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ELC-1111 ÉLECTROSTATIQUE
THÉORÈME
DE GAUSS
Chapitre
3
Prof. Mourad ZEGRARI
UNIVERSITÉ HASSAN II DE CASABLANCAÉcole Nationale Supérieure d’Arts et MétiersDépartement de Génie Électrique
Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 2
Plan
Flux électrostatique
Théorème de Gauss
Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss
Équations de Poisson et de Laplace
Champ aux voisinages d’une surface chargée
Électrostatique
Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 3
Flux du champ électrostatique
Une surface (S) placée dans un champ électrostatique E.
Flux élémentaire d à travers la surface dS :
: vecteur unitaire normal à dS.
Flux total à travers S :
Si 0 : Flux sortant de S.
Si 0 : Flux entrant à S.
Flux Électrostatique
n
n
dS
E
d E.dS E.n dS
n
(S)
E.dS
(S)
Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 4
Charge à l’intérieur
Une charge ponctuelle q placée en un point O.
Flux électrostatique à travers une sphère (O,r) :
S : surface de la sphère.
Le flux électrostatique est indépendant de la taille de la sphère ; il
est égal au quotient par 0 de la charge q.
Flux Électrostatique
dS
r
q
E
n
(S) (S) (S)
E.dS E.dS E dS
22
0
q 1ES 4 r
4 r
0
q
Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 5
Exemple 3.1
Flux du champ produit par des charges ponctuelles :
Si q 0 0 : les lignes de champ sont divergentes.
Si q < 0 0 : les lignes de champ sont convergentes.
Flux Électrostatique
0
q
q
E
< 0 : Flux Entrant.
q
E
0 : Flux Sortant.
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Charge à l’extérieur
Surface (S) renfermant une charge ponctuelle q :
Or :
Soit :
Le flux électrostatique à travers une surface fermée est nul si la
charge est à l’extérieur de la surface considérée.
Flux Éélectrostatique
S2 0
q
(S2)(S1)
(S)S1 S2
q
S1
q
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Calcul par l’angle solide
Une charge ponctuelle q placée en un point O.
Flux élémentaire d à travers dS :
Flux Électrostatique
dS
(S)
E
dSM
O
q
ru dΩ
(M)2
0
u.dSqd E .dS
4 r
u.dSd
r²
0
qd d
4
0
q
4
Angle solide élémentaire
Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 8
Charge à l’intérieur
Flux électrostatique à travers S :
: angle solide duquel on voit l’espace.
Le flux électrostatique est indépendant de la taille de la surface S ; il
est égal au quotient par 0 de la charge interne q.
Flux Électrostatique
4
0
q
q
(S)
dS
udΩ
O
0
q
4
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Charge à l’extérieur
Flux électrostatique à travers S :
1 0 : flux entrant à travers S1.
2 0 : flux entrant à travers S2.
Flux engendrés à travers le même angle solide :
Flux Électrostatique
0
1 2
q
(S)
dS1
u
u
dS2
O 1
2
1 2
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Énoncé du Théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique à travers une surface
fermée (S) est égal au quotient par 0 de la somme
algébrique des charges situées à l'intérieur de (S).
Flux indépendant de la présence des charges externes.
Flux indépendant de la disposition des charges internes.
Théorème de Gauss
Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
n
inti 1
S (S)0
q
E.dS
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Exemple 3.2
Flux à travers une surface fermée contenant des charges ponctuelles :
Théorème de Gauss
int
0
q
qint = 0 = 0 :
Flux conservatif
+q
-q
qint = +q 0 :
Flux divergeant
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Calcul du champ électrostatique
Moyen de calcul efficace du champ électrostatique lorsque celui-ci
possède des propriétés de symétrie particulières.
Les propriétés de symétrie du champ électrostatique doivent
permettre de calculer facilement le flux .
Le théorème de Gauss est valable pour une surface quelconque, il
faut trouver pour chaque distribution de charges une surface S
adaptée, respectant les propriétés de symétrie du champ.
La surface ainsi choisie est appelée "surface de Gauss".
Théorème de Gauss
Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 13
Une ligne rectiligne indéfinie uniformément
chargée en longueur ().
La ligne présente une invariance par
translation suivant z et par rotation autour du
même axe.
Le champ électrostatique E possède une
symétrie cylindrique et ne dépend que de la
distance par rapport à la ligne.
La surface de Gauss la plus adaptée est un
cylindre de longueur L et de rayon d.
Théorème de Gauss
0
E e2 d
Cas d’une ligne indéfinie
M
()
dSL
d
EL
dSB2
dSB1
SB1
SB2
SL
dS
Surface de
GaussSL
0
LE 2 dL
L B1 B2S S
0
S
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Un plan indéfini uniformément chargé en
surface ().
Le plan (ex,ez) est un plan de symétrie et
présente une invariance par translation
suivant x et z : E plan
La surface de Gauss la plus adaptée est un
cylindre symétrique de base S.
Théorème de Gauss
y
0
E e2
Cas d’un plan indéfini
L 1 2
0
S S S
y yE Ee et E' Ee
dS
S2
()
dS2
E’ ES
q=S
dS1
dSL
S1
Surface de Gauss
ez
ex
ey
1S
0
S2 2ES
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Une sphère (O,R) uniformément chargée en
volume ().
La distribution présente une symétrie
sphérique.
Le champ est radial et ne dépend que de la
distance du point OM = r
Application du théorème de Gauss :
qint : dépend de la position du point M.
Théorème de Gauss
Cas d’une sphère chargée
R
Surface de
Gauss
r
M
dS
SG
E
dS
r
E
G
G
2
S
S
E.dS ES E4 r
G
2 intS
0
qE4 r
Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 16
Point M situé à l’extérieur : r R
Point M situé à l’intérieur : r R
Théorème de Gauss
Cas d’une sphère chargée
R2 3
int
( ) 0
4q d 4 r dr R
3
33
intext 2 2 2
0 0 0
4R Rq 3E (r)
4 r 4 r 3 r
r2 3
int
( ) 0
4q d 4 r dr r
3
3
intint 2 2
0 0 0
4r rq 3E (r)
4 r 4 r 3
0
R
3
r0
R
E(r)
R
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Conservation du flux électrostatique
Tube de champ dans une région dépourvue de charges.
Théorème de Gauss :
Flux conservatif dans une région dépourvue de charges.
Équations Fondamentales
E2
S1
E1
dS2
dS1
2
dSL
S2
1
S1 S2 Tube
0
int
0
q0
S1 S2 Région dépourvue
de charge
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Équation de Gauss
Un volume () chargé avec une densité et limité par une surface (S).
Flux à travers la surface (S) :
Théorème d’Osthogradski :
Équation de Gauss :
Équations Fondamentales
E
()
(S)
Densité
int
(S) ( )0 0
q 1E.ds d
(S) ( )
E.ds divEd
0
divE
Conservation du flux : 0 divE 0
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Équations de Poisson-Laplace
Le champ électrostatique E dérive d’un potentiel scalaire V :
Or :
Dans une région dépourvue de charges : = 0
Équations Fondamentales
Équation de Poisson
divE div gradV V Laplacien de V
0
divE
0
V 0
V 0 Équation de Laplace
Siméon Denis Poisson (1781-1840)
Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)
Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 20
Exemple 3.3
Un éclateur électrostatique formé par deux électrodes conductrices de section circulaire
de diamètre D. Les électrodes sont séparées dans l’air d’une distance d << D.
Équation de Poisson dans le domaine () :
Électrodes proches Plans indéfinis : Champ E uniforme dans la direction OX
Formulation du potentiel :
Théorème de Gauss
0
V 0
Dx
x = dx = 0
V = V0Domaine ()
chargé avec
V = 0O
0
0 0
d²VV(x) x² x
2 d 2 d
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Voisinage d’une surface chargée
Une surface (S) charge avec une densité surfacique .
On considère deux points M1 et M2 voisins de part et d'autre de (S).
Étude du voisinage :
Analyser la variation du champ E.
Analyser la traversée de la surface S.
Décomposition du champ : Normale et Tangentielle.
Champ à proximité d’une surface
E(M1)
E(M2)
()
Surface (S)
M1
M2
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Composante Normale
On considère un cylindre infiniment plat, de bases dS1 et dS2.
Appliquons le théorème de Gauss :
Soit :
Champ à proximité d’une surface
n1
n2
E(M1)
E(M2)
()
EN2
ET2
ET1
EN1
Surface (S) dS1
dS2
M1
M2
G 1 2
intS dS dS latéral
0 0
q
11
(M ) N1dS 1 1E .dS E .n dS
22
(M ) N2dS 2 2E .dS E .n dS
intq dS
GN1 N2S 1 2
0
dSE .n dS E .n dS
N N1 N2
0
E E E
Discontinuité de la composante normale du champ électrique.
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Exemple 3.4
Champ aux voisinages d’un plan uniformément chargé :
Champ à proximité d’une surface
E
n
Champ uniforme
(+)
EM1EM2 M1M2
(M1)
0
E n2
(M2)
0
E n2
M1 M2
0
E E E
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Composante Tangentielle
On considère un parcours fermé M1N1N2M2.
Circulation du vecteur champ électrostatique :
Soit :
Champ à proximité d’une surface
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique.
E(M1)
E(M2)
Surface (S)M1
M2
N1
N2
1 2 2 1
1 1 2 2
N N M M
M N N M
E.d E.d E.d E.d E.d 0
0N1 et N2 très voisins
0M1 et M2 très voisins
1 2T T1 1 2 2E .M N E .N M 0
1 2T T 1 1E E .M N 0
1 2T TE E