ESERCIZI DI EAMAG - A.A. 2009-09

PROF. CIPRIANI-BUSLACCHI-CITTERIO

1. Definizioni.

1.1 Sia E ⊆ R. Un punto x ∈ R e’ detto di accumulazione per E se

∀ r > 0 (x− r, x + r) ∩ (E − {x}) 6= ∅o, equivalentemente, se

∀ r > 0 (x− r, x + r) ∩ E e′ un insieme infinito,

oppure se esiste una successione {xn}n≥1 ∈ E \ {x} convergente a x:

limn→∞

xn = x .

L’insieme dei punti di accumulazione di E si denota con E′.

Sia E ⊆ R e x0 ∈ R.

1.4 x0 e’ detto maggiorante di E se x ∈ E ⇒ x ≤ x0

1.5 x0 e’ detto minorante di E se x ∈ E ⇒ x0 ≤ x

1.6 x0 e’ detto massimo di E se x0 ∈ E e se x0 e’ maggiorante di E

1.7 x0 e’ detto minimo di E se x0 ∈ E e se x0 e’ minorante di E

1.8 x0 e’ detto estremo superiore di E se x0 e’ maggiorante di E e nessun y < x0 e’maggiorante di E. Equivalentemente

x ∈ E ⇒ x ≤ x0

∀r > 0 (x0 − r, x0) ∩ E 6= ∅

i) x0 e’ detto estremo inferiore di E se x0 e’ minorante di E e nessun y > x0 e’ minorantedi E. Equivalentemente

x ∈ E ⇒ x0 ≤ x

∀r > 0 (x0, x0 + r) ∩ E 6= ∅ .

1

2

2. Determinare Sup E, Inf E, Max E, Min E, E′ per ognuno dei seguenti sottoinsiemi diR.

E1 = (0, 1) inf E = 0, sup E = 1, non esistono min E, max E.

E2 = (−1, +2] inf E = −1, sup E = max E = +2, non esiste min E.

E3 = [−3, 0) inf E = min E = −3, sup E = 0, non esiste max E.

E4 = [−4, +4] min E = −4, max E = +4.

E5 = {x ∈ R : (−1)n, n ∈ N} min E = −1, max E = +1.

E6 = {x ∈ R : (−1)nn, n ∈ N}. inf E = −∞, sup E = +∞.

E7 = {x ∈ R : (−1)n + 1n, n ∈ N, n ≥ 1}. inf E = −1, max E = 3

2, non esiste min E.

E8 = {x ∈ R : + 1n, n ∈ N, n ≥ 1} ∪ {0} min E = 0, max E = +1.

E9 = {x ∈ R : (1 + (−1)n)n, n ∈ N} min E = 0, sup E = +∞.

3

4. Usando le proprieta’ dei limiti mostrare che le seguenti successioni, definite per ricor-renza, sono monotone. Determinare poi se sono limitate, convergenti (nel caso calcolareil limite), non convergenti, divergenti a +∞ o −∞.(utilizzare le disuguaglianze:∀ a, b ∈ R si ha (a± b)2 ≥ 0 e quindi ±2ab ≤ a2 + b2).

3.1 x1 = +2, xn+1 = xn

2+ 1

xn, n ∈ N, n ≥ 1,

(suggerimento: mostrare nell’ordine che xn > 0 ∀n ≥ 1, x2n > 2 ∀n ≥ 1, la successione

e’ monotona decrescente)

3.2 x1 = −2, xn+1 = xn

2+ 1

xn, n ∈ N, n ≥ 1,

(suggerimento: mostrare nell’ordine che xn < 0 ∀n ≥ 1, x2n > 2 ∀n ≥ 1, la successione

e’ monotona decrescente)

3.3 x1 = +1, xn+1 = xn + 1xn

, n ∈ N, n ≥ 1,

3.4 x1 = −1, xn+1 = xn + 1xn

, n ∈ N, n ≥ 1,

3.5 x1 = +2, xn+1 = 1− 1xn

, n ∈ N, n ≥ 1,

3.6 Mostrare che ∀ x0 6= 0, +1 la successione seguente e’ periodica

x1 = x0, xn+1 = 1− 1xn

, n ∈ N, n ≥ 1.