วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
1
บทท 1 ความนาจะเปน
1. กฎการนบเบองตน
1.1 แผนภาพตนไม
คอ วธการในการแกปญหาทางคณตศาสตรทเกยวของกบการหาจ านวนวธการทงหมดทเปนไปไดของ
เหตการณหนงๆ
(1) จงหาจ านวนวธทเหรยญจะแสดงหนาทเปนไปไดจากการโยนเหรยญ 2 เหรยญหนงครงโดยการใชแผนภาพตนไม
วธท า
(2) นายบญช นางสมศร และนายสมบต ตองการถายภาพรวมกนโดยยนเรยงในแนวเสนตรง จงหาวธทงหมดทคน
ทง 3 ยนเรยงในการถายภาพ โดยการใชแผนภาพตนไม
วธท า
(3) มเดกชาย 3 คนคอ พท ฉ อ และเดกหญง 2 คน คอ อน อร ถาใหจบคเตนร ากนจะสามารถจบคไดทงหมดก
วธ โดยการใชแผนภาพตนไม
วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
2
1.2 กฎการนบเบองตน
1.2.1 กฏการคณ
ถาในการท างานชนหนงสามารถแบงงานเปน k ขนตอนดวย
ขนตอนท 1 สามารถท างานไดทงหมด 1n วธ
ขนตอนท 2 สามารถท างานไดทงหมด 2n วธ
ขนตอนท 3 สามารถท างานไดทงหมด 3n วธ
ขนตอนท k สามารถท างานไดทงหมด kn วธ
จ านวนวธการท างานชนดงกลาวทงหมด คอ 1 2 3 kn n n n วธ
*** หมายเหต การแบงงานเปน k ขนตอนในแตละขนตอนงานยงไมเสรจสนตองเรมจากขนท 1 แลว
ตอเปนขนท 2,3, … จนถงขนท k งานจงจะส าเรจเสรจสนดงแผนภาพ
เรมตน สนสด
ขนท 1 2 3 k
จ านวนวธ 1n 2n 3n kn
(4) .จงหาจ านวนวธทเหรยญจะแสดงหนาทเปนไปไดจากการโยนเหรยญ 2 เหรยญหนงครง
วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
3
(5) เตตองการแตงตวไปจบสาว ซงในการแตงตวตองใสเสอ กางเกงและเนกไท โดยเตมเสออย 4 ส กางเกงอย 3 ส
และเนกไทอย 2 ลายคอลายหมพหกบลายมกกเมาส แลวเตจะแตงตวไดกแบบ
วธท า
(6) ธาดาผโอบออมอาร ตองการแจกแอปเปลอย 4 ลก ตองการมอบใหเพอนรก 10 คน จะมวธการแจกกวธเมอ
1. ไมมเงอนไข 2. ไมซ าคน
วธท า วธท า
(7) มลกเตา 2 ลก เมอท าการโยนจะมวธการขนหนาของลกเตาทงสองกแบบ เมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. แตมรวมกนเปนเลขค
วธท า วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
4
(8) ตองการสรางจ านวนทม 3 หลกโดยเลขแตละหลกเลอกจากตวเลข 2,3,5,6,7 และ 9 จะสรางทงหมดกวธเมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. เลขแตละหลกไมซ ากน
วธท า วธท า
3. จ านวนทสรางมคานอยกวา 400 4. เปนจ านวนค
วธท า วธท า
5. เปนจ านวนคและเลขแตละหลกไมซ ากน 6. หารดวย 5 ลงตวและคามากกวา 500
วธท า วธท า
(9) ในงานเลยงงานแตงงานงานหนง ในจ านวนผรวมงานครงนม พลอย แอนท แปงและหยก ไดน ารมตดตวมา
ดวยและไดน ารมมาวางไวในทๆจดเตรยมไว ซงมเฉพาะรมของคนทง 4 นเทานน เมองานเลก จงหาวธทงหมดทคน
ทง 4 คน หยบรมทวางไวแบบไมเจาะจง
วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
5
(10) เบลลามเสอสแดงลายตางกน 2 ตว มสน าเงนลายตางกน 2 ตว และสขาว 1 ตว มกระโปรงสแดง 1 ตว สน า
เงนลายตางกน 2 ตว จงหาวธทเบลลาจะสวมเสอและกระโปรงไปเทยวเปนชดตางกนไดทงหมดกชดถา
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. เบลลาตองการใสเสอสแดง 3. เบลลาตองการใสกระโปรงสน าเงน
วธท า
(11) สนามกฬาแหงหนงมประตเขาออก 8 ประต ถาคนๆหนงเดนเขาและออกจากสนามกฬาแหงนจะท าไดกวธ
ถา 1. เขาประตใดและออกประตใดกได
2. เขาและออกสนามกฬาโดยไมซ าประตเดม
3. เขาประตใดตองออกประตนน
วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
6
(12) มถนนจากกรงเทพถงสระบร 4 สาย มถนนจากสระบรถงนครราชสมา 3 สาย และมถนนจากนครราชสมาถง
ขอนแกน 2 สาย ถาตองการเดนทางไปและกลบระหวางกรงเทพกบขอนแกนโดยผานสระบรและนครราชสมาจะม
วธเลอกเดนทางไดทงหมดกวธโดย
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ขาไปและกลบใชเสนทางไมซ ากน
วธท า วธท า
(13) จงหาวธในการจดนกเรยนชาย 3 คนและนกเรยนหญง 2 คน โดยม นายไผ และนางสาวปานทพย รวมอย
ดวย ยนเรยงแถวเสนตรง ถา
1. ใหนางสาวปานทพย ยนหวแถว 2. ใหนายไผยนหวแถวและนางสาวปานทพย ยนทายแถว
วธท า วธท า
3. ใหนกเรยนชายยนหวแถวและทายแถว 4. ใหนกเรยนหญงยนหวแถวและทายแถว
วธท า วธท า
5. ใหปานทพย ยนหวแถวและนกเรยนหญงยนทายแถว
วธท า
6. ใหไผยนหวแถวและนกเรยนชายยนทายแถว
วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
7
1.2.2 กฎการบวก
ในการพจารณาวาการจะน าวธการในแตละสงทเราท าไดมาบวกกนหรอมาคณกนนนใหเรา
พจารณาวางานนนๆ เสรจงาน ตามทโจทยตองการหรอยง
ถางานนนสามารถแบงออกเปน k กรณ โดย
กรณ 1 สามารถท างานเสรจสนได 1n วธ
กรณ 2 สามารถท างานเสรจสนได 2n วธ
กรณ 3 สามารถท างานเสรจสนได 3n วธ
กรณ k สามารถท างานเสรจสนได kn วธ
จ านวนวธการท างานทงหมด 1 2 3 kn n n n วธ
(4) ในการเดนทางจากบานณเดชไปบานญาญาม 2 วธหลกคอ ปนจกรยานไปจนถงบานญาญาเลย กบนงรถไฟฟา
ตอสองแถวแลวตอมอเตอรไซครบจางอกท โดยจกรยาน 3 คนและรถไฟฟาม 4 เทยวและรถสองแถวม 5 เทยว
มอเตอรไซครบจางม 2 เทยว แลวณเดชจะสามารถเดนทางไปหาญาญาไดทงหมดกวธทไมซ ากน
วธท า
(15) ในการสรางเลข 3 หลกโดยหามใชตวเลขซ าจากเลข 0 – 9 จะสรางเลขคสามหลกไดทงหมดกจ านวน
วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
8
(16) ถงใบหนงมลกแกวขนาดเดยวกนอย 10 ลก เปนสแดง 3 ลก สขาว 5 ลก สด า 2 ลก สมหยบลกแกวจากถง
สองครง ครงละลกโดยไมใสคน จ านวนวธทจะหยบไดลกแกวลกทสองเปนสแดงเทากบเทาใด
วธท า
(17) มสลาก 6 ใบ โดยมหมายเลข 1-6 ก ากบไว ใหสมหยบสลาก 2 ครง ครงละใบ ถาครงแรกไดเลขคใหใสสลาก
ใบนนกลบคนกอนหยบครงทสอง แตถาครงแรกไดเลขค กหยบครงทสองไดโดยไมตองใสสลากกลบคน
1. วธทหยบไดทงหมดมคาเทาใด
2. วธทหยบไดครงทสองเปนเลขคมคาเทาใด
วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
9
Worksheet 1กฎการนบเบองตน
ค าชแจง : แสดงวธท าลงสมด พรอมลอกโจทย
1. ตองการสรางเลข 2 หลก จากเลขโดด 4 ตวคอ 1,2,3,4 จะสรางเลขไดทงหมดกจ านวนเมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ใชเลขซ ากนไมได
3. เปนเลขค 4. เปนเลขค
5. เปนเลขคทใชเลขโดดซ ากนไมได
2. มนกเรยนจ านวน 3 คน อยในหองทมประตเขา-ออกทงหมด 4 ประต จงหาจ านวนวธทคนเหลานจะออกจาก
หองทางประตตางๆ ดงกลาว
3. มคน 5 คน นงรถไฟไปเทยวมทนง 2 ตอน ตอนหนาม 2 ทนง ตอนหลงม 3 ทนง จะมวธในการนงทแตกตางกน
กวธ ถาทกคนขบรถได
4. หมายเลขโทรศพท 6 หลก ทขนตนดวยหมายเลข 723 จะมทงหมดกหมายเลข
5. ตองการสรางจ านวนทม 4 หลกและมคามากกวา 2500 โดยสรางจากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 เมอ
1. เลขแตละหลกไมซ ากน 2. เลขแตละหลกอาจซ ากนได
6. ตองการสรางจ านวนทมคามากกวา 1,000 นอยกวา 4,500 โดยใชเลขไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกวธ
7. มชาย 4 คน หญง 3 คน ตองการถายรปหม ยนเปนแถวตรง 1 แถว จงหาจ านวนวธในการถายรปของคนกลมน
เมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ชายยนสลบทกบหญง
8. ตองการสรางค าจากตวอกษรของค าวา Elementary โดยสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซ ากน
และค าทสรางขนมาไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาจ านวนค าทงหมด
1. ตวอกษรทง 4 ตว จะเปนตวใดกได 2. ตวอกษรทง 4 ตว เปนพยญชนะลวน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
10
2. แฟคทอเรยล
ถา n เปนจ านวนเตมบวกแลวผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n สามารถเขยนแทนดวย
n! 1 2 3 4 n หรอ n! n (n 1) (n 2) 3 2 1 เราเรยก n! วา แฟคทอเรยล
โดย 0! = 1
1! = 1
2! = 2 1 = ………………………..……….
3! = 3 2 1 = ……………………….……….
4! = 4 3 2 1 = …………………...….……….
5! = 5 4 3 2 1 = ……………..…………….
6! = …………………………. = …………………….
(18) จงหาคาตอไปน
1. 6!
4! 2. 7!
2!5!
3. (n 1)!
(n 1)!
4.
2(n!)
(n 1)!(n 1)!
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
11
(19) จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟคทอเรยล
1. 9 8 7 6 2. 11 10 9 8 7
3. n(n 1)(n 2)(n 3) 4. 2 2 2n(n 1)(n 4)(n 9)
(20) จงหาคา n จากสมการตอไปน
1. (n 1)!
(n 2)!
= 1320
2. (2 n)!
(n 10)!10!
= (2 n)!
(n 7)!7!
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
12
(21) จงหาคา n จากสมการตอไปน
1. 6!(n 1)! = 8!(n 3)! 2. 4!(n 1)!
(n 1)!
= 6!
3) 6!(n 1)!
(n 2)(n 1)!
= 3!
4) 8! n!
(n 10)! = 10!n!
(n 8)!
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
13
Worksheet 2 แฟคทอเรยล
1. จงหาคาตอไปน
1. 4!0! = ……………………………………………… 2. 10!
9! = ………………………………..………………
3. 8!
5! 3! = ……………………………………………… 4. 10!
6! 4! = ………………………………………………
5. 13!
10! 4! = ……………………………………………… 6. 7!
2!5! = …………………………….…………………
7. 13!
10! 6! = ……………………………………………… 8. 12!
6! 6! = ………………………………………………
2. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปแฟคทอเรยล
1. 7 8 9 10 = …………………………..……….. 2. n(n 1)(n 2)(n 3) = ………………………..
3. n(n 1)(n 2) (n 8) = …………………… 4. 60 59 58 = ………………………………………
5. 2 4 4n (n 1)(n 4) = …………………………..……………………………………..…………………………….……
3. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปไมมแฟคทอเรยล
1. n!
(n 1)! 2. n!(n 1)!
(n 1)!(n 2)!
3. (3n)!
(3n 2)! 4. (n 1)!(n 1)!
2(n 3)!(n 2)!
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
14
4. จงหาคา n จากสมการตอไปน
1. n(n 1)!
(n 1)!
= 6n 2. 2n!
5! = (n 3)!
3. 5!n!
(n 4)! = 30n!
(n 5)!
4. (25)4!(n 1)(n 2)!
n 3
= 7!(n 3)!
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
15
3. วธเรยงสบเปลยน
วธเรยงสบเปลยน เปนวธการทน าสงของจ านวนหนงมาจดเรยง โดยทการจดเรยงดงกลาวใหค านงถง
ต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ โดยเราจะศกษาวธเรยงสบเปลยนใน 2 ลกษณะ คอ
1. วธเรยงสบเปลยนเชงเสน
2. วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม
หมายถง การจดเรยงสงของโดยมลกษณะเปนแถว โดยสามารถก าหนดต าแหนงหวแถวและทายแถวได
จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด n สงเทากบ n! วธ
(22) เดกชาย 3 คน ยนลงเลอยทเกาอ 3 ตว จะมกวธทจะจดเดกเขานงประจ าเกาอไดกวธ
(23) มชาย 4 คน หญง 3 คน นงบนมานง 7 ตว ซงวางเรยงเปนแถวยาว จะมวธนงของคนทง 7 คนไดกวธ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ชายและหญงนงสลบทกนทละคน
(24) ถาน าเลขโดด 1,2,3 และ 4 มาจดเรยงเปนจ านวนทม 4 หลกโดยแตละหลกไมซ ากน จะจดไดทงหมดกวธ
(25) จงหาจ านวนวธในการจดล าดบตวอกษรจากค าวา “also”
วธเรยงสบเปลยนเชงเสน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
16
การหางานของการจดสงของทตองการยนตดกน
ขนท 1 มดสงของทตองการอยดวยกนใหถอเปนของ 1 สงแลวน าไปรวมกบสงของอนๆแลวน าไปจดเรยง
ขนท 2 ท าการจดเรยงภายในสงของทมดไว (ทตดกน)
(26) สามภรรยาคหนง พรอมดวยลก 4 คนมายนเรยงแถวยาวเพอถายรป
จะมวธจดใหยนทงหมดกวธเพอ
1. ไมมเงอนไข 2. พอและแมยนตดกน 3. พอและแมยนรมทง2ดาน
(27) มนกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน ยนถายรปหมเปนแถวตรง 1 แถว จงหา
จ านวนวธในการยนถายรป เมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ครยนอยรมแถว 3. นกเรยนหญงยนตดกน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
17
(28) มผชาย 4 คน หญง 3 คน มานงบนบนมานงแถวยาว จะมวธนงไดทงหมดกวธ เมอ
1. เพศเดยวกนนงตดกน 2. ชายทง 4 คนนงตดกน
3. หญงทง 3 คนนงตดกน 4. ชายและหญงนงสลบทกน
(29) มนกเรยน 6 คน และนกเรยนหญง 6 คนมายนเรยงแถวยาว จงหาจ านวนวธทจะจดใหนกเรยนยนแถวตรง
ทงหมด เมอ
1. ไมมเงอนไข 2) เพศเดยวกนยนตดกน 3. ชายและหญงยนสลบทกนทละคน
4. ชายและหญงยนสลบทกนทละ 2 คน 5. ชายและหญงยนสลบทกนทละ 3 คน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
18
(30) ในการจดเรยงหนงสอในแนวเสนตรง โดยมหนงสอวทยาศาสตร 3 เลมทแตกตางกน
คณตศาสตร 3 เลมทแตกตางกน ภาษาองกฤษ 2 เลมทแตกตางกน ภาษาไทย 1 เลม จะมวธการจดเรยงทงหมดกวธ
1. หนงสอหมวดเดยวกนอยตดกน
2 หนงสอหมวดคณตศาสตรอยตดกน หมวดวทยาศาสตรอยตดกน
3. หนงสอหมวดคณตศาสตรอยตดกน หมวดองกฤษอยตดกน
4. ใหหนงสอหมวดคณตศาสตรเทานนอยตดกน
5. ใหหนงสอหมวดองกฤษเทานนอยตดกน
6. ใหหนงสอหมวดองกฤษเทานนอยตดกนและอยรมสด
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
19
การหางานของการจดสงของทไมตองการยนตดกน
ขนท 1 ใหเกบสงของทไมตองการตดกนไวกอนแลวน าทเหลอมาจดเรยง
ขนท 2 หาต าแหนงใหกบสงของทไมตองการตดกนลง แลวท าการจดเรยงสงของ
(31) มผชาย 5 คน และผหญง 4 คน มายนเรยงแถวยาว จะมวธการยนทงหมดกวธเมอ
1. ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน 2. ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกน
(32) สามภรรยาคหนงมบตรชาย 2 คน และบตรสาว 3 คน ถาใหทงหมดมายนเรยงแถวยาว
จะมวธการยนกวธเมอ
1. บตรชายยนตดกน และบตรสาวยนแยกกนหมด
2. บตรสาวยนตดกน แตบตรชายยนแยกกนหมด
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
20
ทฤษฎบท ในการจดสงของ n สง ทแตกตางกนทงหมด โดยจดครงละ r สง (r n )
จะจดไดทงหมด n!
(n r)! วธ
อาจใชสญลกษณ nrP หรอ n,rP แทนจ านวนวธในการจดเรยงล าดบสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด
โดยจดครงละ r สง ดงน n,rP = n!
(n r)!
(33) จงหาคา n จากขอตอไปน
1. 7,5P 2. 6,2P
3. n,4P = n,22 P
(34) การเลอกตงสมาชกเพอด ารงต าแหนงสโมสรรวม 3 ต าแหนงคอ ประธาน รองประธานและเลขานการ ในการ
สมครครงนมผสมครเขารบเลอกตงต าแหนง 10 คน จงหาจ านวนวธทผสมครเหลานจะไดรบเลอกตง
วธท า
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
21
(35) ในการจบฉลากชงรางวล 2 รางวลเนองในโอกาสวนปใหมของนกเรยนหองหนงจ านวน 30 คน ไดท าสลากขน 30
ใบ แตละใบมชอนกเรยนแตละคน จากนนใหคณครประจ าชนจบสลากน 2 ครง ครงละใบ ผมชอในฉลากใบแรกและใบ
ทสอง จะไดรบรางวลท 1 และท 2 ตามล าดบ จงหาจ านวนวธทงหมดทนกเรยนเหลานจะไดรบรางวล
วธท า
(36) ตองการสรางจ านวนทม 4 หลก จากเลขโดด 1,2,3,…,9 โดยทแตละหลกไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกจ านวน
เมอ 1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. หลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค
3. แตละหลกสลบเลขคและเลขค
(37) ตองการสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซ ากน โดยเลอกมาจากค าวา ENTRANCE จะสรางได
ทงหมดกค า โดยค าทสรางขนมาไมจ าเปนตองมความหมายกได เมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. อกษรตวแรกเปนสระ และอกษรตวสดทายเปนพยญชนะ
3. มสระอยางนอย 1 ตว
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
22
(38) มเกาอทงหมด 8 ตวเรยงเปนแถวยาว มคนทงหมด 4 คนคอ นาย ก. นาย ข. นาย ค. และนาย ง
ตองการนงบนเกาอ จงหาจ านวนวธในการนง เมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. คนทง 4 คน ตองนงตดกน
3. นาย ก. นงเกาอตวแรก และนาย ข. นงเกาอตวสดทาย
การเรยงสบเปลยนสงของ n สงทไมแตกตางกนทงหมด(มบางสงซ ากน)
d = 1 2 k
n!
n ! n !...n !
(39) ตวอกษรในค าวา SUCCESS จะมวธเรยงสบเปลยนเปนค าตางๆ ทไมจ าเปนตองมความหมายไดทงหมดกวธ
(40) ตวอกษรในค าวา LOVELYPOO จะมวธเรยงสบเปลยนเปนค าตางๆ ทงหมดกวธ เมอ
1. อกษรทไมซ ากนอยตดกน 2. อกษรทซ ากนในกลมเดยวกนอยตดกน
(41) มตวเลข 7 ตว ดงน 1,1,2,2,2,3,4 ถาน าตวเลขทกตวมาจดเรยงเปนจ านวนทม 7 หลก จะสรางไดกวธ เมอ
1. ไมมเงอนไข 2. มคามากกวา 2 ลาน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
23
(42) นกเรยนกลมหนง 12 คน เปนนกเรยนชาย 7 คนและนกเรยนหญง 5 คน โดยทนกเรยนแตละคนมความสง
เทากน ถาตองการใหนกเรยนทงหมดมาเขาแถวหนากระดานเรยงหนง จะมวธการยนเขาแถวกวธ เมอตองการให
ถามองจากหวแถวไปยงหางแถวแลวจะพบวา
1. นกเรยนยนเรยงตามล าดบความสง
2. นกเรยนชายยนเรยงล าดบจากสงไปหาต า
3. นกเรยนชายยนตดกนทง 7 คนและยนเรยงตามล าดบความสงและนกเรยนหญงยนเรยงล าดบจากสงไปหาต า
(43) พยาบาลผหนงมหนาทเรยกคนไขเขาตรวจรกษาทละคน ถามคนไขทงหมด 7 คน ในจ านวนนม แดน บม บก
และป รวมอยดวย พยาบาลผนจะมวธเรยกคนไขเขาตรวจจนครบ 7 คน ทงหมดกวธ เมอ
1. แดน ไดเขาตรวจกอนบม และนายบมไดเขาตรวจกอนบก
2. แดน ไดเขาตรวจกอนบม และนายบกไดเขาตรวจกอนป
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
24
วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแตกตางไปจากวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน โดยทการจดเรยงแบบวงกลม
จะไมสามารถระบต าแหนงหวแถวหรอทายแถวได เชน การจดคนนงรอบโตะกลม การรอยพวงมาลยเปนวงกลม
วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม สามารถแยกออกไดเปน 2 ประเภท
1) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได เชน การจดคนยนเปนวงกลม จดคนนงรอบโตะกลม
จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได คอ (n 1)! วธ
2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกได ไดแก การรอยพวงมาลยแบบวงกลม
ถามสงของทแตกตางกน n สง จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมทพลกไดเทากบ (n 1)!
2
วธ
(44) จงหาจ านวนวธการนงของคน 5 คน รอบโตะกลมซงม 5 ทนง
(45) มมสแกรนด 2 คน และมสทฟฟาน 4 คน มายนเรยงกนเปนวงกลม จะยนไดกวธ เมอ
1. ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2. มสแกรนด 2 คน ยนตดกนเสมอ
3. มสแกรนด 2 คน ยนแยกจากกนเสมอ 4. มสแกรนด 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ
วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
25
(46) มคน 8 คน ในจ านวนนม Boy Nong และ Pat รวมอยดวย ถาใหทงหมดนงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธนงกวธ
เมอ 1. Boy Nong และ Pat นงตดกนเสมอ
2. Boy Nong และ Pat นงแยกจากกนเสมอ
3. Boy นงตดกน Nong แตไมตดกน Pat
(47) มนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 4 คน โดยมนายกอไผและนางสาวกอบว รวมอยดวยจะจดเรยงแบบ
วงกลมไดทงหมดไดกวธ เมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. นายกอไผและนางสาวกอบว ยนตดกน
3. ชายและหญงสลบทกนทละคน 4. ชายและหญงสลบทกนทละ 2 คน
(48) นองตอย ทาส 5 ส บนสเหลยมลกบาศกหนาเกลยงทกหนา หนาละส โดยทไมใหหนาททาสเดยวกนอยตดกน
จะมวธการทาสทงหมดกวธ
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
26
(49) นองพลอยรอยพวงมาลยเปนวงกลมดวยดอกไม 9 ดอก แตละดอกแตกตางกน
โดยทดอกไมมสขาว 2 ดอก สแดง 3 ดอกทเหลอมสไมซ ากน อยากทราบวา จะไดพวงมาลยทแตกตางกนกวธ เมอ
1. ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2. สขาวอยตดกนและสแดงอยตดกน
(50) มดอกไม 8 ดอกทแตกตาง มสขาว 4 ดอก สชมพ 4 ดอก น ามารอยพวงมาลยไดกวธ ทแตกตาง เมอมเงอนไขดงน
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ใหสขาวสลบทกบสชมพ
3. ใหสขาวอยตดกนและสชมพอยตดกน
(51) มคนทงหมด 5 คน จดใหนงรอบโตะกลม จะจดไดกวธเมอ
1. จดทละ 3 คน 2. จดทละ 4 คน 3. จดทละ 5 คน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
27
โจทยแบบอยางนอย
โจทยลกษณะนจ าเปนตองแบงเปนกรณซงบางครงอาจจะแบงไดหลายกรณมาก และเสยเวลาในการคด
ลองมาพจารณางานทอยตรงขามกบโจทยตองการถางานทอยตรงขามนนหาไดงายกวากจะใชหลกการคลายๆ กบ
เรองเซตเขามาชวยแกโดยท
n(E) = n(U) n(E ) หรอเรยกวา
n (งานทโจทยตองการ) = n (งานทงหมด) - n (งานทตรงขามกบโจทย)
(52) ในการสรางเลข 4 หลกจากเลข 2,4,5,6,7,8 จะสรางเลขสหลกทมการใชเลขซ ากนอยางนอย 2 หลกไดกจ านวน
(53) มโรงแรม 6 แหง อยากทราบวานกทองเทยว 4 คน จะเลอกพกโรงแรมดงกลาวโดยมนกทองเทยวอยางนอย 2 คน
พกโรงแรมเดยวกน
(54) ครอบครวหนงยายมาจากตางจงหวด มบตร 4 คนทตองการเขาโรงเรยน ถามโรงเรยนทบตรทงสคนจะเขาได
5 โรงเรยน จะมวธการเลอกเขาโรงเรยนไดกวธ ถามบตรอยางนอย 2 คนอยโรงเรยนเดยวกน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
28
Worksheet 3 การเรยงสบเปลยน
ค าชแจง : แสดงวธท าลงสมด พรอมลอกโจทย
การสบเปลยนเชงเสน
1. จงหาจ านวนค าทเกดจากการสลบทของตวอกษร ของค าวา HISTORY มทงหมดกค า เมอ
1. ไมมเงอนไข 2. พยญชนะทกตวอยตดกน
3. ไมมสระตวใดอยตดกน
2. มหนงสอแตกตางกน 7 เลม ประกอบดวยคณตศาสตร 3 เลม จงหาจ านวนวธในการจดเรยงหนงสอแบบแถวยาว
แถวเดยว เมอ
1. ไมมเงอนไข 2 หนงสอคณตศาสตรตองอยตดกน
3. หนงสอคณตศาสตรตองแยกกนทง 3 เลม 4. หนงสอคณตศาสตรอยหวแถวทายแถว
3. คร 1 คน นกเรยนชาย 4 คนและนกเรยนหญง 4 คน ยนถายรปหมเปนแถวยาวแถวเดยว จงหาจ านวนวธใน
การยนตามเงอนไข ตอไปน
1. ไมมเงอนไข 2. ครยนตรงกลาง
3. นกเรยนชายยนตดกนทงหมด 4. นกเรยนชายยนแยกกน
5. นกเรยนชายและนกเรยนหญง ยนสลบทกนละ 1 คน
6. ครอยหวแถวและนกเรยนหญงอยหวแถว
7. นกเรยนหญงยนแยกกน
8. ครยนอยรมและนกเรยนชายยนตดกน
4. จงหาจ านวนค าจากการสลบทตวอกษรของค าวา “Teacheraward” โดยใหตวอกษรทซ ากนอยตดกนเมอ
1. ไมมเงอนไข 2. ขนตนดวยสระ
3. ขนตนดวยพยญชนะ 4. พยญชนะอยตดกน
5. อกษรทซ ากนอยรม
5. มนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 3 คน นงบนเกาอยาวแถวเดยว 8 ตว จงหาจ านวนวธในการนงทแตกตางกน
ทงหมด เมอ
1. ไมมเงอนไข 2. ชายนงตดกนและหญงนงตดกน
3. ไมมชายคนใดนงตดกน 4. ชายนงสลบทกบหญง
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
29
6. มนกเรยนกลมหนงมจ านวน 6 คน ตองการใหนกเรยนทง 6 คน นงเกาอแถวยาวแถวเดยว อยางนอย 1 คน จะ
มวธการนงทแตกตางกวธ
7. ตองการสรางค าใดกไดจากค าวา “Politician” จะสรางไดทงหมดกค า เมอ
1. ไมมเงอนไข 2. อกษรตว i อยตดกนหมด
3. อกษรตว i อยรม 4. อกษรตว i อยแยกกนหมด
8. มหนงสอทแตกตางกนทงหมด 5 วชา ในแตละวชาม 2 เลมทเหมอนกน ถาตองการจดหนงสอ เปนแถวยาวแถว
เดยว จะจดไดกวธ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน
3. หนงสอทอยรมทง 2 ดาน เปนวชาเดยวกน
9. จงหาจ านวนวธในการสรางตวเลข 5 หลก จากเลขโดด 5 ตว ดงน 0,1,2,3,4 จะสรางไดกจ านวนโดยหามใช
เลขซ ากน เมอ
1. จ านวนทสรางมคามากกวา 10,000
2. จ านวนทสรางมคามากกวา 10,000 และเปนจ านวนค
การสบเปลยนแบบวงกลม
10. มนกเรยนชาย 4 คน และหญง 2 คน มายนรอบเสาธงเปนวงกลม จงหาจ านวนวธในการยนทงหมด เมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ชายยนตดกน
3. หญงยนตดกน 4. ผหญง 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ
11. มนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 3 คน จงหาจ านวนวธทจะจดนกเรยนทง 7 คน ยนเปนวงกลม จะจด
ไดทงหมดกวธ
1. ชายยนตดกนหมด 2. นกเรยนหญงยนตดกน
12. คณะกรรมการผใหญบานจ านวน 4 คน พรอมภรรยาไดรวมกนรบประทานอาหารรอบโตะกลม จงหาจ านวน
วธในการจดนง เมอ
1. ประธานตองนงในต าแหนงทก าหนดไว
2. ประธานตองนงในต าแหนงทก าหนดไว และภรรยาของประธานตองนงตดกบประธาน
3. สาม ภรรยาแตละคตองนงตดกน
4. เพศเดยวกนนงตดกน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
30
13. มลกปดสจ านวน 10 ลก ลกละ 1 ส ถาน าลกปดทงหมดมารอยเปนก าไรขอมอ จะไดก าไรทแตกตางกนกวง
เมอ 1. ไมมเงอนไข 2. สด าและสขาวอยตดกน
3. สน าเงนไมตดกบสเหลอง
14. มนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 6 คน น านกเรยนทงหมดมายนเปนวงกลม จงหาจ านวนวธในการยน
ของนกเรยนทง 12 คน เมอ
1. ชายสลบทกบหญงทละ 1 คน 2. ชายสลบทกบหญงทละ 2 คน
3. ชายสลบทกบหญงทละ 3 คน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
31
4. วธการจดหม
A = {1,2,3,4}
B = {2,1,3,4}
C = {4,1,2,3}
D = {3,4,1,2}
เซต A,B,C และ D ดงกลาวเปนเซตทเทากน เพราะไมไดค านงถงต าแหนงเปนส าคญ ซงลกษณะของ
วธการจดหมกไมไดค านงถงต าแหนงเชนกน โดยวธการจดหมจะไมมการจดเรยง
ท าใหไดวาการเลอกหรอการจดหมสงของครงละ r สง จากสงของทแตกตางกน n สง
แทนดวยสญลกษณ
n
r
หรอ nrC หรอ n rC หรอ n,rC = n!
r!(n r)!
(55) จงหาคาตอไปน
1. 5,2C 2. 10
8
3. 10
10
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
32
(56) จงหาคา n จากสมการตอไปน
1. n,n 1C = 20 2. n,n 2C = 45
3. n 1,n 3C = 36 4. n 1,nC = 100
(57) จงหาคา n จากสมการตอไปน
1. n ,12C = n ,4C 2. n ,12C = n ,10C
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
33
(58) สมพรมเสอทแตกตางกน 10 ตว เขาตองการน าเสอไปเทยวจ านวน 4 ตว จะมวธจดเสอไปเทยวไดทงหมดกวธ
(59) มนกเรยนทงหมด 12 คน เปนนกเรยนชาย 8 คน และนกเรยนหญง 4 คน จงหาจ านวนวธในการเลอก
กรรมการจ านวน 5 คน จากคนทงหมด 12 คน โดยมเงอนไขตอไปน
1) ไมมเงอนไข
2) เปนนกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 2 คน
3) กรรมการตองเปนชายอยางนอย 1 คน
(60) บนเสนรอบวงวงกลมหนงมจดคงท 8 จด จงหา
1) จ านวนเสนตรงทลากเชอมระหวางจดสองจด
2) จ านวนรปสามเหลยมทมจดเหลานเปนจดยอดมมของรปสามเหลยมทง 3 มม
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
34
(61) มนกเรยนทงหมด 10 คน เปนชาย 6 คน และหญง 4 คน ถาตองการเลอกตวแทนจากคนกลมนมา 4 คน
จงหาจ านวนวธในการเลอกตวแทนทงหมด เมอ
1. ไมมเงอนไข 2. ไดจ านวนผชายมากกวาจ านวนผหญง (มทงชายและหญง)
3. ไดจ านวนผชายเทากบจ านวนผหญง 4. ไดทงผชายและผหญง
(62) นกเรยนหองหนงม 15 คน เปนนกเรยนชาย 10 คน หญง 5 คน แบงนกเรยนออกเปน 3 กลม เพอท างาน
ตามใบงานท 1, 2 และ 3 โดยทใบงานชนท 1 ตองการชาย 8 คน ใบงานชนท 2 ตองการหญง 2 คน
และใบงานชนท 3 ตองการ 5 คน จงหาจ านวนวธทจะแบงนกเรยนไปท างาน 3 ชนงานน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
35
(63) ตองการสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษรทไมซ ากน 4 ตว และไมจ าเปนตองมความหมายจากค าวา
“Published” จะสรางไดกค า เมอ
1) มพยญชนะ 2 ตว และสระ 2 ตว
2) มทงพยญชนะและสระ
3) มจ านวนพยญชนะและสระเทากนและใหสระอยตดกน
4) มทงพยญชนะและสระ โดยใหสระอยหวและทาย
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
36
Worksheet 4 การจดหม
ค าชแจง : แสดงวธท าลงสมด พรอมลอกโจทย
1. จงหาคา n จากสมการตอไปน
1. n,3C = 50,47C 2. n,7C = n,5C
3. n,3P = n,43C 4. n 2,3
n,2
C
C
= 4
2. ในการแขงขนฟตบอลซงประกอบดวยทมทงหมด 7 ทม จะจดใหทกทมแขงขนแบบพบกนหมด จงหา
1. แตละทมตองแขงขนกบทมอนๆกครง
2. มการแขงขนทงหมดกครง
3. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก ประกอบดวยสแดง 4 ลก สขาว 3 ลก และสเหลอง 3 ลก ถาหยบลกบอล 3 ลก
จากกลองน จงหาจ านวนวธท
1. ไดลกบอลสแดง 1 ลก 2. ไดลกบอลสขาวอยางนอย 1 ลก
4. ขอสอบวชาฟสกสชดหนงม 8 ขอ นายมารโอตองท าขอสอบ 5 ขอจาก 8 ขอ นายมารโอ จะมวธในการเลอกท า
ขอสอบกวธ เมอ
1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. มารโอตองท าขอ 1 และขอ 2
5. ไพส ารบหนงม 52 ใบ แบงเปน 4 ชด ชดละ 13 ใบ คอชดโพแดง ดอกจก โพด าและขาวหลามตด จงหาจ านวน
วธในการหยบไพจากเงอนไขตอไปน
1. 3 ใบ 2. 13 ใบ
3. 5 ใบโดยตองเปนโพแดงทงหมด 4. หยบไพ 4 ใบใหครบชด
5. 10 ใบโดยเปนโพแดง 3 ใบ โพด า 2 ใบและขาวหลามตด 5 ใบ
6. ตองการน าตวอกษรจากค าวา “Summarize” มาสรางเปนค าใหมประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว โดยไม
จ าเปนตองมความหมาย โดยมเงอนไขตอไปน
1. ไมมเงอนไข 2. มพยญชนะอยางนอย 1 ตว
3. มพยญชนะ 2 ตวและสระอยตดกน 4. มพยญชนะสลบทกบสระ
7. มสาม-ภรรยาจ านวน 4 ค ถาตองการน า 6 คนมานงรอบโตะกลม จะจดไดกวธเมอ
1. ไมมเงอนไข 2. ชายและหญง นงสลบทกน
3. ตองเปนสาม ภรรยากนทง 3 คและแตละคตองนงตดกน
วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน
37
เอกสารอางอง
พพฒนพงศ ศรวศร.
คมอคณตศาสตรพนฐาน ม. 4-6 เลม 2. - - กรงเทพฯ : เดอะบคส, 2553. 244 หนา.
กนกวล อษณกรกล.
แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนร คณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 2. - -
กรงเทพฯ : เดอะบคส, 2553. 172 หนา