Elementi di Didattica della Matematica
Come possono servire in classe alcune idee teoriche
Frosinone, 21 settembre 2017
Giorgio BolondiFreie Universität Bozen- Libera Università di Bolzano
Le parole chiave
• Competenza in matematica• Matematizzazione e modellizzazione• Ostacoli all’apprendimento• Misconcezioni• Contratto didattico
I tradizionali percorsi di insegnamento della matematica sono fortemente
strutturati linearmente, con elenchi di argomenti che si susseguono in base a
relazioni di dipendenza logica o funzionale
Per certi versi, questo è inevitabile Ma l’esperienza- dappertutto- dimostra
che questo porta a risultati insoddisfacenti:
Sia per gli insegnanti Che per i ragazzi
Perché insoddisfacente?
Rifiuto della disciplina Rapidissima perdita delle nozioni acquisite Estrema volatilità degli apprendimenti Incapacità di trasferire l’apprendimento al di fuori
del contesto scolastico Altissimo numero di fallimenti formativi Sentimento di frustrazione da parte degli
insegnanti
Ho capito che ogni insegnante deve costantemente lottare contro la tentazione, che si rinnova continuamente, di essere soddisfatto perché fa lezioni limpide e rigorose, che però
non tengono conto delle conquiste degli allievi, delle loro reazioni e delle loro mancanze di
comprensione.
L’importante è l’attività personale degli allievi: non si impara a fare matematica ascoltando
una lezione purificata, ma manipolando oggetti matematici… noi cediamo sempre al miraggio
dei programmi messi a punto con cura e pensiamo che un corso ben strutturato sia il fine
ultimo della nostra pedagogia.
Il professore prepara coscienziosamente un bel corso, rigoroso e limpido come l’acqua chiara
di sorgente, e si meraviglia, al momento dell’esame, che quest’acqua pura si sia trasformata in un liquido melmoso poco
invitante. Il fatto è che la bellezza della materia insegnata e la chiarezza dell’esposizione non
sono sufficienti, e forse non sono neppure necessarie.
Un lavoro sul curricolo è quindi necessario:
Per riportare al centro gli obiettivi generali (strategici?)
Individuando i nuclei fondantia partire dai quali scegliere (contenuti,
metodi,…) e progettare
In matematica:
Le competenze sono molto complesse e articolate
Così come sono complessi i relativiprocessi di apprendimento
Per molti ragazzi è difficile, spessoimpossibile, riaggregare le tante abilità
apprese in matematica in unacompetenza complessa
Obiettivi di apprendimentoLi
vello
02
Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche.
Live
llo 0
5Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri.
Live
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8
Conoscere definizioni e proprietà (angoli, assi di simmetria, diagonali, …) delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Continuità e verticalitàQuesto è solo uno dei tanti esempi possibili
Traguardo alla conclusione del primo ciclo:Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne
coglie le relazioni tra gli elementi.
Pensare al curricolo in verticale, per la matematica, avendo sempre presenti i traguardi, è una necessità che deriva dalle caratteristiche specifiche dell'apprendimento della matematica
E, alla fin fine, dalle caratteristiche della disciplina stessa
L'apprendimento significativo e stabile della matematica è sempre costruito nel medio-
lungo periodo
Ogni progresso è fondato sui precedentied è in qualche modo ricapitolativo di tutto il
percorso compiuto
Il lavoro deve quindi essere impostato su dinamiche di insegnamento e di apprendimento di ampio respiro
Ogni insegnante ha un proprio quadro di riferimento per la costruzione
del percorso di insegnamento/apprendimento e per la sua valutazione:
spesso è implicito, ricevuto per osmosi dall'ambiente, adattato dalla propria esperienza,
costruito passo passo nel proprio percorso. Il Quadro di Riferimento delle Indicazioni Nazionali, delle Prove Invalsi, delle valutazioni internazionali
è esplicito e può aiutare a rendere espliciti, quelli dei singoli insegnanti
Quali scelte per la matematica nelle nuove Indicazioni?
Diverse finalità, enunciate nel “cappello” generale
Tre finalità per quest'area:
matematica come strumento per leggere e interpretare il mondo, e intervenire
consapevolmente su di esso
Obiettivi
matematica come strumento per leggere la storia anche culturale e interpretare
l'azione dell'uomo
Obiettivi
«la capacità di un individuo di utilizzare e interpretare la matematica, di darne rappresentazione mediante formule, in
una varietà di contesti. Tale competenza comprende la capacità di ragionare in modo matematico e di utilizzare
concetti, procedure, dati e strumenti di carattere matematico per descrivere, spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta gli
individui a riconoscere il ruolo che la matematica gioca nel mondo, a operare valutazioni e a prendere decisioni fondate che consentano loro di essere cittadini impegnati, riflessivi e
con un ruolo costruttivo»
la capacità di un individuo di mobilitare conoscenze, abilità, richiamare esperienze, operare con atteggiamento costruttivo
e positivo, per risolvere problemi in contesti un cui sia coinvolta la matematica
Costruire strumenti che forniscano informazioni sugli apprendimenti in
matematica degli studenti in un'ottica di competenze
numeri Spazio e figure Relazioni e funzioni
Misure, dati, previsioni
MATEMATICA
concetti algoritmi problemi comunicazione rappresentazione
Da: M. Fandino-Pinilla, Molteplici aspetti dell’apprendimento della Matematica, Erickson
Apprendimentoconcettuale
Apprendimentoalgoritmico
Apprendimentodi strategie
Gestione delle rappresentazioni
Apprendimentocomunicativo
Le diverse componenti dell’apprendimento in matematica
• APPRENDIMENTO CONCETTUALE :apprendimento che riguarda i concetti: la
conoscenza e la padronanza di determinatenozioni, o di alcune idee portanti.
Es.(seconda primaria)Occorre imparare la moltiplicazione, intendendo con questo costruirsi il concetto che c’è alla base dell’operazione di moltiplicazione tra numeri naturali, conoscere e saper usare più o meno consapevolmente le sue proprietà (ad esempio la commutatività) e conoscerne alcune caratteristicheconcettuali.
(Fandiño Pinilla M. I., 2010)
Le diverse componenti dell’apprendimento in matematica
• APPRENDIMENTO ALGORITMICO :riguarda le procedure e gli algoritmi.
Es.Il bambino impara:-ad eseguire l’algoritmo di moltiplicazione in colonna- la procedura per moltiplicare mentalmente un numero per 9.
Ovviamente, collegati all’apprendimento concettuale (ne dipendono e lo arricchiscono), ma sono in qualche modo distinti; il concetto di moltiplicazione può essere appreso più o meno in modoidentico in tutte le culture, mentre le procedure algoritmiche sono caratteristiche delle singole culture.
Tra le procedure vanno ovviamente incluse anche quelle in àmbito geometrico (costruzioni con riga e compasso) oin altri àmbiti (calcolare la media dei dati di una tabella).
(Fandiño Pinilla M. I., 2010)
Le diverse componenti dell’apprendimento in matematica
• APPRENDIMENTO di tipo STRATEGICO :Una cosa, poi, è conoscere la moltiplicazione, un’altra è
riconoscere in un contesto problematico che la moltiplicazione è l’operazione necessaria per risolverlo.
Imparare a risolvere i problemi, non coincide con l’imparare adeseguire le operazioni.
Ed infatti, ci sono allievi che sanno eseguire le operazioni ma poi non sanno risolvere i problemi. Si tratta di un apprendimento radicalmente diverso, specifico, che NON si impara ricorrendo ad alcun genere di algoritmi.
(Fandiño Pinilla M. I., 2010)
Le diverse componenti dell’apprendimento in matematica
• APPRENDIMENTO O GESTIONE DELLE TRASFORMAZIONI SEMIOTICHE :
riguarda le rappresentazioni e coinvolge direttamente la capacità di passare da una forma all’altra, da un registro
all’altro di rappresentazione dello stesso concetto
Es:Saper passare da un grafico a una tabella, o da una espressione algebrica ad una geometrica …
(Fandiño Pinilla M. I., 2010)
Le diverse componenti dell’apprendimento in matematica
• APPRENDIMENTO COMUNICATIVO:Ci sono infine tutti gli aspetti dell’apprendimento che
riguardano la comunicazione, la capacitàdell’allievo di esplicitare e comunicare quello che ha appreso.
Poiché la matematica ha un suo specifico linguaggio, fatto di tantissimi registri semiotici diversi, dei quali occorre impadronirsi, allora questo aspetto non può essere trascurato.
(Fandiño Pinilla M. I., 2010)
Le diverse componenti dell’apprendimento in matematica
• APPRENDIMENTO CONCETTUALE
• APPRENDIMENTO ALGORITMICO
• APPRENDIMENTO di tipo STRATEGICO
• APPRENDIMENTO O GESTIONE DELLE TRASFORMAZIONI SEMIOTICHE
• APPRENDIMENTO COMUNICATIVO
(Fandiño Pinilla M. I., 2010)
Il ciclo della matematizzazione proposto come strumento centrale
nell’indagine OCSE-Pisa è uno schema per concettualizzare il
legame della matematica con la realtà
Esempio: il problema dei camion
In una caserma ci sono 1164 soldati. Occorre trasportarli al campo di addestramento, e ogni
camion può portare 36 soldati.Quanti camion sono necessari, al minimo?
1) Formulating: la scelta dell'operazione, che traduce il problema in un problema matematico
(1164:36 = ?)
2) Employing: l'esecuzione dell'operazione, per trovare il risultato matematico(1164:36 = 32 col resto di 12
1164:36 = 32,333333......)
3) Interpreting: la traduzione del risultato matematico in una risposta coerente e sensata al
problema reale di partenza(servono 33 camion)
Item 14-------item:14 (D8)Cases for this item 24815 Discrimination 0.38Item Threshold(s): 0.73 Weighted MNSQ 1.03Item Delta(s): 0.73------------------------------------------------------------------------------Label Count % of tot ------------------------------------------------------------------------------1 35.03 2 7.51 3 41.91 4 13.69
La matematica è una disciplina
dai tempi lunghi: possiamo aspettarci «risorgive» di difficoltà
anche a distanza di anni
Quale è l’approccio standard?
• La ripetizione
• Intesa in senso “didattico” e in senso “letterale”
• I risultati, di solito, sono insoddisfacenti
Cause presunte della mancata ricezione
• Non ha studiato• Non è stato attento• Era assente• Non ho spiegato bene• Non ha i prerequisiti• È di dura cervice• Non è tagliato per la matematica• La matematica è comunque difficile
• Tutti questi approcci hanno in comune un presupposto: l’allievo non capisce perché non ha recepito il messaggio che gli ho trasmesso
Quale indicatore?
• Quale indicatore viene solitamente utilizzato per individuare le difficoltà?
•L’errore
• Gli ostacoli, le difficoltà e gli errori durante l’apprendimento sono inevitabili e
necessari
• Ma non dobbiamo confondere la fase di apprendimento (costruzione delle
conoscenze) con la fase della valutazione degli apprendimenti
• Non è difficoltà quella dell’allievo che non capisce la spiegazione, o non sa fare un
esercizio come quello visto in classe
• La difficoltà si ha quando non si riesce a innescare il meccanismo
dell’apprendimento, o quando questo meccanismo non porta a un livello
adeguato (e corretto) di conoscenze
• Il lavoro, talvolta faticoso,… a partire dai primi scostamenti rilevati tra l’immagine e certi fatti evidenti…è marcato da una tensione crescente… fino al momento in cui scoppia, con la scoperta dell’errore e il crollo di una determinata visione delle cose…La scoperta dell’errore è un momento cruciale, un momento creativo al massimo, di ogni lavoro di scoperta.
È ovvio….
• Ma spesso ce ne dimentichiamo
• E soprattutto non riusciamo sempre a capire se questo è davvero il lavoro che riusciamo a stimolare nei nostri ragazzi
• Se il nostro insegnamento si sviluppa con questa dinamica, avremo poche possibilità di individuare le cause degli errori, e la loro natura, e ancora meno possibilità di porvi rimedio
• Nel momento in cui il ragazzo ci porta l’esercizio eseguito, il suo lavoro si è già compiuto, e noi non abbiamo interagito con esso
• L’individuazione dell’errore si focalizza sul risultato finale del lavoro del ragazzo
Il prodotto finale
• In matematica siamo abituati a riguardare il prodotto finale del lavoro del matematico
• Così sono strutturati i libri di testo, i manuali, gli articoli di ricerca
Ma in didattica…
• Soprattutto quando ci sono difficoltà, quello che bisogna
guardare per capire cosa succede è il processo, e
non solo il prodotto
• Osservare il lavoro dei ragazzi, guardare i ragazzi mentre lavorano, e non solo i compiti che ci consegnano
• Da soli e in gruppo• Facendoli comunicare• Creando situazioni a-didattiche e non-
didattiche
Difficoltà
Errore in rispostaa una consegna
Ripetizione di spiegazione e
consegna RIPETIZIONE
DELL'ERRORE!
Individuarela natura dell'errore
Osservare il processonon solo il prodotto
Individuare la natura
dell'ostacolo
Ostacoloall'apprendimento
La teoria degli ostacoli• Brousseau, 1976 (Bachelard, 1938)
• Ostacolo è qualcosa che si frappone all'apprendimento
• Una difficoltà è spesso un sintomo di un ostacolo
• Spesso sono legati a misconcezioni degli allievi, talvolta ereditate da misconcezioni degli insegnanti
• Nel triangolo di Chevallard, si
riferiscono specificatamente ad
uno dei vertici
sapere
insegnante allievo
Un campionario di esempi
La didattica e le difficoltà in matematica (D'Amore, Fandino, Marazzani, Sbaragli)
Erickson, 2008
Termoli, 6 marzo 2012
Difficoltà derivanti da misconcezioni
Soprattutto in geometria,molte difficoltà dipendono da
MISCONCEZIONI
Termoli, 6 marzo 2012
Misconcezione:Fraintendimento o concezione errata
che ha una sua logica interna
Termoli, 6 marzo 2012
Per individuare la natura della difficoltà occorre individuare la misconcezione che ci
sta dietro, e lavorare sulla sua origine.
Termoli, 6 marzo 2012
Occorre scardinare o modificare la logica che la governa, spesso senza che il ragazzo ne
sia consapevole
Termoli, 6 marzo 2012
Se non ci riusciamo, la misconcezione continuerà a riemergere, a
sopravvivere a tutti i nostri tentativi di “correzione”
Termoli, 6 marzo 2012
Le misconcezioni, in geometria, sono alla radice di errori persistenti,
resistenti e ripetuti,Proprio perché non sono semplici
conoscenze errate:hanno anche una coerenza interna
Termoli, 6 marzo 2012
Misconcezioni legate alla posizione
Possono derivare dall'immagineassociata alla definizione
usata nel libro, o sulla lavagna dall'insegnante
Termoli, 6 marzo 2012
Misconcezioni derivanti dal linguaggio
In certi casi, il linguaggio usato è determinante nel creare
misconcezioni
Termoli, 6 marzo 2012
Risposte frequenti:
...non ha nessuna base.......questo quadrato ha come base il vertice in
basso....
Termoli, 6 marzo 2012
È ovvio che questo porta a difficoltà nel momento in cui si tratta di riconoscere
figure in contesto di problema,lavorare sui loro elementi,
individuare costruzioni da fare
Termoli, 6 marzo 2012
Anche la parola “altezza” nasconde insidie
Viene solitamente definita come un particolare segmento
(quello che “parte” da un vertice e “cade” perpendicolarmente al lato opposto)
Termoli, 6 marzo 2012
Curare il linguaggio
L'altezza è una grandezza, una distanza individuata da un segmento (ma anche da
tutti i segmenti congruenti ad esso)
Termoli, 6 marzo 2012
Cosa vuol dire “uguale”?
Se parliamo di frazioni, parti “uguali”significa equiestese; in geometria significa
congruenti
Termoli, 6 marzo 2012
Attenzione a non generaizzare arbitrariamente
In un triangolo è ovvio quale è il “lato opposto” a un vertice (o il vertice opposto a
un lato)
Termoli, 6 marzo 2012
Ma osa succede per un quadrilatero?
Possiamo parlare facilmente di “altezza di un parallelogrammo” rispetto a un lato (è la
distanza tra un lato e quello opposto)
Termoli, 6 marzo 2012
Sono tutte situazioni che noi riusciamo a gestire, ma che creano difficoltà nei
bambini
Termoli, 6 marzo 2012
Forse questa parola (che ha un significato convenzionale) potrebbe essere usata
dopo l'individuazione delle caratteristiche matematiche che individuano l'oggetto
“trapezio” (essere un quadrilatero e avere due lati paralleli)
Termoli, 6 marzo 2012
E' ben noto che per i ragazzi un rettangolo NON è un trapezio perché non ha lati
obliqui
Termoli, 6 marzo 2012
Un possibile percorso
Geometria senza vincoli spaziali
o sistemi di riferimento (impliciti)
troppo rigidi
Termoli, 6 marzo 2012
il disegno, inteso come costruzione della figura geometrica, … è una specificità della geometria, importante come strumento di apprendimento che catalizza informazioni e abilità (Fulvia Furinghetti)L’attività grafica contribuisce alla costruzione delle conoscenze
Termoli, 6 marzo 2012
...altre misconcezioni....
... misconcezioni dovute a incoerenze dei testi utilizzati
… misconcezioni legate a definizioni (ncessariamente) imprecise
Termoli, 6 marzo 2012
Come far emergere una misconcezione?
Una misconcezione spesso riesce a sopravvivere e a resistere a tutti i nostri
tentativi di intervento perché NON ESCE allo scoperto e continua ad essere
accettata grazie alla sua logica interna
Termoli, 6 marzo 2012
Non sempre (quasi mai) servono domande dirette
- il ragazzo, di fronte a una domanda diretta, tende a mettere in atto meccanismi di
controllo in cui ricorre meccanicamente alla conoscenza formale acquisita
Termoli, 6 marzo 2012
Sono più utili questionari in cui una domanda chiave è inserita tra altre domande
Oppure interviste (colloqui) con discussione di casi limite o critici
In un triangolo isoscele la somma delle radici quadrate dei lati uguali è pari alla radice
quadrata del terzo lato
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati dei cateti è pari al quadrato del terzo lato
La somma di potenze di ugual base è uguale a una potenza che ha la stessa base
e per esponente il prodotto degli esponenti
Il prodotto di potenze di ugual base è uguale a una potenza che ha la stessa base
e per esponente la somma degli esponenti
Cooo oooo o ooooooooo oo ooooooooo oooooooooo
Gaël è un bambino che frequenta il corrispondente italiano della seconda elementare pur avendo più di 8 anni. La condizione nella quale i ricercatori trovarono Gaël è la
seguente: in luogo di esprimere coscientemente la propria conoscenza, Gaël la esprime sempre e solo in termini che
coinvolgono l’insegnante:
le sue competenze non sono mai sue proprie competenze, ma quel che la maestra gli ha insegnato
le sue capacità strategiche non sono mai sue proprie capacità, ma quel che (e come) la maestra ha detto di fare
Cooo oooo o ooooooooo oo ooooooooo oooooooooo
Il complesso di interazioni e comportamenti che si instaura tra allievo e insegnante, che deve avere quale prodotto finale l’apprendimento, è formato da una serie di fasi e di momenti che caratterizzano l’attività svolta in classe giornalmente. Il rapporto allievo-insegnante è basato su regole non scritte, su convenzioni sottointese, accettate implicitamente tanto dallo scolare quanto dall’insegnante.
Queste regole, seppur mai dichiarate, sono ben conosciute da entrambe le parti in causa, come se
costituissero una sorta di contratto mai firmato: il contratto didattico.
Cooo oooo o ooooooooo oo ooooooooo oooooooooo
<<In una situazione d'insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l'allievo ha generalmente
come compito di risolvere il problema (matematico) che gli e presentato, ma l'accesso a questo compito si fa attraverso un'interpretazione delle domande poste,
delle risposte fornite, degli obblighi imposti che sono costanti nel modo di insegnare del maestro. Queste
abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo ed i comportamenti dell’allievo attesi dal docente
costituiscono il contratto didattico>> (Brousseau, 1980)
Cooo oooo o ooooooooo oo ooooooooo oooooooooo
Studi approfonditi sul contratto didattico hanno rivelato che gli allievi di ogni ordine scolastico hanno appunto attese particolari, comportamenti che nulla hanno a che vedere con la matematica ma che dipendono dal contratto instauratosi in classe.
Cooo oooo o ooooooooo oo ooooooooo oooooooooo
La problematica del contratto didattico è particolarmente rilevante nella didattica della matematica perché la natura delle prestazioni matematiche è molto varia e quindi la scelta del comportamento intellettuale più adatto in ogni circostanza è assai impegnativa, con il rischio inevitabile che l’allievo, soprattutto quello meno sicuro di sé, si interroghi non sul “cosa conviene fare”, ma su “cosa l’insegnante si aspetti che io faccia”.
Cooo oooo o ooooooooo oo ooooooooo oooooooooo
Costruzione della conoscenza si ottiene con la rottura del contratto didattico, quando l’allievo raggiunge la
DEVOLUZIONE
Per devoluzione si intende il processo o l’attività di responsabilizzazione, attraverso il quale, l’insegnante ottiene che lo studente s’impegni nella risoluzione di un problema, più in generale, in un ‘attività cognitiva, affinché diventi un suo problema.
Cooo oooo o ooooooooo oo ooooooooo oooooooooo
“L’allievo costruisce la conoscenza solo se si interessa personalmente della
risoluzione del problema.Di quanto gli è stato proposto durante la
situazione didattica: in tal caso si usa dire che si è raggiunta la devoluzione da
parte dell’allievo”. (Brousseau, anni ‘80)