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PACES - APEMK UE 4
Evaluation des méthodes d’analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé
Estimateur et Estimation
Prof Franck Bonnetain Unité de méthodologie & de qualité de vie
en cancérologie (EA3181) CHRU Besançon
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Plan du cours
I - Echantillon et estimation
II -Estimateur et estimateur ponctuel
III - Distribution d’échantillonnage
IV - Estimation par intervalle de confiance
V - Imprécision et taille de l’échantillon
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ECHANTILLON ET
ESTIMATION
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Evaluer un paramètre (une caractéristique)
sur un échantillon afin d’estimer (inférence) ce paramètre pour la population entière.
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Echantillon et estimation
• Echantillon obtenu par sondage aléatoire simple = Représentatif de la population étudiée
• Réaliser une estimation ponctuelle qui revient à attribuer une valeur, l’estimation, au paramètre de la population à partir des données provenant de l’échantillon.
• On est ainsi amené à construire un estimateur qui est une fonction qui associe l’estimation à l’échantillon
• D’un échantillon à l’autre l’estimateur utilisé est le même mais on peut avoir des estimations ponctuelles différentes
Fonction de distribution d’une
variable
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Estimateurs et
Estimation ponctuelle
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Définition de la procédure d’estimation
L’estimateur est une nouvelle variable aléatoire construite à partir des données expérimentales-de l’ échantillon et dont la valeur se rapproche du paramètre que l’on cherche à connaître.
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Définition d’un estimateur et d’une estimation
un estimateur du paramètre θ est une variable aléatoire φ fonction des Xi
L'estimation de θ est une variable aléatoire φ dont la distribution de probabilité s'appelle la distribution d'échantillonnage du paramètre θ. L'estimateur φ admet donc une espérance E(φ) et une variance V(φ).
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Les propriétés requises pour un bon estimateur
son espérance mathématique tend vers
θ quand n augmente indéfiniment
sa variance tend vers 0 quand n augmente
indéfiniment
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Estimation ponctuelle : moyenne et pourcentage
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Estimation ponctuelle variance
Variance Moyenne des carrés des écarts à la
moyenne
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Distribution d’échantillonnage
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Distribution d’échantillonnage de la moyenne
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• Estimation de la moyenne d’une population • Soient μ et σ2 la moyenne et la variance (inconnues), obtenues
à partir d’un échantillon pris au hasard, d’une v.a. que l’on cherche à estimer.
• Supposons que l’on effectue z échantillonnages (tirages au sort),
tous d’effectif n, dans cette population et que l’on obtienne les résultats suivants :
– x1, x2, …, xn : premier échantillon d’effectif n – y1, y2, …, yn : deuxième échantillon d’effectif n – … – z1, z2, …, zn : z ième échantillon d’effectif n
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
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• On peut, pour chacun des échantillons, calculer leur moyenne :
- Chacune des moyennes est une estimation de la moyenne de la population ; - Celles ci sont différentes
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
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Distribution d’échantillonnage de la moyenne
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Estimation par intervalle de confiance
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Définition d’un intervalle de confiance
Si je répète 100 fois l’ expérience i.e. l’estimation de la moyenne j’ai, avec un risque d’erreur de 5%, 95% de Chance que la moyenne de la population dans soit dans l’IC
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Définition d’un intervalle de confiance
Construction de 100 estimations d’intervalle pour
les 100 échantillons.
La vraie valeur μ est correctement encadrée dans
95 % des situations
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Bien distinguer :
• Intervalle de pari Concerne la loi connue d’un paramètre (moyenne, proportion, …)
• A priori, on veut demontrer que l’estimation se trouve dans un intervalle fixé
• Intervalle de confiance Concerne l’estimation d’un paramètre inconnu à partir
d’observations tirées d’un échantillon
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Intervalle de Pari & Intervalle de confiance
Si l'on extrait d'une population parfaitement définie (µ et σ connus) des échantillons suffisamment grands ( en pratique n>30) IP = 95 % des valeurs moyennes des n échantillons appartiennent à l'intervalle fixé au préalable
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Intervalle de confiance d’une moyenne
Cas le plus courant Ecart type de la moyenne
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Estimation de la moyenne Estimation de la variance de la population
Ecart type de la moyenne
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Intervalle de confiance d’une moyenne
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Intervalle de confiance d’un pourcentage
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Facteurs influençant l’IC
Mais pas les mêmes conséquences sur la précision
des estimations
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IC d’autres paramètres
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Imprécision et taille de l’échantillon
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Imprécision - Risque d’erreur - taille de l’échantillon
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Imprécision absolue et relative
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Taille de l’échantillon – Estimation d’une moyenne
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Taille de l’échantillon – Estimation d’un pourcentage
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Le Principe des tests d’hypothèse
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Plan
• GENERALITES – 1. a ) Fluctuations d’échantillonnage et tests statistiques – 1. b ) Qu’est-ce qu’un test statistique (ou d’hypothèses) ? – 1. c ) Les étapes de mise en œuvre et réalisation d’un test.
• II. FORMULATION DES HYPOTHESES
– Test unilatéraux et test bilatéraux
• III . RISQUES D’ERREUR
• IV . VARIABLE DE DECISION ou CHOIX DU TEST STATISTIQUE
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Plan
• V . DEFINITION DE LA ZONE DE REJET DU TEST – 5. a) Test unilatéraux – 5. b) Test bilatéraux
• VI. CONCLUSION DU TEST – 6. a) Calcul de la valeur expérimentale de la variable
de décision. – 6. b) Conclusion du test : Rejet ou non de Ho – 6. c) Calcul du degré de signification « p »
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Généralités
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Généralités
Définir l’Hypothèse nulle H0 que l’on souhaite rejeter
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![Page 42: Estimateur et Estimation - Université de Franche-Comtémedecine-pharmacie.univ-fcomte.fr/download/ufr-smp/document/su… · Définition d’un estimateu et d’une estimation un](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042312/5eda2a6fb3745412b570e180/html5/thumbnails/42.jpg)
Fixer le risque d’erreur global acceptable du test dans l’hypothèse où H0 est vraie
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Formulation des hypothèses
Attention : la formulation des hypothèses ne se fait pas avec les estimateurs mais avec les paramètres que l’on souhaite estimer
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Les risques d’erreur
Pas d’erreur
Risque α = Faux positif
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Les risques d’erreur
Risque β = Faux négatif
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Les risques d’erreur
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Choix de la variable de décision
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• Méthode classique – Avec la «méthode classique», la conclusion au test statistique repose sur la
comparaison entre la valeur du résultat de la statistique du test choisie et la valeur seuil
– Fonction d’un risque d’erreur α fixé a priori et arbitrairement
• Rejet de H0 si
– |résultat de la statistique du test| ≥|valeur seuil|
• Non rejet = Conservation de H0 si
– |résultat de la statistique du test| <|valeur seuil|
• Calcul du degré de signification – Quantifie la crédibilité de H0 au vue des données observées – p: probabilité d’observer une différence au moins aussi importante que celle
observée sous H0
Choix de la variable de décision
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Définition des valeurs seuils de rejet
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Z = valeur seuil de décision
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Valeur seuil de décision
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Valeur seuil de décision
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Conclusion du test
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Conclusion du test
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Degré de signification
Calcul du degré de signification - Quantifie la crédibilité de H0 au vue des données observées - p: probabilité d’observer une différence au moins aussi importante que celle observée sous H0
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Degré de signification
p = Proba(valeur de la statistique ≥ valeur calculée si H0 est vraie)
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Synthèse
• La conclusion du test statistique repose sur la comparaison entre la valeur du degré de signification et la valeur de α
• Rejet de H0 si – p <α
• Non rejet = Conservation de H0 si
– p ≥α
• En général on conclu avec un risque d’erreur α et on donne le degré de signification p
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• p < α ⇔ valeur calculée de la statistique > valeur seuil
• Valeur calculée de la statistique ↗⇒↘p
• p n’est pas le risque ou la probabilité de rejeter à tord l’hypothèse nulle
• p traduit en terme de probabilité l’éloignement entre la valeur observée de la statistique et la valeur attendue sous H0
• p ne s’interprète pas en terme de force de différence
• p ↘quand écart entre la réalité et H0 est grand, puissance élevée, les deux, hasard (risque α)
Synthèse