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Universidade de São PauloUniversidade de São PauloEscola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia CivilPEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas
e Fundaçõese Fundações
ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de
Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Estado Limite de UtilizaçãoFadiga
Professores: Túlio N. Bittencourt Rui Oyamada
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ES25ES25
ES025ES025Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e PilaresEstruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares____________________________________________________
Cálculo no Estádio IIVerificação de FlechasVerificação de Fissuração
1a Parte - Estado Limite de Utilização
2a Parte-Resistência da Armadura à Fadiga
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ES25ES25
Estados Limites de Utilização______________________________________________________________________
1. Introdução2. Cálculo no Estádio II (puro)
2.1. Hipóteses2.2. Seção Retangular com Armadura Simples2.3. Seção Retangular com Armadura Dupla2.4. Seção “T” com Armadura Simples2.5. Exemplo
3. Verificação de Flechas3.1. Cargas de Curta Duração - Flechas Imediatas de Carga Acidental3.2. Cargas de Longa Duração - Flechas de Carga Permanente3.3. Exemplo3.4. Dispensa da Verificação da Flecha
4. Verificação da Fissuração4.1. Introdução4.2. Fissuração Estabilizada4.3. Fissuração Não Estabilizada4.4. Critério da NBR-61184.5. Exemplo
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ES25ES25
Resistência da Armadura à Fadiga______________________________________________________________________
1. Introdução2. Resistência à Fadiga - ffad,k
3. Consideração da Resistência à Fadiga no Dimensionamento3.1. Caso de Armadura de Flexão3.2. Caso do Estribo
4. Exemplos4.1. Flexão4.2. Cisalhamento
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ES25ES25
Introdução______________________________________________________________________
a) estados limites últimos de ruptura convencional da seção- por esmagamento do concreto a compressão (εcu = 0,0035);- ou por alongamento plástico excessivo da armadura (εsu = 0,010).
b) Estados limites de utilização:- de deslocamento excessivo (limitação de flechas na viga);- de fissuração excessiva (limitação da abertura de fissuras).
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ES25ES25
Introdução______________________________________________________________________
M M
r
As
dx
d
εcdx
εs dx
r
dxr
dxd
our d
c s c s=+
=+( )ε ε ε ε1
.
![Page 7: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/7.jpg)
ES25ES25
Introdução______________________________________________________________________
ε σ ε
σ
= = =
= = = = =∫∫∫
1 1
1 1 12 2
ry e E E
ry
M ydA Er
y dA Er
y dA EIr
ou MEI rAAA
M M
l
a MEI
=l2
8.
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ES25ES25
Introdução______________________________________________________________________
M M
l
Viga de concreto armado
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ES25ES25
Introdução______________________________________________________________________
Diagrama de momento-curvatura
1/r
MM
M
M
M
un
uo
rn
ro
Estádio I Estádio II Estádio III
f ctA
fcc
εc
(encurtamento)
(compres.)
σc
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ES25ES25
Cálculo no Estádio II______________________________________________________________________
Hipóteses
a. manutenção da seção plana;b. aderência perfeita entre o concreto e a armadura;c. validade da lei de Hooke para o concreto e para o aço;d. resistência do concreto à tração igual a zero.
Es = 210.000 MPa (21.000 kN/cm2).
.
)(560085.0 MPafE ckcs ×=
.
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ES25ES25
Seção retangular com armadura simples______________________________________________________________________
Equações de compatibilidade ε ε
ε εc ss cx d x
d xx
=−
→ =−
Equações constitutivasσ ε σ ε εc c c s s s s cE e E E d x
x= = =
−
b
h d
Rc
Rs
xσc
σs
εc
εs
AsM
x/3
z=d-x/3
![Page 12: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/12.jpg)
ES25ES25
Seção retangular com armadura simples______________________________________________________________________
Equações de equilíbrio
forças resultantes: R bx bxEc c c c= =σ ε/ /2 2
R A A E d xxs s s s s c= =−
σ ε
equilíbrio dos esforços: R Rc s=
M R z R z onde z d xc s= = = − / 3
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ES25ES25
Seção retangular com armadura simples______________________________________________________________________
Posição da linha neutra
R R oubxE
A E d xxc s
c cs s c= =
−εε
2
bx A d x ondeEEs e e
s
c
2
2= − =α α( )
( ) ( )x A b x A b ds e s e2 2 2 0+ − =α α/ /
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ES25ES25
Seção retangular com armadura simples______________________________________________________________________
Posição da linha neutra
.
xA
bbd
As e
s e
=⋅
− + +
αα
1 1 2
Produto de rigidez à flexão
1r d x E d x
s s
s
=−
=−
ε σ( )
.
1r
ME I
A zE Ic II
s s
c II
= =σ
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ES25ES25
Seção retangular com armadura simples______________________________________________________________________
Produto de rigidez à flexão
E I A E d x zc II s s= −( )
I bx A d x A d x d xII s e s e= + ⋅ − = ⋅ − −3
2
33α α( ) ( )( / )
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ES25ES25
Seção retangular com armadura dupla______________________________________________________________________
b
h d
Rc
Rs
x
σc
σs
εc
εs
AsM
x/3
z=d-x/3
A's d' ε's
R's
Equações de compatibilidade
ε ε εε ε ε εc s s
s c s cx d x x dd x
xx d
x=
−=
−→ =
−=
−''
, ' '
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ES25ES25
Seção retangular com armadura dupla______________________________________________________________________
Equações constitutivas
Equações de equilíbrio
Forças resultantes
R bx bxEc c c c= =σ ε/ /2 2
R A A E d xx
R A A E x dxs s s s s c s s s s s c= =
−= =
−σ ε σ ε, ' ' ' ' '
csssscssssccc xdxEE
xxdEEeE εεσεεσεσ ''', −
==−
===
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ES25ES25
Seção retangular com armadura dupla______________________________________________________________________
Posição da linha neutra
Equilíbrio de esforços
R R Rc s s+ ='M R d x R x ds s= − + −( / ) ' ( / ' )3 3
bxEA E x d
xA E d x
xc c
s s c s s c
εε ε
2+
−=
−' '
.
bx A x d A d xs e s e
2
2+ − = −' ( ' ) ( )α α
![Page 19: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/19.jpg)
ES25ES25
Seção retangular com armadura dupla______________________________________________________________________
Posição da linha neutra
.
xb
A A xb
A d A des s
es s
2 2 20+ + − + =
α α( ' ) ( ' ' )
( )
+
+
+
++−+⋅='ρρd
d''ρρ
'ρρ1
α211'ρραdx
dd
dd
dde
dde
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ES25ES25
Seção retangular com armadura dupla______________________________________________________________________
Produto de rigidez à flexão
1r d x E d x
e x dd x
ou x dd x
s s
s
s
ss s=
−=
−=
−−
=−−
ε σ σσ
σ σ( )
' ' ' '
1 3 3r E d x
A d x A x d x d d xE I
s
s
s s s s
c II
=−
=− + − − −σ σ σ
( )( / ) ' ( / ' ) ( ' ) / ( )
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ES25ES25
Seção retangular com armadura dupla______________________________________________________________________
Produto de rigidez à flexão
E I A E d x d x A E x d x dc II s s s s= − − + − −( )( / ) ' ( / ' )( ' )3 3
I bx A d x A x dII s e s e= + − + ′ − ′3
2 2
3α α( ) ( )
![Page 22: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/22.jpg)
ES25ES25
Seção “T” com armadura simples______________________________________________________________________
A equação de equilíbrio nos conduz a
.
( )/
b b h Ex h
xb x
E A E d xxf w f c c
f wc c s s c−
−+ =
−ε ε ε
22
[ ]b xb b h A x b b
hA dw
f w f s e f wf
s e
2 2
2 20+ − + − − − =( ) ( )α α
As
b
bf
hf
d
w
x
εc
εs
![Page 23: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/23.jpg)
ES25ES25
Seção “T” com armadura simples______________________________________________________________________
..
Ib x b b x h
A d xIIf f w f
s e= −− −
+ −3 3
2
3 3( )( )
( )α
![Page 24: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/24.jpg)
ES25ES25
Verificação das flechas______________________________________________________________________
Cargas de curta duração
E f MPac ck= ⋅ +0 9 6600 3 5, , ( )
q* = 0,7 q = carga de utilização
EcIII = produto de rigidez.
Cargas de longa duração
calcula-se a flecha imediata ago para a carga g;
a flecha final de longa duração ag pode ser estimada por
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ES25ES25
Verificação das flechas______________________________________________________________________
ag = ago (Cf / Ci) onde
Ci = 1/ri = (εc + εs) / d = curvatura inicial
Cf = 1/rf = (3 εc + εs) / d = curvatura final
, εε
ξξ
s
c
d xx
=−
=−1.
a a a ag goc s
c sgo
s c
s cgo=
++
=++
= +3 3
11 2
ε εε ε
ε εε ε
ξ//
( )
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ES25ES25
Verificação das flechas______________________________________________________________________
imites
,
aq ≤ l / 500;
ag + aq ≤ l / 300.
Dispensa da verificação da flecha
(altura útil)d ≥⋅l
ψ ψ2 3
ψ2 = 1,0 nas vigas biapoiadas,1,2 nas vigas contínuas,1,7 nos vãos biengastados,0,5 nos balanços.
ψ3 = 17 para o aço CA50,25 para o aço CA25.
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ES25ES25
Verificação da fissuração______________________________________________________________________
w εAs
fissura
N N
a) 0,1 mm em peça não protegida em meio agressivo;b) 0,2 mm em peça não protegida em meio não agressivo, ec) 0,3 mm em peça protegida.
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ES25ES25
Verificação da fissuração______________________________________________________________________
Armadura mínima
ε = constante na seção transversalσct = Ec ε; σs = Es ε; ou σs = αe σct ,
N = (Ac - As) σct + As σs =[Ac + (αe - 1) As] σct
σαct
c e sct
NA A
f=+ −
≤( )1
Asmin fy = [Ac + (αe -1) Asmin] fct
AA f
f fA f
fsc ct
y e ct
c ct
ymin ( )
=− −
≅α 1
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ES25ES25
Verificação da fissuração______________________________________________________________________
Fissuração estabilizadaN
B D
arminarmax≅2armin
σct σct=fct=0,15kN/cm2
σs 19,83 kN/cm2
σs=1,23kN/cm2
τb = tensão de aderência
A
N
4 φ 10
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ES25ES25
Verificação da fissuração______________________________________________________________________
A fissuração progressiva estabiliza quando:
armin < ar < armax
Abertura média (w).
w a a aEr s c r s r
s
s
= − ≅ =( )ε ε εσ
wEb
s
s r
=−
+
110 2 0 75
4 45φη
σρ,
Segundo a NBR - 6118
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ES25ES25
Verificação da fissuração______________________________________________________________________
Fissuração não estabilizada
.
w
N N
σct < fct
σctτb
[ ]ds(s)ε(s)ε2wrra
0cs∫ −=
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ES25ES25
Verificação da fissuração______________________________________________________________________
wf Eb tk
s
s
=−
⋅
110
12 0 75
2
ηφ σ
,
A NBR – 6118 propõe
7,5φ
7,5φ
7,5φ
7,5φ7,5φ
7,5φ7,5φ
7,5φ
c < 7,5φ
c < 7,5φ
a
(a < 15 φ)
Acr
![Page 33: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/33.jpg)
ES25ES25
Verificação da fissuração______________________________________________________________________
Critério da NBR - 6118a) 0,1 mm para peças não protegidas (peças sem revestimento), em meio agressivo;b) 0,2 mm para peças não protegidas, em meio não agressivo, ec) 0,3 mm para peças protegidas (peças revestidas).
> wlimwEb
s
s r
=−
+
110 2 0 75
4 45φη
σρ,
>wlimwf Eb tk
s
s
=−
⋅
110
12 0 75
2
ηφ σ
,
![Page 34: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/34.jpg)
ES25ES25
Resistência à fadiga______________________________________________________________________
entre os valores extremos σmin e σmax
P
P
r
barra com dobra
barra reta
Introdução
P pulsante com amplitude cíclica solicitando a armadura
![Page 35: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/35.jpg)
ES25ES25
Resistência à fadiga______________________________________________________________________
Resistência à fadiga (Gráfico de Wohler)
106
ffad,k
2x106
n
104 105
σs
fy
0,8fy
ampl
itude
∆σs
σs,max
σs,min
![Page 36: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/36.jpg)
ES25ES25
Resistência à fadiga______________________________________________________________________
Resistência à fadiga
armadura em barra reta: ffad,k = 18 kN/cm2;armadura em barra curva: ffad,k = 14 kN/cm2.
Coeficiente de fadiga (κf).
κ fs
fad kf=∆σ
,
![Page 37: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/37.jpg)
ES25ES25
Resistência à fadiga______________________________________________________________________
Caso da armadura de flexão
Md,max = γf Mk,max
Momento máximo na combinação frequente
M M MCF gk qkmax, ,max= + ψ 1
.
M M MCF gk qkmin, ,min= + ψ 1
Momento mínimo na combinação frequente
ψ1 = 0,6 → em edifícios0,8 → em pontes rodoviárias1,0 → em pontes ferroviárias.
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ES25ES25
Resistência à fadiga______________________________________________________________________
M M M M MCF
s
CF
s
CF CF
s s
CF
s
max,
,max
min,
,min
max, min,
,max ,minσ σ σ σ= =
−−
=∆∆σ
M Mf
CF
s
k
yd
f
max,
,max
,max
σγ
= ∆∆M M
fCF
s
k
yd
f
σγ
= ,max⇒
∆∆σ
γsCF
k
yd
f
MM
f= ⋅
,max
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ES25ES25
Resistência à fadiga______________________________________________________________________
Coeficiente de fadiga
.. kfadf
yd
k
CF
kfad
sfM f
fM
Mf ,max,,
1⋅⋅
∆=
∆=
γσκ
.
1,max,
min,max, ≥⋅⋅
⋅−
=kfadfs
yk
k
CFCF
ff
MMM
γγ
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ES25ES25
Resistência à fadiga______________________________________________________________________
Para armadura reta de aço CA-50
..
κ fMCF
k
CF
k
MM
MM
= ⋅ ⋅ = ⋅ ≥∆ ∆
,max ,max
,,
,43 481 4
118
1 725 1
Armadura corrigida
A As cor s fM, = ⋅ κ
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ES25ES25
Resistência à fadiga______________________________________________________________________
Caso do Estribo
.. κγfV
sw
fad k
CF
k
yd
f fad kfV
Vf
f= = ⋅ ⋅ ≥∆σ ∆
, ,max ,
1 1
Coeficiente de fadiga
Para armadura curva de aço CA-50
κ fVCF
k
CF
k
VV
VV
= ⋅ ⋅ = ⋅ ≥∆ ∆
,max ,max
,,
,43 481 4
114
2 218 1
![Page 42: ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento … · hf d w x εc ε s. ES25 Seção “T” com armadura simples ... 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022615/5ba186ab09d3f2c06a8c6aaf/html5/thumbnails/42.jpg)
ES25ES25
Determinação de Deslocamentos
..
Em locais com cargas de equipamentos ou grandes concentrações de pessoas
∑ ∑+=i j
qikjgikd FFF 2ψ
→= 2,02ψ
→= 4,02ψ
→= 6,02ψ
Combinação Quase-Permanente
Em locais sem cargas de equipamentos ou grandes concentrações de pessoas
Bibliotecas, garagens, etc
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ES25ES25
Determinação de Deslocamentos
ocIIa
ro
a
rceq IEI
MMI
MMEEI ≤
−+
=
33
1)(
3/2.30,0
.
ckctm
ctmr
ffWfM
=
=
=W=aM
=oI
=III
Flecha Imediata:
= Momento de fissuração
Módulo de resistência relativo à fibra mais tracionada
Momento fletor na seção crítica do vão
Momento de inércia da seção bruta
Momento de inércia do Estádio II puro
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ES25ES25
Determinação de Deslocamentos
Flecha Diferida = αf. Flecha Imediata
'.501 ρξα
+∆
=f
dbA s
.'
'=ρ = Armadura de compressão no trecho consideradosA'
)()( ott ξξξ −=∆ t = tempo em meses na data em que se calcula a flechato = tempo em meses na data do carregamento
>≤
=mesestpara
mesestparatt
t
70270.996,0.68,0
)(32,0
ξ