Eletromagnetismo e osciladores harmΓ΄nicos
π»2π π«, π‘ = π0π0
π2π(π«, π‘)
ππ‘2
π» Γ π π«, π‘ = βππ π«, π‘
ππ‘
π» β π π«, π‘ = 0
π» β π π«, π‘ = 0
π» Γ π π«, π‘ = π0π0
ππ π«, π‘
ππ‘
Eqs. de Maxwell no vΓ‘cuo π = π = 0 e a Eq. de onda
(igual para π π«, π‘ )
ππ₯2 + ππ¦
2 + ππ§2
πβ2
π¦ π₯, π‘ =
π=1
β
ππ cos(πππ‘ + ππ) sin πππ₯
O truque da solução geral (no caso da corda com extremos fixos)
π2π¦
ππ₯2=
1
π£2
π2π¦
ππ‘2
π¦ π₯, π‘ =
π=1
β
ππ cos(πππ‘ + ππ) sin πππ₯
ππ = π£ππ
ππ = ππ
πΏ
Onda Harm. ππ¬πππ.
A energia da corda
πΈ =
0
πΏ1
2(πππ₯)
ππ¦(π₯, π‘)
ππ‘
2
+1
2(πππ₯)
ππ¦(π₯, π‘)
ππ₯
2
πΈ =
π=1
βππΏ
4ππ
2ππ2
+
π¦ π₯, π‘ =
π=1
β
ππ cos(πππ‘ + ππ) sin πππ₯sol. geral:
π π«, π‘ =
π€
π =1,2
ππ€π ππ€π sin π€ β π« β ππ€π‘ + ππ€π
ππ€ = π|π€|
π π«, π‘ =1
π
π€
π =1,2
( π€ Γ ππ€π ) ππ€π sin π€ β π« β ππ€π‘ + ππ€π
Problema da lista
Os campos π e π mais gerais possΓveis no vΓ‘cuo (hΓ‘
outros modos de escrever...)
π€ = (ππ₯, ππ¦ , ππ§)2π
πΏ
(ππ = 0, Β±1, Β±2, β¦ )
Condição de contorno periΓ³dica π€ ππ€1
ππ€2
Onda Harm. ππ«π¨π©ππ .
htt
ps:
//w
ww
.yo
utu
be.
com
/wat
ch?v
=1SQ
V9
kBN
_b4
Onda eletromagnΓ©tica propagante: harmΓ΄nica, plana e linearmente polarizada
A energia eletromagnΓ©tica (no volume π)
πΈπ.π. =
π€
π =1,2
π0π
2ππ€π
2
πΈ = π0
2π2(π«, π‘) +
1
2π0π2(π«, π‘)
π
Se quiser, pode redefinir as amplitudes: ππ€π β ππ€ππ€π β¦
+
π π«, π‘ =
π€,π
β¦ π π«, π‘ =
π€,π
β¦sol. geral:
πΈπππππ =
π=1
βππΏ
4ππ
2ππ2
Campo EletromagnΓ©tico em equilΓbrio tΓ©rmico e a
CatΓ‘strofe do Ultra-Violeta
π« β π€
π« β π€
πΈ =
π€
π =1,2
π0π
2ππ€π
2
πΈπ€π
2π/|π€|
ππ€π
ππ€π
0 β€ ππ€π < β
πΈπ€π =π0π
2ππ€π
2
0 β€ ππ€π < β
πΈπ€π = ππ΅π
πΈ =
π€,π
ππ΅π = β
A energia mΓ©dia de todos os modos Γ© igual...
Energia mΓ©dia de cada modo, πΈπ€π , (Boltzmann+Maxwell)
Maxwell:
π(ππ€π , ππ€π ) =exp(βπ0πππ€π
2 /2ππ΅π)
π,Boltzmann:
πΈπ€π = {0, βππ€π , 2βππ€π , β¦ }
Que constante β = (#) J. s Γ© essa?
πΈπ€π =π0π
2ππ€π
2
0 β€ ππ€π < β
πΈπ€π = ππ€π βππ€π
ππ€π β {0, 1, 2, β¦ }
ππ€π
2π=
π|π€|
2π
De onde saiu isso?
π =
ππ€π =0
β
exp(βππ€π βππ€π /ππ΅π)
πΈπ€π =
ππ€π =0
βexp(βππ€π βππ€π /ππ΅π)
π(ππ€π βππ€π ) =
βππ€π
exp βππ€π ππ΅π
β 1
lista
Energia mΓ©dia de cada modo, πΈπ€π , (Boltzmann+Planck)
=1
1 β exp(ββππ€π /ππ΅π)
πΈπ€π = ππ€π βππ€π
ππ€π β {0, 1, 2, β¦ }
Planck:
π(ππ€π ) =exp(βππ€π βππ€π /ππ΅π)
π,Boltzmann:
πΈπ€
π [π
π΅π
]
ππ€π [ππ΅π/β]
πΈπ€π =βππ€π
exp βππ€π ππ΅π
β 1πΈπ€π = ππ΅πversus
listaconcordam apenas aqui...
πΈπ€π
A energia mΓ©dia total agora Γ© finita?
πΈ =
π€
π =1,2
βππ€π
exp βππ€π ππ΅π
β 1
Para calcular isso, precisamos antes aprender uma mudanΓ§a de variΓ‘vel muito usada na FΓsica EstatΓstica
Antes, πΈ = π€,π ππ΅π = β
SIM
Densidade de Modos Normais do Campo EletromagnΓ©tico
πΏ
πΏπΏ
π/πΏ
π0
Quantos modos normais da corda hΓ‘ entre π e π + ππ?
π π + ππ
?
π = π£π β ππ = π£ ππ
ππ/π£
π ππ π:(ππ/π£)
(π/πΏ)
ππ = ππ
πΏ
(π = 1,2, β¦ )
π π =πΏ
ππ£
Densidade de modos normais da corda
π¦ π₯, π‘ =
π=1
β
ππ cos(πππ‘ + ππ) sin πππ₯
π ππ π:2[2π π/π ππ/π ]
(2π/πΏ)2
π = ππ
ππ = π ππ
π π =πΏ2π
ππ2
Densidade de modos normais (2D)
π€ = ππ₯, ππ¦
2π
πΏ, (ππ β β€)
2π/πΏ2π/πΏ
ππ₯
ππ¦
ππ/π
VersΓ£o 2D do nosso problema π π«, π‘ =
π€
π =1,2
ππ€π ππ€π sin π€ β π« β ππ€π‘ + ππ€π
π = {1,2}
Densidade de modos eletromagnΓ©ticos no volume π lista
π π =1
π
π π =ππ2
π2π3
πΈ =
π€
π =1,2
βππ€π
exp βππ€π ππ΅π
β 1
=
0
β
[π(π)ππ ]βπ
exp βπππ΅π
β 1
β β‘β
2π
βππ€π β‘ βππ€π
πΈ = ππ2
15
(ππ΅π)4
(βπ)3
De volta ao que querΓamos calcular...
lista
Radiação dentro de uma cavidade (1 m3) Γ temperatura π (radiação de corpo negro)
πΈπ =8π5(ππ)4
15(βπ)3π
π = 1,38 Γ 10β23 J/K
β = 6,62 Γ 10β34 J s
6,1 Γ 10β2 J (3000 K)
6,1 Γ 10β6 J (300 K)
6,1 Γ 10β14 J 3 K
ππ ~ 10β18 kg
ππ ~ 10β24 kg
ππ ~ 10β30 kg (ππ ~ 10β30 kg)
|ππ| = 0
πΈπ = (ππ»2π ~ 10β26 kg)
HΓ‘ como medir πΈ e checar
πΈ = ππ2
15
(ππ΅π)4
(βπ)3?
NΓ£o, mas hΓ‘ como medir a distribuição espectralde energia (i.e., o integrando em πΈ ; por unidade de volume do corpo)
π’ π ππ =1
π
βππ π ππ
exp βπππ΅π
β 1
β
π π =ππ2
π2π3
=β
π2π3
π3 ππ
exp βπππ΅π
β 1
π
π’π
[4π
π΅π
3/β
2π
3]
[ππ΅π/β]
2,8
21
A distribuição espectral de energia (em π)
ππππ₯ = 2,821ππ΅π
β
π’πππ₯ ~ π3
π’ π =β
π2π3
π3
exp βπππ΅π
β 1
A distribuição espectral de energia (em π)
π =2ππ
π
ππ = β2ππ
π2ππ
π’ π ππ =β
π2π3
π3 ππ
exp βπππ΅π
β 1
π’ π ππ = 8πβππβ5 ππ
exp βππππ΅π
β 1
[π’ π ] =πΈ
πΏ3πβ1[ π’ π ] =
πΈ
πΏ4
π [βπ/ππ΅π]
π’(π
)[8
Οπ
π΅π
5/
βπ
4]
0,2
01
π’ π = 8πβππβ5
exp βππππ΅π
β 1
ππππ₯ = 0,201βπ
ππ΅π
π’πππ₯ ~ π5
(?) prΓ³xima aula
matemΓ‘tica: HΓ‘ algo estranho aqui?
ππππ₯ = 2,821ππ΅π
β
ππππ₯ = 0,201βπ
ππ΅π
ππππ₯
ππππ₯
2πβ π
Me explique isso na prΓ³xima aula.