Elektrotechnika 1. előadás
Összeállította: Langer Ingrid
adjunktus
Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Kar
Mechatronikai és Autechnikai Intézet
A tárgy tematikája
Egyen- és váltakozó áramú villamos hálózatok
számítása
Egyen- és váltakozó áramú villamos gépek
Ajánlott irodalom:
Uray Vilmos – Szabó Szilárd: Elektrotechnika
(Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp.)
Kerékgyártó László: Elektrotechnika
(Nemzeti Tankönyvkiadó-Tankönyvmester Kiadó, Bp.)
Kerékgyártó László: Elektrotechnika feladatgyüjtemény
(Nemzeti Tankönyvkiadó-Tankönyvmester Kiadó, Bp.)
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Félévi követelmények:
Aláírás megszerzése:
– 2 zárthelyi dolgozat megírása legalább elégséges (40 %) összesített eredménnyel a gyakorlatok anyagából
Vizsgajegy megszerzése:
– Írásbeli vizsga megírása az elméleti anyagból, min. 40%-ra. A vizsgajegy a zárthelyik és a vizsga eredményéből adódik.
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Az elektrotechnika kapcsolata más
tárgyakkal:
Elektrotechnika
áramkörök, hálózat-számítás
egy- és háromfázisú rendszer
Transzformátor
Villamos gépek
Villamos biztonságtechnika
Matematika
•Komplex számok
• Trigonometrikus függvények
•Integrálás, deriválás
Fizika
•Villamosság
•Mágnesesség
Elektronika
Digitális rendszerek
Robottechnika
Intelligens érzékelők
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Villamos mennyiségek és mértékegységek
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Elnevezés Pillanatérték Egyenáram Váltakozó
áram átlagérték
Mérték-egység
Töltés q Q Q [C], Coulomb
Ellenállás r () R R [], Ohm
Vezető-képesség
g () G G [S], Siemens
Feszültség u U U [V], Volt
Áramerősség i I I [A],
Ampere
Kapacitás c C C [F], Farad
Induktivitás l L L [H], Henri
Frekvencia f f f [Hz], Herz
Elektromos áram
Pozitív és negatív töltések
+
Elektron többlet
+
Elektron hiány
Pozitiv ION Negatív ION
Az elektron töltése: e=-1,602.10-19[C]
H2SO4+H2O
-
-
Cu Zn
+ -
+
+
R
I
U
;; As
C
dt
dQi
Elektromos áram: töltéshordozók sokaságának rendezett mozgása
Áramerősség: a vezeték keresztmetszetén időegység alatt átáramló töltésmennyiség
Galván elem
Source
Light (Load)
Current
voltage
Elektromos áramkör
Áramsűrűség (J)
L A
N db elektron
2
sebesség)- völtése,elektron t -(e
;
;
m
A
A
iJ
L
veNi
Elektromos feszültség
Elektromos feszültség A és B pont között UAB:
Az elektromos tér munkája, amely egységnyi töltés A-ból B pontban juttatásához szükséges
;; 222111 dsEQdsFWdsEQdsFW
-
s1 s2
W1
W1 W2
Q
A mező bármely pontjának egy rögzített ponthoz viszonyított feszültsége a mező A pontbeli potenciálja UA
Két pont közötti feszültség a két pont potenciáljának a különbsége:
VUUU BAAB ;
W2 A B1 B2
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Elektromos ellenállás – Ohm törvénye
R I
U
A fémes vezetékek a benne lévő töltések mozgásával szemben mutatott viselkedését elektromos ellenállásnak nevezzük. Az áramerősség a vezeték két rögzített pontja között mérhető feszültséggel arányos, ez az arányossági tényező jellemzi a vezetékszakasz árammal szemben kifejtett ellenállását:
;A
lR
Siemens [S], 1
U
I
RG
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
ABAB RállI
U .
A keresztmetszetű, l hosszúságú vezeték ellenállása:
Ahol a vezeték anyagára jelemző ún. fajlagos ellenállás
Az ellenállás reciproka a vezetőképesség :
Villamos hálózatok felépítése
Az elemek tulajdonságai: 1. Koncentrált paraméterűek (kiterjedésük pontszerű)
2. Lineárisak (értékük feszültségtől és áramtól függetlenül állandó)
3. Invariánsak (időben állandóak)
Aktív elemek (generátorok) 1. Ideális feszültséggenerátor
u [V]
2. Ideális áramgenerátor
i [A]
Passzív elemek (fogyasztók) 1. Ellenállás R [Ω]
u=R·i
2. Kondenzátor C [F]
3. Tekercs L [H]
+
-
+
-
dt)t(iC
u 1
dt
)t(diLu
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Aktív elemek eredője:
+ - + -
u=u1+u2
u1 u2
• Soros kapcsolás • Párhuzamos kapcsolás
+ -
+ -
i=i1+i2
i2
i1
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Passzív elemek eredője
• Soros kapcsolás
Re= R1+ R2+.... +Rn
Le= L1+ L2+.... +Ln
ne
ne
RRRR
RRRR
...
1...
111
21
21
ne CCCC
1...
111
21
R1 R2 Rn R1 R2 Rn Re = Re =
...
1...
111
321
21
CCCC
LLLL
e
ne
• Párhuzamos kapcsolás
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Villamos hálózatok: Több generátort és fogyasztót tartalmazó elágazó
áramkörök
Passzív hálózat: csak fogyasztókat tartalmaz
Aktív hálózat: generátor(oka)t és fogyasztókat tartalmaz
Pólusok: A villamos áramkörök vagy részáramkörök azon csatlakozópontjai,
amelyekhez újabb áramköri elemet vagy részáramkört csatlakoztathatunk
Kétpólus: olyan részáramkör, amely két csatlakozóval kapcsolódhat az
áramkör többi részéhez
Kétpólusok
Négypólus: olyan részáramkör, amely négy csatlakozóval kapcsolódhat az
áramkör többi részéhez
Vezetékpár mint négypólus
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Kirchhoff törvények
1. Csomóponti törvény
Egy villamos hálózat csomópontjába befolyó áramok összege megegyezik a
csomópontból kifolyó áramok összegével.
54231 IIIII
kibe II
I1
I2
I3
I4
I5
2. Hurok törvény
Egy villamos hálózatban bármely zárt hurokban a feszültségek előjeles összege nulla.
R1
R3
R2
R4
I1
I2 UR2
UR3
UR1
Ug1
I3 I4 UR4
Ug2
0UUUUUU 4R3R2R2g1g1R
0U
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Delta-csillag átalakítás Nem minden kapcsolás bontható fel soros és párhuzamos kapcsolások
sorozatára. Ilyen esetben segítséget jelenthet a delta-csillag vagy a csillag-delta átalakítás: a hálózat egy részét kicseréljük más ellenállás-kombinációra oly módon, hogy a hálózat többi részében semmi változás ne történjen. Ezt a hálózat impedanciahű átalakításának nevezzük.
)(
)(
)(
23121331
13122332
13231221
RRRRR
RRRRR
RRRRR
R23
R1
1.
2. 3.
1.
2. 3.
(1)
(2)
(3)
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
(1)+(3)- (2)
231312
121323
231312
231213
231312
2313121
)()()(2
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
RRRR
,RRR
RRR
231312
13121
,
RRR
RRR
231312
23122
231312
23133
RRR
RRR
)RR(RRR
)RR(RRR
)RR(RRR
23121331
13122332
13231221
(1)
(2)
(3)
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Csillag-delta átalakítás
R23
R1
1.
3. 2.
1.
3. 2.
R
1G
)GG(GGG
)GG(GGG
)GG(GGG
2132313
3122312
3211312
(1)
(2)
(3)
G [S] vezetőképesség, konduktancia
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
321
213
321
312
321
32112
GGG
)G(GG
GGG
)G(GG
GGG
)G(GGG2
12
3
213132
21321
213132
12
2132112
321
2112
RR
RRRRRR
RR
1
RRR
RRRRRR
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
GGG
GGG
,R
RRRRR
3
212112
(1)+(2)-(3)
,R
RRRRR
2
313113
1
323223R
RRRRR
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Nevezetes passzív hálózatok
,R
R
U
U
2
1
2
1
A feszültségosztás törvénye
U
U23
R1
R2
R3
I
U1=IR1
U2=IR2
U3=IR3
Bármely két feszültség aránya megegyezik a hozzájuk tartozó fogyasztók ellenállásainak arányával, más szóval a soros ellenálláslánc a rákapcsolt feszültséget az ellenállások arányában leosztotta.
,R
R
U
U
3
2
3
2 32
2
23
2
RR
R
U
U
Terheletlen feszültségosztó
R1
R2 Ube U=IR2 Uki
21
2beki
RR
RUU
Ube
R1
R2 Rt Uki
I Terhelt feszültségosztó I
)RR(R
RRUU
t21
t2beki
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Az áramosztás törvénye
1
2
2
1
R
R
I
I
R1 R2
I
I1 I2
Egy áramelágazás párhuzamos ágaiban folyó áramok fordítottan arányosak az ágak ellenállásaival.
2211 RIRIU
1
212
1
222
1
2221
R
RRI1
R
RII
R
RIIII
21
12
RR
RII
21
21
RR
RII
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Általános esetben, n párhuzamos ágra:
R1 R2
I
I1 I2
R3
I3
Rn
In
𝑈 = 𝐼1 ∙ 𝑅1 = 𝐼2 ∙ 𝑅2=…=𝐼𝑛 ∙ 𝑅𝑛=𝐼 ∙ 𝑅𝑒
𝐼𝑛 = 𝐼 ∙𝑅𝑒
𝑅𝑛
𝑅𝑒 =1
1𝑅1
+1
𝑅2+
1𝑅3
+ ⋯ +1
𝑅𝑛
=
=𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙. .∙ 𝑅𝑛
𝑅2 ∙ 𝑅3 ∙. . 𝑅𝑛 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 ∙. .∙ 𝑅𝑛 +𝑅1∙ 𝑅2 ∙. . 𝑅𝑛−1
ahol
Wheatstone-híd
43
3
21
1 31 és RR
R
U
U
RR
R
U
U
Be
R
Be
R
Ube Uki
R1
R2
R3
R4
Ube
R1 R3
R2 R4
Uki A B
A villamos méréstechnika egyik leggyakrabban alkalmazott mérőáramköre. Két párhuzamosan kapcsolt feszültségosztóból áll. Ha a kimeneti feszültség nulla, kiegyenlített hídról beszélünk. Ez akkor áll fenn, ha A és B pont azonos potenciálon van, vagyis mindkét feszültségosztó azonos mértékben osztja le Ube bemeneti feszültséget:
3241 RRRR 43
3
21
1
RR
R
RR
R
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
UR1 UR3 UR1 UR3
ℎ𝑎 𝑈𝑘𝑖 = 0, akkor 𝑈𝑅1 = 𝑈𝑅3
A B
Aktív hálózatok
tb
g
RR
UI
b
t
g
gb
tb
g
gbgk
R
R1
UUR
RR
UURIUU
A feszültséggenerátorok kapcsain mérhető Uk kapocsfeszültség mindig kisebb, mint a generátor Ug forrásfeszültsége, ha a terhelőárm I>0. A feszültséggenerátorokban fellépő veszteségeket Rb belső ellenállással vesszük figyelembe. Így a valóságos feszültséggenerátorokat elvileg két részre oszthatjuk:
• Ug forrásfeszültségű és Rb=0 belső ellenállású ideális feszültséggenerátorra és
• a működésből adódó belső veszteségeket figyelembe vevő Rb belső ellenállással .
Ug Uk
Rb
Rt
generátor terhelés
I Ir
Ug
rövidzár
üresjárás
U-I jelleggörbe
Uk Ub
I
I[A]
U[V]
Az ideális és a valóságos feszültséggenerátor
Ha Rb<<Rt, akkor Uk gyakorlatilag nem függ Rt-től.
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Az ideális és a valóságos
áramgenerátor
btg
btg
III
III
0
Ha Rb>>Rt, akkor Rt változása nem befolyásolja lényegesen I értékét, a generátor áramgenerátorként működik.
A valóságos áramgenerátorokat is elvileg két részre oszthatjuk:
• egy Rb=∞ belső ellenállású ideális áramgenerátorra (áramforrásra)
• és egy vele párhuzamosan kapcsolt Rb belső ellenállásra.
Ig Rb
It
Rt
generátor terhelés
Ib
U[V]
It[A]
Ig Rb b
tgR
UII
b
gtR
UIII
bt
g
RR
UI
b
tg
tb
bgt
R
R1
1I
RR
RII
Ha Rb>>Rt, akkor It gyakorlatilag nem függ Rt-től.
U=Ib Rb
Ib
It
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Thévenin-tétel
Bármely hálózat két tetszőleges pontja felöl nézve helyettesíthető egyetlen feszültségforrással. A helyettesítő feszültségforrást akkor ismerjük, ha meg tudjuk határozni a feszültséggenerátor Ug forrásfeszültségét és a vele sorba kapcsolt Rb belső ellenállást (impedanciát).
A
B
Uk
I
R
A
B
U0
A
B R
Rb
U0
Uk
I
A
B
A forrásfeszültség meghatározása:
A belső impedancia meghatározása: (a feszültségforrások rövidre zárva, áramgenerátorok köre megszakítva), A-B felöl a helyettesítendő hálózat ellenállása Thévenin helyettesítő kép
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
A helyettesítendő hálózat felnyitott A-B pontjai közötti feszültség
Norton-tétel Bármely hálózat két tetszőleges pontja felöl nézve helyettesíthető egyetlen áramforrással. A helyettesítő áramforrást akkor ismerjük, ha meg tudjuk határozni az áramgenerátor Iz forrásáramát és a vele párhuzamosan kapcsolt Rb belső ellenállást (impedanciát).
A
B
Uk
I
R
A
B
I0
A
B R Rb I0
Uk
I
A
B
A forrásáram meghatározása:
Norton helyettesítő kép ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
A belső impedancia meghatározása: (a feszültségforrások rövidre zárva, áramgenerátorok köre megszakítva), A-B felöl a helyettesítendő hálózat ellenállása
A helyettesítendő hálózat rövidrezárt A-B pontjai közötti folyó áram
A Thevenin és a Norton generátor
egymásba alakítása
b
TNg
bNTg
R
UII
RIUU
A
B
A
B
UT
Rb
IN
Rb
A
B
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Példa a Norton és a Thevenin tétel
használatára
Határozzuk meg az ábrán látható hálózat A -B ágára vonatkozó Thevenin/Norton
helyettesítő képet, majd ez alapján számítsuk ki az R3 ellenállás áramát és
feszültségét!
U = 60 V
R1 = 30 Ω
R2 = 20 Ω
R3 = 30 Ω
R4 = 40 Ω
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Az U0 forrásfeszültség meghatározása:
VRRR
RRUU 40
402030
402060
421
420
Megoldás Thévenin-tétellel
A
B
R1 R2
R4 U0 U
Feszültségosztó A-B pontra:
Az Rb belső impedancia meghatározása:
A
B
R1 R2
R4
206030
6030
)4020(30)( 421 RRRRR ABb
Thévenin-féle helyettesítő kapcsolás:
U0
Rb
R3 U3 I3
A8,030
24
R
UI
V243020
3040
RR
RUU
3
33
3b
303
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid
Az I0 forrásáram meghatározása:
AR
UI 2
30
60
1
0
Megoldás Norton-tétellel
A
B
R1 R2
R4 I0 U
Az Rb belső impedancia meghatározása:
A
B
R1 R2
R4
20
6030
6030)4020(30)( 421 RRRRR ABb
Norton-féle helyettesítő kapcsolás:
I0 Rb R3 U3 I3
VIRU
ARR
RII
b
b
24308,0
8,03020
202
333
3
03
ÓE-BGK MEI Elektrotechnika Langer Ingrid