Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem
Forma geral de uma equação linear
)()(')('' xryxgyxfy Qualquer equação de segunda ordem que não possa ser escrita assim é dita não-linear
0)1('''
sen4''22
yxxyyx
xeyy x
0''
0'''
xyy
yyy
Não-linear
Equações Homogêneas
0)(')('' yxgyxfyNeste caso r(x) = 0
Teorema:
a) se y1 e uma solução então ky1 também é uma solução
b) Se y1 e y2 são soluções então y1 + y2 também é solução
O teorema é conhecido como princípio de superposição ou de linearidade
Só é válido para equações lineares-homogêneas
Equações de segunda ordem, Homogêneas com coeficientes constates
0''' byayy
Vamos supor a e b reais
Lembrando que para a solução é:
Neste caso temos que:
0' kyyxey
x
x
ey
ey
2''
'
0)( 2 xeba
Equação característica
0)( 2 ba
Substituindo na equação diferencial temos:
Portanto:
baaebaa 4
2
14
2
1 22
21
Obtendo os valores
A solução do Sistema Homogêneo
x
x
ey
ey
2
1
2
1
Dado que a e b na equação característica são reais temos os seguintes casos possíveis:
a) 1 e 2 são reais e distintas
b) 1 e 2 são complexas conjugadas
c) 1 e 2 são reais e iguais
Solução Geral
Teorema: a solução y(x) = c1y1(x)+c2y2(x) constitui uma solução geral em um intervalo I do eixo dos x se, e só se, as funções y1 e y2 constituírem um sistema fundamental de soluções
y1 e y2 constituem um sistema fundamental se, e só se, se quociente y1/y2 não for uma constante em I, mas depender de x
Exemplo: as funções
são soluções do sistema:
xx eyeey 221
02''' yyy
Dado que y1/y2 não é constante constituem um sistema fundamental e a solução geral do sistema será
xx ececycycy 2212211
Raízes complexas na equação característica
Dado o polinômio característico:
0)( 2 baNa forma geral temos que
1 = p + iq
2 = p – iq
e as soluções são complexas
xiqpxiqp eyey )(2
)(1 ,
Aplicando as Fórmulas de Euler
sencos,sencos ieie ii
) )qxiqxeeeey
qxiqxeeeeypxiqxpxxiqp
pxiqxpxxiqp
sencos
sencos)(
2
)(1
qxeyyi
qxeyy
px
px
sen)(2
1
cos)(2
1
21
21
Os lados direitos das equações são linearmente independentes em qualquer intervalo
Desta maneira, formam um sistemas fundamental
A solução geral é então:
)sencos()( qxBqxAexy px
Raiz Dupla na Equação Característica
No caso de 1 = 2 temos o chamado caso crítico
1 = 2 são reais, teste caso a2 - 4b = 0
b = a2/4
Neste caso = -a/2
E obtemos uma única solução: y1=e x
baaebaa 4
2
14
2
1 22
21
Encontrando y2y2(x) = u(x)y1(x)
Onde y1=e x
Para o caso de raiz dupla a equação diferencial tem a forma
04
1''' 2 yaayy
Substituindo y2 nesta equação temos:
0'')'2(')4
1'''( 1111
211 yuayyuyaayyu
0''
0'' 1
u
e
yuPortanto u = x
E temos y2=xe x1
2/1 2
2'2 ayea
y ax
A solução no caso de raiz dupla
Teorema: No caso de raiz dupla a solução do sistema é da forma:
2:
)( 21
acom
exccy x
O problema da Unicidade da Solução
O problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem consiste da equação e de duas condições iniciais, uma para y(x) e outra para y’(x)
210 )0(')(
0)(')(''
KyeKxy
tendo
yxgyxfy
Equação de Cauchy
0'''2 byaxyyx
Pode ser resolvida usando manipulações algébricas
y = xm
0)1( 122 mmm bxaxmxxmmx
0)1( 122 mmm bxaxmxxmmx
Dividindo a equação por xm (não nulo para x 0) temos:
) 0/)1( 122 mmmm xbxaxmxxmmx
) 0)1( bammm
) 012 bmam
Manipulando Algebricamente
Se as raízes m1 e m2 são diferentes de zero então as funções:
1)(1mxxy 2)(2
mxxy
constituem um sistema fundamental de soluções na equação de Cauchy
Isto é válido para qualquer valor de x para os quais estas funções são reais e finitas
A solução geral correspondente é:
2121)( mm xcxcxy
Exemplo
02
3'
2
3''2 yxyyx
02
3
2
52 mm
As raízes são m1 = -1/2 e m2 = 3
O sistema fundamental será: 321 ,
1xy
xy
32
1 xcx
cy Solução:
Equação auxiliar
Equações Lineares não Homogêneas
)()(')('' xryxgyxfy
A solução tem a forma: )()()( xyxyxy ph
Isto constitui um dos teoremas fundamentais das equações diferenciais!!!
A solução Particular
Métodos dos coeficientes a Determinar
qxk
qxk
ke
nkxpx
n
sen
cos
,...)1,0(
px
nn
nn
Ce
KxkxKxK 011
1 ...
qxMqxK sencos
F_mola
F_amortecedor
+m
F_aplicada
Tomando uma convenção podemos estabelecer sinais para as forças:
para acima
=
positivo
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
F_mola
F_amortecedor
+m
F_aplicada
Agora podemos aplicar a 2a lei de Newton:
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
maF
F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma
F_mola
F_amortecedor
+m
F_aplicada
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
•Neste caso, obtemos a equação:
maF
F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma
•Na equação podemos identificar facilmente os elementos:
F_mola = kx
k = constante da mola
x = deslocamento
F_amortecedor = cv
c = constante do amortecedor
v = velocidade
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
F_aplicada - kx - cv = ma
•Podemos obter, então:
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
•Podemos assumir as convenções:
aceleração = a =
velocidade = v =
Força_aplicada = F
2
2
dt
xd
dt
xd
x
x
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
F_aplicada - kx - cv = ma
xmxckxF
•Desta maneira, o nosso modelo fica:
Na verdade o nosso modelo está representado por uma equação ordinária de segundo grau
Fkxxcxm
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
xmxckxF Fazendo manipulações algébricas temos:
•Este modelo pode ser melhor trabalhado usando Transformada de LAPLACE
•Queremos levar o nosso modelo para o Domínio de LAPLACE
Fkxxcxm
Fxkcsms ˆˆ)( 2
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
•Aplicando a transformada de LAPLACE temos:
kcsmsF
x
2
1ˆˆ
O Conceito de Função de Transferência
•Desta maneira podemos obter a expressão:
•Esta equação representa um relação entre entrada e saída do sistema
•Esta forma é denominada de Função de Transferência