Octavian G. Mustafa
Elemente de Sisteme Dinamice
Despre ecuatiile diferentiale netede ın plan
Publicatiile DAL
Craiova
Fisier prelucrat ın data de [March 19, 2019]
Sabia, desi fragila,E mai tareCa sa taieOrice om ce-i vine-n cale!
Andrei, 30 ianuarie 2011
Avertisment
Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. In consecinta, continutul sau trebuie
considerat “ca atare.”
Autorul va asteapta comentariile la adresa lui de e-mail1 si va multumeste anti-
cipat pentru efortul depus.
Fiecare proiect de la Publicatiile DAL trebuie considerat “santier” daca nu este
declarat altfel. Versiunea sa este cea a datei de pe pagina cu titlul.
Craiova, Mai 18, 2015 O.G.M.
vii
Prefata
Am vazut recent o fotografie a satelitului Europa, una dintre lunile galileene ale
planetei Jupiter. Pe suprafata aproape sferica a corpului ceresc, o multime de curbe
Fig. 0.1 Satelitul Europa al planetei Jupiter, c© NASA/JPL–Caltech/SETI Institute.
rosiatice — ca niste rauri serpuind pe o harta — traseaza itinerarii misterioase. . .
Imaginea aceasta este o buna analogie2 a oricarui studiu despre sistemele dinamice:
raurile necunoscute reprezinta solutiile unor sisteme de ecuatii diferentiale ce curg
fara oprire printr-o lume alba, la fel de misterioasa. Se vor mai ıntalni doua asemenea
rauri, odata plecate dintr-un izvor comun? Se va mai ıntoarce vreodata raul la albia
lui de pornire? Etc. Iata ıntrebari la care ıncearca sa raspunda teoria sistemelor
dinamice.
2 Evident, analogia nu este noua, vezi [20], ci extrem de potrivita.
ix
x Prefata
In tutorialul de fata prezentam rezultate, consecinte si demonstratii ale unor teo-
reme clasice privind sistemele dinamice netede. Acolo unde a fost cazul, am preferat
o demonstratie veche uneia (prea) abstracte, iar aceasta pentru a pune ın evidenta
ratiunile care au dat nastere tehnicii. Intuitia geometrica sta la baza metodelor de
lucru ın teoria sistemelor dinamice.
Un element fundamental aici ıl reprezinta ilustrarea concluziilor: solutiile sunt
niste rauri, dar cum le calculam–desenam–coloram? O suita de informatii privind
grafica pe calculator si coduri-sursa de programe acompaniaza discutia despre sis-
temele dinamice.
Craiova, [March 19, 2019] O.G.M.
Cuprins
1 Ecuatii 2×2: planul fazelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Procesarea datelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Preparatorul de grafice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Obtinerea ilustratiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Sisteme liniare si perturbatiile lor: schimbari de coordonate, forma
canonica, varietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Utilizarea matricelor superior-triunghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E. McShane-H.
Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Reparametrizarea traiectoriilor: modificarea
timpului t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Modificarea coordonatelor spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Sisteme plane ın forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Echivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru
hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Lema lui M. Morse: reprezentarea functiilor scalare prin forme
patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1 Poze (iarasi. . . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Sisteme diferentiale omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Desene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5 Teorema Poincare-Bendixson I: solutii periodice ın plan . . . . . . . . . . 114
3.6 Hasuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J. LaSalle.
Stabilitate Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.8 Excurs de functii Liapunov. Criterii de stabilitate Liapunov . . . . . . . 134
xi
xii Cuprins
3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.10 Teorema Poincare-Bendixson II: demonstratie, aplicatia lui Poincare 148
Referinte Bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Lista de Figuri
0.1 Satelitul Europa al planetei Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1.1 Un sistem dinamic liniar: portretul fazelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 WINPP si ferestrele sale ın Windows 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Optiunea RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 In interiorul multimii M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Exemplul lui Vinograd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Sistemul de matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Sistemul de matrice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Matricea B−2,−11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Matricea C−1B−2,−11 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Matricea B2,11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8 Matricea B−1,01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.9 Matricea B−1,−11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.10 Matricea B−12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.11 Matricea B12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.12 Matricea B−1,11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13 Matricea B0,13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.14 Matricea B−1,23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.15 Matricea B−1,−23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.16 Clasificarea originii 0R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.17 S, U ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.18 S, U ne-ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1 Constructia unei orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Echilibrul nehiperbolic 0R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Vectorul viteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 Convexitate ın M catre O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Raza invarianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
xiii
xiv Lista de Figuri
3.6 Directiile campului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7 Directiile campului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8 Directiile campului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9 Directiile campului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10 Directiile campului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.11 Directiile campului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.12 Directiile campului vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.13 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.14 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.15 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.16 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.17 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.18 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.19 Alura traiectoriilor, asimptotele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.20 Alura traiectoriilor, asimptotele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.21 Alura traiectoriilor, asimptotele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.22 Alura traiectoriilor, asimptotele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.23 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.24 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.25 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.26 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.27 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.28 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.29 Alura traiectoriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.30 Traversarea dreptei N, discurile D si D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.31 Traversari ale dreptei N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.32 Stabilitatea Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.33 Stabilitatea orbitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.34 Vizualizarea pozitiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.35 Codurile caracterelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.36 Cercul topologic PT R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.37 Transversala S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.38 Traversari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.39 Curba invarianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.40 Multimile α si ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.41 Aplicatia lui Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Capitolul 1
Ecuatii 2×2: planul fazelor
Sa consideram urmatorul sistem de ecuatii diferentiale ordinare:
( .x.y
)
=
(
−1 0
0 −2
)(
x
y
)
, t ∈ R. (1.1)
Aici, prin “.⋆ ” ıntelegem d
dt(⋆), unde cantitatea t desemneaza timpul — matematic
—.
Evident, sistemul (1.1) poate fi decuplat ın ecuatiile scalare
.x=−x,.y=−2y,
t ∈ R,
cu solutiile
x(t) = c1 · e−t , y(t) = c2 · e−2t , unde c1,2 ∈ R. (1.2)
Eliminand parametrul t din ecuatiile (1.2), obtinem o familie uni-parametrica de
curbe, si anume
y−C · x2 = 0, C ∈ R.
Familia (de parabole) este ilustrata ın Figura 1.1.
Solutiile sistemului algebric
−x = 0, (=.x)
−2y = 0 (=.y)
ne conduc — daca exista — la solutii constante ın timp ale sistemului diferential
(1.1). In cazul de fata avem o singura solutie de acest tip, si anume x = y = 0. Ei ıi
corespunde, ın planul (x,y) din Figura 1.1, punctul (0,0). Orice asemenea punct se
numeste punct stationar [2, p. 7], echilibru [57, p. 8] sau punct singular [17, p. 2],
[61, p. 37] al sistemului (1.1).
1
2 1 Planul fazelor
Planul Oxy constituie planul fazelor1 (starilor) sistemului dinamic reprezentat de
ecuatiile diferentiale (1.1), vezi [3, p. 15].
Sagetile stilizate din Figura 1.1 descriu sensul ın care punctele (x(t),y(t)) parcurg
familia uni-parametrica de parabole odata cu trecerea timpului t. Mai precis, daca
pentru t = t0 ∈ R punctul (x0,y0) dat de formulele
x(t0) = x0, y(t0) = y0
se gaseste ın cadranul I — x0 > 0, y0 > 0 —, atunci, pe un mic interval temporal
la dreapta lui t0, x(t) > 0, y(t) > 0. Tinand seama de ecuatiile (1.1), deducem ca.x (t) < 0,
.y (t) < 0, adica abscisa si ordonata punctului curent M = M(x(t),y(t))
descresc, acesta “apropiindu-se” de originea O a planului. Pentru a insista asupra
“atractiei” exercitate de punctul stationar O, el este numit si nod stabil, cf. [57, pg.
25, 26].
Numim curbele din Figura 1.1 traiectorii ori orbite ale sistemului dinamic (1.1)
[3, p. 24].
x
y
(0,0)
Fig. 1.1 Un sistem dinamic liniar: portretul fazelor
1 In limba engleza, phase plane.
1.1 Procesarea datelor 3
1.1 Procesarea datelor
Desi nu ınlocuiesc demonstratiile, reprezentarile grafice ale familiilor uni-para-
metrice de curbe ın planul fazelor sunt un element esential ın teoria sistemelor di-
namice. De aceea, descriem ın cele ce urmeaza una dintre modalitatile de a produce
ilustratii ca ın Figura 1.1.
Mai ıntai, avem nevoie de un calculator de orbite, si aici optam pentru progra-
mul WINPP (gratuit) scris de profesorul G.B. Ermentrout de la Universitatea din
Pittsburgh [10, 11]. Alta varianta poate fi programul P4 [17], care necesita ınsa si
software comercial (MAPLE, etc.).
Apoi, trebuie instalat un translator de orbite, care sa exprime datele obtinute
ın urma integrarii numerice ıntr-un limbaj “ınteles” de imprimante si vizualizatoa-
re2. Aici, alegem limbajul PostScript [1], dezvoltat de Adobe Systems, inter-
pretorul Ghostscript [29] si vizualizatorul GSView [68], disponibile gratuit.
Pentru standardul limbajului PostScript, a se vedea [65].
In sfarsit, pentru a putea acompania graficele cu formule matematice, folosim
sistemul publicistic TeX Live [66, 43].
Odata instalate ın calculator3 aceste aplicatii, suntem gata sa calculam prima din-
tre cele patru curbe din Figura 1.1 — distinse prin sageti —. Incepem din cadranul
IV: x0 > 0, y0 < 0.
Intr-un fisier *.txt introducem textul urmator.
cadranul_iv.txt
1 dx/dt = -x2 dy/dt = -2*y3 @axes=2,xp=x,yp=y,x l o=-10,y l o=-10,xhi=10,yhi=10, t0=0, t r a n s=0,dtց
(cont.)=0.05, t o t a l=200,bounds=8.54 x(0)=5.05 y(0)=-7.06 done
Salvam apoi acest fisier drept cadranul_iv.ode si ıl lansam ın executie ın
cadrul programului WINPP. Mai precis, odata ıncarcat fisierul, apasam butonul Godin fereastra (auxiliara) Initial Data, vezi Figura 1.2. Cu ajutorul butonului
Abort all putem opri procesarea atunci cand graficul curbei este deja “com-
pact”.
Dintre diversele metode de integrare numerica, am ales algoritmul RK4 (metoda
Runge-Kutta de ordinul al IV-lea, cf. [57, p. 79]), vezi Figura 1.3, folosind sub-
meniul Numerics/Int. Pars.
Apoi, utilizand butonul Write din fereastra Browser, exportam rezultatele
calculului ın fisierul (ASCII) num_cadranul_iv.dat.
num_cadranul_iv.dat
1 0 5 -7
2 In limba engleza, viewer.3 Utilizam sistemul de operare Windows 10 Professional, Versiunea 1803, asupra caruia avemdrept de administrator.
4 1 Planul fazelor
2 0.050000001 4.7561469 -6.33386233 0.1 4.5241871 -5.73111634 0.15000001 4.3035398 -5.1857295 0.2 4.0936537 -4.69224216 0.25 3.8940039 -4.24571667 0.30000001 3.7040911 -3.84168368 0.34999999 3.5234406 -3.47609939 0.40000001 3.3516004 -3.1453049
10 0.44999999 3.1881409 -2.845989911 0.5 3.0326533 -2.575158412 0.55000001 2.8847492 -2.330099813 0.60000002 2.7440584 -2.108361714 0.64999998 2.610229 -1.907724915 0.69999999 2.4829266 -1.726180916 0.75 2.3618329 -1.561913317
18 [multe alte linii]19
20 19.799999 1.2587507e-008 -4.4366189e-01721 19.85 1.1973607e-008 -4.0144193e-01722 19.9 1.1389647e-008 -3.6323972e-01723 19.950001 1.0834168e-008 -3.286729e-01724 20 1.0305779e-008 -2.9739558e-017
Fig. 1.2 WINPP si ferestrele sale ın Windows 10
Structura liniilor acestui fisier este data de sirul
1.1 Procesarea datelor 5
t x(t) y(t),
unde parametrul t variaza, cu pasul 0.05, ıntre valorile 0 si 20.
In acest moment trebuie sa “traducem” valorile obtinute ıntr-un limbaj grafic
(*.ps, *.eps). Aici, putem opta fie pentru traducerile automate oferite de progra-
mul WINPP, respectiv de pachetul pst-plot [19, p. 313 si urm.], disponibil ın
cadrul TeX Live, fie pentru o prelucrare (aproape) manuala a datelor.
Alegem ultima varianta4. Prima etapa a transformarii datelor se refera la scalarea
lungimilor, respectiv la constructia unei linii poligonale (drum5) care sa uneasca
reprezentarile lor ca puncte ın sistemul de coordonate al utilizatorului.
Fig. 1.3 Optiunea RK4
Programul preparator2019.exe [55] modifica fisierul6 anterior:
num_cadranul_iv_preparat.ps
1 5 mare -7 mare lineto2 4.7561469 mare -6.3338623 mare lineto3 4.5241871 mare -5.7311163 mare lineto4 4.3035398 mare -5.185729 mare lineto5 4.0936537 mare -4.6922421 mare lineto
4 Un dezavantaj al automatizarii este dat de multitudinea de setari ale diverselor programe. . .5 In limba engleza, path.6 Resalvat, obligatoriu, drept *.txt. Adica, num_cadranul_iv.txt. In caz ca preferati altaextensie, trebuie modificata linia 80 din codul-sursa al preparatorului, vezi pagina 10.
6 1 Planul fazelor
6 3.8940039 mare -4.2457166 mare lineto7
8 [multe alte linii: in total 401]9
10 1.1973607e-008 mare -4.0144193e-017 mare lineto11 1.1389647e-008 mare -3.6323972e-017 mare lineto12 1.0834168e-008 mare -3.286729e-017 mare lineto13 1.0305779e-008 mare -2.9739558e-017 mare lineto
Structura liniilor acestui (nou) fisier este data de sirul
x(t) mare y(t) mare lineto,
unde parametrul t variaza, cu pasul 0.05, ıntre valorile 0 si 20.
Fara a ne interesa de semnificatia procedurii (PostScript) mare [1, p. 29],
reluam operatiile anterioare pentru celelalte trei curbe7 din Figura 1.1. Dispunem
acum de fisierele ASCII:
num_cadranul_i_preparat.psnum_cadranul_ii_preparat.psnum_cadranul_iii_preparat.psnum_cadranul_iv_preparat.ps
A doua etapa a transformarii presupune introducerea unor axe de coordonate, a
sagetilor care indica sensul de miscare pe curbe, respectiv comasarea informatiei
din cele patru fisiere *_prelucrat.ps si trecerea la ıncapsulare [19, p. 35].
Cum procedam? Copiem liniile 1 – 90 din codul-sursa al imaginii figura_1_1.eps, listat ın continuare, ın fisierul (ASCII) poza.eps. Acestora le adau-
gam “centrarea” imaginii, adica instructiunea
100 100 translate
Mai departe, preluam prima linie din codul-sursa al fisierului num_cadranul_i_preparat.ps, adica
5 mare -7 mare lineto
pe care o modificam ın
5 mare -7 mare moveto
si o inseram ın codul din poza.eps.
Apoi, introducem tot codul-sursa al fisierului num_cadranul_i_preparat.ps, urmat de comanda stroke, vezi linia 106. Prima orbita a fost, asadar, cons-
truita.
In continuare, fie inseram alte orbite, fie introducem sagetile triunghi, ur-
mate de axele de coordonate sistemdeaxe. Sagetile trebuie pozitionate manual,
urmand indicatiile de la linia 45 din codul-sursa al imaginii figura_1_1.eps.
Incheiem cu comanda showpage. Fisierul poza.eps este gata.
7 Am apelat la date initiale simetrice doar pentru aspectul vizual.
1.1 Procesarea datelor 7
figura_1_1.eps
1 %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.02 %%BoundingBox: 14 14 180 1803 %%%Octavian, 24 sept. 20124
5 /mare 10 mul def
6
7 %--constructia triunghiului8 /triunghidict 11 d i c t def
9 triunghidict begin
10 /matrice matrix def
11 end
12
13 /triunghi14 triunghidict begin
15 /mijlocbazax exch def
16 /mijlocbazay exch def
17 /numaratorunghi exch def
18 /numitorunghi exch def
19 /lungimelatura exch def
20
21 /unghiul numaratorunghi numitorunghi atan def
22 /jumatatedelatura lungimelatura 2 div def
23 /radical 3 s q r t def
24 /inaltimea radical jumatatedelatura mul def
25
26 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
27
28 mijlocbazax mijlocbazay t r a n s l a t e
29 unghiul r o t a t e
30
31 0 jumatatedelatura neg moveto
32 inaltimea neg 0 l i n e t o
33 0 jumatatedelatura l i n e t o
34 c l o s e p a t h
35 gsave
36 .6 s e t g r a y f i l l
37 g r e s t o r e
38 .8 s e t l i n e w i d t h
39 s t r o k e
40 matricesalvata s e t m a t r i x
41 end
42 def
43
44 %la apelul triunghiului folosim ordinea:45 %lungimelatura numitorunghi numaratorunghi mijlocbazay ց
(cont.)mijlocbazax triunghi46
47 %---constructia axelor48 /axedict 5 d i c t def
49 axedict begin
50 /matriceaxe matrix def
51 end
52
8 1 Planul fazelor
53 /sistemdeaxe54 axedict begin
55 /originex exch def
56 /originey exch def
57 /lungimeaxe exch def
58
59 /matriceaxesalvata matriceaxe currentmatr ix def
60
61 /Times-Roman f i n d f o n t 6 s c a l e f o n t s e t f o n t
62 .6 s e t g r a y
63 .5 s e t l i n e w i d t h
64
65 originex originey t r a n s l a t e
66 lungimeaxe neg 0 moveto
67 lungimeaxe 0 l i n e t o
68 0 lungimeaxe neg moveto
69 0 lungimeaxe l i n e t o
70 s t r o k e
71
72 lungimeaxe 2 add 0 moveto
73 (x) show
74 0 lungimeaxe 2 add moveto
75 (y) show
76
77 0 s e t g r a y
78 2 -6 moveto
79 ((0,0)) show
80
81 matriceaxesalvata s e t m a t r i x
82 end
83 def
84
85 %la apel folosim ordinea:86 % lungimeaxe originey originex sistemdeaxe87
88
89
90 %----introducerea datelor-----91 100 100 t r a n s l a t e
92 5 mare -7 mare moveto
93
94 5 mare -7 mare l i n e t o
95 4.7561469 mare -6.3338623 mare l i n e t o
96 4.5241871 mare -5.7311163 mare l i n e t o
97 4.3035398 mare -5.185729 mare l i n e t o
98
99 [multe linii]100
101 1.1973607e-008 mare -4.0144193e-017 mare l i n e t o
102 1.1389647e-008 mare -3.6323972e-017 mare l i n e t o
103 1.0834168e-008 mare -3.286729e-017 mare l i n e t o
104 1.0305779e-008 mare -2.9739558e-017 mare l i n e t o
105
106 s t r o k e
1.1 Procesarea datelor 9
107 5 mare 7 mare moveto
108
109 5 mare 7 mare l i n e t o
110 4.7561469 mare 6.3338623 mare l i n e t o
111 4.5241871 mare 5.7311163 mare l i n e t o
112 4.3035398 mare 5.185729 mare l i n e t o
113 4.0936537 mare 4.6922421 mare l i n e t o
114 3.8940039 mare 4.2457166 mare l i n e t o
115
116 [multe linii]117
118 1.1389647e-008 mare 3.6323972e-017 mare l i n e t o
119 1.0834168e-008 mare 3.286729e-017 mare l i n e t o
120 1.0305779e-008 mare 2.9739558e-017 mare l i n e t o
121
122 s t r o k e
123 -5 mare -7 mare moveto
124
125 -5 mare -7 mare l i n e t o
126 -4.7561469 mare -6.3338623 mare l i n e t o
127 -4.5241871 mare -5.7311163 mare l i n e t o
128 -4.3035398 mare -5.185729 mare l i n e t o
129
130 [multe linii]131
132 -1.1973607e-008 mare -4.0144193e-017 mare l i n e t o
133 -1.1389647e-008 mare -3.6323972e-017 mare l i n e t o
134 -1.0834168e-008 mare -3.286729e-017 mare l i n e t o
135 -1.0305779e-008 mare -2.9739558e-017 mare l i n e t o
136
137 s t r o k e
138 -5 mare 7 mare moveto
139
140 -5 mare 7 mare l i n e t o
141 -4.7561469 mare 6.3338623 mare l i n e t o
142 -4.5241871 mare 5.7311163 mare l i n e t o
143 -4.3035398 mare 5.185729 mare l i n e t o
144
145 [multe linii]146
147 -1.1389647e-008 mare 3.6323972e-017 mare l i n e t o
148 -1.0834168e-008 mare 3.286729e-017 mare l i n e t o
149 -1.0305779e-008 mare 2.9739558e-017 mare l i n e t o
150
151 s t r o k e
152
153 newpath
154 8 0.4 1 -12 22.5 triunghi155 newpath
156 8 0.8 1 13 21.5 triunghi157 newpath
158 8 -0.4 1 -12 -22.5 triunghi159 newpath
160 8 -0.8 1 13 -21.5 triunghi
10 1 Planul fazelor
161
162 newpath
163 40 0 0 sistemdeaxe164
165 showpage
Pentru constructia ın PostScript a sagetilor am urmat indicatiile din [1, pg.
51–53, 143–145]. Aceasta carte poate fi descarcata gratuit si de pe site-ul profesoru-
lui B. Casselman [13].
1.2 Preparatorul de grafice
Codul-sursa al programului preparator2019.exe, compilat (x86) ın ca-
drul mediului de dezvoltare Microsoft Visual Studio Enterprise 2017 [48], este listat
ın continuare.
program.cpp
1 # i n c l u d e <iostream>2 # i n c l u d e <string>3 # i n c l u d e <cctype>4 # i n c l u d e <cstdlib>5 # i n c l u d e <fstream>6 us ing namespace s t d;7
8 i n t caracter()9
10 s t r i n g raspuns;11 g e t l i n e(cin , raspuns);12 re turn to lower( i n t(raspuns[0]));13 14
15 i n t main()16 17
18 s t r i n g texte[] = 19 "\n+++++++++++++++++++++++++++++"20 "\n++++PREPARATOR DE GRAFICE++++"21 "\n+++++++++++++++++++++++++++++\n"22 "\nProgramul prepara datele din "23 "\nfisierul \"nume.txt\" pentru "24 "\nvizualizarea cu \"gsview\"."25 "\nAstfel, se insereaza instructiunile:"26 "\n\t--\"mare\", adica"27 "\n\t\"/mare 10 mul def\""28 "\n\tin Postscript;\n\t--\"lineto\"."29 "\n\nApasati tasta ENTER pentru a continua:",30 "\n++++++++++++++++++"31 "\n++++DISCLAIMER++++"32 "\n++++++++++++++++++\n"33 "\nFisierul care trebuie manipulat:"
1.2 Preparatorul de grafice 11
34 "\n\t--va avea extensie [NUME.EXTENSIE];"35 "\n\t--va fi corect formatat, adica"36 "\n\ttoate liniile sale sunt de forma:"37 "\n\t============================"38 "\n\ttimpul x y un_spatiu_liber"39 "\n\t============================"40 "\n\tunde \"timpul\", \"x\" si \"y\""41 "\n\tsunt numere reale din intervalul"42 "\n\t[-50,50].\nAltfel, rezultatul este ARBITRAR."43 "\n\nApasati tasta ENTER pentru a derula operatiuni:"ց
(cont.),44 "\nIntroduceti numele fisierului"45 " (fara extensie):",46 "\nVa intereseaza fisierul [",47 "].\nTastati D, apoi apasati tasta ENTER, "48 "ca sa continuam, respectiv\n"49 "apasati tasta ENTER "50 "ca sa iesim din program.",51 "\nPar a fi probleme cu fisierul mentionat..."52 "\nApasati tasta ENTER ca "53 "sa iesim din program.",54 "\nPar a fi probleme cu constructia fisierului..."55 "\nApasati tasta ENTER ca "56 "sa iesim din program.",57 "\nAm procesat [",58 "] randuri si [",59 "] numere.\nApasati tasta ENTER ca "60 "sa incheiem programul.";61
62 /**63 * Ce face programul:64 */65 cout << texte[0] << endl;66 i n t lit = caracter();67 system("cls");68
69 /**70 * Disclaimer:71 */72 cout << texte[1] << endl;73 lit = caracter();74 system("cls");75
76 cout << texte[2] << endl;77 s t r i n g nume, nume_preparat;78 g e t l i n e(cin , nume);79 nume_preparat = nume + "_preparat.ps";80 nume += ".txt";81
82 cout << texte[3] << nume << texte[4] << endl;83 lit = caracter();84 i f (lit != i n t(’d’))85 e x i t(EXIT SUCCESS);86
12 1 Planul fazelor
87 i f s t r e a m fisier(nume. c s t r());88 i f (!fisier) 89 cout << texte[5] << endl;90 lit = caracter();91 e x i t(EXIT FAILURE);92 93
94 ofs tream fisier_preparat(nume_preparat. c s t r());95 i f (!fisier_preparat) 96 cout << texte[6] << endl;97 lit = caracter();98 e x i t(EXIT FAILURE);99
100
101 i n t contorul_cuvinte = 0,102 numarul_de_randuri = 0;103 s t r i n g cuvant;104
105 whi le (fisier_preparat && fisier >> cuvant) 106 //sarim peste t:107 contorul_cuvinte++;108 i f (contorul_cuvinte % 3 == 2)109 //suntem intre x si y...110 fisier_preparat << cuvant << " mare ";111 i f (contorul_cuvinte % 3 == 0) 112 //am trecut de y:113 fisier_preparat << cuvant << " mare lineto\r\n";114 numarul_de_randuri++;115 116 117
118 fisier_preparat. c l o s e();119 fisier. c l o s e();120
121 cout << texte[7] << numarul_de_randuri122 << texte[8] << contorul_cuvinte123 << texte[9] << endl;124 lit = caracter();125
126 re turn 0;127
1.3 Obtinerea ilustratiei
A mai ramas sa inseram imaginea din Figura 1.1 ıntr-un fisier *.tex. In acest
scop, utilizam instructiunea \includegraphics din pachetul graphicx [19,
p. 28 si urm.].
introducerea_figurii.tex
1 \documentc lass[a4paper,12pt]article
1.3 Obtinerea ilustratiei 13
2 \usepackageamsfonts,amssymb3 \usepackagegraphicx,xcolor4
5 \begindocument6
7 \ t i t l e Ilustra\ctii\dot s8
9 \author\ t e x t t t pictor Ion Tapi\ctescu10
11 \date12 \m a k e t i t l e
13 \ t h i s p a g e s t y l eempty14
15 \begincenter16 \ i n c l u d e g r a p h i c s[width=9cm,height=8cm]C:/Calea-catre-figura/ց
(cont.)figura_1_1.eps17 \endcenter18
19 \enddocument
Pentru a procesa8 rapid fisierul anterior, folosim fisierul de comenzi (PowerShell)
prezentat mai jos.
procesarea_fisierului.ps1
1 <#2 Procesarea unui fisier ".tex".3 Calea: [ (la)teX -> ps -> pdf ]4 #>5 $program1 = "C:\Program Files\MiKTeX 2.9\miktex\bin\x64\latex.ց
(cont.)exe"6 $program2 = "C:\Program Files\MiKTeX 2.9\miktex\bin\x64\dvips.ց
(cont.)exe"7 $program3 = "C:\Program Files\MiKTeX 2.9\miktex\bin\x64\ps2pdf.ց
(cont.)exe"8 $program4 = "C:\Program Files (x86)\Adobe\Acrobat Reader DC\ց
(cont.)Reader\AcroRd32.exe"9
10 <#11 Directorul fisierelor ".tex".12 Numele fisierului de procesat (fara extensie).13 #>14 $cale = "C:\Calea-catre-fisier"15 $nume = "introducerea_figurii"16
17 $fisier = $cale + "\" + $nume + ".tex"18 $fisier2 = $cale + "\" + $nume + ".dvi"19 $fisier3 = $cale + "\" + $nume + ".ps"20 $fisier4 = $cale + "\" + $nume + ".pdf"21
22 <#
8 Presupunem ca a fost deja instalata ın calculator una dintre versiunile programului Adobe Rea-der, aici DC. In caz contrar, vezi [56].
14 1 Planul fazelor
23 Compilarile (traducerea fisierului ".tex" intr-un fisier ".ց
(cont.)dvi")24 produc fisiere auxiliare.25 Este bine sa le pastram intr-un director separat.26 #>27 Set-Location $cale28
29 <#30 Folosim TREI compilari LaTeX succesive31 pentru a capta corecta referintele,32 ecuatiile, elementele indexate.33 #>34 $program1,$program1,$program1 | ForEach-Object -Process &$_ ց
(cont.)$fisier35
36 <#37 Compilarea fisierului ".dvi" intr-un fisier ".ps".38 #>39 &$program2 $fisier240
41 <#42 Cautam, folosind expresii regulate, titlul fisierului ".dvi".43 Acesta contine calea completa catre fisier, in calculatorul44 unde se realizeaza compilarea. Din diverse ratiuni, doresc45 sa evit captarea acestei cai in cadrul fisierului final, cel ց
(cont.)".pdf".46 Informatii despre regex: "https://docs.microsoft.com/en-us/ց
(cont.)dotnet/standard/base-types/regular-expression-language-ց
(cont.)quick-reference"47 #>48 $expresia = ’%%Title:[\s\w\-\\:.]*dvi’49 $inlocuire = ’%%Title: ’50 (Get-Content -Path $fisier3) | ‘51 ForEach-Object $_ -Replace $expresia, $inlocuire | ‘52 Set -Content -Path $fisier353
54 <#55 Compilarea fisierului ".ps" intr-un fisier ".pdf".56 #>57 &$program3 $fisier358
59 <#60 Deschiderea fisierului ".pdf" cu Adobe Reader.61 #>62 &$program4 $fisier463
64 Set -Locat ion ..
Capitolul 2
Sisteme liniare si perturbatiile lor: schimbari decoordonate, forma canonica, varietati
Revenind la (1.2), ne intereseaza constructia planului fazelor pentru sistemele
diferentiale de forma
( .x.y
)
= A ·(
x
y
)
, t ∈ R, (2.1)
unde A ∈ M2(R).In acest scop, apelam la o suita de schimbari de variabile.
2.1 Utilizarea matricelor superior-triunghiulare
Fie matricea A ∈ Mn(R), unde n ≥ 2. Atunci, afirmam ca exista matricea in-
versabila T ∈ Mn(C) cu proprietatea ca
T−1AT =
λ1 b12 . . . . . . b1n
0 λ2 b23 . . . b2n
......
. . .. . .
...
0 0 . . . λn−1 bn−1n
0 . . . . . 0 λn
, (2.2)
unde (λi)1≤i≤n sunt valorile proprii ale matricei A — nu neaparat distincte — iar
b jk ∈ C pentru orice j < k ın 1, . . . ,n.
Pentru a proba acest fapt, urmam demonstratia din [6, p. 21 si urm.], bazata pe
inductie matematica ın raport cu n.
Luand n = 2, introducem matricele
A =
(
a b
c d
)
, T =
(
c1 t1c2 t2
)
, T−1 =
(
α βδ ε
)
15
16 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
astfel ıncat
A
(
c1
c2
)
= λ1 ·(
c1
c2
)
, T−1 ·T = I2 =
(
1 0
0 1
)
.
In particular, au loc relatiile
ac1 +bc2 = λ1c1,cc1 +dc2 = λ1c2,
αc1 +βc2 = 1,δc1 + εc2 = 0.
Folosind asociativatea produselor de matrice, deducem egalitatile
T−1AT = T−1(AT ) =
(
λ1(αc1 +βc2) . . .λ1(δc1 + εc2) . . .
)
=
(
λ1 b12
0 b22
)
, bi j ∈ C. (2.3)
Valorile proprii1 ale matricei A verifica ecuatia algebrica |A−λ I2| = 0, cf. [63,
p. 24]. Una dintre solutiile acestei ecuatii a fost deja introdusa ın discutie, si anume
λ1. Plecand de la identitatea
|A−λ I2|= |T−1(A−λ I2)T |= |T−1AT −λ I2|, λ ∈ C,
stabilim ca matricele T−1AT si A au aceleasi valori proprii.
Pe de alta parte, forma speciala a matricei (2.3) ne permite sa concluzionam ca
matricea T−1AT are valorile proprii λ1 si b22. Asadar, b22 = λ2 (a doua valoare
proprie a matricei A), ceea ce probeaza afirmatia anterioara ın cazul n = 2.
Presupunand afirmatia2 adevarata pentru n = k, abordam cazul n = k + 1. Mai
precis, fie c1 ∈ Ck+1 un vector propriu — coloana — asociat valorii proprii λ1 a
matricei A ∈ Mk+1(R). Acest vector poate fi completat cu k coloane a2, . . . ,ak+1
(k+1)–dimensionale pana la o baza a spatiului liniar complex3 Ck+1.
Matricea4 T ′ = (c1,a2, . . . ,ak+1) verifica relatia
(T ′)−1AT ′ =
λ1 b′12 . . . b′1k+1
0 b′22 . . . b′2k+1
. . . . . . . . . . . . . .0 b′k+12 . . . b′k+1k+1
=
λ1 b′12 . . . b′1k+1
0... Bk
0
,
1 In limba engleza, eigenvalues.2 Evident, ın forma sa generala, afirmatia este valabila pentru A ∈ Mn(C). La aceasta forma serefera presupunerea noastra.3 Acesta este complexificarea spatiului liniar real Rk+1, vezi [3, p. 144]. In particular, dacae1, . . . ,es este o baza a spatiului liniar Rs — peste corpul R —, atunci e1+ i ·0Rs , . . . ,es+ i ·0Rseste o baza a spatiului liniar Cs — peste corpul C —.4 Fiind matrice de schimbare de baza ın Ck+1, este, evident, nesingulara.
2.1 Utilizarea matricelor superior-triunghiulare 17
unde Bk ∈ Mk(C). Ca si anterior, matricea Bk are drept valori proprii numerele
(λi)2≤i≤k+1 — celelalte valori proprii ale matricei A —.
Tinand seama de ipoteza de inductie, obtinem matricea nesingulara Tk cu propri-
etatea ca
T−1k BkTk =
λ2 d12 . . . . d1k
0 λ3 d23 . . . d2k
......
. . .. . .
...
0 0 . . . λk dk−1k
0 . . . . . 0 λk+1
∈ Mk(C). (2.4)
Apoi, introducem matricea
Tk+1 =
1 0 . . . 0
0... Tk
0
, T−1k+1 =
1 0 . . . 0
0... T−1
k
0
pentru care avem, evident, detTk+1 = detTk 6= 0.
Fie T = T ′Tk+1. Atunci,
T−1AT = T−1k+1
(
(T ′)−1AT ′)Tk+1 = T−1k+1
λ1 b′12 . . . b′1k+1
0... Bk
0
Tk+1
=
λ1 . . . . . . .0... T−1
k BkTk
0
. (2.5)
Concluzia rezulta combinand (2.4), (2.5). Afirmatia a fost probata5.
Rezultatul din expresia (2.2) poate fi rafinat. Mai precis, afirmam ca fiind dat
ε > 0, elementele (bi j)1≤i< j≤n pot fi alese astfel ıncat |bi j| ≤ ε pentru orice i, j, [6,
p. 24], [3, p. 174]. Intr-adevar, sa notam cu T 0, respectiv b0i j marimile T , respectiv
bi j din asertiunea anterioara. Existenta lor este deja dovedita.
Pentru ε0 ∈ (0,1) dat, fie matricea
5 Daca, ın calculul anterior, am fi ortonormat baza c1,a2, . . . ,ak+1, atunci matricea T ar fi devenitunitara. In acest caz, formula (2.2) desemneaza descompunerea I. Schur a matricei A, cf. [28, p.79].
18 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
E =
ε0 0 . . . 0
0 ε20 0 . . . 0
. . . . . . . . .0 . . . 0 εn
0
, E−1 =
1ε0
0 . . . 0
0 1ε2
0
0 . . . 0
. . . . . . . . .0 . . . 0 1
εn0
.
Atunci, avem
(T 0E)−1A(T 0E) = E−1(
(T 0)−1AT 0)
E
= E−1
λ1ε0 b012ε2
0 . . . . . . . . . . b01nεn
0
0 λ2ε20 b0
23ε30 . . . b0
2nεn0
......
. . .. . .
...
0 0 . . . λn−1εn−10 b0
n−1nεn0
0 . . . . . . . . 0 λnεn0
=
λ1 b012ε0 . . . . . . . b0
1nεn−10
0 λ2 b023ε0 . . . b0
2nεn−20
......
. . .. . .
...
0 0 . . . λn−1 b0n−1nε0
0 . . . . . . . . 0 λn
.
Pentru a proba cea de-a doua asertiune este suficient sa alegem ε0 astfel ıncat
ε0 ·(
1+ max1≤i< j≤n
|b0i j|)
< ε , (2.6)
respectiv sa luam T = T 0 ·E si bi j = b0i jε
j−i0 pentru orice i, j.
2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E.
McShane-H. Whitney
Fie n ≥ 1 un numar ıntreg. Incepem discutia cu justificarea afirmatiei ca multi-
mea Rn este ınchisa ın raport cu topologia euclidiana din Cn.
Introducem norma euclidiana ‖z‖ = ‖z‖2 =
√
n
∑j=1
|z j|2, unde z =
z1
...
zn
∈ Cn.
Topologia din Cn este data de metrica d : Cn ×Cn → [0,+∞) cu formula
d(z,z′) = ‖z− z′‖, z, z′ ∈ Cn. (2.7)
Fie z ∈Cn\Rn cu elementele (intrarile) zk = ak + ibk, unde ak, bk ∈R si k ∈ 1,n.
Stim can
∑k=1
b2k > 0, adica cel putin unul dintre numerele bk este nenul. Multimea
2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E. McShane-H. Whitney 19
B =
bk
∣
∣bk 6= 0,k ∈ 1,n
contine cel putin un cel mai apropiat de 0 element, notat
b:
|b|= minu∈B
|u|.
L
(u,v)
x
y
O
Fa,b
Fig. 2.1 In interiorul multimii M
Atunci, V =
z′ ∈ Cn∣
∣
∣d(z,z′)< |b|2
⊂ Cn\Rn. Intr-adevar, luand z′ ∈ V , avem
estimarile
d(z,z′) =
√
n
∑k=1
(
a′k −ak
)2+
n
∑k=1
(
b′k −bk
)2 ≥∣
∣b′j −b j
∣
∣ , j ∈ 1,n.
Exista j0 ∈ 1,n astfel ıncat b j0 = b. Inegalitatea∣
∣
∣b′j0 −b
∣
∣
∣=∣
∣
∣b′j0 −b j0
∣
∣
∣<|b|2 ne con-
duce la
∣
∣b′j0∣
∣≥ |b|− |b|2
=|b|2
> 0,
de unde rezulta ca z′j0 ∈ C\R.
Afirmatia a fost probata.
In planul real — R2 —, introducem multimea
Da,b = (x,y)|x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ ax+b , a, b ≥ 0,
20 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
si numim frontiera superioara a acesteia multimea Fa,b = (x,ax+b)|x ≥ 0.
Fie multimea A ⊆ [0,+∞) nevida si familia F = (Ba)a∈A de multimi nevide,
unde Ba ⊆ [0,+∞). Presupunem ca exista a0 ∈ A si b0 ∈ Ba0pentru care a2
0+b20 > 0.
Ne intereseaza FA,F , frontiera superioara a multimii [40, p. 839]
M =⋂
a∈A
(
⋂
b∈Ba
Da,b
)
,
adica multimea6 FA,F = (x,y) ∈ FrM |(x,y) 6∈ (Ox — vezi Figura 2.1 —.
Multimile Da,b fiind ınchise ın topologia euclidiana a planului, deducem ca
multimea M este ınchisa. De aici, FrM ⊆ M .
Eliminarea dreptelor paralele. Pentru a ∈ A, fie b(a) = inf Ba. Afirmam ca are
loc egalitatea
M =⋂
a∈A
Da,b(a).
Intr-adevar, daca (x,y) ∈ ⋂
b∈Ba
Da,b, atunci y− ax ≤ b pentru orice b ∈ Ba, deci
y−ax ≤ b(a). Invers, daca (x,y) ∈ Da,b(a), atunci y−ax ≤ b(a)≤ b pentru b ∈ Ba.
Afirmatia a fost probata.
Caz extrem. Afirmam ca M = [Ox daca si numai daca inf A = 0 si infa∈A
b(a) = 0.
Observam ca [Ox ⊆ M . De asemeni, avem
0 ≤ (inf A) · x ≤ ax ≤ ax+b(a), a ∈ A, x ≥ 0,
respectiv
0 ≤ infa′∈A
b(a′)≤ ax+b(a), a ∈ A, x ≥ 0,
deci (x,(inf A) ·x),(
x, infa∈A
b(a)
)
∈M . Daca (inf A)2+
(
infa∈A
b(a)
)2
> 0, atunci cel
putin unul dintre punctele anterioare se va gasi ın M \[Ox. Afirmatia a fost probata.
Un exemplu este oferit de multimea A =
1m
∣
∣m ∈ N∗ cu Ba = 0 pentru orice
a ∈ A. Aici, FA,F = (0,0).
Submultimi ale lui M . Sa presupunem ca [Ox ( M . Atunci, afirmam ca exista
(x0,y0) ∈ M \[Ox astfel ıncat x0 > 0.
Intr-adevar, ın caz contrar am avea M \[Ox ⊂ [Oy, deci multimea M ar contine
elementul (0,y0) cu y0 > 0. Inegalitatile
y0
2≤ a ·0+b(a)≤ ax+b(a), x ≥ 0, a ∈ A,
6 Aici, FrM desemneaza frontiera multimii M .
2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E. McShane-H. Whitney 21
arata ca banda orizontala B =
(x,y)∣
∣x ≥ 0, 0 < y ≤ y02
este inclusa ın M \[Ox,
ceea ce constituie, evident, o contrazicere a presupunerii initiale. Afirmatia a fost
probata.
Fie (u,v) ∈ M \[Ox cu u > 0. Afirmam ca banda orizontala BB = (x,y)|x ≥u, 0 ≤ y ≤ v — situata la dreapta liniei verticale L din Figura 2.1 — este inclusa ın
M .
Intr-adevar, daca (x,y) ∈ BB, avem
0 ≤ y ≤ v ≤ au+b(a)≤ ax+b(a),
de unde (x,y) ∈ Da,b(a) pentru orice a ∈ A. Afirmatia a fost probata. Mai departe,
afirmam ca triunghiul T =
(x,y)∣
∣0 ≤ x ≤ u, 0 ≤ y ≤ vux
— situat la stanga liniei
verticale L din Figura 2.1 — este inclus ın M .
Intr-adevar, daca (x,y) ∈ T , avem
0 ≤ y ≤ v
u· x ≤ au+b(a)
u· x = ax+b(a) · x
u≤ ax+b(a),
de unde (x,y) ∈ Da,b(a) pentru orice a ∈ A. Afirmatia a fost probata.
Frontiera superioara a multimii M . Fie (x,y) ∈ FA,F . Afirmam ca daca x > 0,
atunci
y = y(x) = infax+b(a)|a ∈ A . (2.8)
Intr-adevar, fie α = infax+b(a)|a ∈ A. Este evident ca (x,α) ∈ M . Sa pre-
supunem ca y < α . Pentru punctul (x,α) din planul real, construim triunghiul T si
banda orizontala BB. Atunci, punctul (x,y) se va gasi ın interiorul7 multimii T ∪BB,
deci ın interiorul lui M . Presupunerea a fost contrazisa. Mai departe, sa presupunem
ca y>α . Atunci, va exista a0 ∈ A pentru care y> a0x+b(a0), deci (x,y) 6∈Da0,b(a0).
In concluzie, punctul (x,y) se va gasi ın complementara multimii (ınchise) M , adica
ıi va fi punct exterior. Am ajuns, din nou, la o contradictie. Afirmatia a fost probata.
Deoarece bilele deschise ın topologia euclidiana a planului real sunt interioare
de cercuri si interiorul oricarui cerc cu centrul ın Oy va contine si puncte cu abscisa
negativa, concludem ca
(0,y)
∣
∣
∣
∣
0 ≤ y ≤ infa∈A
b(a)
⊆ FA,F . (2.9)
Concavitatea frontierei superioare FA,F . Fie 0< x1 < x2 si x3 = (1−λ )x1+λx2,
unde λ ∈ [0,1]. Atunci, — via (2.8) —
7 In topologia euclidiana.
22 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
ax3 +b(a) = (1−λ ) · [ax1 +b(a)]+λ · [ax2 +b(a)] (2.10)
= (1−λ ) · f (a)+λ ·g(a) (unde f (a), g(a)≥ 0)
≥ (1−λ ) · infa′∈A
f(
a′)
+λ · infa′′∈A
g(
a′′)
= (1−λ ) · y(x1)+λ · y(x2), a ∈ A,
ceea ce ne conduce la y(x3) ≥ (1−λ )y(x1)+λy(x2). Daca x1 = 0, atunci — vezi
(2.9) — inegalitatea (2.10) se rescrie ca
ax3 +b(a) = (1−λ ) · [a ·0+b(a)]+λ · [ax2 +b(a)]
≥ (1−λ ) · y+λ · [ax2 +b(a)]
(
y ∈[
0, infa′′′∈A
b(
a′′′)
])
= (1−λ ) · y+λ ·g(a)≥ (1−λ ) · y+λ · y(x2), a ∈ A.
Concavitatea a fost probata.
Fie A = a1,a2 si Bai= bi, unde ai, bi > 0, i ∈ 1,2. Atunci, M = Da1,b1
∩Da2,b2
— vezi cele doua linii oblice, de culoare neagra, din Figura 2.1 — iar ine-
galitatile anterioare sunt stricte daca x3 este abscisa punctului de intersectie al celor
doua linii negre.
Constructia unei functii majorante. Fie functia ω0 : [0,+∞)→ [0,+∞] astfel ıncat
(1) sa existe h, k ≥ 0 cu proprietatea ca
ω0(x)≤ h · x+ k, x ≥ 0,
(2) limxց0
ω0(x) = 0 si (3) ω0(0) = 0. Atunci, afirmam ca exista functia ω : [0,+∞)→[0,+∞], concava si monoton nedescrescatoare, cu urmatoarele proprietati: — [40,
p. 838, Lemma] —
(i) 0 ≤ ω0(x)≤ ω(x) pentru orice x ≥ 0;
(ii) limxց0
ω(x) = ω(0) = 0;
(iii) ω(λ · x)≤ λ ·ω(x) pentru orice x ≥ 0 si λ ≥ 1;
(iv) x2ω(x1)≥ x1ω(x2) pentru orice 0 ≤ x1 < x2;
(v) ω(x2)≥ x2 · ω(x2)−ω(x1)x2−x1
pentru orice 0 ≤ x1 < x2;
(vi) x2 · ω(x2)−ω(x1)x2−x1
≥ ω(x1 + x2)−ω(x1) pentru orice 0 ≤ x1 < x2;
(vii) ([40, p. 840]) ω(x1 + x2)≤ ω(x1)+ω(x2) pentru orice 0 ≤ x1 ≤ x2.
Ca sa justificam estimarile precedente, introducem familia D =(
Da,b
)
a∈A,b∈Ba
astfel ıncat
0 ≤ ω0(x)≤ ax+b, unde x ≥ 0.
Existenta numerelor h, k ne asigura ca familia D este nevida.
Definim, pe baza (2.8), marimea
2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E. McShane-H. Whitney 23
ω(x) = infa∈A
ax+b(a), x ≥ 0, (2.11)
unde A constituie multimea tuturor pantelor de drepte x 7→ ax+b folosite la introdu-
cerea familiei D . Monotonia functiei ω este evidenta iar concavitatea sa a fost deja
stabilita.
Fie a ∈ A. Inegalitatile ω0(x)−ax ≤ b pentru orice b ∈ Ba implica ω0(x)−ax ≤b(a). De aici, deducem ca ω0(x) ≤ inf
a′∈Aa′x+b(a′) = ω(x) pentru orice x ≥ 0.
Am probat partea (i) a afirmatiei.
Pentru partea (ii), sa presupunem ca, ın plus, k = 0. Cum Dh,k ∈ D , avem b(h) =0, de unde 0 ≤ ω(x) ≤ hx + b(h) = hx pentru orice x ≥ 0. Evident, obtinem ca
limxց0
ω(x) = ω(0) = 0. Sa presupunem ca avem k > 0. Conform proprietatii (2) a
functiei ω0, fiind dat ε ∈ (0,k), exista δ (ε)> 0 astfel ıncat
0 ≤ ω0(x)≤ ε , 0 < x ≤ δ (ε).
Introducem marimea a(ε)≥ h+ k−εδ (ε) . Atunci,
0 ≤ ω0(x)≤ hx+ k ≤ a(ε)x+ ε , x ≥ δ (ε),
respectiv
0 ≤ ω0(x)≤ ε ≤ a(ε)x+ ε , 0 < x ≤ δ (ε).
Deoarece ω0(0) = 0, avem Da(ε),ε ∈ D [40, p. 839]. Astfel, 0 ≤ ω(x) ≤ a(ε)x+ εpentru orice x ≥ 0, de unde 0 ≤ limsup
xց0
ω(x)≤ limsupxց0
[a(ε)x+ ε ] = ε . Valabilitatea
partii (ii) a afirmatiei este probata daca trecem la limita, ε ց 0, ın inegalitatea ante-
rioara.
Partea a (iii)-a rezulta din inegalitatea
a · (λx)+b(a)≤ λ · [ax+b(a)] , a ∈ A.
Partea a (iv)-a se bazeaza pe relatiile
x2 [ax1 +b(a)] = ax1x2 +b(a)x2 ≥ ax1x2 +b(a)x1
= x1 [ax2 +b(a)] , a ∈ A.
Partea a (v)-a foloseste partea a (iv)-a, rescrisa drept
ω(x2)(x2 − x1)≥ x2 [ω(x2)−ω(x1)] .
Am ajuns la partea a (vi)-a. Se observa ca x2 = (1−λ ) · x1 +λ · (x1 + x2), unde
λ =x2 − x1
x2.
Functia ω fiind concava, deducem ca
24 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
ω(x2) ≥(
1− x2 − x1
x2
)
ω(x1)+x2 − x1
x2ω(x1 + x2)
=x2 − x1
x2· [ω(x1 + x2)−ω(x1)]+ω(x1).
Partea a (vii)-a — cazul x1 < x2 — rezulta din partile a (v)-a si a (vi)-a,
ω(x2)≥ x2ω(x2)−ω(x1)
x2 − x1≥ ω(x1 + x2)−ω(x1).
Cazul x1 = x2 este concluzia partii a (iii)-a pentru λ = 2.
Afirmatia a fost probata.
Prelungirea functiilor scalare. Fie C ⊂ Cn bila ınchisa ın topologia euclidiana,
de raza R, centrata ın 0Cn si B = C ∩Rn. Evident, B este bila ınchisa, de raza R,
centrata ın 0Rn , a spatiului liniar normat (Rn,‖⋆‖2). Conform celor prezentate la
ınceputul sectiunii de fata, B este o submultime ınchisa a spatiului metric (C,d) —
vezi formula (2.7) —.
Fie f : B → R o functie continua — ın raport cu topologia euclidiana indusa de
Rn —. Atunci, f este marginita si uniform continua, adica exista marimea M > 0
cu proprietatea ca | f (x)| ≤ M pentru orice x ∈ B, respectiv functia ω0 : [0,+∞)→[0,+∞] cu formula [40, pg. 838, 839]
ω0(t) = sup
| f (x)− f (x′)|∣
∣x, x′ ∈ B, ‖x− x′‖2 ≤ t
, t ≥ 0.
Uniform continuitatea lui f ne conduce la proprietatile (2) si (3) ale functiei ω0.
Estimarile
0 ≤ ω0(t) ≤ supx∈B
| f (x)|+ supx′∈B
| f (x′)| ≤ 2M
= 0 · t +2M, t ≥ 0, (2.12)
implica valabilitatea proprietatii (1) pentru h = 0 si k = 2M.
Introducem functia Φ : C → R via formula8 — [40, p. 839, Theorem 2] —
Φ(z) = supx∈B
f (x)−ω(‖x− z‖) , z ∈C,
unde ω este functia majoranta construita anterior. Formula lui Φ tine seama de fap-
tul ca, via (2.11), (2.12), avem
0 ≤ ω(t)≤ 0 · t +b(0)≤ 0 · t +2M = 2M <+∞, t ≥ 0.
Afirmam ca Φ|B = f , respectiv
∣
∣Φ(z)−Φ(z′)∣
∣≤ ω(
‖z− z′‖)
, z, z′ ∈C.
8 Formula lui Φ se gaseste si ın ultima nota de subsol din [70, p. 63] dar acolo nu se precizeazanicio metoda de constructie pentru functia ω .
2.2 Prelungirea functiilor continue. O abordare de tip E. McShane-H. Whitney 25
Intr-adevar, pentru x, z′ ∈ B, avem
f (x)− f (z′)≤ | f (x)− f (z′)| ≤ ω0(‖x− z′‖)≤ ω(‖x− z′‖),
respectiv
f (x)−ω(‖x− z′‖)≤ f (z′).
Astfel,
Φ(z′) = supx′∈B
f (x′)−ω(‖x′− z′‖)
≤ f (z′)<+∞,
respectiv
f (z′) = f (z′)−ω(0) = f (z′)−ω(‖z′− z′‖)≤ sup
x′′∈B
f (x′′)−ω(‖x′′− z′‖)
= Φ(z′).
Am probat prima parte a afirmatiei.
Apoi, pentru z, z′ ∈C oarecare, avem
f (x)−ω(‖x− z‖) =[
f (x)−ω(‖x− z′‖)]
+[
ω(‖x− z′‖)−ω(‖x− z‖)]
≤[
f (x)−ω(‖x− z′‖)]
(monotonia lui ω) +[
ω(‖x− z‖+‖z− z′‖)−ω(‖x− z‖)]
≤[
f (x)−ω(‖x− z′‖)]
(proprietatea (vii)) +[
ω(‖x− z‖)+ω(‖z− z′‖)−ω(‖x− z‖)]
=[
f (x)−ω(‖x− z′‖)]
+ω(‖z− z′‖), x ∈ B.
Trecand la supremum dupa x,
Φ(z)≤ Φ(z′)+ω(‖z− z′‖)≤+∞. (2.13)
Formula anterioara ne conduce la — z′ ∈ B fixat —
Φ(z)≤ f (z′)+ω(‖z− z′‖)<+∞, z ∈C.
Adica, functia Φ ia doar valori finite deoarece — 0Rn ∈ B —
Φ(z)≥ f (0Rn)−ω(‖z‖)>−∞.
Schimband ıntre ele elementele z, z′ ∈C ın (2.13), ajungem la
|Φ(z)−Φ(z′)| ≤ ω(‖z− z′‖).
26 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
Cea de-a doua parte a afirmatiei a fost probata. Justificarea afirmatiei s-a ıncheiat.
In particular, prelungirea Φ a functiei f este uniform continua si pastreaza modulul
de continuitate9 ω .
Comportamentul ın 0Rn . Sa presupunem ca functia g : B → R satisface, ın afara
continuitatii, urmatoarele doua proprietati:
g(0Rn) = 0, limx→0Rn
g(x)
‖x‖2= 0. (2.14)
Introducem functia f : B → R cu formula
f (x) =
g(x)‖x‖ , x 6= 0Rn ,
0, x = 0Rn .
Evident, f este continua si admite prelungirea McShane-Whitney Φ : C → R, unde
Φ|B = f . Mai mult, pe baza proprietatii (ii) a functiei majorante ω , deducem ca
pentru orice γ1 > 0 exista γ2 > 0 astfel ıncat 0 ≤ ω(t)≤ γ1 pentru orice 0 ≤ t ≤ γ2.
Au loc estimarile
| f (x)|= | f (0Rn)− f (x)| ≤ ω0(‖0Rn − x‖) = ω0(‖x‖)≤ ω(‖x‖), x ∈ B,
respectiv
|Φ(z)|= |Φ(z)−Φ(0Rn)| ≤ ω(‖z−0Rn‖) = ω(‖z‖), z ∈C. (2.15)
In particular, |g(x)| ≤ γ1‖x‖ pentru orice x ∈ B cu ‖x‖ ≤ γ2.
Afirmam ca functia G : C → R, cu formula
G(z) = ‖z‖ ·Φ(z), z ∈C,
prelungeste functia g cu pastrarea proprietatilor (2.14) si a formulei lui γ2 = γ2(γ1),
|G(z)| ≤ γ1‖z‖
pentru orice z ∈C cu ‖z‖ ≤ γ2. Justificarea afirmatiei decurge din estimarea (2.15).
Prelungirea (extensia) McShane-Whitney a functiilor este esentiala ın teoria sis-
temelor dinamice [64, p. 40].
2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron
Putem ın acest moment prezenta un rezultat general de comportament asimp-
totic al solutiilor sistemelor diferentiale n–dimensionale. El se bazeaza pe cercetari
ıntreprinse de H. Poincare, A. Liapunov si O. Perron [9, p. 23]: Fie A ∈ Mn(R),
9 Vezi [40, p. 838].
2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron 27
unde n ≥ 2, si functia continua f : Rn → Rn pentru care
f (0Rn) = 0Rn , limx→0Rn
‖ f (x)‖‖x‖ = 0. (2.16)
Atunci, (i) daca partile reale ale valorilor proprii ale matricei A sunt negative, exista
o vecinatate marginita V a originii 0Rn cu proprietatea ca toate solutiile x = x(t)ale sistemului diferential
.x= Ax+ f (x), (2.17)
pentru care x(0) = x0 ∈V sunt definite ın [0,+∞) si satisfac estimarea limt→+∞
x(t) =
0Rn . (ii) Daca cel putin una dintre valorile proprii are partea reala pozitiva, atunci
exista δ > 0 si t⋆ ≥ 0 cu proprietatea ca pentru orice ε > 0 exista x0 ∈Rn, cu ‖x0‖<ε , astfel ca sistemul (2.17) sa admita cel putin o solutie x = x(t), cu x(t⋆) = x0, care
fie nu este definita pe toata semiaxa [t⋆,+∞), fie satisface inegalitatea ‖x(t)‖ ≥ δpentru cel putin un t ≥ t⋆.
Pentru a proba afirmatiile anterioare, urmam demonstratia din [6, pg. 81–82, 89].
Fie γ = max1≤k≤n
(Reλk)< 0 — cazul (i) —. Tinand seama de (2.16), remarcam ca,
pentru orice γ1 > 0, exista γ2 > 0 astfel ıncat10 ‖ f (x)‖ ≤ γ1‖x‖ oricare ar fi x ∈ Rn
cu ‖x‖ ≤ γ2. Fixam numerele ε , γ1 > 0 suficient de mici ca sa avem inegalitatea11
−ω2 =γ2+ γ1‖T−1‖‖T‖+ ε < 0, (2.18)
unde ω > 0. Numarul ε estimeaza marimea cantitatilor bi j din (2.2), adica |bi j| ≤ ε .
De asemeni, via (2.6), cantitatile ‖T−1‖, ‖T‖ depind de ε0, deci si de ε .
Teorema lui Peano [2, p. 98] ne asigura ca, fiind dat x0 ∈Rn, exista o solutie x(t) a
sistemului (2.17) definita pe un mic interval I la dreapta lui 0 astfel ıncat x(0) = x0.
Facem schimbarea de variabile x = Ty, unde y = y(t), t ∈ I, care ne conduce la
sistemul diferential
.y = T−1ATy+T−1 f (Ty)
=
λ1 b12 . . . . . . b1n
0 λ2 b23 . . . b2n
......
. . .. . .
...
0 0 . . . λn−1 bn−1n
0 . . . . . 0 λn
y1
...
yn
+
F1(y)...
Fn(y)
, (2.19)
10 Fixand convenabil numarul R > 0 — introdus la pagina 24 — si trecand la componente, ınlo-cuim ın cele ce urmeaza functia f cu prelungirea sa McShane-Whitney, notata tot cu f . Aceastapastreaza formula lui γ2 = γ2(γ1).11 Vom utiliza norma operatoriala a matricei M ∈ Mm,n(C), ‖M‖ = sup
‖x‖≤1
‖Mx‖‖x‖ . Aceasta ındepli-
neste conditia ‖M ·N‖ ≤ ‖M‖ · ‖N‖ pentru orice M ∈ Mm,n(C), N ∈ Mn,p(C), unde m, n, p ≥ 1.
28 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
unde functiile Fi : Cn → C sunt continue. In plus, daca ‖y‖ ≤ Γ2 = γ2‖T‖ , atunci —
F =
F1
...
Fn
—
|Fi(y)| ≤ ‖F(y)‖≤ ‖T−1‖ · ‖ f (Ty)‖ ≤ ‖T−1‖ · γ1‖Ty‖≤ γ1‖T−1‖‖T‖ · ‖y‖= Γ1‖y‖, (2.20)
deci limy→0Cn
|Fi(y)|‖y‖ = 0, unde i ∈ 1,n.
Prin conjugare complexa12 — y =
y1
...
yn
—,
d
dt
(
|yk|2)
= yk ·dyk
dt+ yk ·
dyk
dt
= yk
(
λkyk + ∑j>k
bk jy j +Fk(y)
)
+ yk
(
λk · yk + ∑j>k
bk j · y j +Fk(y)
)
= 2(Reλk) |yk|2 + ∑j>k
2Re(
bk jy jyk
)
+2Re(
ykFk(y))
≤ 2(Reλk) |yk|2 +2 ∑j>k
|bk jy jyk|+2|ykFk(y)|
≤ 2γ |yk|2 +2ε |yk|√
2n
∑j=k+1
|y j|2 +2|yk| · |Fk(y)|
≤ 2γ |yk|2 +2√
2ε |yk|√
n
∑j=1
|y j|2 +2|yk| · ‖F(y)‖
= 2γ |yk|2 +2√
2ε |yk| · ‖y‖+2|yk| · ‖F(y)‖,
unde k ∈ 1,n. De aici, prin sumare, ajungem la
d
dt
(
‖y‖2)
≤ 2γ‖y‖2 +2√
2ε ·√
2n
∑k=1
|yk|2 · ‖y‖+2
√
2n
∑k=1
|yk|2 · ‖F(y)‖
≤ 4( γ
2‖y‖+ ε‖y‖+‖F(y)‖
)
‖y‖. (2.21)
12 Reamintesc inegalitatea
(
n
∑s=1
as
)2
≤ 2n
∑s=1
a2s , unde as ∈ [0,+∞), s ∈ 1,n.
2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron 29
Fie acum y0 ∈ Cn, cu ‖y0‖ < Γ2. Data fiind continuitatea solutiei y = y(t) care
“porneste” din y0 = T−1x0, remarcam ca aceasta ındeplineste conditia ‖y(t)‖ < Γ2
pe un mic interval — notat tot I — la dreapta lui 0. Via (2.18), (2.21), (2.20), avem
d
dt
(
‖y(t)‖2)
≤ 4( γ
2+ ε +Γ1
)
· ‖y(t)‖2
= −4ω2 · ‖y(t)‖2, t ∈ I,
respectiv, prin integrare,
‖y(t)‖ ≤ ‖y0‖e−2ω2t ≤ ‖y0‖, t ∈ I. (2.22)
Teorema de extensie (explozie ın timp finit) [25, p. 14, Corollary 3.2] impli-
ca, data fiind marginirea solutiei y din (2.22), faptul ca aceasta exista ın [0,+∞). In
particular, daca x0 ∈Rn ındeplineste restrictia ‖x0‖≤Γ3 =γ2
‖T−1‖‖T‖ =Γ2
‖T−1‖ , atunci
solutia x = Ty a sistemului (2.17) exista ın [0,+∞).Mai mult, daca trecem la limita ın prima dintre inegalitatile (2.22), obtinem ca
limt→+∞
y(t) = limt→+∞
x(t) = 0. Asadar, vecinatatea V poate fi bila deschisa (a spatiului
liniar normat Rn) centrata ın 0Rn si de raza Γ3.
Facem urmatoarea observatie: esenta demonstratiei anterioare este analiza com-
portamentului asimptotic al solutiilor sistemului diferential (2.19) care au drept date
initiale vectori complecsi y0 alesi convenabil. Revenirea la sistemul initial, cu valori
reale, este imediata. Aceasta situatie nu va mai aparea ın cele ce urmeaza.
Pentru partea (ii) a demonstratiei, sa presupunem ca Reλ1 ≥ Reλ2 ≥ ·· · ≥Reλk > 0 ≥ Reλk+1 ≥ ·· · ≥ Reλn.
Inegalitatea (2.18) se rescrie ca
ω2 = γ −2n(
ε√
2+ γ1‖T−1‖‖T‖)
> 0, (2.23)
unde ω > 0 si γ = min1≤s≤k
Reλs = Reλk > 0.
Pe baza lui (2.23), introducem numarul c cu proprietatea ca
n(
ε√
2+ γ1‖T−1‖‖T‖)
=γ −ω2
2< c <
γ +ω2
2. (2.24)
Stabilim, mai ıntai, valabilitatea concluziei pentru sistemul diferential (2.19). Ca
si anterior, pentru orice s ∈ 1,n,
30 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
d
dt
(
|ys|2)
= 2(Reλs) |ys|2 + ∑j>s
2Re (bs jy jys)+2Re(
ysFs(y))
≥ 2(Reλs) |ys|2 − ∑j>s
2|bs j| |y j| |ys|−2|ys| |Fs(y)|
≥ 2(Reλs) |ys|2 −2ε‖y‖ · ∑j>s
|y j|−2‖y‖‖F(y)‖
≥ 2(Reλs) |ys|2 −2ε‖y‖ ·√
2‖y‖−2‖y‖‖F(y)‖,
respectiv
d
dt
(
|ys|2)
≤ 2(Reλs) |ys|2 +2ε‖y‖ ·√
2‖y‖+2‖y‖‖F(y)‖,
de unde13
d
dt
(
|y1|2 + · · ·+ |yk|2 −|yk+1|2 −·· ·− |yn|2)
≥ 2k
∑j=1
(Reλ j)|y j|2 −2k(
ε√
2+ γ1‖T−1‖‖T‖)
‖y‖2
−[
2n
∑j=k+1
(Reλ j)|y j|2 +2(n− k)(
ε√
2+ γ1‖T−1‖‖T‖)
‖y‖2
]
≥ 2γk
∑j=1
|y j|2 −2n(
ε√
2+ γ1‖T−1‖‖T‖)
‖y‖2
= 2γk
∑j=1
|y j|2 − (γ −ω2)‖y‖2
= 2
[
γ +ω2
2
k
∑j=1
|y j|2 −γ −ω2
2
n
∑j=k+1
|y j|2]
≥ 2c ·(
|y1|2 + · · ·+ |yk|2 −|yk+1|2 −·· ·− |yn|2)
.
Am folosit estimarea (2.24).
Asadar, pentru y0 ∈ Cn cu ‖y0‖ < Γ2, data fiind continuitatea solutiei y = y(t)care “porneste” din y0 = T−1x0, aceasta va ındeplini conditia ‖y(t)‖< Γ2 pe un mic
interval I situat la dreapta lui 0. Aici au loc inegalitatile
.Y ≥ 2cY,
respectiv — pentru t0 = 0 —
Y (t)≥ Y (t0)e2c(t−t0), (2.25)
13 Reamintesc ca Reλ j ≤ 0 pentru orice j ∈ k+1,n.
2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron 31
unde Y =k
∑j=1
|y j|2 −n
∑j=k+1
|y j|2.
Fiind date ε ∈ (0,Γ2) si y0 ∈ Cn cu ‖y0‖< ε , solutia y = y(t) a sistemului (2.19)
fie va exploda ın timp finit fie va satisface (2.25) pe fiecare subinterval al lui [0,+∞)ın care ‖y(t)‖<Γ2. Aceasta pentru ca nimic nu ımpiedica — la acest nivel de gene-
ralitate — solutia (definita ın [0,+∞)) y a sistemului (2.19) sa paraseasca, respectiv
sa revina ın bila deschisa centrata ın 0Cn de raza Γ2. Pentru a proba (2.25) pe subin-
tervale care nu ıncep ın 0, folosim invarianta la translatii (temporale) a sistemelor
diferentiale autonome [2, p. 122].
Daca pe [t⋆, t1), unde 0 ≤ t0 = t⋆ ≤ t1 ≤ +∞, are loc (2.25) si impunem ca Y0 =Y (t⋆)> 0, atunci
‖y(t)‖ ≥√
Y (t)≥√
Y0ec(t−t⋆), t ∈ [t⋆, t1). (2.26)
Sa presupunem ca, prin absurd, pentru orice δ > 0 si t⋆ ≥ 0 exista ε ∈ (0,Γ2)astfel ıncat daca ‖y(t⋆)‖ < ε atunci ‖y(t)‖ < δ ın [t⋆,+∞). Insa, luand t1 = +∞ ın
(2.26) si trecand la limita, ajungem la o contradictie: limt→+∞
‖y(t)‖=+∞.
Cum ıi aplicam discutia anterioara sistemului diferential (2.17)? Mai precis, cum
construim vectorul x(t⋆) ∈ Rn astfel ıncat vectorul y(t⋆) = T−1x(t⋆) ∈ Cn sa satis-
faca estimarea Y (t⋆)> 0?
Urmatorul exemplu arata ca trebuie impuse anumite restrictii suplimentare ma-
tricei T a schimbarii de variabile. Fie matricea unitara T , unde
T =1√2
(
1 −1
i i
)
, T−1 =(
T)t=
1√2
(
1 −i
−1 −i
)
.
Atunci, pentru orice x(t⋆) =
(
x1
x2
)
∈ R2, avem
y(t⋆) =
(
y1
y2
)
= T−1
(
x1
x2
)
=1√2
(
x1 − i · x2
−x1 − i · x2
)
,
respectiv
Y (t⋆) = |y1|2 −|y2|2 =1
2
[(
x21 + x2
2
)
−(
x21 + x2
2
)]
= 0. (2.27)
Asadar, matricea T nu poate fi doar o matrice nesingulara cu elemente complexe!
Renumerotam valorile proprii ale matricei A astfel ıncat sa putem introduce ba-
za S a spatiului liniar Rn urmand procedura si pastrand notatiile din [50, p. 85].
Astfel,
32 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
S
=
f 1, . . . , f t ,xt+1,yt+1,xt+3,yt+3 . . . ,xt+2q+1,yt+2q+1
=
g1, . . . ,gt ,gt+1,gt+2, . . . ,gt+2q+1,gt+2q+2
=⋃
λ=
valoare proprie reala
a matricei A
⋃
g∈G (λ )g
(G (λ ) = G (λ ,0))
∪⋃
λ=
valoare proprie nereala
a matricei A
⋃
g∈G (λ ,λ)
g
,(
G
(
λ ,λ)
= G (Reλ , Imλ ))
unde vectorii g j = f j sunt eigenvectori generalizati corespunzand valorilor proprii14
reale λ j ale operatorului15 TC — cu matricea de reprezentare T = A ın baza cano-
nica BC a spatiului Rn, vezi [50, p. 4] — pentru 1 ≤ j ≤ t iar vectorii gt+2 j+1 +i · gt+2 j+2 = xt+2 j+1 + i · yt+2 j+1 sunt eigenvectori generalizati corespunzand va-
lorilor proprii λt+2 j+1 ∈ C\R ale operatorului TC pentru 0 ≤ j ≤ q. De asemeni,
λt+2 j+2 = λt+2 j+1, j ∈ 0,q. Aici, n = t ≥ 2 daca toate valorile proprii ale matricei
A sunt reale, respectiv n = t +2q+2 daca exista eigenvalori complexe nereale.
Are loc descompunerea ın subspatii liniare — [27, p. 187] —
Rn =
(
t⊕
r=1
R f r
)
⊕[
q⊕
s=0
(Rxt+2s+1 ⊕Ryt+2s+1)
]
=⊕
λ=valoare proprie a matricei A
SpanR g |g ∈ G (Reλ , Imλ )
=
[
⊕
Reλ>0
SpanR g |g ∈ G (Reλ , Imλ )]
⊕[
⊕
Reλ≤0
SpanR g |g ∈ G (Reλ , Imλ )]
= H1 ⊕H2.
Stim ca, pentru orice valoare proprie λ reala, spatiul liniar real
Vλ =Vλ ,0 =⋃
s≥0
Ker (TR−λ In)s = SpanR g |g ∈ G (λ ,0)
14 Numarate ımpreuna cu multiplicitatile lor algebrice.15 Pentru a-l distinge de matricea T , utilizata pana acum ın demonstratie, vom nota operatorul liniarT : Rn → Rn avand complexificatul TC, vezi [50, p. 17], cu expresia TR.
2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron 33
este invariant la actiunea operatorului liniar TR, adica TR(Vλ )⊆Vλ , respectiv, pen-
tru orice valoare proprie λ complexa nereala, spatiul liniar real
Vλ ,λ = VReλ , Imλ =
[
⋃
s≥0
Ker (TC−λ In)s
]
⊕[
⋃
s≥0
Ker(
TC−λ In
)s
]
∩Rn
= SpanR g |g ∈ G (Reλ , Imλ )
este invariant la actiunea operatorului liniar TR. Deci, operatorul liniar TR, repre-
zentat de matricea A ın baza BC , invariaza fiecare din subspatiile H1,2.
Fie SH1=
⋃
Reλ>0
G (Reλ , Imλ ) si SH2=
⋃
Reλ≤0
G (Reλ , Imλ ) submultimi ale
setului S care constituie baze ın spatiile liniare H1,2. Exista matricea nesingulara
T ∈ Mn(R) astfel ıncat
T−1AT =
(
B Oh1,h2
Oh1,h2C
)
, B ∈ Mh1(R),C ∈ Mh2
(R),
unde h j = dimRH j, j ∈ 1,2 si h1+h2 = n. Aici, B si C sunt matricele de reprezen-
tare ın bazele SH1, respectiv SH2
ale restrictiilor operatorului liniar TR la subspatiile
H1,2.
Introducem numerele 0 < c2 < 2c < c1 astfel ıncat c1 sa fie mai mic decat ori-
care dintre partile reale16 pozitive ale valorilor proprii ale matricei A si — Γ1 =γ1‖T−1‖‖T‖ —
Γ1 < minc1 −2c,2c− c2 .
Conform [50, p. 87, ecuatia (4.16)], avem
BSH1(TR(u),u)≥ c1 ·BSH1
(u,u), u ∈ H1,
unde BSH1desemneaza produsul scalar al spatiului liniar H1 determinat de baza
SH1, respectiv — via [50, p. 88, ecuatia (4.18)] —
BSH2(TR(u),u)≤ c2 ·BSH2
(u,u), u ∈ H2.
Sistemul diferential (2.19) devine
.y =
(
B Oh1,h2
Oh1,h2C
)
y1
...
yh1
yh1+1
...
yn
+
F1(y)...
Fn(y)
,
16 Evident, daca λ ∈ R, avem Reλ = λ .
34 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
unde functiile Fi : Rn → R sunt continue.
Fie Y = 12
(
h1
∑j=1
y2j −
n
∑j=h1+1
y2j
)
. Atunci,
.Y =
(
y1 · · · yh1
)
.y1
...
.yh1
−(
yh1+1 · · · yn
)
.yh1+1
...
.yn
=(
y1 · · · yh1
)
B
y1
...
yh1
−(
yh1+1 · · · yn
)
C
yh1+1
...
yn
+ r(y),
unde
r(y) =(
y1 · · · yh1
)
F1(y)...
Fh1(y)
−(
yh1+1 · · · yn
)
Fh1+1(y)...
Fn(y)
si
|r(y)| ≤∣
∣
∣
∣
∣
h1
∑j=1
y jFj(y)
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
n
∑j=h1+1
y jFj(y)
∣
∣
∣
∣
∣
≤n
∑j=1
|y jFj(y)|
≤ ‖y‖2 · ‖F(y)‖2 ≤ Γ1‖y‖22.
Au loc relatiile — vezi si [27, p. 190] —
.Y = BSH1
(TR(u),u)−BSH2(TR(v),v)+ r(y)
≥ c1 ·BSH1(u,u)− c2 ·BSH2
(v,v)−|r(y)|
≥ c1
h1
∑j=1
y2j − c2
h2
∑j=h1+1
y2j −Γ1
(
h1
∑j=1
y2j +
h2
∑j=h1+1
y2j
)
= (c1 −Γ1)h1
∑j=1
y2j − (c2 +Γ1)
h2
∑j=h1+1
y2j
≥ (2c) ·Y,
unde
2.3 Teorema Poincare-Liapunov-Perron 35
u =
xu1(t)...
xun(t)
=(
i1 · · · in)
T
y1(t)...
yh1(t)
0...
0
∈ H1
si
v =
xv1(t)...
xvn(t)
=(
i1 · · · in)
T
0...
0
yh1+1(t)...
yn(t)
∈ H2.
Aici,
x(t) =
x1(t)...
xn(t)
= u+ v, t ∈ I.
Regasim estimarea (2.25), ceea ce ne va conduce la (2.26). Nemaiexistand posi-
bilitatea unei restrictii de tipul (2.27), deducem ca
‖T−1‖ · ‖x(t)‖ ≥ ‖y(t)‖ ≥√
Y (t)≥√
Y0ec(t−t⋆), t ∈ [t⋆, t1). (2.28)
Sa presupunem ca, prin absurd, pentru orice δ > 0 si t⋆ ≥ 0 exista ε ∈ (0,Γ3),
unde Γ3 =Γ2
‖T−1‖ , astfel ıncat daca ‖x(t⋆)‖ < ε atunci ‖x(t)‖ < δ ın [t⋆,+∞). Insa,
luand t1 =+∞ ın (2.28) si trecand la limita, ajungem la o contradictie: limt→+∞
‖x(t)‖=+∞.
Demonstratia teoremei Poincare-Liapunov-Perron se ıncheie.
Am vazut deja, la sistemul diferential (1.1), comportamentul descris ın partea
(i) a teoremei de la pagina 26. “Atractia” exercitata de 0R2 asupra “particulelor”–
solutii17 este ilustrata ın Figura 1.1. Un exemplu celebru (R. Vinograd, 1957, vezi
[14, p. 80]), arata cat de diferite pot fi curbele din planul fazelor ın cazul sistemelor
neliniare. Mai precis, fiind dat sistemul
( .x.y
)
=1
(x2 + y2) [1+(x2 + y2)2]
(
x2(y− x)+ y5
y2(y−2x)
)
, (2.29)
17 Pentru analogia miscare mecanica – evolutie ın planul fazelor, vezi [3, p. 98].
36 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
solutia care pleaca din (x0,y0), unde x0 =−5.5, y0 = 0.5, produce curba din Figura
2.2.
x
y
(0,0)
Fig. 2.2 Exemplul lui Vinograd
Folosim scriptul WINPP de mai jos.
vinograd.ode
1 dx/dt = ((x*x)*(y-x)+y*y*y*y*y)/((x*x+y*y)*(1+(x*x+y*y)*(x*x+y*yց
(cont.))))2 dy/dt = ((y*y)*(y-2*x))/((x*x+y*y)*(1+(x*x+y*y)*(x*x+y*y)))3 @axes=2,xp=x,yp=y,x l o=-10,y l o=-10,xhi=10,yhi=10, t0=0, t r a n s=0,dtց
(cont.)=1, t o t a l=80000,bounds=100004 x(0)=-5.55 y(0)=0.56 done
Chiar daca ın cazul de fata este o chestiune de gust — putem scrie fie yˆ5 fie
y*y*y*y*y —, se merita reamintit faptul ca organizarea expresiei de iterat/inte-
grat poate influenta viteza de lucru/consumul de spatiu ın memorie, cf. discutiilor
din [26].
2.4 Reparametrizarea traiectoriilor: modificarea
2.4 Reparametrizarea traiectoriilor: modificarea timpului t 37
timpului t
Plecam de la urmatorul calcul (formal). Fiind data ecuatia diferentiala
..y= f (y), (2.30)
unde f : R → R este continua, consideram functia F = F(y) ∈ ∫ f (y)dy — o an-
tiderivata a lui f —.
Ecuatia devine
[
( .y)2]·
= 2..y.y
= 2 f (y).y= [2F(y)]
·,
de unde, prin integrare, ajungem la
.y=±
√
c+2F(y), c ∈ R. (2.31)
Fixand semnul din fata membrului drept — functiile continue au proprietatea
valorii intermediare (G. Darboux) —, din expresia (2.31) obtinem o ecuatie cu vari-
abile separabile [2, p. 69]. Daca alegem convenabil primitiva F — adica, luam c= 0
—, solutia ecuatiei diferentiale (2.30) se scrie ca
t =±∫ y(t) du
√
2F(u). (2.32)
Acest calcul, frecvent ın cursurile elementare de ecuatii diferentiale si fizica
matematica, ne obisnuieste cu ideea ca variabila t din ecuatia (2.30) poate fi imagi-
nata ca o functie de solutia ecuatiei.
Formalizam aici tipul de abordare anterior — t = t(y) —, urmand prezentarea
din [14, p. 16 si urm.]. Astfel, introducem ecuatia diferentiala
dx
ds= g(x) f (x), (2.33)
unde functiile g : R→ (0,+∞) si f : R→ R sunt netede (cel putin C1). Fiind local
Lipschitziene, asemenea functii fac ca problema Cauchy asociata ecuatiei (2.33) sa
aiba solutie unica [2, pg. 91, 95].
Justificarea formulei (2.32) este data de urmatoarea afirmatie. Daca fixam t0, x0 ∈R si α = α(t) este solutia ecuatiei
.x= f (x), (2.34)
cu α(t0) = x0, definita pe un mic interval I centrat ın t0, atunci: (i) functia X : I →R
cu formula
38 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
X(t) =∫ t
t0
du
g(α(u)), t ∈ I,
este injectiva; (ii) daca Y : X(I)→ I este inversa aplicatiei X, functia β : X(I)→R
cu formula β (s) = α(Y (s)) verifica ecuatia (2.33) si conditia β (0) = x0.
Intr-adevar, pentru partea (i), observam ca.X (t) = 1
g(α(t)) > 0, deci aplicatia t 7→X(t) este crescatoare. La (ii), expresia functiei β este echivalenta cu β (X(t))=α(t).De unde, aplicand regula de derivare a functiilor compuse, deducem ca
dβds
∣
∣
∣
∣
s=X(t)
· dX
dt(t) =
.α (t) = f (α(t)),
respectiv
dβds
(X(t)) = g(α(t)) · f (α(t)) = g(β (X(t))) f (β (X(t))),
adica (2.33). Afirmatia a fost probata.
Din demonstratia Afirmatiei reiese faptul ca pozitivitatea functiei g nu este nece-
sara. S-a folosit doar pozitivitatea aplicatiei t 7→ (gα)(t), unde t ∈ I.
Ca exemplu, fie α(t) = et solutia problemei Cauchy
.x= x, t ∈ I = (− ln2, ln2),x(0) = 1
si functia X : I → R cu formula
X(t) =∫ t
0
du
2− eu=
1
2
[
t − ln(
2− et)]
, t ∈ I.
Evident, X(I) =(
− ln52 ,+∞
)
iar
β = β (s) =2e2s
e2s +1
va constitui o solutie cu existenta pana la +∞ a ecuatiei dxds
= (2− x)x.
Ceea ce face rezultatul precedent este sa reparametrizeze18 curbele integrale
ale ecuatiei (2.34): practic, particulele-solutii ale ecuatiilor (2.34), (2.33) descriu
aceleasi curbe, ınsa evolueaza cu viteze [2, p. 6], [3, p. 18], diferite.
Putem, evident, generaliza tehnica reparametrizarii, impunand ca x = x : I → Rn
si f = f : Rn → Rn, unde n ≥ 1. Un exemplu utilizat ın geometria diferentiala [36,
p. 180] priveste sistemul
.x= g(x)f(x) =
x√
1+‖x‖2,
18 Insist asupra faptului ca reparametrizarea se realizeaza per curba — depinde de datele Cauchy— si nu per familie de curbe [61, pg. 30, 31].
2.5 Modificarea coordonatelor spatiale 39
vezi [14, p. 19].
2.5 Modificarea coordonatelor spatiale
In sectiunea anterioara am investigat ideea de a schimba modul de masurare a
timpului “matematic” [2, p. 31] t, ceea ce ne va permite sa parcurgem o curba simpla
regulara [45, p. 1] ıntr-o infinitate de momente, indiferent de lungimea efectiva a
acesteia.
Alta idee priveste distorsionarea spatiului “fizic” (rotatii, scalari pe directii da-
te) ın care se manifesta sistemul dinamic, vezi [3, p. 159]. Mai precis, fie matricea
nesingulara C = (ci j)i, j care expandeaza cu factorii 2, 3 directiile de coordonate
(carteziene) ale spatiului fizic19 (SF):
(
y1
y2
)
=C
(
x1
x2
)
, C =
(
2 0
0 3
)
. (2.35)
Consideram sistemul diferential
( .x1.x2
)
= A
(
x1
x2
)
, A =
(
0 −2
−1 0
)
. (2.36)
Transformarea (2.35) ne conduce la sistemul
( .y1.y2
)
= B
(
y1
y2
)
, B =CAC−1 =
(
0 − 43
− 32 0
)
. (2.37)
In Figurile 2.3, 2.4 sunt reprezentate traiectoriile20 sistemelor diferentiale de ma-
trice A, respectiv B care pleaca din
(
x1(0)x2(0)
)
=
(
1
1
)
,
(
y1(0)y2(0)
)
=C
(
1
1
)
=
(
2
3
)
.
Astfel de distorsiuni nu influenteaza alura generala a traiectoriilor ın planul fa-
zelor. Intr-adevar, daca D ⊂ R2 este un domeniu21 si realizam, ın locul lui (2.35),
schimbarea de variabile generala — neteda —
(
y1
y2
)
= F(x1,x2) =
(
f (x1,x2)g(x1,x2)
)
,
unde
D( f ,g)
D(x1,x2)(x1,x2) =
∣
∣
∣
∣
∣
∂ f∂x1
∂g∂x1
∂ f∂x2
∂g∂x2
∣
∣
∣
∣
∣
(x1,x2) 6= 0
19 Si pastreaza orientarea SF [42, p. 9] daca detC > 0 [52, p. 25].20 Pentru scripturile WINPP: t0=0,trans=0,dt=0.05,total=20,bounds=8.521 Adica, o multime deschisa si simplu conexa.
40 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
x1
x2
(0,0)
Fig. 2.3 Sistemul de matrice A
pentru orice (x1,x2) ∈ D , atunci curbura cu semn22 ın punctul curent M = M(x(t),y(t)) a traiectoriilor sistemului (2.36), data de expresia [45, p. 23]
ks =
.x1 (t)
..x2 (t)−
..x1 (t)
.x2 (t)
[.x1 (t)]2 +[
.x2 (t)]2
32
,
devine
Ks =
.y1 (t)
..y2 (t)−
..y1 (t)
.y2 (t)
[.y1 (t)]
2 +[.y2 (t)]
2 3
2
=A(x1,
.x1,
..x1,x2,
.x2,
..x2)(t)
[
B(x1,.x1,x2,
.x2)(t)
] 32
.
Aici,
22 In limba engleza, signed curvature.
2.5 Modificarea coordonatelor spatiale 41
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.4 Sistemul de matrice B
A(x1,.x1,
..x1,x2,
.x2,
..x2)
= (.x1
..x2 −
..x1
.x2)
(
∂ f
∂x1
∂g
∂x2− ∂ f
∂x2
∂g
∂x1
)
(x1,x2)
+(.x1)
3
(
∂ f
∂x1
∂ 2g
∂x21
− ∂g
∂x1
∂ 2 f
∂x21
)
(x1,x2)
+(.x1)
2 .x2
(
2∂ f
∂x1
∂ 2g
∂x1∂x2+
∂ f
∂x2
∂ 2g
∂x21
−2∂g
∂x1
∂ 2 f
∂x1∂x2− ∂g
∂x2
∂ 2 f
∂x21
)
(x1,x2)
+.x1 (
.x2)
2
(
∂ f
∂x1
∂ 2g
∂x22
+2∂ f
∂x2
∂ 2g
∂x1∂x2− ∂g
∂x1
∂ 2 f
∂x22
−2∂g
∂x2
∂ 2 f
∂x1∂x2
)
(x1,x2)
+(.x2)
3
(
∂ f
∂x2
∂ 2g
∂x22
− ∂g
∂x2
∂ 2 f
∂x22
)
(x1,x2)
si
42 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
B(x1,.x1,x2,
.x2) = (
.x1)
2
[
(
∂ f
∂x1
)2
+
(
∂g
∂x1
)2]
(x1,x2)
+ (.x2)
2
[
(
∂ f
∂x2
)2
+
(
∂g
∂x2
)2]
(x1,x2)
+ 2.x1
.x2
(
∂ f
∂x1
∂ f
∂x2+
∂g
∂x1
∂g
∂x2
)
(x1,x2).
In cazul particular cand transformarea F are formula (2.35), obtinem
A(x1,.x1,
..x1,x2,
.x2,
..x2) = detC · ( .x1
..x2 −
..x1
.x2) (2.38)
= 6(.x1
..x2 −
..x1
.x2),
respectiv
B(x1,.x1,x2,
.x2) = (c2
11 + c221)(
.x1)
2 +(c212 + c2
22)(.x2)
2 (2.39)
+ (c11c21 + c12c22).x1
.x2 (2.40)
= 4(.x1)
2 +9(.x2)
2,
deci apar modificari ale valorilor curburii fara a se schimba semnul acesteia. De
asemeni, formulele (2.38) – (2.40) arata ca rotatiile plane nu modifica valorile cur-
burii traiectoriilor.
Sistemele diferentiale din (2.36), (2.37) sunt considerate echivalente topolo-
gic23 [3, p. 170] si spunem ca asemenea transformari pastreaza scheletul separa-
toarelor24. Pentru a-l vedea, utilizati optiunea Phaseplane/Flow a programului
WINPP. Prin separatoare ıntelegem curbele care despart zonele cu dinamica diferita
din planul fazelor [3, p. 103].
2.6 Sisteme plane ın forma canonica
Schimbarea de variabile x = Ty, unde T ∈ M2(C) este nesingulara, pe care am
folosit-o ın demonstratia teoremei de comportament asimptotic de la pagina 26,
implica — restransa la cazul T ∈ M2(R) — faptul ca sistemele diferentiale
( .x1.x2
)
= A
(
x1
x2
)
,
( .y1.y2
)
= T−1AT
(
y1
y2
)
= B
(
y1
y2
)
descriu curbe de acelasi fel si cu aceeasi orientare [2, p. 7] ın planul fazelor, ceea
ce difera fiind curbura — vezi, d.ex., [45, p. 7] — .
23 In limba engleza, topologically equivalent [17, p. 8]. In cazul exemplului (2.36), (2.37), sis-temele sunt chiar conjugate topologic [3, p. 168, Teorema]. Vezi si pagina 49 a tutorialului defata.24 In limba engleza, completed separatrix skeleton [17, p. 35].
2.6 Sisteme plane ın forma canonica 43
Folosind o rafinare a acestei descompuneri, cf. [52, p. 39 si urm.], [61, p. 44, The-
orem 1], si anume forma canonica Jordan a matricelor, putem determina o matrice
T ∈ M2(R) pentru care B sa aiba una dintre reprezentarile
Bλ ,µ1 =
(
λ 0
0 µ
)
, Bλ2 =
(
λ 1
0 λ
)
, Ba,b3 =
(
a −b
b a
)
,
unde λ , µ , a, b∈R iar cantitatile λ , µ , a±bi desemneaza valori proprii ale matricei
A.
Urmam discutia din [52, pg. 20–26]. Astfel, curbele desemnate ın planul fazelor
de solutiile sistemului diferential liniar si omogen de matrice B−2,−11 — cazul λ =
−2 < µ =−1 < 0 — sunt ilustrate ın Figura 2.5.
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.5 Matricea B−2,−11
Aplicand o rotatie de matrice
C−1 =
(√3
2 − 12
12
√3
2
)
sistemului ın cauza, ajungem la sistemul diferential
( .z1.z2
)
=C−1B−2,−11 C
(
z1
z2
)
=
(
− 74
√3
4√3
4 − 54
)
(
z1
z2
)
,
44 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
pe care ıl observam ın Figura 2.6.
z1
z2
(0,0)
Fig. 2.6 Matricea C−1B−2,−11 C
Este vizibil faptul ca cele doua sisteme diferentiale prezinta acelasi tip de traiec-
torii — adica, sunt echivalente topologic —, deci ne putem margini la constructia
planului fazelor pentru sistemele diferentiale cu matricea coeficientilor adusa la
forma Jordan. In particular, identitatea
(
µ 0
0 λ
)
=
(
0 1
1 0
)(
λ 0
0 µ
)(
0 1
1 0
)
, λ ,µ ∈ R, (2.41)
cu T 2 = I2 pentru T =
(
0 1
1 0
)
, arata ca sistemele diferentiale din Figurile 1.1 —
B−1,−21 , deci cazul µ =−2 < λ =−1 < 0 — si 2.6, 2.5 produc curbe identice.
De asemeni, transformarea “trecut – viitor”, data de expresiile zi(t) = yi(−t),t ∈ R, unde i = 1, 2, face ca sistemele diferentiale
( .y1.y2
)
=
(
λ 0
0 µ
)(
y1
y2
)
,
( .z1.z2
)
=
(
−λ 0
0 −µ
)(
z1
z2
)
sa ne conduca la curbe identice, cu orientari opuse. In Figura 2.7 este ilustrat sis-
temul de matrice B2,11 — 0 < µ = 1 < λ = 2 —.
2.6 Sisteme plane ın forma canonica 45
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.7 Matricea B2,11
Cazul λ = −1 < µ = 0 — B−1,01 — se gaseste ın Figura 2.8. Planul fazelor, ın
cazul λ = 0 < µ = 1, poate fi construit via transformarea trecut-viitor, respectiv
simetria (2.41).
In Figura 2.9 sunt reprezentate curbele din planul fazelor datorate matricei
B−1,−11 : aici, λ = µ =−1 < 0.
In Figurile 2.10, 2.11 am desenat curbele corespunzatoare matricelor B−12 , B1
2.
In cazul de fata — λ = µ —, vectorul
(
0
1
)
— prin intermediul caruia se
genereaza axa Oy — este vector propriu generalizat al matricei Bλ2 , adica
(
Bλ2 −λ0 · I2
)2(
0
1
)
=
(
(λ −λ0)2 2(λ −λ0)
0 (λ −λ0)2
)(
0
1
)
=
(
0
0
)
pentru λ = λ0 ∈ R.
Figura 2.12 contine ilustratia planului fazelor pentru λ =−1 < 0 < µ = 1. Aici,
B = B−1,11 .
Cele trei cazuri privind valorile proprii λ ∈ C\R, si anume a = 0, b = 1 — B0,13
—, respectiv a = −1 < 0, b = 2 > 0 — B−1,23 — si a = −1 < 0, b = −2 < 0 —
B−1,−23 — sunt investigate ın Figurile 2.13 – 2.15.
Facem observatia ca
46 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.8 Matricea B−1,01
Ba,−b3 =
(
0 −1
−1 0
)
Ba,b3
(
0 −1
−1 0
)
, a, b ∈ R,
cu T 2 = I2 pentru T =
(
0 −1
−1 0
)
. Astfel, sistemele diferentiale din Figurile 2.14,
2.15 sunt “ın oglinda” unul fata de celalalt.
Originea 0R2 din Figurile 1.1, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10 desemneaza un nod stabil25. In
Figura 2.12 avem un punct-sa26. Figurile 2.14, 2.15 ilustreaza un focar stabil27. In
sfarsit, originea planului din Figura 2.13 constituie un centru28. Generic, putem con-
sidera originea 0R2 din Figurile 1.1, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10, 2.14, 2.15 drept o scurgere
ori chiuveta29.
Dupa H. Poincare [61, pg. 40–42], nodul din Figurile 1.1, 2.5, 2.6, 2.7 este 2–
tangent, cel din Figurile 2.10, 2.11 este 1–tangent iar cel din Figura 2.9 un nod
stelar.
Clasificarea originii 0R2 pe baza ecuatiei caracteristice
25 In limba engleza, stable node.26 In limba engleza, saddle (point).27 In limba engleza, stable focus.28 In limba engleza, center.29 In limba engleza, sink, cf. [2, pg. 167, 172]. Aici, toate valorile proprii ale matricei B au parteareala negativa. Daca exista numai valori proprii cu partea reala pozitiva, originea 0R2 este o sursa.In limba engleza, source [52, p. 56].
2.7 Echivalente 47
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.9 Matricea B−1,−11
det(A−λ · I2) = |A−λ · I2|= λ 2 −Trace(A) ·λ +detA
= 0,
cu radacinile λi =12 · (Trace(A)±
√D), unde D = [Trace(A)]2 − 4detA, i ∈ 1,2,
este ilustrata ın Figura 2.16. Vezi [2, p. 171].
2.7 Echivalente
Teorema Poincare-Liapunov-Perron ne ofera prilejul unei digresiuni geometrice.
Fiind dat sistemul (2.1), introducem aplicatia−→X : R2 × I → R cu formula
−→X (−→x , t) = eAt−→x =
+∞
∑q=0
tq
q!·Aq−→x , t ∈ I.
Aici, −→x =
(
x0
y0
)
∈ R2 iar I ⊆ R este un interval deschis centrat ın 0.
Evident, familia(−→
X (·, t))
t∈Iformeaza un grup uni-parametric de transformari
liniare ale spatiului euclidian R2, cf. [3, p. 126, Teorema], [44, p. 2]:
48 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.10 Matricea B−12
eAt · eAs−→x = eA(t+s)−→x , t ,s , t + s ∈ I.
Ne intereseaza ce se ıntampla cu orbitele grupului [44, p. 13] atunci cand asupra
spatiului actioneaza difeomorfismul−→f :R2 →R2, unde
−→f (−→x )= T−1−→x si matricea
T ∈ M2(R) este nesingulara.
Mai ıntai, sa observam ca sistemului de ecuatii (2.19), rezultat ın urma acestei
actiuni, adica
d−→ydt
= T−1AT −→y , (2.42)
ıi corespunde grupul uni-parametric(−→
Y (·, t))
t∈Idat de aplicatia — [2, p. 155] —
−→Y (−→y , t) = eT−1ATt −→y = T−1eAtT −→y , t ∈ I,−→y ∈ R2. (2.43)
Apoi, cum −→x 7→ −→X−→x = A−→x este campul vectorial [3, p. 23], [44, p. 6] asociat
sistemului diferential (2.1), el genereaza orbitele grupului−→X (·, t),
−→X−→x =
∂∂ t
[
eAt−→x]
∣
∣
∣
∣
t=0
.
2.7 Echivalente 49
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.11 Matricea B12
In sfarsit, campul vectorial−→Y corespunzator sistemului (2.42) este transportul-ı-
nainte30 [46, p. 21] al campului−→X :
−→Y =
−→f ⋆
−→X .
Putem reformula acum, via [44, p. 9, Propozitia 1], cea de-a doua egalitate din
(2.43): imaginea prin functia−→f a punctului curent de pe orbita care trece prin −→x
a grupului−→X (·, t) este punctul curent de pe orbita trecand prin f (−→x ) a grupului−→
Y (·, t). Spunem despre sistemele diferentiale (2.1) si (2.42) ca sunt conjugate topo-
logic31.
Alt rezultat cu “savoare” geometrica legat de sistemul (2.1) priveste derivata Lie
dupa campul−→X [46, p. 31] a functiei −→x 7→ ‖−→x ‖2, si anume
L−→X−→x
‖−→x ‖2 = 2(−→x |A−→x )R2 , (2.44)
cf. [3, p. 174], unde (·|·)R2 desemneaza produsul scalar euclicidian. Folosind aceasta
estimare, se pot construi homeomorfisme−→f : R2 →R2 care sa transporte traiectori-
ile particulelor-solutii ıntre Figurile 1.1, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10, 2.14, 2.15 eventual repa-
30 In limba engleza, push-forward.31 Sau echivalente topologic izocron, cf. [2, pg. 254, 263].
50 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.12 Matricea B−1,11
rametrizandu-le, cf. [3, pg. 170, 178], [2, pg. 183, 184]. Astfel, sistemele diferentiale
ın cauza sunt echivalente topologic [58, p. 113].
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui
echilibru hiperbolic
Ca si pana acum, presupunem ca exista k ∈ 1,n, unde n < +∞, astfel ıncat va-
lorile proprii ale matricei A din cadrul sistemului diferential (2.17) sa ındeplineasca
inegalitatile
max1≤q≤k
Reλq < α < 0 < β < mink+1≤r≤n
Reλr.
In acest context, echilibrul 0Rn se numeste hiperbolic [14, p. 36].
Folosind forma canonica Jordan a matricei A, vezi [52, pg. 39, 40], deducem
existenta matricei nesingulare T ∈ Mn(R) pentru care
T−1AT =
(
B1 0k,n−k
0n−k,k B2
)
, B1 ∈ Mk(R), B2 ∈ Mn−k(R), (2.45)
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru hiperbolic 51
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.13 Matricea B0,13
iar matricele B1, B2 au valorile proprii (λq)q∈1,k, respectiv (λr)r∈k+1,n. De asemeni,
exista K > 0 cu proprietatea ca
‖etB1‖ ≤ Keαt , t ≥ 0,
‖etB2‖ ≤ Keβ t , t ≤ 0.(2.46)
Vezi [2, pg. 163, 164].
Urmam prezentarea din [15, pg. 330–335]. Astfel, fie matricele
W1(u) =
(
euB1 0k,n−k
0n−k,k 0n−k,n−k
)
, W2(u) =
(
0k,k 0k,n−k
0n−k,k euB2
)
, u ∈ R.
Solutiile sistemului (2.19) verifica relatia generica
y(t) = y(t,x0)
= (W1 +W2)(t)x0 +
∫ t
(W1 +W2)(t − s)F(y(s))ds, t ∈ R, (2.47)
conform [41, pg. 98, 99].
Particularizam aceasta expresie, introducand ecuatia integrala
52 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.14 Matricea B−1,23
θ(t,a) = W1(t)a+∫ t
0W1(t − s)F(θ(s,a))ds
−∫ +∞
tW2(t − s)F(θ(s,a))ds, t ≥ 0, (2.48)
unde a = (a1, · · · ,ak,0, · · · ,0)T ∈ Rn.
De asemeni, consideram ca F ∈ C1(Rn,Rn) ındeplineste conditiile: F(0) = 0,
Jac0Rn (F) = 0 (matricea jacobiana a aplicatiei [46, p. 20]). In particular, pentru
orice γ1 > 0 exista γ2 > 0 cu proprietatea ca ‖F(x1)− F(x2)‖ ≤ γ1‖x1 − x2‖ si
‖Jacx3(F)‖ ≤ γ1 oricare ar fi xi ∈ Rn cu ‖xi‖ ≤ γ2, i ∈ 1,3.
Afirmam ca ecuatia (2.48) admite o singura solutie marginita, depinzand doar
de (ai)i∈1,k — si, evident, de variabila t —.
Pentru a demonstra asertiunea, fixam γ ∈ (α,0) si K1 ≥ K astfel ca
2K ·max
1−α + 1
β ,1
γ−α + 1β−γ
· γ1 < 3K(
1−α + 1
β
)
γ1 < 1,
2K1‖a‖< γ2.(2.49)
De asemeni, marim eventual cantitatea K pentru a avea 2K > 1.
Utilizand tehnica aproximatiilor succesive (E. Cotton, E. Picard), construim o
solutie a ecuatiei integrale. Mai precis,
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru hiperbolic 53
y1
y2
(0,0)
Fig. 2.15 Matricea B−1,−23
Trace
det D = 0
Cen
tre
Puncte-sa,
FocareFocare
Noduri Noduri
Fig. 2.16 Clasificarea originii 0R2
θ0(t,a) = 0,
θm+1(t,a) = W1(t)a+∫ t
0W1(t − s)F(θm(s,a))ds
−∫ +∞
tW2(t − s)F(θm(s,a))ds, m ≥ 1.
Afirmam ca
54 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
‖θm+1(t,a)−θm(t,a)‖ ≤ K1eγt · ‖a‖2m ,
‖θm(t,a)‖ ≤ 2K1eγt‖a‖, m ≥ 0. (2.50)
Aceasta (noua) asertiune va fi probata ın continuare folosind inductia matematica ın
raport cu m.
Asadar, cand m = 1, avem via (2.46)
‖θ1(t,a)‖ = ‖θ1(t,a)−θ0(t,a)‖= ‖W1(t)a‖ ≤ Keαt‖a‖ ≤ K1eγt‖a‖≤ 2K1eγt‖a‖.
Presupunand inegalitatile adevarate pentru m = h− 1 si tinand seama de (2.49),
deducem ca
‖θh+1(t,a)−θh(t,a)‖
≤∫ t
0Keα(t−s) · γ1‖θh(s,a)−θh−1(s,a)‖ds
+
∫ +∞
tKeβ (t−s) · γ1‖θh(s,a)−θh−1(s,a)‖ds
≤ K1
2h−1‖a‖ ·Kγ1 ·
∫ t
0eαt · e(γ−α)sds
+K1
2h−1‖a‖ ·Kγ1 ·
∫ +∞
teβ t · e(γ−β )sds
≤ Kγ1K1
2h−1‖a‖ ·
(
1
γ −α+
1
β − γ
)
eγt
= K1eγt ‖a‖2h
·2K
(
1
γ −α+
1
β − γ
)
γ1
≤ K1eγt ‖a‖2h
,
respectiv
‖θh(t,a)‖ ≤h−1
∑i=0
‖θi+1(t,a)−θi(t,a)‖ ≤ K1eγt‖a‖h−1
∑i=0
2−i
≤ 2K1eγt‖a‖.
Ultima afirmatie a fost stabilita.
In consecinta, seria telescopica ∑m≥0
[θm+1(·,a)− θm(·,a)] converge uniform, ın
[0,+∞), ın raport cu variabila t la solutia θ(·,a) a ecuatiei integrale (2.48). In plus,
pe baza (2.50),
limt→+∞
θ(t,a) = 0. (2.51)
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru hiperbolic 55
Structura “pe blocuri” a matricelor Wi, ne conduce la sistemul de ecuatii integrale
θ k(t,a) = eB1tak +∫ t
0 eB1(t−s)Fk(θ(s,a))ds,
θ n−k(t,a) =−∫+∞t eB2(t−s)Fn−k(θ(s,a))ds,
t ≥ 0. (2.52)
Aici, θ(t,a) = (θ k(t,a),θ n−k(t,a))T ∈ Rk ×Rn−k si a = (ak,0Rn−k)T iar F(u) =(Fk(u),Fn−k(u))T ∈ Rk ×Rn−k, unde u ∈ Rn.
Solutia θ = θ(t,a) pleaca din punctul
(θ k(0,a),θ n−k(0,a))T (2.53)
= (a1, · · · ,ak,θk+1(0,ak,0Rn−k), · · · ,θn(0,a
k,0Rn−k))T ,
unde, vezi (2.49),
√
k
∑i=0
a2i <
γ22K1
.
Am gasit, asadar, o solutie a ecuatiei integrale (2.48). De asemeni, nicaieri ın
demonstratia inductiva nu am folosit faptul ca ultimele n− k intrari ale coloanei a
sunt nule. Ele au fost alese astfel pentru ca ecuatia ın cauza nu le “vede”:
W1(t)a =
(
eB1tak
0Rn−k
)
, a ∈ Rn, t ∈ R.
Fie acum a, b ∈ Rn verificand restrictiile
‖a‖, ‖b‖< γ2.
Presupunem ca θ(·,a) si θ(·,b) sunt solutii ale ecuatiei integrale (2.48) cu proprie-
tatea ca32
‖θ(t,a)‖ ≤ γ2, ‖θ(t,b)‖ ≤ γ2, t ≥ 0.
Are loc estimarea
‖θ(t,a)−θ(t,b)‖ ≤ Keαt‖ak −bk‖
+ Kγ1
(
1− eαt
−α+
1
β
)
· sups≥0
‖θ(s,a)−θ(s,b)‖
≤ K‖ak −bk‖
+ Kγ1
(
1
−α+
1
β
)
· sups≥0
‖θ(s,a)−θ(s,b)‖,
de unde, trecand la supremum dupa t ∈ [0,+∞), ajungem la
32 Facem observatia ca ‖ak‖ = ‖θ k(0,a)‖ ≤ ‖θ(0,a)‖ < γ2. Restrictia suplimentara (2.49)2 ınprivinta lui a, adica ‖ak‖ ≤ ‖a‖< γ2
2K1, este impusa de tehnica de demonstratie (2.50) si nu va mai
fi folosita ın cele ce urmeaza.
56 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
supt≥0
‖θ(t,a)−θ(t,b)‖ ·[
1−Kγ1
(
1
−α+
1
β
)]
≤ K‖ak −bk‖,
respectiv
‖θ(·,a)−θ(·,b)‖∞ ≤ 2K‖ak −bk‖. (2.54)
Deci, daca ak = bk, atunci θ(·,a) = θ(·,b). Trebuie remarcat faptul ca nu am
precizat prin ce tehnica sunt construite solutiile marginite! De asemeni, θ (·,0Rn) =0.
Unicitatea solutiei marginite, oferita de (2.54), ımpreuna cu expresia punctului
sau de plecare (2.53) stabilesc existenta functiilor ψi : B → R cu formula
ψi(ak) = θi(0,a
k,0Rn−k), i ∈ k+1,n.
Aici, B este bila deschisa a spatiului euclidian Rk cu centrul ın originea spatiului si
raza γ2. Din (2.54) rezulta, ın plus, ca — reamintesc, 2K > 1 —
|ψi(ak)−ψi(b
k)| ≤ 2K‖ak −bk‖, (2.55)
deci functiile (ψi)i∈k+1,n sunt continue. Asertiunea initiala a fost stabilita. In parti-
cular, ψi (0Rk) = 0.
Mai departe, afirmam ca functiile (ψi)i∈k+1,n sunt continuu diferentiabile.
Pentru a proba acest lucru, ıncepem cu estimarea
supt≥0
supak,ak+h∈B,h6=0
‖θ(t,ak +h,0Rn−k)−θ(t,ak,0Rn−k)‖‖h‖ ≤ 2K <+∞. (2.56)
Apoi, derivam formal ecuatia (2.48) ın raport cu a j, j ∈ 1,k. Obtinem ca
∂θ∂a j
(t,a) = W1(t) · e j +∫ t
0W1(t − s)Jacθ(s,a)(F) · ∂θ
∂a j
(s,a)ds
−∫ +∞
tW2(t − s)Jacθ(s,a)(F) · ∂θ
∂a j
(s,a)ds,
unde e j = (0, · · · ,1, · · · ,0)T ∈ Rn — cifra 1 este situata pe pozitia a j–a —.
Tinand seama de proprietatile functiei F , avem ‖Jacθ(s,a)(F)‖ ≤ γ1. Printr-un
proces iterativ asemanator celui care a stabilit existenta solutiei θ , se arata ca ecuatia
integrala liniara
ζ (t,a) = W1(t) · e j +∫ t
0W1(t − s)Jacθ(s,a)(F) ·ζ (s,a)ds
−∫ +∞
tW2(t − s)Jacθ(s,a)(F) ·ζ (s,a)ds (2.57)
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru hiperbolic 57
are o singura solutie marginita33 — continua —: ζ j = ζ j(t,a).Fixam j ∈ 1,k si h = h · e j pentru h ∈ R suficient de mic.
Atunci, deducem ca
∥
∥
∥
∥
θ(t,a+h)−θ(t,a)h
−ζ j(t,a)
∥
∥
∥
∥
(2.58)
≤[
∫ t
0Keα(t−s)+
∫ +∞
tKeβ (t−s)
]
×∥
∥
∥
∥
F(θ(s,a+h))−F(θ(s,a))h
− Jacθ(s,a)(F)ζ j(s,a)
∥
∥
∥
∥
ds
=
[
∫ t
0Keα(t−s)+
∫ +∞
tKeβ (t−s)
]
×∥
∥
∥
∥
M(s,a,h)(F) · θ(t,a+h)−θ(t,a)h
− Jacθ(s,a)(F)ζ j(s,a)
∥
∥
∥
∥
ds
≤[
∫ t
0Keα(t−s)+
∫ +∞
tKeβ (t−s)
]
×[
‖Jacθ(s,a)(F)‖ ·∥
∥
∥
∥
θ(s,a+h)−θ(s,a)h
−ζ j(s,a)
∥
∥
∥
∥
+ ‖Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)‖ ·∥
∥
∥
∥
θ(s,a+h)−θ(s,a)h
∥
∥
∥
∥
]
ds
≤[
∫ t
0Keα(t−s)+
∫ +∞
tKeβ (t−s)
]
×[
γ1
∥
∥
∥
∥
θ(s,a+h)−θ(s,a)h
−ζ j(s,a)
∥
∥
∥
∥
(vezi (2.56)) +‖Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)‖ ·2K]
ds,
unde, plecand de la
Fi(θ(s,a+h))−Fi(θ(s,a))
=
(
∫ 1
0∇Fi (θ(s,a)+u[θ(s,a+h)−θ(s,a)])du
| [θ(s,a+h)−θ(s,a)] )Rn , — produs scalar —
pentru i ∈ 1,n, definim matricea M prin formula
F(θ(s,a+h))−F(θ(s,a)) = M(s,a,h)(F) · [θ(s,a+h)−θ(s,a)]. (2.59)
Adica,
33 Liniaritatea ecuatiei ne permite utilizarea unor estimari de tipul celor din (2.50) fara a face apella restrictia (2.49)2. In lipsa acestei observatii, raza bilei B ar fi trebuit redusa la marimea
γ22K1
,ceea ce ar fi facut imposibila estimarea (2.66).
58 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
M(s,a,h)(F) =∫ 1
0Jacθ(s,a)+u[θ(s,a+h)−θ(s,a)](F)du. (2.60)
Formula acestei matrice ne conduce la existenta limitei
limh→0
M(s,a,h)(F) = Jacθ(s,a)(F) (2.61)
uniform ın raport cu s ∈ [0,+∞)34.
Revenind la (2.58), obtinem ca
∥
∥
∥
∥
θ(t,a+h)−θ(t,a)h
−ζ j(t,a)
∥
∥
∥
∥
≤ K
(
1
−α+
1
β
)
γ1 · sups≥0
∥
∥
∥
∥
θ(s,a+h)−θ(s,a)h
−ζ j(s,a)
∥
∥
∥
∥
+2K2
(
1
−α+
1
β
)
· sups≥0
∥
∥Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)∥
∥
≤ 1
2· sup
s≥0
∥
∥
∥
∥
θ(s,a+h)−θ(s,a)h
−ζ j(s,a)
∥
∥
∥
∥
+2K2
(
1
−α+
1
β
)
· sups≥0
∥
∥Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)∥
∥ .
Trecand la supremum dupa t, ajungem la
supt≥0
∥
∥
∥
∥
θ(t,a+h)−θ(t,a)h
−ζ j(t,a)
∥
∥
∥
∥
≤ 4K2
(
1
−α+
1
β
)
· sups≥0
∥
∥Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)∥
∥
≤ 2K
γ1· sup
s≥0
∥
∥Jacθ(s,a)(F)−M(s,a,h)(F)∥
∥ .
Pe baza (2.61), deducem ca
limh→0
supt≥0
∥
∥
∥
∥
θ(t,a+h)−θ(t,a)h
−ζ j(t,a)
∥
∥
∥
∥
= 0,
34 Observam ca
‖θ(s,a)+u[θ(s,a+h)−θ(s,a)]‖ ≤ ‖θ(s,a)‖+‖θ(s,a+h)−θ(s,a)‖≤ ‖θ(s,a)‖+2K‖h‖ ≤ 2K1‖a‖+2K‖h‖ ≤ 2K1‖a‖+2K1‖h‖≤ 2K1 (1+‖a‖) ,
unde s ≥ 0, u ∈ [0,1] si ‖h‖ ≤ 1. Estimarea (2.61) reprezinta o consecinta a faptului ca aplicatiax 7→ Jacx(F) este uniform continua ın bila ınchisa a spatiului euclidian Rn cu centrul ın origineaspatiului si raza 2K1 (1+‖a‖).
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru hiperbolic 59
de unde ∂θ∂a j
= ζ j, j ∈ 1,k. Diferentiabilitatea functiilor ψi este acum probata.
Similar relatiilor (2.52), ecuatia (2.57) ne conduce la
ζ k(t,a) = eB1tekj +∫ t
0 eB1(t−s)π1k
(
Jacθ(s,a)(F)ζ (s,a)))
ds,
ζ n−k(t,a) =−∫+∞t eB2(t−s)π2
n−k
(
Jacθ(s,a)(F)ζ (s,a)))
ds,t ≥ 0, (2.62)
unde ζ (t,a) = (ζ k(t,a),ζ n−k(t,a))T ∈ Rk ×Rn−k, e j = (ekj,0Rn−k)T iar π1
k : Rn →Rk, π2
n−k : Rn → Rn−k sunt proiectorii35 corespunzatori descompunerii
uT = (u1, . . . ,un)
≡ ((u1, . . . ,uk),(uk+1, . . . ,un))
= (π1k (u),π
2n−k(u)), u ∈ Rn.
De asemeni, avem estimarile
‖ζ (t,a)‖ ≤ Keαt
+∫ t
0Keα(t−s) · sup
‖z‖≤supξ≥0
‖θ(ξ ,a)‖‖Jacz(F)‖ · sup
ξ≥0
‖ζ (ξ ,a)‖ds
+∫ +∞
tKeβ (t−s) · sup
‖z‖≤supξ≥0
‖θ(ξ ,a)‖‖Jacz(F)‖ · sup
ξ≥0
‖ζ (ξ ,a)‖ds
≤ K +K
(
1
−α+
1
β
)
· sup‖z‖≤2K1‖a‖
‖Jacz(F)‖ · supξ≥0
‖ζ (ξ ,a)‖
≤ K +K
(
1
−α+
1
β
)
γ1 · supξ≥0
‖ζ (ξ ,a)‖
≤ K +1
2· sup
ξ≥0
‖ζ (ξ ,a)‖, t ≥ 0,
de unde — trecand la supremum dupa t —
‖ζ (·,a)‖∞ ≤ 2K. (2.63)
Din cea de-a doua dintre relatiile (2.62) deducem ca
‖ζ n−k(t,a)‖ ≤∫ +∞
tKeβ (t−s) · sup
‖z‖≤2K1‖a‖‖Jacz(F)‖ · ‖ζ (s,a)‖ds
(vezi (2.63)) ≤ 2K2
β· sup‖z‖≤2K1‖a‖
‖Jacz(F)‖,
35 In limba engleza, projection operator (sing.), cf. [32, p. 20]. In fapt, un proiector este πk : Rn →Rn cu formula πk(u) = (u1, . . . ,uk,0, . . . ,0)
T . Evident, (πk)2 = πk si ‖πk(u)‖ ≤ ‖u‖, u ∈ Rn.
60 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
respectiv
lim‖a‖→0,a 6=0
supt≥0
‖ζ n−k(t,a)‖= 0.
In particular,
∂ψi
∂a j
∣
∣
∣
∣
ak=0Rk
= 0. (2.64)
Apoi,
‖ζ (t,a)−ζ (t,b)‖
≤[
∫ t
0Keα(t−s)+
∫ +∞
tKeβ (t−s)
]
·[
‖Jacθ(s,a)(F)− Jacθ(s,b)(F)‖
×‖ζ (s,a)‖+‖Jacθ(s,b)(F)‖ · ‖ζ (s,a)−ζ (s,b)‖]
ds
≤ K
(
1
−α+
1
β
)
·[
sups≥0
‖Jacθ(s,a)(F)− Jacθ(s,b)(F)‖ ·2K
+ γ1 · sups≥0
‖ζ (s,a)−ζ (s,b)‖]
≤ K
γ1· sup
s≥0
‖Jacθ(s,a)(F)− Jacθ(s,b)(F)‖+ 1
2· ‖ζ (·,a)−ζ (·,b)‖∞,
respectiv
‖ζ (·,a)−ζ (·,b)‖∞
≤ 2K
γ1· sup
u,v∈Rn,‖u−v‖≤2K‖a−b‖,‖u‖,‖v‖≤γ2
‖Jacu(F)− Jacv(F)‖. (2.65)
Estimarea (2.65) probeaza continuitatea functiei ζ ın raport cu cea de-a doua
variabila pe baza local uniform continuitatii aplicatiei x 7→ Jacx(F).Am obtinut, pana acum, existenta multimii
S = (ak,ψk+1(ak), · · · ,ψn(a
k))|ak ∈ B.
Aceasta alcatuieste o varietate diferentiala (C1) (simpla) reala de dimensiune k, cf.
[46, p. 10].
Fie V bila deschisa a spatiului euclidian Rn cu centrul ın originea spatiului si raza
γ2. Atunci, B×0Rn−k si S sunt submultimi ale lui V .
De asemeni, varietatea S este tangenta ın 0Rn subspatiului Rk — (2.64) — iar
particulele-solutii36 ale sistemului diferential (2.19) care pornesc din ea se ındreapta
36 Vezi p. 35.
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru hiperbolic 61
catre 0Rn , conform (2.51), traiectoriile lor devenind tangente “la infinit”37 aceluiasi
subspatiu (acest fapt, problema spatiilor asimptotice, va fi evident la sfarsit).
Cea de-a doua estimare (2.50) ne arata ca solutiile care pleaca din S raman ın V
pentru orice t ≥ 0. Fie t0 ≥ 0 fixat. Au loc urmatoarele relatii — via schimbarea de
variabile s = ξ + t0 —
θ(t + t0,a)
=W1(t + t0)a+∫ t+t0
0W1(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds
−∫ +∞
t+t0
W2(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds
=W1(t + t0)a+
(
∫ t0
0+
∫ t+t0
t0
)
W1(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds
−∫ +∞
t+t0
W2(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds
=W1(t)
[
W1(t0)a+∫ t0
0W1(t0 − s)F(θ(s,a))ds
]
+∫ t+t0
t0
W1(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds−∫ +∞
t+t0
W2(t + t0 − s)F(θ(s,a))ds
=W1(t)
[
W1(t0)a+∫ t0
0W1(t0 − s)F(θ(s,a))ds
]
+∫ t
0W1(t −ξ )F(θ(ξ + t0,a))dξ −
∫ +∞
tW2(t −ξ )F(θ(ξ + t0,a))dξ
=W1(t)b
+∫ t
0W1(t −ξ )F(θ(ξ + t0,a))dξ −
∫ +∞
tW2(t −ξ )F(θ(ξ + t0,a))dξ ,
unde t ≥ 0. De aici, rezulta ca
θ(t + t0,a) = θ(t,b), t ≥ 0. (2.66)
In plus,
b = (θ k(t0,a),0Rn−k)T ,
de unde θ(t0,a) ∈ S.
Pe de alta parte, unicitatea solutiei pentru problema Cauchy si invarianta la
translatii temporale a solutiilor sistemelor diferentiale autonome ne conduc la —
37 Altfel spus, traiectoriile plecand din S au spatiile asimptotice incluse ın subspatiul Rk. Se cuvinefacut un comentariu privind aceste subspatii. Forma speciala a partii liniare a sistemului diferential(B = T−1AT ) face ca baza canonica a spatiului euclidian Rn sa fie formata din vectori proprii
generalizati ai matricei B. In schimb, cand revenim la sistemul original, varietatea S corespun-zatoare va fi tangenta ın 0Rn subspatiului k–dimensional format de vectorii proprii generalizaticorespunzand valorilor proprii cu partea reala negativa [58, p. 111].
62 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
vezi (2.47) —:
y(t,y(t0,x0)) = y(t + t0,x0) (2.67)
cand t0, t ≥ 0. In particular,
θ(t + t0,a) = y(t + t0,x0),θ(t,b) = y(t,y(t0,x0)),
unde
x0 = (ak,ψk+1(ak), · · · ,ψn(a
k))T = θ(0,a),y(t0,x0) = (θ k(t0,a),ψk+1(θ k(t0,a)), · · · ,ψn(θ k(t0,a)))
T = θ(t0,a).
Pe baza formulei (2.47), solutia ι = y(·,θ(t0,a)) — marginita — verifica ecuatia
integrala
ι(t) = (W1 +W2)(t)θ(t0,a)+∫ t
0(W1 +W2)(t − s)F(ι(s))ds
= W1(t)θ(t0,a)+∫ t
0W1(t − s)F(ι(s))ds
−∫ +∞
tW2(t − s)F(ι(s))ds
+ W2(t)θ(t0,a)+∫ +∞
0W2(t − s)F(ι(s))ds
= W1(t)θ(t0,a)+∫ t
0W1(t − s)F(ι(s))ds
−∫ +∞
tW2(t − s)F(ι(s))ds
+ W2(t) ·[
(0Rk ,θ n−k(t0,a))T +
∫ +∞
0W2(−s)F(ι(s))ds
]
. (2.68)
Structura speciala a matricei W2(t) — intrarile acesteia contin factori de forma
eλ t , cu λ > 0 — ımpreuna cu restrictia (2.51) ne conduc la concluzia ca marimea
din paranteza patrata din (2.68) trebuie sa fie 0 38. Aceasta ınseamna ca functia
marginita ι este defapt o solutie a ecuatiei (2.48) cu ak = [θ(t0,a)]k = θ k(t0,a).Unicitatea solutiei pentru ecuatia ın cauza implica
ι(0) = y(0,θ(t0,a))= (θ k(t0,a),ψk+1(θ k(t0,a)), · · · ,ψn(θ k(t0,a))).
Astfel, via (2.67), regasim faptul ca θ(t0,a) ∈ S.
Cum t0 ≥ 0 este arbitrar, concludem ca solutiile sistemului diferential (2.19) care
pornesc din S raman ın S pentru “totdeauna”.
38 O abordare explicita ın cazul n = 2 se gaseste ın [47, Theorem 4].
2.8 Varietatea stabila W s si varietatea instabila W u ale unui echilibru hiperbolic 63
Problema spatiilor asimptotice (asimptotelor, ın R2): Varietatea S este tangenta
ın 0Rn la Rk iar particulele-solutii ale sistemului (2.19) situate ın S ajung la 0Rn cand
t →+∞, deci spatiile lor asimptotice sunt incluse ın Rk.
In mod simetric, introducem expresia integrala [58, p. 184]
ζ (t,a) = W2(t)a−∫ 0
tW2(t − s)F(ζ (s,a))ds
+∫ t
−∞W1(t − s)F(ζ (s,a))ds, t ≤ 0,
unde a = (0, · · · ,0,ak+1, · · · ,an)T ∈ Rn. Si ea verifica formal sistemul diferential
(2.19). Putem stabili ın mod analog existenta unei varietati diferentiale reale U ,
de dimensiune n− k, pentru care limt→−∞
ζ (t,a) = 0, unde a ∈ U [15, p. 344]. Noua
varietate, ortogonala varietatii S, este tangenta ın 0Rn subspatiului Rn−k al spatiului
euclidian Rn.
Problema ortogonalitatii: In general, varietatile S si U sunt ortogonale doar
pentru sistemul diferential.y= By + F(y), unde matricea B se gaseste ın forma
canonica Jordan. Acest fapt poate fi remarcat ın exemplul urmator. Fie matricele
A1,2, B ∈ M2(R) cu formulele
A1 =
(
0 1
1 0
)
, A2 =
(
0 32
23 0
)
, B =
(
−1 0
0 1
)
.
Au loc relatiile
T−1i AiTi = B, T1,2 ∈ M2(R),
unde
T1 =1√2
(
1 1
−1 1
)
, T−11 = (T1)
T ,
si
T2 =
(
−3 3
2 2
)
, T−12 =− 1
12
(
2 −3
−2 −3
)
Sistemele diferentiale
( .x1.x2
)
= Ai
(
x1
x2
)
, i = 1, 2, sunt reprezentate ın Figurile
2.17, respectiv 2.18.
Cum matricea T1 desemneaza o rotatie plana, varietatile S,U din Figura 2.17
raman ortogonale, ceea ce nu mai este valabil ın Figura 2.18.
Varietatile S, U se numesc varietate stabila (locala), respectiv varietate instabila
(locala) pentru echilibrul hiperbolic 0Rn . Vezi [2, p. 269, Theorem 19.11]. Daca
φ t este grupul Lie39 de transformari asociat sistemului diferential (2.17), atunci
39 Sau curentul, cf. [57, p. 69]. In limba engleza, flow.
64 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
U
S
x1
x2
(0,0)
Fig. 2.17 S, U ortogonale
“ ımbracam” varietatile locale, formand multimile
W slocal
=⋃
t≤0
φ t(S), W ulocal
=⋃
t≥0
φ t(U).
Evident, φ t(W slocal
) ⊆ W slocal
, respectiv φ t(W ulocal
) ⊆ W ulocal
, adica W slocal
, W ulocal
sunt invari-
ate de curentul φ t , solutiile care pleaca dintr-una din ele ramanand acolo pentru
“totdeauna”. Aceasta observatie ne conduce la multimile40
W s(0Rn) = x0 ∈ Rn| limt→+∞
φ(t,x0) = 0,W u(0Rn) = x0 ∈ Rn| lim
t→−∞φ(t,x0) = 0,
care reprezinta varietatea stabila (globala), respectiv varietatea instabila (globala)
a sistemului diferential ın 0Rn [57, p. 120]. Este clar ca W slocal
⊆ W s(0Rn) si W ulocal
⊆W u(0Rn).
O demonstratie a existentei acestor varietati folosind Principiul Contractiei Fi-
brelor (C. Pugh, M. Hirsch) poate fi citita ın [14, p. 326 si urm.]. O vom detalia
ıncepand cu pagina 103.
In cazul 2–dimensional, varietatile ın cauza devin niste curbe. Tehnica iterativa
descrisa anterior nu functioneaza multumitor ıntotdeauna pentru a le gasi expresii
40 φ t(x0) = φ(t,x0).
2.9 Lema lui M. Morse: reprezentarea functiilor scalare prin forme patratice 65
U
S
x1
x2
(0,0)
Fig. 2.18 S, U ne-ortogonale
simple acestor curbe [57, ibid.]. Un exemplu “norocos” este prezentat ın [52, pg.
111, 112].
2.9 Lema lui M. Morse: reprezentarea functiilor scalare prin
forme patratice
Fie F : Rn → R o functie neteda. Folosim notatiile DF(x) = ∇x(F), D2F(x) =Hessx(F) ca sa ne referim la gradientul, respectiv la matricea hessiana, calculate ın
x ∈ Rn, ale functiei F .
Afirmam ca, daca DF(0) = 0 si detD2F(0) 6= 0, atunci exista functia neteda
Φ : V → Rn astfel ıncat
Φ(0) = 0, DΦ(0) = In,F(Φ(x)) = F(0)+ 1
2 (x|D2F(0)x)Rn(2.69)
ıntr-o mica vecinatate V a punctului 0Rn .
Urmam prezentarea din [18, p. 212, Lemma 3]. Incepem justificarea introdu-
cand functia ψ : R→ R cu formula ψ(t) = F(tx), unde F(x) = (F1(x), · · ·,Fn(x))T ,
respectiv x = (x1, · · · ,xn)T .
Au loc relatiile
66 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
ψ(1)−ψ(0) =∫ 1
0ψ ′(t)dt (2.70)
= −∫ 1
0(1− t)′ ·ψ ′(t)dt
= ψ ′(0)+∫ 1
0(1− t)ψ ′′(t)dt (2.71)
= ψ ′(0)−∫ 1
0
[
(1− t)2
2
]′ψ ′′(t)dt
= ψ ′(0)+1
2ψ ′′(0)+ · · · , (2.72)
respectiv — notatii: Fxi= ∂F
∂xi, Fxix j
= ∂ 2F∂xi∂x j
—
ψ ′(t) =n
∑i=1
Fxi(tx) · (txi)
′ = (DF(tx)|x)Rn ,
ψ ′′(t) = ∑1≤i, j≤n
Fxix j(tx)xix j = (x|D2F(tx)x)Rn ,
(2.73)
unde t ∈ R, x ∈ Rn. In particular, ψ ′(0) = (DF(0)|x)Rn = 0.
Fie matricea (neteda)
A = A(x) =∫ 1
0(1− t)D2F(tx)dt = (Ai j(x))1≤i, j≤n. (2.74)
Relatiile (2.71), (2.72) ne conduc la
F(x) = ψ(1)
= ψ(0)+(x|A(x)x)Rn (2.75)
= F(0)+(x|A(0)x)Rn +o(‖x‖2), cand x → 0Rn . (2.76)
Este clar ca A(0) = 12 D2F(0), deci exista o motivatie ın ıncercarea de a construi
schimbarea de variabile Φ care sa ınlature elementul o din identitatea (2.76).
De asemeni, via (2.70), (2.73), observam ca functia F admite reprezentarea
F(x) = F(0)+(G(x)|x)Rn , G(x) =
∫ 1
0DF(tx)dt, x ∈ Rn,
rezultat cunoscut si ca lema lui J. Hadamard [3, p. 104]. Am utilizat deja aceasta
tehnica ın (2.59), (2.60).
Matricea hessiana a aplicatiei F fiind simetrica, valorile proprii ale matricei A(0)sunt reale. Utilizand eventual o baza a spatiului euclidian Rn formata din vectori
proprii ai acestei matrici, putem presupune ca matricea A(0) este diagonala.
Vom stabili, folosind inductia matematica dupa m ∈ 0, . . . ,n, existenta aplica-
tiilor netede Φm = (Φ1m, · · · ,Φn
m)T , definite ın jurul originii 0Rn , cu valori ın Rn,
pentru care
2.9 Lema lui M. Morse: reprezentarea functiilor scalare prin forme patratice 67
Φm(0) = 0, DΦm(0) = In,
F(Φm(x)) = F(0)+ sgn m2 ·
m
∑i=1
Fxixi(0)x2
i
+ sgn (n−m−1)2 ·
n
∑i, j=m+1
ai jm(x)xix j,
(2.77)
unde functiile ai jm sunt netede si ai j = a ji oricare ar fi i, j ∈ m+1,n.
Prin derivarea ultimei relatii (2.77) — aplicam operatorul ∂ 2
∂xk∂xs, unde k, s ≥
m+1 —, obtinem ca
∑1≤u,v≤n
Fxuxv(Φm) ·∂Φu
m
∂xk
∂Φvm
∂xs
+n
∑w=1
Fxw(Φm) ·∂ 2Φm
∂xk∂xs
= askm +
n
∑i=m+1
(
∂aikm
∂xs
+∂ais
m
∂xk
)
xi +1
2
n
∑i, j=m+1
∂ 2ai jm
∂xk∂xs
· xix j,
de unde
Fxsxk(0) = ask
m (0). (2.78)
In cazul m = 0, via (2.75), luam Φ0 = IdRn — identitatea —, respectiv ai j0 = Ai j.
Mai departe, presupunem ca reprezentarea (2.77) este adevarata pentru un anu-
mit m < n si ne intereseaza cum ajungem la functiile Φm+1, ai jm+1 — acestea din
urma apar ın discutie doar daca m+1 < n —.
Definim schimbarea de variabile y = y(x) = (y1(x), · · · ,yn(x))T prin formulele
y1 = x1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ym = xm(
ym+1 +n
∑j=m+2
a(m+1) jm (y)x j
a(m+1)(m+1)m (y)
)
√
a(m+1)(m+1)m (y)
Fxm+1xm+1(0) = xm+1
ym+2 = xm+2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn = xn.
(2.79)
Derivam expresia care introduce functia ym+1, rescrisa astfel
Y (x1, · · · ,xm,ym+1,xm+2, · · · ,xn) = xm+1,
unde
Y = Yx1,··· ,xm,xm+2,··· ,xn(ym+1)
=
(
ym+1 +n
∑j=m+2
x j ·a(m+1) jm
a(m+1)(m+1)m
)
√
a(m+1)(m+1)m
Fxm+1xm+1(0)
,
68 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
obtinand
dY
dym+1=
1+
n
∑j=m+2
x j · da(m+1) jm
dym+1
a(m+1)(m+1)m
−da
(m+1)(m+1)mdym+1
(
a(m+1)(m+1)m
)2·
n
∑j=m+2
x j a(m+1) jm
Marginirea locala — consecinta a netezimii — functiilor ai jm, da
i jm
dym+1si (2.78) im-
plica faptul ca, pe o mica vecinatate a originii 0Rn , functia dYdym+1
are semn constant
nenul. Atunci, pe baza teoremei de inversiune locala, concludem ca relatiile (2.79)
definesc, cu adevarat, o schimbare neteda de variabile.
Au loc egalitatile — ipoteza de inductie —
F(Φm(y)) = F(Φm(y(x)))
= F(0)+m
∑i=1
Fxixi(0)y2
i
+1
2a(m+1)(m+1)m (y)y2
m+1 +n
∑j=m+2
a(m+1) jm (y)ym+1y j
+1
2
n
∑i, j=m+2
ai jm(y)yiy j
= F(0)+m
∑i=1
Fxixi(0)x2
i +1
2
n
∑i, j=m+2
ai jm(y)xix j
+1
2a(m+1)(m+1)m (y)y2
m+1 +n
∑j=m+2
a(m+1) jm (y)ym+1x j, (2.80)
respectiv — ridicam la patrat cea de-a (m+1)–a egalitate (2.79) —
1
2Fxm+1xm+1
(0)x2m+1
=1
2a(m+1)(m+1)m (y)y2
m+1 +n
∑j=m+2
a(m+1) jm (y)ym+1x j (2.81)
+1
2
n
∑α ,β =m+2
a(m+1)αm (y)a
(m+1)βm (y)
a(m+1)(m+1)m (y)
xα xβ .
Inserand cantitatea (2.81) ın relatiile (2.80), deducem ca
2.9 Lema lui M. Morse: reprezentarea functiilor scalare prin forme patratice 69
F(Φm(y))
= F(0)+m
∑i=1
Fxixi(0)x2
i
+
[
1
2Fxm+1xm+1
(0)x2m+1 −
1
2
n
∑i, j=m+2
a(m+1)im (y)a
(m+1) jm (y)
a(m+1)(m+1)m (y)
xix j
]
+1
2
n
∑i, j=m+2
ai jm(y)xix j
= F(0)+m+1
∑i=1
Fxixi(0)x2
i +1
2
n
∑i, j=m+2
bi jm+1(y)xix j.
Aici,
bi jm+1(y) = ai j
m(y)−a(m+1)im (y)a
(m+1) jm (y)
a(m+1)(m+1)m
(y).
In concluzie, Φm+1(x) = Φm(y(x)) si ai jm+1(x) = b
i jm+1(y(x)). Afirmatia (2.77) a
fost, asadar, probata.
Estimarea (2.69) (datorata lui M. Morse) este obtinuta luand m = n ın (2.77).
Tinand seama de aceasta reprezentare a functiilor netede, devine evident faptul
ca rolul “jucat” de aplicatia F de la pagina 52 ın structura sistemului diferential
(2.17) este cel al partii patratice.
Sa presupunem ca F(0) = 0. Atunci, lema lui Morse ne conduce la
F(Φ(x)) =1
2(x|D2F(0)x)Rn = (A(0)x|x)Rn ,
respectiv la
F(x) = (A(0)φ(x)|φ(x))Rn , φ = Φ−1. (2.82)
Urmand prezentarea din [36, pg. 182–184], construim o demonstratie a lemei (R.
Palais) care poate fi adaptata la cazul spatiilor Hilbert infinit dimensionale.
Deoarece functia matriceala A din (2.74) este neteda iar matricea A(0) in-
versabila, matricele A(x) raman inversabile41 ıntr-o mica vecinatate V a originii 0Rn .
Fie B : V → Mn(R) functia data de formula B(x) = A(0)−1A(x). Evident, matricea
B(x) este inversabila.
Micsorand eventual talia multimii V , presupunem ca ‖I − B(x)‖ < 1, x ∈ V .
Atunci, putem introduce functia C : V → Mn(R) cu formula
C(x) =√
B(x) =+∞
∑m=0
(
12m
)
[I −B(x)]m, (2.83)
41 Automorfismele spatiului euclidian Rn alcatuiesc o multime deschisa [32, p. 31].
70 2 Sisteme liniare si perturbatiile lor
vezi [32, p. 34].
Fie B(x)∗ matricea adjuncta [32, p. 23] a matricei B(x). Daca y, z ∈ Rn (matrice
coloana), au loc relatiile — observam ca (y|z)Rn = zT y = yT z —
(B(x)y|z)Rn = zT B(x)y
= (y|B(x)∗z)Rn = yT B(x)∗z. (2.84)
Produsul scalar luand valori reale, avem
zT B(x)y = (zT B(x)y)T = yT B(x)T z. (2.85)
Din egalitatile (2.84), (2.85) deducem ca — matricele A(x) sunt simetrice —
B(x)∗ = B(x)T = A(x)A(0)−1
= A(0)B(x)A(0)−1, x ∈V.
Ultima formula a adjunctei ne permite, prin inductie matematica, sa observam ca
(
B(x)k)∗
= [B(x)∗]k , [B(x)∗]k = A(0)B(x)kA(0)−1, k ∈ N.
In mod analog, relatiile precedente sunt verificate si de matricea I −B(x). De ase-
meni, [I −B(x)]∗ = I −B(x)∗.
Tinand seama de formula (2.83) a matricei C(x), concludem ca aceasta verifica
relatiile
C(x)∗ =C(x)T = A(0)C(x)A(0)−1, x ∈V.
Atunci,
C(x)∗A(0)C(x) = A(0)C(x)A(0)−1A(0)C(x) = A(0)C(x)2 = A(0)B(x)
= A(x).
Pe baza formulei (2.75), putem scrie ca
F(x) = (A(x)x|x)Rn = (C(x)T A(0)C(x)x|x)Rn = [C(x)x]T A(0)C(x)x
= (A(0)C(x)x|C(x)x)Rn .
Am ajuns la (2.82), unde φ(x) =C(x)x, x ∈V .
Capitolul 3
Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
3.1 Poze (iarasi. . . )
In cartile dedicate sistemelor dinamice ıntalnim din abundenta ilustratii ın care
curbele folosite la descrierea fenomenelor nu sunt obtinute ın urma unor simulari
numerice. Pentru a produce asemenea reprezentari grafice ne putem baza1 pe pa-
chetele xy, xypdf, pe familia PSTricks [69] ori pe sistemele METAFONT (D.
Knuth), METAPOST (J. Hobby) [19, pg. 469, 313, 52], [35]. Un capitol aparte ıl
constituie grafica 3D, pentru care sunt disponibile deja platforme de dezvoltare per-
formante [16].
Un exemplu este dat de Figura 3.1. Pentru a o realiza, recurgem la limbajul
PostScript.
Incepem prin a defini o biblioteca de functii matematice: x 7→ |x|, x 7→ sign(x),x 7→ 1
x· χR−0(x), x 7→ x2 si x 7→
√1+ x2.
biblioteca.ps
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 %%%%%%%%%%%biblioteca generala%%%%%%%%%%%3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 %%%%%%modulul5 %%%%%%semnul6 %%%%%%unupeceva7 %%%%%%laputerea28 %%%%%%radical din 1 plus patratul a ceva: radi1mare9
10 /modululdict 1 d i c t def
11 /modulul12 modululdict begin
13 /numar exch def
14 numar numar mul s q r t
15 end
16 def
17
1 In LATEX.
71
72 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fig. 3.1 Constructia unei orbite
18 /semnuldict 1 d i c t def
19 /semnul20 semnuldict begin
21 /numar exch def
22 numar 0 eq 0numar modulul numar div i f e l s e
23 end
24 def
25
26 /unupecevadict 1 d i c t def
27 /unupeceva28 unupecevadict begin
29 /numar exch def
30 numar 0 eq 01 numar div i f e l s e
31 end
32 def
33
34 /laputerea2dict 1 d i c t def
35 /laputerea236 laputerea2dict begin
37 /numar exch def
38 numar numar mul
39 end
40 def
41
42 /radi1maredict 1 d i c t def
43 /radi1mare44 radi1maredict begin
45 /numar exch def
46 numar laputerea2 1 add s q r t
47 end
48 def
3.1 Poze (iarasi. . . ) 73
Pentru a folosi functiile din biblioteca, lansam ın executie programul Gho-stscript, utilizand, eventual, urmatorul fisier de comenzi.
programare_ps.bat
1 @echo o f f
2 s e t prog_scriere=C:\Program Files\gs\gs9.06\bin3 s e t prog_citire=C:\Program Files\Ghostgum\gsview4 ::se utilizeaza o cale convenabila :5 s e t fisier_programe=C:\octavian\De_pe_Seagate\LaTeX2011\ց
(cont.)programare_ps6 ::se precizeaza un director (folder) pentru programele *.ps :7 s e t caut="C:\octavian\De_pe_Seagate\LaTeX2011\programare_ps"8 s e t mesaj=Nu aveti un folder pentru programe!9 s e t text=Pentru ghostview: gsview32. Pentru ghostscript: gswin32
10
11 path=%path%;%prog_scriere%;%prog_citire%12 i f not e x i s t %caut% (echo. & echo %mesaj% & echo. & goto final)13 chdir %fisier_programe%14 echo. & echo %text% & echo.15
16 :final17
18 c a l l cmd
Ca sa nu ne complicam, am salvat fisierul biblioteca.ps pe Desktop. Ras-
punsul Ghostscript-ului este:GPL Ghostscript 9.06 (2012-08-08)Copyright (C) 2012 Artifex Software, Inc. All rights reserved.This sofware comes with NO WARRANTY: see the file PUBLIC for details.
GS>
Precizam fisierul de lucru, indicand calea completa:GS>(C:/Documents and Settings/Octavian/Desktop/biblioteca.ps) run
GS>
Aceasta facilitate este esentiala daca, la producerea pozelor unui material sti-
intific, utilizam intensiv o biblioteca de dimensiuni mari. Altfel, se recomanda sa
inseram codul bibliotecii ın sursa ilustratiei.
Vom folosi operatorii pstack si clear pentru a prezenta/vizualiza si respectiv
a goli stiva [1, p. 15].
testarea functiilor
1 GS>123 modulul pstack c l e a r
2 GS>123.03 GS>-4 semnul pstack c l e a r
4 GS>-1.05 GS>4 unupeceva pstack c l e a r
6 GS>0.257 GS>0 unupeceva pstack c l e a r
8 GS>09 GS>-3456 radi1mare pstack c l e a r
10 GS>3456.0002411 GS>
74 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Asa cum se observa ın script-ul anterior, la linia 8, am evitat erorile din cazulnenul
0 impunand ca 10 ≡ 0.
Mai departe, avem nevoie de elemente grafice primitive: puncte.
puncte.ps
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 %%%%nod bun la toate, cuplaje de linii%%%%3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 /punctuletdict 7 d i c t def
5 punctuletdict begin
6 /matrice matrix def
7 end
8 /punctulet9 punctuletdict begin
10 /grosfrontiera exch def % grosimea frontierei11 /culoare exch def % culoarea umpluturii12 /raza exch def % raza13 /centruy exch def % y centru14 /centrux exch def % x centru15 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
16
17 newpath
18 centrux centruy t r a n s l a t e
19 0 0 raza 0 360 arc
20
21 gsave
22 culoare s e t g r a y f i l l
23 g r e s t o r e
24 grosfrontiera s e t l i n e w i d t h
25 s t r o k e
26
27 matricesalvata s e t m a t r i x
28 end
29 def
Cu ajutorul unor triunghiuri isoscele, avand laturile curbate, putem construi linii
diverse. Fireste, pentru a obtine rezultate spectaculoase, ar trebui manevrate tehni-
cile2 NURBS [53].
triunghiuri.ps
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 %%%%%%%%sageti, curbe din tringhiuri%%%%%%%%3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 /triunghicurbdict 18 d i c t def
5 triunghicurbdict begin
6 /matrice matrix def
7 end
8 /triunghicurb9 triunghicurbdict begin
10 %%%foloseste biblioteca.ps11 %%%intrari:
2 Adica, Non-Uniform Rational B–Splines [51].
3.1 Poze (iarasi. . . ) 75
12 /lungimeh exch def %puneti minus pentru a schimba orientarea13 /sosirey exch def
14 /sosirex exch def
15 /plecarey exch def
16 /plecarex exch def
17 %%%prelucrari:18 /mijlocx plecarex sosirex add 2 div def
19 /mijlocy plecarey sosirey add 2 div def
20 /scaderex sosirex plecarex sub def
21 /scaderey sosirey plecarey sub def
22 /semn sosirey plecarey sub semnul def
23 /panta scaderex 0 eq 0scaderey scaderex div i f e l s e def
24 /pantainaltimii panta 0 eq 0panta unupeceva neg i f e l s e def
25 /fractie1 pantainaltimii radi1mare lungimeh exch div def
26 /fractie2 scaderey neg semnul fractie1 mul def
27 /varfulx sosirey plecarey eq mijlocxmijlocx fractie2 add ց
(cont.) i f e l s e def
28 /varfuly sosirey plecarey eq mijlocy lungimeh addfractie2 ց
(cont.)pantainaltimii mul mijlocy add i f e l s e def
29 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
30
31 newpath
32 plecarex plecarey moveto
33 plecarex plecarey varfulx varfuly sosirex sosirey curve to
34 s t r o k e
35
36 matricesalvata s e t m a t r i x
37 end
38 def
39
40 /triunghisageatadict 18 d i c t def
41 triunghisageatadict begin
42 /matrice matrix def
43 end
44 /triunghisageata45 triunghisageatadict begin
46 %%%foloseste biblioteca.ps47 %%%intrari:48 /lungimeh exch def %puneti minus pentru a schimba orientarea49 /sosirey exch def
50 /sosirex exch def
51 /plecarey exch def
52 /plecarex exch def
53 %%%prelucrari:54 /mijlocx plecarex sosirex add 2 div def
55 /mijlocy plecarey sosirey add 2 div def
56 /scaderex sosirex plecarex sub def
57 /scaderey sosirey plecarey sub def
58 /semn sosirey plecarey sub semnul def
59 /panta scaderex 0 eq 0scaderey scaderex div i f e l s e def
60 /pantainaltimii panta 0 eq 0panta unupeceva neg i f e l s e def
61 /fractie1 pantainaltimii radi1mare lungimeh exch div def
62 /fractie2 scaderey neg semnul fractie1 mul def
76 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
63 /varfulx sosirey plecarey eq mijlocxmijlocx fractie2 add ց
(cont.) i f e l s e def
64 /varfuly sosirey plecarey eq mijlocy lungimeh addfractie2 ց
(cont.)pantainaltimii mul mijlocy add i f e l s e def
65 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
66
67 newpath
68 plecarex plecarey moveto
69 varfulx varfuly l i n e t o
70 sosirex sosirey l i n e t o
71 .8 s e t l i n e w i d t h
72 s t r o k e
73
74 matricesalvata s e t m a t r i x
75 end
76 def
77
78 /triunghicupunctedict 18 d i c t def
79 triunghicupunctedict begin
80 /matrice matrix def
81 end
82 /triunghicupuncte83 triunghicupunctedict begin
84 %%%foloseste biblioteca.ps85 %%%intrari:86 /lungimeh exch def %puneti minus pentru a schimba orientarea87 /sosirey exch def
88 /sosirex exch def
89 /plecarey exch def
90 /plecarex exch def
91 %%%prelucrari:92 /mijlocx plecarex sosirex add 2 div def
93 /mijlocy plecarey sosirey add 2 div def
94 /scaderex sosirex plecarex sub def
95 /scaderey sosirey plecarey sub def
96 /semn sosirey plecarey sub semnul def
97 /panta scaderex 0 eq 0scaderey scaderex div i f e l s e def
98 /pantainaltimii panta 0 eq 0panta unupeceva neg i f e l s e def
99 /fractie1 pantainaltimii radi1mare lungimeh exch div def
100 /fractie2 scaderey neg semnul fractie1 mul def
101 /varfulx sosirey plecarey eq mijlocxmijlocx fractie2 add ց
(cont.) i f e l s e def
102 /varfuly sosirey plecarey eq mijlocy lungimeh addfractie2 ց
(cont.)pantainaltimii mul mijlocy add i f e l s e def
103 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
104
105 newpath
106 plecarex plecarey 4 .6 .3 punctulet107 sosirex sosirey 4 .6 .3 punctulet108 varfulx varfuly 4 .6 .3 punctulet109 s t r o k e
110
111 matricesalvata s e t m a t r i x
112 end
3.1 Poze (iarasi. . . ) 77
113 def
Acum, constructia Figurii 3.1 se rezuma la manipularea de coordonate pentru
obiectele grafice: triunghiuri, puncte.
figura_3_1.eps
1 %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.02 %%BoundingBox: 14 14 180 1803
4 %%%%%constructii de orbite:5 %%%%%puncte expresive (cerculete)6 %%%%%sageti (modelate cu triunghiuri)7 %%%%%auxiliar: biblioteca (de calcule)8
9 (C:/Documents and Settings/Octavian/Desktop/biblioteca.ps) run
10 (C:/Documents and Settings/Octavian/Desktop/puncte.ps) run
11 (C:/Documents and Settings/Octavian/Desktop/triunghiuri.ps) run
12
13 3 15 t r a n s l a t e
14 50 50 120 120 30 triunghicurb15 120 120 170 80 53 triunghicurb16 70 20 170 80 -50 triunghicurb17 50 50 3 .6 .3 punctulet18 80 25 80 15 -11 triunghisageata19
20 newpath
21 20 10 moveto
22 150 10 l i n e t o
23 s t r o k e
24
25 newpath
26 20 10 moveto
27 60 100 l i n e t o
28 s t r o k e
29
30 20 10 3 .6 .3 punctulet31 120 5 120 15 11 triunghisageata32 28 40 38 36 11 triunghisageata33
34 showpage
Curba din Figura 3.1 descrie “artistic” o traiectorie ıntr-un sector eliptic al echili-
brului nehiperbolic 0R2 apartinand sistemului diferential
( .x.y
)
=
(
x(x+ y)y(
x+ y2
)
)
,
vezi [52, p. 151]. In realitate, folosind algoritmul RK4 si scriptul WINPP:
sectoare.ode
1 dx/dt = x*(x+y)2 dy/dt = y*(x+0.5*y)
78 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
3 @axes=2,xp=x,yp=y,x l o=-10,y l o=-10,xhi=10,yhi=10, t0=0, t r a n s=0,dtց
(cont.)=0.02, t o t a l=100,bounds=50004 x(0)=-0.235 y(0)=26 done
ajungem la situatia din Figura 3.2.
x
y
(0,0)
Fig. 3.2 Echilibrul nehiperbolic 0R2
3.2 Sisteme diferentiale omogene
Fie sistemul diferential
( .x.y
)
=
(
Xm(x,y)Ym(x,y)
)
, t ∈ R, (3.1)
unde aplicatiile Xm, Ym : R2 → R sunt functii netede, omogene3 de ordinul m ∈ N−0. Adica, fiind date numerele α , β , λ ∈ R, are loc relatia Xm(λ ·α,λ ·β ) = λ m ·Xm(α,β ). Presupunem, ın plus, ca 0R2 este singurul punct stationar al sistemului
(3.1).
Urmam prezentarea din [61, p. 49 si urm.]. Incepem prin a cauta, lucrand formal,
o solutie a sistemului (3.1). Astfel, pentru a specula omogenitatea neliniaritatilor,
introducem functia u = u(t) = yx, ceea ce ne conduce la — x 6= 0 —
3 Reamintesc teorema lui L. Euler [42, p. 154] privind functiile omogene de clasa C1, si anume:
mXm(α ,β ) = ∂Xm
∂x(α ,β )α + ∂Xm
∂y(α ,β )β .
3.2 Sisteme diferentiale omogene 79
dy
dx=
.y.x=
Ym(x,y)
Xm(x,y)=
xmYm(1,u)
xmXm(1,u)=
Ym(1,u)
Xm(1,u)
=udx+ xdu
dx= u+ x
du
dx, (3.2)
respectiv la ecuatia diferentiala liniara si omogena [2, p. 85]
dx
du=
Xm(1,u)
Ym(1,u)−uXm(1,u)· x, u ∈ R. (3.3)
Prin integrarea ecuatiei (3.3) obtinem formulele
x(u) = x0 exp(
∫ uu0
Xm(1,v)Ym(1,v)−vXm(1,v)
dv)
,
y(u) = x0uexp(
∫ uu0
Xm(1,v)Ym(1,v)−vXm(1,v)
dv)
,u ∈ R,
unde u0 =y0x0
.
Relatiile (3.2) arata ca sistemul diferential (3.1) este invariant la omotetiile de
centru 0R2 ,
(
x
y
)
7→ K
(
x
y
)
, unde K ∈ R. In particular, este suficient sa studiem
(doar) cate o traiectorie per sector4 pentru sistemul dinamic (3.1), vezi [4, p. 4].
Mai departe, trecem la coordonate polare,
x = ρ cosθ ,y = ρ sinθ ,
ρ =√
x2 + y2,θ = arctan
(
yx
)
.(3.4)
Au loc egalitatile
.ρ =
x.x +y
.y
ρ=
ρ cosθ ·Xm +ρ sinθ ·Ym
ρ
=ρ cosθ ·ρmXm(cosθ ,sinθ)+ρ sinθ ·ρmYm(cosθ ,sinθ)
ρ= ρm · [Xm(cosθ ,sinθ)cosθ +Ym(cosθ ,sinθ)sinθ ]= ρmZ(θ), (3.5)
respectiv
.θ =
x.y −y
.x
ρ2
= ρm−1 · [−Xm(cosθ ,sinθ)sinθ +Ym(cosθ ,sinθ)cosθ ]= ρm−1N(θ). (3.6)
Evident, functiile Z, N pastreaza netezimea functiilor omogene Xm, Ym.
4 Vezi pagina 87.
80 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fie R = (O,−→B) reperul canonic al spatiului fizic [42, p. 14]. Daca M este punctul
curent5 pe traiectoria — ın planul fazelor Oxy — trecand prin (x0,y0) a sistemului
diferential (3.1), fie α ∈ [0,π] unghiul facut de tangenta ın M la traiectorie cu dreapta
OM. Atunci, folosind vectorul viteza6 v [42, p. 19] — vezi Figura 3.3 —,
cosα =OM · v
|OM| · |v|=
x.x +y
.y
√
(x2 + y2)(X2m +Y 2
m)
=cosθXm(cosθ ,sinθ)+ sinθYm(cosθ ,sinθ)√
X2m(cosθ ,sinθ)+Y 2
m(cosθ ,sinθ)
=Z(θ)
√
X2m(cosθ ,sinθ)+Y 2
m(cosθ ,sinθ)(3.7)
α
x
y
O
M
Fig. 3.3 Vectorul viteza
si
sinα =|OM× v||OM| · |v|
=|x .
y −y.x |
√
(x2 + y2)(X2m +Y 2
m)
=|−Xm(cosθ ,sinθ)sinθ +Ym(cosθ ,sinθ)cosθ |
√
X2m(cosθ ,sinθ)+Y 2
m(cosθ ,sinθ)
=|N(θ)|
√
X2m(cosθ ,sinθ)+Y 2
m(cosθ ,sinθ). (3.8)
5 De coordonate x = x(t), y = y(t), z = 0.6 Cu notatiile din [42], “ · ” desemneaza produsul scalar (·|·)R3 .
3.2 Sisteme diferentiale omogene 81
Facem observatia ca toate calculele de pana acum raman valabile daca ınlocuim,
ın definitia (3.4) a marimii θ , cantitatea arctan(
yx
)
cu arctan(
yx
)
+ kπ , unde k ∈ Z.
In cazul ın care numarul k este impar, noile formule de trecere la coordonate polare
vor fi x = −r cosθ , y = −r sinθ , ceea ce ınseamna, practic, sa supunem solutiile
sistemului diferential (3.1) la simetria7 de centru 0R2 . Evident, aceasta invariaza
familia solutiilor unui sistem diferential omogen, fapt care justifica observatia. Pre-
supunem, ın cele ce urmeaza, ca θ = θ(t) ∈R poate lua (aprioric) orice valoare din
domeniul (−∞,+∞).Ce afirma, defapt, calculul privind unghiul α? Daca traiectoria sistemului di-
ferential (3.1) intersecteaza transversal8 dreapta de panta m = tanβ , unde β ∈ R,
care trece prin O, tangentele ın punctele de intersectie la traiectoria ın cauza au
(aceeasi) panta constanta — depinzand de β —. Spunem ca aceste drepte sunt
izocline9 pentru sistemul diferential (3.1).
Alta consecinta a calculului privind unghiul α este ca, daca sinα = 0, adica
“raza” fixa d = OM este tangenta ın M traiectoriei, atunci ecuatia functionala
N(θ) = 0, θ ∈ R, (3.9)
admite cel putin un zero, notat θ0. Reformularea ın coordonate polare a sistemului
(3.1) — sistemul (3.5), (3.6) — devine ın acest caz
.ρ = Z(θ0) ·ρm,.θ = 0,
t ∈ R, (3.10)
deci un sistem cu solutii de forma (ρ(t),θ0), θ0 ∈R. De aici rezulta ca semidreptele
din planul fazelor trecand prin O si avand panta (comuna) tanθ0 sunt traiectorii ale
sistemului dinamic (3.1).
Atunci cand ecuatia (3.9) este verificata de toate numerele reale θ , punctul
stationar 0R2 reprezinta un nod stelar pentru sistemul (3.1) [61, p. 51].
Presupunem, ın continuare, ca ecuatia (3.9) nu are radacini reale. Astfel, exista
Nmic > 0 cu proprietatea ca minθ∈[−π,π]
|N(θ)|= Nmic. Inlocuind eventual pe t cu −t, vom
considera ca N(θ)> 0 pentru orice θ ∈R. Cum functia N admite perioada 2π , este
evident ca
minθ∈R
N(θ) = Nmic. (3.11)
Sistemul diferential (3.5), (3.6) ne conduce la
dρdθ
=
.ρ.θ=
Z(θ)N(θ)
·ρ , θ ∈ R, (3.12)
de unde, prin integrare, obtinem
7 Adica, omotetia de coeficient K =−1.8 Adica, netangent [20, p. 30].9 In limba engleza, isocline (sing.) [57, p. 109].
82 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
ρ(θ) = ρ0 exp
(
∫ θ
θ0
Z(u)
N(u)du
)
, θ ∈ R, ρ0 ∈ (0,+∞). (3.13)
Formula (3.13) arata ca, ın planul fazelor, solutia sistemului diferential (3.5),
(3.6), plecata din (ρ0,θ0), se “ ınvarte” pentru “ totdeauna” — vezi (3.11) — ın
jurul originii 0R2 .
Daca avem fie limθ→+∞
∫ θθ0
Z(u)N(u) du=−∞ fie lim
θ→−∞
∫ θθ0
Z(u)N(u) du=−∞, ceea ce implica
limθ→+∞
ρ(θ) = 0, respectiv limθ→−∞
ρ(θ) = 0, atunci punctul stationar 0R2 va constitui
un focar (stabil pentru −, instabil pentru +) al sistemului dinamic (3.1).
De asemeni, daca∫ θ0+2π
θ0
Z(u)N(u) du = 0, adica ρ(θ0) = ρ(θ0 + 2π), atunci traiec-
toriile sistemului (3.5), (3.6) vor fi curbe ınchise, cu centrul de simetrie ın 0R2 , acest
punct fiind centrul sistemului dinamic (3.1).
Folosind teorema lui L. Euler referitoare la functiile omogene, reorganizam inte-
grala din (3.13). Astfel, au loc egalitatile
mZ(θ)
=
(
∂Ym
∂xcosθ +
∂Ym
∂ysinθ
)
sinθ +
(
∂Xm
∂xcosθ +
∂Xm
∂ysinθ
)
cosθ
=∂Xm
∂xcos2 θ +
∂Ym
∂ysin2 θ + sinθ cosθ
(
∂Ym
∂x+
∂Xm
∂y
)
(3.14)
si
dN
dθ
=
(
−∂Ym
∂xsinθ +
∂Ym
∂ycosθ
)
cosθ −Ym sinθ
−(
−∂Xm
∂xsinθ +
∂Xm
∂ycosθ
)
sinθ −Xm cosθ
=∂Ym
∂ycos2 θ +
∂Xm
∂xsin2 θ − sinθ cosθ
(
∂Ym
∂x+
∂Xm
∂y
)
−(Ym sinθ +Xm cosθ)
=∂Ym
∂ycos2 θ +
∂Xm
∂xsin2 θ −Z
−sinθ cosθ(
∂Ym
∂x+
∂Xm
∂y
)
. (3.15)
Introducand expresia dintre parantezele rotunde din (3.15) ın (3.14), ajungem la
(m+1)Z =∂Xm
∂x+
∂Ym
∂y− dN
dθ,
respectiv la
3.2 Sisteme diferentiale omogene 83
ρ(θ) = ρ0
[
N(θ0)
N(θ)
] 1m+1
exp
1
m+1
∫ θ
θ0
(
∂Xm
∂x+ ∂Ym
∂y
)
(cosv,sinv)
N(v)dv
,
unde θ ∈ R.
Sa presupunem acum ca θ0 este un zero izolat al ecuatiei (3.9). Folosind dezvol-
tari ın serii Taylor limitate, putem trage cateva concluzii privind comportamentul
asimptotic al solutiilor sistemului (3.5), (3.6).
Deoarece originea planului fazelor este unicul punct stationar al sistemului
diferential (3.1), deducem ca Z(θ)2 +N(θ)2 > 0 pentru orice θ . Va exista, asadar,
δ = δ (θ0) cu proprietatea ca
Z(θ) = Z(θ0)+Z′(θ0)(θ −θ0)+ · · ·
= Z(θ0)(1+ ε1(θ −θ0)), |ε1(θ −θ0)|<1
2
atunci cand |θ − θ0| < δ . De asemeni, exista numarul ıntreg k ≥ 1 astfel ıncat
N(i)(θ0) = 0, i ∈ 0,k−1, si N(k)(θ0) 6= 0. In consecinta,
N(θ) =1
k!N(k)(θ0)(θ −θ0)
k(1+ ε2(θ −θ0)), |ε2(θ −θ0)|<1
2,
pentru orice θ ∈ (θ0 −δ ,θ0 +δ ).In Figura 3.5, linia continua desemneaza multimea (raza) invarianta (ρ ,θ) :
θ = θ0 a sistemului dinamic (3.5), (3.6), ın timp ce unghiul plin10 cu laturi “punc-
tate”, de marime 2δ , pentru care raza invarianta este bisectoare, constituie unghiul
normal A [61, p. 53] al razei invariante. Notam cu A−, respectiv A+ regiunile
(ρ ,θ) : θ0 −δ ≤ θ < θ0 si (ρ ,θ) : θ0 −δ ≥ θ > θ0.
Astfel, pentru θ ∈ A−∪A+, ecuatia (3.12) ramane valabila, adica
dρdθ
= k!Z(θ0)
N(k)(θ0)(1+ ε3(θ −θ0)) ·
1
(θ −θ0)k·ρ , |ε3(θ −θ0))|<
1
2.
Prin integrare — cand θ < θ0 —, obtinem omoloaga relatiei (3.13), si anume
ρ(θ) = ρ(θ0 −δ )exp
(
c(θ0,k)∫ θ
θ0−δ
1+ ε3(s−θ0)
(θ0 − s)kds
)
,
unde c(θ0,k) = (−1)kk!Z(θ0)
N(k)(θ0).
Observam ca, ın functie de marimea numarului k, avem estimarile
10 Sau domeniul sectorial.
84 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
∫ θ
θ0−δ
1+ ε3(s−θ0)
(θ0 − s)kds (3.16)
∈
[
12(k−1)
(
1(θ0−θ)k−1 − 1
δ k−1
)
, 32(k−1)
(
1(θ0−θ)k−1 − 1
δ k−1
)]
, k ≥ 2,
[
12 ln δ
θ0−θ ,32 ln δ
θ0−θ
]
, k = 1.
Daca c(θ0,k)< 0, tragem concluzia ca
limθրθ0
ρ(θ) = 0.
In mod natural, putem pune ıntrebarea: cand se ıntampla asa ceva? Pentru a
raspunde, separam variabilele ın ecuatia diferentiala (3.6), adica — reamintesc ca
m ≥ 1 —
dt =dθ
ρ(θ)m−1N(θ)=
k!
N(k)(θ0)(1+ ε4(θ −θ0)) ·
1
ρ(θ)m−1
× (−1)k dθ(θ0 −θ)k
, |ε4(θ −θ0)|<1
2.
Presupunem ca numarul k este impar si c(θ0,k)< 0. Astfel, Z(θ0) si N(k)(θ0) au
acelasi semn. Fixam N(k)(θ0)> 0.
Printr-o noua integrare, conform (3.16),
∫ t(θ)
t(θ0−δ )ds
=− k!
N(k)(θ0)
∫ θ
θ0−δ
1+ ε4(s−θ0)
ρ(θ)m−1
ds
(θ0 − s)k(3.17)
≤− k!
N(k)(θ0)· 1[
supξ∈[θ0−δ ,θ0)
ρ(ξ )
]m−1· 1
2(k−1)
[
1
(θ0 −θ)k−1− 1
δ k−1
]
,
deci limθրθ0
t(θ) =−∞. In mod analog, daca N(k)(θ0)< 0, limθրθ0
t(θ) = +∞.
Asadar, comportamentul solutiei este descris de relatiile
limt→−∞
ρ(t) = 0, limt→−∞
θ(t) = θ0.
Vezi Figurile 3.6 si 3.14, unde liniile punctate sunt izocline. Cazul N(k)(θ0)< 0 este
ilustrat ın Figurile 3.5, 3.13.
In Figurile 3.5, 3.6 am descris directiile campului vectorial −→x 7→ −→X−→x =
(
Xm
Ym
)
(−→x ), unde −→x =
(
x
y
)
, asociat sistemului diferential (3.1). Din (3.7), (3.8) deducem
3.2 Sisteme diferentiale omogene 85
ca
sinα = f (θ −θ0)
=1+ ε5(θ −θ0)
k!· |N(k)(θ0)|√
(X2m +Y 2
m)(cosθ0,sinθ0)· |θ0 −θ |k
si
cosα = g(θ −θ0)
=Z(θ0)
√
(X2m +Y 2
m)(cosθ0,sinθ0)· (1+ ε6(θ −θ0)),
unde |εi(θ −θ0)|< 12 cand (ρ ,θ) ∈ A−, i ∈ 5,6, deci marimea unghiului (neori-
entat) α scade pe masura ce ne apropiem de raza invarianta. In functie de semnul
marimii Z(t0) stabilim orientarea (sageata) vectorilor campului−→X .
Traiectoria descrisa de punctul curent M = M(x(t),y(t)) ın planul fazelor are
curbura cu semn data de formula [45, p. 23]
ks =
.x (t)
..y (t)− ..
x (t).y (t)
[.x (t)]2 +[
.y (t)]2
32
=ρ(θ)2 +2[ρ ′(θ)]2 −ρ(θ)ρ ′′(θ)
ρ(θ)2 +[ρ ′(θ)]232
· sgn [.θ (t)] (3.18)
(via (3.12)) =N(θ)[N(θ)2 +Z(θ)2 −N(θ)Z′(θ)+N′(θ)Z(θ)]
ρ(θ)[Z(θ)2 +N(θ)2]32
× sgn [.θ (t)]
=N(θ) · sgn [N(θ)]
ρ(θ)[Z(θ)2 +N(θ)2]32
× [Z(θ0)2 +N′(θ0)Z(θ0)+O(|θ −θ0|)] (cand θ → θ0)
=1
k!· |N(k)(θ0)|
ρ(θ0)|Z(θ0)|3· (1+ ε7(θ −θ0))
× [Z(θ0)2 +N′(θ0)Z(θ0)]|θ0 −θ |k, |ε7(θ −θ0)|<
1
2, (3.19)
unde (ρ ,θ) ∈ A−.
Spunem despre curba din Figura 3.4 ca este convexa ın M catre O daca linia
punctata plecand din O intersecteaza ıntai curba si apoi tangenta (orientata) ın M la
aceasta din urma. In caz contrar, avem concavitate catre O. Curbura cu semn este
pozitiva pentru aceasta convexitate [45, p. 7].
In cazul particular discutat pana acum — k impar si Z(θ0), N(k)(θ0)> 0 —, daca
avem k ≥ 3, atunci semnul curburii ks este dat de estimarea
86 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
ks =1
k!· |N(k)(θ0)|
ρ(θ0)|Z(θ0)|· (1+ ε7(θ −θ0)) · |θ0 −θ |k,
deci este plus. Asadar, traiectoria paraseste regiunea A− ca o curba convexa catre
O.
Trebuie retinut ca, via (3.19), semnul curburii ks coincide cu semnul marimii
Z(t0)2 +N′(t0)Z(t0). Pentru a obtine concavitatea catre O a orbitei este, evident,
necesar ca N′(t0) 6= 0.
Demonstratia formulei (3.18) se bazeaza pe relatiile
.x=
.ρ cosθ −ρ
.θ sinθ ,
.y=
.ρ sinθ +ρ
.θ cosθ ,
..x=
(
..ρ −ρ
.θ
2)
cosθ −(
2.ρ
.θ +ρ
..θ)
sinθ ,
..y=
(
..ρ −ρ
.θ
2)
sinθ +(
2.ρ
.θ +ρ
..θ)
cosθ ,
respectiv
.x..y − ..
x.y= 2
.ρ2 .
θ +ρ.ρ
..θ −ρ
.θ
..ρ +ρ2
.θ
3,
.x
2+
.y
2=
.ρ2
+ρ2.θ
2
si
ρ ′ =.ρ.θ, ρ ′′ =
(ρ ′)·.θ
=
..ρ
.θ − .
ρ..θ
.θ
3.
De aici,
.x..y − ..
x.y=
.θ
3 [
ρ2 +2(ρ ′)2 −ρρ ′′]
,(
.x
2+
.y
2) 3
2= |
.θ |3
[
ρ2 +(ρ ′)2] 3
2.
Inainte de a comenta subcazul k = 1, introducem alta cantitate auxiliara ın
analiza, si anume distanta pana la raza invarianta — reamintesc, suntem ın A− —,
D(θ0 −θ) = ρ(θ)sin(θ0 −θ)
= ρ(θ0 −δ )sin(θ0 −θ)exp
(
c(θ0,k)∫ θ
θ0−δ
1+ ε3(s−θ0)
(θ0 − s)kds
)
.
Acum, pentru k = 1, cum Z(t0) si N′(t0) au acelasi semn, deci Z(θ0)2 +N′(θ0)
Z(θ0)> 0, remarcam ca [61, p. 61], prin dezvoltare ın serie Taylor,
3.2 Sisteme diferentiale omogene 87
1+ ε3(s−θ0)
θ0 − s=
1
θ0 −θ+ c1 + c2(s−θ0)+ · · · , ci ∈ R. (3.20)
Mai departe, via (3.20),
D(θ0 −θ) =ρ(θ0 −δ )δ−c(θ0,1)
· sin(θ0 −θ)(θ0 −θ)c(θ0,1)
· exp(c1(θ −θ0 +δ )+ · · ·) (3.21)
si limθրθ0
D(θ0 −θ) = 0. Acest subcaz nu produce nicio schimbare ın desenul fazelor.
In continuare, presupunem ca numarul k este impar, Z(θ0) > 0 si N(k)(t0) <0. Astfel, via (3.17), lim
θրθ0
ρ(θ) = limt→+∞
ρ(t) = +∞, limt→+∞
θ(t) = θ0. De asemeni,
tinand cont de limita limuց0
(
sinu · ec
uγ)
= +∞, unde c, γ > 0, estimarea (3.16) arata
ca limθրθ0
D(θ0 −θ) = +∞. Situatia este ilustrata ın Figura 3.16 (k ≥ 3).
Cazului k = 1, Z(θ0)2 + N′(θ0)Z(θ0) < 0 si Z(θ0) > 0 ıi corespunde Figu-
ra 3.18. Intr-adevar, cumN′(θ0)Z(θ0)
< −1, deci c(θ0,1) ∈ (0,1), din (3.21) rezulta ca
limθրθ0
D(θ0 −θ) = 0.
Pentru k = 1 si Z(θ0)2 +N′(θ0)Z(θ0) = 0 — evident, Z(t0) si N′(t0) au semne
contrare11 —, obtinem c(θ0,1)= 1 ın (3.21), de unde limθրθ0
D(θ0−θ)= d ∈ (0,+∞).
Am ajuns la contextul Figurilor 3.19 – 3.22, ın care traiectoriile au drept asimptote
directii “punctate”, paralele cu raza invarianta (ρ ,θ) : θ = θ0 a sistemului dinamic
(3.5), (3.6).
De exemplu, ın Figura 3.19 avem Z(θ0) = −N(θ0) < 0. Din (3.17) rezulta ca
limθրθ0
t(θ) =−∞. Conform (3.21), traiectoria sistemului dinamic a avut, ın urma cu
“+∞ momente”, drept asimptota linia punctata ∆ . Cum limθրθ0
ρ(θ) = +∞, punctul
curent vine “de la +∞” pe raza invarianta.
Separand variabilele ın prima dintre ecuatiile (3.10), deducem ca
∫ ρ(0)
ρ(T )
du
um=−Z(t0) ·
∫ T
0dt, T > 0,
unde 0 < ρ(T )< ρ(0). Astfel, limT→+∞
ρ(T ) = 0.
Figurile 3.23 – 3.26 se refera la situatia cand numarul k ≥ 2 este par. Aici, ks > 0.
In sfarsit, ın Figurile 3.27 – 3.29 liniile (drepte) continue sunt raze invariante
corespunzand unor zerouri izolate ale ecuatiei (3.9), iar curbele desemneaza traiec-
torii posibile. In ordinea indicata, domeniile sectoriale formate ıntre liniile continue
reprezinta un12 unghi eliptic, unul hiperbolic, respectiv unul parabolic13.
11 In fapt, Z(θ0) =−N′(θ0) 6= 0.12 Sau sector eliptic.13 Sau ventilator. In limba engleza, fan, cf. [39, p. 219].
88 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
O
M
Fig. 3.4 Convexitate ın M catre O
O
δ
Fig. 3.5 Raza invarianta
3.2 Sisteme diferentiale omogene 89
Fig. 3.6 Directiile campului vectorial
Fig. 3.7 Directiile campului vectorial
90 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fig. 3.8 Directiile campului vectorial
Fig. 3.9 Directiile campului vectorial
3.2 Sisteme diferentiale omogene 91
Fig. 3.10 Directiile campului vectorial
Fig. 3.11 Directiile campului vectorial
92 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fig. 3.12 Directiile campului vectorial
Fig. 3.13 Alura traiectoriilor
3.2 Sisteme diferentiale omogene 93
Fig. 3.14 Alura traiectoriilor
Fig. 3.15 Alura traiectoriilor
94 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fig. 3.16 Alura traiectoriilor
Fig. 3.17 Alura traiectoriilor
3.2 Sisteme diferentiale omogene 95
Fig. 3.18 Alura traiectoriilor
∆
Fig. 3.19 Alura traiectoriilor, asimptotele
96 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fig. 3.20 Alura traiectoriilor, asimptotele
Fig. 3.21 Alura traiectoriilor, asimptotele
3.3 Desene 97
3.3 Desene
Singurul element de noutate, ın ilustratiile anterioare, ıl reprezinta linia puncta-
ta. Codul sau este listat ın cele ce urmeaza.
linie_punctata.ps
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 %%%%%%%%%%%%linie punctata%%%%%%%%%%%%3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 /liniepunctatadict 22 d i c t def
5 liniepunctatadict begin
6 /matrice matrix def
7 end
8
9 /liniepunctata10 liniepunctatadict begin
11 %%%date de intrare:12 /sosirex exch def
13 /sosirey exch def
14 /plecarex exch def
15 /plecarey exch def
16 /lungime exch def %lungimea liniutei17 %%%prelucrari:18 /diferentax19 sosirex plecarex sub def
20 /diferentay21 sosirey plecarey sub def
22 /lungimealiniei23 diferentax diferentax mul
24 diferentay diferentay mul
25 add s q r t def
26 /lungime lungime 0 l e 1lungime i f e l s e def
27 /spatiugol28 lungime 4 div def %il propun eu, nu utilizatorul29 /numardeaplicari30 lungimealiniei lungime div c v i def
31 /cosunghi32 sosirex plecarex sub lungimealiniei div def
33 /sinunghi34 sosirey plecarey sub lungimealiniei div def
35 /adaosx36 lungime spatiugol sub cosunghi mul def
37 /adaosy38 lungime spatiugol sub sinunghi mul def
39 /pasx40 lungime cosunghi mul def
41 /pasy42 lungime sinunghi mul def
43 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
44 %%%constructia liniei:45 1 1 numardeaplicari 46 newpath
47 0.6 s e t l i n e w i d t h
98 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fig. 3.22 Alura traiectoriilor, asimptotele
Fig. 3.23 Alura traiectoriilor
3.3 Desene 99
Fig. 3.24 Alura traiectoriilor
Fig. 3.25 Alura traiectoriilor
100 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fig. 3.26 Alura traiectoriilor
Fig. 3.27 Alura traiectoriilor
3.3 Desene 101
Fig. 3.28 Alura traiectoriilor
Fig. 3.29 Alura traiectoriilor
102 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
48 plecarex plecarey moveto
49 adaosx adaosy r l i n e t o
50 s t r o k e
51 /plecarex plecarex pasx add def
52 /plecarey plecarey pasy add def
53 f o r
54 matricesalvata s e t m a t r i x
55 end
56 def
Pentru modalitatea de ıntrebuintare a dictionarelor — instructiunea dict din
linia 4 — ın PostScript, vezi [1, pg. 132, 133]. O tehnica avansata de producere
a curbelor punctate este detaliata ın [1, p. 147 si urm.]. O vom prezenta ıncepand
cu pagina 145.
Acum, Figura 3.5 poate fi realizata cu instructiunile de mai jos.
figura_3_5.eps
1 %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.02 %%BoundingBox: 14 14 120 1203
4 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/biblioteca.ps) run
5 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/linie_punctata.ps) run
6 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/triunghiuri.ps) run
7
8 newpath
9 20 20 t r a n s l a t e
10 2.6 0 0 70 30 liniepunctata11 2.6 0 0 65 45 liniepunctata12 2.6 0 0 45 65 liniepunctata13 2.6 0 0 30 70 liniepunctata14
15 newpath
16 1 s e t l i n e w i d t h
17 0 0 moveto
18 60 60 l i n e t o
19 s t r o k e
20 newpath
21 18 54 moveto
22 23 42 l i n e t o
23 s t r o k e
24 newpath
25 19 31 moveto
26 17 20 l i n e t o
27 s t r o k e
28 newpath
29 31 19 moveto
30 20 17 l i n e t o
31 s t r o k e
32 newpath
33 54 18 moveto
3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru 103
34 42 23 l i n e t o
35 s t r o k e
36
37 20 43.4 24 45.4 -3 triunghisageata38 43.4 20 45.4 24 3 triunghisageata39 15.4 23.1 19.8 22.4 -3 triunghisageata40 23.1 15.4 22.4 19.8 3 triunghisageata41 42 38 38 42 3 triunghisageata42 48 48 60 26 8 triunghicurb43
44 /Times-Roman f i n d f o n t 6 s c a l e f o n t s e t f o n t
45 0 s e t g r a y
46 .5 s e t l i n e w i d t h
47 newpath
48 -4 -4.6 moveto
49 (O) show
50
51 /Symbol f i n d f o n t 6 s c a l e f o n t s e t f o n t
52 0 s e t g r a y
53 .5 s e t l i n e w i d t h
54 newpath
55 60 20 moveto
56 (d) show
57
58 showpage
3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru
Ne intereseaza, ın aceasta subsectiune, comportamentul asimptotic al solutiilor
sistemului diferential (2.17) atunci cand matricea A poseda valori proprii cu partea
reala nula.
Urmam prezentarea din [14, pg. 326–339] si ıncepem discutia cu o modificare a
principiului contractiei (S. Banach), numita principiul contractiei fibrelor. Mai pre-
cis, fiind date spatiile metrice (X ,dX ), (Y,dY ), sa consideram ca aplicatia continua14
F : X ×Y → X ×Y introdusa prin relatia
F(x,y) = (F1(x),F2(x,y)), x ∈ X , y ∈ Y,
ındeplineste conditiile:
(i) exista un atractor global x∞ ∈ X pentru F1 : X → X , adica, oricare ar fi x ∈ X ,
sirul15 ((F1)n(x))n≥1 converge la x∞ ın metrica spatiului;
(ii) acesta este si punct fix16 al functiei F1, F1(x∞) = x∞;
(iii) exista numarul µ ∈ (0,1) pentru care
14 In raport cu topologia generata de metrica produs a spatiului X ×Y , avand formula d((x1,y1),(x2,y2)) = dX (x1,x2)+dY (y1,y2).15 Evident, (F1)
n = F1 · · · F1 — aplicam “ ” de n−1 ori —.16 Consecinta a continuitatii aplicatiei F1, caci
104 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
dY (F2(x,y1),F2(x,y2))≤ µ ·dY (y1,y2), x ∈ X , yi ∈ Y.
Atunci, afirmam ca, daca aplicatia F2(x∞, ·) : Y → Y admite17 punctul fix y∞,
elementul (x∞,y∞) constituie un atractor global al functiei F .
Pentru a proba aceasta, fie x ∈ X si y ∈ Y . Observam ca
F 2(x,y) = (F1,F2)(F(x,y)) = (F1,F2)(F1(x),F2(x,y))
= ((F1)2(x),F2(F1(x),F2(x,y)))
=(
(F1)2(x),F
F1(x)2 (F2(x,y))
)
=(
(F1)2(x),F
F1(x)2 (F x
2 (y)))
,
unde F x2 (y) = F2(x,y), respectiv
F 3(x,y) =(
(F1)3(x),F
F1(F1(x))2 (F
F1(x)2 (F2(x,y)))
)
=(
(F1)3(x),F
F1(F1(x))2 (F
F1(x)2 (F x
2 (y))))
.
Prin inductie matematica dupa n ≥ 1, deducem ca
F n(x,y) =(
(F1)n(x),(F
(F1)n−1(x)
2 F(F1)
n−2(x)2 · · · F x
2 )(y))
, (3.22)
cf. [14, p. 127].
Mai departe, via (3.22),
d(F n(x,y),F n(x,y∞))
= dY
(
(F(F1)
n−1(x)2 · · · Fx
2 )(y),(F(F1)
n−1(x)2 · · · F x
2 )(y∞))
≤ µndY (y,y∞) (3.23)
si
dX (F1(x∞),x∞) ≤ dX (F1(x∞),Fn+11 (x))+dX (F
n+11 (x),x∞)
= dX (F1(x∞),F1(Fn1 (x)))+o(1) cand n →+∞.
17 Spatiul metric (Y,dY ) nu este neaparat complet.
3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru 105
d(F n(x,y∞),Fn(x∞,y∞))
= dX ((F1)n(x),(F1)
n(x∞))
+dY
(
(F(F1)
n−1(x)2 · · · F x
2 )(y∞),y∞
)
≤ dX ((F1)n(x),x∞) — ipoteza (ii) —
+[
dY
(
(F(F1)
n−1(x)2 · · · Fx
2 )(y∞),F(F1)
n−1(x)2 (y∞)
)
+dY
(
F(F1)
n−1(x)2 (y∞),y∞
)]
≤ dX ((F1)n(x),x∞)
+µ ·dY
(
(F(F1)
n−2(x)2 · · · F x
2 )(y∞),y∞
)
+dY
(
(F(F1)
n−1(x)2 (y∞),y∞
)
.
Prin inductie matematica dupa n ≥ 1, remarcam ca
d(F n(x,y∞),Fn(x∞,y∞)) ≤ dX ((F1)
n(x),x∞)
+n−1
∑i=0
µn−1−idY
(
F(F1)
i(x)2 (y∞),y∞
)
. (3.24)
Observam apoi ca
dY
(
F(F1)
i(x)2 (y∞),y∞
)
= dY
(
F2((F1)i(x),y∞),y∞
)
= dY
(
F2((F1)i(x),y∞),F2(x∞,y∞)
)
= o(1) cand i →+∞
drept consecinta a continuitatii aplicatiei F2. Fie M = M(x) < +∞ astfel ıncat
dY
(
F(F1)
i(x)2 (y∞),y∞
)
≤ M pentru orice i ≥ 0.
Fixam ε > 0. Exista numerele ıntregi i1 ≥ 1, i1 = i1(x), respectiv n1 > i1, n1 =
n1(x,y), cu proprietatea ca 0 ≤ dY
(
F(F1)
i(x)2 (y∞),y∞
)
≤ 14 (1−µ)ε pentru orice i ≥
i1, respectiv µndY (y,y∞)+ dX ((F1)n(x),x∞) <
ε2 , n ≥ n1. Astfel, tinand seama de
(3.23), (3.24),
106 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
d(F n(x,y),F n(x∞,y∞)) = d(F n(x,y),(x∞,y∞))
≤ d(F n(x,y),F n(x,y∞))+d(F n(x,y∞),Fn(x∞,y∞))
≤ µndY (y,y∞)+dX ((F1)n(x),x∞)+
n−1
∑i=0
µn−1−idY
(
F(F1)
i(x)2 (y∞),y∞
)
≤ ε2+
(
i1−1
∑i=0
+n−1
∑i=i1
)
µn−1−idY
(
F(F1)
i(x)2 (y∞),y∞
)
≤ ε2+Mµn−i1 ·
i1−1
∑i=0
µ i +1
4(1−µ)ε · ∑
j≥0
µ j
≤ ε2+
M
1−µ·µn−i1 +
ε4=
3ε4
+M
1−µ·µn−i1 < ε ,
unde n ≥ N = N(ε ,x,y)≥ max
n1, i1 +ln
ε(1−µ)4M
ln µ
este suficient de mare.
Cum numarul ε a fost ales ın mod arbitrar, afirmatia este probata.
Presupunem acum ca matricea A a sistemului diferential (2.17) admite o descom-
punere de tipul (2.45). In fapt, consideram sistemul diferential
( .x.y
)
=
(
S 0k,l
0l,k U
)(
x
y
)
+
(
F(x,y)G(x,y)
)
, (3.25)
unde matricea S ∈ Mk(R) admite valorile proprii (λi)i∈1,k iar matricea U ∈ Ml(R)
valorile proprii (λi)i∈k+1,k+l , k, l ≥ 1. Ca si anterior, functiile netede F : Rk+l ≡Rk ×Rk → Rl , G : Rk+l → Rl joaca rolul unor parti patratice, adica F(0,0) = 0,
G(0,0) = 0 si, pentru orice γ1 > 0, exista γ2 > 0 astfel ıncat
‖Jac(x3,y3)F‖+‖Jac(x3,y3)G‖< γ1 (3.26)
si
‖F(x1,y1)−F(x2,y2)‖+‖G(x1,y1)−G(x2,y2)‖≤ γ1‖(x1,y1)− (x2,y2)‖ (3.27)
daca ‖(xi,yi)‖< γ2, xi ∈ Rk, yi ∈ Rl .
Asa cum am procedat ın cazul hiperbolic, ne intereseaza gasirea unei varietati
diferentiale simple W c = (x,y) : y = ψ(x), cu ψ(0) = 0, Jac0Rk
ψ = 0 [12, p. 3],
pe care sa analizam comportamentul asimptotic al solutiilor sistemului (3.25). In
acest scop, modificam functiile F, G, multiplicandu-le cu functii netede de suport
compact, si impunem ca relatiile (3.26), (3.27) sa aiba loc oriunde ın Rk+l . Talia
marimii γ1 va fi precizata ulterior. In jurul lui 0, vechile si noile functii F, G vor
coincide [33, p. 251].
Introducem spatiul Banach real Em,n al functiilor continue f :Rm →Rn, m, n≥ 1,
cu proprietatea ca
3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru 107
f (0) = 0, ‖ f‖= supξ∈Rm−0
‖ f (ξ )‖‖ξ‖ <+∞,
vezi si [41, p. 80]. Un subspatiu (liniar) important este Lip(Em,n), format din
functiile Lipschitziene, pentru care
Lip( f ) = supξ1 6=ξ2∈Rn
‖ f (ξ1)− f (ξ2)‖‖ξ1 −ξ2‖
<+∞, f ∈ Em,n. (3.28)
In particular, cum f (0) = 0, avem ‖ f (x)‖ ≤ ‖ f‖ · ‖x‖ si
‖ f‖ ≤ Lip( f ). (3.29)
Daca f =
f1
...
fn
∈ Lip(Em,n) este neteda, atunci
∣
∣
∣
∣
∂ fi
∂x j
(ξ )∣
∣
∣
∣
≤ suph∈R−0
| fi(ξ +he j)− fi(ξ )||h| ≤ sup
h 6=0
‖ f (ξ +he j)− f (ξ )‖|h|
≤ Lip( f ), i ∈ 1,n, j ∈ 1,m,
unde e1, . . . ,em este baza canonica (ortonormata) a spatiului euclidian Rm, respec-
tiv18
‖Jacx f‖ ≤√
mn ·Lip( f ), x ∈ Rm. (3.30)
Folosind estimarea (3.29), se observa ca multimile (Bm,nρ )ρ>0, unde B
m,nρ = f ∈
Em,n : Lip( f ) ≤ ρ, alcatuiesc spatii metrice complete daca sunt dotate cu metrica
sup,
d( f1, f2) = supξ 6=0
‖ f1(ξ )− f2(ξ )‖‖ξ‖ , fi ∈ B
m,nρ .
Presupunem ca exista numerele α, β ∈ R astfel ıncat
max1≤i≤k
Re λi < α < β < mink+1≤i≤k+l
Re λi. (3.31)
Atunci, putem introduce marimea K > 0 pentru care sa aiba loc omoloagele relatiilor
(2.46), adica
18 Daca M ∈ Mm,n(R), atunci, pe baza inegalitatii Cauchy-Buniakovski-Schwarz, are loc inegali-
tatea ‖M‖= sup‖x‖≤1
‖Mx‖‖x‖ ≤ sup
‖x‖≤1
[
1‖x‖ ·
√
∑i, j|mi j|2 ·∑
k
|xk|2]
=√
∑i, j|mi j|2.
108 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
‖etS‖ ≤ Keαt , t ≥ 0,
‖etU‖ ≤ Keβ t , t ≤ 0.(3.32)
Fie ψ ∈ Lip(Ek,l), unde
Lip(ψ)<β −αKγ1
−1, (3.33)
si sistemul diferential
.x = Sx+F(x,ψ(x)). (3.34)
Aici19,
‖F(x1,ψ(x1))−F(x2,ψ(x2))‖ ≤ γ1(‖x1 − x2‖+‖ψ(x1)−ψ(x2)‖)≤ γ1(1+Lip(ψ))‖x1 − x2‖, (3.35)
respectiv
‖F(x,ψ1(x))−F(x,ψ2(x))‖ ≤ γ1‖ψ1(x)−ψ2(x)‖≤ γ1‖ψ1 −ψ1‖ · ‖x‖ (3.36)
si
‖F(x1,ψ1(x1))−F(x2,ψ2(x2))‖ ≤ ‖F(x1,ψ1(x1))−F(x2,ψ1(x2))‖+ ‖F(x2,ψ1(x2))−F(x2,ψ2(x2))‖≤ γ1(1+Lip(ψ1)‖x1 − x2‖+ γ1‖ψ1 −ψ2‖ · ‖x2‖.
Astfel, aplicatia (x,ψ) 7→ F(x,ψ(x)), notata tot F, este local Lipschitziana ın Rk ×Lip(Ek,l).
Plecand de la (3.33), introducem numarul ρ > 0 pentru care
√klρ < β−α
Kγ1−1, K2γ1(1+
√klρ)
β−α−Kγ1(1+√
klρ)< ρ ,
K2γ1
[
1+√
klρβ−α−2Kγ1(1+
√klρ)
+ 1
β−α−Kγ1(1+√
klρ)
]
= ζ , ζ ∈ (0,1).(3.37)
Este evident ca, fiind date numerele α, β , ρ , estimarile (3.37) pot fi obtinute facan-
du-l pe γ1 din (3.26), (3.27) suficient de mic. De asemeni, estimarile sunt valabile
si fara factorul√
kl, dat fiind ca aplicatia u 7→ K2γ1(1+u)β−α−Kγ1(1+u) este crescatoare ın
vecinatatea lui 0.
Pentru a ∈ Rk, avem ecuatia integrala
19 ‖(x,y)‖=√
‖x‖2 +‖y‖2 ≤ ‖x‖+‖y‖, unde (x,y) ∈ Rk ×Rl .
3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru 109
x(t) = etSa+∫ t
0e(t−τ)SF(x(τ),ψ(x(τ)))dτ (3.38)
a solutiilor ecuatiei diferentiale functionale.x = Sx+F(x,ψ). Tehnica standard [23,
pg. 26–27] arata ca ecuatia (3.38) admite solutia (unica, locala) x = x(t,a,ψ) si ca
aplicatia (t,a,ψ) 7→ x(t,a,ψ) este Lipschitziana (local).
Estimarea — F(0,ψ(0)) = F(0,0) = 0, reamintesc (3.35) —
‖x(t)‖ ≤ Keαt
[
‖a‖+∫ t
0e−ατ · γ1(1+Lip(ψ))‖x(τ)‖dτ
]
,
reorganizata ca
z(t)≤ K‖a‖+∫ t
0Kγ1(1+Lip(ψ))z(s)ds, z(t) = e−αt‖x(t)‖,
ne conduce, via inegalitatea Gronwall-Bellman, la
z(t)≤ K‖a‖eKγ1(1+Lip(ψ))t , ‖x(t)‖ ≤ K‖a‖e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α ]t . (3.39)
Deducem de aici ca, indiferent de semnul lui α , solutia x exista ın [0,+∞).De asemeni, sunt valabile estimarile auxiliare
‖x(t,a,ψ)− x(t,b,ψ)‖ ≤ K‖a−b‖e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α ]t , (3.40)
respectiv
‖x(t,a,ψ1)− x(t,a,ψ2)‖
≤∫ t
0Keα(t−s) [γ1(1+Lip(ψ1))‖x(s,a,ψ1)− x(s,a,ψ2)‖
+ γ1‖ψ1 −ψ2‖ · ‖x(s,a,ψ2)‖]ds
via (3.39) ≤ K2‖a‖γ1‖ψ1 −ψ2‖eαt
∫ t
0eKγ1(1+Lip(ψ2))sds+
∫ t
0Keα(t−s)
×γ1(1+Lip(ψ1))‖x(s,a,ψ1)− x(s,a,ψ2)‖ds.
Reorganizand ultima estimare drept
v(t)≤ K‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖eKγ1(1+Lip(ψ2))t
1+Lip(ψ2)+∫ t
0Kγ1(1+Lip(ψ2))v(s)ds,
unde v(t) = e−αt‖x(t,a,ψ1)− x(t,a,ψ2)‖, ajungem, cu ajutorul inegalitatii Gron-
wall-Bellman, la
‖x(t,a,ψ1)− x(t,a,ψ2)‖ ≤K‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖e[2Kγ1(1+Lip(ψ2))+α ]t
1+Lip(ψ2). (3.41)
Mai departe, introducem functia y cu formula
110 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
y(t,a,ψ) = ψ(x(t,a,ψ)), t ≥ 0, a ∈ Rk, ψ ∈ Lip(Ek,l).
In particular, y(0,a,ψ) = ψ(a).Vrem ca aceasta functie sa o verifice pe cea de-a doua ecuatie (3.25), ceea ce,
prin integrare, ınseamna ca
y(t) = etU
[
y(0)+
∫ t
0e−τU G(x(τ ,a,ψ),y(τ))dτ
]
, t ≥ 0,
respectiv — ın mod formal —
y(0) =−∫ +∞
0e−τU G(x(τ ,a,ψ),y(τ))dτ + lim
s→+∞
[
e−sU y(s)]
.
Deoarece, pe baza (3.39), avem
∥
∥e−sU y(s)∥
∥ ≤ Ke−β sLip(ψ) · ‖x(s,a,ψ)‖≤ K2‖a‖Lip(ψ)e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α−β ]s,
conditia (3.33) implica relatia
ψ(a) =−∫ +∞
0e−τU G(x(τ ,a,ψ),ψ(x(τ ,a,ψ)))dτ . (3.42)
Alternativ, se putea construi o expresie cu integrala∫ 0−∞, vezi [12, p. 17].
Invarianta la translatii temporale a sistemelor diferentiale autonome ne conduce
— ınlocuindu-l pe a cu x(t,a,ψ) — la
ψ(x(t,a,ψ)) = −∫ +∞
0e−τU G(x(τ + t,a,ψ),ψ(x(τ + t,a,ψ)))dτ
= −∫ +∞
te(t−s)U G(x(s,a,ψ),ψ(x(s,a,ψ)))ds,
respectiv la
e−tU ψ(x(t,a,ψ)) =−∫ +∞
te−sU G(x(s,a,ψ),ψ(x(s,a,ψ)))ds, t ≥ 0.
Derivand ultima relatie, ajungem la punctul de plecare, adica functia t 7→ ψ(x(t,a,ψ)) verifica cea de-a doua ecuatie a sistemului (3.25). Asadar, solutia sistemului
diferential (3.25) care pleaca din punctul (a,ψ(a)) ramane pentru “ totdeauna” ın
graficul aplicatiei ψ daca aceasta din urma ındeplineste restrictia (3.42).
Introducem operatorul T : Bk,lρ → C(Rk,Rl) avand drept formula partea dreapta
a egalitatii (3.42).
Cum functia G = G(x,ψ) ındeplineste, la fel ca F , conditiile (3.35), (3.36), de-
ducem ca
3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru 111
‖T (ψ)(a)‖ ≤∫ +∞
0Ke−βτ · γ1(1+Lip(ψ))‖x(τ ,a,ψ)‖dτ
(via (3.39)) ≤ K2‖a‖γ1(1+Lip(ψ)) ·∫ +∞
0e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α−β ]τdτ
< +∞, (3.43)
deci integrala are sens (este convergenta).
In mod analog, pentru a,b ∈ Rk si ψ ∈ Bk,lρ , avem, tinand seama de (3.40),
‖T (ψ)(a)−T (ψ)(b)‖
≤∫ +∞
0Ke−βτ · γ1(1+Lip(ψ))‖x(τ ,a,ψ)− x(τ ,b,ψ)‖dτ
≤ K2γ1(1+Lip(ψ))‖a−b‖∫ +∞
0e[Kγ1(1+Lip(ψ))+α−β ]sds
=K2γ1(1+Lip(ψ))‖a−b‖β −α −Kγ1(1+Lip(ψ))
≤ K2γ1(1+ρ)‖a−b‖β −α −Kγ1(1+ρ)
(cf. (3.37)) ≤ ρ‖a−b‖,
ceea ce implica faptul ca T (Bk,lρ )⊆ B
k,lρ — T (ψ(0)) = 0 —.
Mai departe, pentru a ∈ Rk si ψ1, ψ2 ∈ Bk,lρ , deducem ca
‖T (ψ1)(a)−T (ψ2)(a)‖
≤ γ1(1+Lip(ψ1))∫ +∞
0Ke−βτ‖x(τ ,a,ψ1)− x(τ ,a,ψ2)‖dτ
+γ1‖ψ1 −ψ2‖ ·∫ +∞
0Ke−βτ‖x(τ ,a,ψ2)‖dτ
≤ K2γ11+Lip(ψ1)
1+Lip(ψ2)‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖
∫ +∞
0e[2Kγ1(1+Lip(ψ2))+α−β ]tdt
+K2γ1‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖∫ +∞
0e[Kγ1(1+Lip(ψ2))+α−β ]tdt
= K2γ1‖a‖ · ‖ψ1 −ψ2‖
×
1+Lip(ψ1)1+Lip(ψ2)
β −α −2Kγ1(1+Lip(ψ2))+
1
β −α −Kγ1(1+Lip(ψ2))
≤ K2γ1‖a‖[
1+ρβ −α −2Kγ1(1+ρ)
+1
β −α −Kγ1(1+ρ)
]
· ‖ψ1 −ψ2‖
(via (3.37)) ≤ ‖a‖ ·ζ‖ψ1 −ψ2‖,
respectiv
‖T (ψ1)−T (ψ2)‖ ≤ ζ‖ψ1 −ψ2‖, ψi ∈ Bk,lρ .
112 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Am stabilit pana acum ca operatorul T : Bk,lρ → B
k,lρ este o contractie iar punctul
sau fix, ψ : Rk → Rl , o aplicatie Lipschitziana cu ψ(0) = 0 care constituie20 o
varietate topologica centrala [38, p. 33] pentru sistemul diferential (3.25).
Analizam, ın continuare, netezimea aplicatiei ψ . Pentru aceasta, introducem
o ecuatie integrala de tipul celei din (2.57). Mai precis, derivand ecuatia (3.38),
obtinem ecuatia matriceala
∂x
∂a(t,a,ψ) = etS +
∫ t
0e(t−s)S
[
∂F
∂x+
∂F
∂y· Jacx(s,a,ψ)ψ
]
∂x
∂ads, (3.44)
unde functia ψ ∈Bk,lρ este presupusa neteda. In particular, cum Jac(x,y)F =
(
∂F∂x, ∂F
∂y
)
(x,y) si
max
∥
∥
∥
∥
∂F
∂x
∥
∥
∥
∥
,
∥
∥
∥
∥
∂F
∂y
∥
∥
∥
∥
≤∥
∥Jac(x,y)F∥
∥< γ1, (3.45)
deducem ca∥
∥
∥
∥
∂x
∂a(t,a,ψ)
∥
∥
∥
∥
≤ Keαt +∫ t
0Keα(t−s)γ1
[
1+ supτ≥0
∥
∥Jacx(τ ,a,ψ)ψ∥
∥
]
·∥
∥
∥
∥
∂x
∂a(s,a,ψ)
∥
∥
∥
∥
ds
(vezi (3.30)) ≤ Keαt +∫ t
0Kγ1(1+
√klρ)eα(t−s)
∥
∥
∥
∥
∂x
∂a(s,a,ψ)
∥
∥
∥
∥
ds,
respectiv
∥
∥
∥
∥
∂x
∂a(t,a,ψ)
∥
∥
∥
∥
≤ Ke[Kγ1(1+√
klρ)+α ]t , t ≥ 0. (3.46)
Derivand formal ecuatia (3.42), avem
Jacaψ =−∫ +∞
0e−τU
[
∂G
∂x+
∂G
∂y· Jacx(τ ,a,ψ)ψ
]
∂x
∂a(τ ,a,ψ)ds. (3.47)
La fel ca ın cazul integralei improprii din (3.43), tinand cont de (3.45) — pentru
functia G — si de (3.46), deducem convergenta integralei din (3.47).
Fie Ck,lb = Cb(R
k,L(Rk,Rl)) spatiul liniar real al functiilor matriceale continue
marginite, cu norma
‖Φ‖= supξ∈Rk
‖Φ(ξ )‖= supξ∈Rk
(
sup‖η‖≤1
‖Φ(ξ )η‖‖η‖
)
<+∞, Φ ∈Ck,lb .
20 In mod informal, varietatea propriu-zisa fiind multimea (x,ψ(x)) : x ∈ Rk.
3.4 Varietati centrale W c ale unui echilibru 113
Evident, Φ = Jac(·)ψ ∈Ck,lb , unde ψ ∈ B
k,lρ , si ‖Φ‖ ≤
√klρ . Introducem multimea
B(k, l,ρ) = Φ ∈Ck,lb : ‖Φ‖ ≤
√klρ. Desigur, ımpreuna cu metrica sup d(Φ1,Φ2
) = ‖Φ1 −Φ2‖, aceasta alcatuieste un spatiu metric complet21.
Notam cu W = W (t,a,ψ,Φ) solutia urmatoarei reorganizari a ecuatiei liniare
(3.44)
W (t) = etS +∫ t
0e(t−s)S
[
∂F
∂x(x(s,a,ψ),ψ(x(s,a,ψ)))
+∂F
∂y(x(s,a,ψ),ψ(x(s,a,ψ))) ·Φ(x(s,a,ψ))
]
W (s)ds, t ≥ 0,
unde a ∈ Rk, ψ ∈ Bk,lρ , Φ ∈ B(k, l,ρ).
Folosind estimari asemanatoare celor prin care am stabilit contractia operatoru-
lui T dat de (3.42), deducem continuitatea aplicatiei (t,a,ψ,Φ) 7→ W (t,a,ψ,Φ).Evident, W verifica inegalitatea (3.46).
Fie Ψ : Bk,lρ ×B(k, l,ρ)→ B(k, l,ρ) definit, via (3.47), prin formula
Ψ(ψ,Φ)(a) = −∫ +∞
0e−tU
[
∂G
∂x(x(t,a,ψ),ψ(x(t,a,ψ)))
+∂G
∂y(x(t,a,ψ),ψ(x(t,a,ψ)))Φ(x(t,a,ψ))
]
W (t,a,ψ,Φ)dt.
Observam, pe baza estimarii (3.46), ca
‖Ψ(ψ,Φ)‖ ≤ K2γ1(1+√
klρ)β −α −Kγ1(1+
√klρ)
< ρ <+∞,
deci aplicatia Ψ este bine-definita.
Pentru a utiliza principiul contractiei fibrelor, consideram aplicatia H : Bk,lρ ×
B(k, l,ρ)→ Bk,lρ ×B(k, l,ρ) cu formula H(ψ,Φ) = (T (ψ),Ψ(ψ,Φ)). Astfel,
‖Ψ(ψ,Φ1)−Ψ(ψ,Φ2)‖ ≤ K2γ1
√klρ
β −α −Kγ1(1+√
klρ)· ‖Φ1 −Φ2‖
(via (3.37)) ≤ ζ‖Φ1 −Φ2‖.
Nu discutam aici chestiunea continuitatii [14, pg. 337–338] functiei H. Ea poate
fi probata folosind tehnicile descrise ın [41, pg. 90–96].
Fie sirul ((ψn,Φn))n≥0, unde (ψ0,Φ0) =(
0Ek,l,0
Ck,lb
)
si
(ψn+1,Φn+1) = H(ψn,Φn) = (T (ψn),Ψ(ψn,Φn)),Jac(·)ψn = Φn,
n ≥ 0.
21 Defapt, spatiul liniar Cb(Rk,L(Rk,Rl)) este izomorf cu Cb(R
k,Rkl).
114 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
“Rolul” punctului x∞ ∈ X = Bk,lρ este jucat de varietatea topologica ψ . Cum
spatiul metric Y = B(k, l,ρ) este complet, exista punctul fix y∞ = Φ al aplicatiei
H(x∞, ·). Asadar, sirul ((ψn,Φn))n≥0 converge catre (ψ,Φ) si, tinand seama de
rationamentul din [41, p. 83], avem Jac(·)ψ = Φ .
Existenta varietatii centrale netede (C1) a fost, ın sfarsit, probata. Spre deose-
bire de cazul varietatilor stabila si instabila ale unui echilibru hiperbolic, varietatea
centrala W c nu este neaparat unica [33, p. 249], [14, p. 344]. Chestiunea netezimii
(C∞, Cω ) acesteia ramane una delicata [12, pg. 28–30].
3.5 Teorema Poincare-Bendixson I: solutii periodice ın plan
Sa consideram sistemul diferential
( .x.y
)
=
(
X(x,y)Y (x,y)
)
, t ∈ R, (3.48)
unde functiile X , Y : R2 → R sunt netede.
Folosim prezentarea din [61, p. 146 si urm.].
Fie γP′ =
(
xP′(t)yP′(t)
)
: t ∈ [0, t0]
un arc de curba biregular pe una din traiec-
toriile sistemului (3.48), unde
(
xP′(t0)yP′(t0)
)
= P′. Biregularitatea [42, p. 28] presupune
ca
| .x..y − .
y..x |
√
(
.x
2+
.y
2)(
..x
2+
..y
2)
(t) = B(Q)
=
∣
∣
∣X2 ∂Y∂x
+XY(
∂Y∂y
− ∂X∂x
)
−Y 2 ∂X∂y
∣
∣
∣
√
(X2 +Y 2)
[
(
∂X∂x
X + ∂X∂y
Y)2
+(
∂Y∂x
X + ∂Y∂y
Y)2]
(Q)> 0,
unde Q ∈ γP′ . Multimea γP′ fiind compacta ın planul euclidian, avem minQ∈γP′
B(Q) =
B(Q0)> 0 pentru un anume Q0 ∈ γP′ .
Notam cu D′ = D(P′,δ ′) discul de centru P′ =
(
xP′(t0)yP′(t0)
)
si de raza δ ′.
Procedura standard [22, p. 24] arata ca, fiind dat ε > 0, exista marimea δ ′ = δ ′(
γP′ ,ε), astfel ıncat, pentru orice Q′ ∈ D′, traiectoria γQ′ , unde Q′ =
(
xQ′(t0)yQ′(t0)
)
, sa fie
3.5 Teorema Poincare-Bendixson I: solutii periodice ın plan 115
biregulara, parametrizarea t 7→(
xQ′(t)yQ′(t)
)
sa fie definita22 pe [0, t0] si, ın plus,
d
((
xP′(t)yP′(t)
)
,
(
xQ′(t)yQ′(t)
))
< ε , t ∈ [0, t0]. (3.49)
Insistam asupra procedurii, comentandu-i demonstratia. Mai precis, fiind dat sis-
temul diferential
.x = f (t,x) (3.50)
unde functia f : Rn+1 → Rn este neteda, sa presupunem ca acesta poseda solutia
x = x(t) ın intervalul [t0, t1]. Fiind marginita, ea poate fi prelungita la dreapta lui t1[5, p. 45] si admitem ca solutia x exista, defapt, pe intervalul mai “larg” [t0, t1 +χ ],unde χ ∈ (0,1) este fixat.
Fixam numerele ε , L f , M f > 0 pentru care
‖ f (t,u)‖ ≤ M f , ‖ f (t,u)− f (t,v)‖ ≤ L f ‖u− v‖, (t,u), (t,v) ∈ K, (3.51)
unde K = (s,u) : s ∈ [t0, t1 + χ ],‖x(s)− u‖ ≤ ε. Evident, multimea K este com-
pacta si L f = L f (ε), M f = M f (ε).Mai departe, introducem numerele
b ∈(
0,χ
1+M f
)
, a =(
1+M f
)
·b
astfel ıncat
(√2+M f
)2·b < ε (3.52)
si N = ⌈ t1−t0b
⌉+1, respectiv (Tk)k∈0,N cu formula Tk = t0 + k ·b. Este evident ca
N = N(ε), a < χ , b < min
a,a
M f
, (3.53)
respectiv
t1 − t0 < N ·b ≤ t1 − t0 +b < t1 − t0 + χ , (3.54)
de unde TN−1 ≤ t1 < TN < t1 + χ .
Fie multimile — vezi si [31, p. 85] —
D+a (t,U) = (s,u) : s ∈ [t, t +a], ‖x(t)+U −u‖ ≤ a,
22 In cazul unui sistem diferential neted.z= f (t,z), solutia z = z(t,0,z0) cu z(0) = z0 ∈ Rn are
intervalul maximal de existenta (t−(z0), t+(z0))⊆ (−∞,+∞), unde aplicatiile t+, −t− sunt inferiorsemicontinue, cf. [2, p. 125].
116 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
unde U ∈ Rn, cu ‖U‖< b · e−L f b, si t ∈ [t0, t1].Se observa ca
D+a (t,U)⊆ K.
Intr-adevar, t0 ≤ t ≤ s ≤ t +a < t1 + χ si — via (3.52) —
‖x(s)−u‖ =
∥
∥
∥
∥
[
x(t)+
∫ s
tf (ξ ,x(ξ ))dξ
]
−u
∥
∥
∥
∥
≤ ‖x(t)+U −u‖+‖−U‖+∫ s
t‖ f (ξ ,x(ξ ))‖dξ
≤ a+‖U‖+∫ s
tM f dξ < a+b · e−L f b +M f a
<[
(
1+M f
)2+1]
·b <(√
2+M f
)2b
< ε , (s,u) ∈ D+a (t,U) .
Asadar, inegalitatile (3.51) sunt valabile ın orice set D+a (t,U).
Conform teoremei de existenta si unicitate (Picard-Lindelof), sistemul diferential
poseda, ın compactul D+a (t,U), o singura solutie y = y(s) pentru problema Cauchy
(PC (t,U))
dds[y(s)] = f (s,y(s)),
y(t) = z ∈ Rn,z = x(t)+U, (3.55)
definita ın intervalul [t, t +α], unde α = min
a, aM f
. In particular, tinand seama
de (3.53), solutia y exista peste tot ın intervalul [t, t +b].De asemeni, plecand de la relatiile
‖x(s)− y(s)‖ =
∥
∥
∥
∥
[
x(t)+∫ s
tf (ξ ,x(ξ ))dξ
]
−[
x(t)+U +∫ s
tf (ξ ,y(ξ ))dξ
]∥
∥
∥
∥
≤ ‖U‖+∫ s
tL f ‖x(ξ )− y(ξ )‖dξ ,
putem estima valorile functiei y,
‖x(s)− y(s)‖ ≤ ‖U‖ · eL f b, s ∈ [t, t +b]. (3.56)
Fie x0 = x(t0) si x1 ∈ Rn cu proprietatea ca
‖x0 − x1‖ < b · e−L f ·(t1−t0+χ) (3.57)
(vezi (3.54)) < b · e−NL f b. (3.58)
Notam cu y1 solutia problemei PC (t0,x1 − x0) si afirmam ca este posibil sa de-
finim, ın mod inductiv, functiile (yq)1≤q≤Nastfel ıncat yq+1 sa fie solutia problemei
PC (Tq,yq(Tq)− x(Tq)).
3.5 Teorema Poincare-Bendixson I: solutii periodice ın plan 117
Pentru a proba afirmatia, folosim inegalitatea (3.56) si estimarea (3.58). Astfel,
y1(t0) = x1 si — daca N ≥ 2 —
‖x(s)− y1(s)‖ ≤ ‖x0 − x1‖ · eL f b < b · e−(N−1)L f b
≤ b · e−L f b, s ∈ [T0,T1]. (3.59)
Daca N = 1, atunci
‖x(s)− y1(s)‖ ≤ ‖x0 − x1‖ · eL f b < b
(vezi (3.52)) < ε , s ∈ [t0, t1].
In continuare, presupunem ca N ≥ 2.
Inegalitatea (3.59) ne permite sa introducem solutia y2 a problemei PC (T1,U1),unde U1 = y1(T1)− x(T1). Functia y2 este, evident, prelungirea la dreapta lui T1 =t0 +b a solutiei y1 a sistemului diferential (3.50).
Prin inductie matematica, deducem ca — aici, q ≤ N −1 —
‖x(s)− yq+1(s)‖ ≤ ‖x(Tq)− yq(Tq)‖ · eL f b < b · e−(N−q−1)L f b, s ∈ [Tq,Tq+1].
De unde, pentru Uq = yq(Tq)− x(Tq), avem
‖Uq‖< b · e−L f b, 1 ≤ q ≤ N −1.
Afirmatia a fost justificata.
In concluzie, orice solutie y a sistemului diferential (3.50), cu y(t0) = x1, va e-
xista ın ıntreg intervalul [t0, t1] daca are loc (3.57). Aici, functia yk+1 desemneaza
restrictia lui y la intervalul [Tk,minTk+1, t1], k ∈ 0,N −1. Graficul functiei y se
gaseste ın multimea
N−1⋃
k=0
D+a (Tk,Uk)⊆ K, Uk = y(Tk)− x(Tk),
deci
‖x(t)− y(t)‖< ε , t ∈ [t0, t1].
Un fapt esential trebuie remarcat: numerele L f , M f , asa cum sunt introduse ın
(3.51), depind de compactul K, care, la randul sau, depinde de t0, t1. Insa, daca sis-
temul diferential este considerat autonom — f (t,x) = f (x) —, daca presupunem ca
solutia x = x(t) este marginita — deci exista pentru orice t ∈ R —, atunci prezenta
acestor numere este asigurata, ele fiind legate doar de talia solutiei, M = supt∈R
‖x(t)‖.
Astfel, estimarea (3.58) depinde numai de marimea t1 − t0 si de ε .
Comentariul anterior priveste controlul traiectoriilor ın viitor. Inversand sensul
timpului t, putem realiza controlul ın trecut.
118 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Revenind la discutia principala, fixam punctul P =
(
xP′(t1)yP′(t1)
)
si t1 ∈ (0, t0) si
introducem discul D = D(P,δ ). Talia marimii δ va fi ajustata ulterior. Pentru un
punct Q′ ∈ D′, estimarea (3.49) ne arata ca Q ∈ D, unde Q =
(
xQ′(t1)yQ′(t1)
)
. Aici, δ ′ =
δ ′(γP′ ,δ ).Reamintind calculul din (3.7), (3.8), fie α = α(P,Q) unghiul facut de tangen-
tele (orientate) ın punctele P si Q la traiectoriile γP′ si γQ′ ale sistemului diferential
(3.48). Atunci,
sinα(t1) =|U1(t1)|U3(t1)
= o(1),
cosα(t1) =U2(t1)U3(t1)
= 1+o(1)uniform ın raport cu t1 cand Q′ → P′,
unde
U1(t1) = X(xP′(t1),yP′(t1))Y (xQ′(t1),yQ′(t1))
− Y (xP′(t1),yP′(t1))X(xQ′(t1),yQ′(t1)),
respectiv
U2(t1) = X(xP′(t1),yP′(t1))X(xQ′(t1),yQ′(t1))
+ Y (xP′(t1),yP′(t1))Y (xQ′(t1),yQ′(t1))
si
U3(t1) =
∥
∥
∥
∥
(
X
Y
)
(xP′(t1),yP′(t1))
∥
∥
∥
∥
·∥
∥
∥
∥
(
X
Y
)
(xQ′(t1),yQ′(t1))
∥
∥
∥
∥
.
Aceste estimari ne permit ca, micsorand eventual talia marimii δ , sa presupunem
ca α(t) ∈[
0, π4
]
, t ∈ [0, t0].
In Figura 3.30, alaturi de traiectoria γP′ este ilustrat un arc din cercul sau de
curbura [45, p. 4], trecand prin centrul P al discului D. Dreptele ortogonale care
se intersecteaza ın P reprezinta tangenta T si normala23N ale traiectoriei. Discul
interior, D1 = D(
P, δ√2
)
, are urmatoarea proprietate.
Fiind dat punctul Q ∈ Int(D1) — interiorul discului —, trasam prin el doua
drepte ortogonale d1, d2 astfel ıncat paralela prin Q la tangenta T sa fie bisectoarea
a doua dintre cele patru unghiuri adiacente pe care dreptele ortogonale le formeaza.
Atunci, daca punctul Q nu se gaseste pe dreapta N, aceasta din urma va intersecta
dreptele d1, d2 ın puncte interioare ale discului D.
Traiectoria γQ′ a sistemului (3.48) — pe care se gaseste punctul Q — nu poate
parasi zona hasurata decat prin arcele A1, A2 ale frontierei discului D — datorita
restrictiei privind unghiului α —. Din acelasi motiv, orientarea24 curbelor γP′ , γQ′
23 Dreapta-suport a normalei pricipale [42, p. 29].24 Dinspre d2 catre d1.
3.5 Teorema Poincare-Bendixson I: solutii periodice ın plan 119
T
P
Q
Nd
d
A
A1
2
1
2
P
Q/
/
Fig. 3.30 Traversarea dreptei N, discurile D si D1
coincide. In concluzie, traiectoria γQ′ “traverseaza” dreapta N ın drumul sau catre
Q′. Spunem ca dreapta N constituie o sectiune [14, p. 83] sau o transversala [52, p.
243] a sistemului dinamic (3.48). O analiza moderna a acestei traversari, bazata pe
teorema de rectificare a campurilor vectoriale [2, p. 253], [3, p. 64], [44, pg. 10–11]
poate fi citita ın [2, p. 334].
Fie acum γP =
(
xP(t)yP(t)
)
: t ∈ R
o traiectorie, biregulara, marginita a sistemu-
lui (3.48) trecand prin P =
(
xP(t0)yP(t0)
)
. Sa consideram ca exista sirul, crescator si
nemarginit superior, (tn)n≥1 astfel ıncat limn→+∞
d(Pn,P) = 0, unde Pn =
(
xP(tn)yP(tn)
)
,
n ≥ 1. Afirmam ca traiectoria γP este un ciclu, adica exista numarul T > 0 pentru
care
(
xP(t +T )yP(t +T )
)
=
(
xP(t)yP(t)
)
, t ∈ R.
Intr-adevar, ın caz contrar, va exista numarul N = N(δ ) pentru care Pn ∈ D1
cand n ≥ N. Aici, D1 este discul folosit anterior pentru constructia unei transversale.
Micsorand eventual diametrul acestui disc, fie P′ =
(
xP(t−1)yP(t−1)
)
punctul prin care
traiectoria iese din D1, vezi Figura 3.31. Aici, t0 < t−1.
Remarcam ca
120 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
(
xP(tn +(t−1 − t0))yP(tn +(t−1 − t0))
)
= φ tn+(t−1−t0)
((
xP(0)yP(0)
))
= φ t−1−t0(Pn)→ φ t−1−t0(P) = P′ cand n →+∞,
unde (φ t)t∈R reprezinta grupul Lie de transformari [44, p. 2] asociat sistemului
(3.48).
Pentru numarul N1 > N suficient de mare, φ t−1−t0(PN1) se gaseste ın micul disc
D′(P′,ρ ′) si joaca rolul punctului Q′. Deci, arcul de traiectorie care a reintrat ın
D1 va traversa25 dreapta N ın drum spre Q′. Fie P1 punctul de traversare. Daca
P = P1, atunci solutia este ciclu (periodica), caci relatia P1 = φ t1(x) = P = φ t0(x) =
φ t1−t0(φ t0(x)), unde x =
(
xP(0)yP(0)
)
, ne conduce la
φ t(x) = φ t−t1(φ t1
(x)) = φ t−t1(φ t0(x)) = φ t−(t1−t0)(x)
= φ t0−t1(φ t(x)), t ∈ R.
In caz contrar, exista doar doua variante de traversare a dreptei N, ilustrate ın
Figura 3.31. Particula-solutie M, deplasandu-se pe orbita γP va relua traversarea de o
infinitate de ori, pastrand sensul de traversare. Insa, datorita sirului (tn)n≥1, particula
va trebui sa se apropie de P de o infinitate de ori, ceea ce nu se poate ıntampla ın
lipsa autointersectiilor.
PP
N
QP
P
PN
Q
P
/
//
/
1
1
Fig. 3.31 Traversari ale dreptei N
25 Evident, Pn ∈ D1, n ≥ N1. Ca sa folosim argumentatia cu transversala, suntem obligati sa damtimpul ınapoi cu tN1
momente si sa tinem seama de estimarea (3.58), care va depinde doar demarimea t−1 − t0.
3.6 Hasuri 121
3.6 Hasuri
Pentru a evidentia zonele din interiorul discului D prin care va trece traiectoria
γQ′ , le-am hasurat. Codul acestora este listat mai jos.
hasuri.ps
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 %%%%%%%%%%%%%%%hasuri%%%%%%%%%%%%%%%3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4
5 %%%%%%%folosim biblioteca.ps6
7 /hasuravertdict 21 d i c t def
8 hasuravertdict begin
9 /matrice matrix def
10 end
11 /hasuravert12 hasuravertdict begin
13 %%%date de intrare14 /culoare exch def
15 /raza exch def
16 /yunu exch def
17 /xunu exch def
18 /yzero exch def
19 /xzero exch def
20 %%%prelucrari generale21 /difx xunu xzero sub def
22 /dify yunu yzero sub def
23 /razacalculata24 difx laputerea225 dify laputerea226 add s q r t def
27 /raza28 raza 0 l e %raza negativa29 razacalculataraza i f e l s e def
30 /raza31 raza razacalculata l e %punctul (x1,y1) in afara cercului32 razacalculataraza i f e l s e def
33 %%%calcul ordonate34 /cosalfa35 difx modulul36 raza unupeceva37 mul def
38 /sinalfa39 cosalfa laputerea2 neg
40 1 add s q r t def
41 /dy42 raza sinalfa mul def
43 /alfa %cazul x1=x044 cosalfa 0 eq 90sinalfa cosalfa atan i f e l s e def
45 /alfa %cazul x1<x046 xunu xzero l t alfa neg 180 addalfa i f e l s e def
47 %%%calcul abscise
122 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
48 /cosbeta49 dify modulul50 raza unupeceva51 mul def
52 /sinbeta53 cosbeta laputerea2 neg
54 1 add s q r t def
55 /dx56 raza sinbeta mul def
57 /beta %cazul y1=y058 cosbeta 0 eq 0sinbeta cosbeta atan i f e l s e def
59 /beta %cazul y1>y060 yunu yzero gt beta neg 90 addbeta i f e l s e def
61 /beta %cazul y1<y062 yunu yzero l t beta 90 subbeta i f e l s e def
63 %%%regasirea punctului (x1,y1) prin coordonate relative64 /pozitiey65 dy dify sub def
66 /minuspozitiey67 pozitiey neg def
68
69 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
70
71 newpath
72 xzero yzero t r a n s l a t e
73 0 0 raza beta alfa arc
74 0 minuspozitiey r l i n e t o
75 c l o s e p a t h
76
77 culoare s e t g r a y f i l l
78
79 matricesalvata s e t m a t r i x
80 end
81 def
82
83 /hasuraorizdict 22 d i c t def
84 hasuraorizdict begin
85 /matrice matrix def
86 end
87 /hasuraoriz88 hasuraorizdict begin
89 %%%date de intrare90 /culoare exch def
91 /raza exch def
92 /yunu exch def
93 /xunu exch def
94 /yzero exch def
95 /xzero exch def
96 %%%prelucrari generale97 /difx xunu xzero sub def
98 /dify yunu yzero sub def
99 /razacalculata100 difx laputerea2101 dify laputerea2
3.6 Hasuri 123
102 add s q r t def
103 /raza104 raza 0 l e %raza negativa105 razacalculataraza i f e l s e def
106 /raza107 raza razacalculata l e %punctul (x1,y1) in afara cercului108 razacalculataraza i f e l s e def
109 %%%calcul ordonate110 /cosalfa111 difx modulul112 raza unupeceva113 mul def
114 /sinalfa115 cosalfa laputerea2 neg
116 1 add s q r t def
117 /dy118 raza sinalfa mul def
119 /alfa %cazul x1=x0120 cosalfa 0 eq 90sinalfa cosalfa atan i f e l s e def
121 /alfa %cazul x1<x0122 xunu xzero l t alfa neg 180 addalfa i f e l s e def
123 %%%calcul abscise124 /cosbeta125 dify modulul126 raza unupeceva127 mul def
128 /sinbeta129 cosbeta laputerea2 neg
130 1 add s q r t def
131 /dx132 raza sinbeta mul def
133 /beta %cazul y1=y0134 cosbeta 0 eq 0sinbeta cosbeta atan i f e l s e def
135 /beta %cazul y1>y0136 yunu yzero gt beta neg 90 addbeta i f e l s e def
137 /beta %cazul y1<y0138 yunu yzero l t beta 90 subbeta i f e l s e def
139 %%%regasirea punctului (x1,y1) prin coordonate relative140 /pozitiex141 dx difx add def
142 %%%partea orizontala143 /alfa144 alfa neg def
145 /beta146 yunu yzero ge beta neg 180 addbeta 180 add neg i f e l s e def
147
148 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
149
150 newpath
151 xzero yzero t r a n s l a t e
152 0 0 raza alfa beta arcn
153 pozitiex 0 r l i n e t o
154 c l o s e p a t h
155
124 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
156 culoare s e t g r a y f i l l
157
158 matricesalvata s e t m a t r i x
159 end
160 def
O serie de manipulari — scalarea literelor, apostrofuri — sunt utile ın afisarea
notatiilor.
litere.ps
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 %%%%%%%litere, apostrofuri%%%%%%%3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 /literedict 1 d i c t def
5 /litere6 literedict begin
7 /scalaliterei exch def
8 /Times-Roman f i n d f o n t
9 scalaliterei s c a l e f o n t
10 s e t f o n t
11 end
12 def
13 /apostrofdict 1 d i c t def
14 /apostrof15 apostrofdict begin
16 /scalaapostrofului exch def
17 /Times-Roman f i n d f o n t
18 scalaapostrofului s c a l e f o n t
19 s e t f o n t
20 (/) show
21 end
22 def
Acum, Figura 3.30 poate fi realizata folosind instructiunile care urmeaza.
figura_3_30.eps
1 %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.02 %%BoundingBox: 14 14 130 1003
4 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/biblioteca.ps) run
5 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/puncte.ps) run
6 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/triunghiuri.ps) run
7 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/litere.ps) run
8 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/hasuri.ps) run
9
10 50 50 60 40 25 .7 hasuravert11 50 50 60 40 25 .7 hasuraoriz12
13 0 s e t g r a y
3.6 Hasuri 125
14 60 40 .8 .6 .3 punctulet15 newpath
16 50 50 t r a n s l a t e
17 0 0 25 0 360 arc
18 s t r o k e
19 newpath
20 0 0 20 0 360 arc
21 s t r o k e
22 newpath
23 -16 15 moveto
24 18 -14 l i n e t o
25 s t r o k e
26 newpath
27 10 -10 t r a n s l a t e
28 -5 7.2 5 90 190 arc
29 s t r o k e
30 newpath
31 -15 4 moveto
32 -3 17 l i n e t o
33 s t r o k e
34 -19 -22 -9 10.6 8 triunghicurb35 -19 -22 .8 .6 .3 punctulet36 -9 10.6 13 15 8 triunghicurb37 13 15 55 34 -26 triunghicurb38 -10 -22 -.6 -.4 6 triunghicurb39 .7 .3 17 2 4 triunghicurb40 17 2 56 31 -33 triunghicurb41 -9 10.5 .8 .6 .3 punctulet42 55 34 .8 .6 .3 punctulet43 -10 -22 .8 .6 .3 punctulet44 56 31 .8 .6 .3 punctulet45
46 newpath
47 55 34 t r a n s l a t e
48 0 0 12 0 360 arc
49 s t r o k e
50
51 -14 -18 -13.1 -19.4 2 triunghisageata52 -8 -26.8 -6.8 -28 2 triunghisageata53
54 4 litere55 newpath
56 -55 -34 t r a n s l a t e
57 -6 17 moveto
58 (T) show
59 -10 12 moveto
60 (P) show
61 .5 -3.4 moveto
62 (Q) show
63 -4 7 moveto
64 (N) show
65 .4 10 moveto
66 (d) show
67 -10 -3.4 moveto
126 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
68 (d) show
69 -15 -18 moveto
70 (A) show
71 16 10 moveto
72 (A) show
73
74 2 litere75 2.4 9.4 moveto
76 (1) show
77 -7.8 -4 moveto
78 (2) show
79 18.8 9.6 moveto
80 (1) show
81 -12 -18.4 moveto
82 (2) show
83
84 4 litere85 newpath
86 55 34 t r a n s l a t e
87 -3 0 moveto
88 (P) show
89 2.2 -5 moveto
90 (Q) show
91
92 5.2 -3.6 moveto
93 2 apostrof94 -.6 1.4 moveto
95 2 apostrof96
97 showpage
3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J.
LaSalle. Stabilitate Liapunov
Proprietatea atribuita punctului P, care ne-a permis — la pagina 119 — sa sta-
bilim ca traiectoria γP este un ciclu, poate fi reorganizata ıntr-un cadru abstract. Ne
bazam pentru aceasta pe prezentarea din [24, p. 10 si urm.].
In spatiul metric complet (Z,d), introducem familia de aplicatii continue (S(t))t≥0, unde S(t) : Z → Z, astfel ıncat
S(0) = idZ , S(t + s) = S(t)S(s). (3.60)
In plus, pentru orice z ∈ Z, functia t 7→ S(t)(z) este continua ın [0,+∞). Ne referim
la aceasta familie cu apelativul sistem dinamic26.
Aceste proprietati sunt completate ın cazuri diverse, vezi [7, pg. 10–11]. De obi-
cei, se impune ca t ∈ R — ceea ce face ca aplicatiile S(t) sa fie homeomorfisme,
26 In limba engleza, dynamical system.
3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J. LaSalle. Stabilitate Liapunov 127
[S(t)]−1 = S(−t) —, respectiv ca functia27 S : R×Z → Z, unde S(t,z) = S(t)(z), sa
fie continua28. Restrictia sa, S : [0,+∞)×Z → Z, constituie un semi-curent [62, p.
13].
Pentru z ∈ Z, fie multimea
ω(z) = y ∈ Z : exista (tn)n≥1, limn→+∞
S(tn)(z) = y, limn→+∞
tn =+∞.
Ea reprezinta multimea ω–limita (G. Birkhoff, vezi [8, p. 209]) a punctului z.
Au loc proprietatile:
(i) ω(z) =⋂
s>0
⋃
t≥s
S(t)(z);
(ii) ω(S(t)(z)) = ω(z) pentru orice t ≥ 0, z ∈ Z;
(iii) S(t)(ω(z))⊆ ω(z). In plus, daca multimea⋃
t≥0S(t)(z) este relativ compac-
ta, atunci are loc egalitatea ın incluziunea precenta.
Pentru (i), luam y ∈ ω(z). Atunci, existand sirul crescator si nemarginit (tn)n≥1
din enunt, deducem ca, pentru orice s > 0, vom avea un numar ıntreg N = N(s)pentru care tn ≥ ⌈s⌉+ 1, n ≥ N. Astfel, punctul y va fi limita sirului (S(tn)(z))n≥N
din⋃
t≥s
S(t)(z), deci se va gasi ın⋃
t≥s
S(t)(z). Cum y este independent de s, putem
aplica intersectia.
Reciproc, stim ca y ∈ ⋃
t≥1S(t)(z). Va exista sirul (tn)n≥1, cu tn ≥ 1, pen-
tru care limn→+∞
d(y,S(tn)(z)) = 0. Daca acest sir este nemarginit, el va poseda un
subsir strict crescator, notat tot cu (tn)n≥1. Existenta acestuia din urma implica
y ∈ ω(z). In schimb, daca sirul este marginit de M1 < +∞, alegem un termen
T cu d(S(T )(z),y) < 12 , ıl notam cu t1 si repetam rationamentul plecand de la
y ∈ ⋃
t≥M1+1S(t)(z). In cel mai rau caz, obtinem sirul (tn)n≥1, unde
tn+1 ≥ Mn +n, d(S(tn)(z),y)<1
n+1, n ≥ 1.
Pentru acest sir crescator si nemarginit superior, limn→+∞
d(S(tn)(z),y) = 0, adica y ∈ω(z).
La (ii), fixand T ≥ 0,
ω(S(T )(z)) =⋂
s>0
⋃
t≥s
S(t)(S(T )(z))=⋂
s>0
⋃
t≥s+T
S(t)(z)
⊆⋂
s>0
⋃
t≥s
S(t)(z)= ω(z).
27 Numita si curent. In limba engleza, flow, vezi [3, p. 14, nota de subsol].28 In general, o functie reala, de mai multe variabile reale, care este continua ın raport cu fiecaredintre variabile, va fi doar masurabila Borel (H. Lebesgue), cf. [60, p. 170, Ex. 8(b)]. O conditiesimpla pentru continuitatea ın ambele variabile (ın limba engleza, joint continuity) se gaseste ın[2, p. 107].
128 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Reciproc, caut sirul crescator si nemarginit (superior) (sn)n≥1 astfel ıncat limn→+∞
d
(y,S(sn)(S(T )(z))) = 0. Stiu ca exista sirul nemarginit (tn)n≥1 pentru care limn→+∞
d(y,
S(tn)(z)) = 0. Putem lua sn = tn −T , unde n ≥ N = N(T ) va fi suficient de mare.
La (iii), cum aplicatia S(t) este continua, S(t + tn)(z) = S(t)(S(tn)(z))→ S(t)(y)cand n → +∞ daca y ∈ ω(z). Adica, S(t)(y) ∈ ω(z). Daca, ın plus, multimea⋃
t≥0S(t)(z) este compacta, alegem sirul (cu o infinitate de termeni) (S(tn)(z))n≥1,
unde limn→+∞
tn =+∞.
Afirmam ca sirul respectiv poseda un subsir convergent. Intr-adevar, total–mar-
ginirea29 multimii⋃
t≥0S(t)(z) implica existenta unui subsir
(tkn)n≥1 ⊆ (tk−1
n )n≥1 ⊆ ·· · ⊆ (tn)n≥1
situat ıntr-o bila, de raza 12k , cu centrul ıntr-un punct Mk din multime. Atunci, sirul
“diagonal” (tnn )n≥1 este sir Cauchy, deci convergent. Afirmatia a fost probata.
Exista, asadar, un sir convergent S(tn)(z) : n ≥ 1, cu limn→+∞
S(tn)(z) = y ∈ Z,
adica multimea ω(z) nu este vida. Mai departe, fie y∈ω(z), cu limn→+∞
d(S(tn)(z),y)=
0. Sirul (S(tn − t)(z))n≥N(t), unde t este fixat iar numarul N(t) suficient de mare,
se gaseste ın⋃
t≥0S(t)(z). In consecinta, va avea un subsir convergent — pastram
notatia —, S(tn− t)(z)→ w ∈ Z, ın raport cu metrica d cand n →+∞. Continuitatea
aplicatiei S(t) ne conduce la S(tn)(z) = S(t)(S(tn−t)(z))→ S(t)(w) pentru n→+∞.
Unicitatea limitei implica y = S(t)(w), adica y ∈ S(t)(ω(z)).Afirmatiile (i) – (iii) au fost probate.
Lor le adaugam alte proprietati: daca multimea⋃
t≥0S(t)(z) este relativ compac-
ta, atunci
(iv) ω(z) este un compact30 conex ın Z;
(v) limt→+∞
d(S(t)(z),ω(z)) = 0.
La (iv), observam ca multimile
(
⋃
t≥s
S(t)(z))
s>0
alcatuiesc o familie descres-
catoare (nestrict), ın raport cu incluziunea, de multimi compacte si conexe. Aceasta
pentru ca sunt submultimi ınchise ale unui compact, respectiv ınchiderea unor ima-
gini de multimi conexe printr-o aplicatie continua [71, pg. 10, 20] — t 7→ S(t)(z)—. Asemenea familii ordonate le transmit limitelor lor (intersectii) proprietatile de
compactitate, respectiv de conexitate [71, p. 12].
Pentru (v), presupunem prin absurd ca exista ε > 0 si sirul strict crescator, nemar-
ginit superior, (tn)n≥1 astfel ıncat d(S(tn)(z),ω(z))≥ ε . Ipoteza de compactitate ne
permite sa consideram ca, trecand eventual la un subsir, limn→+∞
S(tn)(z) = y, y∈ω(z),
ceea ce contrazice presupunerea.
29 Vezi [59, p. 20].30 In afara restrictiei de compactitate pentru traiectorie, multimile limita pot fi nemarginite [7, pg.21–22].
3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J. LaSalle. Stabilitate Liapunov 129
Proprietatile (iv), (v) au fost stabilite.
O functie continua V : Z → R desemneaza o functie (A.) Liapunov31 atunci cand
V (S(t)(z))≤V (z) pentru orice t ≥ 0, z ∈ Z. (3.61)
Daca, ın plus, din egalitatea V (S(t)(z)) = V (z), valabila ın [0,+∞), rezulta ca
S(t)(z) = z pentru orice t ≥ 0, atunci functia Liapunov va fi considerata stricta.
Presupunand ca multimea⋃
t≥0S(t)(z) este relativ compacta, observam ca:
(vi) exista limt→+∞
V (S(t)(z)) = c ∈ R;
(vii) V (y) = c, unde y ∈ ω(z).La (vi), data fiind compactitatea multimii M =
⋃
t≥0S(t)(z), functia V |M este
marginita. Atunci, aplicatia t 7→ V (S(t)(z)), fiind monoton necrescatoare si margi-
nita, va avea limita (finita) cand t tinde la +∞.
Pentru (vii), cum y ∈ ω(z), exista sirul nemarginit superior (tn)n≥1 astfel ıncat
limn→+∞
S(tn)(z) = y. Insa limt→+∞
V (S(t)(z)) = c, de unde, ın particular, c = limn→+∞
V (S(
tn)(z)) =V (y).Afirmatiile (vi), (vii) au fost probate. Ele alcatuiesc principiul lui (J.) LaSalle
[24, p. 18] ori al invariantei [37, p. 30].
In mod analog, pentru z ∈ Z, fie multimea
α(z) = y ∈ Z : exista (tn)n≥1, limn→+∞
S(tn)(z) = y, limn→+∞
tn =−∞.
Aceasta reprezinta multimea α–limita [8, ibid.] a punctului z. Putem reconstitui pen-
tru ea proprietatile stabilite ın cazul multimii ω–limita.
Pentru a exemplifica functia Liapunov, ıntrebuintam analiza din [5, pg. 55–57,
150–156].
Fie sistemul diferential
.x= f (x), t ∈ R, (3.62)
unde functia continua f : Rn → Rn ındeplineste conditia de monotonie
( f (x)− f (y)|x− y)Rn ≤ 0, x, y ∈ Rn. (3.63)
Au loc estimarile — aici, x, y sunt solutii ale sistemului (3.62) —
d
dt
[
‖x(t)− y(t)‖2]
= 2( f (x(t))− f (y(t))|x(t)− y(y))Rn (3.64)
≤ 0, t ∈ R,
de unde, prin integrare, deducem ca
‖x(t)− y(t)‖ ≤ ‖x(0)− y(0)‖, t ≥ 0. (3.65)
31 Sau Lyapunov, cf. [54, p. 204].
130 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Afirmam ca exista semi-curentul continuu 32 S : [0,+∞)×Rn →Rn cu formula33
S(t,x(0)) = x(t) ın [0,+∞). Tinand seama de (3.28), observam ca Lip(S(t)) ≤ 1,
t ≥ 0.
Pentru a stabili validitatea afirmatiei, facem observatia ca exista urmatoarea vari-
anta a estimarii (3.64):
d
dt
[
‖x(t)‖2]
= 2( f (x(t))− f (0)|x(t))Rn +2( f (0)|x(t))Rn
≤ 2( f (0)|x(t))Rn ,
care, prin integrare, ne conduce la — luam t ≥ s ≥ 0 —
1
2‖x(t)‖2 ≤ 1
2‖x(s)‖2 +
∫ t
s‖ f (0)‖ · ‖x(τ)‖dτ ,
respectiv, via inegalitatea lui I. Bihari [49, p. 6], la
‖x(t)‖ ≤ ‖x(s)‖+∫ t
s‖ f (0)‖dτ
= ‖x(s)‖+(t − s) · ‖ f (0)‖. (3.66)
Mai departe, fixand x(0), y(0) ∈ Rn, avem
‖S(t,x(0))−S(s,y(0))‖≤ ‖S(t,x(0))−S(s,x(0))‖+‖S(s,x(0))−S(s,y(0))‖(vezi (3.65)) ≤ ‖S(t,x(0))−S(s,x(0))‖+‖x(0)− y(0)‖
≤ ‖x(0)− y(0)‖+∫ t
s‖ f (S(τ ,x(0)))‖dτ
(vezi (3.66)) ≤ ‖x(0)− y(0)‖+∫ t
ssup
‖ξ‖≤‖x(0)‖+t‖ f (0)‖‖ f (ξ )‖dτ
≤(
1+ sup‖ξ‖≤‖x(0)‖+t‖ f (0)‖
‖ f (ξ )‖)
·d((
t
x(0)
)
,
(
s
y(0)
))
, t ≥ s ≥ 0,
ın spatiul metric complet ([0,+∞)×Rn,dRn+1).Cea de-a doua cerinta (3.60) este o consecinta a invariantei la translatii temporale
manifestata de sistemele diferentiale autonome ale caror probleme Cauchy admit
solutie unica.
Afirmatia a fost probata.
Introducem multimea F = x∈Rn : f (x) = 0 si afirmam ca: daca F este nevida,
atunci ea este convexa si ınchisa. Intr-adevar, pentru x, y ∈ F si z ∈ Rn, avem
32 Fireste, d(x,y) = dRn (x,y) = ‖x− y‖ ın Rn.33 Aici, x = x(·,0,x0), unde x0 ∈ Rn, desemneaza solutia care a plecat, la momentul 0, din punctul
x0.
3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J. LaSalle. Stabilitate Liapunov 131
( f (z)|z− [λx+(1−λ )y])Rn
= λ ( f (z)− f (x)|z− x)Rn +(1−λ )( f (z)− f (y)|z− y)Rn
≤ 0, λ ∈ [0,1],
si, pentru z = zε = ε [λx+(1−λ )y]+ (1− ε)v, ε ∈ (0,1), v ∈ Rn,
( f (zε)|v− [λx+(1−λ )y])Rn ≤ 0.
Impunand ca ε ր 1, obtinem inegalitatea
( f (λx+(1−λ )y)|v− [λx+(1−λ )y])Rn ≤ 0,
de la care, pentru v = λx+(1−λ )y− f (λx+(1−λ )y), ajungem la f (λx+(1−λ )y) = 0. Afirmatia a fost justificata.
Presupunem, ın continuare, ca multimea F este nevida. Fixam z ∈ Rn. Au loc
proprietatile:
(iv*) ω(z) este nevida, compacta si conexa;
(viii) fiind dat punctul v ∈ ω(z), exista sirul crescator si nemarginit superior
(sn)n≥1, unde sn = sn(z,v), astfel ıncat
v = limn→+∞
S(sn,v);
Adica, v ∈ ω(v).(ix) pentru orice v ∈ ω(z), avem ω(v) = ω(z).(x) sirul (sn)n≥1 de la (viii) este independent de v ∈ ω(z).(xi) pentru orice v, w ∈ ω(z),
‖S(t,v)−S(t,w)‖= ‖v−w‖;
(xii) pentru orice v ∈ F exista r ≥ 0 astfel ıncat
ω(z)⊆ x ∈ R : ‖v− x‖= r;
(v*) daca ω(z)⊆ F , atunci exista z∞ ∈ F pentru care limt→+∞
S(t,z) = z∞.
La (iv*), fie x ∈ F . Atunci, via (3.65), avem34
‖S(t,z)‖ ≤ ‖S(t,z)−S(t,x)‖+‖x‖ ≤ ‖z− x‖+‖x‖, (3.67)
deci multimea⋃
t≥0S(t)(z) este marginita. Fiind ınchisa, ea va fi compacta. Din
demonstratia afirmatiei (iii) concludem ca ω(z) este nevida.
Pentru (viii), fiind dat v ∈ ω(z), exista sirul crescator si nemarginit superior
(tn)n≥1 astfel ıncat limn→+∞
‖S(tn)(z)− v‖ = 0. Trecand, eventual, la un subsir, im-
punem ca sirul (sn)n≥1, unde sn = tn+1 − tn, sa fie strict crescator si nemarginit. De
34 Evident, S(t,x) = x pentru orice t ≥ 0.
132 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
aici, cum S(tn+1) = S(sn)S(tn), remarcam ca
‖S(sn)(v)− v‖ ≤ ‖S(sn)(v)−S(tn+1)(z)‖+‖S(tn+1)(z)− v‖≤ Lip(S(sn)) · ‖v−S(tn)(z)‖+‖S(tn+1)(z)− v‖≤ ‖v−S(tn)(z)‖+‖S(tn+1)(z)− v‖= o(1) cand n →+∞.
La (ix), afirmatia (viii) implica ω(z) ⊆ ω(v). Reciproc, fie w ∈ ω(v) si un
sir nemarginit superior, crescator, (un)n≥1 pentru care w = limn→+∞
S(un)(v). Cum
v ∈ ω(z), afirmatia (iii) ne conduce la S(un)(v) ∈ ω(z), deci, ca limita a acestui
sir (S(un)(v))n≥1, punctul w se va afla ın aderenta multimii ω(z). Adica, chiar ın
ω(z).Pentru (x), presupunem fixate marimile v∈ω(z), respectiv (sn)n≥1 de la afirmatia
(viii). Fie w ∈ ω(z). Conform (ix), w ∈ ω(v), asadar exista sirul (hn)n≥1, strict
crescator si nemarginit superior, astfel ca limn→+∞
S(hn)(v) = w. Au loc estimarile
‖S(sn)(w)−w‖≤ ‖S(sn)(w)−S(sn +hn)(v)‖+‖S(sn +hn)(v)−S(hn)(v)‖+‖S(hn)(v)−w‖≤ Lip(S(sn)) · ‖w−S(hn)(v)‖+Lip(S(hn)) · ‖S(sn)(v)− v‖+‖S(hn)(v)−w‖= o(1) cand n →+∞.
La (xi), fixam T ≥ 0. Astfel, via (x),
‖v−w‖ = limn→+∞
‖S(sn)(v)−S(sn)(w)‖
≤ limsupn→+∞
[Lip(S(sn −T )) · ‖S(T )(v)−S(T )(w)‖]
≤ ‖S(T )(v)−S(T )(w)‖ ≤ ‖v−w‖.
La (xii), plecand de la inegalitatea (3.64), obtinem ca
d
dt
[
‖S(t)(z)− v‖2]
=d
dt
[
‖S(t)(z)−S(t)(v)‖2]
≤ 0, (3.68)
deci exista limt→+∞
‖S(t)(z)−v‖= r ∈ [0,+∞). Daca x∈ω(z), adica x= limn→+∞
S(tn)(z)
pentru un anumit sir (tn)n≥1, strict crescator si nemarginit, atunci
‖x− v‖= limn→+∞
‖S(tn)(z)− v‖= limt→+∞
‖S(t)(z)− v‖= r.
In sfarsit, pentru (v*), fie v ∈ ω(z). Cum v ∈ F , conform (xii), exista r ≥ 0 astfel
ıncat d(ω(z),v)≥ inf‖x− v‖ : ‖x− v‖= r= r, de unde r = 0. Adica,
ω(z) = v. (3.69)
3.7 Multimi limita: ω , α . Functii Liapunov. Principiul lui J. LaSalle. Stabilitate Liapunov 133
Presupunand ca, prin absurd, exista numarul ε0 > 0 si sirul (tn)n≥1, crescator si
nemarginit, astfel ıncat d(S(tn)(z),v) ≥ ε0, n ≥ 1, atunci, data fiind marginirea
orbitei35 γ+(z) = S(t,z) : t ≥ 0 — vezi (3.67) —, deducem existenta limitei
limk→+∞
S(tnk,z) = w ∈Rn pentru un anumit subsir al sirului (tn)n≥1. Asadar, w ∈ ω(z).
De asemeni, d(w,v)≥ ε0, ceea ce vine ın contradictie cu (3.69).
Fie v ∈ F . Observam ca aplicatia V : Rn → R, cu formula V (x) = ‖x− v‖, es-
te, conform (3.68), o functie Liapunov pentru sistemul diferential (3.62), (3.63). De
asemeni, tot pentru a proba (3.61), fie t ≥ s ≥ 0. Observam ca
V (S(t,z))
= ‖S(t)(z)−S(t)(v)‖= ‖S(t − s)(S(s,z))−S(t − s)(S(s,v))‖≤ Lip(S(t − s)) · ‖S(s,z)−S(s,v)‖ ≤ ‖S(t,z)− v‖=V (S(s,z)), z ∈ Rn.
Sa presupunem acum ca sistemul diferential (3.62), (3.63) ındeplineste restricti-
ile
f (0) = 0, ( f (x)|x)Rn < 0, x 6= 0. (3.70)
Afirmam ca: (a) pentru orice ε > 0 exista δ = δ (ε)> 0 astfel ıncat daca ‖z‖ ≤ δ ,
atunci ‖S(t,z)‖< ε , t ≥ 0; (b) pentru orice z ∈ Rn, avem limt→+∞
S(t,z) = 0Rn .
Intr-adevar, cum 0Rn ∈ F , din (3.68) rezulta ca
‖S(t,z)‖ ≤ ‖z‖, t ≥ 0, (3.71)
deci putem lua δ = ε2 . Am probat punctul (a).
La (b), plecand de la (3.64), deducem ca
‖z‖2 = ‖S(t,z)‖2 +∫ t
0[−2( f (S(s,z))|S(s,z))Rn ]ds
= ‖S(t,z)‖2 +∫ t
0gz(s)ds, t ≥ 0, z ∈ Rn, (3.72)
unde functia gz : [0,+∞)→ [0,+∞) este continua.
Din estimarea anterioara rezulta ca∫ +∞
gz(t)dt <+∞, ceea ce implica existenta
unui sir (tn)n≥1, unde tn = tn(z), strict crescator si nemarginit superior, cu propri-
etatea ca liminfn→+∞
gz(tn) = 0.
Pe baza (3.71), deducem, trecand eventual la un subsir, existenta limitei limn→+∞
S
(tn,z) = v ∈ Rn. De aici, v ∈ ω(z) si limn→+∞
gz(tn) = −2( f (v)|v)Rn = 0. Din (3.70)
rezulta ca v = 0Rn . Astfel, 0Rn ∈ ω(z) pentru orice z ∈ Rn.
35 Putem, ın acest moment, interpreta proprietatea (ii), si anume: ω(z) = ω(γ+(z)). In general,fiind dat setul S ⊆ Z, multimea ω–limita a acestuia este ω(S) =
⋃
z∈S
ω(z), cf. [52, p. 191].
134 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fie acum w ∈ ω(z). Afirmatia (xi) arata ca ‖S(t,w)‖ = ‖w‖, t ≥ 0. Conform
(3.72), aplicatia gw este identic nula, deci S(t,w)≡ 0. In particular, S(0,w) = w = 0,
deci ω(z) = 0Rn pentru orice z ∈ Rn. Afirmatia a fost probata.
Solutia identic nula a sistemului diferential (3.62) este considerata stabila (Lia-
punov) [31, p. 60] daca verifica punctul (a) din afirmatia precedenta. Astfel, solutia
nula de la punctul (i) al teoremei Poincare-Liapunov-Perron — vezi pagina 26 —
este stabila Liapunov. In schimb, la punctul (ii) al aceleiasi teoreme, ıntalnim insta-
bilitatea (Liapunov) a solutiei nule. Daca solutia nula este stabila Liapunov si exista
η > 0 astfel ıncat limt→+∞
d(S(t,z),0Rn) = 0 pentru orice z ∈ Rn cu ‖z‖ < η , atunci
solutia nula este asimptotic stabila (Liapunov). In particular, solutia nula a sistemu-
lui diferential (3.62), (3.63), (3.70) este global — η =+∞ — asimptotic stabila [5,
p. 155].
Partea legata de cantitatea η din definitia asimptotic stabilitatii poarta denumirea
de conditie de atractivitate [21, p. 6]. Mai precis, pentru a fi asimptotic stabila a
la Liapunov, solutia nula trebuie sa fie stabila si atractiva. Stabilitatea unei solutii
nu-i influenteaza atractivitatea. Astfel, ın exemplul lui Vinograd (2.29), solutia nula
este instabila ınsa atractiva, fapt demonstrat ın [21, pg. 191-194] prin trecere la
coordonate polare.
3.8 Excurs de functii Liapunov. Criterii de stabilitate Liapunov
In calculele din subsectiunea precedenta par sa fi disparut, ca prin minune, ar-
gumentele geometrice. La prima vedere, asadar, stabilitatea Liapunov ınlocuieste
“desenele” cu treceri la limita riguroase.
Ce spune, defapt, ea: daca pot estima convenabil, ın fiecare moment t, talia
solutiei, atunci am gasit un candidat pentru stabilitatea Liapunov. Vezi Figura 3.32.
O t
x(t)ε
−ε
Fig. 3.32 Stabilitatea Liapunov
3.8 Excurs de functii Liapunov. Criterii de stabilitate Liapunov 135
Din pacate ınsa, acest fel de stabilitate nu este potrivit pentru investigarea
situatiei din Figura 3.33, unde trebuie utilizata stabilitatea orbitala (Poincare) [30,
p. 218].
Aici, desi orbitele (curbele γP) raman “apropiate”, odata cu trecerea timpului se
produc defazaje ınsemnate, unele dintre particulele-solutie “rotindu-se” mai repede
decat celelalte pe (propria) traiectorie. Exemple interesante sunt oferite de [52, p.
207, Ex. 3(b)], [30, p. 34, Ex. 33].
Inainte de a continua analiza planului fazelor, ınceputa la pagina 114, vom
prezenta cateva cerinte practice privind functia Liapunov V atasata unui sistem
diferential ordinar.
(i) Pentru a exprima faptul ca aceasta descreste ın lungul traiectoriilor — vezi
(3.61) —, deci
d
dt[V (t,x(t))] =
∂V
∂ t(t,x(t))+
(
∇x(t)V∣
∣
.x (t)
)
Rn
(cf. (3.62)) =∂V
∂ t(t,x(t))+
(
∇x(t)V∣
∣ f (x(t)))
Rn
≤ 0, t ≥ 0,
este suficient sa impunem ca functia V ∈C1(Rn+1,R) sa verifice inegalitatea
V ′L(t,x) =
∂V
∂ t(t,x)+(∇xV | f (x))Rn ≤ 0, t ≥ 0, x ∈ Rn. (3.73)
Am ıntalnit acest tip de estimare la derivata Lie (2.44):
d
dt[V (t,x(t))] = lim
h→0
V (t +h,x(t +h))−V (t,x(t))
h
= limh→0
V (t +h,x(t)+h.x (t))−V (t,x(t))
h
= limh→0
V (t +h,x(t)+h · f (x(t)))−V (t,x(t))
h
= limh→0
V (u+h,v+h · f (v))−V (u,v)
h
∣
∣
∣
∣
(
u
v
)
=
(
t
x(t)
) ,
vezi [45, pg. 24, 31].
Facem observatia ca netezimea functiei V poate fi redusa daca ınlocuim derivata
din (3.73) cu urmatoarea limita 36
V ′L(u,v) = limsup
hց0
V (u+h,v+h · f (v))−V (u,v)
h, (3.74)
36 Variante ale sale, bazate pe derivatele G. Dini, constituie derivata orbitala a functiei Liapunov.In limba engleza, orbital derivative [2, p. 232].
136 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
γP
Fig. 3.33 Stabilitatea orbitala
unde
(
u
v
)
∈ [0,+∞)×Rn, conform [31, p. 80]. De exemplu, fiind dat L > 0 astfel
ıncat
|V (u1,v1)−V (u2,v2)| ≤ L ·dRn+1
((
u1
v1
)
,
(
u2
v2
))
, ui ≥ 0, vi ∈ Rn,
avem
1
h· |V (u+h,v+h f (v))−V (u,v)|
≤ L
h[|(u+h)−u|+‖(v+h f (v))− v‖]
= L(1+‖ f (v)‖) , h > 0,
deci limita din (3.74) exista si |V ′L(u,v)| ≤ L(1+‖ f (v)‖)<+∞.
(ii) Pentru a evalua valorile functiei V ın lungul traiectoriilor, presupunem ca
exista functia continua γ : [0,+∞)×R→ R, cu γ(t,0)≡ 0, pentru care solutia nula
a ecuatiei diferentiale
w′ = γ(t,w), t ≥ 0, (3.75)
sa fie stabila/asimptotic stabila (Liapunov) si impunem ca
3.8 Excurs de functii Liapunov. Criterii de stabilitate Liapunov 137
V (0,0Rn)≡ 0, V ′L(t,x)≤ γ(t,V (t,x)), t ≥ 0, x ∈ Rn, (3.76)
vezi [31, p. 90, Theorem 5.21].
Astfel, daca x = x(t) este solutia sistemului (3.62), deducem ca V ′L(t,x(t)) =
ddt[V (t,x(t))] ≤ γ(t,V (t,x(t))), t ≥ 0, estimare din care, pe baza inegalitatii lui B.
Viswanatham37[67], rezulta ca
V (t,x(t))≤ wx0(t), t ≥ 0,
unde wx0reprezinta solutia maximala [25, p. 25], [31, p. 83] a ecuatiei diferentiale
(3.75), cu data wx0(0) =V (0,x0), x0 ∈ Rn.
In diverse cazuri particulare, putem evita utilizarea solutiilor extremale pe baza
unor trucuri de calcul [2, p. 234].
(iii) Pentru a extrage solutia x(t) din evaluarea aplicatiei V , vom presupune ca
exista functia continua ω : [0,+∞) → [0,+∞), monoton nedescrescatoare, astfel
ıncat ω(0) = 0 si ω(r)> 0 cand r > 0, cu proprietatea ca [5, p. 135]
V (t,x)≥ ω(‖x‖), t ≥ 0, x ∈ Rn.
Considerand ca sistemul (3.62) admite o functie Liapunov V care ındeplineste
conditiile (i) – (iii), solutia nula a acestuia va avea acelasi tip de stabilitate cu solutia
nula a sistemului de comparatie (3.75), cf. [31, ibid.].
Doua cazuri particulare trebuie mentionate. Primul se refera la ecuatia diferentiala
..x + f (x) = 0, t ≥ 0, (3.77)
unde aplicatia f : R→ R este neteda si satisface restrictia de semn
x · f (x)> 0, x 6= 0.
Rescriind ecuatia (3.77) ca un sistem diferential de ordinul ıntai,
( .x.y
)
=
(
y
− f (x)
)
, (3.78)
si introducand functia
V (t,x,y) =V (x,y) =y2
2+
∫ x
0f (u)du, t, x, y ∈ R,
observam ca
37 Versiunea “cu derivate” (Dini) a acestui rezultat ıi apartine lui G. Peano [25, p. 26, Theorem 4.1;p. 44].
138 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
V ′L(t,x(t),y(t)) =
d
dt[V (x(t),y(t))] =
(
∇(x(t),y(t))V
∣
∣
∣
∣
(
y(t)− f (x(t))
))
Rn
=
((
f (x(t))y(t)
)∣
∣
∣
∣
(
y(t)− f (x(t))
))
R2
= 0,
adica derivata orbitala a aplicatiei V se anuleaza ın lungul fiecarei solutii t 7→(
x(t)y(t)
)
. Asadar, V constituie o functie Liapunov pentru sistemul diferential (3.78).
Daca limx→±∞
∫ x0 f (u)du = +∞, atunci ecuatiei (3.77) ıi putem atasa semi-curentul
continuu S : [0,+∞)×R2 → R2 cu formula
S(t,x0,y0) =
(
x(t,0,x0,y0).x(t,0,x0,y0)
)
, x0, y0 ∈ R,
unde x(0,0,x0,y0) = x0 si.x(0,0,x0,y0) = y0. Luand γ = 0 ın cerinta (ii) privind
functiile Liapunov, respectiv [5, p. 139]
ω(r) = inf
V (x,y) : r ≤∥
∥
∥
∥
(
x
y
)∥
∥
∥
∥
≤ 1
, r ∈ [0,1], ω(r) = ω(1), r ≥ 1,
ın cerinta (iii), deducem stabilitatea Liapunov a solutiei nule a ecuatiei (3.77).
Facem urmatoarea observatie: fiind data functia ω : [a,b]→ [0,ω(b)], monoton
nedescrescatoare, cu ω(a) = 0 si ω(r)> 0 cand r > a, exista o functie ω− : [a,b]→[0,ω(b)], strict crescatoare, astfel ıncat ω−(r) ≤ ω(r), r ∈ [a,b]. Intr-adevar, un
candidat pentru ω− este
ω−(r) =r−a
b−a·ω(r), r ∈ [a,b].
Fiind motona, ω− este inversabila iar ω−1− : [0,ω(b)]→ [a,b] este continua si (strict)
crescatoare, ceea ce ne permite “extragerea” solutiei x(t).Pentru o generalizare a rezultatului de stabilitate precededent, vezi [31, p. 93, Ex.
5.4].
In plus, sistemul (3.78) admite reprezentarea
.x= ∂V
∂y,
.y=− ∂V
∂x,
t ≥ 0,
deci este un sistem diferential Hamiltonian [52, p. 172], [46, p. 63].
Al doilea caz se refera la sistemul diferential liniar
.x= Ax, t ≥ 0, (3.79)
unde A ∈ Mn(R). Presupunand ca valorile proprii ale matricei A au partea reala
negativa, fixam matricea pozitiv definita C ∈ Mn(R) si introducem matricea
3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate 139
B =
∫ +∞
0eAT tCeAtdt.
Atunci, AT B+BA =−C, B este pozitiv definita iar aplicatia
V (t,x) =V (x) = (Bx|x)Rn , x ∈ Rn,
desemneaza o functie Liapunov pentru sistemul (3.79):
V ′L(t,x(t)) =
d
dt
[
x(t)T Bx(t)]
= [Ax(t)]T Bx(t)+ x(t)T [Ax(t)]
=((
AT B+BA)
x(t)∣
∣x(t))
Rn =−(Cx(t)|x(t))Rn
≤ 0,
conform [22, p. 295], [5, pg. 140–142].
Un subiect aparte ıl constituie teoremele reciproce de stabilitate: atunci cand
solutia sistemului diferential admite un anumit tip de stabilitate, putem construi o
functie Liapunov care sa confirme acest fapt [22, p. 307].
3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate
In Figura 3.30 — la pagina 119 —, am folosit o varianta scalata a simbolului
“/” la producerea semnului “ ′ ” din secventele tipografice P′, Q′. Vezi procedura
apostrof din programul litere.ps de la pagina 124. Aceasta pentru ca nu
mi-a placut accentul standard din font38-ul [1, p. 35] Times-Roman.
Urmatorul program, bazat pe prezentarea din [1, pg. 91–94], afiseaza codurile ın
baza opt ale caracterelor unui font.
figura_3_35.eps
1 %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.02 %%BoundingBox: 30 30 550 8003
4 %%%%Font-uri:5 %%%%Times-Roman, Times-Italic, Times-Bold,6 %%%%Helvetica, Symbol7 %%%%Vezi Tutorial & Cookbook de PostScript, pag. 91-928
9 /caracter 1 s t r i n g def
10 /sirnou 3 s t r i n g def
11
12 /linienouadict 2 d i c t def
13 /linienoua14 %%%sintaxa:15 %%%abscisa distantadintrelinii linienoua
38 Sau grup de caractere.
140 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
16 linienouadict begin
17 /distantadintrelinii exch def
18 /abscisa exch def
19 c u r r e n t p o i n t distantadintrelinii sub
20 exch pop abscisa21 exch moveto
22 enddef
23
24 /tiparsirnou25 sirnou cvs show
26 def
27
28 /tiparcaractercaracter 029 3 -1 r o l l
30 put
31 caracter showdef
32
33 /Afisezdict 2 d i c t def
34 /Afisez35 Afisezdict begin
36 /ddistantadintrelinii exch def
37 /aabscisa exch def
38 dup tiparsirnou39 ( ) show
40 tiparcaracter41 aabscisa ddistantadintrelinii linienoua42 end
43 def
44
45 /Times-Roman f i n d f o n t 8 s c a l e f o n t s e t f o n t
46 newpath
47 40 750 moveto
48 1 1 50 49 40 10 Afisez50 f o r
51
52 80 750 moveto
53 51 1 100 54 80 10 Afisez55 f o r
56
57 120 750 moveto
58 101 1 150 59 120 10 Afisez60 f o r
61
62 160 750 moveto
63 151 1 200 64 160 10 Afisez65 f o r
66
67 200 750 moveto
68 201 1 250 69 200 10 Afisez
3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate 141
70 f o r
71
72 240 750 moveto
73 251 1 255 74 240 10 Afisez75 f o r
76
77 /Symbol f i n d f o n t 8 s c a l e f o n t s e t f o n t
78 newpath
79 280 750 moveto
80 1 1 50 81 280 10 Afisez82 f o r
83
84 320 750 moveto
85 51 1 100 86 320 10 Afisez87 f o r
88
89 360 750 moveto
90 101 1 150 91 360 10 Afisez92 f o r
93
94 400 750 moveto
95 151 1 200 96 400 10 Afisez97 f o r
98
99 440 750 moveto
100 201 1 250 101 440 10 Afisez102 f o r
103
104 480 750 moveto
105 251 1 255 106 480 10 Afisez107 f o r
108
109 /Times-Roman f i n d f o n t 10 s c a l e f o n t s e t f o n t
110 newpath
111 102 775 moveto
112 (Caracterele Times-Roman) show
113 345 775 moveto
114 (Caracterele Symbol) show
115 showpage
Fac observatia ca, la interpretarea secventei
valoare_de_inceput increment valoare_de_final continut for
ın stiva vor fi incluse si valorile ciclate:
...valoare_de_inceput + increment
142 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
continutvaloare_de_inceput...
Aceasta particularitate a limbajului PostScript este speculata ın procedura
Afisez din programul anterior — la linia 38 — pentru a ilustra numarul de ordine
al caracterelor din Figura 3.35.
Comenzile
/Times-Roman findfont 6 scalefont setfont(abc\44de) show
vor produce39 sirul “ abc$de ”.
In anumite situatii poate fi util sa afisam coordonatele carteziene ale diverselor
repere dintr-o constructie geometrica complicata. Evident, acestea pot fi determina-
te si cu ajutorul programului GSView. Rezultatul codului de mai jos este afisat ın
Figura 3.34.
50.0130.0
130.079.9999
113.941155.779
55.089929.3782
Fig. 3.34 Vizualizarea pozitiilor
figura_3_34.eps
1 %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.02 %%BoundingBox: 14 14 180 1803
4 /vizualizaredatedict 16 d i c t def
5 /vizualizaredate
39 Atentie, codul octal al unui caracter este dat de scrierea ın baza opt a numarului sau de ordine:36(10) = 44(8).
3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate 143
6 vizualizaredatedict begin
7 f l a t t e n p a t h
8 %aici salvam datele ca siruri9 /sirunu 10 s t r i n g def
10 /sirdoi 10 s t r i n g def
11 /sirtrei 10 s t r i n g def
12 /sirpatru 10 s t r i n g def
13
14 %coordonate de inceput15 /unu exch def %y-ul de inceput16 /doi exch def
17 /unutine unu def %salvari18 /doitine doi def
19 /uunutine unutine def %alte salvari20 /ddoitine doitine def
21 uunutine sirunu cvs %transf. in sir22 ddoitine sirdoi cvs23 /trei exch def
24 /patru exch def
25 /treitine trei def
26 /patrutine patru def
27 /ttreitine treitine def
28 /ppatrutine patrutine def
29 ttreitine sirtrei cvs
30 ppatrutine sirpatru cvs31 32
33 p a t h f o r a l l
34
35 doitine unutine moveto
36 sirdoi show
37 %distanta 6 pe verticala38 %intre afisari39 %trebuie potrivita cu dimensiunea40 %fontului41 doitine unutine 6 sub moveto
42 sirunu show
43 patrutine treitine moveto
44 sirpatru show
45 patrutine treitine 6 sub moveto
46 sirtrei show
47 end
48 def
49
50 /Times-Roman f i n d f o n t 6 s c a l e f o n t s e t f o n t
51
52 newpath
53 50 130 moveto
54 130 80 l i n e t o
55 vizualizaredate56 s t r o k e
57
58 newpath
59 90 90 70 70 240 arc
144 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
60 vizualizaredate61 s t r o k e
62
63 showpage
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 !34 "35 #36 $37 %38 &39 ’40 (41 )42 *43 +44 ,45 -46 .47 /48 049 150 2
51 352 453 554 655 756 857 958 :59 ;60 <61 =62 >63 ?64 @65 A66 B67 C68 D69 E70 F71 G72 H73 I74 J75 K76 L77 M78 N79 O80 P81 Q82 R83 S84 T85 U86 V87 W88 X89 Y90 Z91 [92 \93 ]94 ^95 _96 ‘97 a98 b99 c100 d
101 e102 f103 g104 h105 i106 j107 k108 l109 m110 n111 o112 p113 q114 r115 s116 t117 u118 v119 w120 x121 y122 z123 124 |125 126 ~127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 ¡162 ¢163 £164 ⁄165 ¥166 ƒ167 §168 ¤169 '170 “171 «172 ‹173 ›174 fi175 fl176 °177 –178 †179 ‡180 ·181 µ182 ¶183 •184 ‚185 „186 ”187 »188 …189 ‰190 ¾191 ¿192 À193 `194 ´195 ˆ196 ˜197 ¯198 ˘199 ˙200 ¨
201 É202 ˚203 ¸204 Ì205 ˝206 ˛207 ˇ208 —209 Ñ210 Ò211 Ó212 Ô213 Õ214 Ö215 ×216 Ø217 Ù218 Ú219 Û220 Ü221 Ý222 Þ223 ß224 à225 Æ226 â227 ª228 ä229 å230 æ231 ç232 Ł233 Ø234 Œ235 º236 ì237 í238 î239 ï240 ð241 æ242 ò243 ó244 ô245 ı246 ö247 ÷248 ł249 ø250 œ
251 ß252 ü253 ý254 þ255 ÿ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 !34 ∀35 #36 ∃37 %38 &39 ∋40 (41 )42 ∗43 +44 ,45 −46 .47 /48 049 150 2
51 352 453 554 655 756 857 958 :59 ;60 <61 =62 >63 ?64 ≅65 Α66 Β67 Χ68 ∆69 Ε70 Φ71 Γ72 Η73 Ι74 ϑ75 Κ76 Λ77 Μ78 Ν79 Ο80 Π81 Θ82 Ρ83 Σ84 Τ85 Υ86 ς87 Ω88 Ξ89 Ψ90 Ζ91 [92 ∴93 ]94 ⊥95 _96 97 α98 β99 χ100 δ
101 ε102 φ103 γ104 η105 ι106 ϕ107 κ108 λ109 µ110 ν111 ο112 π113 θ114 ρ115 σ116 τ117 υ118 ϖ119 ω120 ξ121 ψ122 ζ123 124 |125 126 ∼127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 €161 ϒ162 ′163 ≤164 ⁄165 ∞166 ƒ167 ♣168 ♦169 ♥170 ♠171 ↔172 ←173 ↑174 →175 ↓176 °177 ±178 ″179 ≥180 ×181 ∝182 ∂183 •184 ÷185 ≠186 ≡187 ≈188 …189 190 191 ↵192 ℵ193 ℑ194 ℜ195 ℘196 ⊗197 ⊕198 ∅199 ∩200 ∪
201 ⊃202 ⊇203 ⊄204 ⊂205 ⊆206 ∈207 ∉208 ∠209 ∇210 211 212 213 ∏214 √215 ⋅216 ¬217 ∧218 ∨219 ⇔220 ⇐221 ⇑222 ⇒223 ⇓224 ◊225 ⟨226 227 228 229 ∑230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 ð241 ⟩242 ∫243 ⌠244 245 ⌡246 247 248 249 250
251 252 253 254 255 ÿ
Caracterele Times-Roman Caracterele Symbol
Fig. 3.35 Codurile caracterelor
3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate 145
Reamintesc programul triunghiuri.ps, cu ale carui instructiuni am dese-
nat curbele “libere” din ilustratiile de pana acum. Pe baza metodei de punctare40
dezvoltata ın [1, pg. 147–149], le adaugam acestora un triunghi curb punctat.
triunghiuri_punctate.ps
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 %%%%%%%%curbe din tringhiuri, punctate%%%%%%%%3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 /distantadict 4 d i c t def
5 /distanta6 distantadict begin
7 /ydoi exch def
8 /xdoi exch def
9 /yunu exch def
10 /xunu exch def
11 xunu yunu sub dup mul
12 xdoi ydoi sub dup mul
13 add s q r t
14 end
15 def
16
17 /lungimeacurbeidict 7 d i c t def
18 /lungimeacurbei19 lungimeacurbeidict begin
20 f l a t t e n p a t h
21 /suma 0 def
22 /yzero exch def
23 /xzero exch def
24 /merglay yzero def
25 /merglax xzero def26 /yunu exch def
27 /xunu exch def
28 /suma suma29 xzero yzero xunu yunu distanta30 add def
31 /xzero xunu def
32 /yzero yunu def
33 34 35
36 /yunu merglay def
37 /xunu merglax def
38 /suma suma39 xzero yzero xunu yunu distanta40 add def
41 /xzero xunu def
42 /yzero yunu defp a t h f o r a l l
43 suma44 end
45 def
46
47 /curbapunctatadict 8 d i c t def
40 Ori liniere. De la englezescul dash, adica “ – ”.
146 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
48 /curbapunctata49 curbapunctatadict begin
50 /model exch def
51 /lungime lungimeacurbei def
52 /lungimemodel 0 def
53 model54 lungimemodel add
55 /lungimemodel exch def
56 f o r a l l
57 model l e n g t h 2 mod 0 ne
58 /lungimemodel lungimemodel 2 mul def i f
59 /zero model 0 g e t def
60 /unu lungimemodel zero sub def
61 /adaos lungime unu sub lungimemodel add def
62 /final lungime lungimemodel adaos mul sub
63 unu sub 2 div def
64 /deplasare zero final sub def
65 model deplasare s e t d a s h
66 end
67 def
68
69 /triunghicurbpunctatdict 19 d i c t def
70 triunghicurbpunctatdict begin
71 /matrice matrix def
72 end
73 /triunghicurbpunctat74 triunghicurbpunctatdict begin
75 %%%foloseste biblioteca.ps76 %%%intrari:77 /comandapunctare exch def %neaparat un array78 /lungimeh exch def %puneti minus pentru a schimba orientarea79 /sosirey exch def
80 /sosirex exch def
81 /plecarey exch def
82 /plecarex exch def
83 %%%prelucrari:84 /mijlocx plecarex sosirex add 2 div def
85 /mijlocy plecarey sosirey add 2 div def
86 /scaderex sosirex plecarex sub def
87 /scaderey sosirey plecarey sub def
88 /semn sosirey plecarey sub semnul def
89 /panta scaderex 0 eq 0scaderey scaderex div i f e l s e def
90 /pantainaltimii panta 0 eq 0panta unupeceva neg i f e l s e def
91 /fractie1 pantainaltimii radi1mare lungimeh exch div def
92 /fractie2 scaderey neg semnul fractie1 mul def
93 /varfulx sosirey plecarey eq mijlocxmijlocx fractie2 add ց
(cont.) i f e l s e def
94 /varfuly sosirey plecarey eq mijlocy lungimeh addfractie2 ց
(cont.)pantainaltimii mul mijlocy add i f e l s e def
95 /matricesalvata matrice currentmatr ix def
96 gsave
97 newpath
98 plecarex plecarey moveto
99 plecarex plecarey varfulx varfuly sosirex sosirey curve to
3.9 Simboluri, coordonate si curbe punctate 147
100 comandapunctare curbapunctata101 s t r o k e
102 g r e s t o r e
103 matricesalvata s e t m a t r i x
104 end
105 def
In codul Figurii 3.41 — listat ın cele ce urmeaza — se utilizeaza procedura
triunghicurbpunctat.
figura_3_41.eps
1 %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.02 %%BoundingBox: 14 14 154 923
4 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/biblioteca.ps) run
5 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/puncte.ps) run
6 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/triunghiuri.ps) run
7 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/triunghiuri_punctate.ps) run
8 (C:/Octavian/De_pe_Seagate/Eseuri/SistemeDinamice_1_2012/ց
(cont.)Biblioteca_ps/litere.ps) run
9
10 .3 s e t l i n e w i d t h
11 newpath
12 80 30 moveto
13 80 83 l i n e t o
14 135 118 l i n e t o
15 135 65 l i n e t o
16 s t r o k e
17 newpath
18 135 65 moveto
19 132 63 l i n e t o
20 s t r o k e
21 newpath
22 1 s e t g r a y
23 132 63 moveto
24 130 61.6 l i n e t o
25 s t r o k e
26 newpath
27 0 s e t g r a y
28 130 61.6 moveto
29 118 54 l i n e t o
30 s t r o k e
31 newpath
32 1 s e t g r a y
33 118 54 moveto
34 116 53 l i n e t o
35 s t r o k e
36 newpath
37 0 s e t g r a y
38 116 53 moveto
148 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
39 80 30 l i n e t o
40 s t r o k e
41 .5 s e t l i n e w i d t h
42 79 63 87 28 -60 triunghicurb43 79 63 116 57 20 [3 1] triunghicurbpunctat44 87 28 114 40 -8 triunghicurb45 116 57 114 40 6 triunghicurb46 80 73 90 19 -120 triunghicurb47 90 19 118 79 -80 triunghicurb48 80 73 114 67 12 [3 1] triunghicurbpunctat49
50 116 57 .8 .6 .3 punctulet51 118 79 .8 .6 .3 punctulet52 114 67 .8 .6 .3 punctulet53
54 93 29.8 93.5 27 3 triunghisageata55 93 20.2 93.2 17.4 3 triunghisageata56
57 6 litere58 newpath
59 107.2 54 moveto
60 (M) show
61 116 67 moveto
62 (M) show
63 120 81 moveto
64 (P(M)) show
65 /Symbol f i n d f o n t 6 s c a l e f o n t s e t f o n t
66 129 107 moveto
67 (S) show
68 60 40 moveto
69 (G) show
70 4 litere71 113 53 moveto
72 (0) show
73
74 showpage
3.10 Teorema Poincare-Bendixson II: demonstratie, aplicatia lui
Poincare
Sa revenim la sistemul diferential (3.48). Urmand prezentarea din [52, pg.
243–246], afirmam ca: daca, ıntr-un domeniu marginit al planului, exista orbita
Γ = γ+(P) iar multimea41 ω(Γ ) nu contine puncte singulare ale sistemului (3.48),
atunci ω(Γ ) este un ciclu al acestuia. Rezultatul din afirmatie se bazeaza pe cerce-
tari ıntreprinse de H. Poincare si I. Bendixson [17, p. 24].
41 Vezi nota de subsol de la pagina 133.
3.10 Teorema Poincare-Bendixson II: demonstratie, aplicatia lui Poincare 149
Incepem justificarea cu observatia ca, traiectoria Γ fiind relativ compacta, pro-
pozitia (iv) de la pagina 128 arata ca multimea42 ω(Γ ) este nevida, compacta si
conexa.
Apoi, pentru P ∈ Γ , daca S este un segment ınchis, centrat ın P, al normalei N
— vezi Figura 3.30 —, un arc ınchis43 A al traiectoriei ıl poate intersecta numai
ıntr-un numar finit de puncte. In particular, ın cazul unei traiectorii periodice exista
un singur punct de intersectie, si anume P. De asemeni, odata cu trecerea timpului
t, punctele de intersectie se ındeparteaza de P [22, p. 52].
Intr-adevar, daca ar exista un sir infinit de puncte de intersectie Pn ∈ S ∩A
(multime compacta), unde Pn = φ tn(P), atunci sirul (tn)n≥1, fiind nemarginit, ar
poseda un subsir, notat la fel, pentru care limn→+∞
φ tn(P) = Q ∈Γ ∩S — arc ınchis! —
si limn→+∞
tn = t∞ ∈R: Q = φ t∞(P). Remarcam ca directia u, care este versorul director
[42, p. 15] al dreptei PnQ, este si versorul director al segmentului transversal S. De
aici, cum44
.
OQ ≡ d
dt
∣
∣
∣
∣
t=t∞
[
φ t(P)]
= f(
φ t∞(P))
= f (Q)
= limn→+∞
φ tn(P)−φ t∞(P)
tn − t∞, unde f =
(
X
Y
)
,
si
φ tn(P)−φ t∞(P)
tn − t∞=
Pn −Q
tn − t∞
≡ 1
tn − t∞·(
OPn −OQ)
=1
tn − t∞·QPn = λ (tn − t∞) ·u, λ (tn − t∞) ∈ R,
deducem ca vectorii u si O f (Q) sunt coliniari, fapt care contrazice transversalitatea
dreptei N.
Daca Γ este periodica si are cel putin doua puncte de intersectie cu transversa-
la S, notate P si R — intersectii consecutive —, ne gasim ıntr-una din variantele
ilustrate ın Figura 3.36.
Aici, ın cazul (a), pentru t suficient de mare, multimea Γt =⋃
s≥t
φ s(P) se va afla
ın aceeasi regiune a planului — marginita de cercul topologic PT R — cu punctul
W. Orbita Γ fiind periodica, de perioada per, avem φ tV+k·per(P) = φ tV (P) = V ,
unde tV ∈R, k ∈Z. Insa, pentru k suficient de mare, φ tV+k·per(P)∈Γt , ceea ce nu se
poate ıntampla decat daca fie orbita s-ar autointersecta, fie ar intersecta segmentul
42 Aici, ω(Γ ) =⋃
t≥0ω(φ t(P)) =
⋃
t≥0ω(P) = ω(P).
43 Adica, A = φ t(P) : t ∈ [a,b], a < b.44 W ≡ OW , unde W ∈ R2 iar O = 0R2 .
150 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
R
PV
S
WT
P
R
V
WT
S
(a) (b)
Fig. 3.36 Cercul topologic PT R
(PR). Ambele posibilitati sunt, evident, inacceptabile. Cazul (b) se exclude ın mod
analog.
Mai departe, daca exista orbita Γ0 ⊆ ω(Γ ) corespunzand unei solutii periodice
a sistemului diferential (3.48), atunci
Γ0 = ω(Γ ). (3.80)
Intr-adevar, daca vom presupune ca Γ0 ( ω(Γ ), atunci, cum ω(Γ ) este conexa si
Γ0 ∪ (ω(Γ )−Γ0) = Γ0 ∪ (ω(Γ )−Γ0)⊆ ω(Γ ) = ω(Γ ),
va rezulta ca Γ0 ∩ (ω(Γ )−Γ0) 6= /0. Fie P0 ∈ Γ0 ∩ (ω(Γ )−Γ0) si S un segment
de dreapta ınchis, transversal ın P0 orbitei γ+(P0) = φ t(P0) : t ≥ 0 = Γ0. Cum
P0 ∈ ω(Γ ), traiectoria Γ se va apropia de P0 atat de mult ıncat S va constitui o
transversala si pentru aceasta. Vezi Figura 3.37.
Oricat de aproape de P0 se gasesc puncte P1 ∈ ω(Γ )−Γ0. Pentru ele45, φ t(P1) ∈ω(Γ )−Γ0, t ≥ 0, si orbita γ+(P1) va traversa segmentul S ın P′ = P′(P1). Am
obtinut, asadar, o transversala S a traiectoriei γ+(P) pe care se gasesc doua puncte
distincte din ω(P), si anume P0 si P′. Pe baza discutiei de la pagina 119 deducem
ca asa ceva nu se poate ıntampla46 — vezi Figura 3.38 pentru diversele configuratii
de traversare —, deci presupunerea precedenta a fost absurda.
45 Aici, φ t(ω(Γ )) = φ t(ω(P)) = ω(P) = ω(Γ ). Sistemul diferential fiind neted, orbitele γ+(P0)si γ+(P1) nu se pot ıntalni.46 Topologia euclidiana fiind normala (T4) [34, p. 112], cele doua puncte de pe transversala posedavecinatati disjuncte, ın care se gasesc puncte din traiectoria Γ . Micsorand talia acestor vecina-tati, remarcam ca traiectoria Γ intersecteaza transversala S ın ınca doua puncte, de unde, ın modinductiv, concludem ca multimea Γ ∩S este infinita.
3.10 Teorema Poincare-Bendixson II: demonstratie, aplicatia lui Poincare 151
ΓΓ
ω(Γ)
P
S P0
0
Fig. 3.37 Transversala S
In sfarsit, putem ataca demonstratia teoremei Poincare-Bendixson. Daca orbita
Γ este periodica, atunci φ t(H) = φ t+n·per(H), n ≥ 0, H ∈ Γ , deci Γ ⊆ ω(Γ ). Con-
form discutiei de pana acum, Γ = ω(Γ ), adica aceasta din urma reprezinta o orbita
periodica. In caz contrar, cum multimea ω(Γ ) este nevida, exista P0 ∈ ω(Γ ), de
unde φ t(P0) ∈ ω(Γ ) pentru orice t ≥ 0, respectiv ω(P0) ⊆ ω(Γ ). Fie P1 ∈ ω(P0).La fel ca anterior, putem construi o transversala S, trecand prin P1, pentru traiec-
toria γ+(P0). Insa, atat P1 cat si γ+(P0) sunt submultimi ale lui ω(P). De unde,
multimea S va fi o transversala si pentru Γ , deci S nu va putea avea decat cel mult
un punct de intersectie cu ω(Γ ) — pentru a nu repeta situatia ilustrata ın Figura
3.38 —. Adica, γ+(P0) trebuie sa intersecteze transversala S chiar ın P1! Am obtinut
ca γ+(P0)∩ω(P0) 6= /0. Ne regasim ın contextul discutiei de la pagina 119, ceea
ce ne conduce la concluzia ca traiectoria γ+(P0) este periodica. Asadar, multimea
ω(Γ ) contine o traiectorie periodica, deci, via (3.80), coincide cu acea traiectorie.
Demonstratia s-a ıncheiat.
Ilustram teorema Poincare-Bendixson cu ajutorul sistemului diferential
.x=(
1−√
x2 + y2)
x− y,.y= x+
(
1−√
x2 + y2)
y,t ∈ R. (3.81)
Trecand la coordonate polare — (3.4) —, sistemul devine
( .x.y
)
=
(
x −y
y x
)(
1−ρ1
)
,
respectiv
152 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
Fig. 3.38 Traversari
(
x y
−y x
)( .x.y
)
= ρ2
(
1−ρ1
)
.
Am tinut seama de faptul ca
(
x −y
y x
)−1
=1
x2 + y2
(
x y
−y x
)
,
(
x
y
)
6=(
0
0
)
.
Mai departe,
.ρ = x
.x+y
.y
ρ = ρ(1−ρ),.θ = x
.y−y
.x
ρ2 = 1,t ∈ R. (3.82)
Observam ca solutiilor constante ρ ≡ 0, ρ ≡ 1 ale primeia dintre ecuatiile (3.82)
le corespund punctul singular 0R2 , respectiv curba invarianta S1, cu parametrizarea
(
x(t)y(t)
)
=
(
cos t
sin t
)
, t ∈ R, (3.83)
ale sistemului (3.81). Vezi Figura 3.39.
Fie t1 < t2 ın R. Prin integrare ın raport cu timpul t, obtinem identitatea
ln
(
ρ(t2)1−ρ(t2)
· 1−ρ(t1)ρ(t1)
)
= t2 − t1.
3.10 Teorema Poincare-Bendixson II: demonstratie, aplicatia lui Poincare 153
x
y
(0,0)
P
P
ω(Ρ)
Fig. 3.39 Curba invarianta
Fixand punctul P 6= 0R2 ın interiorul cercului S1, deducem ca solutia
(
ρθ
)
=(
ρ(t,0,ρ0,θ0)θ(t,0,ρ0,θ0)
)
, unde P = P(ρ0,θ0), a sistemului (3.82) are comportamentul
asimptotic dat de relatiile
limt→−∞
ρ(t) = 0, (pentru t1 →−∞)
limt→+∞
ρ(t) = 1, (t2 →+∞)
limt→−∞
θ(t) =−∞,
limt→+∞
θ(t) = +∞.
In concluzie — Figura 3.40 —, α(P) = 0R2 si ω(P) = S1. Solutia periodica
(3.83) a sistemului (3.81) a fost prevazuta de teorema Poincare-Bendixson.
VA URMA. . .
154 3 Varietati centrale, solutii periodice, stabilitate
x
y
(0,0)
Pω(Ρ)α(Ρ)
Fig. 3.40 Multimile α si ω
M
M
P(M)
Σ
Γ
0
Fig. 3.41 Aplicatia lui Poincare
Referinte Bibliografice
1. Adobe Systems, Inc.: PostScript language, Tutorial and cookbook. Addison-Wesley, Reading(1985)
2. Amann, H.: Ordinary differential equations. W. de Gruyter, Berlin (1990)3. Arnold, V.I.: Ecuatii diferentiale ordinare. Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti (1978)4. Arnold, V.I.: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. Springer-
Verlag, New York (1988)5. Barbu, V.: Ecuatii diferentiale. Ed. Junimea, Iasi (1985)6. Bellman, R.: Stability theory of differential equations. McGraw-Hill, New York (1953)7. Bhatia, N.P., Szego, G.P.: Stability theory of dynamical systems. Springer-Verlag, New York
(1970)8. Birkhoff, G.D.: Dynamical systems. Colloquium Publ. 9, AMS, Providence (1966)9. Brauer, F.: Some stability and perturbation problems for differential and integral equations.
Monogr. Matematica 25, IMPA, Rio de Janeiro (1976)10. Calculator de orbite: WINPP,
http://www.math.pitt.edu/˜bard/bardware/11. Calculator de orbite: documentatia WINPP,
http://www.math.pitt.edu/˜bard/classes/wppdoc/readme.htm12. Carr, J.: Applications of centre manifold theory. Springer-Verlag, New York (1981)13. Casselman, B.: Mathematical Illustrations,
http://www.math.ubc.ca/˜cass/graphics/manual/index.html#main14. Chicone, C.: Ordinary differential equations with applications, Second edition. Springer-
Verlag, New York (2006)15. Coddington, E.A., Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill,
New York (1955)16. Doob, M.; Hefferon, J.: Approaching Asymptote. TUGboat 33, 213–218 (2012)17. Dumortier, F., Llibre, J., Artes, J.C.: Qualitative theory of planar differential systems.
Springer-Verlag, Berlin (2006)18. Evans, L.C.: Partial differential equations. AMS, Providence (1999)19. Goossens, M., Mittelbach, F., Rahtz, S., Roegel, D., Voss, H.: The LATEX graphics companion,
Second edition. Addison-Wesley, Upper Saddle River (2008)20. Guillemin, V., Pollack, A.: Differential topology. AMS Chelsea Publish., Providence (2010)21. Hahn, W.: Stability of motion. Springer-Verlag, Berlin (1967)22. Hale, J.K.: Ordinary differential equations. Wiley Interscience, New York (1969)23. Hale, J.K.: Functional differential equations. Springer-Verlag, New York (1971)24. Haraux, A.: Systemes dynamiques dissipatifs et applications. Masson, Paris (1991)25. Hartman, P.: Ordinary differential equations. J. Wiley & Sons, New York (1964)26. Heineman, G.T., Pollice, G., Selkow, S.: Algorithms in a nutshell. O’Reilly, Sebastopol
(2009)
155
156 Referinte Bibliografice
27. Hirsch, M.W., Smale, S.: Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. Aca-demic Press, New York (1974)
28. Horn, R.A., Johnson, C.R: Matrix analysis. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1990)29. Interpretor de PostScript: Ghostscript,
https://www.ghostscript.com/download/gsdnld.html30. Jordan, D.W., Smith, P.: Nonlinear ordinary differential equations, Second edition. Clarendon
Press, Oxford (1991)31. Kartsatos, A.G.: Advanced ordinary differential equations. Mariner Publ., Tampa (1980)32. Kato, T.: Perturbation theory for linear operators. Springer-Verlag, Berlin (1995)33. Kelley, A.: Stability of the center-stable manifold. Apendicele B din cartea “Abraham, R.:
Foundations of mechanics. W.A. Benjamin, Inc., New York (1967) ”.34. Kelley, J.L.: General topology. Van Nostrand Reinhold, New York (1955)35. Knuth, D.E.: The METAFONT book. Addison Wesley, Reading (1986)36. Lang, S.: Differential and Riemannian manifolds. Springer-Verlag, New York (1995)37. LaSalle, J.P.: The stability of dynamical systems. SIAM, Philadelphia (1976)38. Lee, J.M.: Introduction to topological manifolds. Springer-Verlag, New York (2000)39. Lefschetz, S.: Differential equations: geometric theory. Interscience Publish., New York
(1959)40. McShane, E.J.: Extension of range of functions. Bull. Amer. Math. Soc. 40, 837–842 (1934)41. Mustafa, O.G.: Integrarea asimptotica a ecuatiilor diferentiale ordinare ın cazul neautonom.
Ed. Sitech, Craiova (2006) On-line la adresa:https://www.octawian.ro/fisiere/tutoriale/osci.pdf
42. Mustafa, O.G.: Elemente de mecanica punctului material si a solidului rigid. Ed. Didactica siPedagogica, Bucuresti (2006) On-line la adresa:https://www.octawian.ro/fisiere/tutoriale/mecanica.pdf
43. Mustafa, O.G.: Note de TEX. DAL, Craiova (2009) On-line la adresa:https://www.octawian.ro/fisiere/tutoriale/tex.pdf
44. Mustafa, O.G.: Heat Lie, Grupuri de transformari si ecuatii cu derivate partiale. DAL, Craiova(2009) On-line la adresa:https://www.octawian.ro/fisiere/tutoriale/heatlie.pdf
45. Mustafa, O.G.: Curbe si suprafete. DAL, Craiova (2009) On-line la adresa:https://www.octawian.ro/fisiere/tutoriale/curbe_suprafete.pdf
46. Mustafa, O.G.: Derivata Lie, conexiunea afina, calculul bi-hamiltonian. DAL, Craiova (2010)On-line la adresa: under construction
47. Mustafa, O.G., Rogovchenko, S.P., Rogovchenko, Yu.V.: Asymptotic integration of second-order differential equations: Levinson-Weyl theory, Poincare-Perron property, Lyapunov typenumbers, and dichotomy. Nonlinear Stud. 17, 95–119 (2010) On-line la adresa:http://nonlinearstudies.com/index.php/nonlinear/article/view/372
48. Mustafa, O.G.: Note de laborator: C++, Vers. 2.0. DAL, Craiova (2012) On-line la adresa:https://www.octawian.ro/fisiere/tutoriale/cpp.pdf
49. Mustafa, O.G.: The Bihari inequality and some applications, DAL, Craiova (2008) On-line laadresa:https://www.octawian.ro/fisiere/tutoriale/bihari.pdf
50. Mustafa, O.G.: Forma canonica Jordan a matricelor, Teorie, aplicatii. DAL, Craiova (2015)On-line la adresa:https://www.octawian.ro/fisiere/tutoriale/jordan.pdf
51. NURBS,http://en.wikipedia.org/wiki/NURBS
52. Perko, L.: Differential equations and dynamical systems, Second edition. Springer-Verlag,New York (1996)
53. Piegl, L.A., Tiller, W.: The NURBS book, 2nd edition. Springer-Verlag, New York (1997)54. Pontryagin, L.S.: Ordinary differential equations. Addison-Wesley, Reading (1962)55. Preparator de grafice:
https://www.octawian.ro/fisiere/diverse/preparator2019.exe
Referinte Bibliografice 157
56. Programul Adobe Reader,https://get.adobe.com/reader/
57. Robinson, R.C..: An introduction to dynamical systems: continuous and discrete. Pearson,Upper Saddle River (2004)
58. Robinson, R.C.: Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics, and chaos. CRC Press,Boca Raton (1995)
59. Rouche, N., Mawhin, J.: Equations differentielles ordinaires (Vol. 1). Masson, Paris (1973)60. Rudin, W.: Analiza reala si complexa, Editia a treia. Ed. Theta, Bucuresti (1999)61. Sansone, G., Conti, R.: Non-linear differential equations, Revised edition. Pergamon Press,
Oxford (1964)62. Sell, G.R.: Topological dynamics and ordinary differential equations. Van Nostrand Comp.,
New York (1971)63. Serre, D.: Matrices. Theory and applications. Springer-Verlag, New York (2002)64. Smith, H.L.: Monotone dynamical systems. An introduction to the theory of competitive and
cooperative systems. AMS, Providence, Rhode Island (1995)65. Standardul limbajului PostScript,
https://www.adobe.com/devnet/postscript.html66. Sistemul TeX Live,
http://tug.org/texlive/67. Viswanatham, B.: A generalization of Bellman’s lemma. Proc. Amer. Math. Soc. 14, 15–18
(1963)68. Vizualizator de PostScript: GSView 6.0 — end-of-life, 24 ianuarie 2019 —,
https://www.octawian.ro/fisiere/diverse/gsview_setup_6.0.exe69. Voss, H.: PSTricks, Graphics and PostScript for TEX and LATEX. UIT, Cambridge (2011)70. Whitney, H.: Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets. Trans.
Amer. Math. Soc. 36, 63–89 (1934)71. Whyburn, G.T.: Topological analysis, Revised edition. Princeton Univ. Press, Princeton
(1964)
Index
Adobe Reader, 13algoritmul RK4, 3, 77alura traiectoriei, 39arc ınchis, 149ASCII, 3atractivitate, 134atractor, 103atractie, 2, 35automorfism, 69
biblioteca, 71
calculator de orbite, 3camp vectorial, 49, 119centru, 46cerc topologic, 149chiuveta, 46ciclu, 119, 120, 126, 148coduri-sursa, x, 6complexificare, 16comportament asimptotic, 26, 42, 103, 153conjugare complexa, 28conjugare topologica, 42, 49constant ın timp, 1convexitate ın M catre O, 85curbura, 42curbura cu semn, 40, 85
*.dat, 3derivata Lie, 49, 135derivata orbitala, 135derivate Dini, 135descompunerea Schur, 17distorsionarea spatiului, 39
echilibru, 1echilibru hiperbolic, 63, 114
echilibru nehiperbolic, 77echivalenta topologica, 42, 44echivalenta topologica izocrona, 49Europa, ixexemplul lui Vinograd, 35, 134
familie uni-parametrica, 1fisier de comenzi, 73fisier de comenzi PowerShell, 13focar stabil, 46font, 139forma canonica Jordan, 43, 44, 50, 63frontiera superioara, 20functie Liapunov, 129
Ghostscript, 3, 73global, 64grafica 3D, 71graphicx, 12grup Lie, 63grup uni-parametric, 47GSView, 3, 142
inegalitatea lui Viswanatham, 137instabilitate Liapunov, 134integrare numerica, 3intuitia geometrica, xinvarianta la translatii, 31, 61, 110, 130invarianta, 64izoclina, 81
Jupiter, ix
lema lui Hadamard, 66
MAPLE, 3METAFONT, 71
159
160 Index
METAPOST, 71Microsoft Visual Studio Enterprise 2017, 10miscare mecanica, 35multimea α–limita, 129multimea ω–limita, 127
nod stabil, 2, 46norma operatoriala, 27NURBS, 74
omotetie, 79orbita, 2, 6, 48, 120, 133, 135, 149, 151orientare, 42ortonormare, 17
P4, 3Palais, R., 69partea patratica, 69, 106particula-solutie, 35, 38, 49, 120, 135planul fazelor, 2, 42, 43, 80, 135PostScript, 3, 71, 102, 142prelungirea McShane-Whitney, 26, 27preparator.exe, 10principiul contractiei fibrelor, 64, 103principiul lui LaSalle, 129problema asimptotelor, 63problema ortogonalitatii, 63produs scalar, 49proiector, 59pst-plot, 5PSTricks, 71punct singular, 1punct stationar, 1punct-sa, 46
reparametrizarea curbelor integrale, 38rotatie, 43
scheletul separatoarelor, 42scurgere, 46sector, 79
sector eliptic, 87
sectiune, 119
semi-curent, 127, 130, 138
separatoare, 42
sistem de comparatie, 137
sistem diferential Hamiltonian, 138
sistem dinamic, 126
solutie maximala, 137
spatiu Hilbert, 69
stabilitate asimptotica, 134
stabilitate Liapunov, 134
stabilitate orbitala, 135
stiva, 73
sursa, 46
teorema lui Euler, 78, 82
teorema Poincare-Liapunov-Perron, 26, 47
TeX Live, 3
translator de orbite, 3
transport-ınainte, 49
transversal, 81, 119, 120, 149, 151
unghi eliptic, 87
unghi hiperbolic, 87
unghi parabolic, 87
valoare proprie, 16, 43, 45, 50, 66, 138
varietate centrala, 112
varietate centrala neteda, 114
varietate diferentiala, 60, 63, 106
varietate instabila, 63
varietate stabila, 63
varietate topologica, 112
vector propriu generalizat, 45, 61
vizualizator, 3
WINPP, 3, 77
xy, 71
xypdf, 71