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dualità onda-‐particella → particella libera come onda piana
Equazione di Schrödinger
1
de Broglie
Einstein
NB -
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2
Equazione di Schrödinger • derivata temporale:
• derivata 2^ spaziale:
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3
Equazione di Schrödinger
• spazio 3D:
• potenziale esterno V:
equazione di Schrödinger
Hamiltoniana H
NB -‐ eq.ne lineare → principio di sovrapposizione -‐ non relativistica: 1^ ordine in t, 2^ ordine in x → eq.ni relativistiche: Klein-‐Gordon, Dirac
operatore, i.e.
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4
Equazione di Schrödinger Soluzione generale
Ipotesi – H indipendente dal tempo → soluzione nella forma a variabili separate
dividendo per Ψ, poiché H non agisce su T:
i due membri sono funzione di variabili diverse → uguaglianza possibile solo se ciascun membro = costante
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5
Equazione di Schrödinger
i.e. (1)
(2)
• soluzione della (1):
• soluzione della (2): eq.ne agli autovalori per l’operatore H → la costante E assume il significato di energia
H indip. da t → eq.ne di Schrödinger degli stati stazionari
con E costante
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6
Equazione di Schrödinger
→ a meno di una fase, determino A
La (2) è una eq.ne differenziale lineare del 2^ ordine:
NB -‐ (★)
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7
Equazione di Schrödinger
(★) → (funzioni a quadrato sommabile)
condizioni al contorno opportune (e.g., se percorre tutto , tali condizioni sono fissate dal corretto comportamento
asintotico della funzione per r → ∞) determinano lo spettro degli autovalori dell’energia E
i.e., quantizzazione dell’energia risulta da normalizzazione della probabilità
spettro discreto
potenziale V regolare ovunque → soluzione è funzione continua con derivate 1^ e 2^ continue, i.e.
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8
Gradino di Potenziale Fascio di particelle di massa m ed energia E in moto lungo asse x con velocità v → flusso incidente:
• x < 0 : particelle libere → eq.ne degli stati stazionari:
(1)
(2)
• x > 0 : particelle soggette a potenziale costante = V0 → eq.ne degli stati stazionari:
x
V (x)
V0
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9
Gradino di Potenziale
(1)
(2)
dove:
E < 0
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10
Gradino di Potenziale 1.
i.e.
2. (◆)
↓
3.
→ no soluzioni per
(risultato, in accordo con la teoria classica, indipendente dalla forma del potenziale)
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11
Gradino di Potenziale E > 0
• E > V0
dove:
(1)
(2)
![Page 12: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Gradino di Potenziale
2. solo onde progressive per x > 0
3.
4.
1. fascio incidente (x < 0):
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13
Gradino di Potenziale classicamente il fascio proseguirebbe indisturbato lungo x;
caso quantistico: barriera provoca riflessione → flusso riflesso:
→ coefficiente di riflessione:
parte del fascio incidente viene trasmesso:
→ coefficiente di trasmissione:
NB -‐ -‐
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14
Gradino di Potenziale • E < V0 (1)
(2)
dove:
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15
Gradino di Potenziale 1. fascio incidente (x < 0):
2.
3.
4.
![Page 16: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Gradino di Potenziale particelle che urtano la barriera,
rimbalzano (come caso classico)
probabilità non nulla di trovare particelle in x > 0 (contrasto con caso classico: torna per V0 → ∞)
![Page 17: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Barriera di Potenziale
x
V (x)
V0
a
E > V0
Classicamente: particella che s’avvicina alla barriera da sinistra con impulso
entra nella regione della barriera e viene rallentata a un impulso
0
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18
Barriera di Potenziale che conserva fino a quando raggiunge x = a, oltre il quale accelera a un impulso p3 = p1, che mantiene per tutto x > a
![Page 19: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Barriera di Potenziale
imponiamo continuità della f. d’o. e della sua derivata spaziale in corrispondenza dei confini tra le varie regioni di x, i.e.
x = 0
![Page 20: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Barriera di Potenziale x = a
da cui ricaviamo le costanti B, C, D ed E in termini di A
![Page 21: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Barriera di Potenziale coefficiente di trasmissione
coefficiente di riflessione
![Page 22: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Barriera di Potenziale • →
per energie E >> V0, le particelle non sentono l’effetto della barriera di potenziale → trasmissione totale
•
→ risonanza (assente in fisica classica) dovuta a interferenza costruttiva tra onda incidente e onda riflessa
![Page 23: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Barriera di Potenziale E < V0 classicamente: riflessione totale in x = 0 → nessuna
particella può penetrare la barriera (in corrispondenza di essa avrebbe energia cinetica < 0)
Come caso precedente, eccetto per la sostituzione:
per cui:
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24
Barriera di Potenziale Imponendo continuità della f. d’o. e della sua derivata spaziale in corrispondenza dei confini tra le varie regioni di x, si ottengono le seguenti relazioni tra le costanti A, B, C, D ed E
da cui è possibile ricavare l’espressione della funzione d’onda nelle varie regioni e, quindi, i coefficienti di trasmissione e riflessione
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25
Barriera di Potenziale
NB – |ψ |2 ≠ 0 nella regione x ≥ a → probabilità per la trasmissione oltre la barriera non è nulla, come nel caso classico → effetto tunnel: oggetti quantistici possono passare attraverso barriere classicamente impenetrabili. Effetto puramente quantistico la cui origine è nella natura ondulatoria della materia.
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26
Barriera di Potenziale coefficiente di trasmissione
coefficiente di riflessione
NB – Limite → →
ritroviamo il caso classico
![Page 27: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Pozzo infinito di Potenziale Particella di massa m confinata a muoversi all’interno di un pozzo di potenziale infinitamente profondo
x
V (x)
a 0
Classicamente la particella rimane confinata nel pozzo, muovendosi avanti e indietro con impulso
come risultato delle ripetute riflessioni dalle pareti del pozzo
![Page 28: Equazionedi Schrödingeredu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf7 Equazionedi Schrödinger( ( )( → (funzionia quadrato(sommabile) condizioni(alcontorno(opportune((e.g.,se(](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052718/5f058eda7e708231d4138e6a/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Pozzo infinito di Potenziale 1)
2)
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29
Pozzo infinito di Potenziale contrariamente a quello che accade in fisica classica, lo spettro dei possibili valori dell’energia è discreto
e, quindi:
NB – livello di energia più bassa:
energia di punto zero