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Esempio
Artefa.o:CabriSignificatoMatema8co:Teorema
28‐02‐2010 1
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28‐02‐2010 2
artefa.o
compito
allievo
cultura
MEDIAZIONEPotenzialedell’artefa.o
L’artefa.o–daunlato‐
silegaauncompitoaccessibileall’allievo
edall’altro
silegaaunsaperematema8co
accessibileall’insegnante
Saperematema8co
Costruzione
Geometria/Teoria
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28‐02‐2010 3
Esperimen8didaOcialungotermine
Cabri
Geometria
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Costruzionigeometriche
• unacostruzionegeometricasiconfiguracomeunproblemageometricoquandolasoluzioneèa.esainunbenprecisoquadroassioma8co
strumen(teorici
versus
strumen(pra(ci
rapportotracostruzionieteoremi
28‐02‐2010 4
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Costruzionigeometriche
“TheancientGreekundertookachallengewhichinawayrepresentssomeofthemosttypicalfeaturesofpuremathema8csasanabstractdiscipline.Itisnotrelatedtoanyprac8calneed.”
(Vinner,1999,p.77).
28‐02‐2010 5
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problemieteoremi
• Proclo:• "iprimicomprendonoilgenerare,dividere,so.rarreoaggiungerefigure,eingeneraleicambiamen8chevengonoapporta8adesse,isecondimostranoglia.ribu8essenzialidiesse."(Heath,p.124esegg.).
28‐02‐2010 6
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• Consistein– stabilireglistrumen8,
– compierecontalistrumen8unaseriedioperazioni,
conobieOvoilprodurreundisegno;
• lacostruzioneèdaconsiderarsivalidaselaproceduraseguitaharispe.atol'uso'corre.o'deglistrumen8
CostruzioneGeometrica
28‐02‐2010 7
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• Consistein– stabilireglistrumen8,
– compierecontalistrumen8unaseriedioperazioni,
conobieOvoilprodurreundisegno;
• lacostruzioneèdaconsiderarsivalidaselaproceduraseguitaharispe.atol'uso'corre.o'deglistrumen8
CostruzioneGeometrica
Strumen8Regoled’uso
Costruzione
28‐02‐2010 8
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• Consistein– stabilireglistrumen8,
– compierecontalistrumen8unaseriedioperazioni,
conobieOvoilprodurreundisegno;
• lacostruzioneèdaconsiderarsivalidaselaproceduraseguitaharispe.atol'uso'corre.o'deglistrumen8
CostruzioneGeometrica
Strumen8Regoled’usoAssiomi
CostruzioneTeorema
28‐02‐2010 9
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Elemen8chiave
• porrel'accentosulprocessodicostruzione(invecechesulprodo.o)
• applicarealprocessodicostruzione(enonalprodo.o)ilcontrollodivalidità.
28‐02‐2010 10
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28‐02‐2010
perché?
CostruzioniinCabri• La figura di Cabri possiede una logica
interna, resa evidente dal trascinamento che conserva le relazioni geometriche definite dalla procedura di costruzione
E’ possibile sollevare il problema del
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28‐02‐2010
perché?
CostruzioniinCabri• La figura di Cabri possiede una logica
interna, resa evidente dal trascinamento che conserva le relazioni geometriche definite dalla procedura di costruzione
E’ possibile sollevare il problema del
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28‐02‐2010
Potenzialesemio(co
• L’usodeicomandidiCabrisiriferisceaAssiomi(oTeoremidiunateoria)
• Lafunzionetrascinamentointroduceun'ideadivalidazionedellefigure‐Cabri,cherimandaallaall’usodeicomandiedunqueall’usodiAssiomi
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Potenzialesemio(co
SceltadeiComandi(Menu)
UsodeicomandidiCabripercostruireunafigura
Trascinamentointroduceun'ideadivalidazionedellefigure‐Cabri,cherimandaallaproceduradicostruzione
SceltadegliAssiomi(Teoria)
Usodiassiomipervalidareunacostruzione
Dimostrazionecomeesplicitazionedegliassiomipervalidareunaprocedura
28‐02‐2010
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28‐02‐2010
GliaspeOrilevan8dell'ambienteCabri
• lacorrispondenzatracomandidiCabrieAssiomioTeoremidiunateoria
• Lafunzionetrascinamentointroduceun'ideadivalidazionedellefigure‐Cabri,cherimandaalla
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28‐02‐2010
Primitive &
Costruzioni
Assiomi &
Teoremi
Lacostruzionedellateoria
16
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Compito
Allievo
Cultura
“Tes8”situa8
Matema8ca “Tes8”Mathema8ci
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Compito
Allievo
CulturaMathema8csknowledge
Geometria della riga e compasso. “Tes8”Mathema8ci
“Tes8”situa8
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Allievo
Cultura
Situated“texts”
Mathema8csknowledge
Geometria della riga e compasso.
L’insegnanteproge.acompi8
adaO
“Tes8”Mathema8ci
Compito
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task
Allievo
Cultura
Situated“texts”
Mathema8csknowledge
Compito di Costruzione: - disegnare - esplicitare la procedura - validazione della procedura nella ‘Teoria’
Geometria della riga e compasso.
L’insegnanteproge.acompi8
adaO
“Tes8”Mathema8ci
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task
Allievo
Cultura
Situated“texts”
Mathema8csknowledge
Compito di Costruzione: - disegnare - esplicitare la procedura - validazione della procedura nella ‘Teoria’
Prodotti individuali: una figura che regge al trascinamento un metodo un perché …..
Geometria della riga e compasso.
L’insegnanteproge.acompi8
adaO
“Tes8”Mathema8ci
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task
Allievo
Cultura
Situated“texts”
Mathema8csknowledge
Compito di Costruzione: - disegnare - esplicitare la procedura - validazione della procedura nella ‘Teoria’
Prodotti individuali: una figura che regge al trascinamento un metodo un perché …..
Geometria della riga e compasso.
CostruzioneGeometricaTeoria/Teorema
L’insegnanteproge.acompi8
adaO
![Page 23: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/23.jpg)
CiclodidaOco
![Page 24: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/24.jpg)
CiclodidaOco
InlaboratoriosoluzioneproblemiinCabri
InCabriProblemidicostruzione
![Page 25: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/25.jpg)
Esempiodicompito:Lacostruzionedellabise<rice
- Disegnare in CABRI - esplicitare la procedura - validare la procedura
28‐02‐2010 25
![Page 26: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/27.jpg)
28‐02‐2010 27
Massimiliano1Liceoscien8fico
AO ... è bisettrice di BAC come si voleva dimostrare.
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28‐02‐2010 28
OrganizzazionedelleaOvitàinclasse
InlaboratoriosoluzioneproblemiinCabri
Revisione collettiva quaderni
Redazione quaderno personale
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task
Allievo
Cultura
Situated“texts”
Mathema8csknowledge
Compito di Costruzione: - disegnare - esplicitare la procedura - validazione della procedura nella ‘Teoria’
Prodotti individuali: una figura che regge al trascinamento un metodo un perché …..
Geometria della riga e compasso.
CostruzioneGeometricaTeoria/Teorema
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S
Allievo
CulturaObieOvididaOci
Compito Redigere il Quaderno di Geometria
Geometria della riga e compasso.
L’insegnanteproge.acompi8
adaO
Significa8matema8ci
Teoria:Assiomi/Teoremi
ProduzioniIndividuali
Prodotti individuali: Quaderni che presentano la Teoria costruita in classe.
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CiclodidaOco
Acasa:RedigereilQuaderno
Redazione quaderno personale
![Page 32: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/32.jpg)
CiclodidaOco
InlaboratoriosoluzioneproblemiinCabri
Redazione quaderno personale
Revisione collettiva quaderni
![Page 33: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/33.jpg)
task
Allievo
Cultura
Situated“texts”
Mathema8csknowledge
Compito di Costruzione: - disegnare - esplicitare la procedura - validazione della procedura nella ‘Teoria’
Prodotti individuali: una figura che regge al trascinamento un metodo un perché …..
Geometria della riga e compasso.
L’insegante orchestra la transizione
verso significati matematici
Teoria:Assiomi/Teoremi
![Page 34: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/34.jpg)
28‐02‐2010
DiscussionecolleOvaLarivisitazionedelquaderno
• UndupliceobieOvo– me.ereinordinelasequenzadiassiomi,teoremiedefinizioniintrodo.afinoaquelmomento,
– rifle.eresullostatutoteoricodiciascunelementodellasequenza.
![Page 35: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/35.jpg)
28‐02‐2010 35
Dopoladiscussione…
Stef
…Siamopassa8adesaminareladimostrazionedellabise.rice,unnostrocompagnohaaffermatochelabise.ricepotevaesseredimostrataanchecoltriangoloisoscelemaperfarloavremmodovutoaverel’ul8moteoremasullaperpendicolare.DicendocheavendoilteoremanonlopotevamousarenonsignificachesiamomaOmasemplicementechequandoabbiamoiniziatononloavevamoecheinostrimezziperladimostrazioneeranominori.
![Page 36: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/36.jpg)
Dimostrare
Teoria
Assiomi definizioni
teoremi Meta-teoria
28‐02‐2010 36
![Page 37: Esempio - unito.itDIAPO3_New.pptx Author: MacBook Created Date: 2/28/2010 2:37:36 PM](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052803/5f2a19ec2ca49b2986080e62/html5/thumbnails/37.jpg)
task
Allievo
Cultura
Situated“texts”
Mathema8csknowledge
Compito di Costruzione: - disegnare - esplicitare la procedura - validazione della procedura nella ‘Teoria’
Prodotti individuali: una figura che regge al trascinamento un metodo un perché …..
Geometria della riga e compasso.
CostruzioneGeometricaTeoria/Teorema
L’insegante orchestra la transizione
verso significati matematici
L’insegnanteproge.acompi8
adaO
L’insegnantehausatoCabricomestrumentodiMediazioneSemio2ca
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28‐02‐2010 38
Qualeilruolodell’insegnante?• Introdurrecompi8chefaccianoemergereedevolvereisignifica8matema8cievoca8dall’artefa.o
• Introdurreinmodoesplicitolavocedellaculturamatema8ca
• Orchestrareladiscussionematema2canellaqualesisviluppanoisignifica8matema8ci