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Equações Diferenciais Ordinárias
Prof. Guilherme Jahnecke Weymar
AULA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DE 1ª ORDEM
Equações diferenciais de primeira ordeme Aplicações
Fonte:Boyce, Bronson, Zill, diversos internet
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MODELOS MATEMÁTICOS Problema de física
Equação Diferencial
Elaborar pressuposiçõe
s e aproximações
razoáveis
Identificar variáveis
importantes
Aplicar as leis físicas relevantes
Solução do problema
Aplicar as condições
iniciais e de contorno
Aplicar uma técnica de
solução
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Queda livre de objetosO objetivo é saber qual
velocidade irá atingir o solo!
Lei Física: 2ª Lei de Newton
∑𝑖𝐹 𝑖=𝐹𝑅=¿𝑚 .𝑎¿
𝑃=−𝑚 .𝑔=𝑚 .𝑑𝑣𝑑𝑡
Aproximação
+
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Queda livre de objetos
−𝑔=𝑑𝑣𝑑𝑡 𝑣 (𝑡=0 )=𝑣0
Condição Inicial
Solução....
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Queda livre de objetosConsiderando a resistência do ar sobre o
paraquedista!
Lei Física: 2ª Lei de Newton
∑𝑖𝐹 𝑖=𝐹𝑅=¿𝑚 .𝑎¿
𝑃 −𝐹 𝑎𝑟=𝑚 .𝑔−𝑘𝑣2=𝑚 . 𝑑𝑣𝑑𝑡
+
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Queda livre de objetos
Exemplo....
𝑚 .𝑔−𝑘𝑣2=𝑚 . 𝑑𝑣𝑑𝑡
Observação:
𝑚 .𝑔−𝑘𝑣=𝑚 . 𝑑𝑣𝑑𝑡
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Corrente em circuito RL
𝒊 (𝒕 )
Comportamento da corrente em um circuito
composto por um Resistor (R) e um Indutor (I),
alimentado por uma fonte de tensão (E)
Diz: Diferença de potencial em um circuito fechado é igual à soma das voltagens em cada componente do circuito.
2ª Lei de Kirchhoff
𝐸 (𝑡 )=𝑉 𝑅+𝑉 𝐼
E=𝑖 (𝑡 ) .𝑅+𝐿 .𝑑𝑖 (𝑡)𝑑𝑡
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Corrente em circuito RL
Solução....
E=𝑖 (𝑡 ) .𝑅+𝐿 .𝑑𝑖 (𝑡 )𝑑𝑡
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Diluição de soluçõesProblema:
Determinar a quantidade dessa substância num instante futuro
Lei de Conservação
de Massa
Volume de Controle
𝑑𝑄 (𝑡)𝑑𝑡 =𝑡𝑎𝑥𝑎𝑑𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎− 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑑𝑒𝑠𝑎 í 𝑑𝑎
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Diluição de soluções
𝑑𝑄 (𝑡)𝑑𝑡 =𝑐 .𝑎−𝑄(𝑡 )
𝑉 0.𝑎
- quantidade da substância no instante .Taxa de entrada da substância = recebe uma solução ( da substância por litro de solução) a uma razão de . Taxa de saída da substância = solução formada () a uma razão de .
Aproximações: - O mecanismo de agitação no reservatório mantém
homogênea a solução que vai sendo formada.- A razão de entrada é a mesma razão de saída. Não
se altera o volume dentro do volume de controle!
Solução....
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Diluição de soluçõesLei de Torricelli: A velocidade v do fluxo de água de um buraco estreito na base do tanque preenchido com uma profundidade h é igual à velocidade que um corpo adquiriria caindo livremente a partir da altura h.
Calcular a profundidade h de água remanescente no
tanque no instante t.
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑞𝑢𝑒𝑑𝑒𝑖𝑥𝑎𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒=𝑣 . 𝐴hVolume de Controle
𝑑𝑉𝑑𝑡 =−𝑣 .𝐴h=𝐴h .√2h𝑔
𝑑 (h𝐴¿¿𝑤)𝑑𝑡 =− 𝐴h .√2h𝑔→
𝑑h𝑑𝑡 =−
𝐴h
𝐴𝑤.√2h𝑔¿
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Resfriamento de um corpo:Modelo simplificado para o fenômeno da variação de temperatura num corpo por perda de calor para o meio ambiente. Um corpo sem fonte interna de calor deixado em um ambiente com temperatura , sua temperatura tende a entrar em equilíbrio com a .Hipóteses:- Temperatura é a mesma em todo o corpo e depende apenas do
tempo. - é constante com o tempo, e é a mesma para qualquer ponto no
ambiente.- Fluxo de calor através das paredes do corpo é proporcional a
diferença entre as temperaturas do corpo e do meio ambiente.
𝑑𝑇𝑑𝑡 =−𝑘 .(𝑇 −𝑇 𝑎𝑚𝑏)
- constante que depende das propriedades físicas do corpo.Calor flui da Fonte Quente para Fonte Fria
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Decaimento RadioativoNúcleo de um átomo composto de prótons e nêutrons. Muitas dessas combinações são instáveis. Os átomos decaem ou transmutam em átomos de outra substância. Núcleos são chamados de radioativos.
Fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade de substância remanescente no instante .
𝒅𝑨(𝒕 )𝒅𝒕 ∝ 𝑨 (𝒕 )→ 𝒅𝑨 (𝒕 )
𝒅𝒕 =𝜶 .𝑨 (𝒕 )
–constante de decaimento da substância.
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Dinâmica Populacional1ª Tentativa de modelagem de crescimento populacional humano (Thomas Malthus, 1798).
Taxa segundo qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à
população total do país naquele instante.
– população no instante t.
𝒅 𝑷 (𝒕 )𝒅𝒕 ∝𝑷 (𝒕 )→ 𝒅𝑷 (𝒕 )
𝒅𝒕 =𝒌 .𝑷 (𝒕 )
Modelo não leva em conta muitos fatores que podem influenciar a população humana. (emigração e imigração)