![Page 1: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/1.jpg)
Estudo do Cone
Giovanni Ávila
![Page 2: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/2.jpg)
Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones.
Cone: A Definição!
Considere um círculo C contido num plano
e um ponto V não-pertencente a .
Chama-se cone a reunião de todos os
segmentos que ligam cada ponto de R ao
ponto P.
g
r
h
O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.
Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.
![Page 3: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/3.jpg)
O**
h
90º90º
A Fig. mostra um Cone Oblíquo.
V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz
R
V
g’ g
eixo
![Page 4: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/4.jpg)
Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.
Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.
Eixo = Altura
A altura é sempre perpendicular ao plano.
eix
o
alt
ura
![Page 5: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/5.jpg)
Cone Circular Reto
OO
**
g2) No VOA :
AB
V
ou Cone de Revolução
gg2 2 = h= h22 + R + R22
R
h
1) O eixo é perpendicular ao plano da base.
![Page 6: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/6.jpg)
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados. A
B C
A
B C
![Page 7: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/7.jpg)
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.A
B C
![Page 8: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/8.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 9: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/9.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 10: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/10.jpg)
4
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 11: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/11.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 12: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/12.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 13: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/13.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 14: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/14.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 15: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/15.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 16: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/16.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 17: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/17.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 18: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/18.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 19: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/19.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 20: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/20.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 21: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/21.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 22: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/22.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 23: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/23.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 24: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/24.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 25: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/25.jpg)
A
B C
4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar
um retângulo em torno de um dos seus
lados.
![Page 26: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/26.jpg)
O VBA é a seção meridiana do cone.
SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana
OO** AB
V
g
2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é
eqüilátero, o eqüilátero, o cone é um cone é um
Cone Cone EqüiláteroEqüilátero..
g=2Rg=2R
![Page 27: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/27.jpg)
Planificação do Cone Reto
Rx
h
gClique
![Page 28: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/28.jpg)
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
![Page 29: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/29.jpg)
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
![Page 30: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/30.jpg)
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
![Page 31: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/31.jpg)
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
![Page 32: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/32.jpg)
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
![Page 33: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/33.jpg)
Rx
h
g
Planificação do Cone Reto
![Page 34: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/34.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 35: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/35.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 36: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/36.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 37: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/37.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 38: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/38.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 39: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/39.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 40: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/40.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 41: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/41.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 42: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/42.jpg)
Cone Planificação do Cone Reto :
x
h
g
R
![Page 43: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/43.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 44: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/44.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 45: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/45.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 46: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/46.jpg)
x
h
g
R
Planificação do Cone Reto
![Page 47: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/47.jpg)
x
h
g
R
g
2RR
Angulo
==2R g
Planificação do Cone Reto
![Page 48: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/48.jpg)
Áreas e VolumeÁreas e Volume
3
.hAb33
. 2hrhAb
O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!
LBt AAA
rgrAt 2LBt AAA
2rAb gpAl ).2(
gpAl ).2(glnAl ..
![Page 49: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/49.jpg)
H G
R
H G
R
A secção transversal forma o tronco de cone
Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base.
Seção Transversal
Suas áreas são proporcionais.
2´ ´ ´b l t
b l t
A A Ak
A A A
Seus volumes são proporcionais.
3vk
V
k = Constante de proporcionalidade.
kHh
G
g
Rr
r
hg
Note que o cone menor, acima da secção é semelhante ao cone original, o que significa que suas dimensões são proporcionais.
![Page 50: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/50.jpg)
Semelhança de uma forma mais clara
Altura do tronco (HT)
Altura do cone original (H)
Altura do cone semelhante (h)
Geratriz do Tronco (GT)
Geratriz do cone semelhante (g)
Obviamente G = g + GTOutra conclusão lógica
V = v + VT
![Page 51: Estudo do Cone Giovanni Ávila. Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí? Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones. Cone:](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050720/552fc163497959413d8e9f90/html5/thumbnails/51.jpg)
Tronco de Tronco de ConeCone
Elementos:
R raio da base maiorr raio da base menorhT altura do troncogT geratriz do tronco
R
r
gThT
3
. th