de mayor módulo a menor.
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El máximo de la función de verosimilitud
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
La función de densidad de una muestra normal de tamaño m y media nula
wwTm
exwL1
221
2 2
122 )2(),(
wwTm
exwL1
221
2 2
122 )2(),(
wwTm
wwm T 112
2204
1
2
wwTm
wwm T 112
2204
1
2
wwTm 1
21
212
2 2log)log2(log
wwTm 1
21
212
2 2log)log2(log
Tomando logaritmos
Maximizando respecto a 2
1;1;0
;1
;~;~~
11
12112
1
mmmaa
uu
aa
uu
aaww
tttTt
mTu
T
Tu
Tm
T
Tm
aaaaF
1;1;0
;1
;~;~~
11
12112
1
mmmaa
uu
aa
uu
aaww
tttTt
mTu
T
Tu
Tm
T
Tm
aaaaF
La máxima verosimilitud se alcanza en el mínimo de
uuaawwF uTTmTm 1
11
1 uuaawwF u
TTmTm 11
11
Que también se puede expresar como la suma de cuadrados
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Métodos iterativos de minimización no lineal
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
nnn
n
n
n
xxF
xxF
xxF
xxF
xF
xF
xxHxFxFmin
2
1
2
1
2
11
2
1
;;
nnn
n
n
n
xxF
xxF
xxF
xxF
xF
xF
xxHxFxFmin
2
1
2
1
2
11
2
1
;;
kkkkk xFppxx ;1 kkkkk xFppxx ;1
I I
Gradiente HessianoObjetivo
xH xH
xH~
xH~
Steepest descent
Newton
Cuasi-Newton
Iteración diferencial o del gradiente
Convergencia lineal
Convergencia cuadrática
Convergencia super-lineal
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Minimización de sumas de cuadrados no lineales
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
ffxfxF Tnm
tt
xmin
n21
1
221
ffxfxF Tnm
tt
xmin
n21
1
221
fJxFJ TnxFnm
xf
ii
t
; fJxFJ Tn
xFnm
xf
ii
t
;
m
ttx
fxF xf
i
t
i1
m
ttx
fxF xf
i
t
i1
JJ T JJ TGauss-Newton
IJJ T 2 IJJ T 2Marquardt
fJpfJJpJ kTkT fJpfJJpJ kTkT
0
)( 2
f
I
Jp
fJpIJJ
k
TkT
0
)( 2
f
I
Jp
fJpIJJ
k
TkT
njixx
ft
m
ttt
T
ji
thhfJJH..1,
1
2
;
njixx
ft
m
ttt
T
ji
thhfJJH..1,
1
2
;
Jacobiano
Hessiano
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Minimización de sumas de cuadrados no lineales
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
kkkk hpxxfJp 1; kkkk hpxxfJp 1;
0,0,1,2,1,2,1,0,0,1,0,0,
01,0,
3,
22,1,0,,
;;;
0;;
;
tttttttttttt
kdh
dykktt
ktt
htkk
ttttht
yyyyyy
Jpypxfyxfy
hOyhpxfhhy
0,0,1,2,1,2,1,0,0,1,0,0,
01,0,
3,
22,1,0,,
;;;
0;;
;
tttttttttttt
kdh
dykktt
ktt
htkk
ttttht
yyyyyy
Jpypxfyxfy
hOyhpxfhhy
Búsqueda curvilínea : Optimización escalar del tamaño de paso
0
02
min
33,
22,1,0,
1
33,
22,1,0,
1
22,1,0,2,1,
1
1
221
hhhhhh
hhhhy
hyhYt
tttt
m
ttttt
m
tttttt
m
ttdh
dydhdY
m
tt
h
t
0
02
min
33,
22,1,0,
1
33,
22,1,0,
1
22,1,0,2,1,
1
1
221
hhhhhh
hhhhy
hyhYt
tttt
m
ttttt
m
tttttt
m
ttdh
dydhdY
m
tt
h
t
Interpolación polinómica de grado 2 de las componentes
Reducción a la factorización de un polinomio de grado 3
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Búsqueda de la solución máximo-verosímil
En este caso tenemos
tiBi
Biti
ititt
tB
B
ttt
Tjijijiji
xyyzw
waaf
,,,
,,,,
;
;~
;
tiBi
Biti
ititt
tB
B
ttt
Tjijijiji
xyyzw
waaf
,,,
,,,,
;
;~
;
tiyB
Bi
jBtix
Bi
BijB
ji
tw
tixBBi
B
ji
w
itixBi
BitzBtw
yw
B
B
ya
ya
yy
jt
i
t
i
t
i
t
ii
,,,
,,;,
~
2
;
0;0
tiyB
Bi
jBtix
Bi
BijB
ji
tw
tixBBi
B
ji
w
itixBi
BitzBtw
yw
B
B
ya
ya
yy
jt
i
t
i
t
i
t
ii
,,,
,,;,
~
2
;
0;0
Aproximación al Jacobiano Analítico en las variables de las series input
wwww
aaww
TT
Tm
T
Tm
11
121
121
wwww
aaww
TT
Tm
T
Tm
11
121
121
Cálculo del Jacobiano del modelo ARIMA con Función De Transferencia
17voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Cálculo del Jacobiano del modelo ARIMA con Función De Transferencia
Búsqueda de la solución máximo-verosímil
Para las variables ARMA se calcula el Jacobiano numéricamente por el método de extrapolación recursiva de Richardson
k
jj
j
k
k
hOkkDf
kjjkDjkDjkD
kD
fD
i
t
iii
h
kDhkDi
i
2
411
414
2/
0,12/e0,1
,
11,11,,
0,
0,0
1
1i
k
jj
j
k
k
hOkkDf
kjjkDjkDjkD
kD
fD
i
t
iii
h
kDhkDi
i
2
411
414
2/
0,12/e0,1
,
11,11,,
0,
0,0
1
1i
18voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Optimización global
Búsqueda de la solución inicial
La existencia de mínimos locales, las zonas de fuerte curvatura y las altas correlaciones entre las variables pueden dar lugar a divergencias, ciclos de puntos de acumulación o estancamientos en mínimos locales.
El punto límite de un proceso iterativo depende del punto de partida inicial, por eso muchos de los métodos de optimización global, como por ejemplo los algoritmos genéticos o los de branch and bound se basan en probar un método iterativo para diferentes puntos iniciales.
"f(x)"
"x"
1
2
3
4
5
6
-5-10-15 0 5 10 15
221 xSinxLog
19voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Estimación inicial por bloques
Búsqueda de la solución inicial
Un método para conseguir una aproximación inicial consiste en la estimación parcial sucesiva de los parámetros, bien uno a uno bien en bloques cuya estimación por separado sea sencilla.
Fi
Teta
Fact. ARMA 1
Box-Jenkins Autocov
ARMA 2
Min. Cuad. Autocov
Delta
Omega
Fun. Transf. Filtrada
Función de Transferencia
ExpandidaARMA 3
ARMA Max Verosim
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Estimación inicial por bloques
Búsqueda de la solución inicial
Estimación ARMA inicial de Box-Jenkins basada en las autocovarianzas muestrales
),(2211 qpMaxkpkpkkk
Las autocovarianzas de un proceso ARMA cumplen la ecuación homogénea de la parte autoregresiva a partir del mayor de entre los grados p y q
jkj
kq
jkjikji
jik FBFB
0,
Las autocovarianzas filtradas de la parte AR son las de un proceso MA puro por lo que los psi-weights son la parte MA y se cumple
Si las sustituimos por las muestrales quedan las ecuaciones de una regresión lineal.
Que son las ecuaciones de una regresión no lineal de grado 2 y por tanto unimodal, por lo que el método de Newton asegura la convergencia global.
11*1
*
*
/
jj s
jjjs
j
S
BBBB
BB
Una vez estimados los polinomios AR y MA se calculan los factores estacionales por extracción de coeficientes y división sucesiva de mayor a menor longitud del ciclo
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Estimación inicial por bloques
Búsqueda de la solución inicial
Refinación de la estimación ARMA basada en las diferencias entre autocovarianzas muestrales y las teóricas
Partiendo de la estimación ARMA se puede emplear un método iterativo de optimización para minimizar la distancia de Majaranovitz entre las autococorrelaciones muestrales y las teóricas
rrFMin rT 1
Puesto que la distribución asintótica de las autocovarianzas muestrales se aproxima a una normal de media igual a las autocovarianzas teóricas y cuya matriz de covarianzas viene dada por las fórmulas de Barlett
vsvvmskk
vkvkvvkkvkvvmk
rrCov
rVar
1
2221
,
24
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Estimación inicial por bloques
Búsqueda de la solución inicial
Estimación de las funciones de transferencia
Si aplicamos el filtro ARMA a las series output e input
Una vez estimadas las expansiones podemos calcular los delta mediante las regresiones lineales
Expandiendo las funciones de transferencia hasta cierto grado se obtiene el modelo lineal
iti
i
it
iti
i
itt x
B
Bzx
B
BzB
BB
a ,,
itiit
iti
i
itt xBzx
B
Bza ,,
grkBBBj
jikjij
jikjikiiii ,,,,, 0
itiit
iti
i
itt xBzx
BB
za ,,
Para evitar la sobre-parametrización de la expansión se filtra ahora por los delta estimados
Que es de nuevo una regresión lineal
23voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Estimación inicial por bloques
Búsqueda de la solución inicial
Refinación máximo-verosímil de la estimación ARMA
Si aplicamos el filtro de las funciones de transferencia tenemos un modelo ARIMA puro
que usualmente no tendrá un número demasiado grande de parámetros comparado con los de los parámetros omega, pero en cambio es el máximo responsable de la no linealidad del problema.
Resulta por lo tanto interesante aplicar un método iterativo de optimización, a partir de la solución generada en el paso 2, para la estimación por máxima verosimilitud expuesta anteriormente.
tt wBBB
a
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El método de Lanczos
La regresión lineal
nmxbAbAx nmnm
x ;;;min
2nmxbAbAx nmnm
x ;;;min
2
Como se ha podido observar es esencial disponer de un método de regresión lineal rápido y robusto incluso para una gran cantidad de variables con altas correlaciones e incluso colinealidad como el método de Lanczos
iiii
iii
ii
iT
i
iiii
iiii
iii
ii
i
T
psp
s
rAs
qrr
pxx
q
Axq
toleranciaMientras
srAspAxbr
11
11
211
11
1
1
2
20000000 ;;
iiii
iii
ii
iT
i
iiii
iiii
iii
ii
i
T
psp
s
rAs
qrr
pxx
q
Axq
toleranciaMientras
srAspAxbr
11
11
211
11
1
1
2
20000000 ;;
25voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Algoritmo Del Estimador
1. Carga de datos
2. Chequeo de datos
3. Estimación inicial por partes
4. Estimación iterativa máximo-verosímil
5. Estadísticas del modelo
6. Diagnosis del modelo
1. Carga de datos
1.1. Extracción de datos de la serie output entre las fechas de estimación
1.2. Extracción de datos de las series input entre las fechas de estimación ampliadas por las funciones de transferencia
1.3. Transformación de Box-Cox de la serie output (A partir de aquí se llamará serie output a la serie transformada)
26voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Algoritmo Del Estimador
2. Chequeo de datos
2.1. Búsqueda de interrupciones en la serie output
2.2. Anulación de las interrupciones en las series input
2.3. Eliminación de variables nulas y repetidas (con correlación unitaria)
2.4. Eliminación de variables que sólo tomen valor en las interrupciones de la serie output
2.5. Chequeo del número de variables, datos, polinomios, ...
3. Estimación inicial por bloques (Opcional)
3.1. Estimación ARMA inicial de Box-Jenkins
3.2. Refinación ARMA por autocovarianzas
3.3. Estimación de las funciones de transferencia
3.4. Refinación ARMA máximo verosímil
27voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Algoritmo Del Estimador
4. Estimación de los parámetros del modelo
4.1. Evaluación del modelo en cada iteración de Marquardt
4.1.1. Cálculo del filtro, el ruido y el ruido diferenciado
4.1.2. Establecimiento de la estacionariedad forzada de los factores ARMA
4.1.3. Cálculo de la matriz de autocovarianzas teóricas su inversa y su determinante
4.1.5. Cálculo de los residuos condicionados y las interrupciones
4.2. Evaluación del jacobiano
4.3. Iteración de la minimización cuadrática
4.3.1. Cálculo de la dirección de búsqueda (Stepest descent, Gauss-Newton, Marquardt, Búsqueda curvilínea)
4.3.2. Estudio de la evolución de la norma. El algoritmo se detiene si
4.3.2.a. Se sobrepasa el número máximo de iteraciones
4.3.2.b. La norma aumenta
4.3.2.c. La disminución de la norma es inferior a cierta tolerancia dada
4.3.2.d. Se produce algún tipo de error como no estacionariedad, falta de datos, datos numéricamente mal condicionados ( demasiado grandes o demasiado pequeños), ...
28voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Algoritmo Del Estimador
5. Estadísticas del modelo
5.1. Estadísticos de los residuos
5.1.1. Estadísticos escalares (media, desviación estandar, kurtosis, ...)
5.1.2. Estadísticos vectoriales (autocorrelaciones ACF, PACF, ...)
5.2. Estadísticos de los parámetros
5.2.1. Estadísticos escalares (desviación estandar, t-student, probabilidad de rechazo)
5.2.2. Estadísticos matriciales (jacobiano, matriz de información y su descomposición, covarianza, correlación, ...)
(En este capítulo quizá deben ser los analistas quienes digan qué información adicional les puede ser útil)
29voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Algoritmo Del Estimador
6. Diagnosis del modelo
6.1. Diagnosis de los residuos
6.1.1. Test de normalidad
6.1.2. Test de independencia
6.1.2.1. Test sobre las primeras autocorrelaciones de cada ciclo
6.1.2.2. Test de Box-Pierce-Ljung para cada ciclo
6.2. Diagnosis de los parámetros
6.2.1. Test de significación
6.2.2. Test de correlación
6.2.3. Test de estacionariedad de los polinomios ARMA
(En este capítulo debería sustituirse los tests de contraste clásicos por una valoración de corte bayesiano todavía por definir y que entroncaría con los métodos de comparación e identificación de modelos ARIMA)
30voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Guía de Referencia
Funciones de Transferencia con denominador
Struct ModelDef{ Serie Output, Real FstTransfor, Real SndTransfor, Real Period, Real Constant, Polyn Dif, Set AR, Set MA, Set Input, Set NonLinInput};
Struct ModelDef{ Serie Output, Real FstTransfor, Real SndTransfor, Real Period, Real Constant, Polyn Dif, Set AR, Set MA, Set Input, Set NonLinInput};
Struct InputDef{ Polyn Omega, Serie X};
Struct InputDef{ Polyn Omega, Serie X};
Struct TransferFunctionStruct{ Polyn Omega, Polyn Delta, Serie X, Serie InitValues};
Struct TransferFunctionStruct{ Polyn Omega, Polyn Delta, Serie X, Serie InitValues};
En el campo Input de la estructura ModelDef se puede pasar un conjunto de inputs con estructura InputDef como hasta ahora, o bien, con estructura TransferFunctionStruct si se quiere introducir funciones de transferencia con denominador distinto de la unidad.
El campo InitValues de la nueva estructura es para poder introducir los valores iniciales de la ecuación en diferencias, aunque de momento no se usa pues se toman valores iniciales nulos, por lo que se puede pasar la serie 0.
31voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Guía de Referencia
Estacionalidad múltiple
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B, 1-0.1*B^7 );Set MA = SetOfPolyn(1-0.2*B^7, 1-0.1*B^364);
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B, 1-0.1*B^7 );Set MA = SetOfPolyn(1-0.2*B^7, 1-0.1*B^364);
Otra novedad importante es que ya no se restringe la factorización estacional ARMA a dos factores, uno regular y otro estacional, sino que se permite cualquier número de ciclos estacionales superpuestos.
Debido a esta limitación el analista se veía obligado a escribir cosas tan horribles como
Ahora se puede y se debe escribir
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B, 1-0.1*B^7, 1 );Set MA = SetOfPolyn(1, 1-0.2*B^7, 1-0.1*B^364);
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B, 1-0.1*B^7, 1 );Set MA = SetOfPolyn(1, 1-0.2*B^7, 1-0.1*B^364);
Obsérvese que ha de mantenerse el orden de menor a mayor longitud del ciclo tanto en la parte AR como en la parte MA de forma que los polinomios que ocupan la misma posición en cada una de ellas se refiere a la misma periodicidad, insertando el polinomio 1 para explicitar que no existe determinado factor estacional AR ó MA.
Obviamente, ahora se puede introducir estructuras antes imposibles como
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B, 1-0.1*B^7, 1-0.1*B^364);Set MA = SetOfPolyn(1-0.2*B, 1-0.2*B^7, 1-0.2*B^364);
Set AR = SetOfPolyn(1-0.1*B, 1-0.1*B^7, 1-0.1*B^364);Set MA = SetOfPolyn(1-0.2*B, 1-0.2*B^7, 1-0.2*B^364);
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Guía de Referencia
Tipo Nombre Defecto Descripción
Real DiffDist 0.001 Distancia de puntos para aproximaciones diferenciales numericas
Real DoDiagnostics 1 La función Estimate de modelos ARIMA realizará los diagnósticos de los modelos si esta variable es TRUE.
Real DoInitialEstimation 0 La función Estimate de modelos ARIMA hará una estimación inicial de los parámetros si esta variable es TRUE. Si no utilizará los valores iniciales dados.
Real DoKernel 0 La función Estimate de modelos ARIMA realizará el análisis del kernel de los modelos si esta variable es TRUE y DoStatistics también.
Real DoStatistics 1 La función Estimate de modelos ARIMA realizará las estadísticas de los modelos si esta variable es TRUE.
Real EstimationObjectiv e 1 Por compatibilidad con versiones anteriores, el objetivo de la estimación de modelos ARIMA puede ser MinimumResiduals o MaximumLikelyhood
Text JacobianMethod Analytical El método de cálculo del Jacobiano puede ser Analítico o Numérico
Real LeastSquaresMethod 4 La función de optimización no lineal del problema de los mínimos cuadrados utilizada en las estimaciones de modelos no lineales permite al usuario seleccionar el método de cálculo de la dirección de búsqueda entre las siguientes opciones : (1) Stepest descent, (2) Gauss-Newton, (3) Marquardt, (4) Curvilinear search. Este último es el método por defecto por ser el que presenta mejores condiciones de convergencia aunque también es el de mayor coste computacional. El de Marquardt converge peor pero con menor coste por iteración mientras que el de Gauss-Newton presenta el coste mínimo y la peor convergencia.
Real LSM_StepDescent 1 Mirar la variable Real LeastSquaresMethod
Real LSM_GaussNew ton 2 Mirar la variable Real LeastSquaresMethod
Real LSM_Marquardt 3 Mirar la variable Real LeastSquaresMethod
Real LSM_Curv ilinearSearch 4 Mirar la variable Real LeastSquaresMethod
Real MarqFactor 3 Parámetro de factor lambda en el método de minimización cuadrática de Marquardt
Real Max imumLikely hood 1 Mirar la variable Real EstimationObjective
Real Max Iter 15 Máximo de iteraciones para métodos numéricos iterativos
Real MinimumResiduals 0 Mirar la variable Real EstimationObjective
Real Relativ eTolerance 0.001 Tolerancia relkativa para métodos numéricos iterativos
Real Tolerance 0.0001 Tolerancia para métodos numéricos iterativos
Real TraceNonLinearLeastSquares 1 Permite o no las trazas y el control para el algoritmo de mínimos cuadrados no lineales, como el estimador de modelos ARIMA.
Variables globales de control
33voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
Output
-5.0000
-10.0000
-15.0000
0.0000
5.0000
10.0000
15.0000
20.0000
25.0000
30.00001994 Ene 01
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
La serie output
34voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
PaymentDaysEffect PrePaymentEffect PosPaymentEffect GoodWeekEndEffect
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1993 Dic 21
1993 Dic 27
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
Las series intput
35voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
Effect V1 EffectPaymentDaysEffect
EffectPrePaymentEffect
EffectPosPaymentEffect
EffectGoodWeekEndEffect
-5.0000
0.0000
5.0000
10.0000
15.0000
20.0000
25.0000
30.0000
1994 Ene 01
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
Las series de efectos
36voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
OutputFilter
-5.0000
0.0000
5.0000
10.0000
15.0000
20.0000
25.0000
30.0000
1994 Ene 01
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
La serie filtro o efecto conjunto
37voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
OutputNoise
-5.0000
-10.0000
-15.0000
0.0000
5.0000
10.0000
15.0000
20.0000
1994 Ene 01
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
La serie noise o ruido ARIMA
38voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
Output = ruido + filtro
OutputNoise OutputFilter OutputTransformed
-5.0000
-10.0000
-15.0000
0.0000
5.0000
10.0000
15.0000
20.0000
25.0000
30.0000
1994 Ene 01
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
39voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
OutputDifNoise
-0.1000
-0.2000
-0.3000
-0.4000
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
1994 Ene 08
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
La serie differenced noise o ruido diferenciado ARMA
40voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
Autocorrelation function of OutputDifNoise
2*Sig
-2*Sig-0.2
-0.3
-0.5
-0.6
-0.8
0.0
0.2
0.3
0.5
0.6
0.8
0 7 14
La función de autocorrelación del ruido diferenciado
41voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
OutputRes
-0.0500
-0.1000
-0.1500
-0.2000
-0.2500
-0.3000
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
1994 Ene 01
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
La serie de residuos o ruido blanco
42voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
Autocorrelation function of OutputRes
2*Sig
-2*Sig
-0.04
-0.08
-0.12
-0.17
-0.21
0.00
0.04
0.08
0.12
0.17
0.21
0 7 14
La función de autocorrelación de los residuos
43voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
Periodicity 1 7AR 1.0000-0.6896*B-0.0733*B^2+0.0829*B 3̂ 1MA 1 1.0000+0.1030*B 7̂DIF 1 1.0000-B 7̂
Name Factor OrderEstimated
ValueReal
Value ErrorStandard deviation
Standarized Error TStudent
Refuse Probability
V1 1 0 0.9988 1 0.0012 0.0018 0.6667 551.9215 0PaymentDaysEffect 1 0 2.0036 2 -0.0036 0.0201 -0.1791 99.4561 0PrePaymentEffect 1 0 -3.0412 -3 0.0412 0.0261 1.5785 -116.7065 0PosPaymentEffect 1 0 4.0361 4 -0.0361 0.0283 -1.2756 142.3929 0GoodWeekEndEffect 1 0 4.9921 5 0.0081 0.0281 0.2847 177.3379 0GoodWeekEndEffect 1 1 6.0021 6 -0.0021 0.0277 -0.0758 216.7287 0PaymentDaysEffect 2 1 0.9026 0.9 -0.0026 0.0021 -1.2381 426.2729 0RegularAR 1 1 0.7766 0.6896 -0.0871 0.1016 -0.8563 7.6468 0RegularAR 1 2 0.0646 0.0733 0.0087 0.1295 0.0672 0.4985 0.6181RegularAR 1 3 -0.1564 -0.0829 0.0735 0.1058 0.6947 -1.4781 0.1394Estacional (1)MA 2 7 -0.1771 -0.1031 0.0741 0.1123 0.6598 -1.5768 0.1148
Análisis de los parámetros estimados
44voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
Residuals OutputRes
-0.0500
-0.1000
-0.1500
-0.2000
-0.2500
-0.3000
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
1994 Ene 01
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22
Residuos : simulados y estimados
45voice: (34) 915327440 e-mail: [email protected] http://www.bayesinf.com
Simulación
Ruido diferenciado : simulado y estimado
DifNoise OutputDifNoise
-0.1000
-0.2000
-0.3000
-0.4000
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
1994 Ene 01
1994 Ene 03
1994 Ene 10
1994 Ene 17
1994 Ene 24
1994 Ene 31
1994 Feb 07
1994 Feb 14
1994 Feb 21
1994 Feb 28
1994 Mar 07
1994 Mar 14
1994 Mar 21
1994 Mar 28
1994 Abr 04
1994 Abr 11
1994 Abr 18
1994 Abr 22