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Estabilidad en Control Predictivo
Prof. Cesar de Prada Dpt. Ingeniería de Sistemas y Automática
Facultad de Ciencias Universidad de Valladolid
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Control Predictivo
En cada periodo de muestreo se resuelve un problema de optimización en lazo abierto considerando que las variables de decisión ∆u(t), ∆u(t+1),…∆u(t+Nu-1) son independientes, y se aplica según una política de horizonte movil
[ ] [ ]minu
y t j r t j u t jj
Nu
j N
N
J ( ) ( ) ( )∆
= + − + + +=
−
=∑∑ 2 2
0
1
1
2
β∆
w
y(t+j)
N1 N2 t tiempo
u(t)
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Lazo cerrado
Proceso MPC u w y
SP
El funcionamiento de los controladores predictivos, aun siendo bueno en general, depende del modelo dinámico utilizado para representar el proceso y de la sintonía del controlador.
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Estabilidad / Robustez
Proceso MPC u w y
SP
Garantía de Estabilidad: ¿Como podemos asegurar que el sistema es estable en lazo cerrado independientemente de la sintonía? (para modelo perfecto)
Robustez: ¿Como podemos asegurar un funcionamiento estable en lazo cerrado a pesar de los errores del modelo o posibles perturbaciones?
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Sistemas lineales sin restricciones
Ejemplo GPC ¿ Como puede asegurarse que el control obtenido mediante optimización en lazo abierto en cada paso
estabiliza el sistema en lazo cerrado resultante ?
GPC Ay=Bu+Tξ/∆ w u y
[ ] )('')t( j1 pwGIGGu −β+=∆ −
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Análisis de estabilidad sin restricciones
El controlador GPC es equivalente a un regulador lineal y puede realizarse el análisis por métodos clásicos.
Ay=Bu+Tξ/∆ w u y
R
S
T
La estabilidad depende de los parámetros de sintonía N2, N1, Nu, β, α, ... Puede incorporarse análisis de robustez. (Serrano, Prada, 1994)
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Estabilidad en lazo cerrado
Reguladores basados en modelos respuesta salto o impulso, (DMC, IDCOM,..) solo son aplicables a sistemas estables en lazo abierto.
No hay teoremas que garanticen la estabilidad independientemente de la sintonía con otros reguladores clásicos basados en F.T : (GPC,.. ) o variables de estado (PFC,..), excepto en casos particulares.
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MBPC en espacio de estados
Para el sistema x(t+1)=Ax(t)+Bu(t), en cada instante t, calcular los controles v(0),.…v(N-1) que minimicen
y aplicando u(t)=v*(0,x(t)) llevar el sistema al origen, partiendo de x0 Q, R, P matrices positivas definidas
J x t min z N Qz N z j Qz j v j Rv j
z j Az j Bv j z x t
N vj
N
( ( )) ( )' ( ) ( )' ( ) ( )' ( )
( ) ( ) ( ) , ( ) ( )
= + +
+ = + =
=
−
∑0
1
1 0sujeto a
modelo
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MBPC en espacio de estados
Para (A, B) estabilizable, la solución es única, y en cada t viene dada por v(j)= KN-jz(j) con KN-j obtenidas de ecuaciones de Riccati luego u(t)=v*(0,x(t))= KNx(t) y x(t+1)=Ax(t)+B KNx(t) = (A+B KN)x(t) la estabilidad no está garantizada y depende de los autovalores de A+B KN Sintonía con Q, R, N
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Marco de referencia
Modelos: – Lineales (F.T. , Var. de estado) – Lineales con incertidumbre – No lineales
Restricciones (si / no) Temas relacionados:
– Factibilidad – Robustez
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Solución: Imposición de condiciones adicionales para
garantizar estabilidad
Restricciones terminales Horizontes infinitos Penalización terminal Restricción de contracción Parametrización de soluciones estables
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Restricciones terminales
Restricciones de igualdad tras N2: CRHPC Constrained Receding Horizon Predictive
Control (Clarke and Scattolini 1991) SIORHC Stabilizing I/O Receding Horizon Control
(Mosca et al. 1990)
w
y(t+j)
N1 N2 horizonte de predicción
t tiempo
intervalo de coincidencia
y(t+j) = w j=N2,.....N2+M Se fuerza una solución estable al final del horizonte durante M periodos > orden del sistema
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Restricciones terminales
)mt(ub....)1t(ub)nt(ya....)1t(ya)t(y m1n1 −++−+−−−−−=
w
y(t+j)
N1 N2 t tiempo
Si la salida y la entrada son constantes durante un número superior a n periodos de muestreo, los valores posteriores de y(t) también serán constantes.
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Restricciones terminales
[ ] [ ]minu
y t j r t j u t jj
Nu
j N
N
J ( ) ( ) ( )∆
= + − + + +=
−
=∑∑ 2 2
0
1
1
2
β∆
w
y(t+j)
N1 N2 horizonte de predicción
t tiempo
intervalo de coincidencia
y(t+j) = Gj(q-1)∆u(t+j) + pj j = 1,…, N2+M y(t+j) = w j = N2,.....N2+M
Solución analítica con multiplicadores de Lagrange
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Restricciones terminales
El requisito de que la salida sea igual a la referencia durante un número finito de periodos de muestreo, impone un condición fuerte que conduce a soluciones subóptimas sobre las que podrían obtenerse sin esa restricción
Si se usa en un contexto con restricciones puede crear además situaciones de no-factibilidad
w
y(t+j)
N1 N2 horizonte de predicción
t tiempo
horizonte de coincidencia
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¿Referencias Alcanzables?
U’s Y’s
La mayor parte de los procesos tienen mas variables controladas que manipuladas
Por ello, a menudo no es posible alcanzar todas las consignas simultaneamente
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Garantía de estabilidad
Horizonte Infinito, Kalman LQG 1960
+= ∑
∞
=∞
0jv)j(Rv)'j(v)j(Qz)'j(zmin))t(x(J
El lazo cerrado es estable y la solución es del tipo u(t) = -K x(t) con K dada por la ecuación de Ricatti
¿Por qué con un horizonte finito no hay garantía de estabilidad, aún con modelo perfecto y sin perturbaciones, si en cada paso se toma una decisión óptima?
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Estabilidad
Con horizonte finito N2, no hay garantia de que, incluso con un modelo perfecto, la aplicación de las señales de control “optimas” u(t) del MPC conduzca a un lazo de control estable en lazo cerrado
w
y(t+j)
N2
Horizonte de predicción
t
tiempo
u(t-1) u(t)
Nu horizonte control
t tiempo
N1
w
y(t+j)
N2
Horizonte de predicción
t
tiempo
N1
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Estabilidad
State at time t
Target
x1
x2
u(t-1) u(t)
Nu Control horizon
t time
State after ∆t
El punto clave para entender por qué, con horizonte finito, el lazo cerrado puede ser inestable incluso si no hay perturbaciones y el modelo es perfecto, es el hecho de que, si la trayectoria no alcanza el objetivo dentro del horizonte de predicción, la solución del problema de optimización en lazo abierto comenzando en t con N pasos futuros puede ser diferente de la solución enpezando en t+ ∆t con N pasos futuros. Por tanto, el estado del proceso en t +2∆t no tiene por qué estar en la trayectoria original, etc.
State after 2∆t
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Horizonte infinito
Estado en el instante t
Target
x1
x2
u(t-1) u(t)
Nu Control horizon
t time
Estado tras ∆t
Estado tras 2∆t Si el objetivo se alcanza dentro del horizonte de predicción, lo que ocurre con horizonte infinito, se puede aplicar el principio de optimalidad de Bellman para concluir que, como cualquier parte de una trayectoria óptima tambien es óptima, las trayectorias que comienzan en t y en t + ∆t deben coincidir. Por tanto, si la primera trayectoria en lazo abierto es estable, la trayectoria en lazo cerrado tambien es estable.
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Cesar de Prada ISA-UVA 21
Ejemplo: Reactor Químico
Vd cd t
Fc Fc Vke cAAi A
ERT
A= − − −
AiA c)x1(c −=
V cd Td t
F c T F c T UA T Tr r err
r r e ri r r er r rrρ ρ ρ= − + −( )
V cd Td t
F c T F c T Vke c H UA T Te e i e
ERT
A rρ ρ ρ= − + − −− ∆ ( )
Reactor
TT
AT
Refrigerante
Producto
A A→B
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Horizonte de predicción: 10
Reactor Químico Fr = 62.679 q = 3.720
MPC primera iteración, predicciones
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Reactor Químico, 2ª iteración Fr = 62.679 57.17 q = 3.720 3.37
1st iteración
Horizonte de predicción: 10
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Horizonte de Predicción 2000
Partiendo de los mismos valores, la solución depende del horizonte de predicción
Reactor químico, horizonte infinito
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Usando un horizonte largo, las MV calculadas y las trayectorias qu empiezan en t =1 coinciden con las anteriores
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Estabilidad en MBPC con restricciones
Al incluir restricciones desaparecen las soluciones analíticas (GPC, Matriz de Kalman,…)
El sistema con restricciones es no-lineal, incluso si el modelo es lineal, y el análisis de estabilidad es mas difícil
Es difícil obtener soluciones realizables con horizontes infinitos
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Uso de JN como función de Lyapunov
Como JN es definida positiva y JN(0)=0, puede ser usada como función de Lyapunov para el estudio de estabilidad. Para que el sistema sea estable en lazo cerrado debe cumplirse: JN(x(t)) > JN(x(t+1))
x1
x2
x0
JN a lo largo de las trayectorias del sistema
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Funcion de Lyapunov
J x t min z N Qz N z j Qz j v j Rv j
z j Az j Bv j z x t
N vj
N
( ( )) ( )' ( ) ( )' ( ) ( )' ( )
( ) ( ) ( ) , ( ) ( )
= + +
+ = + =
=
−
∑0
1
1 0sujeto a
u(t)=v*(0,x(t))
La función escogida es:
y debe calcularse a lo largo de las trayectorias impuestas por la solución de la optimización en cada paso:
x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)
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Ecuación básica
J x t J x tx t Qx t u t Ru t J x t J x t
N N
N N
( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))' '
− + =
+ + + − +−
11 11
Esta expresión debe ser positiva para asegurar la estabilidad
El término x t Qx t u t Ru t' '( ) ( ) ( ) ( )+ es positivo
El término J x t J x tN N− + − +1 1 1( ( )) ( ( )) es de signo indeterminado
Del principio de optimalidad, y restando JN(x(t+1)) : t
t+1
x(t)
x(t+1) trayectoria óptima desde t
t+N
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Enfoques de garantia de estabilidad
Restricciones en el estado – z(N)=0 (Kwon and Pearson, 1977)
Penalización terminal – x(N)’Px(N) P grande
Horizonte infinito – (Rawlings and Muske, 1993)
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Restricción terminal z(N)=0
J x t min z N Qz N z j Qz j v j Rv j
N
minz N Qz N v N Rv N
z j Qz j v j Rv jJ x t
N vj
N
v
j
NN
( ( )) ( )' ( ) ( )' ( ) ( )' ( )
( )( )' ( ) ( )' ( )
( )' ( ) ( )' ( )( ( ))
+ = + +
=
=
− − + − − +
+ +
= +
=
−
=
−−
∑
∑
1
01 1 1 1
1
0
1
0
21
si z
pues v(n-1) no influye en z(n-1) ni en z(N-i) y la minimización debe dar por tanto v(N-1)=0 De este modo JN(x(t)) > JN(x(t+1)) y el sistema es asintóticamente estable
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Penalización terminal
La función escogida es en este caso:
J x t min z N Pz N z j Qz j v j Rv jN vj
N
( ( )) ( )' ( ) ( )' ( ) ( )' ( )= + +
=
−
∑0
1
con P suficientemente grande. Esto equivale a forzar soluciones en las que z(N) → 0, con lo cual, JN-1 (x(t+1)) - JN(x(t+1)) → 0 y el sistema es asintóticamente estable No impone la restricción fuerte z(N)=0, pero no da pautas para calcular P
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Horizonte Infinito
Si N→ ∞, ⇒ JN-1 (x(t+1)) - JN(x(t+1)) → 0 el término x(t)’Qx(t)+u(t)’Ru(t) domina sobre
JN-1 (x(t+1)) - JN(x(t+1)) con lo que
J x t J x tx t Qx t u t Ru t J x t J x t
N N
N N
( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))' '
− + =
+ + + − +−
11 11
es positivo y el sistema asintóticamente estable ¿Como resolver el problema de horizonte infinito con restricciones? (tiene infinitas restricciones…)
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Rawlings and Muske 1993
Modelo lineal en espacio de estados Horizonte de prediccion infinito Horizonte de control finito Realizable mediante parametrización de la entrada,
por ejemplo:
[v0, v1, v2, …., vN-1, 0,0,……]
[v0, v1, v2, …., vN-1, KzN, KzN+1 ,……]
y uso de un funcional de costo equivalente con penalización terminal
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Muske and Rawlings 1993
J x t min z j Qz j v j Rv j
min z j Qz j z j Qz j v j Rv j
N N j A z N
z j Qz j A z N QA z N z N A QA z
vj
N
j
vj
N
j
N
j N
j
j N
j
j
j j
j
j
( ( )) ( )' ( ) ( )' ( )
( )' ( ) ( )' ( ) ( )' ( )
, ( ) ( )
( )' ( ) ( ( ))' ( ) ( )' ' (
= +
=
= + +
=
≥ + =
= =
=
−
=
∞
=
−
=
−
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
∑∑
∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
0
1
0
0
1
0
1
0 0
como v(j) = 0 para j se tiene z y
N
A QA
J x t min z N Pz N z j Qz j v j Rv j
j
j
j
vj
N
)
'
( ( )) ( )' ( ) ( )' ( ) ( )' ( )
ahora definiendo P
se pueden imponer restricciones y resolver el problema con QP
=
= + +
=
∞
=
−
∑
∑
0
0
1
z(j+1)=Az(j)+Bv(j)
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Cálculo de P
P A QA Q A QA A QA A QA
PA A QA A QA A QArestandoP A PA Q ecua
j
j
j= = + + + +
= + + +
− =
=
∞
∑0
2 2 3 3
2 2 3 3
' ' ' ' .......
' ' ' ' ........:
'
A
cion matricial de Lyapunov (dlyap)
Si A tiene autovalores estables Aj no diverge y:
Si A tiene autovalores inestables hay que imponer una restricción terminal para anular los modos inestables Requiere que el origen sea factible para que sea finito
z j Qz jj N
( )' ( )=
∞
∑
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Optimización de restricciones terminales (Cristea, Prada,1998)
r
y(t+j)
N1 N2 Prediction horizon
t time
Intervalo para restricciones de estabilidad
Nm
d
Dividir el problema: estabilidad y respuesta dinamica
Restricciones terminales para asegurar estabilidad en el intervalo [N2, N2+Nm] pero no sobre la referencia
Minimización de la distancia d para asegurar una respuesta adecuada sin error estacionario
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Ventajas
r
y(t+j)
N1 N2 t tiempo
Nm
d
No está limitada a sistemas estables en lazo abierto
No crea problemas de factibilidad
La garantia de estabilidad no se pierde si la referencia no es alcanzable
Horizonte de Prediction Intervalo para restricciones
de estabilidad
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Planteamiento
=++−++
=++−++
d)Nm2Nt(r)Nm2Nt(y
d)12Nt(r)12Nt(y
[ ] [ ] 21Nu
0j
22N
1Nj
2
d,d)jt(u)j()jt(r)jt(ymin λ++∆β++−+ ∑∑
−
==u
r
y(t+j)
N1 N2 t time
Nm
d
Mm
Mm
Mm
D)jt(uDU)jt(uUY)jt(yY
≤+∆≤≤+≤≤+≤
Horizonte de Prediction Intervalo para restricciones
de estabilidad
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Ejemplo
CDGPC_x )1s(s1)s(G 2 +
=
ACSL C code
CDGPC_1 Restricciones terminales
CDGPC_2 Horizonte infinito
CDGPC_3 Optimización de restricciones terminales
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Ejemplo en el dominio δ
δ+δ+δ=δ
+δ+δ=δ
9992.00999.0)(A9992.00999.00017.0)(B
23
2
)1s(s1)s(G 2 +
=
τ=0.1
Prediction Horizon N1 = 1 N2 =7
Control Horizon Un = 3
Weighting factor β = 0.1
Internal reference α = 0.3
Constraints
-5 ≤ u(t+j) ≤ 5
-5 ≤ ∆u(t+j) ≤ 5
-2.5 ≤ y(t+j) ≤ 2.5
T(δ) = (1+δ)4
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GPC, CDGPC,...
Controladores sin consideraciones explícitas de estabilidad no son capaces de estabilizar el sistema
u
y + SP
Constraints
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CDGPC_1, _2
La consideración de restricciones terminales, (Nm=4), o horizonte Infinito, (µ=102 ) estabiliza el sistema
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CDGPC_3
λ=105 λ=103 CDGPC_3 también estabiliza el sistema y puede sintonizarse para obtener distintas respuestas dinámicas
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Otras restricciones
Restricciones
-5 ≤ u(t+j) ≤ 5
-1.5 ≤ ∆u(t+j) ≤ 1.5
-2.5 ≤ y(t+j) ≤ 2.5
CDGPC_x )1s(s1)s(G 2 +
=
ACSL C code
Ahora la consigna no es alcanzable con las nuevas restricciones
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Consigna no alcanzable
CDGPC_1
El controlador CDGPC_1 hace inestable al sistema
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CDGPC_2
Cambiando el parámetro µ es posible estabilizar el sistema, pero al no estar garantizada la estabilidad, pueden obtenerse respuestas como en la figura
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CDGPC_3
λ=104
El sistema es estable, opera dentro de las restricciones y puede sintonizarse para obtener distintas dinámicas con el parámetro λ
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Modelo no lineal Chen, Allgower 1997
u)t(uu ))t(u),t(x(f)t(x
dRu'uQx'xu
Jmint
≤≤=
τ+= ∫∞
Condiciones de estabilidad similares al caso lineal:
Es posible garantizar la estabilidad con horizonte infinito. Puede encontrarse una penalización terminal equivalente que haga el problema resoluble bajo ciertas condiciones.
u)t(uu))t(u),t(x(f)t(x
dRu'uQx'x)Tt(Px)Tt('xu
JminTt
t
≤≤=
τ++++= ∫+
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Penalización terminal y control ficticio u=-Kx
u)t(uu )Tt(x
))t(u),t(x(f)t(x
dRu'uQx'x)Tt(Px)Tt('xu
JminTt
t
≤≤Ω∈+
=
τ++++= ∫+
La restricción terminal fuerza a los estados a estar dentro de una región terminal invariante que contiene al origen. P y Ω se determinan fuera de línea para que se verifique
u)t(uu )Tt(xKxu
dRu'uQx'x)Tt(Px)Tt('xTt
≤≤Ω∈+∀−=
τ+≥++ ∫∞
+ La ley u = -Kx se postula para garantizar estabilidad pero no se aplica nunca
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Estabilidad NMPC
51
z(0)
z(N)
Normalmente se acompaña de una restricción adicional que fuerza el estado en T a estar dentro de una región terminal que contiene al óptimo, en la cual se supone existe una ley de control u = c(x) que mantendría la evolución del sistema dentro de la región terminal. Se supone además que:
Existen métodos para el diseño de la región terminal y la ley de control asociada, pero pueden no ser fáciles de aplicar
)x()u,x(L)x(Xx))x(c,x(L)x()x(
2kk1
fkkk1k
α≤≤α
∈∀−≤Φ−Φ +
)u,x(fxvu
XzUvXz
xz)v,z(fz
)v,z(L)z()v(Jmin
kk1k
*0k
fNjj
k0jj1j
1N
0jjjNu
==
∈∈∈
==
+Φ=
+
+
−
=∑
Con α1 , α2 funciones positivas definidas
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Subespacio invariante
La región terminal es un subespacio invariante:
Cualquier trayectoria que empieze en el subespacio no sale de él
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r
y(t+j)
t time
Interval for stability constraints
d
=++−++
=++−++
d)t/NNt(r)t/NNt(y
d)t/1Nt(r)t/1Nt(y
mpmp
pp
Mm
Mm
Mm
D)t/jt(uDU)t/jt(uUY)t/jt(yY
≤+∆≤≤+≤≤+≤
extra degree of freedom
t+N1 t+Np
t+Np+Nm
d∈ℜ
[ ] [ ] 21Nu
0j
2tt
t
2
d,ud)jt(ud))(r)(y(min
pk
k
λ++∆β+ττ−τγ ∑∫−
=
+
∆
extra term
Restricciones terminales flexibles
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Simulation example
mol/l 1C0K 380TK 340K 330TK 280
A
c
≤≤≤≤≤≤
Operation Constraints:
Significant nonlinearities and varying time constants
The objective is to control T and CA by manipulating Tc.
Tc=300+5 K
Tc=300-5 K
CSTR Tc
CA, T
CAf
Coolant stream temperature
T CA
Concentration of specie A in the feed
Starting from the
equilibrium point
=
=
=
K 300T K, 350T
,l/mol 5.0C
eqc
eq
eqA
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Simulation example: Tracking performance
5T ;K 305TK 270 cc ≤∆≤≤
Input constraints Prediction horizon: Np=15
Control horizon: Nu=2
NMPC Stable NMPC
T
CA
TC
T
CA
TC
Nm=3
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Simulation example: Tracking performance
1T ;K 305TK 275 cc ≤∆≤≤
Input constraints Prediction horizon: Np=8
Control horizon: Nu=2
NMPC Stable NMPC
T
CA
TC
T
Nm=3