Download - Elektromagnetska polja – zadaci za vježbu
-
BojanTrkulja
Elektromagnetskapolja zadacizavjebu
Zagreb,2012
-
UDBENICISVEUILITAUZAGREBUMANUALIAUNIVERSITATISSTUDIORUMZAGRABIENSIS
-
BojanTrkulja
ElektromagnetskapoljazadacizavjebuISBN9789531841719Recenzenti:Prof.dr.sc.eljkotihProf.dr.sc.LiviounjiObjavljivanjeovogsveuilinogprirunikaodobrio jeSenatSveuilitauZagrebuodlukombr:380061/117122
Ovo djelo je dano na koritenje pod licencom Creative Commons Imenovanje-Nekomercijalno-Bez prerada 3.0 Hrvatska.
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
2
Sadraj1.Vektorskaanaliza.................................................................................................................................4
1.1Vektorskanotacijaialgebra..........................................................................................................4
1.2Koordinatnisustavi........................................................................................................................6
1.3Skalarnopolje................................................................................................................................7
1.4Vektorskopolje..............................................................................................................................7
1.5Nabla(Hamiltonov)operatoriLaplaceovoperator......................................................................8
1.6Integralniteoremi..........................................................................................................................8
1.7Vektorskeoperacijeukoordinatnimsustavima............................................................................8
1.8Zadacizavjebu...........................................................................................................................10
2.Statikoelektrinopolje....................................................................................................................14
2.1Osnovneveliinestatikogelektrinogpolja..............................................................................14
2.2Coulombovzakon........................................................................................................................14
2.3Jakostelektrinogpolja...............................................................................................................15
2.4Gaussovzakon.............................................................................................................................16
2.5ElektrinitokiodnosvektoraDiE..............................................................................................17
2.6Elektrinipotencijal,radienergijaustatikomelektrinompolju.............................................17
2.7Metodaodslikavanjanauzemljenojvodljivojplohi....................................................................20
2.8Uvjetinagranicidvamaterijalaustatikomelektrinompolju..................................................20
2.9Konvencijaooznaavanju...........................................................................................................21
2.10Rijeeniprimjeri.........................................................................................................................21
2.11Zadacizavjebu.........................................................................................................................30
3.Magnetostatika.................................................................................................................................42
3.1Osnovneveliinestatikogmagnetskogpolja.............................................................................42
3.2BiotSavartovzakon.....................................................................................................................42
3.3Ampereovzakon..........................................................................................................................44
3.4Magnetskitok..............................................................................................................................45
3.5Gaussovzakonumagnetskompolju...........................................................................................45
3.6Uvjetinagranicidvamagnetskamaterijala................................................................................46
3.7Magnetskikrugovi.......................................................................................................................46
3.8Vektorskimagnetskipotencijal...................................................................................................48
3.9Sileustatikommagnetskompolju.............................................................................................49
3.10Energijastatikogmagnetskogpolja.........................................................................................50
3.11Prorauninduktiviteta...............................................................................................................51
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
3
3.12Proraunmeuinduktiviteta.....................................................................................................51
3.13Zadacizavjebu.........................................................................................................................60
4.Elektromagnetizam...........................................................................................................................74
4.1Faradayevzakonelektromagnetskeindukcije............................................................................74
4.2Maxwellovejednadbeudiferencijalnomobliku.......................................................................75
4.3Maxwellovejednadbeuintegralnomobliku.............................................................................75
4.4Relacijegrae..............................................................................................................................76
4.5PoyntingovteoremiPoyntingovvektor......................................................................................76
4.6Jednadberavnogvalaurealnimdielektricimaivodiima.........................................................76
4.7Jednadberavnogvalausredstvimabezgubitaka.....................................................................78
4.8Zadacizavjebu...........................................................................................................................82
Popisliterature......................................................................................................................................93
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
4
1. Vektorskaanaliza
1.1 Vektorskanotacijaialgebra
Uokviruovezbirkeuvodisesljedeanotacija.Zavektore,veliinekojeosimiznosaimaju zadan i smjer, koristi se podebljani kurziv, npr. vektor A. Jedinini vektor,oznaava semalim slovoma, je bezdimenzionalna veliina koja slui za obiljeavanjesmjera vektora. Tako se primjerice Kartezijev koordinatni sustav karakterizirajedininimvektorimaaxusmjeruosix,ayusmjeruosiyiazusmjeruosiz.OpenitovektorAmoemouKartezijevomkoordinatnomsustavupisatiuobliku:
.
(1.1)VeliinavektoraAodreenajeizrazom:
| | , (1.2)ajedininivektorusmjeruvektoraAmoemoodreditiizrazom:
| |
(1.3)
Zbrajanjeioduzimanjevektoraizvodisepremajednadbi:
(1.4)Vrijede zakoni asocijativnosti, distributivnosti i komutativnosti u vektorskimoperacijama:
(1.5)
Pritomjekskalarnakonstanta.Skalarni produkt dva vektoraA iB je skalarna veliina, odreena veliinomvektora ikosinusommanjegkutaizmeunjih:
| || |cos , (1.6)
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
5
UKartezijevomkoordinatnomsustavuvrijedi: , (1.7)jer je skalarni produkt dva jedinina vektora u istom smjeru jednak , a urazliitimsmjerovima VektorskiproduktdvavektoraAiBjevektorskaveliina,odreenaveliinomvektoraisinusommanjegkutaizmeunjih: | || |sin , . (1.8)Pritomje jedininivektorusmjerenokomitonaravninukojurazapinjuvektoriAiB.UKartezijevomsustavukoristimozaizraunvektorskogproduktaizraz:
. (1.9)
Smjervektora moemoodreditipravilomdesneruke.Kaiprstdesnerukepostavimousmjervektora ,asrednjiprstu .Tadapalacpokazujesmjervektora ,premaslici1.1.
Slika1.1Pravilodesneruke
B
A
an
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
6
1.2 KoordinatnisustaviZaproblemekojisuusvojojgeometrijipravokutniuputnojekoristitivespomenuti
Kartezijevkoordinatnisustav.Meutim,problemizakojejegeometrijaosnosimetrina(cilindrina) ili centralno simetrina (sferna) bi rjeavanjem u Kartezijevom sustavupostalibespotrebnokompleksni.Utusvrhuuvodimodvanovakoordinatnasustava,cilindriniisferni.Ucilindrinom
je sustavu toka odreena sa skupom koordinata , , , a u sfernom sa skupomkoordinata , , .Kutovimoguimativrijednostiuintervalima:0 2 , 0 ,Definicijakoordinatazasvatrisustavaprikazanajeslikom1.2.
Slika1.2Prikazkoordinatnihsustava
Slika1.3DiferencijalnielementuKartezijevomkoordinatnomsustavu
Slika1.4Diferencijalnielementucilindrinomkoordinatnomsustavu sin
Slika1.5Diferencijalnielementusfernomkoordinatnomsustavu
dr
rd
z
x
y
z z
x
y y
xx
y
z
P(x,y,z)z
r
P , , P , ,
r
z
x
ydx
dydz
P
z
xy
P
dzrd
z
xy
drrsin()d
P
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
7
1.3SkalarnopoljeAkosvakojtokiprostorailidijelaprostoraPpridruimobrojanuvrijednost(skalar),
,takvopridruivanjenazivamoskalarnimpoljem.Primjerskalarnogpoljajepoljegustoe,temperature,elektrinogpotencijala(slika1.5).
Slika1.5ElektrinipotencijaluokolininabijenekugleradijusaR
1.4VektorskopoljeAkosvakojtokiprostoraPpridruimovektorA:
,timejedefiniranovektorskopolje.Primjerivektorskogpoljasupolje tekuinekojastruji (slika1.6),elektrinopolje imagnetskopolje(slika1.7).
Slika1.6PoljefluidaSlika1.7Poljepermanentnogmagneta
R
N
S
[V]
x[m]
y[m]
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
8
1.5Nabla(Hamiltonov)operatoriLaplaceovoperatorNabla operator je simboliki vektor koji se koristi kod prostornog diferenciranja, a njegovaupotrebapojednostavljujeraunanjeuvektorskojanalizi.Zaoperatoregradijenta,divergencijeirotacijezaskalarnufunkciju ivektorskufunkciju vrijedi:
(1.10)
Laplaceovoperatorjeskalarnikvadratnablaoperatora. (1.11)Laplaceov operator pridruuje skalarnim i vektorskim funkcijama sumu drugih parcijalnihderivacija.1.6IntegralniteoremiGaussovteorem:
(1.12)
VolumenVokruenjezatvorenomplohomSnakojojjedefinirananormalan.Stokesovteorem
(1.13)
PovrinaSobrubljenajezatvorenomkrivuljomcnakojojjedefinirandiferencijalnielementdl.1.7Vektorskeoperacijeukoordinatnimsustavima
Kartezijevkoordinatnisustav
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
BojanTypewritten Text
BojanTypewritten Text
BojanTypewritten Text
BojanTypewritten Text
BojanTypewritten Text
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
9
Cilindrinikoordinatnisustav
1
(1.18)
1 1
(1.19)
1 1
(1.20)
1 1
(1.21)
Sfernikoordinatnisustav
1 1
(1.22)
1 1 1
(1.23)
1 1 1
1
(1.24)
1 1 1
(1.25)
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
10
1.8Zadacizavjebu1.1 Dvasuradijvektorarir'zadanaslikom.OdreditevektorR=rr'ijedininivektor
aRusmjeruvektoraR.
Rj. 2 ; 23
16
16
1.2 ZatokuT(2,1,3)zadanuuKartezijevomkoordinatnomsustavuodredikoordinateucilindrinomisfernomkoordinatnomsustavu.Rj. 2,236; 0,464; 3 ; 3,742; 0,641; 0,464
1.3 Zazadanevektorskefunkcije 2 i odrediteutokiT(3;1;1):
a) ABb) A+Bc) d)
Rj.a) 7 b) 2 5 c) 5d) 7
1.4 Integracijom odredite povrinu S definiranu u sfernom koordinatnom sustavu s
1,5m; 0 2 ; .Rj.7,07m2
x
y
z
r
r'
R
(4,3,3)
(2,2,2)
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
11
1.5 Integracijom odredite u cilindrinom koordinatnom sustavu volumen V podrujadefiniranogs1m 3m; ; 1m 2m.Rj.6,28m3
1.6 Za zadane vektore 2 3 2 i 2 odredite projekciju
vektoraB na vektorA imanji kut izmeu vektora primjenom relacije za skalarniproduktvektoraAiB.Rj.0,485;101,42
1.7 Zavektoreizzadatka1.6odreditemanjikutizmeuvektoraAiBprimjenomizraza
zavektorskiprodukt.Rj.101,42(napomena:primjenomvektorskogproduktadobivajusedvarjeenja78,58 i 101,42 zbog svojstava funkcije sinus, od kojih je samo jedno tono.Primjenomskalarnogproduktakaou6.zadatkudobivasejednorjeenje.Rezultatjelakoprovjeritiskiciranjemvektora.)
1.8 Neka je vektor 2 1 . Odredite vektor u toki (7; 5; 1) i
njegovuprojekcijunavektor 2 3 2 .Rj. 7, 5, 1 7 6 ;
1.9 Odreditepovrinudijelavaljkasteplohe,odreenesradijusomr=3m,visinomh=2m
ikutem10 100.Rj.S=3m2
1.10 Za vektor 5 i vektor 4 odredite takav da je kut izmeu
vektoraAiBjednak45.Rj. 4
1.11 Odreditejedininivektorizmeutoaka(2;5;2)i(14;5;3).
Rj. 1.12 Zakojesuvrijednostiivektori:
2 2 4 i 2 paralelni?
Rj. 1; 1.13 Za koje su vrijednosti vektori 2 2 2 i 2
meusobnookomiti?Rj. 3
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
12
1.14 Neka je zadano skalarno polje . Odredite gradijent polja ,utoki(2;1;1).
Rj.1 1 1 1.15 Zadanojevektorskopolje 2 .Odreditejedininivektor utoki
(2;30;2)uKartezijevomsustavu.Rj.0,8 0,46 0,37
1.16 Zavektorskopoljeizzadatka1.15odreditepovrinuzakojuvrijedi| | 8.
Rj.r=1,3cilindrinaploha.1.17 U toki P prostora dva su vektora definirana u sfernom koordinatnom sustavu
jednadbama 2 3 5 i 1 5 3 . Odredite skalarnukomponentuvektoraBusmjeruvektoraA.Rj.5,19
1.18 Odreditevektorkoji jeutokiPokomitnaravninukojuodreujuvektoriA iB iz
zadatka1.17.Rj.0,914 0,057 0,4
1.19 Izrazite vektorsko polje u koordinatama cilindrinog
sustavautokiP 6, 60, 4 .Rj. 93 9 12
1.20 Unutarsfereradijusa0,2mnalazisenabojvolumnegustoe .Odredite
ukupninabojunutarsfere.Rj.Q=0,394C
1.21 Odreditegradijentpolja , , 2 6 11.
Rj. 2 6 6 1.22 Odreditegradijentpolja , , sin 4.
Rj. cos 1.23 Odreditegradijentpolja , , 2rcos 5 2.
Rj.2 cos 2 sin .
1.24 Odredite gradijent skalarnog polja , , 3 u toki (2; 1; 1) usmjeruvektora2 2 Rj.
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
13
1.25 Odredite linijski integral vektorskog polja , , poduiniodtokeA(0;1;2)doB(1;0;2).Rj.1,5
1.26 Odredite linijski integral vektorskog polja , , 2 2 2 po
krunomlukuodtokeA(1;0;1)doB(0;1;1).Sreditekrunoglukajeutoki(0;0;1).Rj.4
1.27 Odreditetokvektorskogpolja , , 4 2 2 krozjedininu
kocku0 , , 1.Rj.2
1.28 Odreditedivergencijuvektorskogpolja:
, , cos 3 sin 3 Rj.2 sin 3
1.29 Odreditedivergencijuvektorskogpolja , , 2 sin utokix=0,8.
Rj.1,371.30 Odrediterotorvektorskogpolja , , 3 .
Rj. 3 1.31 Odrediterotorvektorskogpolja , , 5 cos 2 .
Rj. 1.32 Odredite linijski integralvektorskogpolja , , 2 pozatvorenoj
krivuljiodreenojtokama(0;0;0),(1;0;0)i(0;1;0).Smjerobilaskadefiniranjeredoslijedomtoaka.Rj.
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
14
2.Statikoelektrinopolje
2.1OsnovneveliinestatikogelektrinogpoljaStatiko elektrino polje uvjetovano je postojanjem raspodjele mirujuih elektrinihnabojakaoizvorapoljauprostoru.U Tablici 2.1. nalazi se podsjetnik vanijih veliina u statikom elektrinom polju injihovihiznosaukolikojerijeokonstantama.
Oznaka Veliina Mjernajedinica Dielektrinostvakuuma 8,8541012 F/m Relativnadielektrinost 1
Q Elektrininaboj C Linijskagustoanaboja C/m
Povrinskagustoanaboja C/m2 Volumnagustoanaboja C/m3E Jakostelektrinogpolja V/mD Gustoaelektrinogtoka C/m2C Elektrinikapacitet F Elektrinipotencijal Ve Elektrinitok C
Tablica2.1.VanijeveliineustatikomelektrinompoljuSljedeejednadbeizakoniopisujustatikoelektrinopoljeuprostoru.2.2CoulombovzakonSila izmeu dva naboja proporcionalna je umnoku iznosa naboja, a obrnuto jeproporcionalnakvadratuudaljenostiizmeudvanaboja(slika2.1).
Slika2.1Coulombovzakon
Q1 Q2
R12
F12aR12
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
15
SilakojomnabojQ1djelujenanabojQ2odreenajeuvakuumujednadbom:
4
(2.1)
Pritomje jedininivektorusmjerenodnabojaQ1premanabojuQ2.2.3JakostelektrinogpoljaJakostelektrinogpoljautokiprostorajednakajesilinajedininipozitivninaboj:
lim
(2.2)
Zatokastinabojvrijedi:
4
(2.3)
Pritom jeRudaljenost odnabojado tokeukojoj se raunapolje, dok je jedininivektorusmjerenodizvorapolja,naboja,dotokeukojojseraunapolje.Vrijedi princip superpozicije za statiko elektrino polje u linearnim, izotropnim ihomogenimsredstvima:
4
(2.4)
Elektrinopoljevolumnerazdiobenaboja(slika2.2)raunasenasljedeinain:
Slika2.2Elektrinopoljevolumneraspodjelenaboja
ElektrinopoljediferencijalnogdijelanabojadQje:
4
Uz elektrinopoljevolumneraspodjelenabojaje:
1
4
(2.5)
R
dE
dQ
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
16
Analognozaplonuraspodjelunabojakoristisezaizraunelektrinogpoljaizraz:
1
4
(2.6)
Zalinijskuraspodjelunabojaseelektrinopoljeraunaprema:
1
4
(2.7)
2.4GaussovzakonTokvektoragustoeelektrinogtokaDkrozbilokojuzatvorenuplohuSuslobodnomprostorujednakjenabojukojisenalaziunutarzatvoreneploheS.UintegralnojformulacijiGaussovsezakonmoezapisatiuobliku:
,
(2.8)
Vektor jejedininivektornormalenaplohuS.UdiferencijalnomoblikuGaussovzakonglasi:
. (2.9)KoristeiGaussovintegralniteoremzavektorskopoljeA(jednadba1.12):
uz uvjet neprekidnosti A, te postojanja i neprekidnosti i prvih derivacija vektorskogpoljaAmoemoGaussovzakonformuliratiiuobliku:
(2.10)
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
17
2.5ElektrinitokiodnosvektoraDiETokvektoraDimaizvorupozitivnomnabojuQ1,aponorunegativnomnabojuQ2(slika2.3). Smjer silnica elektrinog polja je od pozitivnog prema negativnom naboju.Zatvorenekrivuljeuokolininabojanaslici2.3oznaavajuekvipotencijalneplohe.
Slika2.3SilniceiekvipotencijalneplohezasustavdvajutokastihnabojaTokevektoragustoeelektrinogtokakroznekuplohuSmoeseizraunatiizrazom:
.
(2.11)
Slika2.4TokedobivaseintegracijomokomitekomponentevektoraDnaplohuS
JakostelektrinogpoljaEivektorgustoeelektrinogtokaDulinearnom,izotropnomihomogenom(LIH)sredstvupermitivnostipovezanisuizrazima:
(2.12)
2.6Elektrinipotencijal,radienergijaustatikomelektrinompoljuNeka se tokasti naboj q nalazi u prostoru u kojem postoji elektrino polje jakostiE.Tadaelektrinopoljedjelujenanabojqsilomiznosa:
, (2.13)kaonaslici2.5.
D
Q
nS
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
18
Slika2.5Tokastinabojuvanjskomelektrinompolju
NabojuravnoteidrivanjskasilaFvjednakogiznosakaoiFe,asuprotnogsmjera.
Diferencijalniradvanjskesilekojijepotrebnouloitiupomicanjenabojazaudaljenostdljednakje:
Statiko elektrino polje je konzervativno polje. Integral neovisan je o putuintegracije,krivuljic.Iztogslijedidajeintegraljakostielektrinogpoljapobilokojojzatvorenojkonturi(slika2.6)aibjednaknuli.
0 (2.14)
Slika2.6Konzervativnoststatikogelektrinogpolja
ElektrinipotencijaltokastognabojaQ,utokiTublizininabojajeradkojijepotrebnouloitidasejedininipozitivninabojdovedeizbeskonanostiuT.
4 41 1
4
Potencijalprostorneraspodjelenaboja(Slika2.7)utokiTodreenjejednadbom:
4
(2.15)
Fv Fe
Eq
T1T2
a
b
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
19
Slika2.7Potencijalprostorneraspodjelenaboja
JakostelektrinogpoljaEiskalarnipotencijalpovezanisujednadbom: (2.16) Elektrinopolje jednako jenegativnomgradijentu elektrinogpotencijala, toznaidasmjerelektrinogpoljaodgovarasmjeruopadanjaelektrinogpotencijala.Energija statikog elektrinog polja skupine tokastih naboja moe se odrediti izjednadbe:
12 (2.17)
Pritom oznaavapotencijalsvihostalihnabojanamjestunabojai.Ukolikojerijeoprostornojdistribucijinabojaenergijaseraunaintegralom:
12
(2.18)
EnergijuizraenuprekovektoraEiDraunamouLIHsredstvupremaizrazima:
12
12
12
(2.19)
Unelinearnomsredstvu:
12 (2.20)
Rd
dQ
T
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
20
2.7MetodaodslikavanjanauzemljenojvodljivojplohiProblemekojiukljuujutokastenaboje,linijske,ploneilivolumneraspodjelenabojaublizini uzemljenih vodljivih ploha mogue je rijeiti primjenom metode odslikavanja(slika2.8).
Slika2.8Metodaodslikavanjazatokastinaboj
Sustav koji ine tokasti naboj Q1 i uzemljena ravnina =0 (slika 2.8 a), moe sepojednostavitikakojeprikazanonaslici2.8b)uvoenjemodslikanognabojaQ'2kojimje nadomjetena ravnina =0. Iznos odslikanog naboja Q'2 na uzemljenoj ravnini ustatikom elektrinom polju jednak je iznosu originalnog naboja Q1, a suprotnog jepredznaka.
Odslikani naboj nalazi se na jednakoj udaljenosti d od ravnine odslikavanja kao ioriginalni naboj. Problem raunanja polja u okolini originalnog naboja Q1 (lijevipoluprostor na slici 2.8 a) moemo jednostavno rijeiti superpozicijom doprinosaoriginalnogiodslikanognaboja.2.8UvjetinagranicidvamaterijalaustatikomelektrinompoljuNagranicidvajumaterijalarazliitihsvojstava(slika2.9)zakomponentevektorajakostielektrinogpoljaigustoeelektrinogtokavrijedi:Tangencijalnekomponentejakostielektrinogpoljasujednakeuobasredstva:
(2.21)Komponenta vektora gustoe elektrinog toka D okomita na granicu na granici semijenjazaiznosgustoeslobodnognabojanagranici.
(2.22)
=0a) b)
d d d'
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
21
Slika2.9Uvjetinagranici2.9Konvencijaooznaavanjur radijvektortokeukojojraunamopoljer' radijvektordiferencijalnogelementaizvoraR vektorudaljenostitokepromatranjaroddiferencijalnogelementaizvorar'takoda
vrijediR=rr'2.10RijeeniprimjeriPrimjer2.1Odrediteelektrinopoljetapaduljine1mpremaslici,nabijenoglinijskim
nabojemgustoe1nC/mutokiT(r=0,25m;z=0,25m).
Slika2.10Poljeuokolininabijenogtapa
Radi jednostavnosti u raunukoristimo cilindrini koordinatni sustav (r; ;z), jer je itapcilindrinegeometrije.NekajeLduljinatapa.Ucilindrinomkoordinatnomsustavuradijvektordiferencijalnogelementaizvoraje:
,radijvektortokeukojojraunamopoljeje:
1
2
n12
dz'z'
R
dE
z
r
T(r,,z)
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
22
,ivrijedi: ,
| | ,
,
Elektrinopoljeraunamopremaizrazu:
14
14
,
,
Sreivanjemprethodnogizrazadobivamoposmjerovima:
4 ,
,
4
,
,
Konano:
42
2
2
21m, 0,25m, 0,25m, 1 nCm 59,53
Vm
42 2
1m, 0,25m, 0,25m, 1 nCm 14,05Vm
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
23
Primjer2.2Kruniprsten zanemarivogpoprenogpresjeka, radijusa2m,prema slici,nabijen je nabojem linijske gustoe =1nC/m. Odredite jakost elektrinog polja utokiT(0;1m)naosiprstena.
Slika2.11.Kruniprstennabijennabojemgustoe
Radijvektordiferencijalnogelementaizvoraje:,
Radijvektortokeukojojraunamopoljeje:,
ivrijedi: ,
| | ,
,
Elektrinopoljeje:1
41
4
RastavimolielektrinopoljepokomponentamanaEriEz:
4 0
jerjenpr.pretvorbomuKartezijevkoordinatnisustavevidentno(slika2.12):
cos sin 0
T(0;z)z
R
r0 d
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
24
Slika2.12.Rastavljanjejedininogvektoraarnaaxiay
Integralisinusneikosinusnefunkcijeuintervaluargumenta[0,2]jednakjenuli.Jakostelektrinogpoljauaksijalnomjesmjeru:
4 2 2m, 1m, 1nCm
10,1 Vm
Primjer2.3Krunidiskradijusa1mpremaslicinabijenjenabojempovrinskegustoe=2 .OdreditejakostelektrinogpoljautokiT(0;2m)naosiprstena.
Slika2.12.Disknabijennabojemgustoe
Disk se sastoji od diferencijalnih prstena debljine dr'. Elektrino polje na osi prstenarijeenojeuPrimjeru2.2ipostojisamouaksijalnomsmjeru,pajerezultat:
2
potrebno integrirati po radijusu diska kako bi se izraunalo ukupno elektrino poljediska.Gustoanabojadiojepovrinskegustoenabojakojisenalazinaprstenudebljinedr.
x
y
ar
cos()
sin()
T(0;z)z
R
r0
r' dr'
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
25
Elektrinopoljediskaje:
2 21
1m, 2 nCm , z 2m 11,9Vm
Primjer2.4Odredite jakostelektrinogpoljauokolinisfereradijusaRunutarkojesenalazinabojQjednolikorasporeenpovolumenu.PrimjenomGaussovogzakonamoeserijeitiovakavproblem:
ZaGaussovuplohuiproblempremaslici2.13vrijedi: ploharadijusarokruujeukupannabojQusferiradijusaR, problem je centralno simetrian i jakost elektrinog polja E ima iskljuivo
radijalansmjer, iznosjakostielektrinogpoljajejednakusvakojtokiGaussoveploheradijusar.
Slika2.13NabojunutarsfereradijusaR
Vrijedi:
sin 4
4
4
r
R
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
26
Poljeizvansfereidentinojesituacijiukojojjecijelinabojkoncentriranusreditusfere,daklejednakojekaousluajutokastognabojaistogiznosaQusreditusfere.Primjer2.5 Unutar dugakog cilindra radijusaR nalazi se naboj prostorne gustoe
koja se s udaljenosti od osi cilindra mijenja po zakonu , pri emu je kkonstanta.Odreditejakostelektrinogpoljaunutarcilindra.
Gaussovaploharadijusarprikazana jenaslici2.14crtkanomlinijom.NabojQ'unutarGaussoveploheje:
KakobismoodredilijakostelektrinogpoljaunutarcilindrapotrebnojeizraunatinabojQ'. Integracijom funkcije gustoe naboja po volumenu odreenomGaussovomplohomdobijeseQ':
2 3
Slika2.14NabojvolumnegustoeunutarcilindraradijusaR
Jakost elektrinog polja zbog osne simetrije ima samo radijalni smjer i jednaka je poiznosuusvimtokamanaudaljenostirodosi:
2
2
2 32 3
3
r
R
l
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
27
Primjer2.6OdreditekapacitetdvijukoncentrinihsfernihljuskiradijusaR1iR2.Neka jenaunutranjoj ljuscinaboj+Q,anavanjskojnabojQ. Jakostelektrinogpoljaizmeudvijuljuskijednakajekaozatokastinaboj:
4
Dabismoodredilikapacitetpotrebnojeodreditinaponizmeudvijuljuski:
41 4
1 1
Konanokapacitettrebaodreditikoritenjemizraza:41 1
Primjer2.7DvasetokastanabojaQ1=1nCiQ2=2nCnalazeutokamaT1(1m;0;2m)iT2(2m;0;1m) iznaduzemljenevodljiveplohepostavljeneuravninuz=0,premaslici.Odrediteomjerpotencijala utokamaA(2m;3m;5m)iB(3m;0;0,5m).
Slika2.15Odslikavanjetokastihnaboja
NabojiQ1iQ2sepremaslici2.15odslikavajuuQ1'iQ2'kojisenalazenaistojudaljenostiodravninez=0isuprotnogsupredznaka:Q1'(1m;0;2m)=1nC,Q2'(2m;0;1m)=2nC,
Q1
Q2
=0x
z
Q1'Q2'
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
28
UkupnipotencijalutokamaAiBzbrojjedoprinosaoriginalnihiodslikanihnaboja.RadijvektorinabojaitoakaAiBsu:
2 2
2 2
2 3 5 3 0,5
Potencijal toke A moe se dobiti koristei princip superpozicije i izraz za potencijaltokastognaboja :
14 1,81V
PotencijaltokeBje:1
4 6,89V
Omjerpotencijalaje:
0,26
Primjer2.8OdreditejakostelektrinogpoljautokiAzageometrijuizPrimjera2.7.Elektrinopoljeraunamoprema:
4 4
KoristeiizrazezaradijvektoreizPrimjera2.7vrijedi:
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
29
14
0,09 0,52 0,40 Vm
0,66 Vm
Primjer2.9Nekajeuprostoruzadanoelektrinopolje:
Vm
Odrediteradelektrinesilekojiseobavipripomicanjujedininogpozitivnognabojaiztoke(0;0;0)dotoke(1m;1m;0)poparabolinojputanji , 0.Diferencijalnidioputadljednakje:
2
Potrebnojeodtoke(0;0;0)dotoke(1m;1m;0)izraunatikrivuljniintegral:
Vrijedi: 2 2 2 2
Radpripremjetanjunabojaiztoke 0;0;0 utoku(1m;1m;0)je:
2 , ,
, ,
, ,
, ,24
8 10 J
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
30
Primjer 2.10 Neka se u sreditu sferne dielektrine ljuske unutranjeg radijusa R1 ivanjskogradijusaR2nalazitokastinabojiznosaq=3nC.OdreditevektorpolarizacijePudielektrikurelativnedielektrinosti 2,2.
Slika2.16Tokastinabojunutardielektrineljuske
Elektrinapolarizacijaudielektrikudobivaseizjednadbe:
Jakost elektrinog polja E i vektor gustoe elektrinog toka D u dielektriku su zacentralnosimetrinisluajodreeniuprimjeru2.4:
4 ,
4 4 4 11
1,3 10.
2.11Zadacizavjebu
2.1 Dvabeskonanodugalinijskanabojasjednolikoraspodijeljenomgustoomiznosa2nC/m lee u ravnini x=0 paralelno s osi z, na lokacijama y1=+3m i y2=3m.Odreditejakostelektrinogpoljatoki(5m;0;10m).Rj.10,57V/m
2.2 Nabojplonegustoe=5104r1[C/m2]rasporeenjenakrunomdiskuradijusa5m.Odreditejakostelektrinogpoljanaosidiskautokiudaljenoj4modravninenakojojleidisk.Rj.5,51MV/m
R1
R2
rq
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
31
2.3 Odredite elektrini tok kroz sferu radijusa 3m, ako ona obuhvaa naboj gustoe=5sin2()r2[C/m3],kojisenalaziizmeudvijekoncentrinesfereradijusaR1=1miR2=2m.Rj.31,42C
2.4 Ukupni naboj 30nC rasporeen je jednoliko po disku radijusa 1m. Odredite
potencijalutokinaosidiska2mudaljenojodravninediska.Rj.127,03V
2.5 Natokastinabojiznosaq1=300nC,kojisenalaziutoki(1m;1m;3m),djelujesilaF=8ax8ay4az[mN],uzrokovananabojemq2utoki(3m;3m;2m).Odrediteq2.Rj.40,05C
2.6 Naboj jednolikegustoe0,3nC/m2rasporeen jeporavninizadanoj jednadbom2x3y+z=6[m].Odreditexkomponentujakostielektrinogpoljauishoditu.Rj.9,05V/m
2.7 ZazadanivektorgustoeelektrinogtokaD=10x3axCm2odrediteelektrinitok
kojiprolazipovrinom2m2okomitomnaxos,nax=2m.Rj.160C
2.8 UcilindrinomkoordinatnomsustavujakostelektrinogpoljazadanajeuoblikuE=5r2 ar V/m za 0 < r 2m i E=2.5r1 ar V/m za r > 2m. Odredite razlikupotencijalaUABizmeutoakaA(1m;0;0)iB(4m;0;0),priemujetokazadanauobliku(r;;z).Rj.4,23V
2.9 Osamjednakihnabojaiznosa100nCsvaki,postavljenojenakrunicuradijusa5mtako da su svimeusobno jednako udaljeni. Odredite silu na naboj iznosa 20nC,smjetenutokinaosikrunice,kojijeodravninekruniceudaljen2m.Rj.1,84N
2.10 Linijskinabojgustoe5nCm1leinaxosi.Odrediteykomponentuvektoragustoe
elektrinogtokautoki(3m;3m;1m).Rj.0,239nCm2
2.11 etirijednakanabojaiznosaQ=20nCsvaki,nalazeseutokama(4m;0;0),(4m;0;0), (0;4m;0) i (0; 4m;0).Odredite iznossilenanaboj iznosa100nCsmjetenutoki(0;0;3m).Rj.1,73N
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
32
2.12 Nabojlinijskegustoe30nC/mrasporeenjepozosiodz=8mdoiodz=8mdo+.Odreditejakostelektrinogpoljautoki(3m;0;0).Rj.11,45V/m
2.13 Nabojlinijskegustoe1nCm1jejednolikorasporeenporubovimakvadratakoji
jezadanvrhovima(3m;3m;0),(3m;3m;0),(3m;3m;0),(3m;3m;0).Odreditepotencijalutoki(0;0;5m).Rj.35,53V
2.14 Nabojplonegustoe=109cos2C/m2rasporeenjepokrunomdiskuradijusa
4m.Odreditejakostelektrinogpoljautokinaosidiskaudaljenojoddiska2m.
Rj.15,61V/m2.15 UsfernomkoordinatnomsustavupostojipoljeE=16r2arV/m.OdreditenaponUAB
izmeutoakaA(2m;;/2)iB(4m;0;),priemusutokezadanekao(r;;).Rj.4V
2.16 Trinaboja iznosa10nCsvakinalazeseu tokama(0;0;0), (1m;0;0) i (1m;1m;1m).Odrediteiznossilenanabojq2=20nCsmjetenutoki(0;0;1m).Rj.2,82N
2.17 Linijski naboj jednoliko je rasporeen po pravcu i lei na x osi Kartezijevog
koordinatnog sustava.Odreditepostotnidioelektrinog tokakojiprolazidijelomravniney=6mza1mz1m.Rj.5,26%
2.18 Tokastinabojiznosa18nCsmjetenjeuishoditesfernogkoordinatnogsustava.
Odreditetokkojiprolazipovrinom4m2koncentrinesfereradijusa3m.Rj.2nC
2.19 Naboj plone gustoe =3(x2+y2+1)3/2 [nC/m2] rasporeen je po pravokutniku
2x2,2y2[m]uravniniz=0.Odreditejakostelektrinogpoljautoki(0;0;1m).Rj.431,41V/m
2.20 Zazadanufunkciju linijskegustoenaboja(x,y,z)=x+3yz [C/m],odrediteukupni
nabojnaduiniod(2m;1m;2m)do(4m;4m;5m).Rj.32,8C
2.21 Linijskinabojgustoe0,1C/mparalelanjesosiziprolazitokom(3m;3m;0).
Odreditejakostelektrinogpoljautoki(3m,0,5m).Rj.240ax+120ayV/m
-
ElektromagnetskapoljaZadacizavjebu
33
2.22 Ravnina y=2m nabijena je nabojem povrinske gustoe (1/(100)) [C/m2].Odreditejakostelektrinogpoljauprostoru.Rj.E=180ayV/m;y>2mE=180ayV/m;yRodsfere,priemujeRradijussfere.Rj. 2
2.32 Odrediteraspodjelupotencijalazasferuizzadatka2.31.
Rj.2
2.33 Beskonano dugaki cilindar radijusa 1m ispunjen je nabojem gustoe . Ako je
potencijal na povrini cilindra 0 = 1V, odredite raspodjelu potencijala unutarcilindra.Rj. 1
41 2
2.34 Naboj linijske gustoe 5 C/m lei na z osi cilindrinog koordinatnog sustava.
OdrediterazlikupotencijalaizmeutoakaA(1m;;4m)iB(3m;;4m). Rj.UBA=98,74kV2.35 Za zadanu funkciju potencijala V u slobodnom prostoru odredite
energijupohranjenuukocki0 , , 1m. Rj. J2.36 ElektrinopoljeizmeudvasuosnacilindrinavodiaradijusaR1=1cmiR2=3cm
zadano je izrazom 105 Vm . Odredite energiju pohranjenu u 1m duinevodia.
Rj.0,3J2.37 Uprostorujejakostelektrinogpoljazadanaucilindrinomkoordinatnomsustavu
jednadbom .Odrediteenergijupohranjenuuvolumenuodreenoms0 , 0 3 .
Rj.1,24 10 32.38 Zazadanu funkcijupotencijala 3 2 4 2 V uslobodnomprostoruodredite
energijupohranjenuudijeluprostora1 , , 3m. Rj.15,3nJ2.39 Uz zadano elektrino polje 2 5 [V/m] u materijalu (1),
dielektrinosti 1 2,kojisenalaziuprostoruz>0,odredite jakostelektrinogpoljaumaterijalu2,uprostoruz N
82.23607, 0.463648, 3.
:1
2H-Bz Yy + By ZzL,
1
2HBz Xx - Bx ZzL,
1
2H-By Xx + Bx YyL>
0
0
8Bx, By, Bz0.5*L1
2*Pi*rIntegrate@J@rD*r, 8r, 0, r0
-
4.Elektromagnetizam
Primjer4.2
ClearAll@"Global`*"D
B@x_, y_, t_D := 0.1*SinBp*x
2F*CosB
p*y
2F*Sin@377* tD
H*Odredite integral f= BS*LIntegrate@B@x, y, tD, 8x, 0, 1
-
Zadatak4.1
ClearAll@"Global`*"DEE@x_D := 2 x*1000;e = 8.854*10^-12;
H*Gustoa energije w=0.5 e*E^2*Lw = 0.5*e*EE@4D^20.000283328
Zadatak4.2
ClearAll@"Global`*"D
k = 5;
e0 = 8.854*10^-12;
er = 1.5;
w =k
e0 *er
3.7647767487388`*^11w
2*Pi
3.764781011
3.764781011
5.991831010
Zadatak4.9
ClearAll@"Global`*"D
EE@z_, t_D := 810*Sin@w* t - b*zD, -15*Sin@w* t - b*zD, 0