Estatística Quântica e o Gás de Férmi
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi
Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM)
Universidade de São Paulo
23 de Novembro, 2017
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 1 / 24
Outline
1 IntroduçãoContextualização
2 Estatística QuânticaEstatística de Fermi-DiracEstatística de Bose-Einstein
3 O Gás de FermiAspectos GeraisGás ideal de Fermi em T = 0KGás ideal de Fermi em T TF
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Contextualização
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λT ∝ T−1/2
T > T
Partículas Idênticas =⇒ Postulado de Simetrização
Bósons - Est. de BE
Férmions - Est. de FD
Indep. de Interações!
Estatística Quântica
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Estatística Quântica
Consideremos várias partículas não interagentes em um volume V (L3)com condições periódicas de contorno:
Autoestados : |ix , iy , iz〉= |i〉 Autoenergias : εi = π2h2
2mL2
(i2x + i2y + i2z
)Definimos ni como o número de partículas no estado i com momentopi
Configuração do sistema ⇐⇒ conjunto ni
Descrição estatística ⇐⇒ Ensemble Grande-Canônico (〈H〉 e 〈N〉 fixos)
Função de partição grande-canônica
Zµ (T ,V ) = tre−β [H−µN]
= ∑ni
e−β ∑i (εi−µ)ni = ∏i
∑ni
e−β (εi−µ)ni
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H = ∑i εi ni
N = ∑i ni
Estatística de Fermi-Dirac
Para férmions:
Função de Partição:
Zµ (T ,V ) = ∏i
∑ni
e−β(εi−µ)ni = ∏i
[1+ e−β(εi−µ)
]
Função de Partição - Caso Geral:
ZFDµ (T ,V ) = ∏
i
[1+ e−β(εi−µ)
]gFérmions de spin-s =⇒ degenerescência g = (2s +1)
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Princípio de Exclusão =⇒ ni = 0, 1
Estatística de Fermi-Dirac
Para férmions:
Função de Partição:
Zµ (T ,V ) = ∏i
∑ni
e−β(εi−µ)ni = ∏i
[1+ e−β(εi−µ)
]
Função de Partição - Caso Geral:
ZFDµ (T ,V ) = ∏
i
[1+ e−β(εi−µ)
]gFérmions de spin-s =⇒ degenerescência g = (2s +1)
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Princípio de Exclusão =⇒ ni = 0, 1
Função de partição =⇒ Grandezas Termodinâmicas
Potencial Grande-Canônico:
ΩFD(T ,V ,µ) =−kBTln(ZFDµ (T ,V )) =− g
βln(∏
i
[1+ e−β (εi−µ)
])
Número total médio de partículas:
〈N〉=−(
∂ Ω
∂ µ
)T ,V
= ∑i
g
eβ (εi−µ) +1= ∑
i
gz
eβεi + z= ∑
i
〈ni 〉
Dist. de FD - número de ocupação médio do estado i : 〈ni 〉= gz
eβεi +z
fugacidade: zNote que µ não possui restrição alguma!
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ΩFD(T ,V ,µ) =− gβ
∑i ln(1+ e−β(εi−µ)
)
〈N〉= ∑i 〈ni 〉
Função de partição =⇒ Grandezas Termodinâmicas
Potencial Grande-Canônico:
ΩFD(T ,V ,µ) =−kBTln(ZFDµ (T ,V )) =− g
βln(∏
i
[1+ e−β (εi−µ)
])
Número total médio de partículas:
〈N〉=−(
∂ Ω
∂ µ
)T ,V
= ∑i
g
eβ (εi−µ) +1= ∑
i
gz
eβεi + z= ∑
i
〈ni 〉
Dist. de FD - número de ocupação médio do estado i : 〈ni 〉= gz
eβεi +z
fugacidade: zNote que µ não possui restrição alguma!
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ΩFD(T ,V ,µ) =− gβ
∑i ln(1+ e−β(εi−µ)
)
〈N〉= ∑i 〈ni 〉
Função de partição =⇒ Grandezas Termodinâmicas
Potencial Grande-Canônico:
ΩFD(T ,V ,µ) =−kBTln(ZFDµ (T ,V )) =− g
βln(∏
i
[1+ e−β (εi−µ)
])
Número total médio de partículas:
〈N〉=−(
∂ Ω
∂ µ
)T ,V
= ∑i
g
eβ (εi−µ) +1= ∑
i
gz
eβεi + z= ∑
i
〈ni 〉
Dist. de FD - número de ocupação médio do estado i : 〈ni 〉= gz
eβεi +z
fugacidade: zNote que µ não possui restrição alguma!
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ΩFD(T ,V ,µ) =− gβ
∑i ln(1+ e−β(εi−µ)
)
〈N〉= ∑i 〈ni 〉
Estatística de Bose-Einstein
Para bósons:
Função de Partição:
ZBEµ (T ,V ) = ∏
i
∞
∑ni=0
e−β(εi−µ)ni = ∏i
11− e−β(εi−µ)
Potencial Grande-Canônico:
ΩBE (T ,V ,µ) =−kBTln(ZBEµ (T ,V )) =−kBTln
(∏i
11− e−β (εi−µ)
)
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0≤ ni ≤ ∞
ΩBE (T ,V ,µ) = 1β
∑i ln(1− e−β(εi−µ)
)
Estatística de Bose-Einstein
Para bósons:
Função de Partição:
ZBEµ (T ,V ) = ∏
i
∞
∑ni=0
e−β(εi−µ)ni = ∏i
11− e−β(εi−µ)
Potencial Grande-Canônico:
ΩBE (T ,V ,µ) =−kBTln(ZBEµ (T ,V )) =−kBTln
(∏i
11− e−β (εi−µ)
)
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0≤ ni ≤ ∞
ΩBE (T ,V ,µ) = 1β
∑i ln(1− e−β(εi−µ)
)
Número total médio de partículas:
〈N〉=−(
∂ Ω
∂ µ
)T ,V
= ∑i
1eβ (εi−µ)−1
= ∑i
z
eβεi − z= ∑
i
〈ni 〉
Dist. de BE - número de ocupação médio do estado i : 〈ni 〉= zeβεi−z
fugacidade: z
Note que 〈ni 〉 ≥ 0 =⇒ eβεi ≥ z
Valor mínimo de εi = ε0 =⇒ min(eβεi
)= 1 =⇒ z ≤ 1
0≤ z ≤ 1 =⇒ µ ≤ 0
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〈N〉= ∑i 〈ni 〉
Número total médio de partículas:
〈N〉=−(
∂ Ω
∂ µ
)T ,V
= ∑i
1eβ (εi−µ)−1
= ∑i
z
eβεi − z= ∑
i
〈ni 〉
Dist. de BE - número de ocupação médio do estado i : 〈ni 〉= zeβεi−z
fugacidade: z
Note que 〈ni 〉 ≥ 0 =⇒ eβεi ≥ z
Valor mínimo de εi = ε0 =⇒ min(eβεi
)= 1 =⇒ z ≤ 1
0≤ z ≤ 1 =⇒ µ ≤ 0
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 9 / 24
〈N〉= ∑i 〈ni 〉
µ ≤ 0 =⇒ é “facil” adicionar novas particulas no gás [1];
limite µ → 0− (z → 1) está intimamente ligado a existência doCondensado de Bose-Einstein [3];
〈n0〉=z
1− z=⇒
〈n0〉 → ∞
z → 1
µ → 0− transição de fase!
〈n0〉→ ∞ ocupação macroscópica do estado fundamental!
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Condensado de Bose-Einstein
µ ≤ 0 =⇒ é “facil” adicionar novas particulas no gás [1];
limite µ → 0− (z → 1) está intimamente ligado a existência doCondensado de Bose-Einstein [3];
〈n0〉=z
1− z=⇒
〈n0〉 → ∞
z → 1
µ → 0− transição de fase!
〈n0〉→ ∞ ocupação macroscópica do estado fundamental!
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Condensado de Bose-Einstein
O Gás de Fermi
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Aspectos Gerais
Descrição termodinâmica de um gás ideal quântico composto porférmions indistinguíveis;
Aplicações importantes em física do estado sólido e astrofísica:
Estudo das propriedades térmicas de metais: gás de elétrons livres;
Estabilidade de algumas estrelas.
Conexão com a termodinâmica clássica: limite termodinâmico(V → ∞) + Grande potencial Ω(T ,V ,µ);
∑i ∼∫di = V
(2π)3∫d3k
(εi = h²k2
2m
);
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Aspectos Gerais - Expressões Relevantes
Ω(T ,V ,µ) =−gV
β
∫∞
0D(ε)ln
[1+ e−β (ε−µ)
]dε =−2
3U =−PV
f (ε) =[eβ (ε−µ) +1
]−1Distribuição de Fermi-Dirac
D(ε) = 14π²
(2mh2
)3/2ε
1/2 = Cε1/2 Densidade de Estados
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〈H〉= U = ∑i εi 〈ni 〉 =⇒ U = gV∫
∞
0 εD(ε)f (ε)dε
〈N〉= ∑i 〈ni 〉 =⇒ 〈N〉= gV∫
∞
0 D(ε)f (ε)dε
U = 32PV
Aspectos Gerais - Expressões Relevantes
Ω(T ,V ,µ) =−gV
β
∫∞
0D(ε)ln
[1+ e−β (ε−µ)
]dε =−2
3U =−PV
f (ε) =[eβ (ε−µ) +1
]−1Distribuição de Fermi-Dirac
D(ε) = 14π²
(2mh2
)3/2ε
1/2 = Cε1/2 Densidade de Estados
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 13 / 24
〈H〉= U = ∑i εi 〈ni 〉 =⇒ U = gV∫
∞
0 εD(ε)f (ε)dε
〈N〉= ∑i 〈ni 〉 =⇒ 〈N〉= gV∫
∞
0 D(ε)f (ε)dε
U = 32PV
Aspectos Gerais - Distribuição de FD:
ε
f (ε)
εF = µ(T = 0)
1 T = 0 K
T > 0
Figura: Distribuição de Fermi-Dirac f (ε) em função da energia ε para T = 0K e T > 0.
T = 0KTodos os estados com ε ≤ εF são inteiramente ocupados
T > 0Partículas mais energéticas podem transitar para estados com ε > εF
devido a presença de flutuações térmicas
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Aspectos Gerais - Distribuição de FD:
ε
f (ε)
εF = µ(T = 0)
1 T = 0 K
T > 0
Figura: Distribuição de Fermi-Dirac f (ε) em função da energia ε para T = 0K e T > 0.
T = 0KTodos os estados com ε ≤ εF são inteiramente ocupados
T > 0Partículas mais energéticas podem transitar para estados com ε > εF
devido a presença de flutuações térmicas
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Gás ideal de Fermi em T = 0K
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Gás ideal de Fermi em T = 0K
T = 0K (β → ∞) o gás se encontra no estado fundamental e édenominado como completamente degenerado [3];
Cada partícula ocupa o estado disponível até energia de fermi εF
(energia da partícula mais energética);
µ(T = 0) = εF
limβ→∞
f (ε) = limβ→∞
1eβ(ε−µ) +1
= Θ(µ− ε)
∴ f (ε) =
1, ε ≤ µ
0, ε > µ
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ε
f (ε)
εF = µ(T = 0)
1 T = 0 K
Gás ideal de Fermi em T = 0K
εF =
(6π2
gn
)2/3h2
2mpF =
(6π2
gn
)1/3
h
pF =√
2mεF n =(〈N〉/V
)
Importante: Mesmo em T = 0K
U 6= 0
P 6= 0 Gás ideal Clássico e de Bósons P → 0 para T → 0
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〈N〉= 23gVCε
3/2F
U = 25VgD(εF )ε2F
P = 23UV = 2
5nεF P =(6π2
g n5/2)2/3
h2
5m
Gás ideal de Fermi em T = 0K
εF =
(6π2
gn
)2/3h2
2mpF =
(6π2
gn
)1/3
h
pF =√
2mεF n =(〈N〉/V
)
Importante: Mesmo em T = 0K
U 6= 0
P 6= 0 Gás ideal Clássico e de Bósons P → 0 para T → 0
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〈N〉= 23gVCε
3/2F
U = 25VgD(εF )ε2F
P = 23UV = 2
5nεF P =(6π2
g n5/2)2/3
h2
5m
Gás ideal de Fermi em T = 0K
εF =
(6π2
gn
)2/3h2
2mpF =
(6π2
gn
)1/3
h
pF =√
2mεF n =(〈N〉/V
)
Importante: Mesmo em T = 0K
U 6= 0
P 6= 0 Gás ideal Clássico e de Bósons P → 0 para T → 0
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 17 / 24
〈N〉= 23gVCε
3/2F
U = 25VgD(εF )ε2F
P = 23UV = 2
5nεF P =(6π2
g n5/2)2/3
h2
5m
Gás ideal de Fermi em T = 0K
εF =
(6π2
gn
)2/3h2
2mpF =
(6π2
gn
)1/3
h
pF =√
2mεF n =(〈N〉/V
)
Importante: Mesmo em T = 0K
U 6= 0
P 6= 0 Gás ideal Clássico e de Bósons P → 0 para T → 0
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 17 / 24
〈N〉= 23gVCε
3/2F
U = 25VgD(εF )ε2F
P = 23UV = 2
5nεF P =(6π2
g n5/2)2/3
h2
5m
Gás ideal de Fermi em T = 0K
Temperatura de Fermi - TF
εF é utilizado como parâmetro de energia para Sist. Quânticos;
TF = εF/kB
T TF : Limite clássico (distância média das partículas > λTermico);
T TF : Necessário descrição quântica do sistema.
Ex.: Elétrons de condução do Cu -
Gás ideal de elétrons
TF ' 8.104K Temperatura Ambiente!
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 18 / 24
Gás ideal de Fermi em T = 0K
Temperatura de Fermi - TF
εF é utilizado como parâmetro de energia para Sist. Quânticos;
TF = εF/kB
T TF : Limite clássico (distância média das partículas > λTermico);
T TF : Necessário descrição quântica do sistema.
Ex.: Elétrons de condução do Cu -
Gás ideal de elétrons
TF ' 8.104K Temperatura Ambiente!
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 18 / 24
Gás ideal de Fermi em T TF
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 19 / 24
Gás ideal de Fermi em T TF
Expansão de Sommerfeld
U = gV∫
∞
0εD(ε)f (ε)dε 〈N〉= gV
∫∞
0D(ε)f (ε)dε
Note que devemos resolver integrais do tipo: S =∫
∞
0 φ(ε)f (ε)dε, φ(ε) = Aεn
S =∫
∞
0φ(ε)f (ε)dε =
=0︷ ︸︸ ︷ψ(ε)f (ε)|∞0 −
∫∞
0ψ(ε)f
′(ε)dε
ψ(ε) =∫
ε
0 φ(ε ′)dε ′.
S =−∫
∞
0ψ(ε)f
′(ε)dε =−
∫∞
0f′(ε)
[∞
∑i
(ε−µ)i
i!
(d iψ
dε i
)ε=µ
]dε
Si =−∫
∞
0f′(ε)(ε−µ)idε =
1β i
∫∞
−β µ
exx i
(ex +1)2dx
Si =1β i
∫∞
−∞
exx i
(ex +1)2dx +O(e−βεF )
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ε
f (ε)
εF = µ(T = 0)
1
T > 0
Gás ideal de Fermi em T TF
Expansão de Sommerfeld
∴ S =∫
µ
0φ(ε)dε +
π2
6β²
(dφ
dε
)ε=µ
+ ...
Forma assintótica
Limite de T → 0 (β → ∞) X
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 21 / 24
Simpar = 0 S0 = 1 e S2 = π2
3β2
U = gVC[25µ
5/2 + π2
4β2µ1/2 + ...
]〈N〉= gVC
[23µ
3/2 + π2
12β2µ−1/2 + ...
]32〈N〉gVC = µ
3/2[1+ π2
8β2µ−2 + ...]
= ε3/2F µ = εF
[1− π2
12β2ε2F
+ ...]
µ = εF 〈N〉= 23D(εF )εF U = 2
5gVD(εF )ε2F
Gás ideal de Fermi em T TF
Expansão de Sommerfeld
∴ S =∫
µ
0φ(ε)dε +
π2
6β²
(dφ
dε
)ε=µ
+ ...
Forma assintótica
Limite de T → 0 (β → ∞) X
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 21 / 24
Simpar = 0 S0 = 1 e S2 = π2
3β2
U = gVC[25µ
5/2 + π2
4β2µ1/2 + ...
]〈N〉= gVC
[23µ
3/2 + π2
12β2µ−1/2 + ...
]32〈N〉gVC = µ
3/2[1+ π2
8β2µ−2 + ...]
= ε3/2F µ = εF
[1− π2
12β2ε2F
+ ...]
µ = εF 〈N〉= 23D(εF )εF U = 2
5gVD(εF )ε2F
Gás ideal de Fermi em T TF
Expansão de Sommerfeld
∴ S =∫
µ
0φ(ε)dε +
π2
6β²
(dφ
dε
)ε=µ
+ ...
Forma assintótica
Limite de T → 0 (β → ∞) X
Aluno: André Hernandes Alves Malavazi, (Instituto de Física de São Carlos - IFSCDepartamento de Física e Ciência dos Materiais (FCM) Universidade de São Paulo )Física Atômica e Molecular SFI5814-7/2 21 / 24
Simpar = 0 S0 = 1 e S2 = π2
3β2
U = gVC[25µ
5/2 + π2
4β2µ1/2 + ...
]〈N〉= gVC
[23µ
3/2 + π2
12β2µ−1/2 + ...
]32〈N〉gVC = µ
3/2[1+ π2
8β2µ−2 + ...]
= ε3/2F µ = εF
[1− π2
12β2ε2F
+ ...]
µ = εF 〈N〉= 23D(εF )εF U = 2
5gVD(εF )ε2F
Utilizando a expressão de µ, obtemos
Calor específico a volume constante - CV
Depende linearmente de T para temperaturas baixas, e CV → 0 paraT = 0K ;Resultado concorda com experimentos em metais a baixas temperaturas.Mas:
Leva em conta somente a contribuição dos elétrons de condução(interação Coulombiana entre os elétrons e com fônons da redecontribuem também);
Modo aproximado: CV /〈N〉= cV = γT + δT 3
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U = 35〈N〉εF
[1+ 5π2(kBT )2
12ε2F
+ ...]
CV =(
∂U∂T
)V ,〈N〉
= 〈N〉π2kB2
TTF
+ ...
Obrigado
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Referências
L. E. Reichl (2004).A Modern Course in Statistical Physics2nd Edition, Wiley-VCH.
M. Le Bellac, F. Mortessagne, G. G. Batrouni (2006).Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical ThermodynamicsCambridge University Press
S. R. A. Salinas (2013).Introdução à Física Estatística.Segunda Edição, Editora da Universidade de São Paulo.
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