Estudio de las líneas notables de los triángulos utilizando geometría
dinámica para potenciar los niveles de razonamiento geométrico
Javier Sánchez Quintero
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá D.C., Colombia
2017
Estudio de las líneas notables de los triángulos utilizando geometría
dinámica para potenciar los niveles de razonamiento geométrico
Javier Sánchez Quintero
Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
Omar Duque Gómez
Doctor en Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá D.C., Colombia
2017
A Dios
A mis padres, a mi Esposa y a mis Hijas.
“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en
el bello y maravilloso mundo del saber”
Albert Einstein
Agradecimientos
A Omar Duque Gómez, director de mi trabajo quien con su voz de aliento y fe en mí, me
acompañó orientándome con sus conocimientos.
A Reinaldo Montañez, Profesor que inspiro este trabajo en la asignatura de geometría de la
maestría, por su lectura y recomendaciones.
A mis Padres Sixta y Jesús, por su sacrificio, amor y entrega.
A mis hermanos y hermanas, especialmente a Martha y Fabiola que con su ayuda hicieron
posible la culminación de esta meta.
A mis hijas Laura y Stephanie, bendición de Dios.
A mi Esposa Yaneth, fuente de inspiración y cómplice de mis metas y sueños.
Al ingeniero Luis Armando Maldonado “QEPD”, quien fuera mi gran amigo.
A mis estudiantes Villemaristas y mis estudiantes de la Universidad Manuela Beltrán, quienes
representan la inspiración y los directos responsables por mejorar mis prácticas pedagógicas, mi
razón de ser un buen Docente.
A mis amigos de clase de la maestría Dídimo Vera y Alejandro Triana.
A todos los que hicieron posible este trabajo.
Resumen
Este trabajo aborda la conceptualización de las líneas notables de un triángulo, potenciando
niveles de razonamiento mediante el uso de la geometría dinámica (GeoGebra), buscando de esta
manera una innovación didáctica que contribuya en la realización de trabajos con estudiantes de
grado octavo (ciclo IV). Con el propósito de que los estudiantes redescubran propiedades y
teoremas ya establecidos en el estudio de la geometría del triángulo, se proponen actividades en
las cuales se involucre el uso de la herramienta TIC GeoGebra, tomando como referente tres
fases del aprendizaje, según el modelo de Van Hiele.
Palabras claves: Triángulo, Razonamiento Geométrico, Pensamiento Espacial, Modelo de Van
Hiele, Software GeoGebra.
Abstract
This research study deals with the conceptualization of the noticeable lines of a triangle,
enhancing levels of reasoning through the use of dynamic geometry (GeoGebra), seeking a
didactic innovation that contributes in the accomplishment of eighth grade students tasks (cycle
IV). This is done with the purpose of the students rediscovering properties and theorems already
established in the study of the geometry of the triangle. Activities are proposed in which the use
of the ICT Geogebra tool is involved, using three phases of learning as reference, according to
the model of Van Hiele.
Tabla de Contenido
RESUMEN ............................................................................................................................................................. 5
ABSTRACT ............................................................................................................................................................. 5
LISTA DE ILUSTRACIONES ........................................................................................................................................ 8
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................... 13
CAPÍTULO 1. ASPECTOS HISTÓRICOS ..................................................................................................................... 15
1.1. MATEMÁTICAS EN EGIPTO Y MESOPOTAMIA ....................................................................................................... 15
1.2. EL MUNDO GRIEGO ......................................................................................................................................... 16
1.3. BABILONIOS .................................................................................................................................................. 18
1.4. CHINA .......................................................................................................................................................... 18
CAPÍTULO 2. ASPECTOS DISCIPLINARES ................................................................................................................ 19
2.1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................. 19
2.2. PRECONCEPTOS .............................................................................................................................................. 21
2.3. DEFINICIONES ................................................................................................................................................ 21
2.4. ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO ............................................................................................................................. 23
2.5. CLASIFICACIÓN DEL TRIÁNGULO SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS ............................................................................ 24
2.6. CLASIFICACIÓN DEL TRIÁNGULO SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS ........................................................................ 26
2.7. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO .......................................................................................................................... 28
2.8. DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO .......................................................................................................................... 30
2.9. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ......................................................................................................................... 31
DEFINICIONES .............................................................................................................................................................. 31
DOS ÁNGULOS SON CONGRUENTES, SI TIENEN LA MISMA MEDIDA. DOS SEGMENTOS SON ............................................................ 31
CONGRUENTES, SI TIENEN LA MISMA MEDIDA. .................................................................................................................... 31
2.11. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO ....................................................................................................... 33
2.12. MEDIANAS .................................................................................................................................................... 33
2.13. MEDIATRIZ .................................................................................................................................................... 35
2.14. BISECTRICES .................................................................................................................................................. 36
2.15. ALTURAS ...................................................................................................................................................... 38
3.1. MARCO CONCEPTUAL ...................................................................................................................................... 39
3.2. ESTÁNDARES PARA EL CONJUNTO DE GRADOS OCTAVO Y NOVENO ............................................................................ 40
3.3. GEOGEBRA Y LA GEOMETRÍA DINÁMICA .............................................................................................................. 41
3.4. EL MODELO DE VAN HIELE Y LOS NIVELES DE RAZONAMIENTO ................................................................................. 43
3.5. MARCO METODOLÓGICO ................................................................................................................................. 45
3.6. POBLACIÓN Y NIVEL EDUCATIVO DE LOS ESTUDIANTES ........................................................................................... 46
3.7. TEMÁTICA DE LA PROPUESTA ............................................................................................................................ 46
3.8. OBJETIVOS .................................................................................................................................................... 46
3.8.1. Objetivo general ................................................................................................................................... 46
3.8.2. Objetivos Específicos Conceptuales ...................................................................................................... 46
3.8.3. Objetivos específicos didácticos ............................................................................................................ 47
3.9. ACTIVIDADES ................................................................................................................................................. 47
CAPÍTULO 4. PROPUESTA DIDÁCTICA .................................................................................................................... 50
4.1. DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES ...................................................................................................................... 50
4.2. METODOLOGÍA .............................................................................................................................................. 50
4.3. ACTIVIDAD 1: ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO .................................................................................... 51
4.4. ACTIVIDAD 2: ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS ............................................................................ 62
4.5. ACTIVIDAD 3: ESTUDIO DE LAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO DE UN TRIÁNGULO ................................................... 68
4.6. ACTIVIDAD 4: ESTUDIO DE LAS BISECTRICES E INCENTRO DE UN TRIÁNGULO ................................................................ 74
4.7. ACTIVIDAD 5: ESTUDIO DE LAS ALTURAS Y ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO ............................................................... 81
4.8. ACTIVIDAD 6: ESTUDIO DE LAS MEDIANAS Y EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO ........................................................... 85
4.9. ACTIVIDAD 7: ESTUDIO DE LA RECTA DE EULER ..................................................................................................... 90
4.10. ACTIVIDAD 8: PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS ....................................................................................................... 96
4.1.1. ACTIVIDAD DE COMPLETAR ..................................................................................................................... 100
4.1.2. LAS TRES MEDIANAS EN UN TRIÁNGULO ........................................................................................... 103
4.1.3. LAS MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO ..................................................................................................... 108
4.1.4. LAS TRES MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO SON CONCURRENTES. ........................................................ 110
4.1.5. LAS ALTURAS EN UN TRIÁNGULO ............................................................................................................ 112
4.1.6. LAS BISECTRICES EN UN TRIÁNGULO ....................................................................................................... 118
4.1.7. TEOREMA: LAS BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO SON CONCURRENTES ............................................... 122
CONCLUSIONES ................................................................................................................................................... 125
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................................................... 126
Lista de Ilustraciones
Ilustración 1. Torre Eifel ............................................................................................................... 19
Ilustración 2. Puente del Alamillo de Sevilla ................................................................................ 20
Ilustración 3 Elementos del triángulo ............................................................................................ 23
Ilustración 4. Ángulo exterior triángulo ........................................................................................ 24
Ilustración 5. Triángulo Equilátero ................................................................................................ 25
Ilustración 6. Triángulo Isósceles .................................................................................................. 25
Ilustración 7. Triángulo Escaleno .................................................................................................. 26
Ilustración 8. Triángulo Rectángulo .............................................................................................. 27
Ilustración 9. Triángulo Acutángulo .............................................................................................. 27
Ilustración 10. Triángulo Obtusángulo .......................................................................................... 28
Ilustración 11. Propiedad: suma de ángulos internos 180° ............................................................ 29
Ilustración 12. Suma de ángulos externos ..................................................................................... 29
Ilustración 13. Ángulo externo igual a la suma de ángulos internos ............................................. 30
Ilustración 14. Medianas Concurrentes ......................................................................................... 34
Ilustración 15. Propiedades de las medianas ................................................................................. 34
Ilustración 16. Propiedad de las medianas..................................................................................... 35
Ilustración 17. Mediatrices concurrentes ....................................................................................... 36
Ilustración 18 Bisectrices Concurrentes ........................................................................................ 37
Ilustración 19 Propiedades de las bisectrices ................................................................................ 37
Ilustración 20. Alturas concurrentes .............................................................................................. 38
Ilustración 21 Presentación GeoGebra .......................................................................................... 51
Ilustración 22 Construcción del triángulo ..................................................................................... 52
Ilustración 23 Construcción del triángulo ..................................................................................... 52
Ilustración 24 Construcción triángulo ........................................................................................... 53
Ilustración 25 Elementos del triángulo .......................................................................................... 53
Ilustración 26 Triángulo con medidas ........................................................................................... 54
Ilustración 27 Transformando triángulo con comando arrastre..................................................... 54
Ilustración 28 Mediante arrastre cumplir con la orden .................................................................. 55
Ilustración 29 Macro para construir triángulos.............................................................................. 56
Ilustración 30 Actividad clasificación de triángulos .................................................................... 57
Ilustración 31 Paso 1 Construcción triángulo Equilátero .............................................................. 58
Ilustración 32 Paso 2 Construcción triángulo equilátero ............................................................... 59
Ilustración 33 Paso 3 Construcción triángulo equilátero ............................................................... 59
Ilustración 34 Paso 4 Construcción triángulo equilátero .............................................................. 60
Ilustración 35 Paso 5 Construcción triángulo equilátero ............................................................... 60
Ilustración 36 Paso 6 Construcción triángulo equilátero ............................................................... 61
Ilustración 37 Triángulo equilátero ............................................................................................... 61
Ilustración 38 Propiedades de los elementos del triángulo............................................................ 62
Ilustración 39 Incluyendo hoja de cálculo en la macro ................................................................. 64
Ilustración 40 Ejercicio propiedades del triángulo ........................................................................ 65
Ilustración 41 Ejercicio propiedades del triángulo ........................................................................ 65
Ilustración 42 Ejercicio suma de ángulos exteriores ..................................................................... 66
Ilustración 43 Ejercicio propiedades de los triángulos .................................................................. 66
Ilustración 44 Ejercicio propiedades del triángulo ........................................................................ 67
Ilustración 45 Construyendo mediatrices ...................................................................................... 68
Ilustración 46 Construyendo mediatrices ...................................................................................... 69
Ilustración 47 Trazando mediatrices.............................................................................................. 69
Ilustración 48 Punto de intersección Circuncentro ........................................................................ 70
Ilustración 49 Propiedad de las mediatrices .................................................................................. 71
Ilustración 50 Ejercicio mediatrices .............................................................................................. 71
Ilustración 51 Ejercicio mediatrices .............................................................................................. 72
Ilustración 52 Macro para trazar mediatrices ................................................................................ 73
Ilustración 53 Construyendo bisectrices ........................................................................................ 74
Ilustración 54 Trazando bisectrices ............................................................................................... 75
Ilustración 55 Trazando bisectrices ............................................................................................... 75
Ilustración 56 Incentro: punto donde concurren las bisectrices .................................................... 76
Ilustración 57 Trabajando bisectrices ............................................................................................ 76
Ilustración 58 Propiedades de las bisectrices ................................................................................ 77
Ilustración 59 Propiedad de las bisectrices .................................................................................... 77
Ilustración 60 Circunferencia inscrita bisectrices .......................................................................... 78
Ilustración 61 Verificando bisectrices ........................................................................................... 78
Ilustración 62 Ejercicio de aplicación bisectrices.......................................................................... 79
Ilustración 63 Ejercicio de aplicación bisectrices.......................................................................... 80
Ilustración 64 Construyendo alturas .............................................................................................. 81
Ilustración 65 Trazando alturas ..................................................................................................... 82
Ilustración 66 Punto de concurrencia de las alturas ...................................................................... 82
Ilustración 67 Ubicando el Ortocentro .......................................................................................... 83
Ilustración 68 Ejercicio de aplicación de alturas .......................................................................... 83
Ilustración 69 Macro para trazar alturas ........................................................................................ 84
Ilustración 70 Construyendo medianas ......................................................................................... 85
Ilustración 71 Puntos medios del triángulo .................................................................................. 86
Ilustración 72 Medianas del triángulo ........................................................................................... 87
Ilustración 73 Baricentro punto donde concurren las medianas .................................................... 87
Ilustración 74 Ejercicio de aplicación medianas ........................................................................... 88
Ilustración 75 Construyendo recta de Euler .................................................................................. 90
Ilustración 76 Ubicando punto de corte de alturas ........................................................................ 91
Ilustración 77 Ocultando alturas .................................................................................................... 91
Ilustración 78 Medianas del triángulo ........................................................................................... 92
Ilustración 79 Baricentro del triángulo .......................................................................................... 92
Ilustración 80 Ocultando medianas ............................................................................................... 93
Ilustración 81 Mediatrices del triángulo ........................................................................................ 93
Ilustración 82 Circuncentro del triángulo ..................................................................................... 94
Ilustración 83 Ocultando mediatrices ............................................................................................ 94
Ilustración 84 Recta de Euler......................................................................................................... 95
Ilustración 85 Propiedades de las Medianas .................................................................................. 96
Ilustración 86 Medianas del triángulo ........................................................................................... 97
Ilustración 87 Punto de corte las medianas ................................................................................... 97
Ilustración 88 Triángulos formados por las medianas ................................................................... 98
Ilustración 89 Midiendo áreas de triángulos ................................................................................. 98
lustración 90 Comparando áreas de triángulos .............................................................................. 99
12
Índice de tablas
Tabla 1 Estándares propuesta………………………………………………………………..… 34
Tabla 2 Estándares propuesta………………………………………………………………….. 38
Tabla 3 Estándares propuesta………………………………………………………………….. 42
Tabla 4 Estándares propuesta…………………………………………………………………...50
Tabla 5 Estándares propuesta……………………………………………………………………51
Tabla 6 Estándares propuesta……………………………………………………………………78
13
INTRODUCCIÓN
La propuesta didáctica que se pone de presente en este trabajo, está dirigida a estudiantes de
grado octavo de básica secundaria. Según los lineamientos curriculares del Ministerio de
Educación Nacional M.E.N. (Ministerio de Educación Nacional, 2009), en este grado se enseñan
las líneas notables de un triángulo, usualmente se dibujan usando lápiz y papel y se identifican de
forma estática, dejando de lado las propiedades y relaciones que hay entre ellas; es decir, se
adolece de la posibilidad dinámica y visual que permite que el estudiante realice conjeturas
redescubriendo las relaciones que guardan con el triángulo. La intencionalidad de esta propuesta,
es precisamente que la herramienta del software GeoGebra se convierta en un medio para el
aprendizaje significativo involucrando las Tecnologías de la Información y la Comunicación TIC
en el estudio de la geometría del triángulo.
Esta propuesta está conformada por cuatro capítulos a saber: en el primer capítulo, se presenta
algunos aspectos históricos, realizando un recorrido a través del cual se muestran diversos
estudios realizados por diferentes civilizaciones sobre el triángulo y las relaciones que este
guarda con otras disciplinas, para ello se revisó como referente el libro Historia y Filosofía de las
Matemáticas (Ruiz, 2003), de igual manera se tomó aspectos relacionados con el tema que
expone Mariano Perero en su libro Historia e Historias de Matemáticas (Perero, 1994). En el
segundo capítulo, se tratan aspectos disciplinares, se exponen los conceptos básicos del triángulo,
propiedades, líneas notables (bisectrices, medianas, alturas y mediatrices), puntos concurrentes
(incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro), con algunos resultados importantes de las
propiedades de estas rectas, para ello se ha tomado como guía el libro de Geometría de Clemens
14
(Clemens, 1998), del cual se han tomado algunas definiciones, postulados y teoremas referentes a
los elementos del triángulo. Por último, se exponen los teoremas y el tratamiento disciplinar del
estudio propio de las líneas notables del triángulo, tomando como referente el libro de Germán
Rincón Abella de la Universidad Antonio Nariño, titulado “Un Recorrido por la Geometría”
(Rincon Abella, 1994) . En el cuarto capítulo, se presenta la propuesta didáctica, la cual se
compone de un conjunto de ocho actividades, empezando por el estudio de los elementos del
triángulo, continuando con el estudio de las propiedades y las restantes seis el estudio de las
líneas notables del triángulo pensadas de manera secuencial, utilizando el software GeoGebra;
teniendo en cuenta la forma como razonan y establecen conjeturas los estudiantes en el proceso
de aprendizaje de la geometría, desde las distintas fases que propone el modelo de Van Hiele
(Gamboa Araya & Vargas Vargas, 2013).
15
CAPÍTULO 1. ASPECTOS HISTÓRICOS
En el transcurso de este capítulo, se presenta un recorrido histórico sobre las diversas formas
mediante las cuales diferentes civilizaciones desde la antigüedad han realizado estudios del
triángulo y las relaciones que este tiene con otras disciplinas. Este estudio es importante en la
medida que nos permite conocer las formas cómo ha evolucionado el concepto del triángulo, su
historia, su filosofía hasta el día de hoy.
“Los orígenes de la geometría se remontan a la época cavernícola, eran principios descubiertos
para satisfacer necesidades, tales como: construcción, artesanía, astronomía, entre otras. Uno de
los lugares donde se encontraron los primeros matemáticos fue en el antiguo valle del Indo
(Harappan) alrededor del 3000 A.C. donde hallaron triángulos” (Ruiz, 2003).
1.1. Matemáticas en Egipto y Mesopotamia
En estos pueblos usaban la geometría como una herramienta para resolver problemas prácticos.
La aritmética y la geometría no aparecen separadas; más bien, lo que se daba era una aplicación
de álgebra y aritmética a problemas relacionados con figuras geométricas que emergían en
situaciones del entorno. Según Heródoto, (Ruiz, 2003), “los resultados geométricos de los
egipcios estaban vinculados a asuntos relativos con las crecidas del rio Nilo, ya que necesitaban
medir constantemente las parcelas de tierra debido a que las inundaciones del Nilo borraban los
linderos que eran referencia para pagar impuestos; de esta manera, encontraron procedimientos
para calcular áreas de triángulos rectángulos y trapezoides”.
16
1.2. El mundo griego
En la transición de la geometría de Egipto a Grecia se encuentra a Tales de Mileto (600 A.C.) que
con su trabajo busca dar solución a problemas prácticos como el “cálculo de las alturas de las
pirámides a través de un método de comparación de sus sombras con la sombra de un palo de
altura conocida, es decir, a través del uso de propiedades de los triángulos semejantes” (Ruiz,
2003). A Tales de Mileto se le atribuye la predicción de un eclipse de sol en el año 585 A.C., por
ello se le considera uno de los siete sabios de Grecia.
La geometría griega es un gran legado para la humanidad, dentro de los pensadores que más
contribuyeron al desarrollo de esta área del conocimiento se encontró a Pitágoras y Euclides. En
la ciudad de Alejandría produjeron la obra que por más de 200 años ha servido de soporte para
estudios geométricos llamada “Los Elementos de Euclides” de gran importancia ya que en ella se
puede encontrar las bases fundamentales de la geometría euclidiana. La obra está compuesta de
13 libros sobre temas de geometría, aritmética y algebra; contiene 467 teoremas sobre geometría
plana (libros I al IV), teoría de la proporción (libros V al VI), teoría de números (libros VII a X) y
geometría del espacio (libros XI al XIII). Cada libro tiene definiciones y teoremas salvo el
primero que contiene además 5 postulados y 5 nociones comunes o axiomas. Los axiomas son
verdades evidentes en sí mismas y comunes a todas ciencias. Los postulados son acogidos como
verdades evidentes en sí mismas y específicas de una ciencia en particular. (Lancheros Ibañez,
2016)
Los tres primeros postulados se conocen como herramientas euclidianas ya que van a permitir
realizar construcciones geométricas.
Proposición 1 Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.
Llama especial interés observar como en los elementos de Euclides usando sus tres primeros
postulados se construye un triángulo equilátero.
Proposición 4 Si dos triángulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, y tienen
iguales los ángulos contenidos, por los lados iguales, entonces también tienen la base igual a la
17
base, el triángulo igual al triángulo, y los ángulos restantes respectivamente iguales a los ángulos
restantes respectivamente, a saber, aquellos opuestos a los lados iguales.
En esta proposición reconocemos uno de los casos de congruencia de triángulos al notarlo como
L-A-L; lado, ángulo, lado
Proposición 5 En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí, y
prolongadas las dos rectas iguales, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre si.
Proposición 16 En todo triángulo si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor
que cada uno de los ángulos internos y opuestos.
Proposición 17 En todo triángulo dos ángulos tomados juntos de cualquier manera, son menores
que dos rectos.
Proposición 19 En todo triángulo al ángulo mayor lo subtiende el lado mayor.
Proposición 20 En todo triángulo dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores
que el restante.
Proposición 22 Con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas, construir un triángulo así es
necesario que dos rectas tomadas a la vez en cualquier forma deberán ser mayor que la restante.
Intuitivamente se podría pensar que con tres segmentos cualesquiera podrían construirse un
triángulo, este teorema nos muestra que esta intuición no es correcta y enuncia una condición
suficiente y necesaria para construir un triángulo dado tres segmentos arbitrarios.
Proposición 32 En cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo
externo es igual a la suma de los dos ángulos internos y opuestos”. “La suma de los tres ángulos
internos del triángulo es igual a dos rectos.
Es importante tener en cuenta que el sistema euclidiano de los Elementos no es métrico, años más
tarde, Eudoro siguió la tradición pitagórica de la exclusión de los inconmensurables. Lo que hizo
18
fue, en esencia, introducir la noción de magnitud, que no era un número, pero servía para tratar
ángulos, segmentos, áreas y volúmenes que varían de una manera continua.
1.3. Babilonios
En lo que se refiere a la geometría, conocían las áreas de rectángulos, triángulos rectángulos,
triángulos isósceles y trapecios. De igual manera, conocían y usaban el teorema de Pitágoras.
Como prueba de esto se encontró escrito en una tablilla un problema que plantea la siguiente
situación: “hallar el radio del círculo circunscrito al triángulo de lados 50, 50, y 60”. Además de
esto, tenían conocimiento de algunas propiedades de los triángulos semejantes, demostraron el
teorema: “En un triángulo rectángulo, al trazar una perpendicular desde el ángulo recto hasta la
hipotenusa, los triángulos que se forman a cada lado de esta perpendicular son semejantes entre si
y al triángulo entero” (Ruiz, 2003).
1.4. China
La obra más destacada en el estudio de la geometría es el “chiu chang”, esta se compone de 246
problemas repartidos en 9 capítulos, los cuales fueron considerados temas de interés social en
ese escenario. Comentadores posteriores, como Liu Hui, en el siglo XIII ampliaron estos trabajos.
En un primer capítulo (Fang Thien) se incluyen las reglas para calcular áreas de triángulos,
trapecios, círculos, rectángulos, así como una aritmética de fracciones. El teorema Kou ku se
trata del teorema de Pitágoras, este aparece demostrado en un texto antiguo llamado Chou Pei.
19
CAPÍTULO 2. ASPECTOS DISCIPLINARES
2.1. Introducción
En la Geometría sin lugar a dudas el triángulo ocupa un lugar importante y así ha sido
demostrado a través de la historia, en la familia de los polígonos se encontró que el triángulo es
indeformable precisamente por su rigidez hace que sea utilizado en múltiples construcciones; un
ejemplo hermoso es la Torre de Eiffel de Paris Francia que está conformada por una seriación de
triángulos. La Torre de Eiffel, fue construida en conmemoración del centenario de la Revolución
Francesa, fue inaugurada el 31 de marzo de 1989.
Ilustración 1. Torre Eifel
Fuente: Geometría del triángulo (Nuñez Caballero, 2007)
20
Otro de los múltiples ejemplos es el famoso puente del Alamillo de Sevilla, que fue construido
entre 1989 y 1992 por el arquitecto Santiago Calatrava, su característica principal es que tiene un
solo brazo que soporta todo su peso; está formado por triángulos oblicuángulos semejantes.
Ilustración 2. Puente del Alamillo de Sevilla
Fuente: Geometría del triángulo (Nuñez Caballero, 2007)
A través de la historia de la humanidad el triángulo cumple un papel protagonista en el estudio de
la geometría, por ser el polígono más consistente, a parte del hecho que todo polígono puede
descomponerse en un número finito de triángulos; por esta razón es importante la comprensión de
sus elementos y propiedades.
Para la elaboración de este capítulo se toman como referentes dos libros:
Moise, (Moise, 1968) presenta el libro “Geometría Moderna” Libro clásico que es usado por la
mayor parte de profesores que enseñan geometría en educación secundaria; se han tomado
textualmente algunas definiciones, postulados, teoremas de los elementos del triángulo y sus
propiedades.
21
German, (Rincon Abella, 1994), expone en su libro “Un recorrido por la geometría” en el
capítulo 1 Geometría del triángulo, paginas 3-26, la demostración de los teoremas de las líneas
notables del triángulo.
2.2. Preconceptos
Los siguientes conceptos son fundamentales en el estudio de la geometría del triángulo, es
importante tener en cuenta que se consideran conceptos primitivos, es decir carecen de
definición.
Punto: ubicación, sin longitud, anchura ni longitud
Recta: longitud ilimitada, derecha, sin grosor, ni extremos.
Plano: ilimitado continuo en todas las direcciones, llano, sin grosor.
Espacio: ilimitado, sin longitud, anchura ni altura.
2.3. Definiciones
A continuación Clemens (Clemens, 1998) define conceptos que relaciona el estudio del
triángulo.
Definición 1.2 Puntos colineales son puntos que están en la misma recta.
Definición 1.3: Puntos coplanares son puntos que se encuentran en un mismo plano.
Definición 1.4: Rectas intersecantés son dos rectas con un punto en común.
Definición 1.5: Rectas paralelas son rectas que están en el mismo plano y no se intersecan.
22
Definición 1.6: Rectas concurrentes son tres o más rectas coplanares que tienen un punto en
común.
Definición 1.7: Un Segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ es el conjunto de los puntos A y B, y de todos los puntos que
están entre A y B; el número AB se llama la longitud del segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅
Definición 1.8: El Rayo, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ es el conjunto de puntos que es la reunión del segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ y el
conjunto de todos los puntos C para los cuales es cierto que B está entre A y C. el punto A se
llama el extremo de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.
Definición 1.9: Un punto B se llama punto medio de un segmento 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ , si B está entre A y C y
AB=BC
Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento.
Definición 1.10: Los puntos de un conjunto están alineados o son colineales, si hay una recta que
los contiene a todos.
Definición 1.11: si dos rayos tienen el mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta,
entonces su reunión es un Ángulo. Los dos rayos se llaman los lados del ángulo y el extremo
común se llama el vértice.
Si los rayos son 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, entonces el ángulo se indica con < BAC o con < CAB; es indiferente
que lado se nombra primero.
Definición 1.12: Si A, B, C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la reunión de los
segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 𝒚 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ se llama un Triángulo, y se indica con ∆𝐀𝐁𝐂. Los puntos A, B, C
se llaman vértices y los segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 𝒚 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ se llaman lados. Todo triángulo ∆𝐀𝐁𝐂. De
termina tres ángulos: < BAC, con < ABC, con < BCA. A éstos los llamamos ángulos del
∆𝐀𝐁𝐂 . Si está claro a qué triángulo nos referimos, frecuentemente podemos asignarlos por < A,
< B y < C.
23
Definición 1.13: un Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a
una distancia fija de un punto dado del plano. Un círculo es la unión de la circunferencia y todos
los puntos del plano que encierra la circunferencia.
Definición 1.14: dos Segmentos son Congruentes si tienen la misma longitud.
Definición 1.15: dos Ángulos son Congruentes si tienen la misma medida.
Definición 1.16: un Ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90˚.
Definición 1.17: un Ángulo recto es un ángulo que mide 90˚.
Definición 1.18: un Ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90˚
Postulado: Principio que se admite como cierto sin necesidad de ser demostrado
2.4. Elementos del triángulo
Los elementos del triángulo son: los vértices, los lados, y los ángulos.
Ilustración 3 Elementos del triángulo
24
Fuente:
https://lasmatematicasysuensenanzaenlasecundaria.files.wordpress.com/2015/07/elementos-
triángulo-1.jpg
Todo triángulo ∆ABC, determina tres ángulos <BAC, <ABC, <ACB, se denominan ángulos del
triángulo ∆ABC. Si está claro a que triángulo nos referimos podemos decir que los ángulos son:
<A, <B y <C, teniendo como referencia los vértices del triángulo, por lo tanto los lados del
triángulo se simbolizan con letras minúsculas a, b, c, respectivamente, como se observa en la
anterior ilustración.
Definición 4.5: el Ángulo exterior de un triángulo es el ángulo que forma un par lineal (cuando
tienen un par de lados que son semirrectas opuestas y que tienen un lado común), con uno de los
ángulos del triángulo.
Ilustración 4. Ángulo exterior triángulo
Según Clemens (Clemens, 1998), los triángulos se clasifican según la medida de sus lados y la
medida de sus ángulos.
2.5. Clasificación del triángulo según la medida de sus lados
Según la medida de los lados los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Las
ilustraciones son hechas en Geogebra en un macro que se construyó donde digitando las medidas
25
de los lados el programa determina si es posible la construcción o no y lo clasifica de acuerdo a la
medida de estos.
Triángulo equilátero: Todos sus lados tienen la misma longitud.
Ilustración 5. Triángulo Equilátero
Triángulo isósceles: al menos dos de sus lados tienen la misma longitud.
Ilustración 6. Triángulo Isósceles
26
Triángulo escaleno: sus tres lados tienen diferente longitud.
Ilustración 7. Triángulo Escaleno
2.6. Clasificación del triángulo según la medida de sus ángulos
Para clasificar los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos, se debe tener en cuenta cómo
se clasifican éstos de acuerdo a su amplitud. El instrumento permite encontrar la medida de un
ángulo es el transportador. La medida de un ángulo se llama amplitud del ángulo y se mide en
sentido contrario a las manecillas del reloj. Desde la época de Euclides el patrón de medida es el
ángulo recto cuya medida es de 90 grados sexagesimales.
Teniendo en cuenta la clasificación de los ángulos según su amplitud, se pueden clasificar los
triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos internos.
Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa, y los otros dos lados son los catetos. Valga la aclaración que ningún triángulo tiene
dos ángulos rectos.
27
Ilustración 8. Triángulo Rectángulo
Triángulo acutángulo: todos sus ángulos son agudos.
Ilustración 9. Triángulo Acutángulo
28
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.
Ilustración 10. Triángulo Obtusángulo
2.7. Propiedades del triángulo
Teniendo en cuenta las herramientas que ofrece el programa Geogebra, se han diseñado
actividades que encontramos en el siguiente capítulo y que nos permite que el estudiante
redescubra las propiedades del triángulo, utilizando el comando arrastre. Dichas ilustraciones son
resultado de estas actividades.
En la geometría de Clemens (Clemens, 1998) se encuentra los siguientes teoremas con sus
respectivas demostraciones:
Teorema 4.11 (Clemens, 1998)“Teorema del ángulo exterior: La medida del ángulo exterior de
un triángulo es mayor que la medida de cualquiera de los ángulos no contiguos”, p.154.
29
Teorema 6.4: (Clemens, 1998) “la suma de los ángulos de un triángulo es 180˚”, p. 208
Ilustración 11. Propiedad: suma de ángulos internos 180°
Teorema 6.5: (Clemens, 1998)“La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360˚”, p. 209
Ilustración 12. Suma de ángulos externos
30
Teorema 6.6: (Clemens, 1998)” la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la
suma de sus dos ángulos interiores no contiguos”.p. 209
Ilustración 13. Ángulo externo igual a la suma de ángulos internos
Los dos teoremas que a continuación se enuncian, son muy importantes en la caracterización de
la existencia de un triángulo; es decir si es construible o no es construible.
Teorema 7.9: (Clemens, 1998)”si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales,
entonces la longitud del lado opuesto al ángulo menor es menor que la longitud del lado opuesto
al ángulo mayor”, p. 248
Teorema 7.10: (Clemens, 1998) “si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales,
entonces la medida del ángulo opuesto al lado más corto es menor que la medida del ángulo
opuesto al lado más largo”, p. 249.
2.8. Desigualdad del triángulo
Postulado de la desigualdad del triángulo: la suma de las longitudes de dos de sus lados de un
triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
31
2.9. Congruencia de triángulos
Definiciones
Dos ángulos son congruentes, si tienen la misma medida. Dos segmentos son
Congruentes, si tienen la misma medida.
Definición
Sea ABC ↔ DEF una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si los pares de lados
correspondientes son congruentes, y los pares de ángulos correspondientes son congruentes,
entonces la correspondencia ABC ↔ DEF, se llama una congruencia entre los dos triángulos.
Definiciones
Un lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices son los
extremos del segmento
Un ángulo de un triángulo se dice estar comprendido por los lados del triángulo que están en los
lados del ángulo.
LOS POSTULADOS DE CONGRUENCIA PARA TRIÁNGULOS
Postulado 15 El postulado LAL, toda correspondencia LAL es una congruencia.
Postulado 16 El postulado ALA, toda correspondencia ALA es una congruencia.
Postulado 17 El postulado LLL, toda correspondencia LLL es una congruencia
2.10 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos correspondientes son
congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces la correspondencia se
llama una semejanza y decimos que los triángulos son semejantes.
Teorema 12-1 El teorema fundamental de la proporcionalidad
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados,
entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales.
32
Teorema 12-2 Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados
segmentos proporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.
2.10.1 LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA SEMEJANZA
Teorema 12-3 El teorema de la semejanza AAA
Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos correspondientes son
congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.
Teorema 12-3.1 Corolario AA
Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos correspondientes son
congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.
Teorema 12-3.2
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados en puntos distintos,
entonces determina un triángulo semejante al triángulo dado.
Teorema 12-4
Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹, y ∆𝐷𝐸𝐹~∆𝐺𝐻𝐼, entonces ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐺𝐻𝐼 En un triángulo rectángulo
cualquiera, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulo en otros dos que son
semejantes entre sí y semejantes también al triángulo original.
Teorema 12-5 El teorema de semejanza LAL
Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de lados correspondientes son
proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes entonces la correspondencia es una
semejanza.
Teorema 12-6 Teorema de la semejanza LLL
Se da una correspondencia entre dos triángulos. Si los lados correspondientes son proporcionales,
entonces la correspondencia es una semejanza.
33
Teorema 12-7
En un triángulo rectángulo cualquiera, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al
triángulo en otros dos que son semejantes entre si y semejantes también al triángulo original.
Teorema 12-8
Se dan un triángulo rectángulo y la altura correspondiente a la hipotenusa.
La altura es la media geométrica v de los segmentos en los cuales dicha altura divide a la
hipotenusa.
Cada cateto es la media geométrica de la hipotenusa y el segmento de ésta adyacente al cateto.
Teorema 12-9
Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es el cuadrado de la razón de dos
lados correspondientes cualesquiera.
2.11. Lineas y puntos notables del triángulo
Al realizar un estudio del triángulo, se debe tener en cuenta que los triángulos poseen elementos
primarios (vértices, lados, ángulos), como también poseen elementos secundarios, que
corresponden a las rectas notables con sus respectivos puntos de concurrencia, que se forman a
partir de la intersección de un mismo tipo de rectas notables. A continuación se describen las
características de cada recta con su correspondiente punto notable.
En el libro Geometría Moderna (Moise, 1968), se realiza un estudio profundo de las líneas
notables del triángulo, el autor expone una serie de teoremas con sus respectivas demostraciones:
2.12. Medianas
Sea ∆𝐀𝐁𝐂 un triángulo. Se establecen Aˈ Bˈ y Cˈ los puntos medios de los lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 𝒚 𝑨𝑪̅̅ ̅̅
Las rectas AAˈ⃡⃗⃗⃗⃗⃗ , BBˈ⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ Y CCˈ⃡⃗⃗⃗ ⃗, que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto, se llaman
las medianas del ∆𝐴𝐵𝐶. Se simboliza la longitud de la mediana AAˈ como 𝑚𝑎, BBˈ como 𝑚𝑏 y
CCˈ como 𝑚𝑐.
34
Teorema 1.1: las tres medianas son concurrentes, el punto donde concurren las medianas se
llama baricentro. El Baricentro siempre se encuentra al interior del triángulo.
La demostración del teorema de concurrencia de las medianas la encuentras en (Moise pág. 489)
La siguiente ilustración corresponde a una construcción lograda con la herramienta de Geogebra,
Ilustración 14. Medianas Concurrentes
Teorema 1.2 Las medianas dividen el triángulo en seis triángulos de igual área.
La siguiente ilustración corresponde a una construcción lograda con la herramienta de Geogebra,
Ilustración 15. Propiedades de las medianas
35
Teorema 1.3 La longitud de la mediana es menor o igual que la semisuma de los dos lados
adyacentes.
La siguiente ilustración corresponde a una construcción hecha con la herramienta de Geogebra,
Ilustración 16. Propiedad de las medianas
2.13. Mediatriz
Sea ∆𝐀𝐁𝐂 un triángulo y sea D el punto medio de uno de sus lados, se llama mediatriz la
perpendicular trazada al lado desde D. Todo triángulo tiene tres mediatrices.
Teorema 1.4 Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes, el punto donde concurren
las mediatrices se llama circuncentro.
La siguiente ilustración corresponde a una construcción hecha en Geogebra, es interesante
verificar que el circuncentro no siempre queda al interior del triángulo, en la propuesta se explica
esto utilizando el comando arrastre de Geogebra
36
Ilustración 17. Mediatrices concurrentes
2.14. Bisectrices
La bisectriz de un ángulo de un triángulo es el segmento que está en el rayo que divide al ángulo
en dos partes iguales, sus extremos son el vértice de ese ángulo y un punto del lado opuesto
Teorema 1.7. Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes, el punto donde concurren las
bisectrices se llama incentro. El incentro siempre se encuentra en el interior cualquiera que sea el
triángulo. La demostración de la concurrencia de las bisectrices, se encuentra en (Moise, 1989,
pág. 487)
37
Ilustración 18 Bisectrices Concurrentes
El punto donde concurren las bisectrices, el incentro, equidista de los lados del triángulo. Es el
centro de la circunferencia inscrita en todo triángulo.
Ilustración 19 Propiedades de las bisectrices
38
2.15. Alturas
La recta que pasa por un vértice del triángulo y es perpendicular al lado opuesto, se llama altura
del triángulo. En todo triángulo es posible construir tres alturas una a cada lado del triángulo al
opuesto del vértice.
Teorema 1.12. Las tres alturas de un triángulo son concurrentes, el punto donde concurren las
alturas se llama ortocentro.
El ortocentro no siempre se encuentra en el interior del triángulo. En los triángulos con un ángulo
obtuso, el ortocentro se ubica exterior al triángulo; en el caso de los triángulos rectángulos
coincide con el vértice del ángulo recto.
La demostración del teorema de concurrencia de las alturas de un triángulo la encuentras en
(Moise pág. 483).
Ilustración 20. Alturas concurrentes
39
APITULO 3. ASPECTOS DIDÁCTICOS
3.1. Marco conceptual
En el estudio de la geometría se hacen construcciones usando regla y compás. Por ejemplo, dado
un segmento dividirlo en tres partes iguales, usando sólo compás y regla (¡sin marcas!); construir
un triángulo equilátero cuyos lados sean congruentes a un segmento dado; dados una recta l, un
punto P sobre l y un punto Q exterior a l, construir un círculo que pase por Q y sea tangente a l.
(Sánchez Botero, 1994). En esta propuesta se harán construcciones geométricas usando las
herramientas con las cuales cuenta el software de geometría dinámica, GeoGebra y se espera con
esto captar la atención de los estudiantes.
En cuanto a las referencias consultadas para la realización de esta propuesta se mencionan
algunas, como:
Lancheros Ibáñez, (Lancheros Ibañez, 2016) presenta “Una Secuencia didáctica para la
enseñanza de propiedades y elementos del triángulo utilizando el programa Carmetal”.
Rincón Artunduanga, (Rincon Artunduanga, 2013) presenta “Un estudio de la influencia en el
proceso de enseñanza aprendizaje de los puntos notables de un triángulo, usando CAR”.
Flores, (Flores, 2011) presenta “El estudio de los poliedros a los polígonos usando herramientas
tecnológicas para potenciar el avance entre niveles de razonamiento Geométrico”.
40
Haldane Acevedo, (Haldane Acevedo, 2011) presenta “El desarrollo histórico del teorema de
Pitágoras desde los babilonios hasta los griegos”.
“Los lineamientos del M.E.N. proponen considerar tres aspectos: los conocimientos básicos,
los procesos de pensamiento y el contexto.
Los conocimientos básicos comprenden tanto los procesos específicos de desarrollo del
pensamiento matemático, como los sistemas conceptuales asociados, estos son el pensamiento
numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento
métrico y sistemas de medida, pensamiento aleatorio y sistemas de datos, pensamiento
variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
Los procesos generales incluyen el razonamiento, resolución y planteamiento de problemas,
comunicación, modelización, elaboración comparación y ejercitación de procedimientos.
En el contexto se ubican las situaciones problemáticas que pueden referirse a la vida diaria, a
las mismas matemáticas, o a otras ciencias”. (Ministerio de Educación Nacional, 2009)
Los estándares que propone el M.E.N. en el área de matemáticas son criterios que buscan que el
estudiante no solo aprenda conocimientos sino que pueda aplicar estos saberes en su cotidianidad;
en esta propuesta se centra en el pensamiento espacial y sistemas geométricos.
3.2. Estándares para el conjunto de grados octavo y noveno
Tabla 1 Estándares propuesta
PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS
Estándar Actividad donde se
trabaja
Hacer conjeturas y verificar propiedades de congruencias y semejanzas entre
figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de
problemas.
1,2
41
Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en la
demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).Aplicar y justificar
criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y
formulación de problemas.
4,5,6,
Usar representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la
matemática y en otras disciplinas.
En todas las
actividades
Los estudiantes requieren del estudio de distintas relaciones espaciales, que les permitan
interactuar y optimizar los espacios de acuerdo a las necesidades que vayan surgiendo día a día;
donde se destacan los procesos de localización en relación con los sistemas de referencia y del
estudio de lo que cambia o se mantiene en las formas geométricas bajo distintas
transformaciones. El trabajo con objetos dimensionales y tridimensionales y sus movimientos y
transformaciones permite integrar nociones sobre volumen, área y perímetro. Así la geometría
activa se presenta como una alternativa para afianzar el pensamiento espacial, en tanto se
constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación en el espacio.
3.3. GeoGebra y la geometría dinámica
GeoGebra fue creado en el año 2011, por Markus Hohenwarter, quien estudió en Austria en la
universidad de Salzburgo y Geogebra fue su trabajo final de Maestría.
GeoGebra es una herramienta TIC que puede ser utilizada tanto por docentes como estudiantes en
los diferentes niveles de formación: primaria, secundaria y universitaria. Por ser un ambiente
colaborativo desde su creación (2011) ha ido creciendo y mejorando la herramienta por distintos
colaboradores; es así como existen varias versiones para descargar desde la web
www.GeoGebra.org desde luego se recomienda descargar la versión más reciente.
Esta propuesta busca proponer un ambiente de aprendizaje (GeoGebra) que proporcione a los
estudiantes herramientas facilitadoras para redescubrir teoremas acerca del estudio del triángulo.
El uso del software GeoGebra permite al estudiante explorar conjeturas, como medio para el
desarrollo de conceptos y la organización (deductiva) de colecciones pequeñas de resultados.
42
GeoGebra es un software libre, que permite que cualquier estudiante o educador pueda tener
acceso a su instalación y manejo, convirtiéndose en un ambiente colaborativo en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de la matemática.
Surge la pregunta ¿por qué innovar nuestras metodologías incorporando esta clase de
herramienta?; ¿cuáles son las bondades que ofrece el enseñar temas de geometría con GeoGebra?
Según (Marques Graells, 1999) las bondades que ofrece el innovar la enseñanza de la geometría
con GeoGebra se tiene:
Motivación: los alumnos se sienten muy motivados con la utilización de este medio.
Actividad intelectual continua: les mantiene activos y con un nivel de atención máximo.
Desarrollo de la iniciativa: se les da la oportunidad de experimentar, de tomar decisiones y
de equivocarse, sin que suponga ello un retroceso en sus ganas de Interactuar con el
ordenador.
Aprendizaje a partir del ensayo-error: la interacción que se establece alumno-ordenador
proporciona un proceso de feedback rápido permitiéndole conocer sus errores en el mismo
momento en el que se producen, para su corrección inmediata.
La generación actual de jóvenes se caracteriza por gustarles el uso de la tecnología, es algo que
los motiva, los apasiona; es por esto que se ve pertinente utilizar una herramienta dinámica como
es GeoGebra que va a facilitar a los estudiantes el estudio de los elementos y propiedades del
triángulo. En esta propuesta cobra especialmente importancia la funcionalidad de arrastre para
que el estudiante construyendo un solo triángulo pueda tener la opción mediante el comando
arrastre modificarlo y así establecer que datos cambian y cuales permanecen invariantes, lo que
conlleva a redescubrir teoremas en el estudio de la geometría del triángulo; es diferente que uno
como docente le informe a los estudiantes que la suma de los ángulos internos de cualquier
triángulo es 180 grados, en vez de orientarlo haciendo uso del GeoGebra ellos puedan concluir
dicho resultado. Es uno de los tantos ejemplos que podríamos trabajar el aprendizaje
significativo.
43
3.4. El modelo de Van Hiele y los Niveles de Razonamiento
La teoría propuesta por los esposos Van Hiele resulta de gran utilidad para comprender la
evolución del razonamiento geométrico, pues permite considerar la construcción de los conceptos
y el establecimiento de relaciones de manera gradual a través de actividades que involucran la
resolución de problemas, el investigar y demostrar, lo que se encuentra en estrecha relación con
lo expuesto anteriormente.
Comprender la complejidad del razonamiento en geometría, no es un asunto trivial. El intentar
dar una definición para comprender la evolución del razonamiento geométrico, la teoría
propuesta por los esposos Van Hiele permite considerar la construcción de los conceptos y el
establecimiento de relaciones de manera gradual a través de actividades.
A continuación se presenta una caracterización de los primeros tres niveles del modelo de Van
Hiele, atendiendo a que el alcance de esta experiencia obedece a estos niveles, puesto que el
cuarto nivel y el quinto nivel no se contemplan dentro de la propuesta.
“Nivel I Visualización o Reconocimiento. Las figuras se distinguen por sus formas
individuales, como un todo, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. Por
ejemplo, un pre-adolescente de trece años puede reproducir un triángulo rectángulo en
posición no canónica solamente cuando es dibujado con una orientación en el plano, pero si
este dibujo lo rotamos o trasladamos en el plano el estudiante ya no lo va a reconocer
fácilmente, en la propuesta se evidencia con el uso de GeoGebra en las actividades 1 y 2.
Nivel II Análisis. Comienza aquí a desarrollarse la conciencia de que las figuras constan de
partes; (lados, vértices, ángulos). Estas propiedades van siendo comprendidas a través de
observaciones efectuadas durante trabajos prácticos como mediciones, dibujo, construcción de
modelos, etc. El pre-adolescente, por ejemplo, ve que un triángulo tiene tres ángulos, tres
lados, tres vértices; que los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados y de
acuerdo a las medidas de sus ángulos, que un triángulo no puede haber dos ángulos rectos
También se reconoce la congruencia y la semejanza de los triángulos, pero el niño es todavía
44
incapaz de inferir si el punto de corte de las alturas (ortocentro) está en el interior o exterior
del triángulo, en la propuesta se evidencia con el uso de GeoGebra en las actividades 3, 4 y 5.
Nivel III Abstracción u ordenamiento. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar
clarificadas, pero sólo con ayuda y guía, comienza a establecerse las relaciones entre las líneas
notables de un polígono de tres lados y sus propiedades entre los elementos del mismo. En la
propuesta se evidencia con el uso de GeoGebra en las actividades 6 y 7.” (Gamboa Araya &
Vargas Vargas, 2013)
En cada una de las actividades de la propuesta se enfatiza los tres primeros niveles de Van Hiele,
similarmente conviene tener en cuenta para la enseñanza, descripciones de muestras de
«habilidades en geometría», en términos de los niveles de desarrollo como las presentadas por
(Hoffer, 1990), las cuales se describen en la tabla siguiente (sólo en relación con los tres primeros
niveles):
Tabla 2. Niveles modelo de Van hiele
Nivel Habilidad I Reconocimiento II Análisis III Clasificación
Visual
Reconocer diferentes
figuras de un dibujo.
Reconocer
información
contenida en una
figura
Notar las propiedades
de una figura.
Identificar una figura
como parte de una
mayor
Reconocer
interrelaciones entre
diferentes tipos de
figuras. Reconocer
propiedades comunes
de diferentes tipos de
figuras
Verbal
Asociar el nombre
con una figura
señalada. Interpretar
frases que describen
figuras.
Describir
adecuadamente varias
propiedades de una
figura
Definir palabras
adecuada y
concisamente.
Formular frases que
muestren relaciones
entre figuras
Dibujo Hacer dibujos de
figuras nombrando
Traducir información
verbal dada en un
Dadas ciertas figuras
ser capaz de construir
45
adecuadamente las
partes
dibujo. Utilizar las
propiedades dadas de
una figura para
dibujarla o
construirla
otras relacionadas
con las primeras
Lógica
Darse cuenta de que
hay similitudes y
diferencias entre las
figuras. Comprender
la conservación de las
figuras en distintas
posiciones
Comprender que las
figuras pueden
clasificarse en
diferentes tipos.
Notar que las
propiedades sirven
para distinguir las
figuras
Comprender las
cualidades de una
buena definición.
Usar las propiedades
para determinar si
una clase de figuras
está contenida en otra
Aplicada
Identificar formas
geométricas en
objetos físicos
Reconocer
propiedades
geométricas de
objetos físicos.
Representar
fenómenos en un
modelo
Comprender el
concepto de un
modelo matemático
que representa
relaciones entre
objetos
3.5. Marco Metodológico
Desde la didáctica de la matemática, se considera pertinente, tener en cuenta el modelo Van Hiele
y sus fases del aprendizaje, entendidas, por estos autores, como etapas de graduación y
organización de las actividades que debe realizar un estudiante para adquirir las experiencias que
le lleva a nivel superior de razonamiento. Las actividades están diseñadas de tal forma que
permite al estudiante redescubrir los conocimientos básicos utilizando el software de GeoGebra,
especialmente haciendo uso del comando arrastre para obtener varios triángulos y ver que
propiedades y características se mantienen inherentes a dichas transformaciones.
46
3.6. Población y Nivel Educativo de los Estudiantes
Este trabajo fue pensado para aplicarlo en el nivel de educación básica ciclo IV, conformado por
estudiantes, cuyas edades oscilan entre 12 y 15 años, de estratos 2, 3 y 4 del Colegio Villemar el
Carmen IED, Fontibón, jornada mañana.
Los preconceptos con los que llegan los estudiantes a grado octavo, corresponden a las temáticas
trabajadas durante el ciclo III; como punto, recta, semirrecta, segmento, ángulo, clasificación de
ángulos, medida de ángulos, plano cartesiano, entre otras.
3.7. Temática de la Propuesta
La propuesta que se formula tiene como propósito reconocer, verificar y conjeturar algunas de las
propiedades del triángulo y las propiedades de las líneas: bisectrices, medianas, alturas y
mediatrices como puntos notables: incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro.
3.8. Objetivos
3.8.1. Objetivo general
Innovar la enseñanza del estudio de las líneas notables del triángulo, implementando GeoGebra
como herramienta didáctica con el fin de mejorar la comprensión de dichos aprendizajes.
3.8.2. Objetivos Específicos Conceptuales
Identificar las clases, los componentes y las propiedades de los polígonos de tres lados.
Construir diferentes triángulos y trazar las líneas notables e identificar cada una de ellas.
Identificar y comparar líneas notables en el triángulo, redescubriendo propiedades entre ellas.
47
Fortalecer la comprensión de procesos de razonamiento (inductivo, deductivo y conjetural), como
medio para el análisis y la argumentación.
3.8.3. Objetivos específicos didácticos
Generar ambientes de aprendizaje que motiven a los estudiantes hacia la exploración del
conocimiento, mediante la utilización del software GeoGebra.
Propiciar el avance en el desarrollo del razonamiento geométrico, del nivel de reconocimiento al
nivel de clasificación u ordenamiento, de acuerdo con la propuesta de los Van Hiele.
Implementar las fases del aprendizaje propuestas por Van Hiele, como marco metodológico en el
aula, con el fin de generar la construcción gradual de los conceptos y el desarrollo de habilidades
de pensamiento geométrico.
3.9. Actividades
Pensando en el Éxito que deben tener las actividades, se le da un orden secuencial para facilitar
los procesos mentales de los estudiantes, como: Preconceptos, Objetivos, Desarrollo de la
actividad, Sección de ejercicios y Aplicación. Cada una de las actividades está diseñada pensando
en integrar los primeros tres niveles de razonamiento, propuestos en el modelo de Van Hiele, con
el manejo del software GeoGebra. A continuación se explica los pasos que conforman cada
actividad:
1. Preconceptos: pre-saberes que deben contar los estudiantes para poder desarrollar la
actividad.
2. Objetivos: qué se propone con la actividad. Finalidad de la misma.
3. Desarrollo de la actividad: se intenta exponer de forma clara y concisa los diferentes pasos
para lograr la construcción que se busca en GeoGebra.
48
4. Sección de Ejercicios: el estudiante valiéndose de la construcción y mediante la animación o
el arrastre resolverá las actividades redescubriendo propiedades del triángulo y sus puntos y
líneas notables.
5. Formalizando: se consolidan los conceptos trabajados y se confronta con el trabajo del
estudiante.
6. Aplicación: trabajo con lugares geométricos de los puntos notables y problema de aplicación
que relacione el concepto estudiado.
Esta propuesta busca que el estudiante sea participe en la construcción de su propio conocimiento
fortaleciendo la parte explorativa, es decir que manipule los diferentes comandos, de GeoGebra
en la construcción de triángulos estáticos y dinámicos que les permite realizar conjeturas y
poderlos llevar hacia un conocimiento específico. Como valor agregado se deja unos applet para
la construcción de las líneas notables del triángulo. Los ejercicios formulados en cada una de las
actividades fueron pensados para que los estudiantes utilicen el software Geogebra, con la
finalidad de redescubrir propiedades y teoremas en el estudio de los triángulos, enfatizando en la
transformación de las figuras que llevan al estudiante a realizar conjeturas.
Se realiza una categorización posible del trabajo con los estudiantes al desarrollar las diferentes
actividades propuestas, según Ortegón. N (Ortegon, Salas , & Samper, 2013)
Tabla 3. Categorización
CATEGORÍA SIGNIFICADO
Respuesta fuera de
contexto (RFC)
Realiza una interpretación incorrecta de la situación y lo
asocia a otro tipo de respuestas que no tienen relación
con lo que se está preguntando
Condicional implícita (CI) Reconoce la condicional que subyace a la situación pero
no lo menciona de forma explícita en su respuesta
Identifica dependencia
(ID) Identifica la dependencia entre las propiedades
mencionadas en la situación.
No identifica dependencia (NID)
No identifica relaciones de dependencia entre
propiedades.
49
Condicional explicita
Condicional implícita sin formato (CESF) ) Responde con una condicional pero no usa el formato
si… entonces
Es importante dedicar suficiente tiempo en la elaboración de las preguntas en el desarrollo de las
actividades, teniendo en cuenta el conocimiento al cual se desee llevar a los estudiantes.
50
CAPÍTULO 4. PROPUESTA DIDÁCTICA
4.1. Desarrollo de las actividades
El programa GeoGebra es un software libre de geometría dinámica que facilita realizar diferentes
construcciones medir longitudes y ángulos buscando que el desarrollo de las actividades tenga
éxito es importante socializar y realizar con los estudiantes una ambientación de los principios
básicos del manejo de GeoGebra; es así que se invitó a los estudiantes a visitar la página
https://wiki.geogebra.org/es/Manual, reforzando en clase con ejercicios y construcciones
sencillas.
4.2. Metodología
La propuesta es pensada para ser aplicada en el colegio distrital Villemar el Carmen en la jornada
de la mañana en grado octavo; se cuenta con cuatro grupos con un promedio de 38 estudiantes
por grupo, la jornada está organizada en tres bloques de clase de 110 minutos y los estudiantes
rotan por los salones dependiendo de la clase que les corresponda. En matemáticas contamos con
cuatro salones donde uno de ellos está equipado con 25 portátiles un videobean como también
contamos con servicio de internet, hay un computador fijo para el profesor, para el desarrollo de
cada una de las actividades se asigna un portátil por cada dos estudiantes estableciendo como
regla de trabajo que ambos interactúen con el equipo en la elaboración de cada una de las
actividades propuestas. Luego que se ha descargado el programa en los computadores, se da
inicio a la inducción sobre el manejo y uso de herramientas básicas del programa y se continua
con el desarrollo de las demás actividades.
51
4.3. Actividad 1: Estudio de los elementos del triángulo
Los estudiantes trabajan por pares, siguiendo las instrucciones establecidas por el Docente quién
hará preguntas orientando a que los estudiantes establezcan conjeturas sobre la construcción.
Establecerán si el triángulo construido es dinámico o estático y que parte del algoritmo hace que
una figura geométrica sea dinámica o estática, asignarán medidas e identificarán las partes del
triángulo, mediante el comando arrastre modificarán el triángulo.
1. Preconceptos
Punto, Recta, Segmento, Ángulo, puntos colineales, medida de ángulos
2. Objetivos
Utilizando la herramienta de GeoGebra construir el triángulo.
Clasificar los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.
3. Desarrollo de la actividad
Abrir GeoGebra
Recomendación: es importante trabajar GeoGebra, sin cuadricula ni ejes coordenados.
Ilustración 21 Presentación GeoGebra
52
Ubique tres puntos no colineales, para ello da click en ; y con el mouse realice clic en tres
partes distintas del plano.
Ilustración 22 Construcción del triángulo
Haciendo click en ubique segmentos que determinan los tres puntos.
Ilustración 23 Construcción del triángulo
53
Dele color diferente a los lados del triángulo y cambie el grosor de los segmentos coloque el
cursor sobre cada segmento y de clic derecho, se despliega una ventana y puede asignar color y
grosor de los lados del segmento.
Ilustración 24 Construcción triángulo
Mida los lados del triángulo, haciendo click en con Geogebra
Ilustración 25 Elementos del triángulo
54
Mida los ángulos haciendo click en con ayuda del programa de GeoGebra
Ilustración 26 Triángulo con medidas
Con el comando arrastre va a modificar el triángulo construido haciendo variar la medida de
los lados y los ángulos del triángulo.
Ilustración 27 Transformando triángulo con comando arrastre
55
¿Es posible mediante el arrastre en GeoGebra lograr un triángulo con dos lados de la misma
medida?
Ilustración 28 Mediante arrastre cumplir con la orden
¿Qué puede inferir acerca de la medida de sus ángulos?
Respuesta esperada: “Si un triángulo tiene dos lados de igual medida, entonces sus ángulos
opuestos, tienen la misma medida”.
¿Es posible modificar el triángulo inicial de tal manera que los tres lados tenga la misma
medida?
Ayuda: Utiliza el comando medir ángulo dada su amplitud haciendo click,
56
Debe inferir cuanto debe medir los ángulos para que sus lados sean iguales.
4. Sección de ejercicios
1) Complete los espacios en blanco de acuerdo a su experiencia en la construcción del triángulo
con GeoGebra
Un triángulo tiene ____ lados, ___ vértices y ___ ángulos;
2) Abrir la siguiente construcción hecha en GeoGebra; copia el link y descarga el archivo,
recuerda que debes tener instalado GeoGebra en tu equipo.
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=
triángulos+lados++copia.ggb
Ilustración 29 Macro para construir triángulos
57
Asígnale distintos valores a los lados del triángulo y registra que sucede con los valores que da
Tabla 4. Propiedades del triángulo
Lado a Lado b Lado c Ángulo
A
Ángulo
B
Ángulo
C
Existe el
Triángulo
Como se
llama el
triángulo
2 2 2
3 4 5
3 3 4
4 5 7
9 13 17
3) Clasificación de los triángulos según la medida de sus lados.
4) Relacione las dos columnas teniendo en cuenta los conceptos estudiados en clase, sobre la
clasificación de los triángulos de acuerdo a la longitud de sus lados y la medida de los
ángulos
Ilustración 30 Actividad clasificación de triángulos
Fuente tomada de: (Educaplay, 2017)
58
5) Completar el siguiente cuadro
Abrir la siguiente construcción hecha en GeoGebra; copia el link y descarga el archivo, recuerda
que debes tener instalado GeoGebra en tu equipo.
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=
triángulos+lados++copia.ggb
Se buscará que el estudiante explore las posibilidades de la construcción de triángulos, mediante
el macro de Geogebra y complete el siguiente cuadro; escribe SI donde sea posible la
construcción y NO donde, no sea posible la construcción.
Tabla 5 clasificación del triángulo
ACTUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO
ESCALENO
ISÓSCELES
EQUILATERO
5. Formalizando
Construcción de un triángulo equilátero con GeoGebra.
Trace un segmento.
Ilustración 31 Paso 1 Construcción triángulo Equilátero
Trace una circunferencia de radio AB y centro en A y que pase por B
59
Ilustración 32 Paso 2 Construcción triángulo equilátero
Trace una nueva circunferencia con el mismo radio pero con centro en B y que pase por A
Ilustración 33 Paso 3 Construcción triángulo equilátero
60
Determine el punto de intersección de las dos circunferencias, haciendo click en y luego click
en cada una de las circunferencias.
Ilustración 34 Paso 4 Construcción triángulo equilátero
Trace segmentos determinados por los puntos A, C y B, C; haciendo click en el comando de
esta forma queda determinado el triángulo Equilátero.
Ilustración 35 Paso 5 Construcción triángulo equilátero
61
Mida los ángulos para verificar que es un triángulo equilátero, haciendo click en . Mida los
lados para verificar que tienen la misma medida, haciendo click en el comando
Ilustración 36 Paso 6 Construcción triángulo equilátero
Oculte las circunferencias haciendo click en el comando
Ilustración 37 Triángulo equilátero
62
4.4. Actividad 2: Estudio de las propiedades de los triángulos
Los estudiantes avanzarán en la incorporación de hojas de cálculo, mediante el comando de
arrastre generaran datos aleatorios y compararán las diferentes columnas para interpretar y
redescubrir las propiedades del triángulo. Se hará especial énfasis en la categorización de las
condiciones suficientes y necesarias para que un triángulo sea construible o no construible dando
las longitudes de sus lados, la medida de sus ángulos.
1. Preconceptos
Triángulo, Ángulo Adyacente, Ángulo Exterior, Medida de ángulos, Manejo hoja de cálculo,
manejo Excel básico.
2. Objetivos
Redescubrir y verificar las diferentes propiedades de los elementos de un triángulo, apoyados
en el uso de GeoGebra.
3. Desarrollo de la actividad
Utilizando el siguiente Link podemos descargar el siguiente archivo en GeoGebra
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=sumaangul
os+180+(1).ggb
Ilustración 38 Propiedades de los elementos del triángulo
63
En la hoja de cálculo, las celdas A B y C; registran las medidas de los ángulos del triángulo; La
celda D registra la suma de las medidas de los ángulos del triángulo, La Celda E registra la suma
de las medidas de los ángulos γ y β; La Celda F registra la medida del ángulo δ Exterior al
ángulo.
Con el comando arrastre modifique el triángulo y observe como cambias las medidas de los
ángulos. ¿Qué sucede con las medidas registradas en la celda D? ¿Varía? ¿Se mantiene
Constante?
Compare las medidas Registradas en las celdas E y F ¿Qué puedes concluir?
4. Sección de ejercicios
1) Abrir y descargar el siguiente archivo de GeoGebra.
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=
triángulos+lados++copia.ggb
Dar click en vista y habilitar hoja de cálculo
64
Ilustración 39 Incluyendo hoja de cálculo en la macro
Celda A digitar la medida del lado AC
Celda B digitar la medida del lado AB
Celda C digitar la medida del lado BC
Celda D Suma de las medidas de los lados AC +AB
Celda E: Suma de las medidas de los lados AC+BC
2) Utilizando el archivo de GeoGebra, decidir si los siguientes conjuntos de números dados
podrían ser las longitudes de los lados de un triángulo
(4, 5, 7) (4, 5, 17) (6, 13, 17) (9, 13, 17) (7, 7 13)
Puedes probar con otras ternas de números.
3) Teniendo en cuenta el numeral anterior compare cada una de las celdas D y E con las celdas
A, B; y Las Celdas A y C respectivamente.
¿Qué puedes Inferir?
5. Formalizando
Propiedad: Un lado de un triángulo es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.
Utilizando propiedades de los triángulos
A partir del siguiente triángulo responde:
65
De acuerdo a la siguiente gráfica responda las preguntas 1, 2 y 3
Ilustración 40 Ejercicio propiedades del triángulo
1) ¿Cuánto miden los ángulos C y B?
2) ¿Cuál es el lado mayor? _____ ¿por qué? _____________
3) Dados los lados a, b y c de un triángulo responde falso o verdadero a las siguientes
proposiciones:
a+b›c
a<b+c
a›b-c
a=b+c
4) ¿Cuál es la medida del ángulo < DAC?
El triángulo ABC es equilátero y el triángulo ∆BCD es Isósceles rectángulo. ¿Cuánto mide el
ángulo α
Ilustración 41 Ejercicio propiedades del triángulo
66
6. Resolver los siguientes ejercicios
En el triángulo ∆ABC de la figura, los ángulos <ABD, <BCE, <CAE son sus tres ángulos
exteriores. Si <ABD=3x-20⁰, <BCE= 2x-15⁰ y <CAE= x+52⁰; ¿cuánto mide x?
Ilustración 42 Ejercicio suma de ángulos exteriores
El triángulo ∆ABC es rectángulo en B. El ángulo < BAC mide x y el ángulo < BCD mide 5x.
¿Cuánto mide el complemento de x?
Ilustración 43 Ejercicio propiedades de los triángulos
67
El triángulo ABC es isósceles con base AB. Si ángulo α=130⁰, ¿cuánto mide el ángulo ABC?
Ilustración 44 Ejercicio propiedades del triángulo
Propiedad: La suma de las medidas de los ángulos Interiores de todo triángulo es 180 grados
Propiedad: El Valor de un ángulo Exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de
los ángulos interiores no adyacentes.
A continuación se plantean actividades encaminadas al estudio de las rectas notables en un
triángulo y los puntos de intersección de estas rectas; Estudio de las mediatrices y el
Circuncentro, Estudio de las medianas y el Baricentro, estudio de las alturas y el ortocentro,
estudio de las bisectrices y el incentro.
68
4.5. Actividad 3: Estudio de las mediatrices y el circuncentro de un triángulo
Los estudiantes construirán las mediatrices de un triángulo y establecerán el punto intercepto
(circuncentro) con el comando medida de longitud verificaran que el circuncentro a cada vértice
del triángulo son equidistantes es decir guardan la misma longitud, luego construirán la
circunferencia circunscrita del triángulo; con el comando arrastre establecerán si el circuncentro
siempre queda al interior del triángulo independientemente del triángulo (acutángulo,
obtusángulo o rectángulo). Al final de la actividad se deja un vínculo para descargar un archivo
con la herramienta construir mediatrices.
1. Preconceptos
Recta Perpendicular, Punto Medio, Circunferencia
2. Objetivo
Reconoce las mediatrices y el circuncentro de un triángulo.
3. Desarrollo de la actividad
Abrir GeoGebra
Construya un triángulo.
Ilustración 45 Construyendo mediatrices
69
Ubique los puntos medios de los lados del triángulo, haciendo click en y escoja la opción
punto medio.
Ilustración 46 Construyendo mediatrices
Trace rectas perpendiculares a los lados del triángulo que pasen por los puntos medios
Ilustración 47 Trazando mediatrices
70
Señale el punto de intersección de las rectas que acaba de trazar y con click derecho asígnele
grosor y color. Este punto se llama Circuncentro.
Ilustración 48 Punto de intersección Circuncentro
Dibuje un triángulo
Ubique el punto medio de cada lado del triángulo
Click en y modifique el triángulo
Complete cada uno de los siguientes enunciados, apoyándose en la construcción que acaba de
hacer.
Si el Circuncentro queda en el interior se trata de un triángulo _______
Si el Circuncentro queda en el exterior del triángulo se trata de un triángulo _________
Si el Circuncentro queda sobre un lado del triángulo se trata de un triángulo __________
71
La distancia del Circuncentro a los tres vértices es igual, es decir se puede construir una
circunferencia con centro en circuncentro y pase por los vértices.
Ilustración 49 Propiedad de las mediatrices
4. Sección de ejercicios
1) El punto 0 corresponde al circuncentro del triángulo ABC. ¿cuánto mide el ángulo ABO?
Ilustración 50 Ejercicio mediatrices
72
5. Ejercicio de aplicación
Se piensa construir un parque que quede a la misma distancia de 3 casas, las cuales aparecen en la
siguiente figura:
Ilustración 51 Ejercicio mediatrices
73
Indica exactamente donde debe quedar el parque. Utiliza para ello la construcción de las
mediatrices y el circuncentro.
Como refuerzo al estudio de las mediatrices, se deja una nueva herramienta construida GeoGebra,
para facilitar el estudio por parte de los estudiantes.
Copiar y descargar el siguiente archivo que se encuentra en Dropbox,
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=jsmediatriz
triángulo+(1).ggb
Ilustración 52 Macro para trazar mediatrices
74
4.6. Actividad 4: Estudio de las bisectrices e incentro de un triángulo
Los estudiantes construirán las bisectrices de un triángulo y establecerán el punto intercepto
(incentro) con el comando perpendicular establecerán las perpendiculares del incentro a cada lado
del triángulo verificarán que el incentro es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
con el comando arrastre establecerán si el incentro siempre queda al interior del triángulo
independientemente del triángulo (acutángulo, obtusángulo o rectángulo). Al final de la actividad
se deja un vínculo para descargar un archivo con la herramienta construir bisectrices.
1. Preconceptos
Triángulo, bisectriz de un ángulo distancia de un punto a un lado, circunferencia.
2. Objetivos
Realiza construcciones de las bisectrices de un triángulo
Reconoce las bisectrices y el incentro de un triángulo
3. Desarrollo de la actividad
Abrir GeoGebra
Trace un triángulo y determine los vértices y lados del mismo.
Ilustración 53 Construyendo bisectrices
75
Trace la bisectriz de cada ángulo
Haciendo click en el comando click en cada vértice del triángulo, teniendo cuidado que el
vértice del ángulo quede en el centro.
Ilustración 54 Trazando bisectrices
Proceda a trazar las dos bisectrices restantes
Ilustración 55 Trazando bisectrices
76
Con el comando trace punto de intercesión de las bisectrices que llamamos Incentro
Ilustración 56 Incentro: punto donde concurren las bisectrices
Con el comando haga click en las bisectrices
Ilustración 57 Trabajando bisectrices
77
Propiedad de las Bisectrices: La distancia desde el Incentro a cada uno de los lados es la misma.
Trace rectas perpendiculares desde el Incentro a cada uno de los lados del triángulo.
Ilustración 58 Propiedades de las bisectrices
Determine el intercepto de la recta perpendicular y el lado del triángulo, para ello se hace click en
el comando
Ilustración 59 Propiedad de las bisectrices
78
Trace circunferencia haciendo centro en el Incentro y que pase por el punto de intersección de las
perpendiculares con los lados del triángulo, se utiliza el comando .
Ilustración 60 Circunferencia inscrita bisectrices
Se establece los puntos de intersección de la circunferencia con cada uno de los lados del
triángulo, y así de esta manera debe medirse los radios para verificar la propiedad de las
Bisectrices.
Ilustración 61 Verificando bisectrices
79
4. Sección de ejercicios
1) En la figura el punto O corresponde al incentro del triángulo ABC. ¿Cuánto mide el ángulo
BCA?
Ilustración 62 Ejercicio de aplicación bisectrices
5. Formalizando
En el siguiente enlace podrá descargar un archivo en GeoGebra que le facilitara trazar las
bisectrices de cualquier triángulo.
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=bisec
triángulojs.ggt
80
6. Aplicación
Si se desea construir tres casas que estén situadas a igual distancia de un colegio y sobre la
carretera. ¿En qué punto deben ir las casas y donde estaría la escuela? Si las carreteras están
representadas por los siguientes segmentos. Sitúa el punto exacto de las casas y el colegio,
utilizando para ello la construcción de las bisectrices y el incentro.
Ilustración 63 Ejercicio de aplicación bisectrices
81
4.7. Actividad 5: Estudio de las alturas y ortocentro de un triángulo
Los estudiantes construirán las alturas de un triángulo y establecerán el punto donde concurre las
alturas (ortocentro), con el comando arrastre establecerán si el ortocentro siempre queda al
interior del triángulo independientemente del triángulo (acutángulo, obtusángulo o rectángulo).
Al final de la actividad se deja un vínculo para descargar un archivo con la herramienta construir
alturas.
1. Preconceptos
Triángulos, altura
2. Objetivos
Realiza construcciones de las alturas de un triángulo
Reconoce las alturas y el ortocentro de un triángulo
3. Desarrollo de la actividad
Abrir GeoGebra
Trace tres puntos y los segmentos determinados por ellos
Ilustración 64 Construyendo alturas
82
Trace la altura de cada uno de los vértices del triángulo.
Ilustración 65 Trazando alturas
Trace las demás alturas
Ilustración 66 Punto de concurrencia de las alturas
Determine el punto donde concurren, las tres alturas (ortocentro).
83
Ilustración 67 Ubicando el Ortocentro
4. Sección de ejercicios
1) ¿Cuánto mide el ángulo <ABD si 𝐵𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅es una altura del triángulo ∆ABC?
Ilustración 68 Ejercicio de aplicación de alturas
84
2) Con ayuda de GeoGebra construye un triángulo obtusángulo Isósceles, con lados iguales a 5
cm y un ángulo de 120 grados; luego trace las alturas y determine el ortocentro.
3) Con ayuda de GeoGebra construye un triángulo escaleno cuyos lados midan 6 cm, 7 cm y 8
cm; luego trace las alturas y determine el ortocentro.
4) Construye y trace en cada uno de los siguientes triángulos las alturas y determine el
ortocentro, luego establezca si el ortocentro está en el interior o exterior del triángulo,
mediante el comando arrastre, ubique el mouse en un vértice y mueva modificando el
triángulo.
Tabla 6. Características de los puntos concurrentes
Triángulo Agudo Triángulo Obtuso Triángulo Recto
Dibujo
Punto Interior o
Exterior
5) En el siguiente enlace se puede descargar un archivo en GeoGebra que facilitara trazar las
alturas de cualquier triángulo.
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=ALTURA
TRIÁNGULOJ2.ggt
Ilustración 69 Macro para trazar alturas
85
Haciendo click en el comando a partir de cualquier triángulo puedes trazar las alturas, basta
con ir haciendo clic en los tres vértices.
4.8. Actividad 6: Estudio de las medianas y el baricentro de un triángulo
Los estudiantes construirán las medianas de un triángulo y con el comando arrastre establecerán
si el baricentro siempre queda al interior del triángulo independientemente del triángulo
(acutángulo, obtusángulo o rectángulo). Al final de la actividad se deja un vínculo para descargar
un archivo con la herramienta construir medianas.
1. Preconceptos
Triángulo, punto medio de un segmento
2. Objetivos
Construye las medianas de un triángulo y determina el baricentro utilizando GeoGebra
Reconoce las medianas y el baricentro de un triángulo
3. Desarrollo de la actividad:
Abrir GeoGebra
Trace un triángulo determinando sus vértices y sus lados
Ilustración 70 Construyendo medianas
86
Determine el punto medio de cada lado del triángulo
Ilustración 71 Puntos medios del triángulo
Trace los segmentos que determinan los vértices, y el punto medio del lado opuesto
respectivamente.
87
Ilustración 72 Medianas del triángulo
Determine el punto donde concurren las Medianas, se llama Baricentro.
Ilustración 73 Baricentro punto donde concurren las medianas
88
4. Sección de ejercicios
1) Si en tu colegio se está construyendo el comedor y se piensa hacer una mesa en forma
triangular, cuyas medidas serán 4m, 4m y 6m; Indica el punto exacto donde debería ir la base
de la mesa para que esta esté en equilibrio.
2) AF es mediana del triángulo ABC. Si AF tiene la misma medida que FC, ¿Cuánto mide el
ángulo CAB?
Ilustración 74 Ejercicio de aplicación medianas
89
Problema 1.1 Construir un triángulo dadas las longitudes de las tres medianas.
Problema 1.2 Sea ABCD un trapecio, con base AB y CD. Las diagonales AC y BD se cortan en
P, y los lados AD y BC se cortan en Q. Demostrar que PQ corta a las bases en sus puntos medios.
Problema 1.3 sea ABC un triángulo acutángulo. La circunferencia con diámetro BC corta a la
mediana AAˈ, en el punto M. Sea D, el pie de la perpendicular desde M hasta BC. La
perpendicular desde D hasta MB corta a MB y AB respectivamente en E y P, y la perpendicular
desde D hasta MC corta a MC y AC respectivamente en F y Q, Demostrar que PQ es paralela EF.
Problema 1.4 La suma de las medianas es mayor que las tres cuartas partes del perímetro del
triángulo.
5. Aplicación
En el siguiente enlace podrás descargar un archivo en GeoGebra que te facilitara trazar las
medianas de cualquier triángulo.
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=MEDIANAS
TRIÁNGULO.ggt
90
4.9. Actividad 7: Estudio de la recta de Euler
Utilizando la herramienta para construir alturas, mediatrices y medianas, facilitaran la ubicación
de los puntos notables de estas líneas notables, donde los estudiantes con el asombro verificarán
que los puntos ortocentro, baricentro y circuncentro son colineales; es decir se establece la recta
de Euler. Con el comando arrastre establecerán la conjetura si permanece la recta de Euler al
modificar el triángulo.
1. Preconceptos
Alturas de un triángulo, mediatrices de un triángulo, medianas de un triángulo. Manejo de
GeoGebra.
2. Objetivos
Profundizar en el estudio de las relaciones de los puntos de intersección de las líneas de un
triángulo.
3. Desarrollo de la actividad:
Abrir GeoGebra
Trace un triángulo
Ilustración 75 Construyendo recta de Euler
91
Trace dos alturas del triángulo
Ilustración 76 Ubicando punto de corte de alturas
Oculte las alturas
Ilustración 77 Ocultando alturas
Trace las medianas
92
Ilustración 78 Medianas del triángulo
Determine el punto concurrencia de las medianas “Baricentro”
Ilustración 79 Baricentro del triángulo
Ocultar las medianas
93
Ilustración 80 Ocultando medianas
Trace las mediatrices
Ilustración 81 Mediatrices del triángulo
Determine el punto donde concurren las mediatrices (circuncentro)
94
Ilustración 82 Circuncentro del triángulo
Oculte las mediatrices
Ilustración 83 Ocultando mediatrices
¿Los tres puntos serán colineales?
95
Ilustración 84 Recta de Euler
Una vez finalizada la actividad se deja al estudiante un link donde pueden descargar una
construcción hecha por el autor; haciendo clic en vista, protocolo de construcción, allí podrán
hacer retro-alimentación con lo realizado por ellos “estudiantes” comparándolo con el hecho por
parte del profesor.
https://www.dropbox.com/home/ANIMO/construcciones%20geogebra?preview=RECTA+DE+E
ULER.ggb
96
4.10. Actividad 8: Propiedad de las Medianas
Los estudiantes construirán las medianas de un triángulo y establecerán el punto donde concurren
(baricentro) con el comando medida de área establecerá conjetura comparando los seis triángulos
que se forman del baricentro a los vértices. Con el comando arrastre y previamente agregando
una hoja de cálculo generan datos aleatorios para establecer la conjetura establecida.
1. Preconceptos
Medianas de un triángulo, Concepto de área, manejo básico de GeoGebra.
2. Objetivo
Redescubrir el teorema de concurrencia “las áreas de los triángulos que se forman del baricentro
a los vértices del triángulo son iguales” (Rincon Abella, 1994) utilizando GeoGebra.
3. Desarrollo de la actividad
Con ayuda del programa de Geogebra les pediremos a nuestros estudiantes, que midan el área de
los triángulos que se forman al trazar las medianas, y de esta manera que redescubran el teorema
de concurrencia.
Abrir GeoGebra
Construya un triángulo
Ilustración 85 Propiedades de las Medianas
97
Trace las medianas
Ilustración 86 Medianas del triángulo
Ilustración 87 Punto de corte las medianas
98
Se hace click en el comando polígono y click en el Baricentro, vértice C y punto medio F;
repite el mismo proceso para el triángulo OEA. Verificando que tienen la misma área.
Ilustración 88 Triángulos formados por las medianas
Ilustración 89 Midiendo áreas de triángulos
I
99
lustración 90 Comparando áreas de triángulos
Es importante que el estudiante, con el comando arrastre modifique el triángulo inicial,
observando que la conjetura pre-establecida con las áreas de los triángulos se mantiene.
100
4.1.1. ACTIVIDAD DE COMPLETAR
Estimados estudiantes daremos un paseo por los teoremas de concurrencia de las líneas notables de los
triángulos, es importante tener a la mano la herramienta GeoGebra para que vayan construyendo paso a
paso la demostración y de esta manera poder completar los espacios que encuentren para armar la
demostración de cada uno de los teoremas. Sean todos bienvenidos.
Comenzaremos con el siguiente teorema que utilizaremos el resultado para demostrar que las medianas
del triángulo concurren en un punto llamado Baricentro.
Teorema del segmento medio. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es
paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.
Demostración:
Sea el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶.
Sea los puntos D y E puntos medios de los
segmentos AB̅̅ ̅̅ y ____ respectivamente.
Dibujamos el segmento 𝐷𝐸̅̅ ̅̅
Debemos probar que el segmento 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , es
paralelo al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y además que
1
2𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =𝐷𝐸̅̅ ̅̅ .
101
Dibujamos una recta paralela al lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , que
pase por el punto C.
Dibujamos la prolongación del segmento 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ,
que se intersecta con la recta 𝐶𝐹⃡⃗ ⃗⃗ , en el punto ___
Como E, es punto medio del segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
podemos afirmar que AE es congruente con CE.
El ángulo < 𝐷𝐸𝐴 es congruente con el ángulo
_____; ángulos opuestos por el vértice
El ángulo < 𝐸𝐴𝐷 es congruente con el ángulo
______ ángulos alternos internos entre rectas
paralelas 𝐴𝐵 ⃡⃗ ⃗⃗⃗⃗ y 𝐶𝐹⃡⃗ ⃗⃗ , la recta secante 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗.
Por el criterio ALA, los triángulos ∆𝐴𝐸𝐷 y
_____ son congruentes; como los triángulos son
congruentes podemos afirmar que los lados
𝐸𝐷̅̅ ̅̅ ,____ son congruentes.
102
Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos
paralelos y congruentes, entonces es un
paralelogramo. “𝐹𝐶̅̅̅̅ es congruente con el lado
____”, entonces 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ es paralelo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ luego 𝐷𝐸̅̅ ̅̅
es paralelo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Los lados 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ y ____ son congruentes por ser
lados opuestos del paralelogramo BDFC
DE+EF=DF=BC, como 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ y 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ son
congruentes podemos afirmar 2DE= BC, es
decir __1
2𝐵𝐶 = DE
103
4.1.2. LAS TRES MEDIANAS EN UN TRIÁNGULO
Teorema: las tres medianas de un triángulo son concurrentes. El punto de
concurrencia se llama __________ .
Demostración:
Dado el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶
D y F son puntos medios de los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
y _____ respectivamente.
104
Los segmentos 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son medianas del
triángulo ____
Sea G el punto de intersección de los segmentos
____ y 𝐶𝐷.̅̅ ̅̅ ̅
Los triángulos ∆𝐹GD y ___ son semejantes por
el criterio AA :
< 𝐷𝐺𝐹 y ___ son opuestos por el vértice
< 𝐺𝐷𝐹 y ___ son alternos internos entre rectas
paralelas, 𝐷𝐹⃡⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐵𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗, con la secante 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ .
< 𝐺𝐹𝐷 y ____ son alternos internos entre las
rectas paralelas 𝐷𝐹⃡⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐵𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗, y la secante 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ .
105
Recordemos que: si dos triángulos son
semejantes entonces sus lados correspondientes
son proporcionales y sus ángulos
correspondientes son congruentes.
Puesto que ∆𝐹GD y ∆BGC son semejantes
podemos afirmar:
𝐵𝐺
𝐹𝐺 =
𝐺𝐶
𝐺𝐷= 2 .
Así G divide en razón 2:1 a las medianas 𝐵𝐹,̅̅ ̅̅̅ y
____
II PARTE: demostraremos que la mediana 𝐴𝐸,̅̅ ̅̅̅
y la mediana ___ se cortan en un punto H razón
2:1 a partir del vértice.
El punto F es punto medio del segmento ____
El punto E es el punto medio del segmento ___
Dibujamos el segmento 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ ;
𝐹𝐸̅̅ ̅̅ es paralelo a ____ Por teorema del
segmento medio.
106
Los triángulos ∆𝐻𝐹𝐸 y ___ son semejantes por
el criterio A-A-A
El ángulo < 𝐹𝐻𝐸 es congruente con el ángulo
____, por ser ángulos opuestos por el vértice.
El ángulo < 𝐻𝐹𝐸 es congruente con el ángulo
____ por ser ángulos alternos internos entre
rectas paralelas 𝐵𝐴⃡⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐹𝐸⃡⃗⃗⃗ ⃗
El ángulo < 𝐻𝐸𝐹 es congruente con el ángulo
____ por ser ángulos alternos internos entre
rectas paralelas 𝐵𝐴⃡⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐹𝐸⃡⃗⃗⃗ ⃗
De otra parte Por el teorema del segmento
medio. El segmento que une los puntos medios
de los lados de un triángulo es paralelo al tercer
lado y tiene la mitad de su longitud.
1
2𝐴𝐵 = 𝐹𝐸
Teniendo en cuenta las dos anteriores premisas
podemos afirmar:
𝐴𝐵
𝐹𝐸 =
𝐵𝐻
𝐻𝐹=
𝐴𝐻
𝐻𝐸= 2
107
Así H divide en razón 2:1 a las medianas ____
y 𝐴𝐸.̅̅ ̅̅̅
Hemos demostrado que las tres medianas
concurren en un punto, que lo llamamos
________
De la parte I y de la parte II podemos concluir
𝐴𝐵
𝐹𝐸 =
𝐵𝐻
𝐻𝐹=
𝐵𝐺
𝐹𝐺 =
𝐺𝐶
𝐺𝐷= 2 Especialmente :
𝐵𝐻
𝐻𝐹=
𝐵𝐺
𝐹𝐺
Concluimos que el punto G y el punto H son el
mismo punto.
Ahora bien, sólo existe un punto en el interior de
un segmento que lo divide en una razón dada, lo
que implica que G =H
108
4.1.3. LAS MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO
Para demostrar que las mediatrices de un triángulo son concurrentes, primero mostraremos dos
resultados importantes que nos ayudarán para la demostración que las mediatrices de un triángulo
son concurrentes.
Teorema: de la mediatriz.
La mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que
equidistan de los extremos del segmento.
Primera parte: Si el punto D está en la mediatriz de un segmento, entonces D equidista de los
extremos del segmento; es decir 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ Y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ son congruentes.
Sea 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ Un segmento
Ubicamos su punto medio y lo llamamos C
Dibujamos la mediatriz por su punto medio; Sea D un
punto de la mediatriz.
Los ángulos < DCA y < DCB son ángulos ___, por
ser 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗ ⃗ mediatriz del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
Los segmentos 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ Y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ son ___ por ser C punto
medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Los triángulos ___ y ∆𝐷𝐶𝐵; son congruentes por el
criterio de LAL
Entonces los segmentos 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ son ___, es decir
que D equidista de los extremos del segmento.
Se ha demostrado que todo punto de la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos del
segmento.
109
Segunda parte: Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces el punto está en
la mediatriz del segmento 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ son congruentes entonces el punto D pertenece a la
mediatriz
Sea 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ un segmento, y sea D un punto que equidista de los
puntos A y B
Si D pertenece al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ entonces D = C; porque el
segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , solo tiene un punto medio.
Si D no está en el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , entonces tenemos la recta 𝐶𝐷⃡⃗⃗⃗ ⃗.
Por el criterio LLL Los triángulos ∆ 𝐷𝐶𝐴 y ∆ 𝐷𝐶𝐵 son ___ :
𝐷𝐴̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ son congruentes por hipótesis
𝐷𝐶̅̅ ̅̅ lado común para ambos triángulos
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ son congruentes por ser el punto C, punto medio de
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Por lo tanto el ángulo ___ y el ángulo < 𝐷𝐶𝐵 son congruentes
y adyacentes, lado común 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ luego los ángulos son rectos.
Hemos probado que 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ es perpendicular a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , es decir, el
punto D está en la mediatriz del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Se ha demostrado que si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces este punto
pertenece a la mediatriz del segmento.
110
4.1.4. LAS TRES MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO SON CONCURRENTES.
Demostración:
Sea el triángulo ∆ABC.
Determinamos los puntos medios de los lados
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , los llamamos D y E, respectivamente.
Dibujamos las mediatrices de los segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Las mediatrices de los lados 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ se
intersecan en un punto, que llamaremos O.
Como O pertenece a la mediatriz del segmento
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , podemos afirmar que O equidista de los
extremos del segmento, es decir ____= OC.
111
Como O pertenece a la mediatriz del segmento
BC, podemos afirmar que O equidista de los
extremos del segmento, es decir ____ = OC.
De lo anterior podemos afirmar que
OA=OC=OB, luego OA = OB
O equidista del punto A y del punto B, es decir,
O pertenece a la mediatriz del lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
El punto donde concurren las tres mediatrices, se
llama ___ y es el centro de una circunferencia
que pasa por los vértices del triángulo.
112
4.1.5. LAS ALTURAS EN UN TRIÁNGULO
Teorema: las tres alturas de un triángulo son concurrentes. El punto de concurrencia se
conoce como el ortocentro del triángulo.
Demostración:
Sea el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶.
Por el punto A dibujamos la recta 𝑙1 paralela al lado
opuesto 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .
Por el punto B dibujamos la recta 𝑙2 paralela al lado
opuesto 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .
113
Por el punto C dibujamos la recta 𝑙3 paralela al lado
opuesto 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Teniendo en cuenta que dos rectas de las que se acaban de
trazar no son paralelas, estas rectas se intersecan.
La recta __ se interseca con la recta ___ en el punto D.
Las recta __ se intersecta con la recta __ en el punto E
Las recta __ se interseca con la recta__ en el punto F
Con un color subraye las rectas e identifique cada una de
ellas.
Los puntos D, E y F, definen el triángulo _____.
114
Primera parte:
En el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, dibujamos la altura del vértice A al
lado opuesto 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , el punto de intersección de la altura con
el segmento BC, es el punto ___.
La recta 𝑙1 es paralela al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y la recta 𝑙2, es
paralela al segmento ____, por lo tanto el cuadrilátero
________ es un paralelogramo, luego DA=BC.
La recta 𝑙1 es paralela al segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y la recta 𝑙3, es
paralela al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , por lo tanto el cuadrilátero
_____ es un paralelogramo, luego BC =AE.
115
Como DA=BC= AE tenemos que DA = AE, es decir A
equidista de los extremos del segmento ____ .
Como la recta 𝑙1 es paralela al lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y el ángulo
< 𝐴𝐾𝐵 es recto por AK ser altura del triángulo ABC que
pasa por A al lado opuesto BC, se tiene que el ángulo
< 𝐾𝐴𝐸 es recto.
Es decir 𝐴𝐾⃡⃗⃗⃗ ⃗ es perpendicular a 𝐷𝐸̅̅ ̅̅
concluimos
Como A equidista de los extremos del segmento, DE, la
altura 𝐴𝐾⃡⃗⃗⃗ ⃗ es mediatriz del lado 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , del triángulo ∆DEF.
Segunda parte
En el triángulo ∆ABC, dibujamos la altura del vértice C
al lado opuesto 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ; el punto I es el punto común de la
altura y el lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Probaremos que la altura 𝐼𝐶⃡⃗ ⃗ del triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, es la
________ del segmento 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ .
En el paralelogramo, tenemos que los lados FC y BA son
congruentes, “los lados paralelos de un paralelogramo son
congruentes”.
116
En el paralelogramo _____, tenemos que los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y
𝐶𝐸̅̅̅̅ son congruentes; luego FC=AB=CE, concluimos que
FC= EC. Como C equidista de los extremos del segmento
𝐹𝐸̅̅ ̅̅ , C es punto medio; el ángulo < 𝐴𝐼𝐶 es recto por ser
𝐶𝐼⃡⃗ ⃗ la altura del ∆𝐴𝐵𝐶 , como 𝑙3⃡⃗ es paralelo al segmento
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , tenemos que el ángulo < 𝐼𝐶𝐹 es recto, es decir que
la altura 𝐶𝐼⃡⃗ ⃗ es perpendicular al segmento 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ .
concluimos
La altura 𝐶𝐼⃡⃗ ⃗ es mediatriz del lado 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ , del triángulo
∆DEF.
En el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, dibujamos la altura del vértice B al
lado opuesto 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , el punto de intersección de la altura con
el segmento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , es el punto J.
En el paralelogramo _____, tenemos que los lados 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ y
𝐶𝐴̅̅ ̅̅ son congruentes; luego FC=BA=CE, concluimos que
_____= CE.
Como B equidista de los extremos del segmento, DF, la
altura BJ es mediatriz del lado DF, del triángulo ∆DEF.
117
Hemos probado que las alturas del triángulo ∆ABC, son
las mediatrices del triángulo ∆DEF. Como las
mediatrices son concurrentes, este punto resulta ser donde
concurren las alturas y se llama el ______ del triángulo
∆ABC.
118
4.1.6. LAS BISECTRICES EN UN TRIÁNGULO
Teorema: las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes
Para demostrar que las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes, el punto donde
concurren se llama incentro del triángulo; debemos demostrar que el incentro equidista de los
lados del triángulo. Demostraremos que La bisectriz de un ángulo, es el conjunto de todos los
puntos del interior del ángulo que equidistan de los lados del ángulo.
La demostración está dividida en dos partes,
Primera parte: Si P está en el interior del ángulo < 𝐵𝐴𝐶 , y P equidista de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝐶,⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ entonces
P está en la bisectriz del ángulo < 𝐵𝐴𝐶
Demostración:
Sea el ángulo < 𝐵𝐴𝐶
Dibujamos la recta l, ubicamos un punto p.
119
Dibujamos la recta perpendicular del punto P a la
semirrecta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Sea M el punto de intersección de
dicha recta con el rayo 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, recta 𝑃𝑀⃡⃗⃗⃗⃗⃗
Dibujamos la recta perpendicular del punto P a la
recta AC. Sea N el punto de intersección de dicha
recta, con el rayo 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, recta 𝑃𝑁⃡⃗⃗⃗ ⃗.
“Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo
rectángulo son congruentes con la hipotenusa y
un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces
los triángulos son congruentes”.
Tenemos:
Los ángulos ___ y < 𝑁 son ángulos rectos, por
construcción.
MP=NP por hipótesis, “P equidista de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
“.
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ Hipotenusa para ambos triángulos, lado
común.
120
Los triángulos rectángulos ∆𝐴𝑀𝑃 y _____ son
congruentes, luego el ángulo < 𝑃𝐴𝑀 y el ángulo
< 𝑃𝐴𝑁, son congruentes, Luego 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ es bisectriz
del < 𝐵𝐴𝐶.
Demostración de la parte II
Si P está en la bisectriz del ángulo < 𝐵𝐴𝐶, y P diferente A, y P está en el interior del < 𝐵𝐴𝐶
entonces P equidista de 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ y 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
Sea el ángulo < 𝐵𝐴𝐶
Construimos la bisectriz 𝐴𝑃⃡⃗⃗⃗ ⃗ del ángulo
< 𝐵𝐴𝐶
121
Dibujamos rectas perpendiculares que
pasen por el punto P a las semirrectas 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
Sea M el punto sobre 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , tal que 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ es
perpendicular 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.
Sea N el punto sobre 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ , tal que 𝑃𝑁̅̅ ̅̅ es
perpendicular 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
Probemos:
El ángulo < 𝑀𝐴𝑃 y el ángulo < 𝑁𝐴𝑃
son congruentes “ definición de bisectriz”
El lado 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ es común para ambos
triángulos, 𝐴𝑃 ̅̅ ̅̅̅es la hipotenusa de cada
uno de los triángulos, luego
El triángulo ____ y el triángulo ∆𝐴𝑁𝑃
son congruentes.
“Si la hipotenusa y el ángulo agudo de un
triángulo rectángulo son congruentes con
la hipotenusa y el ángulo agudo de otro
triángulo rectángulo, entonces los
triángulos son congruentes”.
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ Hipotenusa común para ambos
triángulos.
< 𝐵𝐴𝑃 congruente con el ángulo < 𝐶𝐴𝑃
Luego el triángulo ∆𝐴𝑀𝑃 y el triángulo
_____ son congruentes
Podemos afirmar en especial que los lados
𝑁𝑃̅̅ ̅̅ y 𝑀𝑃̅̅̅̅̅ son congruentes es decir, el
punto P equidista de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y ____ .
122
4.1.7. Teorema: las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes
Demostración:
Sea el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶
Dibujamos las bisectrices de los ángulos
< 𝐴𝐶𝐵 y______ .
Determinamos el punto común a ambas
bisectrices y lo llamamos ____ .
123
Como D pertenece a la bisectriz del ángulo
< 𝐴𝐶𝐵; D equidista de los lados 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y ____
luego DH = DG
El punto D pertenece a la bisectriz del ángulo
< 𝐴𝐵𝐶 ; el punto D equidista de los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y
____ es decir, DF = DG
De los dos anteriores pasos tenemos :
DH = DG= DF, tenemos DH = DF; es decir
El punto D equidista de los lados AB y AC
luego
El punto D pertenece a la bisectriz del ángulo
______.
124
Como el punto D equidista de los tres lados del
triángulo, podemos afirmar que el punto D es el
centro de una circunferencia inscrita en el
triángulo.
El punto D es el punto donde concurren las
bisectrices de los ángulos internos del triángulo;
recibe el nombre de______ del triángulo.
125
CONCLUSIONES
Se espera que los estudiantes con el uso del software GeoGebra mejoren la comprensión de las
líneas notables del triángulo.
Al utilizar GeoGebra en la enseñanza de la geometría del triángulo, se espera que los estudiantes
se motiven y participen formulando conjeturas y redescubriendo teoremas ya establecidos.
La labor diaria como docentes en el aula, en un contexto escolar donde se evidencian las
dificultades que presentan los estudiantes con el aprendizaje de las matemáticas y la geometría y
donde se suceden diferentes acontecimientos que tienen que ver con el análisis del proceso de
enseñanza y aprendizaje, en este contexto se prioriza potenciar los niveles de razonamiento
innovando la didáctica para lo cual se propone el uso de GeoGebra como herramienta que le
permita al estudiante el razonamiento analítico o grafico o los dos para hacer comparaciones y
concluir a partir de la observación y la experimentación gráfica.
Las actividades propuestas tienen como propósito fundamental que el estudio de la geometría
incluya el análisis de las líneas notables de los triángulos; sus propiedades, clasificaciones, las
medianas, mediatrices alturas, y algunos resultados importantes donde resaltamos la recta de
Euler, el análisis de los anteriores componentes conducirá al estudiante a plantearse diferentes
preguntas: ¿para qué me sirve? ¿Hacia dónde me lleva? ¿Cómo lo aplico? Preguntas, análisis y
respuestas conducirán a potenciar el razonamiento y la inquietud por la búsqueda de nuevo
conocimiento.
126
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