Le equazioni cinematiche
Moto rettilineo uniformeMoto rettilineo
uniformemente accelerato
vv
a
0 costante
0
==
=
)(
costante e 0
0 atvtv
a
+=
≠
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 2
tvxtx
vv
00
0
)(
costante
+=
==
)(2
2
1)(
)(
0
2
0
2
2
00
0
xxavv
attvxtx
atvtv
f −=−
++=
+=
ESERCIZIO n.1
Quando il semaforo diventa verde, un’automobile parte conaccelerazione a=3.0m/s2, mentre una seconda auto chesopraggiunge in quel momento continua la sua corsa convelocità costante v=72.0 Km/h.a) Dopo quanto tempo la prima auto affiancherànuovamente la seconda?
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 3
nuovamente la seconda?b) Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avràpercorso?
c) In quale istante le auto hanno la stessa velocità e a qualedistanza dal semaforo si trovano?
Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.
28 febbraio 2009
SOLUZIONE
Quando il semaforo diventa verde, un’automobile parte con accelerazione a=3.0m/s2,mentre una seconda auto che sopraggiunge in quel momento continua la sua corsacon velocità costante v=72.0 Km/h.a) Dopo quanto tempo la prima auto affiancherà nuovamente la seconda?b) Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso?c) In quale istante le auto hanno la stessa velocità e a quale distanza dal
semaforo si trovano?Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 4
Prima cosa da fare: DISEGNO
ovvero uno schema che ci
aiuti a descrivere il moto.
28 febbraio 2009
Automobile 1, accelerazione = costante
Automobile 2, velocità = costante
Dopo quanto tempo la prima auto affiancherànuovamente la seconda?
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 5
Poniamo xPoniamo x11 = x= x22
28 febbraio 2009
vtx
atx
=
=
2
2
12
1
vtat =2
2
1vat =
2
1
a
vt 2=
sec3.133
40
3
360072000
2 ===t
Automobile 1, accelerazione = costante
Automobile 2, velocità = costante
Quale velocità avrà in quell’istante e quale distanza avrà percorso?
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 628 febbraio 2009
atv
atx
=
=
1
2
12
1
sec0.40)3.13(3
3.265)3.13(32
1
1
2
1
mv
mx
==
==
Automobile 1, accelerazione = costante
Automobile 2, velocità = costante
In quale istante le auto hanno la stessa velocità ?
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 728 febbraio 2009
costante2
1
=
=
v
atvatvv == 21
sec6.63
360072000
2 ===a
vt
Automobile 1, accelerazione = costante
Automobile 2, velocità = costante
A quale distanza dal semaforo si trovano?(quando hanno la stessa velocità)
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 828 febbraio 2009
vtx
atx
=
=
2
2
12
1
mx
mx
1326.63600
72000
34.65)6.6(32
1
2
2
1
==
==
Automobile 1, accelerazione = cost
Automobile 2, velocità = cost
Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.
X [m]
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 9
tempo [s]
28 febbraio 2009
Automobile 1, accelerazione = cost
Fare i diagrammi orari e i diagrammi v(t) per le due auto.
v [m/s]
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 10
Automobile 2, velocità = cost
tempo [s]
28 febbraio 2009
ESERCIZIO n.2
Un uomo di 70.0kg salta da una finestra nella rete dei vigilidel fuoco tesa a 11.0m più in basso.
•Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete.La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo.
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 11
La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo.•Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase diarresto.
28 febbraio 2009
SOLUZIONE
Dividiamo lo studio in due fasi:1) Moto in caduta libera dell’uomo per 11.0 m, con
velocità iniziale pari a zero;
Un uomo di 70.0kg salta da una finestra nella rete dei vigili del fuoco tesa a 11.0mpiù in basso.
•Calcolare la velocità dell’uomo quando tocca la rete.La rete, cedendo di 1.5 metri, riesce ad arrestare l’uomo.
•Calcolare la decelerazione dell’uomo durante la fase di arresto.
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 12
velocità iniziale pari a zero;2) Moto uniformemente decelerato per 1.5 metri.
Importante: MOTO IN CADUTA LIBERA SIGNIFICA CHE C’E’ ACCELERAZIONE DI GRAVITA’ g = 9.8 m/s2, DIRETTA VERSO IL BASSO.
28 febbraio 2009
Calcolare la velocità dell’uomo quandotocca la rete.
11 metri
velocità iniziale v0 = 0v=v0+at=gt, con a = g = 9.8 m/s
2
Non conosciamo il tempo necessario araggiungere terra, cioè a percorrere 11metri. Usiamo
g
22
002
1
2
1gtattvxx =++=
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 13
11 metri
28 febbraio 2009
0022
gtattvxx =++=
sec5.18.9
222===
g
xt
Da cui si ricava
E quindi
sec7.14)5.1(8.9 mgtv ===
Calcolare la decelerazione dell’uomodurante la fase di arresto.
velocità finale velocità finale vf=0
velocità iniziale v0 = 14.7m/s
PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 1428 febbraio 2009
Dopo avere percorso uno spazio s=1.5m
Si può applicare l’equazione 022
0
2=+= asvv f
Da cui si ricava
( )2
22
0
sec72
3
7.14
2m
s
va −=−=−=
ESERCIZIO n.3
Un cannone lancia un proiettile a velocità v0=300m/sec.Calcolare l’alzo del cannone per avere la massima gittatadeterminandone anche il valore.
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 15
alzo
gittata
y
v0x
vyv
SOLUZIONE
Nella schematizzazione del problema si osserva che la velocitàiniziale può essere decomposta nelle due componenti lungo l’asse x elungo l’asse y rispettivamente.
α
α
sin
cos
00
00
vv
vv
y
x
=
=
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 16
x
v0x
v0x
v0y
vy
v0
0 xg
α
La componente dellavelocità lungo l’asse xresterà inalterata ecostante.
Lungo x il moto è rettilineouniforme con velocità v0x.
y
v0x
vyv
SOLUZIONE
Lungo l’asse y, invece, agisce l’accelerazione di gravità. Ma agiscenella direzione contraria; pertanto si avrà una decelerazione.
La componente dellavelocità lungo l’asse yvarierà, annullandosi nelpunto di massima quota.-g
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 17
x
v0x
v0x
v0y
vy
v0
0 xg
α
tvgtty y0
2
2
1)( +−=
Lungo y il moto è rettilineouniformementeaccelerato.
Pertanto si può scrivere
SOLUZIONE
In sintesi ecco le equazioni orarie per le due componenti del moto
tvgtty
tvtx
y
x
0
2
0
2
1)(
)(
+−=
=E sostituendole componentidella velocità tvgtty
tvtx
)sin(2
1)(
)cos()(
0
2
0
α
α
+−=
=
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 18
Ora per determinare la gittata si osserva che il tempo per percorrerelo spazio xg può essere calcolato come
αcos00 v
x
v
xt
g
x
g==
e dopo tale tempo dovrà essere y(t)=0, quindi
0cos
sincos2
1
0
0
2
0
=+
−
αα
α v
xv
v
xg
gg
SOLUZIONE
Con qualche passaggio algebrico …
( ) 0cossin22
0 =− ααvgxx gg
… escludendo la soluzione xg=0 (l’origine del moto), si ha
)2sin(2
0 αg
vxg =
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 19
g
Per determinare la gittata massima
0=αd
dxg0)2cos(2
2
0 =αg
v°= 902α °= 45α
E quindi la massima gittata vale
mg
vxg 67.9183
8.9
)300(22
0
max===
ESERCIZIO n.4
Una palla di 0.40 Kg è lanciata in aria e raggiunge una altezzamassima di 20 m. Calcolare la sua velocità iniziale.
h
y
Schematizziamo il problema Considerando che la velocitàfinale sarà nulla e ladecelerazione è semprecostante si ha
0222
=+= ahvv
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 20
-g
v0
022
0
2=+= ahvv f
e quindi
sec8.19)20)(8.9(222
0mghahv ===−=
ESERCIZIO n.5
Un oggetto viene spinto a salire su un piano inclinato con unavelocità iniziale v0=30m/sec. Essendo αααα=45° l’inclinazionedel piano inclinato, si determini:
1. Il tempo necessario ad arrestarsi;2. A che altezza dal suolo si fermerà.
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 21
v0
αααα
SOLUZIONE
x y
Schematizziamo il problema s sarà lo spazio percorsolungo il piano inclinato finoal punto di arresto
h sarà la quota raggiuntarispetto al piano orizzontale
Appare ovvia la scelta delg
αααα
-gx
-gy
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 22
v0
αααα
h
s
Appare ovvia la scelta delsistema di rifermentoindicato
Il corpo è soggetto alla accelerazione di gravità che va decomposta secondo il riferimento scelto. Quindi …
α
α
cos
sin
gg
gg
y
x
=
=
SOLUZIONE
E dovendosi fermare si potràcalcolare il tempo di arresto come
Riferendoci al moto lungo l’asse x edessendo esso decelerato, si potràscrivere
v0h
x y
g
αααα
-gx
-gytgvatvv f )sin(00 α−=+=
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 23
ααααs sec32.445sin8.9
30
sin
0 =°
==αg
vt
Per trovare lo spazio percorso lungo x si ha ( )sgvv f αsin22
0
2−=−
da cui
αsin2
2
0
g
vs = E quindi
( )( )
mg
v
g
vsh 9.45
8.92
30
2sin
sin2sin
22
0
2
0 ===== αα
α
ESERCIZIO n.6
Un sasso è lanciato verticalmente verso l’alto con una velocitàiniziale v01=25m/sec. Si calcoli la massima quotaraggiunta ed il tempo impiegato.Un secondo sasso è lanciato verso l’alto, lungo la stessatraiettoria del primo, quando il primo si ferma in quota. A tale
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 24
traiettoria del primo, quando il primo si ferma in quota. A talesasso è impressa una velocità iniziale v02=15m/sec. Dopoquanto tempo si incontreranno i due sassi? E a qualequota?
SOLUZIONE
Schematizziamo il problema
y
h
Appare evidente che, nellaprima fase del moto, ilcorpo, lanciato verso l’alto,sarà decelerato dallaattrazione gravitazionale.
Pertanto si potrà scrivere
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 25
g
v01
ghahvv f 222
01
2−==−
Ma, alla quota h il corpo si fermerà. quindi
mg
vh 8.31
)8.9(2
)25(
2
22
01 ===
SOLUZIONE
y
h
g
Nota l’altezza raggiunta h=31.8mè possibile determinare il tempo divolo fino al punto di arresto.
Basta ricordare l’equazionecinematica della velocità per ilcaso di decelerazione
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 26
v01 001 =−= gtvv f
Pertanto si ha
sec55.28.9
2501 ===g
vt
SOLUZIONE
Ora il sasso n°1 è per un istantefermo, poi inizierà a cadere sottol’azione della gravità
La sua legge oraria, con la quotavalutata rispetto al terreno, è
2
12
1gthy −=
y
h
g
y1
Una seconda schematizzazione
28 febbraio 2009 PIACENTINO - PREITE (Fisica per Scienze Motorie) 27
12
gthy −=
Per il sasso n°2 si ha ovviamente
tvgtgth02
22
2
1
2
1+−=−
g
v02 y2tvgty
02
2
22
1+−=
Quando si toccheranno dovràessere y1=y2. Quindi
da cuisec12.2
15
8.31
02
===v
hti