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11/02/2013
RELACIONES
BINARIAS Sean X e Y dos
conjuntos. Una relación
de X en Y es un
subconjunto R del
producto cartesiano X x
Y. El conjunto X es
llamado conjunto de
partida de la relación R;
e Y es el conjunto de
llegada.
En el caso de que Y =
X, en lugar de decir que
R es una relación de X
en X, diremos que R es
una relación en X.
L O S E L E M E N T O S D E R S O N P A R E S
O R D E N A D O S . S I ( X , Y ) E S U N
E L E M E N T O D E R , E N L U G A R D E
E S C R I B I R ( X , Y ) Î R , E S C R I B I R E M O S X
R Y Y L E E R E M O S : " X E S T Á
R E L A C I O N A D O C O N Y " , S E G Ú N L A
R E L A C I Ó N R " .
N O T A : U S A R E M O S L A S L E T R A S R , S , T ,
E T C . , P A R A R E P R E S E N T A R
R E L A C I O N E S .
E J E M P L O S
1 . S I X = { A , B , C , D } E Y = { 1 , 2 , 3 , 4 ,
5 } , U N A R E L A C I Ó N D E X E N Y E S R =
{ ( A , 2 ) , ( B , 1 ) , ( B , 4 ) , ( C , 5 ) }
2 . L A S I G U I E N T E R E L A C I Ó N S D E R
E N R S = { ( X , Y ) Î R X R / X £ Y } E S
L A R E L A C I Ó N " M E N O R O I G U A L " E N
R . E N E S T E C A S O X S Y Û X £ Y
3 . S E A U E L C O N J U N T O
R E F E R E N C I A L . L A R E L A C I Ó N D E
I N C L U S I Ó N E N P ( U ) E S L A
R E L A C I Ó N
R = { ( A , B ) Î P ( U ) X P ( U ) / A Ì B }
DOMINIO Y RANGO
Definición: Sea R
una relación de X
en Y
El Dominio de R
es el conjunto
Dom(R) = { xÎ X
/ (x,y) Î R, para
algún y Î Y}
El Rango o
imagen de R es el
conjunto
Rang(R) = { y Î Y
/ (x, y) Î R, para
algún x Î X }
En otros términos, el dominio y la imagen de
una relación están constituidos por los
primeros y segundos componentes
respectivamente de los pares ordenados que
constituyen la relación.
Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) }
tiene como dominio el conjunto Dom (R) = { a, b, c} y
rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están en el
primer componente de los pares ordenados y 1,2,4,5
están en el segundo componente de cada par.
REPRESENTACIÓN
GRAFICA DE
RELACIONES
Existen varias
formas de
representar
gráficamente una
relación. Las más
usuales son las
siguientes:
Representación
Cartesiana,
Matricial y
Sagitaria.
Representación
Cartesiana Para obtener una
representación cartesiana de
una relación, se toman como
abscisas los elementos del
conjunto de partida; y como
ordenadas, el conjunto de
llegada. En el plano se marcan
los pares ordenados que
conforma la relación. Esta
representación alcanza su
mayor importancia cuando el
conjunto de partida y el de
llegada son subconjuntos de
R.
Ejemplo 1
si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3,
4, 5} una relación de X en Y
R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }
La representación cartesiana
es el diagrama adjunto.
Representación
Sagital La representación sagital es la
más popular de las
representaciones. Ésta, igual
que la matricial, se usa cuando
los conjuntos de partida y
llegada son finitos. La
representación sagital se
obtiene representando
mediante diagramas de Venn
el conjunto de partida y el de
llegada; uniendo luego, con
flechas, los elementos
relacionados. Así, la
representación sagital de la
relación del ejemplo 1 es el
siguiente diagrama:
Si el conjunto de partida y el
de llegada coinciden, se usa
un solo diagrama de Venn y
las flechas se representan
interiormente. Así, el
diagrama siguiente representa
a la siguiente relación en
X={ a, b, c, d }
S= { (a, b), (b, b), (a, d), (b, c),
( d, d) }
MATRIZ BINARIA
La representación matricial se usa
cuando los conjuntos de partida y
de llegada de la relación son
conjuntos finitos con pocos
elementos. Para obtener tal
representación, se asigna a cada
elemento del conjunto de llegada
una columna; y a cada elemento del
conjunto de partida, una fila.
Si (x, y) está en la relación, en la
intersección de la fila que
corresponde a x con la columna que
corresponde a Y, escribimos 1; y
escribiremos 0 en caso contrario. La
configuración rectangular de ceros
y unos que se obtiene se llama
matriz binaria de la relación.
Así, la matriz de la relación. R={(a,
2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}
RELACIÓN
INVERSA
Sea R una relación de X en Y. Se llama
relación inversa de R a la relación R-1 de Y en
X dada por:R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}
O sea, Y R-1 X Û X R Y
Es evidente que se verifica que:
dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)
Ejemplo
Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es
dado por
R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }R-1= { (3, a)
, ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }Además domR-1= { 1,
3, 4 } = rang( R)
Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)El siguiente
teorema nos dice que la inversa de la inversa
de una relación es la misma relación.
Teorema: Sea R una relación de X en Y.
Entonces (R-1)-1 = R
Demostración
X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación
inversa Û X R Y Luego, (R-1)-1 = R
COMPOSICIÓN DE
RELACIONES
Sea R una relación de X a Y y S una
relación de Y en Z. Se llama
composición de R con S a la
siguiente relación de X en Z:
X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z
Observación En la composición de R con S, es
necesario que el conjunto de llegada
de R sea igual al conjunto de partida
de S. Este requisito puede ser
aligerado exigiendo solamente que
el conjunto de llegada de R esté
contenido en el conjunto de partida
de S.
Observar también que el orden en
que se escriben R y S en la
composición S o R es inverso al
orden en que se dan R y S.
Ejemplo
Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y
Z= { 1, 4, 9 }
Si R y S son las relaciones de X en Y
y de Y en Z respectivamente, dadas
porR= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) }
,S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }
Entonces:
SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }
Teorema: Si R es una relación de X
en Y, S es una relación de Y en Z y T
es una relación de Z en W, entonces:
T o ( S o R ) = ( T o S ) o R
Demostración
X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w
Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z) Ù z T wÛ $ y Î Y, x R y
Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w
Û x ( ( T o S ) o R )w
Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R
Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una
relación de Y en Z, entonces (S o R)-1 = R-1 o S-1
Demostración
z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z
Û $ y Î Y , x R y Ù y S z
Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y
Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 xÛ z( R-1 o S-1)x
Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1