motivationdéfinition et exemples
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Ensembles et cônes minimaux de dimension 2dans l’espace euclidien
Xiangyu LIANG
9 Janvier 2009
Xiangyu LIANG Ensembles et cônes minimaux de dimension 2 dans l’espace euclidien
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1 motivation
2 définition et exemples
3 résultat classique
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film de savon
Phénomène : film de savon
Si on plonge un cadre en fil de fer dans de l’eausavonneuse et puis le ressort, on obtiendra un film desavon.Intuitivement , un film de savon est une surface quiminimise l’aire parmi tous les surfaces qui étendent demême bord.
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film de savon
Phénomène : film de savon
Si on plonge un cadre en fil de fer dans de l’eausavonneuse et puis le ressort, on obtiendra un film desavon.Intuitivement , un film de savon est une surface quiminimise l’aire parmi tous les surfaces qui étendent demême bord.
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Problème de Plateau
le problème de Plateau consiste à montrer, un bord étantdonné, l’existence et la régularité d’une surface minimale.Plateau a prétendu que des films de savon se joignent toujourssous une des 2 forme :
soit 3 surfaces qui se coupent mutuellement sous un anglede 120◦. Exemple : caténoïde avec un disquesoit 6 surfaces qui s’intersectent en un point, sous unangle de arccos(−1
3), environ 109◦ , c-à-d : le cône sur untétraèdre.
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définition
Définition (Ensemble minimal)Un ensemble fermé (de dimension de Hausdorff 2) est ditminimal (de dimension 2), si
H2(E ∩ B) ≤ H2(F ∩ B)
pour toute boule B et toute déformation F de E dans B,c’est-à-dire :F = f (E) dans B pour une certaine application Lipschitziennef : Rn → Rn qui vérifie f (x) = x hors B et f (B) ⊂ (B).
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définition
Un ensemble minimal est un ensemble fermé de dimension (deHausdorff) 2 sur lequel les perturbations locales ne diminuentpas l’aire.
Exemple (un plan dans R3)
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définition
RemarqueDonc dans notre modèle, l’aire est réalisée par la mesured’Hausdorff de dimension 2.Si S est une surface assez régulière, (par exemple, une C1
variété), alors sa mesure de Hausdorff est égale à sasurface au sens ordinaire (calculable par intégration) .il est permis de pincer des parties de E. par exemple :l’union de 2 plans parallèles dans R3 n’est pas minimale.Ensembles minimaux peuvent contenir des pointssinguliers.
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cônes minimaux
Exemple (Cônes minimaux )Un cône minimal est un cône qui est aussi un ensembleminimal.On appelle cône un ensemble C ⊂ Rn vérifiant λC = C pourtout λ > 0, ou l’image d’un tel ensemble par une isométrie.
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cônes minimaux
Pour trouver des cônes minimaux, une condition nécessaire :
PropositionL’intersection d’un cône minimal (centré à l’origine) avec lasphère unitée est une union d’arcs de grands cercles, qui ne serencontrent qu’à trois, et sous un angle de 120◦.
Il y a une dizaine de cônes qui satisfont cette condition là. Maisla plus part ne sont pas minimaux. Par exemple, le cône sur lecube.
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cônes minimaux
Liste complète des cônes minimaux dans R3 :un plandes Y’s : un Y est l’union de 3 demi-plans qui se coupentmutuellement sous un angle de 120◦
des T’s : un T est un cône sur un tétraèdre
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Thérème de Jean Taylor
Théorème (Jean Taylor (1976))
Soit E un ensemble minimal réduit dans R3, alors pour chaquex ∈ E il existe une boule B = B(x , r) où E est l’image d’uncône minimal par un C1-difféomorphisme , c-à-d : un plan, un You un T.Un ensemble réduit est un ensemble E tq ∀x ∈ E , ∀r > 0 :H2(E ∩ B(x , r)) > 0
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Thérème de Jean Taylor
RemarqueSoit E un ensemble quelconque,E∗ = {x ∈ Rn : ∀r > 0 : H2(E ∩ B(x , r)) > 0}, alors E∗
est réduit, H2(E∆E∗) = 0 et si E est minimal alors E∗ l’estaussi.On se contente donc de travailler sur des ensemblesréduits.Le thm de Jean Taylor dit qu’un ensemble minimal dans R3
ressemble localement assez à un cône minimal . Et on adéjà la liste complète des cônes minimaux dans R3 . Onpeut dire donc que le problème dans R3 est partiellementrésolu.
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RemarqueSoit E un ensemble quelconque,E∗ = {x ∈ Rn : ∀r > 0 : H2(E ∩ B(x , r)) > 0}, alors E∗
est réduit, H2(E∆E∗) = 0 et si E est minimal alors E∗ l’estaussi.On se contente donc de travailler sur des ensemblesréduits.Le thm de Jean Taylor dit qu’un ensemble minimal dans R3
ressemble localement assez à un cône minimal . Et on adéjà la liste complète des cônes minimaux dans R3 . Onpeut dire donc que le problème dans R3 est partiellementrésolu.
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liste de cônes minimaux dans R4
Problème : est-ce qu’il y a une telle liste dans R4 ?
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liste de cônes minimaux dans R4
D’abord, tous les cône minimaux dans R3 sont encoreminimaux dans R4 ;un nouveau : l’union de deux plan orthogonaux, c-à-d :P1 = {(x , y ,0,0) ∈ R4} ; P2 = {(0,0, x , y) ∈ R4} , P1 et P2ne se croise qu’a l’origine.P1 ∪ P2 est minimal.
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D’abord, tous les cône minimaux dans R3 sont encoreminimaux dans R4 ;un nouveau : l’union de deux plan orthogonaux, c-à-d :P1 = {(x , y ,0,0) ∈ R4} ; P2 = {(0,0, x , y) ∈ R4} , P1 et P2ne se croise qu’a l’origine.P1 ∪ P2 est minimal.
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conjectures
Conjecturel’union de deux plan presque orthogonaux est-il encoreminimal ?C’est-à-dire, si on change un peu l’angle entre les deuxplans orthogonaux, est-ce qu’il reste minimal ?Plus généralement : la conjecture de Morgan :L’union de deux plans P1 et P2 est minimale si etseulement si leurs angles caractéristiques0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ π
2 vérifient1) α2 ≤ α2 + π
3 ; 2) α1 + α2 ≥ 2π3
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Conjecturel’union de deux plan presque orthogonaux est-il encoreminimal ?C’est-à-dire, si on change un peu l’angle entre les deuxplans orthogonaux, est-ce qu’il reste minimal ?Plus généralement : la conjecture de Morgan :L’union de deux plans P1 et P2 est minimale si etseulement si leurs angles caractéristiques0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ π
2 vérifient1) α2 ≤ α2 + π
3 ; 2) α1 + α2 ≥ 2π3
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conjectures
Conjecture
Y× Y est-il minimal dans R4 ? (ici Y est de dimension 1,c-à-d, 3 demi-droite).Plus généralement : le produit de deux ensemblesminimaux (de dimension quelconque) est-il encoreminimal ?
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Y× Y est-il minimal dans R4 ? (ici Y est de dimension 1,c-à-d, 3 demi-droite).Plus généralement : le produit de deux ensemblesminimaux (de dimension quelconque) est-il encoreminimal ?
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Merci beaucoup !
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Figure 1. Various soap film examples. (Section 2.1)
A. Skew quadrilateral. B. Mobius band.
C. Catenoid. D. Catenoid with disk.
E. Tetrahedral film. F. Trefoil knot film.
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A. Skew quadrilateral. B. Mobius band.
C. Catenoid. D. Catenoid with disk.
E. Tetrahedral film. F. Trefoil knot film.back
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