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Equação de Boltzmann na aproximação do tempo de
relaxação
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densidade e correntes
• banda totalmente cheia: n = 2/vc
um isolante tem densidade total: ntot = 2k/vc,ou seja, um número par de elétrons por célula unitária. Um número ímpar de elétrons por célula produz um metal (caso interação ee não seja crucial)
• banda totalmente cheia ou vazia: J(r) = J(r) = 0 de fato, qualquer n(r,k)=n(r,k) tem corrente nula devido à
degenerescência de Kramer, En(k)=En(k).
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como os campos afetam a distribuição dos elétrons
• r(t) e k(t) são pensados como trajetórias clássicas em um espaço de fase.
• a distribuição dos elétrons, n(r(t),k(t)), evolui no tempo com as equações semiclássicas e permite obter qualquer quantidade de interesse.
• em equilíbrio: 1
1
4
1),( /])([3 kTE
eqn ne
kkr
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como as colisões afetam a distribuição dos elétrons
• impurezas, vibrações cristalinas, etc. produzem alterações em k (além da evolução semiclássica)
• Wkk´ é a taxa de transição |n, k> |n, k´>
kk´
X
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eq. de Boltzmann
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aproximação do tempo de relaxação
• nas transições para k os estados k’ são supostos em equilíbrio local
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solução estacionária
•
•
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condutividade elétrica
• anisotropia
• apenas bandas ~ kT em torno de EF contribuem.
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conexão com Drude
(metais, kT << EF )
mostrar banda quase-vazia (e) ou quase-cheia (b)
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condutividade térmica
• div E = 0 n é uniforme (macroscopicamente, apesar de T(r) e (r))
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corrente térmica
• dQ = TdS = dEdN (em um volume dV fixo, devido ao movimento eletrônico)
•
• JQ = JE JN
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• como g0(r,k) = g0(r,-k), o equilíbrio local (mesmo com T e não uniformes) não produz JQ nem J.
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o experimento de condutividade térmica
• J = 0
• efeito Seebeck:
• lei de Fourier:
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conexão com Drude