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DOSAGEM DE CONCRETOEQUAÇÕES DAS LEI FUNDAMENTAIS DOS CONCRETOS
Professora: Mayara Custódio
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REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS
Dado um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y)
que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:
Como obter os coeficientes “a”
e “b” da equação da reta de
regressão representativa de um
fenômeno linear?
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REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS
Dado um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y)
que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:
Como obter os coeficientes “a”
e “b” da equação da reta de
regressão representativa de um
fenômeno linear?
O Método de Regressão aos Mínimos Quadrados
é uma técnica de otimização matemática que
procura encontrar o melhor ajuste para um
conjunto de dados tentando minimizar a soma dos
quadrados das diferenças entre o valor estimado e
os dados observados. Assim, é possível determinar
um parâmetro desconhecido de uma equação.
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REGRESSÃO AOS MÍNIMOS QUADRADOS
Y = aX + b
𝑋 = Média dos valores de “X”
𝑌 = Média dos valores de “Y”
𝒂 =𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝒙
𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿
RESÍDUOS
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EXEMPLO
Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do mercado consumidor da cidade de São Paulo.
Dados:
a) Estimar a reta de regressão para representar essa relação
b) Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo.
c) Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.
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EXEMPLO
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EXEMPLO
235,6 58,0
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EXEMPLO
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EXEMPLO
149021,9
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EXEMPLO
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EXEMPLO
17590,0
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EXEMPLO
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Y = aX + b
EXEMPLO
𝒂 =𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝒙
𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿
𝑎 =17.590,0
149.021,9= 0,12
𝑏 = 58,0 − 0,12 ∙ 235,6
= 30,19
P = 0,12d – 30,19
a)
b) Distância = 420 km
𝑃 = 0,12 ∙ 420 −30,19 = 𝑹$ 𝟕𝟗, 𝟕𝟔
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EXEMPLO
c) Erros de previsão:
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LEI DE ABRAMS
𝑓𝑐 =𝐾1
𝐾2𝑎/𝑐
O principal parâmetro a
provocar variações na
resistência a compressão do
concreto é a relação “a/c”.
A resistência varia segundo a expressão:
K1 e K2: Constantes que
dependem das características
particulares dos materiais
utilizados em uma
determinada mistura.
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LEI DE ABRAMS
Estudo de dosagem experimental:
Diferentes misturas;
Diferentes resultados.
Formação de uma curva:
No mínimo 3 pontos.
Cálculo da equação representativa de três misturas:
Linearização
Otimização pelo Método dos Mínimos Quadrados
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LEI DE ABRAMS
X
𝑓𝑐 =𝐾1
𝐾2𝑎/𝑐
Y +a b=
Linearização através de logaritmos:
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LEI DE ABRAMS
𝑎 𝑐 =𝑙𝑜𝑔𝐾1 − 𝑙𝑜𝑔𝑓𝑐
𝑙𝑜𝑔𝐾2
𝑎 = −𝑙𝑜𝑔10𝐾2
𝑙𝑜𝑔𝐾2 = −𝑎
𝐾2 = 10−𝑎 =1
10𝑎
𝑏 = 𝑙𝑜𝑔10𝐾1
𝐾1 = 10𝑏
Método dos Mínimos Quadrados:
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EXEMPLO
Em um estudo de dosagem do concreto, elaborou-
se, para um dado conjunto de materiais, concretos
com relações “a/c” de 0.41, 0.55 e 0.70. Foram
moldados corpos-de-prova para ensaio de
resistência a compressão aos 28 dias de idade, cujos
resultados obtidos foram, respectivamente, 38.0
MPa, 28.0 MPa e 20.0 MPa.
Obter a equação de Abrams desse concreto.
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EXEMPLO
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EXEMPLO
𝑆𝑥𝑥 = 𝑖=1𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋)² = 0,042
𝑆𝑥𝑦 = 𝑖=1𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋) ∙ (𝑌𝑖 − 𝑌) = −0,40
𝒂 =𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝒙=−𝟎, 𝟒𝟎
𝟎, 𝟎𝟒𝟐= −𝟎, 𝟗𝟔𝟏𝟒
𝒃 = 𝒀 − 𝒂 𝑿 = 𝟏, 𝟒 − −𝟎, 𝟗𝟔𝟏𝟒 . 𝟎, 𝟔= 𝟏, 𝟗𝟕𝟒𝟔
𝑙𝑜𝑔𝑓𝑐 = −0,914 ∙ 𝑎 𝑐 + 1,9746
𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝐾1𝑎 = −𝑙𝑜𝑔𝐾2
𝐾1 = 10𝑏
= 101,9746 = 94,38
𝐾2 =1
10𝑎=
1
10−0,9614= 9,16
𝒇𝒄 =𝟗𝟒, 𝟑𝟖
𝟗, 𝟏𝟔𝒂/𝒄
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LEI DE LYSE
A consistência do concreto é função da relação agregados secos
/ cimento (m) e da relação água/cimento (a/c), independendo do
traço seco (1:a:b) do concreto.
Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a
consistência do concreto, o traço bruto "m" é diretamente
proporcional à relação a/c.
Lyse (1932): “Para concretos fabricados com os mesmos
materiais e com a mesma consistência, a quantidade total de água
por unidade de volume é constante, independente do traço”
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LEI DE LYSE
A consistência do concreto é função da relação agregados secos
/ cimento (m) e da relação água/cimento (a/c), independendo do
traço seco (1:a:b) do concreto.
Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a
consistência do concreto, o traço bruto "m" é diretamente
proporcional à relação a/c.
Lyse (1932): “Para concretos fabricados com os mesmos
materiais e com a mesma consistência, a quantidade total de água
por unidade de volume é constante, independente do traço”
O fator a/c relaciona-se com o consumo de agregados
de um determinado concreto de forma linear, de
acordo com a equação:
sendo: K3 e K4 coeficientes representativos de um
conjunto particular de materiais (cimento e agregados).
𝒎 = 𝑲𝟑 ∙ 𝒂 𝒄 +𝑲𝟒
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LEI DE LYSE
Esquema de variação das propriedades reológicas do concreto de mesmo valor
de abatimento em função da variação do traço bruto 1:m
a/c
fc(-) pasta
(+) atrito
(-) coesão
(-) plasticidade
a/c
fc(+) pasta
(-) atrito
(+) coesão
(+) plasticidade
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LEI DE LYSE
Denomina-se teor de água do concreto,
representado pela letra “H”, o valor da relação
“massa de água / massa de materiais secos”
presentes na mistura.
Alguns autores preferem expressar o “H” em
porcentagem da massa de materiais secos. Para isso
esse valor e multiplicado por 100%.
O “H” também e chamado por alguns autores de
umidade da mistura.
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LEI DE LYSE
𝐻 =𝑀á𝑔𝑢𝑎
𝑀𝑐+𝑀𝑎+𝑀𝑏
𝑎 𝑐 =𝑀𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑀𝑐, 𝑎 =
𝑀𝑎
𝑀𝑐, 𝑏 =
𝑀𝑏
𝑀𝑐, m = a + b
𝐻 =( 𝑎 𝑐)∙𝑀𝑐
(𝑀𝑐+𝑎∙𝑀𝑐+𝑏∙𝑀𝑐)=
𝑀𝑐∙( 𝑎 𝑐)
𝑀𝑐∙(1+𝑎+𝑏)=
𝑎 𝑐
1+𝑎+𝑏=
𝑎 𝑐
1+𝑚
𝑯 = 𝒂 𝒄
𝟏 +𝒎
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LEI DE LYSE
Considerando “H” constante como afirma a Lei de
Lyse e fazendo “m” como função de “a/c”, temos:
1 +𝑚 = 𝑎 𝑐𝐻
𝑚 = 𝑎 𝑐𝐻
− 1𝑚 =1
𝐻 𝑎 𝑐 − 1
K3 K4
𝒎 = 𝑲𝟑 ∙ 𝒂 𝒄 + 𝑲𝟒
Assim, a partir de um conjunto de pontos de coordenadas (a/c, m) podemos, através do método dos mínimos quadrados, obter a equação que estabelece o valor do traço bruto em função da relação água cimento e, consequentemente, o valor de “H”.
a = K3 = 1/H b = - K4
y = (x) +
H = 1/a
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LEI DE MOLINARI
Molinari obteve uma equação que correlaciona o consumo de
cimento por m³ de concreto “C” com o traço bruto “m”, desde que
as várias misturas de traços distintos possuam mesmo abatimento e
tenham sido dosados com os mesmos materiais.
A equação tem a seguinte forma:
𝐶 =1000
𝐾5 + 𝐾6 ∙ 𝑚
sendo: K5 e K6 coeficientes representativos de um
conjunto particular de materiais (cimento e agregados)
Rearranjando para o formato linear: 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑪= 𝑲𝟓 ∙ 𝒎 + 𝑲𝟔,
y a x b
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RELAÇÃO ENTRE AS TRÊS EQUAÇÕES
m (Kg)
ABRAMS
LYSE
MOLINARI