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ESTATÍSTICAProfa. Ms. Francini Mandolesi
Setembro/2015
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ESTATÍSTICA
• Ementa
– Estatística descritiva;
– Estatística Indutiva;
– População;
– Amostragem;
– Variáveis dos resultados;
– Coleta de dados;
– Análise e Interpretação dos resultados;
– Técnicas de descrição gráfica;
– Media;
– Moda;
– Mediana;
– Desvio padrão;
– Coeficiente de variação;
– Correlação;
– Regressão linear.
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A ESTATÍSTICA
• É uma parte da matemática aplicada que fornece
métodos para coleta, organização, descrição,
análise e interpretação de dados e para a
utilização dos mesmos na tomada de decisões.
• A coleta, a organização ,a descrição dos dados,
o cálculo e a interpretação de coeficientes
pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA,
enquanto a análise e a interpretação dos dados,
associado a uma margem de incerteza, ficam a
cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou
INFERENCIAL, também chamada como a medida
da incerteza ou métodos que se fundamentam na
teoria da probabilidade.
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MÉDIA ARITMÉTICA
• A média aritmética é uma medida de locação usada para
resumir dados quantitativos aproximadamente simétricos.
Análise Estatística
Preço do Saco Cimento CP 2 por Loja
Prob. E Estatística
Loja Preço R$
Loja 1 19,90
Loja 2 19,98
Loja 3 20,06
Loja 4 20,14
Loja 5 19,54
Loja 6 18,94
Loja 7 18,97
Loja 8 19,00
Loja 9 19,03
Loja 10 19,06
Loja 11 19,16
Loja 12 19,26
Loja 13 19,36
Loja 14 18,97
Loja 15 19,00
Loja 16 19,03
Loja 17 19,06
Loja 18 18,97
Média 19,30
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• Para se obter a média
aritmética de uma
categoria basta somar
suas frequências e
dividi-las pelo total de
contagens.
MEDIANA
• É uma medida de tendência central que indica
exatamente o valor central de uma amostra de dados.
• Exemplos:
• O preço de um determinado produto da loja no
semestre se comportou da seguinte forma, colocados
em ordem crescente, foram: R$ 4,00; R$ 4,00; R$
5,00 ; R$ 7,00; R$ 7,00. São cinco preços. A mediana
é o valor que está no centro da amostra, ou seja, R$
5,00. Podemos afirmar que 40% do preço ficaram
acima de R$ 5,00 e 40% ficaram abaixo de R$ 5,00.
• A quantidade de lojas de materiais de construção de
uma determinada rede espalhados pelas cidades do
litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8,
10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e,
portanto, não há um valor central, calculamos a
mediana tirando a média dos dois valores centrais:
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MODA
• É a medida de tendência central que consiste no valor
observado com mais frequência em um conjunto de
dados.
Um determinado setor da loja fez, em dez
horas, a seguinte quantidade de venda do item
portas: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 1, 3, 1; a moda
desse conjunto é de 3 portas.
Se uma setor da loja registra, em quinze dias,
a quantidade de clientes: 52, 50, 55, 53, 61,
52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a
moda desse conjunto é de 52 clientes.
As alturas das prateleira do estoque são 1,82
m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso,
não há moda, porque nenhum valor se
repete.
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COLETA DE DADOS
• Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com
um objetivo determinado.
• Dados primários: quando são publicados pela
própria pessoa ou organização que os haja recolhido.
Ex: tabelas do censo demográfico do IBGE.
• Dados secundários: quando são publicados por outra
organização.
Ex: quando determinado jornal publica estatísticas
referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE.
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COLETA
• Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte. Ex:
Empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência
dos consumidores pela sua marca.
• Coleta Contínua: registros de nascimento, óbitos,
casamentos;
• Coleta Periódica: recenseamento demográfico, censo
industrial;
• Coleta Ocasional: registro de casos de dengue.
• Coleta Indireta: É feita por deduções a partir dos
elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por
avaliação,indícios ou proporcionalização.
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APRESENTAÇÃO DOS DADOS
• Há duas formas de apresentação, que não se excluem
mutuamente.
• A apresentação tabular, ou seja é uma apresentação
numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de
modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo
Conselho Nacional de Estatística.
• A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui
uma apresentação geométrica permitindo uma visão rápida
e clara do fenômeno.
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ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO
DOS DADOS
• A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e
delicada.
• Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e
coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o
fenômeno (estatística descritiva).
DEFINIÇÕES DA ESTATÍSTICA
• DADO ESTATÍSTICO: é um dado numérico e é
considerado a matéria-prima sobre a qual iremos
aplicar os métodos estatísticos.
• POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos
portadores de, pelo menos, uma característica
comum.
• AMOSTRA: é uma parcela representativa da
população que É EXAMINADA com o propósito de
tirarmos conclusões sobre a essa população.
• PARÂMETROS: São valores singulares que existem
na população e que servem para caracterizá-la. Para
definirmos um parâmetro devemos examinar toda a
população.
Ex: Os alunos do 2º ano da FACEV têm em média 1,70
metros de estatura.
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DEFINIÇÕES DA ESTATÍSTICA
• ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é
calculado com o uso da amostra.
• ATRIBUTO: quando os dados estatísticos apresentam um
caráter qualitativo, o levantamento e os estudos
necessários ao tratamento desses dados são designados
genericamente de estatística de atributo.
• VARIÁVEL: é o conjunto de resultados possíveis de um
fenômeno
• VARIÁVEL QUALITATIVA: Quando seu valores são
expressos por atributos: marca, fabricante, modelo, etc.
• VARIÁVEL QUANTITATIVA: Quando os dados são de
caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos
resultados possui uma estrutura numérica, trata-se
portanto da estatística de variável e se dividem em:
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DEFINIÇÕES DA ESTATÍSTICA
• VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA: Seus valores
são expressos geralmente através de números inteiros não
negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de
funcionários do setor de um determinado setor da loja no
1º semestre de 2015: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun =
36.
• VARIÁVEL CONTÍNUA: Resulta normalmente de uma
mensuração, e a escala numérica de seus possíveis
valores corresponde ao conjunto R dos números Reais,
ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre
dois limites.
Exemplos:
• Cor de tinta para parede interna: qualitativa
• Índice de liquidez nas Lojas: quantitativa contínua
• Produção de cimento no Brasil: quantitativa contínua
• Número de defeitos em produtos vendidos: quantitativa discreta
• Comprimento dos pregos vendidos: quantitativa contínua
• O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta
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AMOSTRAGEM
MÉTODOS PROBABILÍSTICOS
• Exige que cada elemento da população possua determinada
probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem
a mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da
população, a probabilidade de cada elemento ser
selecionado será 1/N. Trata-se do método que garante
cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de
inferências. Somente com base em amostragens
probabilísticas é que se podem realizar inferências ou
induções sobre a população a partir do conhecimento da
amostra.
• É uma técnica especial para recolher amostras, que
garantem, tanto quanto possível, o acaso na escolha.
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AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES
• É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. É
equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada
numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a
seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x
números dessa sequência, os quais corresponderão aos
elementos pertencentes à amostra.
Ex: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa
para a pesquisa do preço de uma determinada marca de
tinta de 90 lojas concorrentes:
1º - numeramos as lojas de 1 a 90.
2º - escrevemos os números das lojas, de 1 a 90, em
pedaços iguais de papel, colocamos na urna e após
mistura retiramos, um a um, nove números que formarão a
amostra.
OBS: quando o número de elementos da amostra é muito
grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso.
Neste caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios,
construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são
distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.
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AMOSTRAGEM
AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA:
• Quando a população se divide em estratos (sub-
populações), convém que o sorteio dos elementos da
amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos
os elementos da amostra proporcional ao número de
elementos desses estratos
Ex: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de
10%, do exemplo anterior, supondo, que, das 90 lojas, 54
sejam lojas de bairro e 36 sejam lojas grandes. São
portanto dois estratos (lojas de bairro e lojas grandes ).
Logo, temos:
• Numeramos então as lojas de 01 a 90, sendo 01 a 54
bairro e 55 a 90 grande e procedemos o sorteio casual com
urna ou tabela de números aleatórios.
Lojas População 10% Amostra
Bairro 54 5,4 5
Grandes 36 3,6 4
Somatoria 90 9,0 9
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AMOSTRAGEM
TABELA
• É um quadro que resume um conjunto de dados dispostossegundo linhas e colunas de maneira sistemática.
• De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas oucélulas da tabela devemos colocar :
• um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero;
• três pontos ( ... ) quando não temos os dados;
• zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para serexpresso pela unidade utilizada;
• um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvidaquanto à exatidão de determinado valor.
Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deveser aberto..
• SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta adistribuição de um conjunto de dados estatísticos emfunção da época, do local ou da espécie.
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS• São representações visuais dos dados estatísticos que
devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas
estatísticas.
• Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas,
simplicidade, clareza e veracidade.
• Gráficos de informação: São gráficos destinados
principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar
uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente
expositivos, dispensando comentários explicativos
adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as
informações desejadas estejam presentes.
• Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor
ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de
análise dos dados, sem deixar de ser também informativos.
Os gráficos de análise frequentemente vêm acompanhados
de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto
explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos
principais revelados pelo gráfico.
• Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa
dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a
confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de
construção de escalas.
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DESVIO PADRÃO
• Em Probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a
medida mais comum da dispersão estatística (representado
pelo símbolo sigma, σ ou s).
• Ele mostra o quanto de variação ou "dispersão" existe em
relação à média (ou valor esperado).
• Um baixo desvio padrão indica que os dados tendem a estar
próximos da média; um desvio padrão alto indica que os
dados estão espalhados por uma gama de valores.
• O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da
variância.
• É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da
dispersão que:
– seja um número não-negativo;
– use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos
inicialmente.
– Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) ou
s, do total de uma população ou de uma variável
aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em
amostra.
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EXEMPLO DE QUESTÕES
• Qual é a porcentagem de homens da sua amostra?
• Qual o salário médio dos funcionários da sua amostra?
• O que o cliente procura: Preço ou Qualidade?
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• Desvio padrão: margem de erro
S = desvio padrão
S =
DESVIO PADRÃO
∑x - (∑x )
n - 1
DESVIO PADRÃO
Calcular o desvio padrão previsional de horas extras de
um setor de 9 funcionários.
Horas extras (x) (x) .
20 400
22 484
24 576
25 625
26 676
27 729
28 784
29 841
30 900
2
∑x = 231∑x = 6.015
2
n = 9
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S =
S =
S =6015 - 5929
8
6015 - 53361
9
8
6015 - (231)2
9
8
S =86
8=
10,75= S = 3,28
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DESVIO PADRÃO
Coeficiente de Variância
DESVIO PADRÃO
Coeficiente de Variância
Algumas regras empíricas para interpretação do coeficiente
de variância.
Se: cv < 15% há baixa dispersão
Se: 15% ≤ c.v. ≤ 30% há média dispersão
Se: cv ≥ 30% há elevada dispersão
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Em uma loja, o salário médio dos homens é de R$
4.000,00; com desvio padrão de R$ 1.500,00 e o salário
médio das mulheres é de R$ 3.000,00; com desvio padrão
de R$ 1.200,00. A dispersão relativa dos salários é maior
para os homens?
Homens x H = 4.000,00
x M = 3.000,00
S = 1.500,00H
S = 1.200,00M
cv Homens = cv = S . 100x
= cv = 1.500 . 100 = cv = 37,5%
4.000HH
cv Mulheres = cv = S . 100 = cv = 1.200 . 100 = cv = 40%
x 3.000M
M
DESVIO PADRÃO
Os salários das mulheres tem dispersão relativa maior do
que os salários dos Homens.
As duas distribuições apresentam elevada dispersão.
(cv ≥ 30%)
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EXERCÍCIO - I
Calcular o desvio padrão e o
coeficiente de variância do
orçamento realizado em 20
lojas diferentes em milhões:
Orçamento (X) x2
1,1 1,21
1,2 1,44
1,1 1,21
1,3 1,69
1,2 1,44
1,3 1,69
1,4 1,96
1,5 2,25
1,1 1,21
1,1 1,21
1,2 1,44
1,3 1,69
1,4 1,96
1,5 2,25
1,3 1,69
1,6 2,56
1,4 1,96
1,3 1,69
1,4 1,96
1,6 2,56
Em uma empresa, o salário médio dos homens é de R$
8.500,00; com desvio padrão de R$ 2.700,00 e o salário
médio das mulheres é de R$ 9.000,00; com desvio padrão
de R$ 3.200,00. A dispersão relativa dos salários é maior
para os homens?
EXERCÍCIO - II
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SOLUÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUÊNCIA
a) ROL Consiste em colocar os dados em ordem
crescente.
b) Amplitude Total é a diferença entre o maior e o
menor valor.
c) Cada Classe é um intervalo do tipo
onde li = limite inferior e ls = limite superior.
d) O limite inferior pertence a classe e o limite superior
não pertence a classe.
e) amplitude de classe (h) é obtida dividindo-se a
amplitude total pelo número de classes.
f) Frequencia da classe (F) é o número de elementos
que pertencem a classe.
g) Frequencia total ( 00 0F) é a soma das frequencias de
todas as classes.
li ls
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DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUÊNCIA
h) Ponto médio da classe:
Pm = li + ls ou li + h
2 2
i) Frequência relativa (FR): é o quociente da frequência
da classe pela frequência total
FR = F obs. 000FR = 1,00
00 0F
j) Frequencia Percentual F% = 100 x FR
k) Frequencia acumulada (FA) [e a soma da frequencia
de cada classe com todas as anteriores
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a) Tabela primitiva
A tabela abaixo representa o peso (em ton) de 40
carretas de entrega de um determinado produto.
b) ROL colocar em ordem crescente
160 163 165 151 152 156 180 158
155 162 152 166 154 161 157 169
161 161 167 170 162 171 160 158
162 160 170 160 161 156 156 168
150 155 164 164 160 153 155 163
150 154 156 160 161 162 164 169
151 155 156 160 161 162 165 170
152 155 157 160 161 163 166 170
152 155 158 160 161 163 167 171
153 156 158 160 162 164 168 180180
150
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c) Calcular Amplitude Total
diferença entre o maior e o menor.
At = R = 180 – 150 = 30cm
d) Organizar 6 classes de frequência
Classe li h ls h = amplitude classes
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e) Montar uma tabela com os seguintes dados e efetuar a
tabulacao, indicando a frequencia de cada classe,
frequencia total, calcular os pontos medios das classes,
calcular frequencia relativas, percentuais, acumulados e
acumuladas percentuais
classe ponto médio F F.R. F% FA FA%
150 - 155 152,5 6 0,15 15% 6 15%
155 - 160 157,5 9 0,22 22% 15 37%
160 - 165 162,5 16 0,4 40% 31 77%
165 - 170 167,5 5 0,13 13% 36 90%
170 - 175 172,5 3 0,08 8% 39 98%
175 - 180 177,5 1 0,02 2% 40 100%
40 1 100%
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A) Montar uma tabela com 5 classes, com os seguintes
dados e efetuar a tabulacao, indicando a frequência
relativa de cada classe, frequência percentual, calcular
os pontos medios das classes, e acumulados e
acumuladas percentuais
B) Calcule a média, moda e mediana da tabela abaixo.
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EXERCÍCIO - III
Correlação e Regressão
Linear Simples
• O comportamento conjunto de duas váriaveis pode ser
observado através de um gráfico, denominado diagrama de
dispersão.
• O diagrama de dispersão da idéia do comportamento
conjunto de duas variáveis. Se quando uma das variáveis
cresce e a outra em média também cresce, nesse caso diz-
se que entre as duas váriaveis existe correlação positiva. Se
quando uma das váriaveis cresce e a outra em média
diminui, nesse caso diz-se que entre as duas variáveis existe
correlação negativa.
• Existe uma medida para o grau de correlação entre duas
váriaveis. Essa medida é o coeficiente de correlação de
Pearson, que se representa por “ r ”e é definido pela
fórmula:
36
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2
∑xy - ∑x . ∑y
nr =
n∑x - (∑x)
22
( ) ∑y - (∑y)n
2
( )
Coeficiente de Correlação
Diagrama de Dispersão
Salário X Tempo de Serviço
0
2
4
6
8
10
12
- 500,00 1.000,00 1.500,00 2.000,00 2.500,00
tempo de serviço
tempo de serviço
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Observação
O coeficiente de corelação varia entre -1 e +1 se “r” assume o
valor 1, diz-se que as duas variaveis tem correlação perfeita
possitiva;
e se “r” assume o valor -1, diz-se que as duas variavies tem
corelação perfeita negativa;
Se “r” assume o valor ZERO, não existe correlação entre as
duas variaveis (a correlação é nula).
n. fun(x) n. itens(y) x y x . Y
Jan 200 109 40.000 11.881 21.800
Fev 190 100 36.100 10.000 19.000
Mar 170 98 28.900 9.604 16.660
Abr 150 90 22.500 8.100 13.500
Mai 138 85 19.044 7.225 11.730
Jun 100 72 10.000 5.184 7.200
Jul 90 61 8.100 3.721 5.490
Ago 80 58 6.400 3.364 4.640
Set 70 50 4.900 2.500 3.500
Out 60 49 3.600 2.401 2.940
Nov 70 56 4.900 3.136 3.920
1.318 828 184.444 67.116 110.380
Cálculo do Coeficiente
de Corelação.
2 2
∑
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Cálculo do coeficiente
de corelação.
∑x = 1.318
∑y = 828
∑x = 184.444
∑y = 67.116
∑xy = 110.380
2
2
2
∑xy - ∑x . ∑y
nr =
n∑x - (∑x)
22
( )n
2
( )
184444 -
110.380 – 1318 . 828
r =
1122
( )( )
∑y - (∑y)
67116 - (828)
r = 0,99
(1318) 1
1
1
1
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Calcule o coeficiente de corelação, desvio padrão e
coeficiente de variancia dos salários.
salário (x) tempo de serviço
(y)
800 1890 2
1.100 31.300 41.400 51.520 61.640 71.800 81.930 92.100 10
EXERCÍCIO - IV
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Cálculo do Coeficiente
de Corelação.
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Equação da Reta
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Calcule a Equação
da Reta
Faturamento
mensal(x)
Nº de
funcionários(y)
5 400
5,6 415
6 417
6,6 430
7 437
8 442
8,4 460
8,8 465
9 470
9,5 472
10 475
10,2 480
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b = 42575 - 94,1 . 5363
12
772,21 - 94,1
12
b = 42575 - 42054,8
772,21 - 737,90
b = 520,2 = b = 15,16
34,31
x = 94,1 = 7,84
12
y = 5363 = 446,92
12
)( 2
a = y - b . x
a = 446,92 - 15,16 . 7,84
a = 446,92 - 118,85
a = 328,07
y = a + bx
y = 328,07 + 15,16x equação reta
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SOLUÇÃO
Os dados a seguir correspondem à variável renda familiar e
gasto com construção (em unidades monetárias) para uma
amostra de 25 famílias.
EXERCÍCIO - V
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Renda Familiar (X) Gasto com
Construção (Y)
3 1,5
5 2,0
10 6,0
10 7,0
20 10,0
20 12,0
20 15,0
30 8,0
40 10,0
50 20,0
60 20,0
70 25,0
70 30,0
80 25,0
100 40,0
100 35,0
100 40,0
120 30,0
120 40,0
140 40,0
150 50,0
180 40,0
180 50,0
200 60,0
200 50,0
Calcule o coeficiente de
correlação e a equação
da Reta de regressão.
Calcular o coeficiente de correlação entre essas variáveis.
Denotamos as variáveis:
Y = Gasto com Alimentação; e
X = Renda familiar
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Obtenha a equação de regressão do gasto com alimentação
em função da renda familiar.
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A reta de regressão estimada da variável Gasto de
alimentação (Y) em função da Renda familiar (X) é
Qual o significado prático do valor da inclinação da reta de
regressão do item (c)?
O valor =0,256 significa que estima-se que para cada aumento
de uma unidade monetária da renda familiar ocorre um
acréscimo em média de 0,256 unidades no gasto com
alimentação.
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