![Page 1: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/1.jpg)
Estática 2015-1
Profesor Herbert Yépez Castillo
![Page 2: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/2.jpg)
Introducción
4.1 Momento de una fuerza – Formulación Escalar
4.2 Producto Cruz
4.3 Momento de una fuerza – Formulación Vectorial
4.4 Principio de momentos
4.5 Momento de una fuerza respecto a un eje
4.6 Momento de un par
4.7 Sistemas Equivalentes
4.8 Reducción de un Sistema de fuerzas
4.9 Reducciones adicionales de un Sist. de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 2
![Page 3: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/3.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 3
![Page 4: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/4.jpg)
4.6 Momento de un par
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 4
Un par se define mediante:
2 fuerzas:
Paralelas
De igual magnitud
Dirección opuesta
Separadas por una distancia 𝒅
∑𝑭 = 𝟎
Tendencia a rotar
Entonces, Momento de un par se define como la suma de momentos de ambas fuerzas respecto a cualquier punto arbitrario.
𝑭
𝒅
−𝑭
![Page 5: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/5.jpg)
4.6 Momento de un par
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 5
𝑦
𝑥
𝑧
𝑶
𝑩
𝒓𝑨
𝑴𝒐 = 𝒓𝑨 × −𝑭 + 𝒓𝑩 × 𝑭
𝒓𝑩
𝑨
𝑭
−𝑭 𝒓 𝑴𝒐 = −𝒓𝑨 × 𝑭 + 𝒓𝑩 × 𝑭
𝑴𝒐 = (𝒓𝑩 − 𝒓𝑨) × 𝑭
𝑴𝑨 = 𝒓 × 𝑭 + 𝟎 × −𝑭
𝒓 = 𝒓𝑩 − 𝒓𝑨
𝑴𝑨 = (𝒓𝑩 − 𝒓𝑨) × 𝑭
Donde:
Momento respecto a 𝑶
Son iguales!
Momento respecto a 𝑨
![Page 6: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/6.jpg)
4.6 Momento de un par
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 6
𝑦
𝑥
𝑧
𝑶
𝑩
𝒓𝑨 𝒓𝑩
𝑨
𝑭
−𝑭 𝒓
Momento de un par
Vector libre, es decir que puede actuar en cualquier punto.
Depende únicamente de 𝒓 y no de 𝒓𝑨 y 𝒓𝑩
Conceptualmente:
M de par ≠ M de una fuerza
𝑭 𝒓 Libre Requiere de un
punto o un eje
![Page 7: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/7.jpg)
4.6 Momento de un par
Análisis Escalar
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 7
Donde:
𝒅: Distancia perpendicular entre las fuerzas 𝑭: Magnitud de una de las fuerzas
𝑴: Momento de par
𝑴 = 𝑭. 𝒅 [𝑵.𝒎] [𝒍𝒃. 𝒑𝒊𝒆]
𝑭
𝒅
−𝑭
![Page 8: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/8.jpg)
4.6 Momento de un par
Análisis Escalar - Dirección
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 8
𝑴 = 𝑭. 𝒅
𝑴
𝑭
−𝑭 𝒅
![Page 9: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/9.jpg)
4.6 Momento de un par
Análisis Vectorial
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 9
𝑴 = 𝒓 × 𝑭
𝑩
𝑨
𝑭
𝑭 𝒓 𝒓 𝑭
𝑴 𝑴
![Page 10: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/10.jpg)
𝑧
𝑭
𝑦 𝑥
𝑶
𝑭
𝒅
4.6 Momento de un par
Pares equivalentes
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 10
𝑧
𝑭 𝟐
𝑦
𝑥
𝑶
𝑭 𝟐
𝟐𝒅
𝑧
𝑭 𝑦
𝑥
𝑶
𝑭
𝒅
![Page 11: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/11.jpg)
4.6 Momento de un par
Pares equivalentes
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 11
Si dos pares de momentos tienen la misma magnitud, son equivalentes, siempre que estén contenidos en el mismo plano o en planos paralelos
𝑴 = 𝑭.𝒅 = 𝑭 𝟐 . 𝟐𝒅
![Page 12: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/12.jpg)
𝑧
𝑭
𝑦 𝑥
𝑶
𝑭
𝒅
4.6 Momento de un par
Pares equivalentes
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 12
𝑧
𝑭 𝟐
𝑦
𝑥
𝑶
𝑭 𝟐
𝟐𝒅
𝑧
𝑭 𝑦
𝑥
𝑶
𝑭
𝒅
𝑴 = 𝑭.𝒅
𝑴 = 𝑭.𝒅
𝑴 = 𝑭.𝒅
![Page 13: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/13.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 13
![Page 14: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/14.jpg)
4.7 Sistemas equivalentes
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 14
Simplificar sin afectar los efectos externos del cuerpo rígido C.R.
𝑶
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝒓𝟑 𝑭𝟑
𝑴𝟐
𝑴𝟏
𝑶
𝑭𝑹
𝑴𝑹
Sistema Fuerzas
Momentos
de par
Sistema 01 Fuerza resultante
01 Momento resultante
Respecto a un punto.
![Page 15: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/15.jpg)
4.7 Sistemas equivalentes
El punto O está sobre la línea de acción de la Fuerza
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 15
Se requiere aplicar 𝑭 en el punto 𝑶 sin afectar los efectos externos del C.R.
Aplicaremos fuerzas iguales y opuestas en el punto 𝑂.
𝑭 y −𝑭 pueden ser cancelados, dejando 𝑭 en 𝑶.
La fuerza ha sido transmitida (Principio de transmisibilidad)
𝑶
𝑭
𝑨
(a)
𝑶
𝑭
𝑨
𝑭
−𝑭 (b)
𝑶
𝑨
𝑭
(c)
= =
(a)
(b)
(c)
![Page 16: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/16.jpg)
4.7 Sistemas equivalentes
El punto O NO está sobre la l. de acción de la Fuerza
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 16
Se requiere aplicar 𝑭 en el punto 𝑶 sin afectar los efectos externos del CR.
= 𝑶
𝑭
𝑨
(a)
Aplicaremos fuerzas iguales y opuestas en el punto 𝑶.
El punto 𝑨 puede ser definido mediante 𝒓 respecto 𝑶.
Consecuencia: 01 fuerza en 𝑂 y 01 un par de fuerzas.
El par de fuerzas genera un momento de par: 𝑴𝒐 = 𝒓 × 𝑭
(a)
(b)
(b)
𝑶
𝑭
𝑨 𝑭
−𝑭
𝒓
![Page 17: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/17.jpg)
4.7 Sistemas equivalentes
El punto O NO está sobre la l. de acción de la Fuerza
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 17
(b)
= = 𝑶
𝑭
𝑨
(a) (c)
𝑶
𝑨 𝑭
𝑴𝒐
Cualquier fuerza 𝑭 que actúa sobre un CR puede ser trasladada a un punto arbitrario 𝑶, siempre y cuando se agregue un par cuyo momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto 𝑶.
(c)
𝑶
𝑭
𝑨 𝑭
−𝑭
𝒓
![Page 18: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/18.jpg)
(b)
𝑶
𝑨 𝑭
𝑶´
𝑴𝒐
4.7 Sistemas equivalentes
El punto O NO está sobre la l. de acción de la Fuerza
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 18
= =
(a)
𝑶
𝑨 𝑭
𝑴𝒐
Si se requiere que la fuerza 𝑭 se traslada 𝑶´
El punto 𝑶´ puede ser definido mediante 𝒔 respecto a 𝑶´.
Entonces el nuevo momento es igual a: 𝑴𝒐´ = 𝑴𝒐 + 𝒔 × 𝑭 (c)
𝑶´
𝒔
(c)
𝑶
𝑨
𝑶´
𝒔
𝑴𝒐´
𝑭
Existente Nuevo traslado
(b)
(a)
![Page 19: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/19.jpg)
4.7 Sistemas equivalentes
El punto O NO está sobre la l. de acción de la Fuerza
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 19
Primera forma:
Traslado de 𝑨 → 𝑶 → 𝑶´
𝑴𝒐´ = 𝑴𝒐 + 𝒔 × 𝑭
Segunda forma:
Traslado de 𝑨 → 𝑶´
𝑴𝒐´ = 𝒓 ́ × 𝑭
Donde: 𝒓 ́ = 𝒓 + 𝒔
𝑴𝒐´ = 𝒓 + 𝒔 × 𝑭 = 𝒓 × 𝑭 + 𝒔 × 𝑭
Existente
Nuevo traslado
(c)
𝑶
𝑨 𝒓
𝑶´
𝒔
𝑴𝒐´
𝑭 𝒓 ́
Son iguales!
![Page 20: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/20.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 20
![Page 21: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/21.jpg)
4.8 Reducción de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 21
= =
Sistema de fuerzas y momentos de par
Se halla los momentos de fuerza respecto a 𝑶.
Las fuerzas y el momentos de par son desplazados al punto 𝑶.
Por suma vectorial: 𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 , 𝑴𝑹𝑶 = 𝑴𝒄 +𝑴𝟏 +𝑴𝟐 (c)
(b)
(a)
(a)
𝒓𝟏
𝒓𝟐
A una fuerza y un momento de par resultante
(b)
𝑶
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑴𝒄
𝑶
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑴𝒄
(c)
𝑶
𝑭𝑹 𝑴𝟏 = 𝒓𝟏 × 𝑭𝟏
𝑴𝑹𝑶
𝑴𝟐 = 𝒓𝟐 × 𝑭𝟐
![Page 22: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/22.jpg)
4.8 Reducción de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 22
𝑭𝑹 = ∑𝑭 𝑴𝑹𝑶 = ∑𝑴𝒄 + ∑𝑴𝒐
A una fuerza y un momento de par resultante
Sistema Sistema Equivalentes!!
= =
(a)
𝒓𝟏
𝒓𝟐
(b)
𝑶
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑴𝒄
𝑶
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑴𝒄
(c)
𝑶
𝑭𝑹 𝑴𝟏 = 𝒓𝟏 × 𝑭𝟏
𝑴𝑹𝑶
𝑴𝟐 = 𝒓𝟐 × 𝑭𝟐
![Page 23: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/23.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 23
![Page 24: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/24.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 24
Reducción de un Sistema
Reducción adicionales de un Sistema
Sistema Fuerzas
Momentos
de par
Sistema 01 Fuerza resultante
01 Momento resultante
Respecto a un punto.
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
b) Simplificación a un torsor (llave de torsión / momento mínimo)
![Page 25: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/25.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 25
![Page 26: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/26.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 26
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
𝑏
𝑎
𝑶
𝒓𝟏 𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑶
𝑭𝑹
𝑎
𝑏
𝑴𝑹𝑶
𝑎
𝑶
𝑷
𝑎
𝑏
𝒓𝟐
𝒓𝟑
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑭𝟑
𝒅 =𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹
=
=
Casos especiales: 𝑭𝑹 ⊥ 𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹
![Page 27: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/27.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 27
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
𝑏
𝑎
𝑷
𝑎
𝑏
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑭𝟑
Caso 1: Sist. de fuerzas concurrentes
Un sistema de fuerzas que actúan en P para el cual no hay momento de par resultante, entonces las fuerzas se reducen a una sola fuerza
𝑏
𝑎
𝑷
𝑎
𝑏
𝑭𝑹
=
![Page 28: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/28.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 28
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
Caso 2: Sist. de fuerzas coplanares
=
𝑭𝑹
𝒚
𝒙 O
𝑴𝑹𝑶
𝒅 =𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹
𝑭𝑹
𝒚
𝒙 O
=
𝒚
𝒙 O
𝑴𝟏
𝒓𝟏 𝒓𝟐
𝒓𝟑
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑭𝟑
𝑴𝟐
![Page 29: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/29.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 29
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
Caso 2: Sist. de fuerzas coplanares
𝑭𝑹 𝑭𝑹𝒚
𝑭𝑹𝒙
𝒚
𝒙 O
𝑴𝑹𝑶 =
𝒚
𝒙 O
𝒅𝒙 . 𝑭𝑹𝒚 = 𝑴𝟏
=
𝒅𝒙
𝒓 𝑨𝑶 A
𝒚
𝒙 O
𝒅𝒙 =𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹𝒚
𝑭𝑹
𝑴𝑨 = 𝑴𝑹𝟎 −𝑴𝟏 = 𝟎
𝑴𝟏
𝑴𝑨 =↺+↻= 𝟎
𝑭𝑹
𝑴𝑹𝑶
A
𝒅𝒙
![Page 30: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/30.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 30
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
Caso 2: Sist. de fuerzas coplanares
𝑭𝑹 𝑭𝑹𝒚
𝑭𝑹𝒙
𝒚
𝒙 O
𝑴𝑹𝑶 =
𝒚
𝒙 O
𝒅𝒙 . 𝑭𝑹𝒙 = 𝑴𝟐
=
𝒓 𝑩𝑶
B
𝒚
𝒙 O 𝑭𝑹
𝑴𝑨 = 𝑴𝑹𝟎 −𝑴𝟐 = 𝟎
𝑴𝟐
𝑴𝑨 =↺+↻= 𝟎
𝑭𝑹
𝑴𝑹𝑶
𝒅𝒚
𝒅𝒚 =𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹𝒙
B
𝒅𝒚
![Page 31: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/31.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 31
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
Caso 2: Sist. de fuerzas coplanares
𝑭𝑹 𝑭𝑹𝒚
𝑭𝑹𝒙
𝒚
𝒙 O
𝑴𝑹𝑶 =
𝒚
𝒙 O
𝒅𝒙 =𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹𝒚
=
𝑭𝑹
𝒅𝒚 =𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹𝒙
𝒚
𝒙 O
𝑭𝑹
𝒅𝒙
A
𝒅𝒚
B
![Page 32: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/32.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 32
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
Caso 3: Sist. de fuerzas paralelas
𝑥
𝑶 𝒓𝟏
𝑦
𝒓𝟐
𝒓𝟑 𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑭𝟑 𝑧
𝑶
𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹
=
𝑥
𝑧
𝑦
𝑭𝑹
𝒓
−𝑴𝑹𝑶 = 𝒓 × 𝑭𝑹
=
𝑶
𝑧
𝑦
𝑥
Q
![Page 33: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/33.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 33
a) Simplificación a una sola fuerza resultante
Caso 3: Sist. de fuerzas paralelas
𝑶
𝑴𝑹𝑶
𝑭𝑹
𝑥
𝑧
𝑦
𝑭𝑹
𝒓 = 𝑶
𝑧
𝑦
𝑥
𝒅𝒚 =(𝑴𝑹𝑶)𝒙
𝑭𝑹
𝒅𝒙 =(𝑴𝑹𝑶)𝒚
𝑭𝑹
(𝑴𝑹𝑶)𝒙
(𝑴𝑹𝑶)𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
Q
![Page 34: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/34.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 34
![Page 35: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/35.jpg)
4.9 Reducción Adicionales de un Sistema de fuerzas
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 35
b) Simplificación a un torsor (llave de torsión)
𝑭𝑹
=
𝑶
𝑥
𝑧
𝑦
Caso especial: 𝑭𝑹 ∡ 𝑴𝑹𝑶 y 𝑴𝑹𝑶 = 𝑴∥ +𝑴⊥
𝑴𝑹𝑶 𝑴∥
𝑴⊥
𝑶
𝑥
𝑧
𝑦
𝑭𝑹 𝑭𝑹
𝑶
𝑥
𝑦
𝑧
𝒚
𝒚 =𝑴⊥
𝑭𝑹
= 𝜽
𝑴∥
![Page 36: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/36.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 36
Si F es igual a 25 N, determine:
a) 𝑀 𝑝𝑎𝑟 = 𝑟 × 𝐹
b) 𝑀 𝑝𝑎𝑟 = 𝑀 𝑜1 +𝑀 𝑜2
Rpta: (-5000; 8750; 0) N.mm
![Page 37: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/37.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 37
Determine la distancia d de modo que el momento resultante sea igual a
20 N.m
Rpta: d=342mm
![Page 38: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/38.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 38
Remplazar el sistema por una fuerza resultante y un momento resultante:
a) En el punto O.
b) En el punto C.
Rpta:
a) (-249,615; 166.41; -800)N
(-166.41; -649.615; 300)N.m
b) (-249,615; 166.41; -800)N
(0; -400; 300)N.m
![Page 39: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/39.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 39
Remplazar el sistema por una fuerza resultante y un momento resultante:
a) En el punto E.
b) En el punto A.
c) Determinar la magnitud, dirección y la ubicación sobre la viga de una
fuerza resultante medido desde E.
Rpta:
a) 420.46 N y 1182 N.m
b) 420.46 N y -216 N.m
c) 420.46 N ; 33.65° y 5.07 m (a la izquierda de E.)
![Page 40: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/40.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 40
Remplazar el sistema por una fuerza resultante y un momento resultante:
a) en el punto A, b) en el punto B y c) determinar la magnitud y dirección de
una fuerza resultante y especificar en qué punto la línea de acción de la
resultante intersecta la columna AB y el pescante BC.
Rpta:
a) 416.2 lb y 745 lb.pie
b) 416.2 lb y -2830 lb.pie
c) 420.46 N ; 38.66°;
(-2.865;0) m; (0; 2.292)m
y (10.885; 11)m
![Page 41: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/41.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 41
Remplazar el sistema por una fuerza resultante y un momento resultante en
el punto origen y determinar la magnitud, dirección y la ubicación del punto
de aplicación sobre la plancha de una fuerza resultante.
Rpta:
a) (0; 0; -1400) N y (-3500; 4200; 0) N.m
b) 1400 N ; dirección del eje -z; (3; 2.5;0) m
![Page 42: Estática 2015-1 Profesor Herbert Yépez Castillotextos.pucp.edu.pe/pdf/4381.pdf · momento sea igual al momento de 𝑭 con respecto ... (llave de torsión / momento ... por una](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020920/5bd608af09d3f2513e8ce4dd/html5/thumbnails/42.jpg)
25/03/2015 Profesor Herbert Yépez Castillo 42
Cada una de las tres fuerzas que actúan sobre el bloque tienen magnitud de 10
lb. Remplazar este sistema por
a) una fuerza y momento resultante y
b) por una llave y especificar el punto donde la llave interseca al eje z, medida
esta intersección desde el origen.
Rpta:
a) (0; -10; 0) lb y (5.86; -14.14; 0) lb.pie
b) 0.586 pie