El teorema de Pitaacutegoras y el teorema de ThalesInstrumento de evaluacioacuten desde de las Pruebas Saber
Juan Samuel Rangel LuengasCoacutedigo 186381
Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias
Bogotaacute DCjunio de 2011
El teorema de Pitaacutegoras y el teorema de ThalesInstrumento de evaluacioacuten desde de las Pruebas Saber
Juan Samuel Rangel LuengasCoacutedigo 186381
Trabajo de tesis para optar al tiacutetulo deMagister en ensentildeanza de las ciencias exactas y naturales
DirectorMyriam Margarita Acevedo Caicedo
Magister
Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias
Bogotaacute DCjunio de 2011
Tiacutetulo en espantildeolEl teorema de Pitaacutegoras y el teorema de Thales Instrumento de evaluacioacuten desde de lasPruebas Saber
Title in EnglishThe Pythagorean Theorem and the theorem of Thales Assessment tool from the PruebasSaber
Resumen Propuesta de evaluacion utilizando items tipo prueba Saber referentes a losTeoremas de Thales y Pitaacutegoras para ello se estudian las evaluaciones externas nacionalese internacionales
Abstract Proposal evaluation using Prueba Saber type items concerning TheoremsThales and Pythagoras for it examines the external evaluations of national and interna-tional and proposes an evaluation tool
Palabras clave Evaluacioacuten Pruebas externas Teorema de Thales Teorema de Pitaacutegoras
Keywords Evaluation External testing Thales Theorem Pythagorean Theorem
Nota de aceptacioacuten
Trabajo de tesis
Jurado
Jurado
Director
Bogotaacute DC Junio de 2011
Dedicado a
Todas las personas que me han apoyado incondicionalmente toda mi familia y enespecial a ti Natalia
Agradecimientos
Agradezco especialmente a la profesora Myriam Acevedo por su dedicacioacuten e impulsopara la elaboracioacuten de este trabajo A mis compantildeeros por su colaboracioacuten y apoyo a losdocentes de la Maestria en ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su disposicioacuteny excelente trabajo y finalmente Gratitud a Dios por Todos los favores recibidos
Iacutendice general
Iacutendice general I
Introduccioacuten III
1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES AC-TUALES 1
11 La evaluacioacuten formativa 1
12 La competencia en matemaacutetica 4
13 Evaluaciones Externas 6
131 Coacutemo han cambiado las pruebas 6
14 Prueba Externas Nacionales 8
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once 8
15 Pruebas Internacionales 9
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment) 9
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 10
1521 Grado 4 11
1522 Grado 8 11
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo) 12
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas 13
2 ASPECTOS DISCIPLINARES 24
21 Congruencia 24
211 Congruencia de segmentos 24
2111 Algunas implicaciones de los axiomas 25
2112 Longitud de segmentos 25
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas 25
213 Congruencia de triaacutengulos 26
I
IacuteNDICE GENERAL II
214 Criterios 27
215 Teorema 1 (LAL) 27
216 Teorema 2 (ALA) 27
217 Teorema 3 (LLL) 28
22 Proyecciones paralelas 28
221 Teorema fundamental de paralelismo 29
23 Proyecciones Ortogonales 29
24 Proporciones 30
241 Razones y proporciones entre segmentos 30
242 Propiedades de las proporciones 30
243 Segmentos proporcionales 30
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31
251 Teorema de Thales 31
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32
26 Semejanza 33
261 Semejanza de triaacutengulos 34
262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35
27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35
271 Teorema de Pitaacutegoras 35
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36
3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40
Conlusiones y Recomedaciones 49
Bibliografiacutea 51
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
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en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
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[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
El teorema de Pitaacutegoras y el teorema de ThalesInstrumento de evaluacioacuten desde de las Pruebas Saber
Juan Samuel Rangel LuengasCoacutedigo 186381
Trabajo de tesis para optar al tiacutetulo deMagister en ensentildeanza de las ciencias exactas y naturales
DirectorMyriam Margarita Acevedo Caicedo
Magister
Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias
Bogotaacute DCjunio de 2011
Tiacutetulo en espantildeolEl teorema de Pitaacutegoras y el teorema de Thales Instrumento de evaluacioacuten desde de lasPruebas Saber
Title in EnglishThe Pythagorean Theorem and the theorem of Thales Assessment tool from the PruebasSaber
Resumen Propuesta de evaluacion utilizando items tipo prueba Saber referentes a losTeoremas de Thales y Pitaacutegoras para ello se estudian las evaluaciones externas nacionalese internacionales
Abstract Proposal evaluation using Prueba Saber type items concerning TheoremsThales and Pythagoras for it examines the external evaluations of national and interna-tional and proposes an evaluation tool
Palabras clave Evaluacioacuten Pruebas externas Teorema de Thales Teorema de Pitaacutegoras
Keywords Evaluation External testing Thales Theorem Pythagorean Theorem
Nota de aceptacioacuten
Trabajo de tesis
Jurado
Jurado
Director
Bogotaacute DC Junio de 2011
Dedicado a
Todas las personas que me han apoyado incondicionalmente toda mi familia y enespecial a ti Natalia
Agradecimientos
Agradezco especialmente a la profesora Myriam Acevedo por su dedicacioacuten e impulsopara la elaboracioacuten de este trabajo A mis compantildeeros por su colaboracioacuten y apoyo a losdocentes de la Maestria en ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su disposicioacuteny excelente trabajo y finalmente Gratitud a Dios por Todos los favores recibidos
Iacutendice general
Iacutendice general I
Introduccioacuten III
1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES AC-TUALES 1
11 La evaluacioacuten formativa 1
12 La competencia en matemaacutetica 4
13 Evaluaciones Externas 6
131 Coacutemo han cambiado las pruebas 6
14 Prueba Externas Nacionales 8
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once 8
15 Pruebas Internacionales 9
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment) 9
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 10
1521 Grado 4 11
1522 Grado 8 11
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo) 12
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas 13
2 ASPECTOS DISCIPLINARES 24
21 Congruencia 24
211 Congruencia de segmentos 24
2111 Algunas implicaciones de los axiomas 25
2112 Longitud de segmentos 25
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas 25
213 Congruencia de triaacutengulos 26
I
IacuteNDICE GENERAL II
214 Criterios 27
215 Teorema 1 (LAL) 27
216 Teorema 2 (ALA) 27
217 Teorema 3 (LLL) 28
22 Proyecciones paralelas 28
221 Teorema fundamental de paralelismo 29
23 Proyecciones Ortogonales 29
24 Proporciones 30
241 Razones y proporciones entre segmentos 30
242 Propiedades de las proporciones 30
243 Segmentos proporcionales 30
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31
251 Teorema de Thales 31
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32
26 Semejanza 33
261 Semejanza de triaacutengulos 34
262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35
27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35
271 Teorema de Pitaacutegoras 35
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36
3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40
Conlusiones y Recomedaciones 49
Bibliografiacutea 51
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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51
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
Tiacutetulo en espantildeolEl teorema de Pitaacutegoras y el teorema de Thales Instrumento de evaluacioacuten desde de lasPruebas Saber
Title in EnglishThe Pythagorean Theorem and the theorem of Thales Assessment tool from the PruebasSaber
Resumen Propuesta de evaluacion utilizando items tipo prueba Saber referentes a losTeoremas de Thales y Pitaacutegoras para ello se estudian las evaluaciones externas nacionalese internacionales
Abstract Proposal evaluation using Prueba Saber type items concerning TheoremsThales and Pythagoras for it examines the external evaluations of national and interna-tional and proposes an evaluation tool
Palabras clave Evaluacioacuten Pruebas externas Teorema de Thales Teorema de Pitaacutegoras
Keywords Evaluation External testing Thales Theorem Pythagorean Theorem
Nota de aceptacioacuten
Trabajo de tesis
Jurado
Jurado
Director
Bogotaacute DC Junio de 2011
Dedicado a
Todas las personas que me han apoyado incondicionalmente toda mi familia y enespecial a ti Natalia
Agradecimientos
Agradezco especialmente a la profesora Myriam Acevedo por su dedicacioacuten e impulsopara la elaboracioacuten de este trabajo A mis compantildeeros por su colaboracioacuten y apoyo a losdocentes de la Maestria en ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su disposicioacuteny excelente trabajo y finalmente Gratitud a Dios por Todos los favores recibidos
Iacutendice general
Iacutendice general I
Introduccioacuten III
1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES AC-TUALES 1
11 La evaluacioacuten formativa 1
12 La competencia en matemaacutetica 4
13 Evaluaciones Externas 6
131 Coacutemo han cambiado las pruebas 6
14 Prueba Externas Nacionales 8
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once 8
15 Pruebas Internacionales 9
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment) 9
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 10
1521 Grado 4 11
1522 Grado 8 11
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo) 12
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas 13
2 ASPECTOS DISCIPLINARES 24
21 Congruencia 24
211 Congruencia de segmentos 24
2111 Algunas implicaciones de los axiomas 25
2112 Longitud de segmentos 25
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas 25
213 Congruencia de triaacutengulos 26
I
IacuteNDICE GENERAL II
214 Criterios 27
215 Teorema 1 (LAL) 27
216 Teorema 2 (ALA) 27
217 Teorema 3 (LLL) 28
22 Proyecciones paralelas 28
221 Teorema fundamental de paralelismo 29
23 Proyecciones Ortogonales 29
24 Proporciones 30
241 Razones y proporciones entre segmentos 30
242 Propiedades de las proporciones 30
243 Segmentos proporcionales 30
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31
251 Teorema de Thales 31
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32
26 Semejanza 33
261 Semejanza de triaacutengulos 34
262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35
27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35
271 Teorema de Pitaacutegoras 35
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36
3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40
Conlusiones y Recomedaciones 49
Bibliografiacutea 51
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
Nota de aceptacioacuten
Trabajo de tesis
Jurado
Jurado
Director
Bogotaacute DC Junio de 2011
Dedicado a
Todas las personas que me han apoyado incondicionalmente toda mi familia y enespecial a ti Natalia
Agradecimientos
Agradezco especialmente a la profesora Myriam Acevedo por su dedicacioacuten e impulsopara la elaboracioacuten de este trabajo A mis compantildeeros por su colaboracioacuten y apoyo a losdocentes de la Maestria en ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su disposicioacuteny excelente trabajo y finalmente Gratitud a Dios por Todos los favores recibidos
Iacutendice general
Iacutendice general I
Introduccioacuten III
1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES AC-TUALES 1
11 La evaluacioacuten formativa 1
12 La competencia en matemaacutetica 4
13 Evaluaciones Externas 6
131 Coacutemo han cambiado las pruebas 6
14 Prueba Externas Nacionales 8
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once 8
15 Pruebas Internacionales 9
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment) 9
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 10
1521 Grado 4 11
1522 Grado 8 11
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo) 12
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas 13
2 ASPECTOS DISCIPLINARES 24
21 Congruencia 24
211 Congruencia de segmentos 24
2111 Algunas implicaciones de los axiomas 25
2112 Longitud de segmentos 25
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas 25
213 Congruencia de triaacutengulos 26
I
IacuteNDICE GENERAL II
214 Criterios 27
215 Teorema 1 (LAL) 27
216 Teorema 2 (ALA) 27
217 Teorema 3 (LLL) 28
22 Proyecciones paralelas 28
221 Teorema fundamental de paralelismo 29
23 Proyecciones Ortogonales 29
24 Proporciones 30
241 Razones y proporciones entre segmentos 30
242 Propiedades de las proporciones 30
243 Segmentos proporcionales 30
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31
251 Teorema de Thales 31
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32
26 Semejanza 33
261 Semejanza de triaacutengulos 34
262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35
27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35
271 Teorema de Pitaacutegoras 35
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36
3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40
Conlusiones y Recomedaciones 49
Bibliografiacutea 51
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
Dedicado a
Todas las personas que me han apoyado incondicionalmente toda mi familia y enespecial a ti Natalia
Agradecimientos
Agradezco especialmente a la profesora Myriam Acevedo por su dedicacioacuten e impulsopara la elaboracioacuten de este trabajo A mis compantildeeros por su colaboracioacuten y apoyo a losdocentes de la Maestria en ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su disposicioacuteny excelente trabajo y finalmente Gratitud a Dios por Todos los favores recibidos
Iacutendice general
Iacutendice general I
Introduccioacuten III
1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES AC-TUALES 1
11 La evaluacioacuten formativa 1
12 La competencia en matemaacutetica 4
13 Evaluaciones Externas 6
131 Coacutemo han cambiado las pruebas 6
14 Prueba Externas Nacionales 8
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once 8
15 Pruebas Internacionales 9
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment) 9
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 10
1521 Grado 4 11
1522 Grado 8 11
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo) 12
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas 13
2 ASPECTOS DISCIPLINARES 24
21 Congruencia 24
211 Congruencia de segmentos 24
2111 Algunas implicaciones de los axiomas 25
2112 Longitud de segmentos 25
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas 25
213 Congruencia de triaacutengulos 26
I
IacuteNDICE GENERAL II
214 Criterios 27
215 Teorema 1 (LAL) 27
216 Teorema 2 (ALA) 27
217 Teorema 3 (LLL) 28
22 Proyecciones paralelas 28
221 Teorema fundamental de paralelismo 29
23 Proyecciones Ortogonales 29
24 Proporciones 30
241 Razones y proporciones entre segmentos 30
242 Propiedades de las proporciones 30
243 Segmentos proporcionales 30
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31
251 Teorema de Thales 31
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32
26 Semejanza 33
261 Semejanza de triaacutengulos 34
262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35
27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35
271 Teorema de Pitaacutegoras 35
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36
3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40
Conlusiones y Recomedaciones 49
Bibliografiacutea 51
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
Agradecimientos
Agradezco especialmente a la profesora Myriam Acevedo por su dedicacioacuten e impulsopara la elaboracioacuten de este trabajo A mis compantildeeros por su colaboracioacuten y apoyo a losdocentes de la Maestria en ensentildeanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su disposicioacuteny excelente trabajo y finalmente Gratitud a Dios por Todos los favores recibidos
Iacutendice general
Iacutendice general I
Introduccioacuten III
1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES AC-TUALES 1
11 La evaluacioacuten formativa 1
12 La competencia en matemaacutetica 4
13 Evaluaciones Externas 6
131 Coacutemo han cambiado las pruebas 6
14 Prueba Externas Nacionales 8
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once 8
15 Pruebas Internacionales 9
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment) 9
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 10
1521 Grado 4 11
1522 Grado 8 11
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo) 12
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas 13
2 ASPECTOS DISCIPLINARES 24
21 Congruencia 24
211 Congruencia de segmentos 24
2111 Algunas implicaciones de los axiomas 25
2112 Longitud de segmentos 25
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas 25
213 Congruencia de triaacutengulos 26
I
IacuteNDICE GENERAL II
214 Criterios 27
215 Teorema 1 (LAL) 27
216 Teorema 2 (ALA) 27
217 Teorema 3 (LLL) 28
22 Proyecciones paralelas 28
221 Teorema fundamental de paralelismo 29
23 Proyecciones Ortogonales 29
24 Proporciones 30
241 Razones y proporciones entre segmentos 30
242 Propiedades de las proporciones 30
243 Segmentos proporcionales 30
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31
251 Teorema de Thales 31
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32
26 Semejanza 33
261 Semejanza de triaacutengulos 34
262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35
27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35
271 Teorema de Pitaacutegoras 35
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36
3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40
Conlusiones y Recomedaciones 49
Bibliografiacutea 51
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
Iacutendice general
Iacutendice general I
Introduccioacuten III
1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES AC-TUALES 1
11 La evaluacioacuten formativa 1
12 La competencia en matemaacutetica 4
13 Evaluaciones Externas 6
131 Coacutemo han cambiado las pruebas 6
14 Prueba Externas Nacionales 8
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once 8
15 Pruebas Internacionales 9
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment) 9
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 10
1521 Grado 4 11
1522 Grado 8 11
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo) 12
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas 13
2 ASPECTOS DISCIPLINARES 24
21 Congruencia 24
211 Congruencia de segmentos 24
2111 Algunas implicaciones de los axiomas 25
2112 Longitud de segmentos 25
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas 25
213 Congruencia de triaacutengulos 26
I
IacuteNDICE GENERAL II
214 Criterios 27
215 Teorema 1 (LAL) 27
216 Teorema 2 (ALA) 27
217 Teorema 3 (LLL) 28
22 Proyecciones paralelas 28
221 Teorema fundamental de paralelismo 29
23 Proyecciones Ortogonales 29
24 Proporciones 30
241 Razones y proporciones entre segmentos 30
242 Propiedades de las proporciones 30
243 Segmentos proporcionales 30
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31
251 Teorema de Thales 31
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32
26 Semejanza 33
261 Semejanza de triaacutengulos 34
262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35
27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35
271 Teorema de Pitaacutegoras 35
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36
3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40
Conlusiones y Recomedaciones 49
Bibliografiacutea 51
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
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ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
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ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
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en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
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con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
IacuteNDICE GENERAL II
214 Criterios 27
215 Teorema 1 (LAL) 27
216 Teorema 2 (ALA) 27
217 Teorema 3 (LLL) 28
22 Proyecciones paralelas 28
221 Teorema fundamental de paralelismo 29
23 Proyecciones Ortogonales 29
24 Proporciones 30
241 Razones y proporciones entre segmentos 30
242 Propiedades de las proporciones 30
243 Segmentos proporcionales 30
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales 31
251 Teorema de Thales 31
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales 32
26 Semejanza 33
261 Semejanza de triaacutengulos 34
262 Casos de semejanza de triaacutengulos 35
27 Triaacutengulos rectaacutengulos 35
271 Teorema de Pitaacutegoras 35
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras 36
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras 36
3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 40
Conlusiones y Recomedaciones 49
Bibliografiacutea 51
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
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luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
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que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
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ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
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ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
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una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
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en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
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con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
Introduccioacuten
En el paiacutes y en particular en Bogotaacute las instituciones escolares han centrado su aten-cioacuten en la uacuteltima deacutecada en los desempentildeos de los estudiantes en las pruebas externasdejando muchas veces de lado los fines fundamentales de la educacioacuten de nintildeos y joacutevenesLa preocupacioacuten respecto a estos desempentildeos tiene que ver no soacutelo con las poliacuteticas ed-ucativas del MEN acerca de la evaluacioacuten y su impacto sino con niveles muy bajos dedesempentildeo de los estudiantes especialmente en las aacutereas de las matemaacuteticas y ciencias
En el caso del aacuterea de matemaacuteticas se identifican dificultades en aspectos relativosa todos los pensamientos (numeacuterico espacial meacutetrico variacional y aleatorio) pero sonespecialmente preocupantes las carencias en los pensamientos espacial y meacutetrico dadoque los estudiantes no reconocen ni diferencian las figuras geomeacutetricas y sus propiedadesdesde luego no pueden interpretar y usar relaciones y teoremas geomeacutetricos baacutesicos yjustamente sobre estos elementos indagan las pruebas externas
A la problemaacutetica anterior se suma lo que ocurre con las praacutecticas de aula y la or-ganizacioacuten curricular en las instituciones de educacioacuten baacutesica y media los temas de estospensamientos no se abordan de manera significativa dado que todo el trabajo se centra enla parte numeacuterica y algebraica se realiza un trabajo superficial sin profundizar en concep-tos relacionados con este pensamiento Se reduce a una identificacioacuten elemental de figurasy formas y a un trabajo de aplicacioacuten de foacutermulas para hallar aacutereas y periacutemetros no se con-sideran aspectos maacutes formales acerca de relaciones propiedades criterios y construccionesa los cuales hacen referencia clara los estaacutendares baacutesicos En consecuencia la evaluacioacuten enel aula se centra solamente en los aspectos inicialmente mencionados y por los que se inda-ga en ejercicios rutinarios que no enfrentan a los estudiantes a situaciones que requieranel planteamiento y solucioacuten de problemas que siacute son explorados en las pruebas externas ypor lo tanto hacen que los niveles de desempentildeo de los estudiantes no sean los esperados
Para responder a la situacioacuten descrita anteriormente se propuso como objetivo generalde este trabajo
Estudiar los marcos teoacutericos de las pruebas nacionales e internacionales y textos oartiacuteculos sobre evaluacioacuten en matemaacuteticas para elaborar una prueba de matemaacuteticas coniacutetems de diferente nivel de complejidad referidos a la interpretacioacuten y aplicacioacuten de losteoremas de Thales y Pitaacutegoras fundamentados en un saber disciplinar
y como finalidad aportar a los maestros un instrumento que ilustre el sentido de laevaluacioacuten por competencias objeto de evaluacioacuten de las pruebas externas que incentivela reorientacioacuten de los disentildeos curriculares especialmente en lo referente al pensamientoespacial y permita enriquecer sus propuestas de evaluacioacuten en el aula Para lograr esteobjetivo el trabajo se dividioacute en tres capiacutetulos El primero hace un recorrido por algunos
III
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
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ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
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ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
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en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
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con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
INTRODUCCIOacuteN IV
referentes actuales sobre el sentido de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas enfati-zando en la evaluacioacuten formativa Se caracterizan las evaluaciones externas en el aacuterea dematemaacuteticas nacionales e internacionales en cuanto a su objeto de evaluacioacuten aspectosa evaluar competencias especiacuteficas y eacutenfasis identificando ademaacutes en los instrumentosalgunos iacutetems propuestos referidos a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras
En el capiacutetulo dos se incluye una resentildea de algunos aspectos disciplinares relacionadoscon los teoremas entre ellos la congruencia de segmentos y aacutengulos triaacutengulos relacionesde semejanza y congruencia y enunciado y demostracioacuten de los teoremas de Thales yPitaacutegoras complementando con demostraciones visuales del teorema de Pitaacutegoras quepueden aportar elementos didaacutecticos para el trabajo en el aula
En el capiacutetulo tres se describe la propuesta didaacutectica teniendo en cuenta los referentesteoacutericos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten de la educacioacuten baacutesica y media tantonacional como internacional se presenta un instrumento de evaluacioacuten que tiene comoobjeto fundamental la competencia e indaga por los temas que son eje central del trabajo
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1
EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOSREFERENTES ACTUALES
En la actualidad la evaluacioacuten y en particular la evaluacioacuten en matemaacuteticas tienefunciones o propoacutesitos que van maacutes allaacute del diagnoacutestico y la produccioacuten de resultadospuntuales
ldquoEl paso de una evaluacioacuten centrada en modelos tecnoloacutegicos o experimentales a unaconcepcioacuten que privilegia modelos cualitativos estaacute acompantildeado de importantes construc-tos acerca de las funciones de la evaluacioacuten respecto a lo social la evaluacioacuten se constituyeen un elemento de apoyo y orientacioacuten de todos los estudiantes no de un grupo particulardebe responder a necesidades y demandas de los individuos y de la comunidad en cuantoa lo eacutetico y lo poliacutetico desaparece la funcioacuten penal y se considera como parte integral delproceso educativordquo[3] 1
ldquoLos cambios de paradigmas educativos y las construcciones teoacutericas en torno al caraacutec-ter de la matemaacutetica escolar en las que se refleja una visioacuten amplia de la matemaacutetica quela percibe como producto de la actividad humana dinaacutemica constituida por un sistemarelacionado de principios e ideas construidos a traveacutes de la exploracioacuten y la investigacioacutenempiezan a su vez a romper con la tradicional mirada diagnostica y de tipo clasificato-rio de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas resalta hoy su papel en el desarrollo yenriquecimiento del procesordquo2
11 La evaluacioacuten formativa
Desde los referentes teoacutericos la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas ha evolucionadode una mirada esencialmente cuantitativa hacia una mirada cualitativa del estudiante ydel proceso de ensentildeanza aprendizaje en esta uacuteltima se consideran diversos aspectos queinfluyen en este proceso se toman en cuenta entre ellos la complejidad del ser humano lasdiferencias individuales y las diversas formas de acercarse al conocimiento De otra partelas nuevas perspectivas de la educacioacuten matemaacutetica que proponen que el aula de clasesea un espacio de trabajo que integre los intereses del estudiante a la labor acadeacutemica
1Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Myriam Acevedo Caicedo Memorias Cuarto encuentro colom-biano de matemaacutetica educativa
2Ibid paacuteg13
1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 2
que lo acerquen al saber disciplinar de la matemaacutetica utilizando variadas estrategias yofreciendo diferentes opciones para avanzar en el conocimiento el caraacutecter de la evaluacioacutendebe cambiar hoy dista mucho de ser un simple diagnoacutestico en el que se contrasta con losresultados finales3 para clasificar a los estudiantes como si se emitiera una sancioacuten
ldquoSi la evaluacioacuten es parte integral del trabajo en el aula de matemaacuteticas debe contribuirsignificativamente a que todos los estudiantes aprendan matemaacuteticasrdquo 4
El cambio de las formas de trabajo en la escuela que deben permitir al estudiante unpapel maacutes activo en busca de la apropiacioacuten de un saber disciplinar que pueda utilizar endiferentes situaciones y contextos implica un cambio en el papel de la evaluacioacuten ahoraesta es fundamental para lograr este propoacutesito porque se espera que contribuya a quelos estudiantes aprendan matemaacuteticas no solo determinar en queacute fallan sino aprovecharla informacioacuten para realizar actividades que aporten a la comprensioacuten profunda de losconceptos matemaacuteticos en este sentido el error no es sancionado por el contrario es laoportunidad de aprender maacutes es motivo de autorreflexioacuten y retroalimentacioacuten
ldquoesto implica una concepcioacuten de la praacutectica como seguimiento permanente al procesode adquisicioacuten de una cultura ldquobaacutesicardquo en esta perspectiva el error se considera como una viacuteanatural de acceso al conocimiento es realmente manifestacioacuten de un proceso constructivoque se debe encausar y orientarrdquo5
ldquoLa evaluacioacuten de los aprendizajes debe ir maacutes allaacute de producir un resultado paracalificar el desempentildeo de un estudiante y para decidir si aprueba o no un curso o unaasignatura La evaluacioacuten debe proporcionar informacioacuten acerca de lo que un estudianteaprende de las formas como aprende de los meacutetodos de los espacios y tiempos doacutendeaprende mejor de las maneras como comunica lo aprendido de coacutemo utiliza lo aprendidode lo que no aprende para volver a ensentildearlo y para buscar otras formas de ensentildear Lo maacutesimportante es que en la evaluacioacuten de los aprendizajes de los estudiantes siempre mediaun proceso de autorreflexioacuten y apoyo por parte de los profesores y padres de familiardquo 6
Acorde con el anterior sentido la evaluacioacuten al interior del aula debe ser entendidadesde el punto de vista formativo7 y no exclusivamente sumativo debe permitir corregirprocesos y buscar un mejor desempentildeo de los estudiantes esto estaacute relacionado con uncambio de roles al interior de aula de matemaacuteticas mayor participacioacuten de los estudiantesen el proceso y un papel orientador por parte del docente basado en la informacioacuten quela evaluacioacuten aporta continuamente El sentido que se deacute a la evaluacioacuten en el aula dematemaacuteticas estaacute ligado a las concepciones y creencias del profesor respecto a la naturalezade la matemaacutetica disciplinar la naturaleza dela matemaacutetica escolar y al coacutemo asume elproceso de ensentildeanza-aprendizaje
ldquosi en uno de los extremos de los posibles matices de concepciones acerca de la natu-raleza de la matemaacutetica ubicamos aquella que la considera como una coleccioacuten de hechosherramientas y conceptos que se particionan y pueden en consecuencia ser exploradosaisladamente se evaluaraacuten aspectos puntuales el profesor esperaraacute que el estudiante de-muestre maestriacutea en ellos para determinar que alcanzoacute un nivel funcional en el aacutereaEnel otro extremo de las concepciones en el que la matemaacutetica se considera como un cuerpo
3adaptado de [11]4 textualde [3]5Ibidpaacuteg146 Redacademica [7]7 Scriven diferenciaraacute entre evaluacioacuten Formativa (orientada a la mejora) y Sumativa (centrada en el
impacto y los resultados del programa)[6]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 3
estructurado de conocimientos interdependientes la evaluacioacuten exploraraacute si el estudianteconoce objetos conceptos herramientas propiedades principios y si establece relacioacutenentre ellosrdquo 8
Las tareas que el profesor propone para evaluar estaacuten determinadas por sus concep-ciones acerca del conocimiento matemaacutetico si considera cada dominio conceptual de lamatemaacutetica como previamente estructurado simplemente orienta sus propuesta a una colec-cioacuten de tareas que indagan por toacutepicos de este dominio con el objeto de profundizar en suestudio y anaacutelisis si el profesor considera importante tener en cuenta las relaciones entrediversas situaciones y problemas de un dominio sus tareas estaraacuten orientadas a construirsignificado en ese dominio y profundizar en los conceptos de eacutel en contraste si el pro-fesor percibe el conocimiento matemaacutetico integrado hace eacutenfasis en las tareas que exigenaplicar variedad de conceptos y procedimientos matemaacuteticos tanto al interior de un domi-no como en distintos dominios esto uacuteltimo exige que el estudiante haya construido solidasherramientas de razonamiento y resolucioacuten de problemas Es importante resaltar que elcaraacutecter de las tareas o instrumentos que el profesor utiliza para evaluar enviacutea un mensajeal estudiante respecto a queacute es lo maacutes importante para revisar y estudiar asiacute como queacutees lo fundamental de la matemaacutetica como disciplina Si el eacutenfasis exclusivo de las tareaspropuestas estaacute en los procedimientos y foacutermulas el estudiante asumiraacute que la matemaacuteticaes simplemente una coleccioacuten de estos
ldquoldquoBuenasrdquo evaluaciones pueden potenciar el aprendizaje de los estudiantes de diversasmaneras enviacutean un mensaje a los estudiantes acerca de queacute clase de conocimientos yhabilidades matemaacuteticas son valiosos y este mensaje puede influir en las decisiones de losestudiantes sobre queacute trabajar a fondo y queacute no trabajar Es importante entonces quelas tareas propuestas para la evaluacioacuten exijan de los estudiantes tiempo y atencioacuten debenconsiderarse actividades consistentes con el trabajo enriquecedor del aulardquo 9
Justamente desde las nuevas posiciones frente a la evaluacioacuten Guillermina Marcos [13]en su tesis doctoral sugiere a los profesores reorientar las tareas de evaluacioacuten teniendoen cuenta entre otros los siguientes aspectos dar menos eacutenfasis en ejercicios mecaacutenicosy repetitivos contextualizar con sentido todas las tareas que se proponen al interior delaula plantear problemas abiertos con maacutes de una solucioacuten o sin solucioacuten que puedanser resueltos usando diversas estrategias construir tareas que permitan interrelacionardiferentes dominios (numeacuterico geomeacutetrico meacutetrico) Ademaacutes de plantear nuevas manerasde evaluar es necesario implementar diferentes instrumentos de evaluacioacuten para responderde forma significativa al seguimiento del proceso entre estos instrumentos se pueden consi-derar pruebas abiertas pruebas cerradas tareas de investigacioacuten entrevistas discusionesentre otras teniendo en cuenta que cada tipo es apropiado para un determinado fin unaprueba cerrada es maacutes adecuada para indagar procedimientos mientras que las actividadesabiertas o de investigacioacuten son pertinentes para explorar la capacidad de los estudiantes enla aplicacioacuten de la matemaacutetica en diferentes contextos y las discusiones permiten estudiarel desarrollo de pensamiento y sus formas de argumentacioacuten10
En contraste con las nuevas tendencias de evaluacioacuten la realidad al interior de aula esque las praacutecticas y las propuestas no tienen en cuenta los elementos teoacutericos anteriormentediscutidos en lo que respecta a seguimiento del proceso coherencia con el objeto de eva-
8Trazas y miradas La evaluacioacuten en el aula [2]9Evaluacioacuten en el aula ce matemaacuteticas [3]
10En Jimenez [11] se encuentra una perspectiva amplia de la evaluacioacuten formativa que reafirma loplanteado
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 4
luacioacuten identificacioacuten de aspectos fundamentales a evaluar y anaacutelisis e interpretacioacuten deresultados entre otros
Muchas personas no tienen conciencia de la dificultad que implica obtener buenos re-sultados educativos con grupos de alumnos que provienen de un medio social desfavor-ableProbablemente por eso son frecuentes las opiniones de que bastaraacute con aplicar prue-bas masivamente y tomar medidas correctivas simples para que la calidad de la educacioacutenmejore sustancialmente 11
Muacuteltiples factores inciden en esta situacioacuten entre ellos son de destacar las concepcionesdel profesor respecto a la naturaleza del conocimiento matemaacutetico centradas en enfatizarexclusivamente en el uso de procedimientos y reglas alejadas del planteamiento y resolu-cioacuten de verdaderos problemas la cantidad de estudiantes por grupo excede un nuacutemeromanejable para realizar el seguimiento propuesto y el disentildeo curricular se concentra entoacutepicos generalmente desligados lo que divide el conocimiento matemaacutetico en aacutereas querara vez se interrelacionan De otra parte dadas las limitaciones anteriormente expuestasen la evaluacioacuten propuesta en el aula se hace poco eacutenfasis en la comprensioacuten y el uso consignificado del conocimiento matemaacutetico escolar en diferentes contextos esto es la nocioacutende competencia matemaacutetica estaacute realmente ausente en las praacutectica de evaluacioacuten predomi-nantes en las instituciones Asiacute al responder a pruebas masivas los estudiantes presentanbajos desempentildeos originados en parte por las marcadas diferencias entre las praacutecticas deevaluacioacuten en el aula y los eacutenfasis y objetos de evaluacioacuten de la evaluacioacuten externa
Finalmente la evaluacioacuten al interior del aula debe entenderse como parte del procesode ensentildeanza- aprendizaje involucrando a los estudiantes en su formacioacuten acadeacutemica Enel aula de clase la evaluacioacuten que debe privilegiarse es la formativa desde una concepcioacutenque evaluacutea el proceso e involucra la dimensioacuten afectiva Cada una de las etapas del desa-rrollo de la nocioacuten de evaluacioacuten formativa ha aportado algo sustantivo la idea original deScriven que distingue la evaluacioacuten al final o durante el proceso la aplicacioacuten expliacutecita dela nocioacuten a la evaluacioacuten del aprendizaje y no soacutelo del curriacuteculo o programas por Bloomla identificacioacuten de los alumnos como destinatarios clave de la informacioacuten con Sadler yfinalmente la atencioacuten a la dimensioacuten afectiva con Brookhart Black y Wiliam y Stiggins12
Con respecto a los eacutenfasis curriculares de la evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas esimportante en consecuencia destacar que deben estar orientados fundamentalmente porlos estaacutendares baacutesicos de competencias en el aacuterea que involucran desde sus planteamientosiniciales un nuevo objeto a evaluar la competencia
12 La competencia en matemaacutetica
A finales del siglo XIX y a principios del XX las pruebas de matemaacuteticas se centrabanfundamentalmente en recitaciones de tipo mecaacutenico o memoriacutestico con las que un alumnomostraba lo que sabiacutea (Oakes y Lipton 2007)13
ldquolas pruebas tradicionales muchas veces orientaban la instruccioacuten en una direccioacutenequivocada centraban la atencioacuten en lo que es maacutes faacutecil de medir en vez de hacerlo en lo
11la artificialidad y el falso realismo La buacutesqueda de situaciones en contexto no debe llevar al docentea plantear a sus estudiantes actividades con un contexto absurdo o poco significativo
12Paacuteg 15 evaluacioacuten formativa [14]13Adaptado evaluacioacuten formativa paacuteg 11
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 5
que es maacutes importante de aprender (Shepard 2006 p 626)rdquo 14 El objeto de evaluacioacutende las pruebas de matemaacuteticas fue evolucionando del eacutenfasis exclusivo en procedimientosmecaacutenicos o en toacutepicos curriculares dispersos a explorar capacidades aptitudes habil-idades y en la actualidad competencias concepto que surgioacute de la Linguumliacutestica (NoamChomski) y que se ha ido reformulando y enriqueciendo con el paso de los antildeos A contin-uacioacuten se presentan algunas citas referidas a este concepto
ldquoes entendida como capacidad para realizar adecuadamente tareas matemaacuteticas es-peciacuteficas debe complementarse con la comprensioacuten matemaacutetica de las teacutecnicas necesariaspara realizar las tareas (iquestpor queacute la teacutecnica es adecuada iquestcuaacutel es su aacutembito de validez)y las relaciones entre los diversos contenidos y procesos matemaacuteticos puestos en juegordquo(Godino 2002)15
ldquola capacidad de administrar nociones representaciones y utilizar procedimientosmatemaacuteticos para comprender e interpretar el mundo real Esto es que el alumno tengala posibilidad de matematizar el mundo real lo que implica interpretar datos establecerrelaciones y conexiones poner en juego conceptos matemaacuteticos analizar regularidadesestablecer patrones de cambio encontrar elaborar disentildear yo construir modelos argu-mentar justificar comunicar procedimientos y resultadosrdquo(LLECE 2005) 16
ldquo la expresioacuten ser matemaacuteticamente competenteEsta nocioacuten ampliada de compe-tencia estaacute relacionada con el saber queacute el saber queacute hacer y el saber coacutemo cuaacutendo y porqueacute hacerlo Por tanto la precisioacuten del sentido de estas expresiones implica una nocioacuten decompetencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender Si bien es cierto quela sociedad reclama y valora el saber en accioacuten o saber procedimental tambieacuten es cierto quela posibilidad de la accioacuten reflexiva con caraacutecter flexible adaptable y generalizable exigeestar acompantildeada de comprender queacute se hace y por queacute se hace y de las disposiciones yactitudes necesarias para querer hacerlo sentirse bien hacieacutendolo y percibir las ocasionesde hacerlordquo 17
ldquoLo fundamental del trabajo orientado al desarrollo competencial del alumnado es queante una situacioacuten contextualizada o no este se sabe enfrentar a la misma con las her-ramientas matemaacuteticas que posee No vamos a reconocer si se sabe resolver ecuacionessino si se sabe usar ecuaciones para resolver un problema Sol Jimenez y Rosich (2007)rdquo18
Analizando los conceptos anteriores asiacute como de los que se mencionaran en los referentescurriculares y de evaluacioacuten se destaca que la competencia matemaacutetica estaacute relacionadacon el uso apropiado y oportuno del conocimiento matemaacutetico en diferentes contextostanto al interior de la matemaacutetica como fuera de ella La solucioacuten de situaciones problemase convierte desde esta perspectiva en un eje fundamental del quehacer matemaacutetico no serequiere uacutenicamente conocer toacutepicos o contenidos sino comprenderlos y usarlos de man-era flexible La evaluacioacuten debe centrar al estudiante en lo que es importante aprenderLa matemaacutetica escolar es en consecuencia un saber cultural baacutesico necesario para todociudadano que le aporta herramientas para modelar situaciones solucionar problemastomar decisiones emitir juicios argumentados desde un saber disciplinar en relacioacuten conun contexto particular se entiende la matemaacutetica como una herramienta para la vida
14Ibid15Ibid Paacuteg 1516Fundamentacioacuten conceptual aacuterea de matemaacuteticas17( MEN 2006) [18]18Competencias baacutesicas competencia [16]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 6
ldquoLa escuela debe preparar a los alumnos para ser ciudadanos productivos y en conse-cuencia ademaacutes de que la formacioacuten matemaacutetica es un requisito esencial para el estudio deuna amplia variedad de disciplinas debe potenciar a los estudiantes con los conocimientosdestrezas y formas de razonamiento que requieran para su vida diariardquo19
Desde estas miradas la funcioacuten de la educacioacuten matemaacutetica va maacutes allaacute de la formacioacutendisciplinar se orienta a una formacioacuten integral en la que los individuos deben adquirircompetencias disciplinares y especiacuteficas en contextos y situaciones diversas tanto en eltrabajo al interior del aula como en la evaluacioacuten interna y externa
13 Evaluaciones Externas
Como se mencionoacute en el apartado anterior la evaluacioacuten interna permite o deberiacuteapermitir un seguimiento sistemaacutetico del proceso al interior del aula y muy posiblementeeste seguimiento difiere de una a otra institucioacuten Pero en los sistemas educativos de todoslos paiacuteses existen otras formas de realizar un seguimiento de la calidad de la educacioacutenmatemaacutetica a nivel general e identificar los niveles de desempentildeo y avance de los estudiantesen la matemaacutetica baacutesica con el objeto de determinar dificultades y proponer reorientacionesa las instituciones
En Colombia se han venido aplicando pruebas externas censales o muestrales tantonacionales como internacionales a nivel nacional la prueba SABER y a nivel internacionalPISA TIMSS y SERCE Cada una de estas pruebas tiene caracteriacutesticas particulares seidentifican a partir de esta definicioacuten competencias especiacuteficas que seraacuten evaluadas a traveacutesde las pruebas
131 Coacutemo han cambiado las pruebas
ldquoLa evaluacioacuten del aprendizaje tiene antecedentes antiguos En China comenzaron aaplicarse pruebas a grandes nuacutemeros de personas maacutes de 1000 antildeos AC (Oakes y Lipton2007) Mucho despueacutes en el siglo XVI de nuestra era los liceos jesuitas iniciaron una tradi-cioacuten que en el XIX llevoacute a exaacutemenes tipo ensayo como el abitur alemaacuten o el baccalaureatfranceacutesrdquo 20
Como se menciona en la cita anterior la evaluacioacuten a gran escala se realiza desde laantiguumledad y ha ido evolucionando hasta nuestro diacuteas con caracteriacutesticas e intencionali-dades diferentes hasta llegar a determinar decisiones importantes de los gobiernos frente ala calidad de la educacioacuten situacioacuten que coloca en juicio la evaluacioacuten de los educadores alinterior del aula de clase La necesidad de comparar niveles de rendimiento y determinarsi los procesos de evaluacioacuten realizados por los maestros tienen carencias dio origen a laaplicacioacuten de evaluaciones externas que evolucionaron en los Estados Unidos Al princi-pio se aplicaban pruebas de historia ortografiacutea y aritmeacutetica a gran nuacutemero de personasCon el desarrollo de la sicometriacutea se construyeron pruebas de aptitud diferentes a las deconocimientos que iban maacutes allaacute de la memorizacioacuten de datos se creoacute un instituto dedica-do exclusivamente a la elaboracioacuten de test el Educational Testing Service (De Landsheere1986) 21
19Pag 6 Marco Teoacuterico ICFES [1]20Pagina 2 evaluacion formativa21Pagina 3 adaptado evaluacioacuten formativa [14]
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 7
ldquoLos pioneros de las pruebas estandarizadas estaban convencidos de que las escuelasteniacutean serios problemas de calidad y consideraban que las evaluaciones de los maestrosteniacutean deficiencias graves Por ello buscaron elaborar instrumentos que permitieran com-parar los niveles de rendimiento de alumnos de diferentes escuelas Thorndike pensaba quelas pruebas remediariacutean la escandalosa falta de confiabilidad de los exaacutemenes aplicados porlos maestros (Shepard 2006 p 623)rdquo 22
Aunque los instrumentos construidos y aplicados ofreciacutean informacioacuten valiosa se divis-aban las limitaciones al estar desligados del proceso ensentildeanza aprendizaje
ldquoEn 1923 B D Wood se quejaba de que las pruebas estandarizadas mediacutean soacutelo hechosaislados y piezas de informacioacuten en lugar de capacidad de razonamiento habilidad orga-nizadora etc Ralph Tyler subrayoacute tambieacuten desde los primeros antildeos la necesidad de verlasno como un proceso separado de la ensentildeanza sino como parte integral de eacutesta (Shepard2006)rdquo23
Ante la necesidad de unificar las orientaciones curriculares y los instrumentos de laspruebas en Estados Unidos se estructuraron los Estaacutendares Nacionales de Curriacuteculo yEvaluacioacuten (NCTM 1989-1995) que permitieran elaborar y aplicar instrumentos compa-rables a nivel nacional La publicacioacuten de estos estaacutendares origino cambios radicales enlos lineamientos curriculares y de evaluacioacuten no solamente en los Estados Unidos sino anivel mundial A partir de alliacute se empezaron a aplicar evaluaciones internas masivas endiferentes paiacuteses y posteriormente se inicioacute la aplicacioacuten de instrumentos que permitierancomparar los desempentildeos de los estudiantes de los diferentes paiacuteses en diferentes aacutereaspero con eacutenfasis especial en lenguaje matemaacuteticas y ciencias Entre estas pruebas interna-cionales se destacan las pruebas TIMSS PISA SERCE Particularmente en Colombia en1968 se inicia la aplicacioacuten de pruebas masivas en su primera fase solamente para los estu-diantes que terminaban su formacioacuten media estas pruebas se convirtieron raacutepidamente enrequisito para el ingreso a la educacioacuten superior Posteriormente la evaluacioacuten masiva en elpaiacutes se aplicoacute no exclusivamente a estudiantes del uacuteltimo nivel de la educacioacuten media sinoa estudiantes de la baacutesica primaria y secundaria pruebas que actualmente son conocidascomo la prueba Saber
ldquoA comienzos de 1968 ante la inminente separacioacuten del FUN y ASCUN se reestructuroacuteel Servicio de Orientacioacuten Profesional que se convirtioacute en el Servicio Nacional de PruebasSNP denominacioacuten con la que llevoacute a cabo los diacuteas 7 y 8 de septiembre los primerosExaacutemenes Nacionales En diciembre de ese mismo antildeo el gobierno nacional reorganiza elFLJN y lo convierte en el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educacioacuten Superior-ICFES- separaacutendolo de ASCUN y adscribieacutendolo al Ministerio de Educacioacuten El ServicioNacional de pruebas pasa a ser parte del nuevo ICFESrdquo24
ldquoLos actuales exaacutemenes de Estado son el resultado de un proceso de buacutesqueda en elpaiacutes que se remonta al siglo pasado y que va urdiendo su caracterizacioacuten a lo largo detodo el presente siglo En efecto es en 1912 cuando se habla por primera vez de unosldquoexaacutemenes de admisioacutenrdquo a las diferentes Facultades de la Universidad Nacional los cualesintroducen unos criterios de seleccioacuten que intentan evitar consideraciones de origen familiareacutetnico o religiosoCon fines meramente analiacuteticos se pueden identificar tres momentosque anteceden a los actuales exaacutemenes El primero de 1912 a 1954 se caracteriza por elesfuerzo de la Universidad Nacional y del Estado para lograr mecanismos que permitieran
22Ibid [14]23Pagina 2 evaluacioacuten formativa24Antecedentes Para Una Reconceptualizacioacuten de los Exaacutemenes De Estado [] Pag 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 8
una seleccioacuten de caraacutecter acadeacutemico que garantizara el eacutexito en los estudios superiores Elsegundo de1954 a 1968 se caracteriza por la cooperacioacuten de las universidades a traveacutes dela Asociacioacuten Colombiana de Universidades y del Estado a traveacutes del Fondo UniversitarioNacional (que se funde con la Asociacioacuten) y se caracteriza principalmente por adoptar yadaptar pruebas estandarizadas que permitieran evaluar diversos aspectos de la conductade los aspirantes El tercero de 1968 hasta hoy se caracteriza por el desarrollo teacutecnicoen el disentildeo y administracioacuten de pruebas tarea que ha cumplido el Servicio Nacional dePruebasrdquo 25
14 Prueba Externas Nacionales
Actualmente se realizan cuatro pruebas censales externas nacionales Saber QuintoSaber Noveno Saber Once y Saber Pro
141 De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
Inicialmente la prueba Saber se aplicaba a los estudiantes de tercero quinto seacuteptimoy noveno en las aacutereas de lenguaje y matemaacuteticas Posteriormente se redujo la aplicacioacutena quinto y noveno y se incluyoacute el aacuterea de ciencias naturales Hacia el antildeo 2007 se unificael marco teoacuterico de las pruebas Saber y el de la llamada anteriormente prueba de EstadoSe incluyen a las aplicaciones mencionadas inicialmente para las pruebas de la baacutesica y lamedia La definicioacuten de los aspectos a evaluar se fundamenta en los Estaacutendares Baacutesicos deCompetencias y en los Lineamientos Curriculares de cada aacuterea definidos por el MEN
El objeto de evaluacioacuten de la Prueba Saber de Matemaacuteticas es la competencia definidacomo
ldquoel uso flexible y comprensivo del conocimiento matemaacutetico escolar en diversidad decontextos de la vida diaria de la matemaacutetica misma y de otras ciencias Este uso seevidencia entre otros en la capacidad del individuo para analizar razonar y comunicarideas efectivamente y para formular resolver e interpretar problemasrdquo 26
En el marco teoacuterico de esta prueba se hace referencia a tres aspectos conocimientosbaacutesicos procesos y contextos Los conocimientos baacutesicos se organizan en grupos llamadospensamientos y en ellos se relacionan los procesos cognitivos que el estudiante pone enevidencia cuando se enfrenta a alguna actividad matemaacutetica Se definen componentes ycompetencias especiacuteficas los componentes corresponden a los pensamientos matemaacuteticosconsiderados en los Estaacutendares y los Lineamientos Curriculares agrupados en tres cate-goriacuteas numeacuterico variacional geomeacutetrico meacutetrico y aleatorio y las competencias especiacute-ficas estaacuten relacionadas con los procesos trasversales de razonamiento y argumentacioacutenplanteamiento y resolucioacuten de problemas comunicacioacuten y modelacioacuten
Pensamientos
Numeacuterico - variacional indaga por la comprensioacuten de los nuacutemeros y la estructuradel sistema de numeracioacuten el significado de las operaciones la comprensioacuten de suspropiedades y de las relaciones entre ellas el uso de los nuacutemeros y las operaciones
25Ibid pag 126Ibid
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 9
en la resolucioacuten de problemas diversos la descripcioacuten de fenoacutemenos de cambio ydependencia conceptos y procedimientos asociados al concepto de funcioacuten
Geomeacutetrico-meacutetrico involucra la comprensioacuten del espacio el desarrollo del pen-samiento visual el anaacutelisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacioa traveacutes de la observacioacuten de patrones y regularidades el razonamiento geomeacutetrico yla solucioacuten de problemas de medicioacuten asiacute como la construccioacuten de conceptos de cadamagnitud
Aleatorio indaga especiacuteficamente la exploracioacuten representacioacuten lectura e inter-pretacioacuten de datos en contexto y la formulacioacuten de inferencias y argumentos usandomedidas estadiacutesticas
Competencias especiacuteficas
Se definen en el marco de las pruebas las siguientes competencias especiacuteficas el ra-zonamiento y la argumentacioacuten la comunicacioacuten y la representacioacuten la modelacioacuten y elplanteamiento y resolucioacuten de problemas Estas competencias involucran la elaboracioacutencomparacioacuten y ejercitacioacuten de procedimientos que son tareas especiacuteficas del trabajo en elaula de matemaacuteticas
El razonamiento y la argumentacioacuten relacionado con dar cuenta del coacutemo y delporqueacute es decir justificar y distinguir los tipos de razonamiento y evaluar cadenasde argumentos para llegar a conclusiones determinadas
La comunicacioacuten la representacioacuten y la modelacioacuten se refiere a la capacidaddel estudiante para expresar ideas interpretar representar usar diferentes tipos delenguaje y describir relaciones
Planteamiento y resolucioacuten de problemas la formulacioacuten de problemas a partirde situaciones dentro y fuera de la matemaacutetica el desarrollo y aplicacioacuten de diferentesestrategias la capacidad de verificar e interpretar resultados a la luz del problemaoriginal y a la generalizacioacuten de soluciones y estrategias para dar respuesta a nuevassituaciones
15 Pruebas Internacionales
Actualmente en el paiacutes se aplican tres pruebas internacionales en el aacuterea de matemaacuteti-cas PISA TIMSS y SERCE
151 Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
Esta prueba se aplica en paiacuteses de los diferentes continentes y su objeto de evaluacioacutenes la competencia entendida como
ldquoEl aacuterea de la competencia matemaacutetica definido por PISA hace referencia a la capacidadde los alumnos para analizar razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean formu-lan resuelven e interpretan problemas matemaacuteticos en diversas situacionesCompetenciamatemaacutetica es una capacidad del individuo para identificar y entender la funcioacuten que de-sempentildean las matemaacuteticas en el mundo emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 10
con las matemaacuteticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de losindividuos como ciudadanos constructivos comprometidos y reflexivosrdquo27
En el marco referencial de la prueba se mencionan tres aspectos que caracterizan suobjeto de evaluacioacuten las situaciones o contextos en que se situacutean los problemas el con-tenido matemaacutetico que hay que utilizar para resolverlos que se organiza de acuerdo conunas ideas clave y las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el con-texto y las matemaacuteticas con el objetivo de resolver problemas Las situaciones o contextosconstituyen variedad de situaciones susceptibles de ser abordadas matemaacuteticamente quepermiten poner en juego la eleccioacuten de estrategias y representaciones matemaacuteticas Paradefinir los contenidos se tiene en cuenta el curriacuteculo escolar a pesar de que eacuteste no es suobjeto de evaluacioacuten se seleccionan aspectos claves que permiten estructurar situacionesproblema como lo son espacio y forma cambio y relaciones cantidad e incertidumbre Estaorganizacioacuten permite la elaboracioacuten de situaciones de trabajo Trasversales a los aspectosclaves estaacuten los procesos matemaacuteticos la capacidad para analizar razonar y comunicarideas matemaacuteticas
Se proponen en las pruebas problemas que parten de una situacioacuten real requieren haceruna modelacioacuten que usa conocimientos y lenguaje matemaacutetico y exigen aportar solucionesmatemaacuteticas que luego deben adquirir sentido en la situacioacuten inicial tal como lo indica elsiguiente graacutefico
Figura 11 Ciclo de la matematizacioacuten
En las fases resolucioacuten que se observan en el grafico se utilizan capacidades tales co-mo pensamiento y razonamiento argumentacioacuten construccioacuten de modelos planteamientoy solucioacuten de problemas representacioacuten uso de operaciones y lenguaje teacutecnico formal ysimboacutelico y uso de material y herramientas de apoyo Para describir las actividades cog-nitivas que engloban estas capacidades los constructores de las pruebas PISA proponenevaluar tres grupos de capacidades el grupo de reproduccioacuten el grupo de conexiones y elgrupo de reflexioacuten
152 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
28 Estudio Internacional de Tendencias en Matemaacuteticas y Ciencias
El objeto de evaluacioacuten de esta prueba es el curriacuteculo mirado desde tres perspectivasEl curriacuteculo prescrito el curriacuteculo aplicado y el curriacuteculo logrado
27 Marco de la evaluacioacutenPISA [15]28 httpwwwicfesgovcotimssindexphpoption
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 11
Figura 12 Capacidades PISA
Figura 13 Evaluacioacuten del curriculo TIMSS
La evaluacioacuten se enmarca en dominios de contenido y dominios cognitivos [17] Losprimeros incluyen los temas especiacuteficos de cada aacuterea mientras que los segundos corre-sponden a las destrezas y habilidades asociadas con los conocimientos concretos y sontransversales a todas las pruebas Las pruebas de matemaacuteticas y ciencias combinan iacutetemsde seleccioacuten muacuteltiple y preguntas abiertas en las cuales los estudiantes deben solucionar unproblema o justificar un determinado planteamiento El peso y naturaleza de los dominiosse determina seguacuten el grado
1521 Grado 4
Numeacuterico habilidades relacionadas con cuatro aacutereas temaacuteticas los nuacutemeros enteroslas fracciones y decimales escritura de nuacutemeros los patrones y las relaciones
Formas geomeacutetricas y medidas Los tres toacutepicos de mayor relevancia en este as-pecto son liacuteneas y aacutengulos formas geomeacutetricas de dos o tres dimensiones y ubicacioacuteny movimiento
Visualizacioacuten de datosincluye dos toacutepicos centrales Lectura e interpretacioacutenOrganizacioacuten y representacioacuten
1522 Grado 8
Nuacutemeros interpretaciones y habilidades relacionadas con los nuacutemeros enteros ypropiedades las fracciones y decimales los enteros el orden y su representacioacutenrazoacuten proporcioacuten y el porcentaje
Aacutelgebra Patrones expresiones algebraicas ecuaciones y foacutermulas y funciones
Geometriacutea Formas geomeacutetricas Medicioacuten ubicacioacuten y movimiento
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 12
Datos y Probabilidad Organizacioacuten de datos y representacioacuten interpretacioacuten dedatos y posibilidad
Estos aspectos tienen asociada una dimensioacuten cognitiva denominada Conociendo apli-cando y razonando El primer aspecto de la dimensioacuten cognitiva incluye los hechos pro-cedimientos y conceptos que los estudiantes necesitan saber mientras que el segundo laaplicacioacuten se centra en la capacidad de los estudiantes para usar los conocimientos y darcuenta de su comprensioacuten conceptual para resolver problemas o responder preguntas Eltercero el razonamiento va maacutes allaacute de la solucioacuten de los problemas de rutina abarca situa-ciones y contextos complejos y problemas de varios pasos Estos tres aspectos cognitivosse utilizan para ambos grados pero el tiempo y la complejidad difieren de acuerdo a laedad y la experiencia de los estudiantes
153 (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
La prueba SERCE 29 evaluacutea desempentildeos asociados a competencias compara el desem-pentildeo alcanzado por estudiantes latinoamericanos de Educacioacuten Primaria en las aacutereas deLenguaje Matemaacutetica y Ciencias de la Naturaleza (en adelante Ciencias) e indaga ademaacutespor factores asociados y de contexto
Particularmente en matemaacutetica partiendo del anaacutelisis de los curriacuteculos de los paiacutesesparticipantes se identificaron dominios y desempentildeos a evaluar Los dominios consideradosson numeacuterico geomeacutetrico medicioacuten estadiacutestico y variacional dominios que son descritosde manera completamente similar a los pensamientos mencionados en el marco teoacuterico dela prueba saber Los desempentildeos se agrupan en tres niveles reconocimiento de objetos yelementos solucioacuten de problemas simples y solucioacuten de problemas complejos y se describenen los siguientes teacuterminos
Reconocimiento de objetos y elementos Implica la identificacioacuten de hechos deconceptos de relaciones y de propiedades matemaacuteticas expresados de manera directay expliacutecita en el enunciado
Solucioacuten de problemas simples Exige el uso de informacioacuten matemaacutetica queestaacute expliacutecita en el enunciado referida a una sola variable y el establecimiento derelaciones directas necesarias para llegar a la solucioacuten
Solucioacuten de problemas complejos Requiere la reorganizacioacuten de la informacioacutenmatemaacutetica presentada en el enunciado y la estructuracioacuten de una propuesta desolucioacuten a partir de las relaciones no expliacutecitas en las que se involucra maacutes de unavariable
Cabe mencionar que la construccioacuten del marco teoacuterico de estas pruebas y el anaacutelisiscurricular estuvo a cargo del ICFES y por ello la organizacioacuten de su estructura es similara la propuesta para las Pruebas Saber
29httpwwwicfesgovcoserce
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 13
16 Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos enlas pruebas
Los instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales mencionadas y descritas enlos apartes anteriores presentan desde luego diferencias en el tipo de situaciones problemaque proponen los contextos y los procesos que evaluacutean estas diferencias provienen de lacaracterizacioacuten de su objeto de evaluacioacuten y los eacutenfasis curriculares que las orientan Sinembargo en todas ellas el componente geomeacutetrico meacutetrico tiene especial relevancia y desdeluego todas hacen referencia a las relaciones y teoremas baacutesicos de la geometriacutea euclidianay entre estas relaciones a las de semejanza y congruencia y a los teoremas de Thales yPitaacutegoras A continuacioacuten se citan y caracterizan algunos iacutetems relacionados con estostoacutepicos tomados yo adaptados de los instrumentos de estas pruebas 30
I Los siguientes iacutetems son cerrados y de seleccioacuten muacuteltiple
Observa los cuadrilaacuteteros 1 y 2 dibujados en la siguiente cuadricula
Figura 14
Los cuadrilateros son semejantes porqueA tienen diferente periacutemetro pero sus aacutereas son igualesB tiene el mismo periacutemetro y sus aacutereas son diferentesC sus lados correspondientes son congruentes y sus aacutengulos correspondientes
son proporcionalesD sus aacutengulos correspondientes son proporcionales y sus lados correspondientes
son proporcionales
ComentarioEs una pregunta de razonamiento esen-cialmente por la forma de expresar lasopciones de respuesta Explora nocionesde aacuterea y periacutemetro y fundamentalmenteexiacutege reconocimiento de condiciones nece-sarias y suficientes
Tabla 11 Comentario iacutetem geometriacutea 1
Encierra en un ciacuterculo la uacutenica figura que se ajusta a la siguiente descripcioacutenEl triaacutengulo PQR es un triaacutengulo rectaacutengulo con el aacutengulo recto en R El ladoRQ es menor que el lado PR M es el punto medio del lado QR S es un puntodel interior del triaacutengulo El segmento MN es mayor que el segmento MS
30
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
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[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 14
Figura 15
ComentarioImplica reconocer clasificacioacuten de los triaacutengulos en particular lostriaacutengulos rectaacutengulos e identificar simultaneidad de condicionesexpresadas formalmente Indaga ademaacutes por longitud de segmen-tos tipos de aacutengulos punto medio Se puede considerar una pre-gunta relacionada con la competencia comunicativa pues implicatraducir de lenguaje simboacutelico o formal a lenguaje graacutefico
Tabla 12 Comentario iacutetem geometriacutea 2
Un inspector dibujoacute un mapa para determinar la distancia a traveacutes de un es-tanque iquestCuaacutel es la distancia aproximada otro lado del estanque
Figura 16
A 293piesB 353piesC 2352 piesD 2833pies
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
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[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
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[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 15
ComentarioAplicacioacuten directa del teorema de Thales uti-lizando proporciones Resolucioacuten de problemassimples
Tabla 13 Comentario iacutetem geometriacutea 3
Use la figura siguiente para responder la pregunta
Figura 17
Una tienda de campantildea tiene forma de una piraacutemide base cuadrada como semuestra en la figura El poste central FG mide 5 pies de largo Se instala unacremallera desde la parte superior de la tienda punto F hasta el punto mediodel lado CB el punto E iquestCuaacutel es la longitud de la cremallera
A 5B 5
radic2pies
C 5radic
3piesD 10 pies
ComentarioImplica resolver un problema aplicando direc-tamente una relacioacuten (Teorema de Pitaacutegoras)La ilustracioacuten permite al evaluado reconocerpropiedades y medidas
Tabla 14 Comentario iacutetem geometriacutea 4
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 16
Use la siguiente figura para responder la pregunta
Figura 18
La rampa de un camioacuten de carga tiene 2 metros de largo El piso del camioacuten selevanta 08 metros por encima del suelo iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo x queforma la rampa con el suelo (Redondea a la deacutecima maacutes cercana)
A 218
B 236
C 664
D 682
ComentarioAplicacioacuten directa de razones trigonomeacutetricasSupone el uso de una calculadora o computador
Tabla 15 Comentario iacutetem geometriacutea 5
El 4RNA se superpone a al traingulo4TIL como se muestra en la figura deter-minando el triaacutengulo 4RIG
Figura 19
iquestCuaacutel es la medida del aacutengulo angc en el triangulo 4RIG
A 30
B 55
C 85
D 95
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
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[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
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[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 17
ComentarioIndaga por aacutengulos internos de un triaacutengulo requiere trans-formar la informacioacuten dada e identificar condiciones obser-vando medidas y relaciones en la figura Corresponde a lacompetencia de solucioacuten de problemas
Tabla 16 Comentario iacutetem geometriacutea 6
En la figura se muestra un pentaacutegono regular en el que se han trazado algunasde las diagonales
Figura 110
De los siguientes pares de triaacutengulos iquestCuaacuteles son congruentes
A 4GEF y 4ABEB 4DAC y 4CABC 4EGD y 4EGFD 4BEC y 4DAC
ComentarioPentagonos propiedades triaacutengulos criterios decongruencia
Tabla 17 Comentario iacutetem geometriacutea 7
En la figura la recta m intersecta las rectas r s t y w
Figura 111
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
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51
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[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 18
iquestCuaacutel de las siguientes afirmaciones es correcta
A Las rectas r y s son paralelasB Las rectas r y t son paralelasC Las rectas r y w son paralelasD Las rectas s y w son paralelas
ComentarioRequiere argumentar y usar relaciones deparalelismo Indaga por la competencia derazonamiento
Tabla 18 Comentario iacutetem geometriacutea 8
Los triaacutengulos RST y XYZ son semejantes
Figura 112
iquestCuaacutel de las siguientes relaciones de proporcionalidad se cumple
A RTXZ = RT
XZ
B STY Z = SR
XZ
C RTY Z = RT
XZ
D RTXZ = RS
Y Z
ComentarioTriangulos Semejanza criterios re-conocimiento de razones de proporcionali-dad e interpretacioacuten de leguaje graacutefico ysimboacutelico
Tabla 19 Comentario iacutetem geometriacutea 9
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
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[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 19
En la figura ABDE BE=5cm y AD=3cm
Figura 113
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones sobre los aacutengulos de la figura es oson verdades(s)
I angABCsim=angDECII angACBsim=angDCEIII angCABsim=angEDC
A I solamenteB I y II solamenteC II solamenteD II y III solamente
ComentarioIndaga por la interpretacioacuten de condiciones expresadas en lengua-je simboacutelico formal Requiere los conceptos de aacutengulos correspon-dientes entre paralelas y semejanza de triaacutengulos Se asocia a lacompetencia de resolucioacuten de problemas
Tabla 110 Comentario iacutetem geometriacutea 10
En la figura se presentan los triaacutengulos4RST y4WJK y las medidas de algunosde sus aacutengulos Cuaacutel de las siguientes condiciones de requiere para que estostriaacutengulos sean semejantes
Figura 114
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
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[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
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[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 20
A La medida de angJ es 40
B La medida de ang J es 95
C La medida de ang K es 40
D La medida de ang K es 95
ComentarioTriaacutengulos propiedades congruencia cri-terio (AAA)La competencia requerida esel razonamientoTabla 111 Comentario iacutetem geometriacutea 11
En la figura se presentan los triaacutengulos 4RST y 4WXY
Figura 115
Cuaacutel de los siguientes pares de condiciones permiten afirmar correctamente quelos triangulos 4RST y 4WXY de la figura 115 son semejantes
A angSsim=angX y angRsim=angWB STsim=WX y angTsim=angWC RSsim=WY y angRsim=angYD RSsim=WY y RTsim=WX
ComentarioTriaacutengulos propiedades relaciones de se-mejanza Criterios Exige reconocer condi-ciones suficientes y estaacute relacionado con lacompetencia de razonamientoTabla 112 Comentario iacutetem geometriacutea 1
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
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[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 21
En la figura se presentan los triacuteangulos 4RST y 4WXY y algunas de las me-didas de sus lados
Figura 116
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones se requiere para que los triaacutengulosde la figura 116 sean congruentes
A RSsim=WX y STsim=XYB RSsim=WX y RTsim==XYC RTsim=WX y STsim=XYD RTsim=WY y RSsim=WX
ComentarioTriaacutengulos Propiedades Congruencia Criteriosy la competencia relacionada es el razonamientoy argumentacioacuten
Tabla 113 Comentario iacutetem geometriacutea 12
II Iacutetems respuesta abierta
La figura muestra el triaacutengulo 4RST
Figura 117
bull 4RST es un triaacutengulo isoacutesceles con los lados RS y ST congruentesbull El punto M se encuentra sobre RS y el punto N se encuentra sobre STbull MN es paralelo a RT
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 22
bull La longitud de SN es 23 pies y la longitud de NT es 10 pies
1 iquestCuaacutel es la longitud de RS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la re-spuesta
2 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangT Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo larespuesta
3 iquestCuaacutel es la medida del aacutenguloangMNS Demostrar o explicar coacutemo se obtuvola respuesta
4 Explique porque 4MNS es semejante a 4RST5 iquestCuaacutel es la longitud de MN Demostrar o explicar coacutemo se obtuvo la res-
puesta
ComentarioIndaga por la competencia de resolucioacuten de prob-lemas en contexto matemaacutetico
Tabla 114 Comentario iacutetem geometriacutea 13
En la figura se presenta una fotografiacutea de una casa de campo con techo enforma de piraacutemide y un modelo matemaacutetico del techo de la casa con las medicascorrespondientes
Figura 118
Figura 119
El piso del entretecho ABCD en el modelo es un cuadrado Las vigasque sostienen el techo son las aristas de un bloque (prisma rectangular)EFGHKLMN E es el punto medio AT F es el punto medio de B G es elpunto medio de CT y H es el punto medio de DT Todas las aristas del modelomiden 12 m de largo
bull Calcula el aacuterea en m2 del piso del entretecho ABCD
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 1 EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES 23
ComentarioAacuterea de regiones planas Paralelogramo propiedades Triaacutengu-los propiedades Nocioacuten de distancia Estaacute relacionado con elplanteamiento y resolucioacuten de problemas y la modelacioacuten
Tabla 115 Comentario iacutetem geometriacutea 14
bull Calcula el largo EF en m una de las aristas horizontales del bloque
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2
ASPECTOS DISCIPLINARES
Las definiciones axiomas y teoremas que se mencionan a continuacioacuten son fundamen-tales para hacer referencia a los teoremas de Thales y Pitaacutegoras y han sido adaptadas dealgunos apartes del texto ldquo Geometriacutea en el Plano y en el Espaciordquo de Guerrero G B dela Coleccioacuten notas de clase (facultad de ciencias UN) [8]
21 Congruencia
El teacutermino congruencia de segmentos se considera en los fundamentos de Hilbert un in-definido pero apartir del siguiente conjunto de axiomas es posible establecer comparacionesentre segmento y definir conceptos maacutes generales
211 Congruencia de segmentos
Axioma 1 Dados dos puntos A y B sobre la misma recta a y Arsquo un punto situado sobrela misma recta a o sobre otra recta arsquo siempre es posible encontrar un punto Brsquo sobre ao sobre arsquo de tal forma que los segmentos AB y ArsquoBrsquo sean congruentes o iguales
Figura 21
Axioma 2 Si los segmentos ArsquoBrsquo y ABson congruentes con el mismo segmento ABtambieacuten el segmento ArsquoBrsquo es congruente con el segmento AB Dicho brevemente dossegmentos congruentes con un tercero son congruentes entre siacute Axioma 3 Sean AB y BCdos segmentos de la recta a sin puntos comunes y ArsquoBrsquo y BrsquoCrsquo dos segmentos sobre la
24
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
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- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
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- Grado 4
- Grado 8
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- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
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- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
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- ASPECTOS DISCIPLINARES
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- Congruencia
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- Congruencia de segmentos
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- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
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- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
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- Proyecciones paralelas
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- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
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- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
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- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
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- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
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- Semejanza
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- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
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- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
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- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
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CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 25
misma recta a o sobre otra recta distinta arsquo sin puntos comunes de tal forma que AB sim=ArsquoBrsquo y BC sim=BrsquoCrsquo entonces AC sim= ArsquoCrsquo
2111 Algunas implicaciones de los axiomas
I La congruencia entre segmentos es una relacioacuten de equivalencia es decircumple las propiedades reflexiva simeacutetrica y transitiva
II Es posible comparar segmentos y definir punto medio
Segmento mayor Dados los segmentos AB y DP sobre la misma recta o sobrerectas diferentes si en el interior del segmento AB existe un punto C tal que ACsim= DP se dice que el segmento AB es mayor que el segmento DP y se expresapor AB gtDP
Punto medio Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C estaacuteentre A y B y ACsim= CB
2112 Longitud de segmentos
Definicioacuten Se llama longitud de un segmento AB a la propiedad de todos los segmentoscongruentes a AB Es decir si los segmentos CD EF son congruentes a AB se dice quelos segmentos AB y CD tienen la misma longitud Reciacuteprocamente los segmentos que tienenla misma longitud son congruentes entre siacute La longitud de un segmento AB la notamospor long(AB)
Si C es un punto en el segmento AB y Crsquo es un punto en el segmento ArsquoBrsquoy silongitud de AB es igual a longitud de ArsquoBrsquo y longitud de CB es igual a longitud deCrsquoBrsquo entonces por el axioma (3) longitud de AC es igual longitud de ArsquoCrsquo
Puesto que AB sim= BA entonces long(AB) = long(BA)
Dados dos segmentos AB y CD una y soacutelo una de las siguientes condiciones se sa-tisfacen ABsim=CD ABgtCD o AB ltCD Luego tambieacuten sus longitudes satisfacenuna y soacutelo una de las relaciones long(AB) = long(CD) long(AB) gtlong(CD) olong(AB)ltlong(CD)
Si long(AB) gtlong(CD) y long(CD) gtlong(EF) entonces long(AB) gtlong(EF)
Si C es el punto medio del segmento AB entonces long(AC)=long (CB)
212 Congruencia de Aacutengulos Axiomas
Hilbert en sus Fundamentos propuso dos axiomas uno se refiere a la existencia deaacutengulos congruentes y el otro relaciona la congruencia de aacutengulos con la congruencia desegmentos Se enuncian asiacute
1 Dado un aacutengulo ang(h k) en un plano α y una semirrecta hrsquo en el plano α o en cualquierotro plano siempre existe una semirrecta krsquo en el mismo plano de hrsquo que parte delmismo origen de hrsquo tal que el aacutengulo ang(h krsquo) es congruente al aacutengulo ang(h k)
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 26
Figura 22
Si ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo)entonces ang(k h) sim=ang(krsquo hrsquo) y cada aacutengulo es congruente consigomismo es decir ang(h k) sim=ang(hrsquo krsquo) ang(k h)sim=ang(krsquo hrsquo)
2 Si AB y C son tres puntos no pertenecientes a una misma recta y ArsquoBrsquo y Crsquo sonotros tres puntos no pertenecientes a una misma recta y AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo yangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo
Figura 23
Haciendo un cambio en la notacioacuten podemos enunciar este axioma para triaacutengulos asiacuteSi dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo verifican las congruencias AB sim=ArsquoBrsquo AC sim= ArsquoCrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo entonces angABCsim=angArsquoBrsquoCrsquo De forma similar se puede concluir queangACB sim=angArsquoCrsquoBrsquo
Nota En los axiomas de congruencia de aacutengulos no estaacute contemplada la suma de aacuten-gulos congruentes tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruenciade aacutengulos Para establecer estas propiedades necesitamos los tres primeros casos de con-gruencia de triaacutengulos Por eacutesta razoacuten las propiedades de aacutengulos congruentes se analizandespueacutes de estudiar los casos de congruencia de triaacutengulos
213 Congruencia de triaacutengulos
Definicioacuten Dos triaacutengulos 4ABC y 4 ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si sus respectivos ladosy aacutengulos son congruentes Es decir 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo son congruentes si se satisfacenlas congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim=BrsquoCrsquo angABC sim=angArsquoBrsquoCrsquo angACB sim=angArsquoCrsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
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- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 27
214 Criterios
La congruencia de triaacutengulos se puede establecer a partir de los siguientes teoremas
215 Teorema 1 (LAL)
Si para dos triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquo AC sim=ArsquoCrsquo angBACsim=angBrsquoArsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 24
216 Teorema 2 (ALA)
Si para los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tiene que AB sim= ArsquoBrsquoangBAC sim=angBrsquoArsquoCrsquoangABC sim=angArsquoBrsquoCrsquoentonces 4ABC sim=4ArsquoBrsquoCrsquo
Figura 25
Algunas consecuencias
Siacute un triaacutengulo tiene dos lados congruentes(triaacutengulo isoacutesceles) entonces los aacutengulosopuestos a esos lados son congruentes
Si un triaacutengulo tiene dos aacutengulos congruentes entonces los lados opuestos a esos aacutengulosson congruentes
Nota Los teoremas 1 y 2 (ALA) y (LAL) nos permiten determinar la suma de aacuten-gulos congruentes y dividir un aacutengulo en dos aacutengulos congruentes propiedes baacutesicas parademostrar el tercer teorema de congruencia de triaacutengulos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 28
217 Teorema 3 (LLL)
Si en los triaacutengulos 4ABC y 4ArsquoBrsquoCrsquo se tienen las congruencias ABsim=ArsquoBrsquo ACsim=ArsquoCrsquo BCsim= BrsquoCrsquo entonces los triaacutengulos son congruentes
Figura 26
22 Proyecciones paralelas
Teorema
Las proyecciones paralelas preservan la congruencia de segmentos es decir las proyec-ciones paralelas de segmentos congruentes son segmentos congruentes
Demostracioacuten Sean A B C y D puntos en una recta a y Arsquo BrsquoCrsquo y Drsquo puntos enotra recta tales que ABsim=CD Sean ademaacutes ArsquoBrsquo la proyeccioacuten paralela de AB y CrsquoDrsquo laproyeccioacuten paralela de CD respecto de una recta t
Figura 27
Desde los extremos de los segmentos se trazan perpendiculares AE sim=BB ArsquoG perp BBrsquoCF perpDDrsquo CrsquoH perpDDrsquo Entonces AEsim=ArsquoG y CFsim=CrsquoH por ser segmentos perpendicularesa rectas paralelas comprendidas entre ellas Y angABE sim=angCDF por ser aacutengulos correspon-dientes entre rectas paralelas luego angABEsim= angCDF por ser triaacutengulos rectaacutengulos porhipoacutetesis con aacutengulos agudos correspondientes congruentes Luego AE sim=CF y por lo tantoArsquoG sim=CrsquoH puesto que4ArsquoBrsquoG sim=4CrsquoDrsquoH Se tiene tambieacuten la congruencia de los trian-gulos rectaacutengulos 4ArsquoBrsquoGsim=4CrsquoDrsquoH de donde ArsquoBrsquosim=CrsquoDrsquo
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 29
221 Teorema fundamental de paralelismo
Si tres o maacutes rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante en-tonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante
Figura 28
Demostracioacuten Sean l m y s tres rectas paralelas y a una secante que corta a las rectasparalelas en los puntos A B y C respectivamente de tal forma que ABsim=BC Sean b otrarecta secante que corta a las rectas l m sen los puntos E F y G respectivamente debemosprobar que EF sim=FG Trazamos la proyeccioacuten paralela Ersquo de E respecto a la recta a sobre larecta m entonces AB EErsquo Trazamos la proyeccioacuten paralela Frsquo de F respecto a la rectaa sobre la recta s entonces BC FFrsquo Obtenemos las siguientes relaciones EErsquo FFrsquo portransitividad entre paralelas AB sim=EErsquo y CBsim=FFrsquo por ser segmentos paralelos entre rectasparalelas y por transitividad de la congruencia EErsquosim=FFrsquo Por otra parte angABErsquosim=angEErsquoFangABErsquosim=angBCFrsquo y angBCFrsquo sim=angFFrsquoG por ser aacutengulos correspondientes entre rectas paralelasluego por transitividad de la congruencia de aacutengulos tambieacuten angEErsquoFsim=angFFrsquoG Por lamisma razoacuten angErsquoEF sim=angFrsquoFG Entonces 4ErsquoEF sim=4FrsquoFG por el criterio ALA y por lotanto EFsim=FG
23 Proyecciones Ortogonales
Teorema Si dos segmentos son congruentes y estaacuten sobre una misma recta no perpen-dicular a la recta de proyeccioacuten sus proyecciones ortogonales son segmentos congruentes
Figura 29
Demostracioacuten Sean AB y BC dos segmentos congruentes sobre la misma recta mcon un punto comuacuten B Si Arsquo Brsquo Crsquo son las proyecciones ortogonales de los puntos AB
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 30
y C respectivamente sobre una recta l entonces AArsquo perp l BBrsquo perp l y CCrsquo perp l luegoAArsquo BBrsquoCCrsquoPor el teorema fundamental de paralelismo puesto que ABsim=BC tambieacutenArsquoBrsquosim=BrsquoCrsquo
NOTA Si los segmentos no estaacuten sobre la misma recta el teorema no se satisface
24 Proporciones
Si a la medidas de las longitudes de los segmentos se les asignan nuacutemeros reales sepueden establecer relaciones entre las longitudes y compararlas
241 Razones y proporciones entre segmentos
Se llama razoacuten entre dos cantidades al cociente entre ellas y se llama proporcioacuten a laigualdad entre dos razones Por ejemplo si a y b son dos magnitudes la razoacuten entre ellases el nuacutemero real que le corresponde al cociente a
b Si a b c d son magnitudes tales quese satisface la igualdad de las razones a
b = cd se dice que a y b son proporcionales a c y
d En esta proporcioacuten se llama teacuterminos medios a las magnitudes b y c y extremos lasmagnitudes a y b
242 Propiedades de las proporciones
En toda proporcioacuten el producto de los extremos es igual al producto de los medios
Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporcioacuten se obtieneuna nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra sumando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra restando los teacuterminos de cada razoacutenpara obtener una nueva proporcioacuten
Una proporcioacuten se puede transformar en otra invirtiendo los teacuterminos de cada razoacuten
Si se tiene una sucesioacuten de razones iguales la suma de los numeradores es a lasuma de los denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivodenominador
243 Segmentos proporcionales
Dos pares de segmentos se dicen proporcionales si la razoacuten entre las medidas de dos deellos es la misma que la razoacuten entre las medidas de los otros dos
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
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[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
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[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 31
25 Rectas paralelas y segmentos proporcionales
251 Teorema de Thales
Si tres o maacutes rectas paralelas cortan a dos secantes cualesquiera los segmentos quedeterminan en una de ellas son proporcionales a los segmentos que determinan en la otraSean ay b dos rectas en un mismo plano A B y C puntos de a y D E y F puntos de bDebemos probar que Si ADBECF entonces BC
AB = EFDE
Figura 210
Demostracioacuten
Sean x = BCAB e y = EF
DE Debemos probar que x = y Si n y m son nuacutemerosenteros positivos sean A1A2A3Anminus1 puntos del segmento AB tales que AA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Anminus1B y D1D2D3Dnminus1 los puntos del segmento DE que corre-
sponden a A1A2A3Anminus1 por proyecciones paralelas
Sean B1B2B3Bm puntos del segmento BC tales que BB1sim=B1B2
sim=B2B3sim=sim=Bmminus1Bm
sim=AA1 y E1E2E3Em los puntos del segmento EFcorrespondientes a B1B2B3Bm por proyecciones paralelas
Figura 211
Entonces BCAB= mAA2
nAA1= m
n
Y puesto que la proyeccioacuten paralela preserva la congruencia
DD1sim=D1D2
sim=D2D3sim=sim=Dmminus1Dm
sim=Emminus1Em Entonces EEmDE = m
n
Ahora si suponemos que mn lt x entonces Bm esta entre B y C y nuevamente como
la proyeccioacuten paralela preserva el orden de los puntos se tiene que Em esta entre E y F
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
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[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
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[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 32
luego mn lty como m y n son eneros positivos arbitrarios se sabe que todo nuacutemero racional
mn que sea menor que x es tambieacuten menor que y de la misma forma se prueba que todonuacutemero racional menor que y es menor que x por lo tanto x = y de donde BC
AB=EFDE
252 Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
Divisioacuten de un segmento en segmentos congruentes Para dividir el segmento AB en
Figura 212
n segmentos congruentes tomamos un segmento XY de longitud p y con el compaacutesdeterminamos sobre una recta a n segmentos de longitud p Si D es el punto inicialde esta divisioacuten y C el extremo el segmento DC tiene la longitud np Ademaacutes siA1A2A3Anminus1 son los puntos de divisioacuten en la recta a
DA1sim=A1A2
sim=A2A3sim=sim=Amminus1C unimos C con B y trazamos las proyecciones
paralelas al segmento AB en la direccioacuten BC por cada uno de los extremosA1A2A3Anminus1acute Si B1B2B3Bnminus1 son las respectivas proyecciones paralelassobre AB entonces puesto que las proyecciones paralelas conservan las congruenciasAB1
sim=B1B2sim=B2B3
sim=sim=Bmminus1B
Si una recta paralela a un lado de un triaacutengulo intersecta a los otros dos ladosentonces determina sobre los lados del triaacutengulo segmentos proporcionales a dichoslados
Figura 213
NOTA Es vaacutelido el reciproco de este uacuteltimo teorema y es posible deducir de losresultados anteriores el reciacuteproco del teorema de Thales que se enuncia a continuacioacuten
Teorema Si dos rectas a y b no paralelas cortan a otras tres rectas w k y d de talmanera que los segmentos determinados en a por las rectas w k y d resultan serproporcionales a los segmentos determinados en b entonces las rectas w k y d sonparalelas
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
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[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 33
Figura 214
Anaacutelisis de las propiedades de un triaacutengulo
Para ilustrar observemos los siguientes triaacutengulos
Figura 215
En todas las figuras anteriores una recta r es paralela a uno de los lados del triaacutengulo4ABC e intersecta a las rectas que contienen a los otros dos lados en puntos M yN respectivamente Si aplicamos el Teorema de Thales en cada caso resulta para laprimera figura BM
MA = BNNC pues los lados AB y BC y del triaacutengulo 4ABC hacen el
papel de secantes y el lado AC junto a la recta r de rectas con respecto a las cualesse realiza la proyeccioacuten paralela Aplicando a la proporcioacuten obtenida la propiedad 1de las proporciones BM+MA
BM = BN+NCBN Pero BM +MA = BA y BN +NC = BC
luego BABM = BC
BN o BMAB = BN
BC
De forma similar se pueden analizar los otros dos casos aplicando el teorema deThales
En general Toda paralela a un lado de un triaacutengulo determina sobre las rectas quecontienen a los otros dos lados segmentos tales que sus medidas resultan propor-cionales a las medidas de esos lados
26 Semejanza
Dos poliacutegonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionalesy sus aacutengulos correspondientes son congruentes Los siguientes teoremas establecen lascondiciones miacutenimas para que dos triaacutengulos sean semejantes
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
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CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
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[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 34
261 Semejanza de triaacutengulos
Para los triaacutengulos la semejanza puede caracterizarse a traveacutes de la congruencia deaacutengulos correspondientes esto es
Dos triaacutengulos 4ABC y 4DEF son semejantes 4ABC sim 4DEF siacute y soacuteloangCABsim=angFDE angABC sim=angDEF 4ACB sim=angDFE Y esto es consecuencia de los siguientestres teoremas
Si dos triaacutengulos tienen sus aacutengulos respectivos congruentes sus lados correspondi-entes son proporcionales
Figura 216
Una paralela a un lado de un triaacutengulo determina otro triaacutengulo con aacutengulos congru-entes al triaacutengulo dado
Figura 217
Si dos triaacutengulos tienen sus lados correspondientes proporcionales tienen sus aacutengulosrespectivamente congruentes
Figura 218
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
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[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 35
262 Casos de semejanza de triaacutengulos
1 (AA) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen dos aacutengulos correspondientes congru-entes
2 (LLL) Dos triaacutengulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes respectiva-mente proporcionales
3 (LAL) Si dos triaacutengulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y los aacutengu-los comprendidos entre ellos congruentes los triaacutengulos son semejantes
27 Triaacutengulos rectaacutengulos
Los triaacutengulos rectaacutengulos satisfacen propiedades especiales que permiten el estudio deotros poliacutegonos y facilitan los caacutelculos de sus aacutereas lados y apotemas A continuacioacuten semencionan algunas de ellas que son consecuencia de los teoremas anteriores
1 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente
2 La razoacuten entre dos alturas correspondientes de dos triaacutengulos semejantes es igual ala razoacuten entre dos lados correspondientes de los dos
3 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
4 Dos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto respec-tivamente proporcionales
5 La altura sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo divide al triangulo en dostriaacutengulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial
Figura 219
271 Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos
Demostracioacuten Dado el4ADC rectaacutengulo con hipotenusa AC si trazamos la altura BDsobre la hipotenusa por la consecuencia 5 se obtiene que los triaacutengulos 4ADBsim4ABCy que 4CBDsim4CBA Por lados proporcionales de triaacutengulos semejantes se cumple queABAC=AD
AB y BCAC =CD
CB Entonces (AB)2 = (AC) middot (AD) (BC)2 = (AC) middot (CD) Sumando lasigualdades (AB)2+(BC)2 = (AC)middot(AD+DC) y se concluye que (AB)2+(BC)2 = (AC)2
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
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- Coacutemo han cambiado las pruebas
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-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 36
272 Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
Si en un triaacutengulo 4ABC se satisface la igualdad (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 entoncesel triaacutengulo 4ABC es rectaacutengulo y angBCA es un aacutengulo recto
Demostracioacuten Utilizando los segmentos CA y CB del triaacutengulo 4ABC se construyeotro triaacutengulo4MNR De catetos MN y NR de tal forma que MNsim=CA y MRsim=CB como eltriangulo4MNR es rectaacutengulo se cumple que (MN)2+(MR)2 = (RN)2 Como los catetosson congruentes se sustituye (CA)2 + (CB)2 = (RN)2 y (AC)2 + (CB)2 = (AB)2 portransitividad de la igualdad (RN)2 = (AB)2 De donde se obtiene que RNsim=AB Entonces4ABCsim=4MNR por (LLL) angBCAsim=angRMN En conclusioacuten angBCA es un aacutengulo recto y el4ABC es rectaacutengulo
273 Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
Aparte de la demostracioacuten anterior y otras diversas demostraciones formales del teore-ma de Pitaacutegoras existen muacuteltiples demostraciones intuitivas (visuales) que permiten evi-denciar graacuteficamente la validez del teorema Algunas de ellas son claacutesicas en la historia dela matemaacutetica y se sustentan en argumentos geomeacutetricos otras se sustentan en argumentosalgebraicos y otras son vaacutelidas para triaacutengulos especiales Estas demostraciones visualespermiten en el aula o en situaciones planteadas en instrumentos de prueba un acercamientointuitivo al teorema [5]
Se ilustran a continuacioacuten algunas presentadas por matemaacuteticos notables en diferentesepocas de la historia1
PITAacuteGORAS
Figura 220 Pitaacutegoras
1Graacuteficas tomadas de [5] y [12]
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
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CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 37
PLATON Utilizoacute un triaacutengulo isoacutesceles
Figura 221 Platoacuten
EUCLIDES Proposicioacuten I 47 En los triaacutengulos rectaacutengulos el lado que subtiende elaacutengulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el aacutengulo recto
Figura 222 Ecuclides
BHASKARA
Figura 223 Bhaskara
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
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[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 38
Figura 224 Para triaacutengulo ISOSCELES
Figura 225 catetomayorcatetomenor = 2
Figura 226 hipotenusacatetomenor = 3
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 2 ASPECTOS DISCIPLINARES 39
Figura 227 Algebraica 1
Figura 228 Algebraica 2
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
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CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3
PROPUESTA DIDAacuteCTICA
Como se mencionoacute en el proyecto de trabajo y teniendo en cuenta los referentes teoacuteri-cos disciplinares y los relativos a la evaluacioacuten tanto nacional como internacional enfocadahacia la educacioacuten baacutesica en Colombia se presenta en este capiacutetulo una propuesta deevaluacioacuten que tiene como objeto fundamental la competencia e indaga por uno de lostema centrales del pensamiento meacutetrico espacial el referido a los teoremas de Thales yPitaacutegoras Desde luego esta propuesta se basa ademaacutes en los indicadores sugeridos en losestaacutendares curriculares para los grados de la baacutesica secundaria [18] Que en este sentidoproponen para los grados sexto y seacuteptimo resolver y formular problemas que involucrenrelaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales omodelos geomeacutetricos toacutepicos que estaacuten ligados directamente con los teoremas centrales deeste trabajo Para los grados octavo y noveno se propone plantear conjeturas y verificarpropiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridi-mensionales en la solucioacuten de problemas y reconocer y contrastar propiedades y relacionesgeomeacutetricas utilizadas en demostracioacuten de teoremas baacutesicos (Pitaacutegoras y Thales) Ademaacutesaplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triaacutengulos para resolver yformular problemas en las matemaacuteticas y en otras disciplinas Aunque el instrumento quese presenta estaacute disentildeado para los estudiantes de grado noveno menciona aspectos referi-dos a los grados anteriores y se considera tambieacuten adecuado para aplicar a estudiantesque culminan la educacioacuten media Desde luego aparte de los temas mencionados en elinstrumento se indaga por las competencias especiacuteficas en matemaacuteticas comunicacioacuten ra-zonamiento y resolucioacuten de problemas entendidas como se relaciona en el documento en elcapiacutetulo 1 seccioacuten 141 referidas desde el marco teoacuterico de la Prueba Saber [1]
40
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 41
PRUEBA CERRADA DE SELECCIOacuteN MUacuteLTIPLE-GRADO NOVENO
1 En los triaacutengulos 4 ABC y 4 XYZ de la figura 31 los aacutengulos ang BCA y ang ZXYson rectos
Figura 31
iquestCuaacutel de los siguientes pares de condiciones es necesario para que los triaacutengulos ABCy XYZ sean congruentes
A BCsim=YZ y angCsim=angY
B ACsim=YZ y angBsim=angZ
C BCsim=YZ y angCsim=angY
D ABsim=XZ y angBsim=angZ
Toacutepicos Este iacutetem indaga por reconocimiento de triaacutengu-los propiedades y relaciones y criterios de con-gruencia
Competencia Razonamiento reconocimiento de condicionesnecesarias e interpretacioacuten de cadenas de razon-amiento
Nivel de complejidad MedioTabla 31 Comentarios iacutetem 1
2 Observa la figura 32 Los segmentos MN y AC son paralelos si se cumple que
Figura 32
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 42
A BABM =BC
BN
B ACBM =BC
BN
C BABM =BC
AC
D BAMN =BC
BN
Toacutepicos Proporcionalidad Teorema de ThalesLa competencia Razonamiento requiere interpretar condi-
ciones necesarias para aplicar el teorema yreconocer e interpretar lenguaje simboacutelicoformal
Nivel de complejidad BajoTabla 32 Comentarios iacutetem 2
3 Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ de la figura 33 son isoacutesceles
Figura 33
Los triaacutengulos 4ABC y 4AYZ son semejantes si
A ACsim=XY
B angAsim=angB
C angCsim=angZ
D BAsim=YX
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 43
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Triaacutengulospropiedades Relacioacuten de semejanzacriterios
Competencia Razonamiento Exige distinguircondiciones necesarias y evaluarcadenas de argumentos
Nivel de Complejidad MedioTabla 33 Comentarios iacutetem 3
4 Los triaacutengulos de la figura 34 son rectaacutengulos
Figura 34
Los triaacutengulos 4ABC y 4XYZ son semejantes si se cumple que
A angZsim=angC
B XYsim=CA
C ZYsim=CB
D angAsim=angZ
Toacutepicos Congruencia de aacutengulos Reconocimiento depropiedades y relaciones de los triaacutengulos en par-ticular rectaacutengulos
Competencia Comunicacioacuten exige traducir interpretar y dis-tinguir condiciones desde la representacioacuten e in-terpretar informacioacuten en figuras geomeacutetricas pre-sentadas en posicioacuten no canoacutenica
Nivel de complejidad BajoTabla 34 Comentarios iacutetem 4
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 44
5 En la figura 35 las rectas m y n no son paralelas
Figura 35
Las rectas m y n seriacutean paralelas si
A angX sim= angRB angW sim= angRC angX sim= angZD angZ sim= angR
conceptos Paralelismo aacutengulos internos alternosCompetencia comunicacioacuten exige describir relaciones matemaacuteticas
interpretar lenguaje formal y simboacutelicoNivel de Complejidad Medio
Tabla 35 Comentarios iacutetem 5
6 En la figura 36 nm
Figura 36
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
49
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 45
Usando la informacioacuten dada es correcto afirmar que el aacutengulo W es congruente con
A el aacutengulo Z
B el aacutengulo Y que mide 50
C el aacutengulo R que mide 35
D el aacutengulo X
Toacutepicos Paralelismo aacutengulos alternos internos Criterios Rela-ciones de aacutengulos entre paralelas
Competencia Razonamiento requiere reconocer y describir rela-ciones matemaacuteticas e interpretar lenguaje formal ysimboacutelico
Nivel de complejidad MedioTabla 36 Comentarios iacutetem 6
7 Observa la figura 37
Figura 37
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes condiciones se requeririacutean para que los triaacutengulos4ABC 4XYZ y 4KLC fuesen semejantes
I AB XYII ACXYIII angABCsim=angXZY
A I y II solamente
B II y III solamente
C I y III solamente
D I II y III
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 46
Toacutepicos Semejanza de triaacutengulos congruencia de segmentoscongruencia de aacutengulos Paralelismo
Competencia Razonamiento exige dar cuenta del porqueacute determi-nadas condiciones son suficientes o necesarias para quese cumpla una relacioacuten Esta relacionada con la estruc-tura de argumentos formales
Nivel de Complejidad AltoTabla 37 Comentarios iacutetem 7
8 observa la figura 38
Figura 38
En la figura el valor de x es
A 14413
B 6013
C 5213
D 2513
Toacutepicos Triaacutengulos rectaacutengulos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Resolucioacuten de problemas Se indaga por la aplicacioacuten
de un teorema y requiere analizar pertinencia de unasolucioacuten aproximada
Nivel de complejidad AltoTabla 38 Comentarios iacutetem 8
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 47
9 En el trapecio MNOP de la figura 39 se han determinado tres triaacutengulos De la figuraes posible deducir que a2 + b2 = c2 para a y b medidas de los catetos de un triaacutengulorectaacutengulo y c medida de la hipotenusa
Figura 39
iquestCon cuaacutel o cuaacuteles de los siguientes procedimientos es posible llegar a esta conclusioacuten
I Expresar el aacuterea del trapecio como suma de las aacutereas de los tres triaacutengulos
II Expresar el aacuterea del trapecio como suma del aacuterea de un rectaacutengulo maacutes el aacuterea deun triaacutengulo rectaacutengulo
III Determinar el periacutemetro del trapecio y expresar x en teacuterminos de a y b
A con I solamente
B Con II solamente
C Con I y II solamente
D Con II y III solamente
Toacutepicos Teorema de PitaacutegorasCompetencia Razonamiento Reconocimiento de cadenas de argu-
mentacioacuten loacutegicaNivel de complejidad Alto
Tabla 39 Comentarios iacutetem 9
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CAPIacuteTULO 3 PROPUESTA DIDAacuteCTICA 48
10 En la figura 310 ACFE y ABCD son rectaacutengulos El segmento AC es la diagonaldel rectaacutengulo ABCD
Figura 310
iquestCuaacutel o cuaacuteles de las siguientes afirmaciones es o son correctas
I ang1sim=ang5 ang
II sim=ACD4DFC
III 4ADE 4ABC
IV EAsim=BC
A I y III solamente
B II y IV solamente
C I II y III solamente
D II III y IV solamente
Toacutepicos Triaacutengulos Criterios de congruenciaCompetencia Razonamiento Exige dar cuenta del porqueacute es vaacutelida
una conclusioacuten y reconocer estructura de argumentoformales
Nivel de complejidad AltoTabla 310 Comentarios iacutetem 10
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
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[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
Conlusiones y Recomedaciones
El sugerir a traveacutes de este trabajo una estrategia que aportaraacute a solucionar el prob-lema que se planteoacute en la propuesta relacionado con los bajos niveles de desempentildeo delos estudiantes de baacutesica y media en las pruebas externas exigioacute estudiar e interpretar lasnuevas perspectivas teoacutericas sobre el sentido y caraacutecter de la evaluacioacuten en matemaacuteticas yanalizar los referentes e instrumentos de las pruebas nacionales e internacionales y los mar-cos curriculares (Lineamientos y Estaacutendares) Del estudio y anaacutelisis de estos documentossurgieron diversas reflexiones que se pueden sintetizar en los siguientes puntos
Es importante redisentildear los curriacuteculos de matemaacuteticas de manera que los diferentespensamientos se estructuren y desarrollen a traveacutes de todos los grupos de gradosdando un eacutenfasis especial a los pensamientos espacial y meacutetrico en lo relacionadocon el reconocimiento de las figuras sus propiedades geomeacutetricas y meacutetricas y lasrelaciones baacutesicas de semejanza y congruencia disentildeos donde se aprecie el avanceen niveles de complejidad y se potencie el desarrollo de niveles superiores de razon-amiento geomeacutetrico que impliquen interpretacioacuten y aplicacioacuten teoremas baacutesicos
La evaluacioacuten a privilegiar en el aula de matemaacuteticas debe ser esencialmente for-mativa es por ello que las pruebas estandarizadas no pueden constituirse en eje niparaacutemetro uacutenico para orientar la evaluacioacuten y el desarrollo curricular se requiereimplementar diferentes estrategias que permitan identificar realmente los avances ydificultades de los estudiantes privilegiar por ejemplo las pruebas abiertas dondese propongan situaciones que acerquen a los estudiantes a verdaderas situacionesproblema que requieran procesos de modelacioacuten en contextos de la matemaacutetica y deotras disciplinas
Un aspecto a destacar en el anaacutelisis de las nuevas miradas de la evaluacioacuten enmatemaacuteticas es el referido al objeto de evaluacioacuten En la evaluacioacuten escolar pre-domina auacuten como objeto uacutenico de evaluacioacuten el contenido pero maacutes grave auacuten elcontenido disperso e irrelevante con eacutenfasis en lo instrumental y algoriacutetmico Es im-portante asumir como objeto de evaluacioacuten la competencia como se propone en laspruebas externas en el sentido del saber hacer y comprender usar el conocimientomatemaacutetico de manera flexible y en contextos diversos
Los docentes de matemaacuteticas de los niveles baacutesicos deberiacutean estudiar detenidamentelos documentos citados en este trabajo analizar adecuar construir y aplicar ensus aulas pruebas similares a las descritas no solamente en el tema escogido en lapropuesta sino en diversos temas baacutesicos en cada uno de los grados interpretar losresultados utilizando descripciones de los iacutetems similares a las presentadas en los
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CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
- Prueba PISA (Programme for Institutional Student Assessment)
- TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
CONLUSIONES Y RECOMEDACIONES 50
comentarios esto les permitiraacute no solamente identificar aspectos a fortalecer o temasa incluir en el curriacuteculo sino orientar a los estudiantes respecto al tipo de situacionesplanteadas en pruebas externas
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
51
BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
- Evaluaciones Externas
-
- Coacutemo han cambiado las pruebas
-
- Prueba Externas Nacionales
-
- De la prueba Saber Quinto y Noveno a la prueba Saber Once
-
- Pruebas Internacionales
-
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-
- Grado 4
- Grado 8
-
- (SERCE Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo)
-
- Ilustracioacuten de algunos iacutetems de geometriacutea propuestos en las pruebas
-
- ASPECTOS DISCIPLINARES
-
- Congruencia
-
- Congruencia de segmentos
-
- Algunas implicaciones de los axiomas
- Longitud de segmentos
-
- Congruencia de Aacutengulos Axiomas
- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
- Teorema 1 (LAL)
- Teorema 2 (ALA)
- Teorema 3 (LLL)
-
- Proyecciones paralelas
-
- Teorema fundamental de paralelismo
-
- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
-
- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
-
- Triaacutengulos rectaacutengulos
-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
-
- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
-
Bibliografiacutea
[1] MONTANtildeEZ Joseacute Reinaldo y HUERTAS Crescencio ACEVEDO Myriam Funda-mentacioacuten conceptual en el aacuterea de matemaacuteticas Grupo de Evaluacioacuten de la EducacioacutenSuperior - ICFES 2007
[2] Myriam ACEVEDO Trazas y miradas evaluacioacuten y competencias SerieUniversidadNacional de Colombia Proyecto Evaluacioacuten Censal de Competencias (1)125 140Octubre 2001
[3] Myriam ACEVEDO Evaluacioacuten en el aula de matemaacuteticas Memorias Cuarto en-cuentro colombiano de matemaacutetica educativa 2002
[4] ACTAP Geometry midyear end of course examination released item bookletArkansas Department of Education pdf 2005
[5] Joseacute Manuel ARRANZ Teorema de pitaacutegoras Proyecto Estalmat Cantabria 2007
[6] Graciela Paula CALDEIRO Evaluacioacuten de programas educativos Educacioacuten de lapraacutectica a la teoriacutea httpeducacionidoneoscomindex 2005
[7] Secretariacutea de Educacioacuten de Bogotaacute editor El aprendizaje de los estudianteshttpredacademicaredpeducoevaluacionindexphp 2010
[8] Ana Berenice GUERRERO G Geometriacutea en el plano y en el espacio Coleccioacuten notasde clase Facultad de ciencias UN Bogotaacute Colombia primera edition 2008
[9] httpwwwncpublicschoolsorgaccountabilitytesting editor Geometry SampleItems Goal 1 North Carolina Testing Program 2010
[10] ICFES Ejemplos de preguntas de las pruebas de matemaacuteticas y ciencias de timmss2007 ICFESgovco 2007
[11] Joaquiacuten JIMENEZ R Evaluacioacuten en matemaacuteticas una integracioacuten de perspectivasEditorial Sintesis SA primera edition 1997
[12] Elena AacuteLVAREZ S Mirar y ver Demostraciones visuales Proyecto EstalmatCantabria 2010-2011
[13] Guillermina MARCOS L Un modelo de competencias matematicas en un entornointeractivo pdf Universidad de la Rioja httpdialnetuniriojaesservletfichero_tesis junio 2008
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BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
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- Teorema 3 (LLL)
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- Teorema fundamental de paralelismo
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- Proyecciones Ortogonales
- Proporciones
-
- Razones y proporciones entre segmentos
- Propiedades de las proporciones
- Segmentos proporcionales
-
- Rectas paralelas y segmentos proporcionales
-
- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
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- Semejanza de triaacutengulos
- Casos de semejanza de triaacutengulos
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- Triaacutengulos rectaacutengulos
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- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
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- PROPUESTA DIDAacuteCTICA
- Conlusiones y Recomedaciones
- Bibliografiacutea
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BIBLIOGRAFIacuteA 52
[14] Felipe MARTINEZ R Evaluacioacuten formativa en aula y evaluacioacuten a gran escala haciaun sistema maacutes equilibrado Revista Electroacutenica de Investigacioacuten Educativa 11(2)10Julio 2009
[15] OCDE Marco de la evaluacioacuten conocimientos y habilidades en ciencias matemaacuteticasy lectura PISA 2006
[16] Feacutelix RODRIacuteGUEZ D Competencias baacutesicas competencia matemaacutetica Universitatde les Illes Balearsfelixrodriguezuibes Marzo 2009
[17] IEAs TIMSS Mathematics framework http timss bc edu timss2011frameworks html 2011
[18] MEN y ASCOFADE Estaacutendares baacutesicos de competencias matemaacuteticas Ministeriode Educacioacuten Nacional 2006
- Iacutendice general
- Introduccioacuten
- EVALUACIOacuteN EN MATEMAacuteTICAS ALGUNOS REFERENTES ACTUALES
-
- La evaluacioacuten formativa
- La competencia en matemaacutetica
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- Coacutemo han cambiado las pruebas
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-
- Grado 4
- Grado 8
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-
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-
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-
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- Longitud de segmentos
-
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- Congruencia de triaacutengulos
- Criterios
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-
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-
- Razones y proporciones entre segmentos
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- Segmentos proporcionales
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- Teorema de Thales
- Algunas aplicaciones del Teorema de Thales
-
- Semejanza
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- Semejanza de triaacutengulos
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-
- Teorema de Pitaacutegoras
- Reciacuteproco del teorema de Pitaacutegoras
- Algunas demostraciones visuales del teorema de pitaacutegoras
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