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Capítulo IV: Derivada de funções de uma variável real a valores
reais.
Muitos são os problemas matemáticos caracterizados pela determinação de
máximos e mínimos de funções reais de uma variável onde é imprescindível a
aplicação do conceito de derivada, o qual será estudado nesse capítulo.
§4.1. Derivação.
Sejam R X f : uma função contínua e X a . O quociente
a x
a f x f xq
)()()( tem sentido para a x , logo define uma função
Ra X q : , cujo valor q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os
pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) no gráfico de f).
No caso em que X X a ' então é natural considerar )(lim xqa x
, que
representa a inclinação da tangente ao gráfico de f(x) no ponto (a, f(a)).
Definição de derivada: Sejam R X f : e X X a ' . A derivada da função
f no ponto a é o limite:
h
a f ha f
a x
a f x f a f
ha x
)()(lim
)()(lim)(
0
'
.
Este limite pode existir ou não. Se existir, diz-se que f é derivável no ponto a,
e a derivada nesse ponto é o valor do limite.
Exemplo 1: Seja R R f : dada por3
)( x x f .
x
y
a xo
y=f(x)
(x, f(x)) (a, f(a))
Fig.1: Gráfico da secante e da tangente a f.
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222333limlim
)()(lim)(' a
a x
aax xa x
a x
a x
a x
a f x f a f
a xa xa x
.
Exemplo 2: Seja R R f : dada por )()( x sen x f , então,
aah
senh
h
a senh senaha sen
h
a senha sen
h
a f ha f a f
hh
hh
cos)cos(.lim)()()cos()cos()(
lim
)()(lim
)()(lim)('
00
00
Pois cos0 = 1, e, além disso, 1)(
lim0
h
h sen
h.
Observação: Quando existe a derivada f’(x) em todos os pontos X X x '
diz-se que a função R X f : é derivável no conjunto X e se obtém uma
nova função R X X f '' : , tal que )(' x f x chamada à função derivada
de f . Se f’ é contínua diz-se que f é de classe C 1 .
Exemplo 3: Seja R R f : dada por4
)( x x f .
A função derivada tem a forma, 34)(' x x f .
Teorema 1: Sejam as funções f, g: X R deriváveis no ponto, X X a ' . As
funções cf, f g, fg, g
c e
g
f (caso 0)( a g ) são também deriváveis no ponto
a, com:
(cf)’(a) = cf’(a).
)(')(')()'( a g a f a g f .
(fg)’(a)= f’(a)g(a)+ f(a)g’(a).
)(
)(')(
2
'
a g
acg a
g
c
)(
)(')()()(')(
2
'
a g
a g a f a g a f a
g
f
.
.
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D: Para o produto das funções f e g tem-se que,
a x
a g x g a f
a x
x g a f x f
a x
a g a f x g x f
a xa xa x
)]()()[(lim
)()]()([lim
)()()()(lim
(fg)’(a)=f’(a).g(a)+f(a).g’(a).
Para o quociente das funções f e g tem se:
)(
)(')()()('
)()(
))()()(()())()((
lim
)()(
)()()()(
lim))(())((
lim)(
2
0
'
a g
a g a f a g a f
a g x g
a x
a g x g a f
a x
a g a f x f
a x
a g x g
a f x g a g x f
a x
a g
f x
g f
a g
f
h
a xa x
Os demais casos se fazem de forma semelhante, ficam para o leitor.
§4.1.1. Tabela das derivadas das funções elementares:
1) 1' nn nx x .
2) x x 21'
.
3) (sen(x))’=cos(x).
4) (cos(x))’ = - sen(x).
5) )(sec)( 2' x xtg .
6) )(cos)(cot 2' xec x g .
7) 1,1
1)(
2
'
x x
xarcsen .
8) 1,1
1)arccos(
2
'
x x
x .
9) 2
'
1
1)(
x xarctg
.
10) 2
'
1
1)(
x xarcctg
.
11) aaa x x ln' .
12) x x ee ' .
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13) x
x 1
)ln( ' .
Exemplo 4: Seja )()( 3
x sen x x f .
)cos()(3)(' 32 x x x sen x x f .
§4.1.2. Exercícios para calcular derivadas das funções.
188. 323 235 x x x y .
189. xa x y
3
5 .
190. x x
y ln2
.
191. xe x y 7 .
192. y = 3sen(x) + 5cos(x).
193. y = tg(x) – cotg(x).
194. y = arc tg(x) – arc ctg(x).
195. y = x.ctg(x).
196. y = x.arc sen(x).
197. x x
a y
x1
ln .
198.arcsenx
x y
2
199. xa x
x y x ln .
§4.1.3. Interpretação geométrica da derivada.
Foi indicado antes que a expressãoa x
a f x f xq
)()()( representa a inclinação
da secante a curva y=f(x) nos pontos P(a,f(a)) e Q(x,f(x)), quando se fala do
limite,
a x
a f x f x f
a x
)()(lim)(' ,
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Trata-se da inclinação da reta tangente à curva no ponto P(a,f(a)), e pode-se
dizer que a derivada da função y = f(x) no ponto P é o coeficiente angular ou
inclinação da reta tangente à curva nesse ponto P. Assim tem-se que;
tg a f )('
Onde é o ângulo formado pela parte positiva do eixo x com a tangente à
curva no ponto P(a, f(a)).
Exemplo 5: Achar o ângulo de inclinação da reta tangente à curva 2/2 x y
no ponto 2/1,1 .
)1(' f tg , mas f’(x) = x, assim tem-se que:
41
tg .
§4.1.4. Taxa de variação.
Se uma partícula percorre uma distancia s em um tempo t, então essa
dependência do espaço percorrido na unidade de tempo pode ser expressa
como uma função, logo s=f(t).
Para dois valores do tempo21,t t , o quociente,
12
12
t t
t f t f
,
Representa a velocidade media da partícula no intervalo de tempo 21,t t . Em
um momento dado arbitráriamente 0t , é razoável considerar que o limite,
Fig,2: Gráfico da interpretação geométrica da derivada.
x
y
a+Δxo
(a, f(a))
a+Δx a+Δx
(a+Δx, f(a+Δx))
α
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0
0
0
limt t
t f t f
t t
,
Representa a taxa de variação do espaço s com relação ao tempo t. Essa
taxa de variação é a velocidade instantânea da partícula no momento 0t .
Do mesmo jeito a taxa de variação da velocidade é a aceleração. Em forma
geral em um ponto genérico t no intervalo de definição da função tem-se que:
dt
dst f v )(' e
dt
dva .
Exemplo 6: Uma partícula se move de modo que, no instante t, a distância
percorrida é dada pela equação s(t) = 2t + 1.
2dt
dsv , é a velocidade da partícula, assim tem-se que a velocidade é
constante, então se tem que o movimento é retilíneo uniforme, para qualquer t
a velocidade será sempre a mesma, v=2.
§4.1.5. Exercícios para derivar funções e aplicar a taxa de variação.
200. Qual é o ângulo que forma a curva xe y 5.0 ao se intersecta com a
reta x = 2?
201. Em que ponto a reta tangente da parábola 372 x x y é paralela à
reta 5x+y-3=0?
202. Qual o ângulo que forma a reta tangente à curva2 x x y com o eixo
x, nos pontos x=0 e x=1.
203. Em que ponto da curva23 x y a reta tangente é perpendicular à reta
4x-3y+2=0?
204. Escrever a equação da reta tangente e da reta normal à parábola x y
no ponto de abscissa x=4.
205. Uma partícula se move de modo que no instante t a distância é dada por
t t t s 2)( 3 . Se o espaço é dado em Km e u tempo em horas, em que
instante sua velocidade é igual 48Km/h.
206. Um objeto se move sobre uma reta com velocidade dada pela função
54)( t t v , achar a aceleração no instante t=2.
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207. Uma partícula se move de modo que no instante t à distância percorrida
é dada por 2012)( 3 t t t s . Em que instante a velocidade é igual à
zero?
208. Determine a velocidade instantânea
h
Km
de uma Baleeira (transporte
fluvial) que vai de Tabatinga a Benjamin Constant no tempo t=0.2 h, se a
equação do movimento é 51015 2 t t s .
209. Um barco que viaja no trajeto Benjamin Constant a Tabatinga se
movimenta segundo a função s=24t+24, se a distância de Benjamin a
Tabatinga é de 36Km. Qual o tempo gasto nesse percurso, sabendo que
a velocidade é dada em Km/h.
§4.1.6. Derivadas de funções não dadas explicitamente.
Se a função é dada em forma paramétrica, é dizer:
)(
)(
t y y
t x x
,
Então a derivada de y em relação à x, pode-se expressar da seguinte forma:
dt
dxdt
dy
dx
dy ,
Exemplo 7: Calculardx
dy y ' , se:
3
12
t y
t x.
2
3 2t
dt
dxdt
dy
dx
dy .
Exemplo 8: Calculardx
dy y ' , se:
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t y
e x t
cos.
t e
sent
dt
dxdt
dy
dx
dy .
§4.1.7. Exercícios para derivar funções não dadas explicitamente.
Calculardx
dy y ' , se:
210.
t y
t t x
cos
2 2.
211.
22
t y
t x.
212.
t y
e x t
cos.
213.
t y
t x
ln
1
1
.
214.
t bsen y
t a x
2
2cos
.
115.
t
t
e y
e x
2 .
216.
)cos1(
)(
t a y
sent t a x
217.
t t y
te x t
cos
-
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218.
t
t y
t t x
ln
ln
4.1.8. Derivabiliade de funções.
Teorema2: A fim de que f: X R seja derivável no ponto aX’ X é
necessário e suficiente que exista um cR tal que se X ha então
f(a+h)=f(a)+ch+r(h), ondeh
hr
h
)(lim
0=0 no caso afirmativo, tem-se c=f’(a).
D: Seja Y={hR; a+hX}. Então 0Y Y’. Supondo que f’(a) existe define-se
r:Y R pondo r(h)= f(a+h)-f(a)-f’(a)h
Então
h
hr )(
h
a f ha f )()( -f’(a)
Logoh
hr
h
)(lim
0=0. A condição é necessária.
Reciprocamente se vale a condição, então.
ch
a f ha f
h
hr
)()()(
Logo
0)(
lim])()(
[lim00
h
hr c
h
a f ha f
hh, portanto f’(a) existe e é igual a c.
Corolário: Uma função é continua nos pontos em que é derivável.
D: Se f é derivável no ponto a então f(a+h)=f(a)+f’(a)h+[(h)/h]h, com
0)(
lim0
h
hr
h, logo )()(lim
0
a f ha f h
, ou seja f é contínua no ponto a.
Exemplo 9: A função f: RR;
x
xsen x f 1
)( em a = 0 não é derivável, pois.
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h sen
h
f h f
hhh
1lim
)0()0(lim
0 não existe . Mas
x
sen x x xf x g 1)()(
2 é
derivável em a, pois 01
lim)0()0(
lim0
hhsen
h
g h g
hhh. Quando x 0
x x xsen x g
1cos
12)(
' , não existe o limite )('lim0
x g x
, então a derivada
g’:R R não é contínua.
Se a é um ponto de acumulação pela direita, isto é, aX’ X, pode-se tomar
o limite )(lim)(' xqa f a x
. Quando existe este limite, chama-se derivada à
direita de f no ponto a.
Analogamente define-se a derivada à esquerda )(lim)(' xqa f a x
aX’ X.
Se a é um ponto de acumulação bilateral, aX’ X’ X,
)(')(')(' a f a f a f .
Exemplo 10: A função f:RR; x x f )( em a=0 não é derivável, pois:
0,
0,,
)( sex x
x se x
x x f
Assim,
1)0(',,1)0(' f e f .
§4.1.9. Exercícios para calcular as derivadas laterais.
Determinar a derivada das seguintes funções no ponto indicado ou conclua
que não existe.
219. xm y em a = 0.
220. x x y em a = 0.
221.
0,,
0,,1
xquandoe
xquando x y
x em a = 0.
222.
1,,)1(1,,1
2
xquando senx x xquando x y em a = 1.
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223.
e xquando xe
e xquando x x y
x ,,
0,,ln)2( em a = e.
§4.1.10. Regra de L’Hospital.
Se f e g são deriváveis e0
0
)(
)(lim
x g
x f
a x, ou
)(
)(lim
x g
x f
a x pela definição de
derivadaa x
x f a f
a x
)(lim)(' , então se g’(a) 0,
)('
)('
)(lim
)(lim
)(
)(
)(
)(
lim)(
)(lim
a g
a f
a x
x g a x
x f
a x
x g
a x
x f
x g
x f
a x
a x
a xa x
.
A continuação se aplicará a regra de L’Hospital ao cálculo de limite para o
caso das diferentes indeterminações. Já antes foi usado o limite fundamental
algébrico, aqui será provado esse resultado.
Observação: O limite x x
x
1
0)1(lim
é o caso de indeterminação
1 , para o
qual aplica-se logaritmo neperiano à expressão anterior.
Será visto diferentes casos de indeterminação fazendo uso desseprocedimento.
Proposição: e x x x
1
0)1(lim .
D: Seja x x x f 1
1)( , então,
x x
x f 1ln1
)(ln , Assim,
001lnlim)(lnlim 00 x x x f x x Indeterminação.
Aplicando a regra de L’Hospital, tem-se que,
11
1lim)(lnlim
00
x x f
x x.
Mas 1ln1)(lnlim0
L x f x
, então L = e.
Exemplo 11: Calcular
x x x x
33lim 20
-
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Aqui se tem que
x x x x33
lim20
Indeterminação.
1
3
1
133332
x x
x
x x
x
x x x,
Logo,
0
03lim
31lim
2020
x x
x
x x x x x Indeterminação.
Agora, aplicando L’Hospital, tem-se que,
312
3lim
3lim
020
x x x
x
x x.
§4.1.11. Exercícios para calcular limites aplicando a Regra de L’Hospital.
Calcular os seguintes limites
224. x
x x
1
lim
.
225. x
x x ln4
3
lim
.
226.2
cos
1)1(lim
x
x x
.
227. x
xctgx ln
1
0)(lim
.
228.tgx
x x)
1(lim
0.
229. x x
x
lnlim
.
230.
2
lim0 xctg
x x
.
231.
senx
senmx
x ln
lnlim
0 .
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100
232.
x x
x
x ln
1
1lim
1.
233.
6
5
3
1lim
2
3 x x x x.
234.
xctgx
x
x cos2lim
2
.
4.1.12. Derivadas de funções compostas.
Existem muitos problemas que para determinar sua solução é preciso achar a
derivada de funções compostas, aqui o método ideal é usar a regra da cadeia.
Teorema 3 (Regra da cadeia): Sejam f: X R, g: YR, ' X X a
'Y Y b , Y X f )( e f(a) = b. Se f é derivável no ponto a e g é derivável no
ponto b então, gof: XR é derivável no ponto a, com (gof)’(a) = g’(f(a))f’(a).
D: Devido a que Y X f )( , tem-se que para cada x do conjunto X, existe um
y do conjunto Y, tal que y=f(x). Para determinar (gof)’(a), considere-se a
expressão,
].))(())((
[lim))(())((
lim)()'(a x
b y
b y
a f g x f g
a x
a gof x gof a gof
a xa x
Mas pela continuidade de f no ponto a quando o x tende para a o y tende para
b, assim,
).(')).((')(').('
)()(
lim.
)()(
lim].
))(())((
[lim
a f a f g a f b g
a x
a f x f
b y
b g y g
a x
b y
b y
a f g x f g
a xb ya x
O que prova o teorema.
Corolário: Seja f: XY uma bijeção entre os conjuntos X, Y R, com inversa
g = f 1 :Y X. Se f é derivável no ponto aX’ X e g é contínua no ponto
b=f(a) então g é derivável no ponto b se, e somente se, f’(a) 0. No caso
afirmativo tem-se)('
1)('
a f b g .
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101
D: Aqui se tem que bY’ Y, e g é derivável no ponto b, e como 1 f g se
satisfaz a igualdade g(f(x)) = x válida para todo xX, juntamente com a regra
da cadeia, fornece g’(b)f’(a)=1, e por conseguinte, f’(a) 0. Reciprocamente,
se 0)(' a f então,
)()(lim
)()(lim)('
a f x f
a x
b y
b g y g b g
a xb y
Pois y=f(x), b=f(a) e f e g são funções inversas, assim tem-se que,
1
1
)]('[)()(
lim)()(
lim)()(
lim)('
a f a x
a f x f
a f x f
a x
b y
b g y g b g
a xa xb y
Exemplo 12: Dado y = f(x) = senx, achar a derivada de .)(1 arcsenx x f
f ’(x)=cosx, mas22 11cos y x sen x . Como que
)('
1)]'([
1
x f x f ,
tem-se que:2
1
1
1]'[)]'([
xarcsenx x f
.
§4.1.113. Exercícios para aplicar a regra da cadeia no cálculo dasderivadas de funções.
Calcular as derivadas das seguintes funções.
235. 4223 x y .
236. 2223 bxa y .
237.2
1 x y .
238. 523 senx y .
239. arcsenx y 1 .
240.3
)(arcsenxarctgx y .
241. x xe y x .
242. 1ln x y .
-
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102
243.5
cos23 x senx y
.
244.2
xaa
x y
.
§4.2. Funções deriváveis num intervalo.
Se uma função é derivável num intervalo é possível estudar o crescimento
concavidade e convexidade do gráfico, entre outras propriedades, elementos
importantes no estudo do esboço gráfico de uma função.
Teorema 4: Se f: X R é derivável à direita no ponto aX X’ , com
0)(' a f , então existe um 0 tal que X x , a xa )()( x f a f .
D: Tome-se 0)(')()(
lim
a f a x
a f x f
a x, pela definição de limite à direita,
tomando )(' a f L , obtém-se:
)()(0)()(
,,0 x f a f a x
a f x f a xa X x
Corolário 1: Se f: X R é monótona não decrescente então suas derivadas
laterais, onde existem são não negativas.
D: Se alguma derivada lateral, digamos 0)(' a f então o análogo ao
teorema daria que se x X, a < x então f(a) > f(x), uma contradição.
Corolário 2: Seja a X um ponto de acumulação bilateral. Se f: X R é
derivável em a com f’ (a) > 0, então existe > 0 tal que x, y X,
)()()( y f a f x f a ya xa .
Diz-se que uma função f: X R tem um máximo local no ponto a X
quando existe > 0 tal que x X, a x < f(a) f(x); se f(x) < f(a), diz-
se que o máximo local é estrito. Definições análogas para mínimo local.
-
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103
Quando a X é tal que f(x) f(a) x X, diz-se que a é um ponto de
mínimo absoluto. Analogamente para máximo absoluto.
Corolário 3: Se f: X R é derivável à direita no ponto a X X’ e tem um
máximo local então f’(a) 0.
D: Se f fosse tal que f’ (a) > 0 então f(a) < f(x) para todo xX, a < x < a + ,
logo f não teria um máximo no ponto a.
Corolário 4: Seja a X um ponto de acumulação bilateral. Se f: X R é
derivável no ponto a e a função possui um máximo ou mínimo local então
f’(a)=0.
D: Suponha-se 0)(' a f e 0)(' a f . Como )(')(')(' a f a f a f , segue-
se que 0)(' a f .
Um ponto cX chama-se ponto crítico da função derivável f: X R quando
f’(c) = 0.
Se cX’ X’
X é um ponto de mínimo ou de máximo, então c é um ponto
crítico.
Teorema 5 (Teorema de Darboux): Seja Rba f ],[: derivável. Se
f’(a)
-
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104
D: Pelo teorema de Weierstrass, f atinge seu máximo M e seu mínimo m em
pontos do conjunto compacto [a,b]. Se esses pontos forem a e b então m = M
e f será constante, daí f’(x) = 0 para todo x(a,b). Se um desses pontos m ouM estiver em (a, b) e, denote-se por c, então f’(c) = 0.
Teorema7(Teorema do valor médio de Lagrange): Seja f:[a, b]R
contínua. Se f é derivável em (a,b), existe um ),( bac tal que
ab
a f b f c f
)()(
)(' .
D: Considere-se a função auxiliar g: [a, b] R, dada por g(x) = f(x) - dx, onde
d é escolhido de modo que g(a) = g(b), ou seja,ab
a f b f d
)()(
. Pelo Teorema
de Rolle existe c (a, b) tal que g’(c)=0=f’(c)-d. Isto éab
a f b f d c f
)()(
)(' .
Fig.3: Gráfico de Teorema de Rolle
x
y
a bo
y=f(x)
C1C2
Fig.4: Gráfico do Teorema do valor médio
x
y
a bo
y=f(x)
c
-
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Corolário 1: Uma função f: I R contínua no intervalo I, com derivada f’(x) =
0 para todo xintI, é constante.
D: Dados x, yI quaisquer, existe c entre x e y tal que
f(y) - f(x) = f’(c)(y - x) = 0(y - x) = 0
logo f(y) = f(x).
Corolário 2: Se f,g: I R contínuas, deriváveis em intI com f’(x) = g’(x) para
todo xintI então existe cR tal que g(x) = f(x) + c para todo xI.
D: Basta considerar h(x) = g(x) - f(x).
Corolário 3: Seja f: I R derivável no intervalo I, se I xk x f Rk )(';
então x yk x f y f I y x )()(, .
D: Dados x, y I, f é contínua no intervalo fechado cujos extremos são x, y e
diferenciável no seu interior. Logo, existe z entre x e y tal que
f(y)-f(x) = f’(z)(y-x),
Donde
x yk x y z f x f y f )(')()( .
Corolário 4: A fim de que a função derivável f: I R seja monótona não
decrescente no intervalo I é necessário e suficiente que f’(x) 0 para todo
x I. Se f’(x) > 0 para todo x I então f é uma bijeção crescente de I sobre
um intervalo J e sua inversa g=f 1 :J I é derivável, com)('
1)('
x f y g para
todo y = f(x) J.
D: Já se sabe que f é monótona não decrescente então f’(x) 0 para todo
I x . Reciprocamente, vale esta condição então, para quaisquer x, y I,
tem-se f(y) - f(x) = f’(z)(y - x) onde z I está entre x e y. Como f’(z) 0 se vê
que f(y) - f(x) 0, isto é x < y em I f(y) f(x). Do mesmo modo suponha-
se, f’(x) > 0 para todo x I, tem-se f crescente. As demais afirmações foram
provadas anteriormente.
-
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Na epígrafe 4.1 foi visto que, quando existe a derivada f’(x) em todos os
pontos X X x ' diz-se que a função R X f : é derivável no conjunto X e
se obtém uma nova função R X X f '' : , tal que )(' x f x chamada à
função derivada de f. Se f’ é derivável pode-se determinar sua derivada,
obtendo assim uma nova função R X X f ':" , ou2
2
dx
f d , no caso que as
derivadas existam, este processo pode ser continuado, obtendo assim, as
derivadas de ordem superior , ou derivadas de ordem n para um n natural
qualquer.
A seguir serão aplicadas as derivadas de segunda ordem para o estudo dos
máximos e mínimos de funções.
§4.3. Máximos e mínimos de uma função.
Uma função tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I,
c I tal que f(x) < f(c) para todo I x
Uma função tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I,
c I tal que f(c) < f(x) para todo I x
Na gráfica os pontos x1 e x3 são pontos de máximo local, entretanto x2 e x4
são pontos de mínimo local.
Exemplo 13: Seja a função f(x) = -x 2 + 4.
Tem um máximo em x = 0.
Fig. 5: gráfico de máximos emínimos locais
-
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Exemplo 14: Seja a função f(x)= x 2 + 2x - 3.
Tem um mínimo em x = -1.
Proposição: Suponha-se que f’(x) existe para todos os valores de x em (a,b)
e que tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f’(c) existe então
f’(c)=0.
Se f '(c) existe, a condição f’(c) = 0 é necessária para a existência de um
extremo relativo em c. Esta condição não é suficiente.
Definição: O ponto c do domínio de f tal que f’(c) = 0 ou f’(c) não existe, é
chamado pon to crític o de f. Portanto, uma condição necessária para a
existência de um extremo relativo em um ponto c é que c seja um pontocrítico.
É interessante verificar que uma função definida num dado intervalo pode
admitir diversos pontos extremos relativos.
Exemplo 15: Seja 3)( x x f então 23)(' x x f , da condição f’(c) = 0
c = 0, que é o único ponto crítico de f.
Exemplo 16: f(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3), aqui se tem que, f(2)=f(-1)=f(-3), e
pelo teorema de Rolle, existem dois pontos onde a derivada anula-se, um no
intervalo (-3,-1) e um outro no intervalo (-1,2).
652)( 23 x x x x f ,
e sua derivada,
543)(' 2
x x x f ,e assim os pontos críticos de f são:
3
192,
3
19221
x x
Diz-se que f(c) é o máximo absoluto da função se )( f Dc e f(c) > f(x) para
todos os valores de x no domínio de f.
Diz-se que f(c) é o mínimo absoluto da função se )( f Dc e f(c) < f(x) para
todos os valores de x no domínio de f.
-
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Exemplo 17: A função f(x) = x 2 + 6x - 3 tem um mínimo absoluto igual a
-12 em c = -3.
Exemplo 18: A função f(x) = -x 2 + 6x - 3 tem um máximo absoluto igual a 6
em c = 3.
§4.4. Funções crescentes e decrescentes.
Diz-se que uma função f, definida num intervalo I, é crescente, neste intervalo
I se para quaisquer ,,, 2121 x x I x x tem-se )()( 21 x f x f .
Diz-se que uma função f definida num intervalo I, é decrescente nesse
intervalo I se para quaisquer ,,, 2121 x x I x x tem-se )()( 21 x f x f .
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no
intervalo (a, b) e cumpre-se que:
(i) Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a,b];
(ii) Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a,b].
Teorema 8 (Critério da derivada primeira para determinação de
extremos): Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que
possui derivada em todos os pontos do intervalo (a,b), exceto possivelmente
num ponto c, sendo c um ponto crítico de f:
-Se f ’(x) > 0 para todo x < c e f’ (x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo
relativo em c.
-Se f ’(x) < 0 para todo x < c e f ’(x) > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo
relativo em c.
Exemplos 19: Seja 6)( 2 x x f , f’(x) = 2x, x = 0 é um ponto crítico de f.
Para x < 0, f’(x) < 0, e para x > 0, f’(x) > 0, então a função dada tem um
mínimo relativo em x=0.
Teorema 9 (Critério da 2º derivada para determinação de extremos de
uma função): Seja f uma função derivável num intervalo (a,b), c um ponto
-
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crítico de f neste intervalo, isto é, f'(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a
derivada de segunda ordem em (a,b), tem-se:
(i) Se f”(c) < 0, então se tem um valor máximo relativo de f, no ponto x=c.
(ii) Se f”(c) > 0, então se tem um valor mínimo relativo de f, no ponto x=c.
Exemplo 20: Seja 3)( 2 x x f , f’(x) = - 2x, então x = 0 é um ponto crítico.
f”(x) = - 2, assim f”(0) = - 2, a função tem um máximo relativo em x = 0.
Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a,b), se f’(x) é crescente
neste intervalo.
Uma função f é côncava para baixo no intervalo (a,b), se f'(x) for decrescente
neste intervalo.
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até
segunda ordem no intervalo (a,b):
-Se f "(x) > 0 para todo x em (a,b), então f é côncava para cima em (a,b).
-Se f "(x) < 0 para todo x em (a,b), então f é côncava para baixo em (a,b).
Um ponto P(c,f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chamado um ponto
de inflexão, se existe um intervalo (a,b) contendo c, tal que uma dasseguintes situações ocorra:
(i) f é côncava para cima em (a,c) e côncava para baixo em (c,b),
(ii) f é côncava para baixo em (a,c) e côncava para cima em (c,b).
Exemp lo 21: (0,0) é um ponto de inflexão de3)( x x f .
Pois f”(x) = 6x, e para )0,( , f”(x) < 0, quer dizer que f é côncava para baixo;
e para ),0( , f”(x)>0, quer dizer que f é côncava para cima.
§4.5. Assíntotas verticais e obliquas.
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = f(x), se:
)(lim x f a x
A reta y = mx + b é uma assíntota oblíqua do gráfico de y = f(x), se:
i) m x x f
x
)(lim
-
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ii) bmx x f x
])([lim
De forma análoga para x .
Exemp lo 22: Seja2
7)(
x
x f .
2
7lim
2 x x e
2
7lim
2 x x,
então x = 2 é uma assíntota vertical.
Exemp lo 23: Seja 92
1)(
x
x x f
92
1lim
2
9 x
x
x
e
92
1lim
2
9 x
x
x
,
Então,2
9 x é uma assíntota vertical.
0)92(
1lim
x x
xm
x
e2
1
92
1lim
x
xb
x
,
Assim tem-se uma assíntota horizontal2
1 y .
§4.6. Esboço dos gráficos.
Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função,
pode-se fazer um resumo das atividades que se terá em conta para o esboço
dos gráficos, esses são:
1) Determinar o D(f)
2) Calcular os pontos de intersecção com os eixos.
3) Encontrar os pontos críticos.
4) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
5) Encontrar os máximos e mínimos relativos.
6) Anlisar a concavidade e os pontos de inflexão de f.
7) Encontrar as assíntotas verticais e oblíquas.
8) Esboçar o gráfico.
-
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111
EExxeemmpplloo2244:: 1
)(2
x
x x f
11)) DD((f f )) == RR -- {{11}}
22)) PPaar r aa xx == 00,, yy == 00..
33)) 2
2
)1(
2)('
x
x x x f
--PPoonnttooss ccr r ííttiiccooss:: xx == 00,, xx == 11,, xx == 22..
44)) CCr r eesscceennttee::
DDeeccr r eesscceennttee:: ]2,1()1,0[
55)) ((00,,00)) -- ppoonnttoo ddee mmááxxiimmoo llooccaall.. ((22,,44)) -- ppoonnttoo ddee mmíínniimmoo llooccaall..
66)) CCoonnccaavviiddaaddee::
3)1(
2)(''
x x f
)1,( -PPaar r aa eemmbbaaiixxoo,, ppooiiss nneessssee iinntteer r vvaalloo f f ””((xx)) 00..
77)) A Assssíínnttoottaass::
1
2
1
lim x
x
x
,, 1
2
1lim
x
x
x
xx == 11 éé uummaa aassssíínnttoottaa vveer r ttiiccaall..
11
lim)(
lim
x
x
x
x f m
x x
11
lim)(lim2
x
x
x x x f b
x x
yy == xx ++ 11 éé uummaa aassssíínnttoottaa oobbllííqquuaa..
),2[]0,( U
-
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§4.7. Problemas de maximização e minimização.
O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente
qual a função que deverá ser analisada. Esta função poderá ser escrita em
função de uma ou mais variáveis. Quando a função é de duas variáveis deve-
se procurar expressar uma das variáveis em função da outra.
Exemplo 25: Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construídade forma que o seu volume seja 8m3. O material da base vai custar R$ 4,00
por m2 e o material dos lados R$ 2,00 por m2. Encontre as dimensões da
caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.
Observando a Figura 6, escreve-se a função que dá o custo do material:
C = x 2 .4 + 4xy.2
V = x 2 y = 8 cm3 ,
Isolando o y e substituindo em C,
tem-se que,
y=2
8
x
080)('648
)(' 3
2
3
x xC x
x
xC i x
i x
x
21
21
2
3
2
1
- Não é possível.
x x xC
644)(
2
Figura 6: Gráfico da função.
x
y
2
4
o
y=x +1x =1
Fig.7: Gráfico da caixa
xx
y
-
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24
8 y
4.7.1. Aplicação no amazonas da maximização e minimização.
Exemplo 26: Se quer construir uma oca (figura 8) cujas dimensões são
mostradas no gráfico (figura 9), onde l é altura lateral, h é altura do telhado
cônico e 2r diâmetro da parte inferior, se coloca a restrição adicional h=r,
também é conhecida a sua área e se deseja maximizar seu volume.
O volume da oca é a soma dos volumes do cone e o cilindro
V=Vcone+Vcili=3
2
3
r r l
,
A área da oca é A=Acone+Acili=22 2r rl , como a área total da oca é
conhecida e isolando l na fórmula da área se obtém2
2
2
A r l
r
e
substituindo na fórmula do volume. Fica o volume como função de uma
variável (r),3
32/ 2
3 2
r V rA r
Calculando a primeira derivada e igualando a zero obtém-se a equação para
determinar os possíveis pontos extremos, veja.
2 2( 3 ) 02 2
dV Ar
dr , de onde
(3 2 2)
Ar
, calculando a segunda
derivada para verificar qual dos valores de r é o máximo da função volume
h
l
r
Fig.9: Gráfico das dimensõesFig.8: Gráfico da oca.
-
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2
2 (3 2 2)
d V r
d r , a segunda derivada é negativa no ponto
(3 2 2)
Ar
,
onde se tem um máximo. Então a oca com área A alcança seu máximo
volume quando (3 2 2)
A
r , e
( 2 1) ( 2 1)(3 2 2)
Al r
§4.8. Método de Newton-Raphson.
Sabe-se que as equações polinomiais de 1a até 4a ordem tem fórmulas gerais
para determinar sua solução, para o caso particular das equações de 3a e 4a
ordem, onde essa fórmula quase não se utiliza, para as equações de 5a
ordem e superior não tem fórmulas gerais, o qual foi demonstrado por Galois
no século XIX, para as equações transcendentes, por exemplo,
04/)1(10/)1(1)1(105 2 harcsenhh , que é uma equação com
relação h, não se tem fórmulas e se têm que aplicar outros métodos para
resolvê-la.
Aqui aparecem os métodos numéricos, que permitem construir sequências
convergentes de soluções aproximadas, quando satisfeitas determinadas
condições. Aqui será visto o método de Newton-Raphson, o qual é muito
importante.
Seja a equação y=f(x), e suponha-se que tem o seguinte gráfico.
Observe que f(x) = 0 em um valor próximo de 4, com um pacote matemáticodar para acompanhar uma aproximação e com zoom sucessivos alcançar
Fig10: Gráfico de Newton-Raphson.
x
y
o
y=f(x)
-2
4
-
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aproximações imprecisas , para obter melhores aproximações é necessário
um método numérico.
O método de Newton –Raphson graficamente mostra-se na figura a seguir
f(x)
x1x2
x1 e x2 serão as aproximações convergentes à raiz, se construirá a fórmula
para calcular os valores, o método consiste em tomar um ponto inicial na
curva, (x0,f(x0)), onde se calcula a reta tangente, sabe-se que a primeira
derivada da função f(x) avaliada no ponto x0, representa geometricamente o
coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto (x0,f(x0)), também se
conhece que dado um ponto e o coeficiente angular, a equação da reta se
pode determinar pela fórmula y - f(x0) = m(x - x0), como m = f’(x0) se tem quey-f(x0)=f’(x0)(x-x0), em x1 a reta tangente anula-se então tem-se
f(x0)=f’(x0)(x1-x0), isolando x1 (se f’(x0) ≠ 0) , obtém-se a fórmula
01 0 1
0
( )
( )
f x x x
f x , para obter x2 conhecendo x1 se aplica a mesma fórmula
12 1 1
1
( )
( )
f x x x
f x e assim sucessivamente a fórmula geral fica 1 1
( )
( )
nn n
n
f x x x
f x ,
como se vê na fórmula; não se pode aplicar o método no caso que a derivada
se anule. Também se tem duas situações que o método não funciona que
Fig.10:Gráfico dos passos dométodo de Newton-Raphson
-
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uma aproximação fique fora do domínio da função o tenha lugar em uma
repetição cíclica entre duas raízes.
Teorema 10: Seja r a raiz de f(x) = 0 no intervalo [a,b]. Sejam f’(x) e f’’(x)
continuas e diferentes de zero em [a,b]. Seja x0 um ponto de [a,b] tal que
f’(x0)f’’(x0) > 0. Então se 1 1( )
( )
nn n
n
f x x x
f x para n= 1,2,3,...se tem lim n
n x r
.
Sobre o critério de parada do método esta associada ao erro. Se desejar obter
uma solução com um erro absoluto menor que ε, então o método de Newon-
Raphson se desenvolve até a aproximação xn que satisfaz, |xn – xn-1| < ε.
§4.8.1. Aplicação no amazonas no Método de Newton-Raphson.
Exemplo 27: Em uma comunidade indígena para ter água acumulada na
época da estiagem, tem um tanque de água da forma mostrada (fig.11) que é
um cilindro circular colocado em forma horizontal, mais para controlar a água
que têm em cada momento eles querem medir com uma vara atravessando o
eixo radial.
Utilizando geometria básica pode-se modelar o problema para encontrar
diferentes valores de unidades cúbicas de água que tem o tanque e colocar
altura h da vara, este processo é conhecido como aferimento, à equação
transcendente mostrada ao início do assunto é um caso particular deste
problema.
vara
Fig. 11: Gráfico do tanque.
r
-
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A área C calculando e subtraindo ao quadrante inferior esquerdo a área do
triângulo retângulo B e o setor circular A, tem-se.
Área (A) =2
( )
2
r r harcsen
r
, Área (B)= 2 2
( )( )
2
r hr r h
, portanto
Área (C) =2 2
2 2( ) ( )( )
4 2 2
r r h r r hr r h arcsen
r
O volume de água será duas vezes essa área pelo comprimento L do cilindro,
se terá finalmente o modelo matemático em forma de equação transcendente
para determinar altura para um volume dado do cilindro.
2 22 2( ) ( )
2 ( ( ) )4 2 2
r r h r r hV L r r h arcsen
r
,
Observe que quando h > r os elementos A e B aparecem e é preciso somá-los
e neste caso o sinal das expressões de suas áreas mudam.
Considerando o caso particular e calculando a altura (h) para que o cilindro
tenha um volume de água determinado, para um tanque de dimensões
10 L , r = 1 a que altura h se alcançará quatro unidades cúbicas de água?
Ter-se-ia a equação original do início. Para o cálculo da raiz h para que o
volume de água do cilindro seja V = 4 unidades cúbicas.
2( ) 5 10(1 ) 1 (1 ) / 10 (1 ) / 4 0 f h h h arcsen h
20 ( 2)'( )
h h f h
Então substituindo na fórmula do método obtém-se o esquema de cálculo
2
0 0 0
1 0
0 0
5 10(1 ) 1 (1 ) / 10 (1 ) / 4
20 ( 2)
h h arcsen hh h
h h
,
Precisa-se de uma primeira aproximação que satisfaça o teorema da
convergência.
Fig. 12: Gráfico das dimensões do tanque
rh
A B
C
-
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20( 1)''( )
( 2)
h f h
h h
.
Colocando h = 0,2 se terá que, f’(0,2) f’’(0,2) = 32,42 > 0, portanto como h fica
no intervalo [0,1;0,9] e [1,2;1,9] onde as funções possuem derivadas continuas
e não são zeros, então se terá garantida a convergência do método.
Sabe-se que em V(0) = 0, V(1) = 5, V(2) = 10 unidades cúbicas.
Aplicando o método (existem muitos programas que o calculam)
Obtém-se na terceira iteração h3 = 0.84226385544913873193,
Na quarta iteração h4 = 0.84226380619998442167
|h4-h3| = 4,92491543103.10-8, que garante uma solução com um erro menor
que 10-6.
Portanto se aproxima na altura h = 0.842 o cilindro terá 4 unidades cúbicas de
água.
Se for preciso calcular para outros volumes, por exemplo, 1,2,3,5,6,7,8, e 9
unidades cúbicas as alturas para aferir a vara, será necessário resolver aequação para cada um de esses valores.
§4.9. Exercícios gerais do capítulo.
245. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o
maior possível.
246. Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy = l, queestá mais próximo da origem.
247. Determine o ponto da reta y = x - 1 mais próxima do ponto (2,0).
248. Seja s uma reta que passa pelo ponto (4, 3) formando um triângulo com
a parte positiva dos eixos coordenados. Qual a equação de s para que a área
desse triângulo seja mínima?
250. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige
que o comprimento de cada caixa seja 2m e o volume 3m3. Para gastar a
menor quantidade de material possível na fabricação das caixas, quais devem
ser suas dimensões?
-
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251. Um cacique possui 500 Km de arame para delimitar um terreno, a dois
fios, em forma retangular. Quais devem ser as dimensões dos lados para que
a área seja máxima?
252. Para cortar a quinta parte de um queijo de forma cilíndrica de r = 20 cm,
determine aproximadamente a que distância do centro deve ser dada o corte.
Sugestão: Aplicar variante do exemplo 16.
EEssbbooççaar r oo ggr r ááf f iiccoo ddaass sseegguuiinntteess f f uunnççõõeess::
225533.. 4
4)(
x x f
225544..
x
x x f
2
13)(
225555.. x x x x f 23)( 23
225566.. 1
5)(
x
x x f
225577.. x
x x f 2
)(
225588.. 23)( x x x f
22
55
99
.
.
)1ln()( xe x f
226600.. 4)(1
xe x f
226611..
21
2
2
4
2)(
x
x x f
226622.. x
x x f
ln)(
226633.. 1)( xe x f
226644.. )1ln()( xe x f
226655.. senx x x f )(
266. Sejam f, g, h: X R tais que f(x) g(x) h(x) xX. Se f e h são
deriváveis no ponto aX’ X, com f(a) = h(a) e f’(a) = h’(a), prove que g é
derivável nesse ponto, e g’(a) = f’(a).
Sugestão: Use duas vezes o teorema do sanduíche.
-
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267. Seja I um intervalo aberto. Uma função f: I R diz-se de classe
C 2 quando é derivável e sua derivada f’: I R é de classe C 1 . Prove que se
f(I) J e g: J R também é de classe C 2 então a composta gof: I R é de
classe C 2 .
Sugestão: Use a segunda derivada da função composta.
268. Seja I um intervalo aberto com centro 0. Uma função f: I R chama-se
par quando f(x) = f(-x) par todo xI. Prove que se f é par, suas derivadas de
ordem par são pares, e as derivadas de ordem ímpares são ímpares.
Enuncie resultado análogo para f impar.
Sugestão: Use a derivada de uma função composta.
269. Seja f: I R derivável no intervalo I. Um ponto crítico cI chama-se
não degenerado quando 0)(" c f . Prove que todo ponto crítico não
degenerado é um ponto de máximo ou de mínimo local.
Sugestão: Valore os diferentes sinais da segunda derivada.
270. Seja f: R R definida por f(x) = (lnx)/x, indique os intervalos de
crescimento e decrescimento de f, seus pontos críticos e seus limites
quando x0 e quando x + .
271. Prove que )1,1()2
,2
(:
sen , )1,1(),0(:cos e R sen )2
,2
(:
são bijeções com derivadas diferentes de zero em todos os pontos e calcule
as derivadas das funções inversas: )2
,2
()1,1(: arcsen ,
),0()1,1(:arccos e )2
,2
(: Rarctg .
Sugestão: Aplique a fórmula da derivada da função inversa.
272. Sejam f, g, h: X R tais que f(x) g(x) h(x) xX. Se f e h são
deriváveis no ponto aX’ X, com f(a) = h(a) e f’(a) = h’(a), prove que g éderivável nesse ponto, e g’(a) = f’(a).
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8/18/2019 Equações Diferencias Ordinárias
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