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Ondas Electromagnéticas Guiadas 1
GUÍAS DE ONDA
ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA
Grado en Física
Teoría general de guías de onda. Guías rectangular, cilíndrica y coaxial. Líneas tira y microtira. Guía dieléctrica. Resonadores. Cavidades rectangulares y cilíndricas. Teoría de perturbaciones.
Bibliografía: POZAR D. M.- "Microwave Engineering". Wiley. 1997
MARSHALL, S.V. & SKITEK, G.G.- "Electromagnetic Concepts and Applications". Prentice Hall International Editions. 1990. WALDRON, R.A.- "Theory of Guided Electromagnetic Waves". Van Nostrand. 1969.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 2
GUIAS DE ONDA
Introducción
Análisis: En la mayoría se propagan modos no TEM.
El análisis, en términos de campos, aprovecha la simetría.
Estructura: Poseen diferentes geometrías: rectangular, cilíndrica, coaxial...
Son sistemas con simetría cilíndrica (de traslación).
Importancia: Resultan imprescindibles en el rango de microondas ( λ ≈ cm)
Están relativamente libres de pérdidas e interferencias..
Propósito: Las líneas de transmisión vistas son, en general,
sistemas abiertos. Puede ser conveniente confinar los campos. Totalmente: guías cerradas. (guías metálicas)
Parcialmente: guías abiertas. (microstrip, guías dieléctricas...)
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Geometrías típicas
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GUIAS DE ONDA
Análisis general
Aprovechamos la simetría de traslación.
Suponemos guía uniforme (no varía ni la geometría ni las propiedades del medio en la dirección z)
Tomamos medios ideales (dieléctricos sin pérdidas y conductores perfectos) Trabajamos en régimen armónico estacionario.
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Análisis general
- Para la onda propagante en z+ (factor e-jβz)
donde hemos separado los campos transversales
y longitudinales - Podríamos incluir la onda propagándose en z-.
En el caso de pérdidas, sustituiríamos jβ
Separación de los campos:
por γ=α+jβ$
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Análisis general En ausencia de fuentes:
que separado en componentes, habida cuenta de la dependencia con z:
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Análisis general Ecuaciones análogas se deducen del rotacional de H:
- Las ecuaciones obtenidas son completamente generales, con las suposiciones hechas de régimen armónico y
propagación en z+.
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Análisis general Podemos expresar las componentes transversales en función de las longitudinales
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Análisis general El número kc recibe el nombre de constante de corte:
Con (nº de onda en el medio libre)
constante de fase en la guía
Si asociamos kc a una “longitud de onda de corte”
de forma que, si
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Análisis general Ecuaciones para los campos
Siguen sujetos a la ecuación de Helmholtz:
Para las componentes longitudinales Ez, Hz y teniendo en cuenta que
Resolveremos las componentes longitudinales y encontraremos las transversales a partir de aquellas.
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Ondas TEM
Para las ondas TEM de forma que:
A no ser que
La constante de propagación es la misma que en el medio libre y las ondas TEM pueden propagarse desde frecuencia nula.
Para resolver la indeterminación (0/0), recurrimos a las ecuaciones de Maxwell:
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Ondas TEM Resolución de los campos:
Las ecuaciones de Maxwell se reducen a:
de forma que e(x,y) corresponde a la solución de un problema estático en el plano transversal. De la ecuación rotacional:
y con la condición sobre la divergencia
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GUIAS DE ONDA
Ondas TEM Resolución de los campos:
1.- Resolvemos la ecuación de Laplace en el plano transversal
2.- Determinamos las constantes de integración con las condiciones de contorno.
3.- Calculamos el campo eléctrico
4.- El campo magnético se deduce de la relaciones ya vistas o de:
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Ondas TEM Características de propagación
- La constante de fase ya se ha visto: la velocidad de fase es, por tanto, la misma que en el medio libre así como la longitud de onda, cumpliéndose
- La relación de amplitudes de los campos eléctrico y magnético, o impedancia de onda, coincide con la del medio libre
de forma que, en general
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GUIAS DE ONDA
Ondas TEM Características de propagación
dependiente de la geometría
y distinta de
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Ondas TEM Inexistencia del modo TEM en guías monoconductoras
Argumento 1: La circulación de h (sólo transversal) es igual a la corriente longitudinal (de conducción y de desplazamiento). Si la onda es TEM no hay desplazamiento longitudinal. Como no hay conductor encerrado en C no hay corriente de conducción. Luego no hay campo h transversal
Argumento 2: Puesto que el potencial φ cumple la ecuación de Laplace, sujeta a una condición de contorno metálica y cerrada (φ =cte en el contorno), el potencial es constante en el interior de la guía. El campo eléctrico es, por tanto, nulo. Luego no hay campo e transversal
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GUIAS DE ONDA
Ondas TM
- Las ondas (modos) Transversales Magnéticas (TM ó modos E) no poseen componente longitudinal del campo magnético (Ez≠ 0; Hz=0).
con kc≠ 0 y dependiente de la geometría y el modo.
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GUIAS DE ONDA
Ondas TM Campo longitudinal
De la ecuación de Helmholtz:
y con la derivación con respecto a z
donde
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 19
GUIAS DE ONDA
Ondas TM Características de propagación
β es real (onda propagante) a partir de una frecuencia tal que:
conocida como frecuencia de corte del modo
La longitud de onda en la guía y la velocidad de fase son:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 20
GUIAS DE ONDA
Ondas TM Características de propagación
Impedancia de onda:
que es real (resistiva pura) para onda propagante
- Para frecuencias por debajo del corte, β es imaginario puro. El modo es evanescente .
- Notar que por debajo del corte ZTM es imaginario puro (reactivo) y no hay flujo de potencia.
- La guía se comporta como un filtro pasa-alto.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 21
GUIAS DE ONDA
Ondas TE
- Las ondas (modos) Transversales Eléctricas (TE ó modos H) no
poseen componente longitudinal del campo eléctrico (Ez=0; Hz≠0).
con kc≠ 0 y dependiente de la geometría y el modo.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 22
GUIAS DE ONDA
Ondas TE Campo longitudinal
De la ecuación de Helmholtz
y con la derivación con respecto a z
donde
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 23
GUIAS DE ONDA
Ondas TE Características de propagación
β es real (onda propagante) a partir de una frecuencia tal que:
conocida como frecuencia de corte del modo.
La longitud de onda en la guía y la velocidad de fase son:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 24
GUIAS DE ONDA
Ondas TM Características de propagación
Impedancia de onda:
que es real (resistiva pura) para onda propagante y distinta de ZTM
- Para frecuencias por debajo del corte, β es imaginario puro. El modo es evanescente .
- Notar que por debajo del corte ZTE es imaginario puro (reactivo) y no hay flujo de potencia.
- La guía se comporta como un filtro pasa-alto.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 25
GUIAS DE ONDA
Ondas TE y TM
Procedimiento general de resolución
1.- Resolver la ecuación de Helmholtz reducida (para ez ó hz).
2.- Obtener los campos transversales de las relaciones apropiadas.
3.- Determinar las constantes de integración a partir de las condiciones de contorno más adecuadas. Entre ellas aparecerá kc.
4.- A partir de kc obtener las características de propagación (β y Z).
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 26
GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas
- Puede soportar tanto modos TEM como TE y TM.
- Asumimos que w>>d. (Equivale a despreciar efectos de borde y variaciones con la coordenada x).
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 27
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas
El modo TEM:
1.- Resolvemos entre
2.- Las condiciones de contorno son:
3.- No hay dependencia con x:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 28
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM
Solución para el potencial:
4.- El campo eléctrico reducido:
y el campo total:
donde ya sabemos que
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 29
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM
5. – El campo magnético:
con ηo la impedancia de onda del medio.
- Obsérvese que no existen campos longitudinales y que la dependencia transversal de los mismos es idéntica a los campos estáticos.
- Puede efectuarse el análisis en términos de voltajes y corrientes, si calculamos las circulaciones de los campos eléctrico y magnético, respectivamente.
- De ello obtendríamos la impedancia característica de la línea de transmisión.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 30
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM
Efecto de borde en la guía
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 31
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM
Aspecto de los campos en la dirección de propagación
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 32
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: potenciales y corrientes
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 33
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
- En este caso, hz=0 y resolvemos la ecuación de Helmholtz reducida para ez. La “simetría” con x hace
cuya solución general es:
Sujeta a las condiciones de contorno:
en con n≥0
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 34
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
- Para cada valor de n, designamos al modo con el subíndice n: TMn .
- Para cada modo, su frecuencia de corte es, por tanto:
La constante de corte es y la constante de propagación
- Notar que el modo TM0 coincide con el modo TEM.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 35
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Campo (eléctrico) longitudinal:
Los campos transversales se deducen de las relaciones ya vistas
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 36
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
La impedancia de onda
que es real para onda propagante e imaginaria pura para onda evanescente. El flujo de potencia:
Podemos calcular el vector de Poynting a través de la sección transversal de la guía:
para n>0 (para n=0 es el doble). Obsérvese que es nulo para onda evanescente.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 37
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Caso particular: el modo TM1.
Examinemos la componente Ez:
que indica que se trata de dos ondas viajando oblicuamente según (-y,+z) y (+y,+z) con componentes π/d, β1, es decir:
que es la relación de dispersión ya vista (0º<θ<90º para onda propagante).
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 38
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Caso particular: el modo TM1.
- La velocidad de fase en la dirección del rayo es
mientras que en la dirección z es
- A medida que nos acercamos a la onda sube y baja.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 39
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Campo eléctrico en la guía: modo TM1.
Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos) en la guía. Modo TM1.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 40
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Diagrama de dispersión en la guía: modo TM1
Constantes de atenuación y de fase en función de la frecuencia
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 41
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TE
- En este caso, ez=0 y resolvemos la ecuación de Helmholtz reducida para hz.
- La “simetría” con x hace
cuya solución general es:
Si aplicamos las condiciones de contorno al campo eléctrico (Ex)
en con n>0
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 42
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TE
- Las constantes de corte y propagación, así como la denominación de los modos, es análoga al caso TM.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 43
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM
La impedancia de onda
que es real para onda propagante e imaginaria pura para onda evanescente.
El flujo de potencia: Podemos calcular el vector de Poynting a través de la sección transversal de la guía
para n>0 (No existe modo TE0). Obsérvese que es nulo para onda evanescente.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 44
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TE
Campo magnético en la guía: modo TE1
Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos) en la guía. Modo TE1.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 45
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas
Pérdidas por conductividad finita en las paredes
Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud
con
El coeficiente de atenuación será:
(la mitad para modos TEM)
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 46
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía de placas plano-paralelas
Pérdidas por conductividad finita en las paredes
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 47
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular
- Al ser una guía monoconductora no soporta el modo TEM. - Fue una de las primeras guías desarrolladas y continua siendo muy utilizada.
- Su rango de aplicación va desde 1 Ghz a 200 Ghz.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 48
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
- Suponemos a>b.
Resolvemos la ecuación de Helmholtz para hz(x,y).
y utilizamos la técnica de separación de variables:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 49
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
Ello da lugar a dos ecuaciones separadas, con constantes de separación kx, ky.
cuyas soluciones generales combinadas dan:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 50
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
- Resulta más cómodo aplicar las condiciones de contorno sobre los campos eléctricos:
en
en
que conducen a
y la constante de corte, por tanto:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 51
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
- Cada par de índices m,n determinan un modo diferente, denotado por TEmn.
- La constante de propagación es ahora, para cada modo:
Por tanto, cada modo tiene una frecuencia de corte
- Llamamos modo fundamental al de menor frecuencia de corte.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 52
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE. Expresiones generales de los campos
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 53
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
El modo fundamental: - Para a>b el modo fundamental es el TE10. (Notar que no puede existir el modo
TE00). - Utilizado en la práctica, pues dispone de una banda en la que sólo él es propagante. (Hasta que no aparezca el siguiente que, dependiendo de las dimensiones de la guía,
será el TE01, el TE20 ó un modo TM).
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 54
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
El modo fundamental:
La impedancia de onda es, según la relación general:
y el flujo de potencia:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 55
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
El modo fundamental
Distribución de campos en la guía. Modo TE10.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 56
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
Nueva visión de los campos en la guía. Modo TE10.
El modo fundamental
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 57
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
Distribución de los campos en la guía.
El modo TE11
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 58
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
Constantes de atenuación y de fase en función de la frecuencia, para los tres primeros modos.
Diagrama de dispersión
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 59
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
Pérdidas por conductividad finita en las paredes. Modo TE10.
Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud:
El coeficiente de atenuación será:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 60
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TE
Pérdidas por conductividad finita en las paredes.
Atenuación por pérdidas conductoras. Modos TE10 y TM11. (Guía estándar de la banda X).
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 61
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TM
- Suponemos a>b.
Resolvemos la ecuación de Helmholtz para ez(x,y).
y utilizamos la técnica de separación de variables:
![Page 62: ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA … Electromagnéticas Guiadas 1 GUÍAS DE ONDA ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA Grado en Física Teoría general de guías de onda. Guías](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021514/5b1ac80a7f8b9a1e258e10f4/html5/thumbnails/62.jpg)
Ondas Electromagnéticas Guiadas 62
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TM
La solución para ez(x,y):
que con las condiciones de contorno:
en
que conducen a:
Donde ahora m=n=0 no está permitido. La constante de corte, por tanto:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 63
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TM. Expresiones generales de los campos
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 64
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TM
- Cada par de índices m,n determinan un modo diferente, denotado por TMmn.
- La constante de propagación es, de nuevo, para cada modo:
por tanto, cada modo tiene una frecuencia de corte
![Page 65: ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA … Electromagnéticas Guiadas 1 GUÍAS DE ONDA ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA Grado en Física Teoría general de guías de onda. Guías](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021514/5b1ac80a7f8b9a1e258e10f4/html5/thumbnails/65.jpg)
Ondas Electromagnéticas Guiadas 65
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TM
- No existen los modos TM00, TM01 ó TM10. - El modo TM de frecuencia de corte más baja es el TM11, cuya frecuencia de corte
- Los modos TM y los modos TE que tengan la misma frecuencia de corte se dice que son degenerados.
La impedancia de onda:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 66
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía rectangular. Modos TM
Distribución de los campos en la guía. Modo TM11.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 67
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica
Como guía monoconductora, no soporta el modo TEM. Históricamente es la primera guía analizada.
Conviene emplear coordenadas cilíndricas para su estudio.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 68
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica
Las relaciones entre campos transversales y longitudinales, en coordenadas cilíndricas, son:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 69
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE
Resolvemos la ecuación reducida de Helmholtz para hz, en coordenadas cilíndricas.
y utilizamos la técnica de separación de variables:
Recordemos que la constante de corte sigue siendo:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 70
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE
La separación de variables conduce a:
Si introducimos la constante de separación kϕ : función solo de ρ función solo de ϕ
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 71
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE
La ecuación para la parte radial es:
conocida como ecuación de Bessel. Soluciones
a) Parte angular:
b) Parte radial:
donde Jn, Yn son las funciones de Bessel de 1a y 2a especie, de orden n.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 72
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE Determinación de constantes.
- Para la parte angular, es evidente que la solución debe tener periodicidad 2π.!
- Una adecuada elección del origen de ángulos nos permite eliminar una de las dos funciones (equivalente a hacer A ó B=0).
- La condición de contorno natural se aplica sobre eϕ. !- Obtenemos ésta a partir de las relaciones campo transversal-longitudinal.
-Deberá ser eϕ=0 para ρ=a. - Por otra parte, la función Yn es singular en el origen ⇒ D=0
Por lo tanto:!
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 73
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE
- En lo anterior, J’ es la derivada de la función de Bessel y p’nm (qnm) es el cero m-ésimo de la función de Bessel de orden n.
n p’n1 p’n2 p’n3
0 3,832 7,016 10,174
1 1,841 5,331 8,536
2 3,054 6,706 9,970
Ceros de las funciones derivadas de Bessel
- Denominamos modo TEnm donde el índice n denota la
dependencia
(multiplicidad) angular (y el orden de la función de Bessel)
y el índice m la dependencia radial (orden del cero de J’).
- No pueden existir modos TEn0 (siempre es m>1), pero si TE0n.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 74
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE
- La constante de corte es
y la constante de fase
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 75
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE. Expresiones de los campos
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 76
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE. Expresiones de los campos
(Elección apropiada de origen de ángulos, i.e. B=0)
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 77
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE
El modo fundamental
Las frecuencias de corte son:
y, a la vista de los ceros de J’, resulta el modo fundamental el TE11.
- Sobre el valor de los campos en ρ=0.
- La presencia de ρ en el denominador afecta a los campos que varían como Jn.
- Dado que cuando se resuelve la posible singularidad.
- Notar que no hay modos TEn0. (m ≥ 1), pero sí TE0n.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 78
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE11
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 79
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE11
Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos).
Campo magnético
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 80
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE11
Transición desde el modo TE10 en guía rectangular al TE11 en guía cilíndrica.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 81
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Diversos modos TE
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 82
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE01
Aunque no es el modo fundamental, es de importancia como del que derivan modos de resonancia de interés en cavidades cilíndricas.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 83
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. El modo fundamental
- Impedancia de onda
- El flujo de potencia.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 84
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. El modo fundamental
Pérdidas por conductividad finita
Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud
El coeficiente de atenuación será:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 85
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. El modo fundamental
Pérdidas por conductividad finita
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 86
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM
Resolvemos la ecuación reducida de Helmholtz para ez, en coordenadas cilíndricas.
y utilizamos la técnica de separación de variables:
- Las soluciones se obtienen de la misma forma que para los modos TE. - Ahora varía el resultado de aplicar las condiciones de contorno:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 87
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM
- Ahora llamamos pnm al cero m-ésimo de la función de Bessel de orden n.
n pn1 pn2 pn3
0 2,405 5,520 8,654
1 3,832 7,016 10,174
2 5,135 8,417 11,620
Ceros de las funciones de Bessel - Denominamos modo TMnm donde el índice n denota la dependencia
(multiplicidad) angular (y el orden de la función de Bessel) y el índice m la dependencia radial (orden del cero de J).
- No pueden existir modos TMn0 (siempre es m>1), pero si TM0n. - El primer modo TM es el TM01 (p01 =2.405), luego el modo dominante es el TE11.
- Nótese que los modos TM1m son degenerados con los TE0m.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 88
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM
- La constante de fase
y las frecuencias de corte:
- La constante de corte es:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 89
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM. Expresiones de los campos
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 90
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 91
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM
Frecuencias de corte de los primeros modos.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 92
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial
- Ya analizada en términos de línea de transmisión. - Como guía biconductora, soporta modos TEM.
- También pueden estar presentes modos superiores. - Utilizada, en la práctica, en cables.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 93
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM
2.- Las condiciones de contorno son:
1.- Resolvemos en coordenadas cilíndricas.
3.- Separamos variables
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 94
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM
- La ecuación de Laplace en el plano transversal resulta:
que se separa en dos ecuaciones:
donde las constantes de separación verifican:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 95
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM
- Solución para la parte angular:
ya que la solución debe tener, al menos, periodicidad 2π.
- Por otro lado, las condiciones de contorno del problema exigen que no haya variación con ϕ, ya que las superficies son equipotenciales.
- La parte radial admite como solución:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 96
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM
Las condiciones de contorno sobre el potencial conducen a;
y, en consecuencia, el campo eléctrico reducido:
que es de la misma forma que el campo estático en un cable coaxial.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 97
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM
Expresiones completas de los campos.
- Ya sabemos que la constante de fase es
que, de nuevo, resultan análogas a las expresiones estáticas.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 98
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM
Potenciales y corrientes.
- Podemos evaluar, en la forma habitual, la diferencia de potencial y corriente a lo largo de la guía. (Tratamiento en términos de línea de transmisión).
de donde la impedancia característica:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 99
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM. Atenuación en las paredes
- Calculado en la forma habitual, se obtiene
Atenuación por conductividad finita, frente a la relación b/a.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 100
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. Modos superiores
- Para modos TE, resolvemos:
cuya solución, ya vista, es:
- A diferencia de la guía cilíndrica, ρ=0 está excluido de la región de cálculo, luego no hay por que descartar Yn.
- Las condiciones de contorno a aplicar son: para
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 101
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. Modos superiores
Las condiciones anteriores dan:
sistema que admite solución no trivial si:
ecuación trascendente, cuya solución proporciona las constantes de corte de los modos TEnm.
- Una solución aproximada es:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 102
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TE11
Líneas del campo eléctrico (continua) y magnético (a trazos).
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 103
GUIAS DE ONDA
Guías particulares La guía coaxial. El modo TE11
Líneas del campo eléctrico (continua) y magnético (a trazos).
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 104
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “strip”
Generalmente la tira (“strip”) está centrada Se suele tomar b ≈ w; a >> w
El análisis desprecia efectos de borde Suponemos las placas exteriores conectadas a tierra
y la tira a un potencial V0. Se puede aproximar la distribución de campos por encima y debajo de la tira como un modo TEM (al igual que en la guía plano paralela)
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 105
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “strip”
Distribución ideal de los campos
en –w/2≤x≤w/2; 0≤y≤b/2
en –w/2≤x≤w/2; -b/2≤y≤0
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 106
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “strip”
El tratamiento en términos de voltajes y corrientes da:
donde η0 es la impedancia intrínseca del vacío y suponemos que el dieléctrico tiene una permitividad εr
de forma que la impedancia característica:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 107
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “strip”
Líneas de campo sin despreciar efectos de borde
Un cálculo realista, que no desprecie efectos de borde, proporciona:
Donde K y K’ son la función elíptica de primera especie y su complementaria
También existen resultados para tiras de grosor no despreciable
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 108
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “strip”
Representación de la impedancia característica frente a w/b (parámetro t/b). La línea a trazos es la aproximación sin efectos de borde.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 109
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “microstrip”
Suelen utilizar sustratos dieléctricos de alta permitividad (concentra el campo en la región del sustrato y permite reducir el tamaño de la tira)
Son utilizadas en circuitería integrada y se realizan con técnicas fotolitográficas Las condiciones de contorno impuestas en la interfaz entre los dos dieléctricos
no permiten, estrictamente, la existencia de un modo TEM Sin embargo, si el sustrato dieléctrico es delgado y de elevada permitividad
se puede realizar un análisis cuasi-TEM La propagación real es a base de modos híbridos TE-TM
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 110
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “microstrip”
Efecto del dieléctrico: superior εr=1; inferior εr=10
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 111
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “microstrip”
Equivalente a un único medio en el que estuviera la línea
El análisis cuasi-TEM supone que la velocidad de fase y constante de propagación pueden expresarse como:
donde 1<εe<εr es una permitividad “efectiva” (Nótese que existe propagación tanto en el vacío como en el sustrato)
La permitividad efectiva se aproxima por:
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 112
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “microstrip”
La impedancia caracerística
se suele utiliar la impedancia característica de la microstrip vacía y escribir:
La siguiente gráfica representa la impedancia y la constante dieléctrica efectiva en función de la relación w/h para distintos sustratos
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 113
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “microstrip”
Impedancia característica en vacío y constante dieléctrica efectiva
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 114
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Otros tipos de guías La línea “microstrip”
Impedancia característica frente a w/h para diversos sustratos
32.0 34 90 2.63 2.0 47.5 51 130 2.55 1.0 67.5 74 185 2.50 0.4
w/h
Cálculo cuasi-TEM y medidas (Microstrip de alúmina εr=9.74; h=0.635 cm.)
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 115
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “microstrip”
Longitud de onda en la línea w/h para diversos sustratos
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 116
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “microstrip”
Diagrama de dispersión en una línea microstrip
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 117
GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías La línea “microstrip”
Líneas de campo en una microstrip “encerrada” (Modo cuasi-TEM)
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 118
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Otros tipos de guías La guía dieléctrica
También conocida como “fibra óptica”, está formada por un núcleo (core) de permitividad ε1(ρ) superior a la de la cubierta (cladding)
No emplea elementos metálicos, por lo que no son afectadas por interferencias exteriores. Por ello, también se usan para enlaces en presencia de tensiones elevadas
El guiado se efectúa a base de reflexión total en la interfaz núcleo-cubierta
Pueden ser de salto de índice (ε1 constante) o de índice gradual
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 119
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Otros tipos de guías La guía dieléctrica
El seno del mayor ángulo de incidencia de un rayo, de forma que sea guiado por la fibra (alcanzando el otro extremo) se conoce como apertura numérica
Pueden existir modos TE0n y TM0n sin dependencia angular
Los modos con dependencia angular son híbridos TE y TM y se denominan modos HE ó EH. Entre ellos el fundamental es el HE11, cuya frecuencia de corte es nula
Los campos en la cubierta decrecen exponencialmente, pero el decrecimiento es mas lento a medida que baja la frecuencia
Dependiendo del tamaño del núcleo y de la frecuencia pueden ser fibras monomodo o multimodo (típicamente para frecuencias ópticas entre 1-10 micras)
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 120
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Otros tipos de guías La guía dieléctrica
Diagrama de dispersión de una fibra de salto de índice Δ=0.1; εr1=2.34
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 121
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Resonadores Introducción
Los circuitos resonantes constituidos por elementos concentrados no son eficaces como sistemas resonantes de alta frecuencia
Poseen elevadas pérdidas por radiación La penetración de los campos en los conductores
aumentan las pérdidas por conductividad Los valores prácticos de R, C y L no permiten conseguir
resonancias a frecuencias elevadas
En su lugar se emplean sistemas en los que los campos se confinan (casi) totalmente en una región dieléctrica que puede
estar rodeada por paredes metálicas
Concentran elevadas densidades de energía Presentan resonancia a varias frecuencias
Poseen elevados factores de calidad (pequeñas pérdidas)
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Resonadores Circuitos resonantes de baja frecuencia
Recordamos las principales características.
i.e. Circuito RLC serie
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Resonadores Circuitos resonantes de baja frecuencia
Se produce resonancia a la frecuencia
en la cual ya que
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Resonadores Circuitos resonantes de baja frecuencia
La relación entre energía almacenada en los elementos reactivos y la potencia disipada en los elementos resistivos mide la “bondad”
de la resonancia y se conoce como factor de calidad o de mérito Q.
Para factores de calidad grandes se pueden aproximar la impedancia y el factor Q por:
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Resonadores Resonadores de cavidad
Este tipo de resonadores está formado por un recinto dieléctrico encerrado en paredes metálicas.
Debe tener elementos de acoplo para inserción y extracción de energía.
Pueden analizarse con la teoría general del campo pero como, con frecuencia, derivan de estructuras de guías cortocircuitadas, se pueden añadir a las
soluciones encontradas las condiciones de contorno nuevas impuestas por los cortocircuitos.
La situación corresponderá así a una onda que se propaga en la guía bajo el modo escogido y que se reflejará en los contornos metálicos transversales.
La resonancia se alcanzará cuando se forme una onda estacionaria en la dirección longitudinal para lo cual serán necesarias determinadas condiciones
sobre la longitud fe onda en la guía.
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Resonadores La cavidad rectangular
Deriva de la guía rectangular, cortocircuitada en dos planos perpendiculares a la dirección de propagación.
Tendremos dos ondas viajando en z+ y z- e impondremos condiciones de contorno al campo tangencial a las nuevas paredes:
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Resonadores La cavidad rectangular
Las condiciones de contorno en z=0,l imponen:
Es decir: la longitud de la cavidad debe ser un número entero de semilongitudes de onda.
Utilizando la relación de dispersión de la guía base se obtienen las frecuencias de resonancia de los distintos modos denotados como TEnmp ó TMnmp
y por tanto:
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Resonadores La cavidad rectangular
Nótese que el desarrollo anterior es válido tanto para modos TE como TM. Las expresiones de los campos se derivan ahora de las de la guía base
sustituyendo la dependencia con z, de tipo exponencial, por la forma seno o coseno, según corresponda.
Ejemplo: Modos TE10p.
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Resonadores La cavidad rectangular. Factor de calidad
Si consideramos únicamente pérdidas en las paredes es sencillo obtener el factor de calidad de un cavidad rectangular.
1.- Energía almacenada: En resonancia la energía almacenada en el campo eléctrico iguala a la del campo magnético (comprobar por integración de los campos).
donde el uso de la relación de dispersión y el valor de ZTE demuestra la igualdad
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Resonadores La cavidad rectangular. Factor de calidad
La potencia disipada en las paredes
y el factor de calidad es:
que en cavidades prácticas puede alcanzar valores de 1000-10000
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Resonadores La cavidad rectangular. Factor de calidad
Si existiera otra fuente de pérdidas (i.e.: dieléctricas), pueden calcularse éstas y añadirlas a las anteriores.
es decir:
Si la cavidad está acoplada al exterior también habrá pérdidas por los iris, que se añadirán al factor de calidad: se conoce como QL (factor de calidad con carga).
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Resonadores La cavidad cilíndrica
Tendremos dos ondas viajando en z+ y z- e impondremos condiciones de contorno al campo tangencial a las nuevas paredes:
Al igual que la cavidad rectangular, deriva de la guía cilíndrica por adición de dos cortocircuitos perpendiculares a la dirección de propagación.
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Resonadores La cavidad cilíndrica
Las condiciones de contorno en z=0,l imponen:
y por tanto:
Es decir: la longitud de la cavidad debe ser un número entero de semilongitudes de onda.
Utilizando la relación de dispersión de la guía base se obtienen las frecuencias de resonancia de los distintos modos denotados como TEnmp ó TMnmp
(Recordar que las relaciones de dispersión son diferentes para modos TE y TM)
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Resonadores La cavidad cilíndrica
Modos TE
El modo fundamental es el TE111
Modos TM
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Resonadores La cavidad cilíndrica
Ejemplo: Modos TEnmp
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Resonadores La cavidad cilíndrica. Factor de calidad
Considerando solo pérdidas en las paredes:
1.- Energía almacenada:
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Resonadores La cavidad cilíndrica. Factor de calidad
Considerando solo pérdidas en las paredes:
2.- Pérdidas en las paredes:
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Resonadores La cavidad cilíndrica. Factor de calidad
Factor de calidad debido a pérdidas en las paredes:
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Resonadores Factores de calidad
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Resonadores Cavidades cilíndricas: Carta modal
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Resonadores La respuesta de un resonador
La presencia de pérdidas da lugar a que un resonador dado responda a frecuencias en torno a la de resonancia.
Si consideramos un resonador que tenga almacenada una energía W0 y al que se corta bruscamente la alimentación, la potencia disipada
igualará al decrecimiento de energía almacenada.
y, por tanto el factor de calidad:
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Resonadores La respuesta de un resonador
Desde el punto de vista frecuencial se trata de un conjunto de oscilaciones en torno a la frecuencia de resonancia, de
importancia decreciente
y, por tanto cualquier magnitud de campo variará de la forma:
El decrecimiento de la energía es, así:
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Resonadores La respuesta de un resonador
de forma que cada componente espectral tendrá una amplitud:
Escribiendo A(t) en el dominio de la frecuencia:
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Resonadores La respuesta de un resonador
La potencia es, por tanto:
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Resonadores Perturbaciones en cavidades
Pequeños cambios en las propiedades de los medios o en la geometría de una cavidad conducen a pequeñas variaciones en sus características de resonancia.
Estas variaciones (aun siendo grandes) pueden afectar a pequeñas regiones (i.e.: introduciendo una muestra en la cavidad) o afectar a una región grande con un pequeño cambio de las propiedades (i.e.: rellenar toda la cavidad con un gas).
La teoría de perturbaciones permite obtener las características de resonancia sin necesidad de recalcular los campos en toda la cavidad.
Tomamos, para la cavidad sin perturbar, las soluciones correspondientes al modo de resonancia concreto como:
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Resonadores Perturbaciones en cavidades
La modificación en la cavidad varía ligeramente los campos y las frecuencias de resonancia:
donde la perturbación se representa por los términos adicionales E1, H1.
En ambos casos los campos han de cumplir las ecuaciones de Maxwell:
donde el vector D puede incluir corrientes de conducción a través de una permitividad compleja equivalente
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 147
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Resonadores Perturbaciones en cavidades
Operando adecuadamente se obtiene:
Integramos al volumen de la cavidad y, utilizando el teorema de la divergencia, habida cuenta de que:
debido a las condiciones de contorno metálicas en las paredes
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 148
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Resonadores Perturbaciones en cavidades
Finalmente obtenemos:
Expresión que es exacta si las paredes de la cavidad son perfectamente conductoras. Las aproximaciones que se realizan consisten en suponer:
a) La perturbación es pequeña en todo el volumen
o
b) La perturbación es grande en una región pequeña
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Resonadores Perturbaciones en cavidades
En ambos casos podemos despreciar las contribuciones de D1 y B1 en el denominador
Finalmente la expresión perturbativa resulta:
En general para un problema dado la dificultad residirá en determinar los campos adicionales debidos a la
perturbación: E1, D1, H1, B1.
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Ondas Electromagnéticas Guiadas 150
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Resonadores Perturbaciones en cavidades
Caso con pérdidas
Puede tratarse como una extensión de lo visto anteriormente introduciendo una “frecuencia compleja”
de resonancia.
La variación relativa de la “frecuencia compleja” es ahora:
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Resonadores Perturbaciones en cavidades
Ejemplo: Cavidad cilíndrica TM010 llena de un gas (εr≈1)
Campos sin perturbar:
Campos perturbados:
ya que no hay perturbación magnética
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Resonadores Perturbaciones en cavidades
y finalmente:
mientras que el cálculo exacto proporciona: