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S i m u l a c r o
1111. Sean aaaa y bbbb dos números enteros tales que aaaa > 0000 y bbbb = –aaaa. ¿Cuál(es) de las expresiones
siguientes es(son) menor(es) que bbbb?
I. ––––aaaa +
aaaa
bbbb
II. aaaa ++++ bbbb
III. aaaa
–––– 2222bbbb 2222
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
2222. Al multiplicar los dos tercios del cuadrado de 6666 por los tres octavos del cubo de 4444, se
obtiene
A) 12121212 B) 36363636
C) 48484848
D) 576576576576
E) 1111.296296296296
3333. Los números ganadores en un juego de azar fueron 8888; 9999; 17171717; 26262626; 30303030 y 34343434. En el sorteosiguiente, los números ganadores se formaron al sumar 2 a los pares y –3 a los impares
del sorteo anterior. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?
I. Hay sólo 2222 números impares en el nuevo sorteo. II. Los números del nuevo sorteo son todos pares.
III. En el nuevo sorteo hay 2222 números múltiplos de 7777.
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
2 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
4444. En el conjunto de los números enteros, en la operación resta, ¿cuál de las siguientes
propiedades se cumplen?
I. Clausura ((((si aaaa ∧ bbbb ∈ ZZZZ ⇒ ((((aaaa –––– bbbb)))) ∈ ZZZZ)))) II. Asociatividad ((((aaaa –––– [[[[bbbb –––– cccc]]]] ==== [[[[aaaa –––– bbbb]]]] –––– cccc))))
III. Conmutatividad ((((aaaa –––– bbbb ==== bbbb –––– aaaa))))
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
5. En la figura, la distancia entre los puntos P y S es 35 cm, entre Q y S es25 cm y entre P y R es 17 cm. ¿Cuál es la distancia entre Q y R?
A) 7777 cm B) 8888 cm
C) 9999 cm
D) 10101010 cm
E) 18181818 cm
PPPP QQQQ RRRR SSSS
6666. Dada la suma 0000,0000xxxx + 0000,0000xyxyxyxy
0000,124124124124 , ¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?
A) yyyy es el triple de xxxx B) xxxx es la mitad de yyyyC) xxxx es el triple de yyyyD) xxxx = yyyy + 2222
E) yyyy = xxxx + 2222
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 3
S i m u l a c r o
7777. Si la mitad de un medio se divide por un medio, resulta
A) 4444
B) 2222
C) 1111 2222
D) 11114444
E) 1111 8888
8888. Sean pppp > 3333 y mmmm < –2222, con pppp y mmmm números enteros. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes
es(son) siempre VERDADERA(S)?
I. pppp •••• mmmm < 0000 II. pppp –––– mmmm > 0000
III. pppp ++++ mmmm = 1111
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
9999. Si 1111 · 5555 1111
= 6666, entonces xxxx =xxxx
A) – 9999 8888
B) – 88889999
C) 8888 9999
D) 9999 8888
E) 18181818 5555
3333
4 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
10101010. Si cccc # bbbb = ccccbbbb – bbbb, entonces 2222 # –1111 vale
A) – 3333 2222
B) – 1111
C) –
11112222
D) 0000
E)
3333 2222
11111111. Al reducir la expresión 3333 ((((2222 + 3333 )))) ⋅ 3333 ((((2222 − 3333 )))) ésta es equivalente a
A) – 1111
B) 1111
C) 2222
D) 3333√√√√7777
E) 2222 · 3333√√√√3333
12121212. Si mmmm = –1111, entonces (–mmmm)3333 + 3333mmmm =
A) – 6666B) – 4444
C) – 2222
D) 0000
E) 4444
13131313. Al simplificar3333√√√√
8888 · 3333√√√√
88880,1250,1250,1250,125 ésta es igual a
A) – 10101010B) – 1111
C) 0000,1111
D) 1111
E) 10101010
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 5
S i m u l a c r o
14141414. ¿Cuál es el valor de 10101010xxxx5555 + 9999xxxx4444+ 8888xxxx3333 + 7777xxxx2222 + 6666xxxx + 5555, si xxxx toma valor –1111?
A) – 12121212B) – 3333
C) 13131313
D) 20202020
E) 45454545
1111 2222 15151515. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones se obtiene el conjunto 0000,,,, ,,,, cuando nnnn toma los
valores 1111, 2222 y 3333?
I. nnnn ---- 1111 2222nnnn
II. nnnn ---- 1111
nnnn2222
III. 1111
- 1111
4444
9999
nnnn nnnn2222
A) Sólo en I B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III
16161616. Determine el valor de xxxx en la siguiente expresión 2222xxxx ---- 6666
= 2222xxxx ---- 12121212
A) – 1111
B) – 3333 10101010
C) 0000
D) 3333 10101010
E) 1111
2222xxxx ---- 4444 2222xxxx ---- 8888
6 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
17171717. Sabiendo que aaaa ---- bbbb
= 2222, ¿cuál(es) de las expresiones es(son) igual(es) a cero?aaaa ++++ bbbb
I. aaaa + 3333bbbb
II. 3333 abababab + aaaa2222
III. abababab + 3333bbbb2222
A) Sólo I B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
18181818. ¿Cuál es el valor de xxxx en el siguiente sistema?
xxxx + yyyy + zzzz = 1111
xxxx − yyyy + zzzz = 1111
2222xxxx − 1111 + zzzz = 2222
A) – 1111
B) 2222 3333
C) 1111
D) 3333 2222
E) 2222
19191919. Si AAAA gana el doble de lo que gana BBBB y BBBB la mitad de lo que gana CCCC, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?
I. AAAA gana lo mismo que CCCC. II. AAAA y CCCC juntos ganan 4444 veces lo que gana BBBB.
III. BBBB gana la quinta parte de la suma de los tres sueldos.
A) Sólo I y II B) Sólo I y III
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 7
S i m u l a c r o
20202020. Si una ficha verde equivale a dos azules y 3333 verdes equivalen a 5555 blancas, ¿cuál es el menor
número de fichas blancas cuyo valor sobrepasa a la suma entre una ficha verde y una azul?
A) 2222B) 3333
C) 5555
D) 6666
E) 7777
21212121. Juan gana la mitad de lo que gana Diego. Cada uno deposita mensualmente el 25252525% de su
sueldo para comprar casa. Si entre los dos ganan $6666tttt mensualmente, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?
I. En conjunto, en un año depositan $ 18181818tttt. II. En 8888 meses Diego ha depositado $ 8888tttt. III. En un año Juan ha depositado $ 6666tttt.
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
22222222. Si el 75757575% de 0000,025025025025 es igual a (pppp · 10101010–3333), entonces el valor de pppp es:
A) 0,18750,18750,18750,1875B) 1,8751,8751,8751,875
C) 18,7518,7518,7518,75
D) 187,5187,5187,5187,5
E) 1875187518751875
23232323. El 20202020% de 500500500500 es equivalente al
A) 10101010% de 10.00010.00010.00010.000 B) 200200200200% de 5.0005.0005.0005.000
C) 50505050% de 200200200200
D) 25252525% de 4.0004.0004.0004.000
E) 100100100100% de 10101010
8 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5 24242424. En un curso de 36363636 alumnos, la mitad son hombres, la sexta parte de las mujeres son altas y
la tercera parte de los hombres son bajos. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)
VERDADERA(S)?.
I. Hay exactamente 12121212 hombres que no son bajos.
II. Hay exactamente 3333 mujeres que son altas.
III. Hay exactamente 12121212 mujeres que no son altas.
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
25252525. Si se sabe que aaaa
= <bbbb
= cccc
= kkkk, con kkkk un número real, tal que a,a,a,a, bbbb,,,, c,c,c,c, d,d,d,d, e,e,e,e, ffff son númerosdddd eeee ffff
naturales, entonces siempre se cumple(n)
I. aaaa ++++ bbbb ++++ cccc dddd ++++ eeee ++++ ffff
II. aaaa ++++ bbbb ++++ cccc aaaa ++++ bbbb aaaa dddd ++++ eeee ++++ ffff dddd ++++ eeee dddd
III. aaaa ++++ bbbb
= bbbb ++++ cccc
dddd ++++ eeee eeee ++++ ffff
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
26262626. Para un picnic hay comida suficiente para alimentar a 20202020 adultos o bien para alimentar a 32323232niños. Si al picnic asisten 15151515 adultos, ¿cuál es el número máximo de niños que podrían asistir
para los cuales habría comida?
A) 5555 B) 8888
C) 20202020
D) 24242424
E) 27272727
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 9
S i m u l a c r o
27272727. Raúl y Pedro deben tomar cada uno de ellos tres y media tabletas del mismo medicamento diariamente, el que se vende sólo en cajas que contienen 3333 tabletas cada una. Si Raúl debe
tomar el medicamento durante 12121212 días y Pedro durante 6666 días, ¿cuántas cajas consumieron
en total entre ambos?
A) 18181818 B) 19191919
C) 21212121
D) 27272727
E) 31313131,5555
28282828. Determine el intervalo solución de la siguiente inecuación –3333xxxx + 1111 < 7777
A) ]–2222, +∞[
B) ]–∞, 2222[
C) −∞,,,,
8888
3333
D) −∞,,,, −
8888
3333
E)
8888 8888 − ,,,, 3333 3333
29292929. Si gggg(xxxx) = xxxx – 2222 y hhhh(xxxx) = xxxx2222 –2222xxxx + 2222, entonces gggg (hhhh(xxxx)) es
A) xxxx3333
B) xxxx2222
C) xxxx(xxxx – 2222)
D) xxxx2222 + 2222xxxxE) xxxx2222 – 2222
10 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
30303030. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función ffff(xxxx)?
I)yyyy
xxxx
II)yyyy
xxxx
III)yyyy
xxxx
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
31313131. Sea ffff(xxxx) = axaxaxax + 5555; si xxxx = 8,8,8,8, entonces ffff(xxxx) = 0000. El valor de ffff(5555) es
A) 0000
B) 15151515 8888
C) 5555
D) 8888
E) 65656565 8888
32323232. Dada una ecuación cuadrática cuyo discriminante es uno, entonces se puede determinar
que
A) no tiene raíces reales. B) tiene dos raíces reales y distintas.
C) tiene dos raíces reales e iguales.
D) tiene sólo una raíz real.
E) las dos raíces siempre son positivas.
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 11
S i m u l a c r o
33333333. Si 33332222aaaa ++++ 9999
= 10101010, ¿cuáles son los valores de aaaa que satisfacen la ecuación? 3333aaaa
A) 3333 y 2222 B) 2222 y –1111
C) 1111 y 0000
D) 0000 y –1111
E) 2222 y 0000
34343434. Dada la parábola: yyyy = xxxx2222 – 4444xxxx + 3333, ¿en qué puntos intersecta el eje xxxx?
A) ( –1111, 0000) y ( –3333, 0000)
B) ( 0000, 1111) y ( 0000, 3333)
C) ( –1111, 0000) y ( 3333, 0000)
D) ( 1111, 0000) y ( 3333, 0000)
E) ( 0000, –1111) y ( 0000, –3333)
35353535. Si xxxx = bbbb, entonces log aaaaxxxx––––bbbb + loglogloglog bbbbbbbb––––xxxx + loglogloglog xxxx2222 – loglogloglog bbbb2222 es igual a
A) xxxx ++++ bbbb B) 0000
C) 1111
D) aaaa –––– bbbb
E) Ninguna de ellas
36363636. Determine el valor de xxxx en la siguiente expresión loglogloglog aaaa((((xxxx – 1)1)1)1) = loglogloglog bbbb2222xxxx
A) loglogloglog aaaa − 2222 loglogloglog bbbb
B) (2222 loglogloglog bbbb ----1111
C)
2222 loglogloglog bbbb ---- loglogloglog aaaa loglogloglog aaaa
D) ( loglogloglog aaaa ---- 2222 loglogloglog bbbb ----1111
E) 2222 loglogloglog aaaa · loglogloglog bbbb
12 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
37373737. Si (2(2(2(2----5555))))xxxx ==== 88884444xxxx+3+3+3+3, ¿cuál es el valor de xxxx que satisface la ecuación?
A) – 9999 17171717
B) –9999
C) 17171717
D) 9999 17171717
E) 9999 8888
<444430303030 (<4444----xxxx ) ==== 4444 ···· 16161616 es 38383838. El producto de las raíces de 1111 ·
1111 xxxx2222
A) –35353535
B) – √35√35√35√35
C) ± √35√35√35√35
D) √35√35√35√35
E) 35353535
39393939. El perímetro de un triángulo equilátero es (cccc – 6666) cm. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado
cuyo lado es igual al lado del triángulo?
A) (4444cccc – 6666) cm
3333 – 2222) cm
3333 – 8888) cm
3333 – 6666) cm
3333 – 24242424)cm
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 13
S i m u l a c r o
40404040. En la figura: ∆ ABCABCABCABC es equilátero y DBCDBCDBCDBC es un triángulo rectángulo en CCCC. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?
I. 2222ABABABAB ==== DADADADA ++++ ACACACAC
II. ∆ DACDACDACDAC es isósceles 2222 2222 2222
CCCC
III. DCDCDCDC ==== DBDBDBDB ++++ BCBCBCBC
A) Sólo I y II B) Sólo I y III
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
DDDD AAAA BBBB
41414141. En el triángulo ABCABCABCABC de la figura, γ = 2222β, β = 2222α, γ = 40404040° y ε = 70707070°. ¿Cuál(es) de las
afirmaciones siguientes es(son) VERDADERA(S)?
I. ∆ ABCABCABCABC es isósceles II. ∠ xxxx = 110110110110°
III. ∆ ABDABDABDABD es isóscelesCCCC
ε
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
xxxx
AAAA
αβ
γ
DDDD
BBBB
42424242. Los triángulos PQRPQRPQRPQR y STUSTUSTUSTU de la figura son congruentes. Si PPPPQQQQ = QQQQRRRR = 5555 cm y TWTWTWTW = 4444 cm,
¿cuánto mide PRPRPRPR ?
A) 2222 cm
B) 3333 cm
C) 4444 cm
D) 5555 cm
RRRR
β
α
WWWW
UUUU
β
αE) 6666 cm PPPP QQQQ SSSS TTTT
14 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5 43434343. En el triángulo ABCABCABCABC de la figura, α + β = δ y α = 2222β, entonces los ángulos miden
α β δ A) 60606060° 30303030° 90909090°
B) 90909090° 60606060° 30303030°
C) 30303030° 60606060° 90909090°
D) 45454545° 45454545° 90909090° α
CCCC
δ
βE) 120120120120° 60606060° 180180180180°
AAAA BBBB
44444444. El número total de diagonales en un polígono de 8888 lados es
A) 6666 B) 10101010
C) 15151515
D) 19191919
E) 20202020
45454545. En la figura, LLLL es una recta, xxxx° + yyyy° = 130130130130°, zzzz° + vvvv° = 80808080° y zzzz°
es el suplemento de wwwwº.Entonces el valor de xxxx° es
A) 10101010°
2222
x°x°x°x° LLLL
B) 20202020° w°w°w°w°
C) 30303030°
D) 60606060°
E) no se puede determinar, falta información
y°y°y°y°
v°v°v°v° z°z°z°z°
46464646. En la figura ABABABAB = √3√3√3√3 m. Si sensensensen α = coscoscoscos β = 1111 , ¿cuánto mide DCDCDCDC ?2222 DDDD
A) 0000,5555 m
B) <√3√3√3√3 2222
m
C) 1,51,51,51,5 m D) √3√3√3√3 m
E) 3333 m
AAAAα β
BBBB CCCC
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 15
S i m u l a c r o
47474747. Si el perímetro de un rectángulo de lados aaaa y aaaa
es igual al perímetro de un cuadrado de
lado bbbb, entonces bbbb mide
A) 3333aaaa 2222
2222
B) aaaa
C) 3333aaaa4444
D) aaaa 2222
E) aaaa 4444
48484848. Si el perímetro de un rectángulo es 36363636 cm y el área se mantiene igual al aumentar el ancho en
2222 cm y disminuir el largo en 3333 cm, entonces el área es
A) 36363636 cm2222
B) 49494949 cm2222
C) 72727272 cm2222
D) 90909090 cm2222
E) 324324324324 cm2222
49494949. ¿Cuánto mide la altura CECECECE del trapecio isósceles AAAABBBBCCCCDDDD si DCDCDCDC ==== 4444 cm, ACACACAC ==== 11110000 cm y
ABABABAB ==== 11112222 cm?
A) 4444 cm
B) 4444√3√3√3√3 cm
C) 6666 cm
DDDD CCCC
D) 6666√3√3√3√3 cm
E) 8888 cm
AAAA BBBB EEEE
50505050. En el sistema de ejes coordenados de la figura, el área sombreada mide
A) 72727272 pppp2222
B) 38383838 pppp2222
C) 36363636 pppp2222
D) 32323232 pppp2222
E) 28282828 pppp2222
8p8p8p8p
6p6p6p6p
4p4p4p4p
2p2p2p2p
2p2p2p2p 4p4p4p4p 6p6p6p6p 8p8p8p8p 10p10p10p10p
16 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
51515151. En el cuadrado ABCDABCDABCDABCD de lado aaaa, sus diagonales se intersectan en MMMM. Si MEMEMEME = mmmm, ¿cuál de
las siguientes expresiones representa el área del cuadrado?
A) aaaa · mmmm
B) aaaa · mmmm
2222
C) 2222mmmm2222
DDDD CCCC
MMMM
D) mmmm4444
E) 2222aaaa · mmmm AAAA EEEE BBBB
52525252. Dado que: arco BDBDBDBD = 1111
de la circunferencia, y arco EAEAEAEA = 1111
de la circunferencia, determine
el valor del ángulo α9999
la siguiente figura.4444
A) 25252525° B) 45454545°
C) 50505050°
D) 65656565°
E) 130130130130°
EEEE
AAAA
DDDD
BBBB
α CCCC
53535353. En la figura, MMMM y RRRR son rectas tangentes a la circunferencia de centro OOOO en TTTT y SSSS,
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones es siempre FALSA?
A) El ∆ TSPTSPTSPTSP es rectángulo. B) OPOPOPOP es mayor que TTTTSSSS.
C) El ∆ TOSTOSTOSTOS es rectángulo.
D) OPOPOPOP es mayor que el radio del círculo.
E) SPTOSPTOSPTOSPTO es un cuadrado.
PPPP
SSSS
RRRR
OOOO
TTTTMMMM
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 17
S i m u l a c r o
54545454. En la circunferencia de centro OOOO, BCBCBCBC ⊥ CCCCOOOO, α = 60606060° y OAOAOAOA = ABABABAB = 2222. ¿Cuál es el valor del
área sombreada?
4444 A) 4444√3√3√3√3 – π
3333
2222 B) 2222√3√3√3√3 – π
3333
2222π
CCCC
C) 2222 ++++ 2222√3√3√3√3 –
D) 2222π – 2222√3√3√3√3
E) 4444 (<π – √√√√_3333)
3333 OOOO AAAABBBB
55555555. Determine la medida del trazo ABABABAB sabiendo que OOOO es el centro de la circunferencia,
OBOBOBOB = 11112222 cm y ODODODOD = 9999 cm.
A) 3333√3√3√3√3 cm
B) 3333√6√6√6√6 cm
C) 3333√7√7√7√7 cm
D) 6666√7√7√7√7 cm
E) 7777 cm
AAAA DDDD
OOOO
BBBB
56565656. ¿Cuál es el valor del área sombreada, sabiendo que ABCDEABCDEABCDEABCDEFFFFAAAA es un hexágono regular
inscrito en una circunferencia de centro OOOO y AAAADDDD = 4444 cm?
A) π –––– √3√3√3√3 cm2222
B) √3√3√3√3 cm2222
C) π cm2222
D) 4444π –––– 6666√3√3√3√3 cm2222
E) 2222π –––– √3√3√3√3 cm2222
AAAA
FFFF
OOOO
EEEE
DDDD
BBBB CCCC
18 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
57575757. Las circunferencias de centros OOOO y PPPP son congruentes de radio 3333 cm cada una. ¿Cuánto mide 2222
OPOPOPOP , si ABABABAB = OPOPOPOP ? 3333
A) 8888 cm B) 10101010 cm
C) 12121212 cm OOOOD) 15151515 cm
E) 18181818 cm
rrrr rrrr
AAAA BBBB PPPP
58585858. En un rectángulo, el ancho equivale a la tercera parte del largo y su superficie mide 48484848 m2222. Si
con el largo se construyera un cuadrado, ¿qué superficie tendría dicho cuadrado?
A) 4444 m2222
B) 6666 m2222
C) 9999 m2222
D) 12121212 m2222
E) 16161616 m2222
59595959. Si ABCABCABCABC es un triángulo y CDCDCDCD es bisectriz del ∠ ACBACBACBACB, ¿cuál es el valor de xxxx?
A) acacacac
B) acacacac 2222
C) acacacac bbbb
D) babababa cccc
aaaa2222bbbbAAAA
bbbb
cccc
CCCC
DDDD xxxx
aaaa
BBBBE)
cccc
60606060. ¿Cuál es el valor de xxxx en la figura?
A) 9999 B) 5555
C) 9999 2222
D) 9999 5555
E) 5555 9999
AAAA 6666
xxxx
4444
CCCC
3333
BBBB
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 19
S i m u l a c r o
61616161. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos AAAA(3333, 5555) y BBBB(4444, 8888)?
A) yyyy + 3333xxxx = – 4444 B) yyyy – 3333xxxx = – 4444
C) yyyy – 3333xxxx = 1111
D) 3333 yyyy – xxxx = 2222
E) yyyy + xxxx = 1111
62626262. En la siguiente figura se tiene que el radio del cilindro circular superior es la mitad del radio
inferior. Si el radio del cilindro superior es 3333 cm, entonces, el volumen total es
A) 90909090π cm3333
B) 180180180180π cm3333
C) 225225225225π cm3333
D) 270270270270π cm3333
E) 315315315315π cm3333
10101010 cmcmcmcm
5555 cmcmcmcm
63636363. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2222 dados simultáneamente sus caras superiores sumen tres?
A) 1111 36363636
B) 1111 18181818
C) 1111 9999
D) 2222 9999
E) 5555 9999
20 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
InstInstInstInstrrrruccionesuccionesuccionesucciones paraparaparapara laslaslaslas prprprpreeeeguntasguntasguntasguntas NºNºNºNº 64646464 aaaa lalalala NºNºNºNº 70707070
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema sino que decida si losdatos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1111) y
(2222) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:
A) (1111) por sí sola, si la afirmación (1111) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero
la afirmación (2222) por sí sola no lo es;
B) (2222) por sí sola, si la afirmación (2222) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero
la afirmación (1111) por sí sola no lo es:
C) ambas juntas, (1111) y (2222), si ambas afirmaciones (1111) y (2222) juntas son suficientes para responder
a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;
D) cada una por sí sola, (1111) ó (2222), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta;
E) se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para
responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.
64646464. Se puede determinar el valor del dato xxxx de la muestra {2,{2,{2,{2, 2,2,2,2, 3,3,3,3, 3,3,3,3, 4,4,4,4, 4,4,4,4, xxxx,,,, 5,5,5,5, 7,7,7,7, 7}7}7}7} si
(1111) la moda es 4444
(2222) la media es igual a 4,14,14,14,1
A) (1111) por sí sola. B) (2222) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1111) y (2222).
D) Cada una por sí sola, (1111) ó (2222).
E) Se requiere información adicional.
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 21
S i m u l a c r o
65656565. Se puede determinar las coordenadas del punto AAAA si
(1111) al aplicarle el vector traslación (−7,17,17,17,1) sus nuevas coordenadas son (−3,43,43,43,4) (2222) al aplicarle una rotación en 90909090º con respecto al origen sus nuevas coordenadas son
(−3,4)
A) (1111) por sí sola. B) (2222) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1111) y (2222).
D) Cada una por sí sola, (1111) ó (2222).
E) Se requiere información adicional.
66666666. Se puede determinar el valor de la media de una muestra de datos no agrupados si
(1111) la suma de los datos es 1.1501.1501.1501.150
(2222) la muestra tiene 250250250250 datos
A) (1111) por sí sola. B) (2222) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1111) y (2222).
D) Cada una por sí sola, (1111) ó (2222).
E) Se requiere información adicional.
67676767. Si para resolver un problema en que se debe determinar el valor de 3333 incógnitas, me dan
como dato una ecuación con ellas, puedo resolverlo siempre si me agregan:
(1111) otra ecuación con las 3333 incógnitas.
(2222) una proporción con las 3333 incógnitas.
A) (1111) por sí sola. B) (2222) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1111) y (2222).
D) Cada una por sí sola, (1111) ó (2222).
E) Se requiere información adicional.
22 CEPECH Preuniversitario, Edición 2005
Matemática 2 0 0 5
68686868. Se puede determinar cuánto demoran 5555 hombres en construir una piscina si:
(1111) 2222 hombres demoran 10101010 días en construir la misma piscina.
(2222) Si trabajan horas extraordinarias demorarán la mitad.
A) (1111) por sí sola. B) (2222) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1111) y (2222).
D) Cada una por sí sola, (1111) ó (2222).
E) Se requiere información adicional.
69696969. Se puede determinar cuánto mide el área del rombo si:
(1111) Sus diagonales miden 6666 y 9999 cm.
(2222) La suma de sus diagonales es 11115555 cm. y están en la razón de 2222 : 3333
A) (1111) por sí sola. B) (2222) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1111) y (2222).
D) Cada una por sí sola, (1111) ó (2222).
E) Se requiere información adicional.
70707070. Para la circunferencia de la figura se puede determinar el valor del ∠ xxxx si:
(1111) BBBBAAAA = 70707070° (2222) BCBCBCBC = diámetro
A) (1111) por sí sola.
B) (2222) por sí sola.
CCCC xxxx
AAAA
C) Ambas juntas (1111) y (2222). BBBB
D) Cada una por sí sola (1111) ó (2222).
E) Se requiere información adicional.
CEPECH Preuniversitario, Edición 2005 23
4. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Análisis
La alternativa correcta es A
De I) a - b ∈ Z si a, b ∈ Z De II) (a-b) - c ≠ a - (b-c) con a, b, c ∈ Z De III) a - b ≠ b - a con a, b ∈ Z
Por lo tanto sólo I es verdadera
5. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es A
Reemplazado los datos en la figura obtenemos:
25 cm 10 cm 7 cm
P Q R S
35 cm
de donde QR = 7 cm
6. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es D
0,0x 0,0xy 0,124
De donde se deduce que: y = 4 x = 6
,luego x = y + 2
7. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es C
& 1 1 # 1∃
2 ∋ 2
! √ 2
= (Desarrollando el paréntesis)
% ∀
1 1 √ = (Dividiendo y luego simplificando) 4 2
12
8. Sub-unidad Conjuntos Numérico Habilidad Análisis
Defensa La alternativa correcta es D
SI: p : Positivo m: Negativo ,entonces:
p ⋅ m : negativo ; p - m: positivo ; p + m: indeterminado (+)⋅(-) = (-) (+)-(-) = (+) (+)+(-) = ?
,luego sólo I y II son siempre verdaderas
9. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es C
1 1 ! 5 = 6 (Transformando el número mixto a fracción) x 3
1 16 ! = 6 (Despejando) x 3
16 = 18x (Dividi endo por 18 ambos lados de la ecuación y simplificando)
8 = 9
x
10. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es E
Si c # b = cb - b ⇒ 2#-1 = 2-1 - (-1) = 1
+ 1 2
2 #-1 = 32
11. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es B
3 (2 + 3 )∀ 3 (2 ! 3 )= (Aplicando factorización de raíces)
3 (2 + 3 )(2 ! 3 )= ( Utili zando suma por su diferencia)
3 2 2 ! ( 3 )2 = (Desarrollando las potencias)
3 4 ! 3 = (Resolviendo la raíz)
3 1 = 1
12. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es C (-m)3 + 3m = (Reemplazando con m = -1) (-(-1))3 + 3 · (-1) = (Resolviendo los paréntesis)
1 - 3 = -2 (Restando)
13. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Conocimiento
La alternativa correcta es D
3 8 ! 3 0,125 = (Expresando 0,125 en su forma fraccionaria)
3 8 ! 3 1 = 8
2 ! 1 = 2
(Resolviendo las raíces) (Multiplicando)
1
14. Sub-unidad Potencias y raíces Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es B 10 · (-1)5 +9 · (-1)4 + 8 · (-1)3 + 7 · (-1)2 + 6 · (-1) + 5 = (Resolviendo las potencias)
10 · -1 +9 · 1 + 8 · -1 + 7 · 1 + 6 · -1 + 5 = (Multipli cando)
-10 + 9 - 8 + 7 - 6 + 5 = (Sumando)
-3 =
15. Sub-unidad Álgebra Habilidad Análisis
La alternativa correcta es D
I.- Si n = 1 ⇒ 1 ∀ 1 2 ∀ 1 1 3 ∀ 1 1 = 0 ; n = 2 ⇒ = ; n = 3 ⇒ = 2 !1 2 !1 2 2 ! 3 3
1 ! 1 2 ! 1 1 3 ! 1 2II .- Si n = 1 ⇒ = 0 ; n = 2 ⇒ = ; n = 3 ⇒ =
12 2 2 4 32 9
1 1 1 1 1 1 1 2II I.- Si n = 1 ⇒
1 !
1
2 = 0 ; n = 2 ⇒
2 !
2 2 =
4 ; n = 3 ⇒
3 !
32 =
9
Por lo tanto sólo en II y III se obtiene el conjunto los valores 1, 2 y 3
%0, ∃
1 4
,2 #
∀ !
cuando n toma
16. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es C 2x ! 6 2x ! 12 = (Factorizando por dos numeradores y denominadores) 2x ! 4 2x ! 8
2(x ! 3) = 2(x ! 6) (Simplificando)
2(x ! 2) 2(x ! 4)
(x ! 3) = (x ! 6) (Multipli cando cruzado) (x ! 2) (x ! 4)
(x ! 3)(x ! 4)= (x ! 6)(x ! 2) (Multipli cando término a término)
x2 –7x +12 = x2 –8x +12 (Restando x2 a ambos lados de la ecuación)
–7x +12 = –8x +12 (Despejando x)
8x –7x = 0 x = 0
17. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad análisis
La alternativa correcta es E
Si a ! b = 2 a + b
⇒ (Despejando el valor de a)
a - b = 2a + 2b -b - 2b = 2a - a
-3b = a (Reemplazando a en I, II y III)
I. a + 3b = -3b + 3b = 0 II. 3ab + a2 = 3 · -3b · b + (-3b)2 = -9b2 + 9b2 = 0 III. ab + 3b2 = -3b · b + 3b2 = -3b2 + 3b2 = 0
Por lo tanto las expresiones I, I I y III son iguales a cero
18. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es E
1) x + y + z = 1 1) + 2) 2x + 2z = 2 /: -2 2) x - y + z = 1 3) 2x + z = 3 3) 2x - 1 + z = 2
-x - z = -1 (Resolviendo 2x + z = 3 por reducción)
x = 2 z = -1
Si se desea conocer el valor de y se debe reemplazar los valores conocidos en (1), (2) o (3)
19. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Análisis
La alternativa correcta es D
1 A = 2B ; B = ! C (Despejando C)
2
A = 2B ; 2B = C (Igualando) ⇒ A = C (Con lo cuál I es verdadero)
(Luego reemplazando)
A + C = 2B + 2B = 4B (Con lo cuál II es verdadero)
(Finalmente volviendo a reemplazar)
A + B + C = 2B + B + 2B = 5B (Con lo cuál III es verdadero)
Por lo tanto I, II y II I son verdaderas
20. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Análisis
La alternativa correcta es D
1V = 2A ; 3V = 5B (Despejando V)
V = 5
B 3
(Dado que 1V = 2A, igualamos)
5 B = 2A (Despejando A) 3
5 B = A 6
Finalmente, sumando una ficha verde más una azul:
1V + 1A = 5 5 B + B = (Sumando) 3 6
15 B = 2,5B (Dividiendo) 6
Luego serán 3 blancas
21. Sub-unidad Conjuntos Numéricos Habilidad Análisis
La alternativa correcta es E
Sí J = 2t ; D = 4t ordenando en un cuadro de doble entrada obtenemos:
Depósito mensual Depósito anual Juan 0,5 t 6 t Diego 1 t 12 t
Total anual 18 t
Por lo tanto I, II y II I son verdaderas
22. Sub-unidad Habilidad Conocimiento
La alternativa correcta es C
Expresando el 75% de 0,025 en forma fraccionaria, obtenemos:
75 25 ! = (p • 10-3) (Desarrollando la potencia) 100 1000
75 25 p ! = (Multipli cando por 1000 ambos lados de la ecuación) 100 1000 1000
75 ! 25 = p (Desarrollando) 100 75 = p = 18,75 4
23. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es C
Utili zando la definición de porcentaje siguiente:
El A % de B = A ! B 100
tenemos que el el 20% de 500 es 20 ! 500 = 100
100
,luego la alternativa que también da como resultado 100 es:
50% de 200 = 50 ! 200 = 100
100
Con lo cuál el 20% de 500 equivale al 50% de 200
24. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Análisis
La alternativa correcta es D
Ordenado los datos en una tabla de doble entrada:
Altos Bajos Total Hombres 12 6 18 Mujeres 3 15 18
En donde observamos que sólo I y II son verdaderas
25. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad análisis
La alternativa correcta es D
Si a b c = = = k ,entonces
a = k ; b = k ;
c = k (Despejando a, b, c) d e f d e f
a=dk; b=ek; c=fk
I) a + b + c = dk + ek + fk (Factorizando por k)
a + b + c = (d + e + f) k (Despejando)
a + b + c = k d + e + f
(Con lo cuál I es verdadera)
II) a + b = dk + ek (Factorizando por k)
a + b = (d + e)k (Despejando)
a + b = k (verdadera) d + e
II I) b + c = ek + fk (Factorizando por k)
b + c = k(e + f) (Despejando)
b + c = k e + f
(Con lo cuál III es verdadera)
26. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Análisis La alternativa correcta es B
Si asisten 15 adultos, entonces queda comida para alimentar a 5 adultos y su equivalente en niños puede calcularse con la siguiente proporción:
20 adultos → 32 niños (Desarrollando la proporción) 5 adultos → x niños
5 ! 32 = 8 niños
20
27. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Análisis
La alternativa correcta es C
Raúl = 3,5 12 = 42 tabletas
Pedro = 3,5 ⋅ 6 = 21 tabletas
En total consumieron 42 + 21 = 63 tabletas y dado que cada caja contiene 3 tabletas en total se consumieron 63/3 = 21 tabletas.
28. Sub-unidad Inecuaciones Habilidad Aplicación La alternativa correcta es A
-3x + 1 < 7 /-1 (Restando 1 a ambos lados de la inecuación) -3x < 6 /:-3 ( Dividiendo por –3 ambos lados de la inecuación)
6 x > ! (Dividiendo)
3
x > -2
Con lo cuál el intervalo solución de la inecuación es ]-2, + ! [
29. Sub-unidad Relaciones y funciones Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es C
g(h(x)) = g (x2 - 2x + 2)= (Valorizando g(x) en h(x)) (x2 - 2x + 2) – 2 = (Desarrollando el paréntesis) x2 - 2x = (factorizando por x) x (x - 2)
30. Sub-unidad Relaciones y funciones Habilidad Análisis La alternativa correcta es D
Una relación es función cuando a cada valor del dominio (abscisa) le corresponde una y solo una imagen en el recorrido (ordenada).
Por lo tanto sólo I y III son funciones f(x)
31. Sub-unidad Relaciones y funciones Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es B
Sí f(8) = a ⋅ 8 + 5 = 0 (Restando 5 a ambos lados de la ecuación)
8a = -5 (Dividiendo por 8)
a = ! 5 8
,luego f = ! 5
x +5 (Valorizando en 5) 8
f (5) = 5
! ⋅5 + 5 = (Multiplicando) 8
25 ! + 5 =
8 (Sumando fracciones)
158
32. Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Análisis
La alternativa correcta es B
Si el discriminante < 0 La ecuación tiene 2 raíces complejas distintas Si el discriminante = 0 La ecuación tiene 2 raíces reales iguales
Si el discriminante > 0 La ecuación tiene 2 raíces reales distintas
Por lo tanto si el discriminante es 1 (o sea mayor que cero), posee dos raíces reales distintas.
33. Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es E
Sí 32 a + 9
3a
= 10 (Multipli cando por 3ª a ambos lados de la ecuación)
(3a)2 + 9 = 10 · (3a); (Utilizando una variable auxiliar en donde Si x = 3a)
x2 + 9 = 10x (Restando 10x a ambos lados de la ecuación)
x2 - 10x + 9 = 0 (Factorizando)
(x - 9)(x -1) = 0
,luego a) x - 9 = 0 b) x - 1 = 0
x = 9 x = 1
Por lo tanto x puede tomar los valores 9 y 1
,luego Como x = 3a entonces:
a) 3a = 9 b) 3
a = 1
3a = 32 3a = 3º
a = 2 a = 0
34. Sub-unidad Función cuadrática Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es D y = x2 - 4x + 3 Intercepta al eje x cuando y = 0, es decir:
x2 - 4x + 3 = 0 (Factorizando) (x - 3) (x - 1) = 0 (Igualando cada binomio a cero)
x - 3 = 0 x - 1 = 0 (Despejando)
x1 = 3 x2 = 1
,luego x intercepta al eje x en los puntos: (3,0) ^ (1,0)
35. Sub-unidad Función de variable real Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es B
Reemplazando x = b queda: log ab-b + log bb-b + log b2 - log b2 (Restando exponentes y sumando términos
semejantes) = log a0 + log b0 + 0 (Desarrollando las potencias) = log 1 + log 1 (Utilizando propiedades de logaritmo) = 0 + 0 (Sumando) = 0
36. Sub-unidad Función de variable real Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es D
log (ax-1) = log (b2x) (Aplicando log xn = n⋅logx) (x-1) log a = x log b2 (Multiplicando término a término) x log a - log a = x log b2 (Dejando las x al mismo lado de la
ecuación) x log a - xlog b2 = log a (Factorizando por x) x (log a - log b2) = log a (Despejando x)
log a ∋ log a ! log b = %
2)∃ ∀ !1
(log a ! log b 2 ) %& log a ∀#
37. Sub-unidad Función de variable real Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es A
(2!5 )x = 84x + 3 (Expresando 8 en forma de potencia de base 2)
(2 !5 )x = ((2)3 )4 x+3
(Multipli cando los exponentes)
2-5x = 212x+9 ( Dado que las bases a ambos lados de la ecuación son iguales, sus exponentes son necesariamente una igualdad)
-5x = 12x + 9 (Sumando 5 a ambos lados de la ecuación) -9 = 17x (Dividiendo por 17)
9 ! = x
17
38. Sub-unidad Función de variable real Habilidad Aplicación
Defensa La alternativa correcta es A
1 1 ! % ∀
x
= 4 !16 2 (Expresando todas potencias en base 4) ∋ ∃
430 & 4 ( x #
4-30⋅(4x)x = 4⋅(42)2 (Multiplicando los exponentes)
4-30⋅ 4 x = 4⋅44 (Aplicando la multiplicación de potencias de igual base)
4 x 2 !30 = 45 ( Dado que las bases a ambos lados de la ecuación
son iguales, sus exponentes son necesariamente una igualdad) x2- 30 = 5 (Sumando 30 a ambos lados de la ecuación)
x2 = 35 (Aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación)
x1 = 35 ∧ x2 = – 35 (Luego multipli cándolas)
x1 ⋅x2 = = 35 ⋅ – 35 = -35
39. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es C
Si el Perímetro del triángulo = 3a = (c - 6)cm (Con a lado del triángulo)
Entonces el lado del triángulo es
a = (c ! 6)
cm 3
Además ya que el lado del cuadrado es igual al del triangulo y como el perímetro de un cuadrado es cuatro veces el lado del cuadrado, tenemos que el perímetro del cuadrado es:
4⋅ (c ! 6)
3 4c ! 24
3
(Multipli cando) (Simplificando)
4c ! 8 3
40. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Análisis
La alternativa correcta es A
C
Completando la figura con los datos entregados 30º 60º
30º 120º 60º 60º D A B
Con lo cuál sólo I y II son verdaderas.
41. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Análisis
La alternativa correcta es E
Sí ! = 2 ! ,entonces 40º = 2 ! (Despejando)
20º = !
Sí ! = 2 ! ,entonces 20º = 2 ! (Entonces)
10º = !
,luego
! = 10º , ! = 20º, ! = 40° , ! = 70°.
Con lo cuál I, II y III son verdaderas
42. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es E
Dado que los triángulos en cuestión son congruentes, si completamos los datos:
R U
! 3 ! W 5
4 . ! ! 3 ! !
5 P Q S T
Dado que los triángulos son congruentes SU = PR = 6 cm
43. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es A
Sí ! = 2 ! y ! + ! = ! Entonces reemplazando 2 ! + ! = ! (Sumando)
3 ! = !
Además dado que ! + ! + ! = 180º (Si reemplazamos cada incógnita
En función de ! )
2 ! + ! + 3 ! = 180º (Despejando)
! = 30º
,luego ! = 2 ! = 60º
! = 3 ! = 90º
44. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es E Número total de diagonales de un polígono =
,luego para un polígono de 8 lados:
n(n ! 3) ; con n: número de lados
2
8(8 ! 3)= (Desarrollando el paréntesis)
2
8(5)= (Resolviendo)
2
20
45. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es A
Hay 5 incógnitas en juego y los datos nos permiten determinar el valor de wº =150º, y como
z o o
es el suplemento de wº, entonces = 30º , por lo tanto z°= 60º. 2 2
Como z° + y° = 180° , entonces y°=120°, luego x°= 10°.
46. Sub-unidad Trigonometría Habilidad Análisis
La alternativa correcta es C
Las funciones trigonométricas seno de un medio y seno de raíz cuadrada de tres medios son muy utilizadas, pudiendo descubrir que ! y ! corresponden a 30º y 60º respectivamente.
Completando los ángulos en la figura ,resulta:
D
30º 30º
3 60º 30º
C B 3 A
Con lo cuál descubrimos que el triángulo ABD es isósceles y los trazos AB y BD poseen la
misma medida 3 metros, luego dado que conocemos el valor de la hipotenusa del triángulo BCD, podemos utilizar la función trigonométrica seno, para conocer el valor del trazo CD.
De donde: sen 60º = CD
(Reemplazando) BD
sen 60º = CD
(despejando) 3
47. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es C
a b
a 2
a 2
b b
a b
,luego los perímetros de las respectivas figures son: P1 = 3a P2 = 4b
Además si P1 = P2 ⇒ 3a = 4b (Despejando)
3 a = b 4
48. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Análisis
La alternativa correcta es C
xSabemos que el perímetro =
y 2(x + y) = 36 (Despejando) x + y = 18
Además sabemos que: x · y = (x + 2)(y - 3) (desarrollando)
3x - 2y = -6
Con las ecuaciones encontradas podemos formar un sistema de ecuaciones, en donde El sistema queda:
x + y = 18 /· 2 (Multipli cando por 2) 3x - 2y = -6
2x + 2y = 36
3x - 2y = -6 (Resolviendo el sistema)
5x = 30 /:5 x = 6 cm ; y = 12 cm
Ahora sólo resta calcular el área Área = 6 cm · 12 cm = 72 cm2
49. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación La alternativa correcta es C
Reemplazando los datos en el dibujo y utili zando Pitágoras resulta:
D 4 cm C
10
A 4cm 4cm E 4cm B
En donde conocemos 2 de los lados del triangulo rectángulo AEC (8 y 10), ahora simplemente utilizamos el teorema de Pitágoras para descubrir el valor del lado restante, que corresponde a nuestra incógnita.
102 = 82 + x2 (Desarrollando las raíces y despejando x2) 100 – 64 = x2 (Despejando x)
36 = x (Desarrollando la raiz)
6 cm = x
50. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es B
El área de cada cuadrado es: 2p
2p
Área = 4p2
Además como el área achurada corresponde a 9,5 de estos cuadrados el área achurada total corresponderá a:
Área total = 9,5 ⋅ (Área del cuadrado) Área total = 9,5 ⋅4p2
Área total = 38p2
51. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es E
Si ME = m ,entonces a = 2m
Luego el área del cuadrado es lado ⋅ lado (Reemplazando) a ⋅2m = 2am
52. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es A
1 1 de circunferencia = ·360º = 40º = Arco BD 9 9
1 1 de circunferencia = ·360º = 90º = Arco EA 4 4
Luego aplicando teorema del ángulo externo, resulta:
90º!40º ∀ =
2 ! = 25º
(Desarrollando)
53. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Análisis
La alternativa correcta es B P T M
S ∞ O
R
Ya que los trazos SO y OT son radios y considerando los datos del ejercicio, podemos concluir que: TPS es triángulo rectángulo
OP = TS TOS es triángulo rectángulo
OP > OT SPTO es un cuadrado
Por lo tanto la opción que siempre es falsa es OP es mayor que TS , pues son iguales.
54. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es B
Área achurada = Área Triángulo BOC - Área sector AOC
Si ! = 60° entonces el sector AOC es un sexto de la circunferencia, luego
2 ! 2 3 # ! 2 2 Área achurada = ∀ (Simplificando)
Área achurada = 2
2
3 ∀ 2! 3
6
55. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Aplicación
Utili zando teorema de Pitágoras podemos calcular el valor del trazo BD(x)
92 + x2 = 122
81 + x2 = 144 (Restando 81 a ambos lados de la ecuación)
x2 = 63 (Calculando raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación)
x = 63 (Descomponiendo la raíz)
x = 3 7
Además como los trazos AB y OD son perpendiculares, necesariamente EL trazo AB es el doble de BD, por lo tanto
AB = 2 ! BD = 2⋅ 3 7
(Reemplazando)
(Multiplicando)
= 6 7
56. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es D Los triángulos interiores son equiláteros congruentes de lado 2 cm.
El área achurada corresponde al área de la circunferencia menos el área de 6 triángulos equiláteros, en forma de ecuación resulta.
Área achurada = ∀ ! (2 cm)2 -6⋅ (2cm)
4
! 3= (desarrollando las potencias y
simplificando)
# ∀ 4cm 2 ! 6 3 cm 2
57. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es E
OP = OA + AB + BP (Reemplazando con los datos)
OP = r + 2 OP3
+ r (Reemplazando con OP = x y r = 3)
x = 3 + x = 6 +
2 x 3 2 x3
+ 3 (Sumando)
(Multiplicando por 3 ambos lados de la ecuación)
3x = 18 + 2x (Despejando x)
x = 18
58. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es C Sí Ancho = x Largo = 3x ,entonces el área corresponde a:
3x ⋅ x = 48 m2
3x2 = 48 m2 (Dividiendo por 3 ambos lados de la ecuación) x2 = 16 m2 (Calculando raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación) x = 4 m
Luego reemplazando en los primeros enunciados:
Ancho = x = 4m Largo = 3x = 12m
Por lo tanto Con la medida del largo se puede construir un cuadrado de lado 3m, Siendo el Área del cuadrado = (3m)2 = 9 m2
59. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es C
Aplicando teorema de Apolonio:
b a = (Despejando x) c x =
x ac
b
60. Sub-unidad Ángulos y triángulos. Polígonos Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es D
La alternativa correcta es D
Aplicando teorema de Thales:
6 10 = (Despejando x) x 3
x = x =
18 (Simplificando) 10 9
5
61. Sub-unidad Geometría analítica Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es B
Sí x1 = 3, x2 = 4, y1 = 5, y2 = 8
Utili zando la formula para encontrar la ecuación de una recta a contar de 2 puntos, tenemos que:
y ! yy - y1 = 2 1 (x ! x1 ) x2 ! x1
y - 5 = 8 ! 5 (x ! 3) 4 ! 3
(Reemplazando) (Restando numerador y denominador)
y - 5 = 3 (x - 3) (Multipli cando el paréntesis y despejando y)
y = 3x - 9 + 5 (Restando)
y = 3x –4 (Restando 3x a ambos lados de la ecuación)
y - 3x = -4
62. Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies. Habilidad Aplicación
La alternativa correcta es D
Si V1: volumen de cilindro inferior y V2: volumen cilindro superior, entonces:
V1= ∀ ! R 2 ! h1 y V2 = ∀ ! R 2 ! h2
V1= (6 cm)2 ⋅ 5 cm V2 = ∀ ! (3cm)2 ⋅ 10 cm V1= 180 ∀ ! cm3 V2 = 90 ! cm3
,luego el volumen total de la figura corresponde a :
volumen total = V1 + V2 = (Reemplazando) 180 ! cm3 + 90 ! cm3 = (Sumando) 270 ! cm3
63. Sub-unidad Probabilidad y combinatoria Habilidad Comprensión
La alternativa correcta es B
La única posibilidad de que al lanzar 2 dados simultáneamente sus caras superiores sumen tres, es que en la cara superior del primero salga un 1 y en el segundo un 2 (1+ 2 =3), O que en la cara superior del primero salga un 2 y en el segundo un 1 (2 + 1 = 3)
Luego tenemos 2 casos favorables y ya que al lanzar dos dados los casos posibles son 36 (6⋅6), la posibilidad de dicho evento es:
2 = 36
(Simplificando)
1 18
64. Sub-unidad Estadística descriptiva Habilidad Evaluación La alternativa correcta es D
Si la moda es 4, x necesariamente debe tomar el valor 4 para ser el valor con mayor frecuencia de la muestra.
Sí la media es igual a 4,1, podemos calcular el valor de x, despejando la formula de media aritmética con los datos de la muestra:
4,1 = 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + x + 5 + 7 + 7
10
Por lo tanto la alternativa Cada una por sí sola, (1) ó (2). Sirve para encontrar el valor de x.
65. Sub-unidad Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies. Habilidad Evaluación
La alternativa correcta es D
Si el punto a (x, y) le aplicamos el vector traslación (-7,1) , este queda expresado como (x –7, y +1) y si lo igualamos con (-3, 4 ) resulta:
(x –7, y +1) = (-3, 4 ) , de donde:
x –7 = -3 (Despejando) x = 4
y + 1 = 4 (Despejando) y = 3 el punto en cuestión es por lo tanto (4,3)
Además, si tenemos un punto (x, y) al aplicarle una rotación en 90º se transforma en el punto (-y, x), con lo cuál si al aplicar una rotación en 90º con respecto al origen las nuevas coordenadas del punto son (-3,4), eso quiere decir que el punto en cuestión es (4,3).
Por lo tanto la alternativa Cada una por sí sola, (1) ó (2). Sirve para encontrar el valor de x.
66. Sub-unidad Estadística descriptiva Habilidad Evaluación
La alternativa correcta es C
Dado que la formula para calcular la media de una muestra de datos no agrupados es la suma de todos los datos dividida por el número de datos, necesitamos de ambas condiciones para resolver el ejercicio.
Por lo tanto la alternativa Ambas juntas, (1) y (2). Permite resolver el ejercicio.
67. Sub-unidad Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Evaluación
La alternativa correcta es B
Según los datos del enunciado, ya se tiene una ecuación con tres incógnitas, por lo que sería necesario tener dos ecuaciones más que relacionen las variables y dichas ecuaciones ndeben ser equivalentes ni incompatibles o una proporción con las tres incógnitas.
De (1) Se agrega una ecuación con las tres incógnitas, lo cual no es dato suficiente pues hay tres incógnitas y dos ecuaciones. No se sabe que tipo de ecuación es la entregada en (1)
De (2) Se da una proporción con las tres incógnitas, es decir,
x:y:z = a:b:c se calcula la constante de proporcionalidad utilizando la ecuación entregada en el enunciado más la entregada en (2), luego se resuelve el problema.
68. Sub-unidad Razones y proporciones. Porcentajes e intereses Habilidad Evaluación
La alternativa correcta es A
De (1) Se tiene la siguiente regla de tres hombres Días Como las variables están en 2 10 razón inversa, entonces: 5 x 2 ⋅10 = 5 ⋅x (Despejando)
x = 4 días
De (2) No se puede extraer información útil
Por lo tanto la alternativa (1) por sí sola. Permite resolver el ejercicio.
69. Sub-unidad Cuadriláteros Habilidad Evaluación
La alternativa correcta es D
De (1) Área rombo = d1 ! d 2
2 (Reemplazando)
De (2) d1 + d2 = 15 d1 : d2 = 2:3
= 27 cm2 2
d1 + d 2
2 + 3 15
= = 3 5
,entonces d1 = 2⋅3 = 6 d2 = 3⋅3 = 9
Por lo tanto la alternativa Cada una por sí sola, (1) ó (2), permite encontrar el área del rombo.
70. Sub-unidad Circunferencia y circulo Habilidad Evaluación
La alternativa correcta es A
De (1) Se sabe que el ángulo x es igual a la mitad del arco BA, o sea el ángulo x es igual a la mitad de 70º o sea a 35º
De (2) Si BC es diámetro sólo se puede deducir que BC = 180º