ECOLE ROYALE MILITAIRE
158èm e Promotion Polytechnique
Marie Louise Henin
Année Académique 2007 - 2008
3èm e épreuve
Etude de l'interaction d'une onde de choc avec des.murs en maçonnerie
par le
Sous-lieutenant élève
A urélie Evrard
et le
Sous-lieutenant élève
Véronique Waelkens
Mémoire introduit pour l'obtention du
diplôme du grade d'ingénieur civil
polytechnicien
sous la direction : Mr J. VANTOMME
Professeur
Bruxelles, 2008
Nous tenons à exprimer notre profonde gratitude à notre promoteur, le Professeur J. Vantomme,
pour l'aide qu'il nous a apportée et les encouragements qu'il nous a prodigués tout au long de
ce travail.
Nous remercions Monsieur Dr ir Jean-Marie Ndambi, deuxième lecteur de ce travail, pour sa
disponibilité, sa confiance et ses précieux conseils en particulier en ce qui concerne l'utilisation
du programme Autodyn@.
Nous remercions le Lt ColIMM Goris pour avoir pris le temps de répondre à nos questions.
Nous aimerions également remercier Monsieur Vincent Croquet, chercheur au département de
Construction, pour nous avoir donné certaines explications en ce qui concerne le programme
Autodyn@.
Un grand merci au Kapt Desmet pour ses conseils qui nous ont permis de résoudre des problèmes
rencontrés lors des simulations avec Autodyn@.
Nos remerciements vont également à Monsieur Moradi, directeur de la recherche en ingénierie de
l'Université d'Alabama à Birmingham (USA), qui nous a apporté son aide en dépit d'un emploi
du temps fort chargé.
Enfin, notre gratitude va à nos familles qui nous ont soutenues tout au long de notre travail et
nous ont aidées à mener à terme la rédaction de ce celui-ci.
Bruxelles, le 2 novembre 2008
Aurélie Evrard
Véronique Waelkens
1
Table des matières iv
Table des figures x
Glossaire
0.1.1 ENV 1996-1-1 .
0.2 Symboles utilisés
0.1 Définitions.
xi
Xl
xi
xii
1 Introduction
2.4 Théorie relative aux systèmes dynamiques (Bourgeois (1999))
2.4.2 Système à un degré de liberté .
2.5 Explosions .
2.5.1 Explosion chimique .
2.5.2 Phénoménologie d'une explosion
2 Rappel théorique
2.1 Etude de la maçonnerie
2.1.1 Introduction
2.1.2 Béton
2.1.3 Mortiers
2.1.4 Le mur en maçonnerie
2.2 Etude d'un mur subissant de la flexion
2.2.1 Ligne de poussée
2.2.2 Effet membranaire
2.3 Fonction de résistance ..
1
2
2
2
2
5
7
9
10
13
13
15
15
15
18
18
18
Introduction2.4.1
2.5.3
2.5.4
2.5.5
Choc engendré par l'explosion.
Réflexions des ondes de choc
Equivalence TNT .
20
21
25
3 Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
3.1 Introduction .
3.2 Théorie exposée dans le TM5-1300 (1990)
3.2.1 Hyphothèses .
3.2.2 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée
3.3 Théorie de Smith et al. (1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Fonction de résistance d'un n1ur en maçonnerie non renforcée
3.4 Théorie de Moradi (2008)
3.4.1 Introduction
3.4.2 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée
3.5 Conclusion
27
27
28
28
29
34
34
39
39
39
52
4 Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
4.1 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon le TM5-1300 (1990)
4.1.1 Influence de la hauteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Influence de l'écart entre le mur et le support supérieur
4.1.3 Influence de l'épaisseur. . . . . . . . . . ....
4.1.4 Influence de la résistance à la compression f:n4.2 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon Smith et al. (1994)
4.2.1 Influence de la hauteur.
4.2.2 Influence de l'épaisseur.
4.2.3 Influence de la résistance à la traction
4.3 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon Moradi (2008)
4.3.1 Cas sans effet membranaire
4.3.2 Cas avec effet membranaire
4.4 Comparaison des trois fonctions de résistance
4.5 Conclusion .
5 Simulation avec Autodyn@
5.1 Concepts et définitions .
5.1.1 Introduction
5.1.2 Hydrocodes.
53
53
54
55
56
57
58
58
59
60
61
62
68
75
77
78
78
78
78
ii
5.1.3 Stabilité .
5.1.4 Les solveurs Lagrange et Euler
5.2 Méthodologie .
5.2.1 Modèle à schématiser
5.2.2 Wedge..... ..
5.2.3 Etude de l'onde.
5.2.4 Premier modèle simulé : maillage grossier
5.2.5 Etude paramétrique
5.2.6 Modèle simplifié ..
5.3 Problèmes principaux rencontrés lors de l'utilisation du logiciel Autodyn@
5.4 Conclusion .
81
81
82
82
83
86
90
95
97
117
117
6 Comparaison entre les calculs analytiques et numériques
6.1 La méthode suivie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Fonction de résistance sous sollicitation dynamique .
6.1.2 Résolution du SDOF à l'aide de NONLIN@
6.2 Comparaison des résultats obtenus avec les deux méthodes
6.2.1 Solution du SDOF
6.3 Conclusion ..
118
118
118
119
121
121
125
7 Exemple pratique
7.0.1 Charges sur le mur .
7.0.2 Fonction de résistance sous sollicitation dynamique ..
7.0.3 NONLIN@
7.0.4 Conclusion
126
126
128
130
131
8 Conclusion
8.1
8.2
8.3
8.4
Références . .
Thèses ...
Présentations PowerPoint
Sources internet .
133
136
137
137
137
9 Annexe 1
9.1 Equations d'état (EOS)
9.1.1 Gaz idéaux ...
9.1.2 Poudres, béton et sols
140
140
140
141
iii
9.1.3 Les explosifs .
9.2 Equations constitutives (Strength model)
9.3 Modèle de rupture .
9.3.1 Hydrodynamic Tensile Failure (Pmin)
9.4 Modèle d'érosion . . . . . . . . . . . . ....
10 Annexe 2
11 Annexe 3
11.0.1 Diagrammes obtenus - Modèle grossier pour l'air ....
11.0.2 Coordonnées des jauges pour avoir la pression réfléchie.
12 Annexe 4
12.0.3 TM5-1300 (1990) .
12.0.4 Smith et al. (1994)
12.0.5 Moradi (2008)
143
144
146
146
146
147
157
157
158
160
160
161
164
iv
9
9
9
10
11
14
16
19
20
2.1 Mur en maçonnerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
2.2 Relation contrainte-déformation idéalisée par un bloc de contrainte en compres-
sion rectangulaire (Pauleyet al. (1994)) .
2.3 Déformation et bloc de contrainte équivalent (Pauley et al. (1994))
2.4 Plan de rupture parallèle aux lits de pose (ref: ENV 1996-1-1)
2.5 Addition des diagrammes de compression et de flexion
2.6 Mur sans forces appliquées .
2.7 Mur subissant une pression latérale uniforme - la ligne de poussée est en pointillé
(ref: Drysdale et al. (1994)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Evolution du diagramme de contraintes à différents niveaux de hauteur (ref :
Drysdale et al. (1994)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 Exemple : fonction de résistance d'un mur soumis à une pression uniforme (figure
adaptée d'après la figure 7.6 de Drysdale et al. (1994)) ..
2.10 Système masse-ressort-amortisseur (ref: Bourgeois, 1999)
2.11 Diagramme des pressions (ref: Bourgois (1999))
2.12 Formation des ondes de choc (ref: Bourgois, 1999)
2.13 Pression en fonction de la distance au centre de l'explosion dans le cas d'une
explosion ponctuelle(ref : Bourgois (1999)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
2.14 Transition de la réflexion oblique régulière vers le front de Mach (ref : Bourgois
(1999)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.15 Front de Mach (ref: Bourgois (1999)) 23
2.16 Front de Mach (figure adaptée d'après la figure 3 du torne 2 de Bourgois (1999)) 23
2.17 Céométrie du pied de Mach formée lors d'une explosion en altitude (figure adaptée
d'après la figure 4.37 de Trelat (2006) 24
2.18 Courbe empirique de hauteur Jlô~ en fonction de la distance ~~ (ref: Kinney,
1985) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
v
Table des figures
3.1 Dimensionnement d'un Inur en maçonnerie non renforcée. . . . . . . . . . . . .. 28
3.2 Dimensionnement d'une poutre en maçonnerie non renforcée obtenue en faisnat
la coupe verticale du mur d'une largeur 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
3.3 Mur en maçonnerie non renforcée (figure adaptée d'après la figure 6.9 du TM5-
1300 (1990)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
3.4 Flèche d'un mur en maçonnerie après rotation jusqu'à atteindre un déplacement
latéral ,6,c (figure adaptée d'après la figure 6.9 du TIVI5-1300 (1990)) . . . . . .. 29
3.5 Déplacement au milieu d'un mur en maçonnerie après rotation jusqu'à atteindre
un déplacement latéral ,6,m (qui vaut l'épaissseur) (ref: TM5-1300, 1990) .... 30
3.6 Action des forces de compression (figure adaptée d'après la figure 6.10(a) du
TM5-1300 (1990)) 31
3.7 Comportement structurel d'un mur en maçonnerie non renforcée ayant des sup-
ports rigides (figure adaptée d'après la figure 6.10(b) du TM5-1300 (1990)) 32
3.8 Mécanisme de rupture d'un mur en maçonnerie simplement appuyé (figure adaptée
d'après la figure 11.9 de Smith et al. (1994)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
3.9 Poutre simplement appuyée aux extrémités et soumise à une charge q uniformément
répartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
3.10 Poutre simplement appuyée aux extrémités et soumise à une charge q uniformément
répartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
3.11 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie simplement appuyé aux extrémités
(figure adaptée d'après la figure 11.10 de Smith et al.(1994)) . . . . . . . . . . .. 38
3.12 Notations introduites pour le mur pour la hauteur, la largeur, l'épaisseur et no
minations des faces du Inur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
3.13 La force de compression résultante R est opposée au poids propre W /2 du bloc
supérieur et à la surcharge P (figure adaptée d'après la figure 5.1-2 de Moradi
(2008) . 41
3.14 Evolution de la distribution des contraintes pendant la fissuration d'une section
horizontale du nlur (ref: Paulay and Priestley et al. (1992)) . . . . . . . . . . .. 41
3.15 Déplacement du Inur soumis à une charge uniforme latérale. Cette représentation
permet de calculer l'équilibre des moments (figure adaptée d'après la figure 5.2-1
de Moradi (2008)) 43
3.16 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée (ref: Moradi (2008)) 47
3.17 Mur en flexion entre deux supports rigides (ref: Moradi (2008)) . . . . . . . . .. 48
vi
Table des figures
3.18 Flexion d'un mur placé entre deux supports rigides - Représentation des forces
utilisées pour le calcul de l'équilibre des moments (ref : Moradi (2008)) . . . . .. 49
3.19 Fonction de résistance d'un nllU en maçonnerie non renforcée en considérant l'effet
membranaire (ref: Moradi (2008)) . 51
4.1 Influence de la hauteur sur la fonction de résistance. 54
4.2 Influence de l'espace vide h'-h sur la fonction de résistance. . 55
4.3 Zoom sur l'influence de l'espace vide h'-h ..... . 55
4.4 Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance 56
4.5 Influence de la résistance à la compression sur la fonction de résistance. 57
4.6 Influence de la hauteur sur la fonction de résistance. 59
4.7 Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance 60
4.8 Influence de la résistance à la traction sur la fonction de résistance 61
4.9 Influence de la hauteur sur la fonction de résistance. 62
4.10 Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance 63
4.11 Influence de la surcharge sur la fonction de résistance. . 64
4.12 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (!:n) sur la fonction
de résistance 65
4.13 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie !:n sur la fonction de
résistance - (zoom sur les pressions m aximales ) . . . . . . . . . . 66
4.14 Influence de la rigidité des supports sur la fonction de résistance 67
4.15 Influence de la hauteur sur la fonction de résistance. 68
4.16 Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance 69
4.17 Influence de la surcharge sur la fonction de résistance . 70
4.18 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (!:n) sur la fonction
de résistance 71
4.19 Représentattion d'un bloc creu 73
5.1 Maillage composé de quadrilatères (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics) 84
5.2 wedge de 795 mm de long et la jauge en 690 mm - en vert le TNT et en bleu
l'air (Autodyn-3D vl LIl from Century Dynarnics) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85
5.3 Courbe empirique de hauteur };tJ~ en fonction de la distance ~~ (ref: Kinney,
(1985) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
5.4 Le front de Mach à 2,868 ln. Position des jauges à différentes distances du centre
de l'explosion (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics) . . . . . . . . . . .. 88
vii
Table des figures
5.5 Le diagramme des pressions en fonction du temps à différentes hauteurs à une
distance de 2,868 ln de la charge (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 88
5.6 L'influence du flow out à une distance de 5 m de la charge (Autodyn-3D v11.0
from Century Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
5.7 La diminution de l'influence du flow out due à l'augmentation de la hauteur de
l'espace d'air (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 90
5.8 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.9 Schématisation du problème à considérer (vue du haut) 92
5.10 Modèle 3D comprenant le mur et les vecteurs de vitesse de l'onde de choc en
tenant compte de la symétrie par rapport à l'axe z (Autodyn-3D v11.0 from
Century Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
5.11 Simulation de l'interaction d'une onde de choc sur un mur sans ajout de parois
(Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93
5.12 Maillage pour le nlur et les parois (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 94
5.13 Modèle 3D comprenant l'air, le mur et les parois (Autodyn-3D v11.0 from Century
Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94
5.14 Diagramme de la pression réfléchie en fonction du temps (Autodyn-3D v11.0 from
Century Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
5.15 Pression pour une jauge placée à 0.1 mm du mur (Autodyn-3D v11.0 from Century
Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
5.16 Contrainte O"yy dans le mur avant l'interaction avec l'onde (Autodyn-3D v11.0
from Century Dynamics) . 96
5.17 Maillage du bloc d'air . . 97
5.18 Modèle 3D simplifié comprenant le mur entouré d'une paroi. Les vecteurs de
vitesse sont aussi représentés (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) . . .. 99
5.19 Profils des pressions réfléchies pour les jauges placées à différentes hauteurs au
milieu de la largeur du mur (Autodyn-3D v l Lû from Century Dynanlics). 100
5.20 Zoom sur les pics de pressions (Autodyn-3D v Ll.O from Century Dynamics) 100
5.21 Evolution des pressions réfléchies en fonction du temps (maillage de l'air grossier)
- jauge à une hauteur de 795 nlln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.22 Evolution des déplacements dans le temps (Autodyn-3D v11.0 from Century Dy-
namics) 102
5.23 Evolution des contraintes O"yy dans le temps (Autodyn-3D v11.0 from Century
Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
viii
Table des figures
5.24 Déformation du mur au niveau des jauges 1, 9 et 17 en fonction du temps
(Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 106
5.25 Contraintes dans les jauges 1, 9 et 17 (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics) 107
5.26 Fissuration dans le mortier après 37 ms (Autodyn-3D v11.0 from Century Dyna-
mies) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.27 Evolution des déplacements pour les jauges 1, 8, 9 et 17
5.28 Evolution des contraintes pour les jauges 1, 8, 9 et 17 .
5.29 Evolution des déplacements de la jauge placée à mi-hauteur du mur 1
5.30 Evolution des déplacements de la jauge placée à mi-hauteur du mur 2
5.31 Evolution des déplacements de la jauge placée à mi-hauteur du mur 3
107
109
109
115
116
116
120
120
6.1 Fonction de résistance . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Pression réfléchie sur le mur en fonction du temps
6.3 Méthode établie dans le but de comparer les résultats obtenus analytiquement et
numériquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Mur 1 : le déplacement du milieu du mur, la force du ressort et le code d'écoulement
en fonction du temps 122
6.5 Mur 3 : le déplacement du milieu du mur, la force du ressort et le code d'écoulement
en fonction du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1 Mur en maçonnerie non renforcée sur lequel repose une poutre et une dalle 126
7.2 Dalle .
7.3 Fonction de résistance sans effet membranaire
7.4 Fonction de résistance avec effet membranaire
7.5 Fonction de résistance sans effet membranaire
7.6 Fonction de résistance avec effet membranaire
9.1 Comportement de chargement/ déchargement des matériaux poreux .
9.2 Piecewise-Linear Porous Model
9.3 Compaction Model
9.4 P-alpha EOS
9.5 JWL EOS ..
9.6 Drucker-Prager Linear
9.7 Drucker-Prager Piecewise
9.8 Drucker-Prager Stassi ..
9.9 Hydrodynamic tensile failure model (Pmin = constant)
127
129
129
130
132
141
142
142
143
144
145
145
145
146
ix
Table des figures
1l.1 Contraintes dans le mur au niveau des jauges: 1 (béton), 8(béton) , 9(béton) et
17 (rnortierj ) (Autodyn-3D v l Lû from Century Dynamics) 157
1l.2 Positions dans le lTIlU des jauges 1, 9 et 17 (Autodyn-3D v l Lû from Century
Dynamics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1l.3 Pressions réfléchies au niveau des jauges 43, 53 et 54 (Autodyn-3D vl Lû from
Century Dynamics) 158
1l.4 Contraintes initiales dans le béton (Autodyn-3D vl Lû from Century Dynamica) . 159
x
0.1 Définitions
0.1.1 ENV 1996-1-1
Eléments de maçonnerie éléments préformés en vue de l'utilisation dans les ouvrages de
maçonnerie,
Groupe 1,2a, 2b et 3 pour les éléments de maçonnerie: définition de groupe d'éléments
de maçonnerie, en fonction de la dimension en % et de l'orientation des alvéoles des
éléments en place dans la maçonnerie.
Maçonnerie : assemblage d'éléments de maçonnerie posés selon un appareillage spécifié et
hourdés ensemble par du mortier.
Appareillage : disposition des éléments de maçonnerie selon un aspect régulier pour obtenir
un fonctionnement monolithique.
Résistance caractéristique de la maçonnerie: valeur de résistance correspondant au frac
tile 5% de tous les résultats de mesure de la résistance de la maçonnerie,
Résistance à la compression de la maçonnerie: résistance de la maçonnerie en comptes
sion sans prise en compte des effets de frettage des plateaux de presse, ni de I'élancement
ou de l'excentricité des charges.
Paroi intérieure : partie pleine séparant les trous d'un élément de maçonnerie.
Paroi extérieure : partie pleine située entre un trou et la face externe d'un élément de maçonnerie,
Section brute : aire de la section transversale d'un élément, sans déduction de l'aire des trous,
vides ou retraits.
Mortier : mélange de liants minéraux, de granulats et d'eau, ainsi que si nécessaire d'ajouts et
d'adjuvants.
Coulis : mélange très fluide de ciment, sable et eau destiné au remplissage de vides ou espaces
réduits.
xi
Table des figures
0.2 Symboles utilisés
Notation
a(m)
D(mm)
c
~c(mm)
~l(mm)
~m(mm)
~ (rnm)
~cr (nlln)
~crG (mm)
E(N/m2 )
Em (N / m 2)
En (N/m 2)
Ecu ( -)
Em ( - )
Em ( - )
fm(1YIPa)
f~(l\([Pa)
f~(l\1[Pa)
h(mm)
h1(m)
h2(m)
h(m)
h'(m)
b; [mm]
H(N/mm)
I(m4 )
Signification
Zone de compression
Longueur de la diagonale
Rayon de courbure
Déplacement de la flèche sans résistance
Déplacement élastique maximal de la flèche
Déplacement maximal de la flèche
Déplacement horizontal (Th: Moradi (2008))
Déplacement horizontal juste avant fissuration(Th : Moradi (2008))
Déplacement horizontal (Th: lVIoradi (2008))
Module de Young
Module d'élasticité de la maçonnerie
Module d'élasticité du mortier
Déformation ultime
Déformation du mortier
Déformation du mortier
Résistance en compression du mortier correspondant à la déformation E
Résistance à la rupture en compression de la maçonnerie
Résistance à la rupture en compression du mortier
Hauteur du mur (Th: Moradi (2008))
Hauteur du bloc inférieur (Th: Smith et al. (1994))
Hauteur du bloc supérieur (Th: Smith et al. (1994))
Longueur de la poutre
Hauteur entre le sol et le plafond
Longueur de la poutre
Force horizontale par unité de largeur (Th: Moradi (2008))
Moment d'inertie
Moment d'inertie par millimètre de largeur de la poutre (Th: Smith et al. (1994))
Rigidité élastique de la poutre
Largeur de la poutre
xii
Notation
M(Nm)
l\lImax(Nm)
l\;fu
l\;fz(Nm)
l\;f(Nmm)
lVIu(N)
p(N/m2)
P(N)
q(N/m)
R(N/m)
r(N/m2)
r(N/mm2)
rb
ru (N/mm2)
(}max(N/m2)
(}m(N/m2)
(}yy
t(m)
W(N/m)
Wt(N)
W(N/mm)
y(m)
Z
q>cr
q>crG
rJ
Système SDOF
C
K
lVI
P(t)
t
x(t)
Table des figures
Signification
Moment fléchissant
Moment fléchissant maximal
Moment résistant
Moment fléchissant autour de l'axe z
Moment résistant
Moment résistant à la rupture par millimètre de largeur de mur
Charge uniformément répartie par mètre courant de mur (pression)
Surcharge verticale appliquée sur le mur
Charge uniformément répartie
Résistance par mètre de largeur de mur
Résistance par mètre de largeur de mur
Résistance
Résistance exprimée en pression
Résistance correspondant au moment de rupture
Contrainte maximale du mortier
Résistance à la traction du mortier
Contrainte yy pour l'étude dans (Autodyn@)
Epaisseur du mur ; hauteur de la poutre
Poids du mur par mètre courant de mur
Poids du mur
Poids du mur par unité de largeur (Th: Moradi (2008))
Déplacement latéral du mur (Th : Smith et al.)
Déplacement latéral du mur (Autodyn@)
Courbure de la section centrale du n1.11r juste avant formation de la fissure
Courbure du mur quand la fissure se propage dans la section centrale
Facteur utilisé pour la force membranaire
Coefficient d'amortissement équivalent du système SDOF
Constante équivalente du ressort du système SDOF
Masse équivalente du système SDOF
Intensité de la charge appliquée au système SDOF
Temps
Déplacement (réponse)
xiii
Glossaire
Notation
KJI.;J
u,
KK
Kb
K L
Pb
Explosion
di(m)
do(m)
hJl.;J(m)
HOB(m)
is(kPa - ms)
is-(kPa - ms)
P(kPa)
Po (kPa)
Ps(kPa)
Pso(kPa)
Pso- (kPa)
ta(ms)
to(ms)
to- (ms)
Signification
Facteur de lnasse
Masse du mur
Facteur de constante du ressort
Coefficient de rigidité du mur
Facteur de charge
Sollicitation appliquée au mur
Distance à la projection sur le sol du centre d'explosion
Distance de formation du pied de Mach
Hauteur du pied de Mach
Hauteur de l'explosion
Impulsion spécifique de la phase positive
Impulsion spécifique de la phase négative
Pression absolue
Pression ambiante
Surpression
Pic de surpression
Pic de dépression
'Temps d'arrivée
Durée de la phase positive
Durée de la phase négative
xiv
Dans le monde actuel, la menace d'attaques terroristes par des factions ne peut être ignorée.
Les bâtiments occupés tels que les immeubles de bureaux, les restaurants, sans oublier les ins
tallations militaires, sont les principales cibles des terroristes. De telles attaques causent la
désintégration et la fragmentation des murs, I'éclatement des fenêtres et la propulsion à vitesse
élevée d'objets non fixés. Garantir que les murs extérieurs d'une structure puissent résister au
soufRe de l'explosion et qu'ils ne projettent pas de fragments mortels est important pour la
sécurité des occupants. Le risque grandissant d'attentat doit donc être pris en considération
pour le dimensionnement des structures.
Bien que le béton armé soit généralement l'élément essentiel d'une construction, certains murs
tant intérieurs qu'extérieurs sont toujours en maçonnerie non renforcée. Ceux-ci doivent aussi
résister à l'effet d'une explosion d'un véhicule par exemple. C'est dans ce contexte que des en
treprises demandent à l'Ecole Royale Militaire d'exarniner la résistance de leurs bâtiments.
Cette étude est basée sur l'étude de la résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée sous
l'effet d'une explosion. Le but de ce travail est d'apporter une méthode rapide et à moindre coût
permettant de déterminer la résistance d'une variété de structures. Les tests expérimentaux exi
geant une longue préparation et un certain budget ne sont pas une méthode adaptée pour les
industries souhaitant vérifier la résistance de leurs bâtiments, C'est pourquoi la recherche a été
orientée vers une méthode analytique et numérique.
Le travail a été organisé en cinq chapitres. Le premier chapitre présente quelques rappels
théoriques sur la maçonnerie et les explosions. Le second consiste en une étude sur le développement
analytique de la fonction de résistance. Le troisième est consacré à l'étude paramétrique de la
fonction de résistance. Dans le quatrième chapitre, est présenté le développement d'un modèle
numérique d'un mur en maçonnerie non renforcée sous sollicitation dynamique fait à l'aide
d'Autodyn@ . Le dernier chapitre fournit une discussion sur les résultats obtenus de manière
analytique et numérique ainsi que des recommandations pour la continuation future du travail.
1
Cette partie a pour objectif de rappeler certaines définitions et phénomènes bien connus des
spécialistes pour une meilleure compréhension de notre travail.
2.1 Etude de la maçonnerie
2.1.1 Introduction
~ La maçonnerie est la plus ancienne méthode de construction ~, Oscar Pfeffermann,
La maçonnerie a comme caractéristique de présenter de très bonnes propriétés mécaniques,
comme la robustesse et la durabilité, ainsi que de très bonnes propriétés physiques, comme
l'isolation thermique et l'isolation acoustique. Les éléments de maçonnerie, les briques et le
mortier ont été améliorés au fil du temps et présentent à l'heure actuelle une qualité constante
et fiable. Cette étude se limite à la maçonnerie en béton.
2.1.2 Béton
Dans le livre ~ Technologie du béton ~, le béton est défini comme suit : -e: le béton est en
principe composé de 70 à 80% de granulats (agrégats), 10 à 15% de ciment, 15 à 20% d'eau et
2 à 5 % d'air(en pourcentage du volume). Les granulats adhèrent les uns aux autres au moyen
d'une matrice de ciment comportant des espaces capillaires interstitiels partiellement remplis
d'eau et partiellement remplis d'air. La matrice de ciment ou pierre de ciment est formée par
réaction d'hydratation entre le ciment et l'eau. ~
Il faut savoir que le béton est un matériau dont les caractéristiques dépendent de sa qualité
de fabrication ainsi que des proportions de certains composants. Par exemple, un faible rapport
eau-ciment permet d'obtenir une résistance plus élevée du béton.
La masse volumique du béton normal à l'état humide est de l'ordre de 2400 kgjm3 • Selon
la norme NBN EN 206 - 1 : 2001, le béton léger est caractérisé par une masse volumique
2
2. Rappel théorique
sèche comprise entre 800 et 2000 kg/m3 et le béton lourd quant-à-lui est caractérisé par une
masse volumique sèche supérieure à 2600 kg/m3 . Le béton est caractérisé par une résistance
à la compression variant de 12 N/mm2 à 50 N/mm2 . La résistance moyenne à la traction est
quant-à-elle plus faible et varie entre 1,6 N/mm2 et 4,1 N/mm2 (Vantomme, (2002)).
Types de matériaux
Le paragraphe ci-dessous est tiré du livre Maçonnerie portante (Oscar Pfeffennann et al.(1999)).
Les matériaux de maçonnerie en béton vendus sur le marché belge sont répartis en classe selon
les critères suivants;
1. les matériaux dont ils sont constitués ;
- béton compact d'agrégats durcis (seulement pour des matériaux de grande résistance)
- béton léger selni-ouvert d'agrégats légers en utilisant;
• des agrégats naturels ; bims et laitier concassé
• des agrégats artificiels ; schistes et argiles expansés
2. La forme
- matériaux de maçonnerie pleins, creux et perforés
- briques (petit format) et blocs (grand format)
3. Le domaine d'application
- matériaux pour maçonnerie non apparente pour lesquels aussi bien le béton léger que le
lourd peut être utilisé.
- matériaux de maçonnerie en béton apparents pour maçonnerie extérieure et intérieure
(exclusivement béton léger)
L'assortiment des matériaux de maçonnerie en béton lourd, généralement utilisés comme
matériaux en béton apparents, offre de nombreuses couleurs (blanc, gris, noir, rose, etc,). De
plus, la surface apparente peut présenter différentes textures et structures selon le béton choisi.
Un bloc en béton a une forme rectangulaire et est disposé dans le plan du mur avec la plus
grande dimension (longueur) placée de manière horizontale.
La norme ENV 1996-1-1/DAN
Ce paragraphe présente certaines notions reprises dans le projet de norme constitué du
texte intégral de l'ENV 1996-1-1-Règles générales et règles pour les bâtiments. Règles pour la
maçonnerie ordinaire et pour la maçonnerie armée de l'Eurocode 6 - Calcul et exécution des
structures en maçonnerie (1995) et du Document d'Application National (DAN).
3
2. Rappel théorique
Les éléments de maçonnerie sont répartis en classes, nommées Groupe 1, 2a, 2b et 3. Les
spécifications relatives à ces groupes sont présentées dans le tableau 2.1.
Volume des trous
(% du volume)
1 2a 2b 3
> 25 - 45 pour les > 45 - 55 pour les ::; 70
éléments de terre éléments de terre
cuite cuite
> 25 - 50 pour les > 50 - 60 pour les
éléments en béton éléments en béton
(voir note 1) (voir note 2)
Volume de u'im-
porte quel trou::; 12.5
< 12.5 pour les < 12.5 pour les Limité en fonc
éléments de terre éléments de terre tion de la section
cuite cuite (voir ci-dessous)
(% du volume < 25 pour les < 25 pour les
brute)
Section de n'im-
porte quel trou
éléments en béton éléments en béton
Limité en fonction du volume (voir ci-dessous)
::; 2800 mm2 sauf
pour les éléments
à un seul trou de
section
::; 18000mm2
Epaisseur
mulée (%
cu- ~ 37.5
de
~ 30 ~ 20 pas
spécification
de
la largeur to
tale) (voir note3)
TABLE 2.1 - Tableau reprenant les spécifications relatives aux groupes des éléments de
maçonnerie (ENV 1996-1-1)
Notes
- Les trous peuvent consister en des trous verticaux débouchant à travers les éléments ou en des
empochements ou en des retraits.
- Lorsqu'il existe une expérience nationale fondée sur des essais, qui confirme que la sécurité de
la maçonnerie n'est pas réduite de façon inacceptable par une proportion plus importante du
volume des trous, la limite de 55% (éléments de terre cuite) et 60% (éléments de béton) peut être
dépassée pour les éléments de maçonnerie qui sont utilisés dans le pays ayant cette expérience
4
2. Rappel théorique
nationale.
- L'épaisseur cumulée est l'épaisseur des parois intérieures et extérieures mesurée horizontale
ment à travers l'élément perpendiculaire à la face de parement du mur.
2.1.3 Mortiers
Définition
Le mortier est un mélange homogène d'un liant (exemples: ciment, chaux, divers mélanges de
ces matériaux) avec une proportion variable de granulats et d'eau. Des adjuvants peuvent être
ajoutés pour améliorer ses propriétés.
Le mortier durci est caractérisé par une masse volumique dont l'ordre de grandeur varie entre
1800 et 2200 kg/m3 (ref: Béton Vicat). La résistance à la traction du mortier varie autour de
2 MPa selon sa composition et sa résistance à la compression autour de 15 MPa (ref : Couasnet
(2007)).
Le mortier est utilisé en maçonnerie comme élément de liaison, de scellement ou comme en
duit. Sa principale fonction est de lier les éléments de maçonnerie de façon à ce qu'ils constituent
un seul bloc. Ce bloc de construction solide est appelé la maçonnerie. Le mortier, séparant les
éléments, forme une surface de contact homogène puisqu'il remplit toutes les fentes et les fis
sures. Dans une structure portante, le mortier sert à transmettre les contraintes aux matériaux
de maçonnerie puisqu'il permet une répartition, sur une plus grande surface, de l'effort qui se
transmet de bloc en bloc. Sans mortier, les pressions ne peuvent être transmises que par les
surfaces de contact qui, en raison des irrégularités des surfaces, ne présentent qu'un faible pour
centage de la surface totale du joint. Ainsi, le mortier évolue d'un simple liant entre les matériaux
à un élément structurel.
Un mortier -e: universel» convenant à toutes les situations n'existe pas. Le concepteur doit
adapter les propriétés mécaniques du mortier à celles des matériaux afin d'obtenir une résistance
mécanique idéale de la maçonnerie. Aussi, l'ouvrabilité est une propriété importante. Elle ga
rantit un bon rythme de travail.
Il est intéressant de savoir que les mortiers et les bétons de maçonnerie ne remplissent pas les
mêmes fonctions, malgré qu'ils soient constitués des mêmes matériaux de base (ciment, granulats,
eau). Dans un mur, le mortier unit les éléments (briques, blocs, ...) qui donnent à l'ensemble sa
5
2. Rappel théorique
résistance mécanique, contrairement au béton qui est un élément de la structure en lui-même.
Lui seul confère à I'ensemble sa résistance mécanique conformément aux exigences structurales.
La résistance mécanique est une des caractéristiques importantes pour le mortier tandis que
pour le béton, c'est une qualité primordiale,
Types
1. Mortiers pour maçonnerie ordinaire :
En Belgique, les mortiers utilisés sont les suivants :
- des mortiers de ciment : ils ont une prise rapide et donc ils permettent un rythme de
travail élevé. Leur inconvénient est un manque d'élasticité et de capacité d'adaptation
aux contraintes dans la maçonnerie. Par conséquent, un grand risque de fissuration dans
la maçonnerie existe.
- des mortiers de chaux: ils durcissent plus lentement que les mortiers de ciment donc
ils permettent un rythme de travail moins élevé. La chaux est plus élastique et s'adapte
mieux aux contraintes dans la maçonnerie. Donc, le risque de fissure est moindre.
des mortiers bâtards: ils mélangent chaux et ciment pour combiner les qualités des deux
liants.
En Belgique, les mortiers sont classés selon leur « résistance moyenne» à 28 jours. La
lettre M désigne le mortier. Elle est suivie d'un nombre qui donne la résistance moyenne
en N /mm2 • Les types de mortiers les plus utilisés sont montrés dans le tableau 2.2 (DAN
belge (Document d'Application National)).
Exemple de composition - dosage
Catégorie Résistance moyenne En poids En volume
de mortier après 28 jours (N/mm2 ) Cinlent Chaux gras Sable
1\120 20,0 0400 1 - 3
]\([12 12,0 0300 1 - 4
1\18 8,0 0250 G50 2 - 9
1\115 5,0 0200 G100 1 1 6
1\12.5 2,5 0150 G150 1 2,5 8
TABLE 2.2 - Types de mortier de maçonnerie les plus utilisés
6
2. Rappel théorique
C est le dosage de ciment par m 3 de sable sec et G le dosage de chaux grasse par m 3 de
sable sec.
La nonne prévoit également la possibilité de s'écarter des valeurs de résistance mentionnées
lorsque des essais en laboratoire ont été effectués.
2. Mortiers pour maçonnerie collée:
Les mortiers pour joints minces sont généralement utilisés pour les blocs en béton cellulaire
et en silico-calcaire.
Néanmoins, il existe des mortiers pour joints minces pour blocs de béton. Ces mortiers,
composés d'éléments minéraux, sont conçus pour des joints de 3 à 7 mm. Ils se distinguent
suivant le type de matériau de maçonnerie et sa force d'aspiration: les blocs de béton et
les briques fortement, moyennement ou peu absorbantes.
La résistance élevée à la compression des mortiers pour joints minces (plus de 12, 5N/ mm2 )
influence favorablement la résistance caractéristique de la maçonnerie à la compression.
Utiliser ce mortier offre les avantages suivants:
la force d'adhérence entre le bloc et le mortier augmente
la formation de mousse et de végétaux est limitée
la sensibilité aux efflorescences est moindre
2.1.4 Le mur en maçonnerie
Introduction
Un assemblage en maçonnerie est un élément composé de certains ou de tous les matériaux de
maçonnerie : blocs, mortier, coulis et armature. Dans cette étude, l'assemblage de maçonnerie
(un mur) est composé de blocs et de mortier disposés comme à la figure 2.1.
hauteur
épaisseurlongueur
FIGURE 2.1 - Mur en maçonnerie
7
2. Rappel théorique
Eurocode 6 et DAN belge
Selon l'Eurocode 6, la résistance caractéristique à la compression de la maçonnerie fk est
dépendante de la résistance à la compression du béton fm et du mortier fb. La résistance ca
ractéristique à la compression de la maçonnerie fk peut être calculée en utilisant l'équation
2.1.1 :
f = K +,0.65 jO.25k 'Jb' m (2.1.1 )
dans laquelle fm ne peut être inférieur à la plus petite des deux valeurs 20 Njmm2 ou 2.fb et
où
- si la largeur de la maçonnerie est égale à celle des éléments de la maçonnerie et qu'il n'y a
donc pas de joints verticaux dans la section :
• pour la maçonnerie du groupe 1 : K = 0,60;
• pour la maçonnerie du groupe 2a : K = 0, 55 ;
• pour la maçonnerie du groupe 2b : K = 0, 50 ;
• pour la maçonnerie du groupe 3 : K = 0,40;
- s'il y a des joints verticaux dans la section
• pour la maçonnerie du groupe 1 : K = 0,50;
• pour la maçonnerie du groupe 2a : K = 0,45;
• pour la maçonnerie du groupe 2b : K = 0,40;
Relation contrainte-déformation de la maçonnerie
L'allure générale de la relation contrainte-déformation de la maçonnerie est de la forme in
diquée à la figure 2.2. Cette relation peut, pour les besoins du calcul, être considérée de forme
parabolique, parabolique rectangle ou rectangulaire (Eurocode 6, NBN ENV 1996-1-1 (1995)). La
déformation ultime de la maçonnerie en compression est en général égale à 0,003 et la contrainte
maximale vaut 0, 85f:n (Pauleyet al. (1994)).
La figure 2.3 montre le diagramme des déformations ultimes et le bloc de contraintes equivalent
correspondant pour la maçonnerie.
8
f' ID
0,ssr;
2. Rappel théorique
Distributionrectangulaireidéalisée avec larésistanceéquivalente0,85f'm
déformation
FIGURE 2.2 - Relation contrainte-déformation idéalisée par un bloc de contrainte en compression
rectangulaire (Pauley et al. (1994))
O,003t~i~c :.~
O,85f' ID tl 1 i( ) --'------
a=O,85c
déformation
contrainte
FIGURE 2.3 - Déformation et bloc de contrainte équivalent (Pauley et al. (1994))
2.2 Etude d'un mur subissant de la flexion
Tous les murs en maçonnerie peuvent être sujets à des forces latérales normales à une face.
A cause de ces forces et du fait que le mouvement latéral au niveau des extrémités du mur est
empêché, le mur fléchit. Le plan de rupture suite à une flexion est parallèle aux lits de pose
(figure 2.4). Les charges peuvent être permanentes, comme la pression des terres sur les murs
de soutènement retenant celles-ci, ou peuvent être intermittentes, comme le vent ou une onde
de choc.
FIGURE 2.4 - Plan de rupture parallèle aux lits de pose (ref: ENV 1996-1-1)
9
2. Rappel théorique
Puisque la maçonnerie est fort résistante en compression mais faible en traction, la maçonnerie
non renforcée offre une grande résistance aux charges de compression mais celle-ci est limitée
en ce qui concerne les charges causant des contraintes de traction. Une fois que la résistance à
la traction est atteinte, il y a fissuration. Si la résistance à la compression est atteinte, il y a
écrasement de la maçonnerie. Lorsqu'un mur est mis en flexion, une des faces est allongée et
donc mise en traction tandis que l'autre face subit de la compression puisque la longueur de
cette face se voit diminuée.
Les distributions des contraintes pour une compression simple et pour une flexion sont montrées
à la figure 2.5.
compression <-1__-'
+flexion
=
+
=
FIGURE 2.5 - Addition des diagrammes de compression et de flexion
Comme le montrent les schémas, pour une flexion, il y a compression d'un côté de la face et trac
tion de l'autre (le centre de courbure est dans ce cas-ci à gauche du mur). Pour obtenir l'influence
d'une compression et d'une flexion, il faut additionner les deux distributions de contraintes. Pour
une faible flexion, la distribution prend une forme trapézoïdale comme à la figure 2.5. Ceci si
gnifie que la compression contrecarre la flexion et donc retarde la traction de la face allongée.
Pour une flexion supérieure, la distribution de contraintes est triangulaire, ce qui veut dire que
la compression ne peut plus empêcher la traction de se développer si la flexion s'accentue encore.
Dans ce cas, la force R est appliquée aux ~ de l'épaisseur. La flexion augmentant, la traction
apparaît du côté de la face en flexion et une fissuration se développe (double triangle). Si la
résistance à la traction est négligée, la distribution des contraintes reste triangulaire (simple
triangle) ,
2.2.1 Ligne de poussée
La stabilité d'un mur peut être étudiée en introduisant ce qu'on appelle la ligne de poussée.
Pour comprendre ce qu'est une ligne de poussée, deux exemples sont présentés. Le premier cas
est un mur sur lequel aucune force extérieure n'agit (voir figure 2.6). Seul le poids propre est
10
2. Rappel théorique
/211
1
1
1
R
FIGURE 2.6 - Mur sans forces appliquées
à prendre en compte. Considérons alors l'équilibre de la moitié supérieure du mur. Le poids de
la maçonnerie de ce bloc est appliqué au centre de gravité et exerce une force vers le bas sur la
maçonnerie en-dessous. Cette force est contrecarrée par une force opposée, la réaction R, qui est
fournie par la maçonnerie sous la section étudiée (une section de mur est un plan horizontal de
dimensions 1 et t). Cette force est appelée force de poussée. Pour avoir l'équilibre, R vaut W /2.
Plusieurs sections étant prises sur toute la hauteur, la localisation de la ligne de poussée peut
être obtenue. La ligne de poussée est par définition le lieu géométrique des points d'application
de la force de réaction R.
L'équilibre de la moitié supérieure du mur étant réalisé, la localisation de la ligne de poussée
dans la section centrale peut être calculée.
L'équilibre des moments à partir du centre de la section centrale donne les équations suivantes:
R.e = 1V/2.0 ::::} e = 0 (2.2.1)
avec e l'excentricité de R par rapport au milieu de l'épaisseur.
La ligne de poussée est donc une droite passant par le milieu de l'épaisseur (figure 2.6).
Les contraintes de chaque section peuvent être examinées en termes de localisation de la ligne
de poussée. En effet, la force R est la résultante des contraintes dans une section. Dans le cas
d'un mur sur lequel aucune force extérieure n'agit, la distribution des contraintes de compres
sion est rectangulaire dans chacune d'elles. Deux sections ne subissent pas la même intensité de
contraintes. Pour la section inférieure, la force R est plus grande puisque la masse de mur au
dessus est plus importante.
11
2. Rappel théorique
Le second mur étudié est soumis à une surcharge verticale ainsi qu'à une pression latérale
appliquée uniformément sur toute la hauteur. Le mouvement latéral au niveau du sol et du
plafond est empêché,
Le poids du mur ainsi que la surcharge sont contrecarrés par la réaction verticale R qui vaut
P + TiVj2 (figure 2.7). L'équilibre de la moitié supérieure du mur étant réalisé, la localisation de
la ligne de poussée dans la section centrale peut être calculée.
R.e
e
ph h ph h2'2-2'4ph2 ph2 1- -8R 8 P+ Wj2
(2.2.2)
(2.2.3)
Plusieurs sections étant considérées, la ligne de poussée est déterminée (figure 2.7). Dans ce
cas-ci, l'excentricité de la ligne de poussée varie avec la hauteur. La ligne de poussée est donc
une courbe.
P_-....._--L-_.,.--_ ph/2
p
.-----+---,.<-:0-- ph/2
R = P+'''T/2
p
__'-------,-__-- ph/2
R=P+VV
h/2
FIGURE 2.7 - Mur subissant une pression latérale uniforme - la ligne de poussée est en pointillé
(ref : Drysdale et al. (1994))
A nouveau, il est possible d'établir le diagramme des contraintes dans chaque section à partir de
la localisation de la ligne de poussée (figure 2.8). En partant du sommet du mur, le diagramme
de contraintes passe d'une forme rectangulaire à une forme trapézoïdale et enfin à une forme
triangulaire (figure 2.8).
12
2. Rappel théorique
P 6ph/2
cSp
[w b---..'----;--4--- ph/2
R=P+vV
FIGURE 2.8 - Evolution du diagramme de contraintes à différents niveaux de hauteur (ref :
Drysdale et al. (1994))
2.2.2 Effet membranaire
Lorsqu'un 111ur est construit entre des supports rigides et que le déplacement du milieu du 111lU
augmente, le lllur est bloqué dans sa rotation par ces supports. Cette action induit une force
de compression dans le plan du 111ur qui peut augmenter la capacité du 111ur. Ce mécanisme est
appelé -e: effet membranaire ~(en anglais arching action).
2.3 Fonction de résistance
La fonction de résistance est une courbe qui montre la façon dont la structure réagit à une
pression. Celle-ci représente la pression appliquée sur la structure en fonction de la déformation
de celle-ci.
Le graphique à la figure 2.9 montre la fonction de résistance d'un mur sollicité par une charge
p croissante, uniformément répartie, appliquée sur toute la face du mur. Le mur n'est pas lié au
sol par du mortier. Les mouvements horizontaux des extrémités du mur sont empêchés. Le trait
plein représente la réponse du mur. Le raisonnement ci-dessous est fait en termes de ligne de
poussée (trait non-continu dans le mur).
13
1
1
11
11
1!1
i-I»
! ~ I'1-\,
ir Ifl, Just
norenslon
![
t . ,
T4Ii i bh ! 1 i
1 : 11.: 1
~a---
-li -li--"f -...{--.., ----""'1, .-.... \ ---- \" d -,
\ f
Lateral deflection at mid·heighl
(not to scale)
2. Rappel théorique
FIGURE 2.9 - Exemple : fonction de résistance d'un mur soumis à une pression uniforme (figure
adaptée d'après la figure 7.6 de Drysdale et al. (1994))
Au point a du graphe, aucune charge latérale n'est appliquée sur le mur. Comme expliqué
auparavant, la ligne de poussée est une droite verticale et elle coïncide avec la ligne centrale du
mur. Au point b, la ligne de poussée au niveau de la base du mur est telle que la limite pour
avoir de la traction est atteinte. Au point c, le joint à la base est complètement ouvert puisque
la ligne de poussée est localisée dans cette section sur le coin du mur. Cette ouverture se fait
librement car le mur n'est pas lié au sol et il n'y a donc pas fissuration dans le mur. La ligne
de poussée a, à présent, une allure parabolique et une partie est passée en dehors du mur mais
la résistance à la traction de la maçonnerie permet de contrer suffisamment les contraintes de
traction. Au point d, la résistance du mur n'est plus suffisante et il y a fissuration dans la section
centrale du mur. Pour conserver la stabilité du mur, la ligne de poussée doit se situer au niveau
de la fissure, ce qui peut être résolu en réduisant la charge appliquée sur le mur. Ceci est le cas
pour arriver au point e. Du point e au point f, le mur est de moins en moins résistant puisque
le bras de levier du poids du mur diminue ; par conséquent, le moment stabilisateur diminue
aussi et donc la charge nécessaire pour continuer la déformation diminue. Au point f, le système
devient instable et même sans application de charge, le mur s'écroule.
14
2. Rappel théorique
2.4 Théorie relative aux systèmes dynamiques (Bourgeois (1999»
2.4.1 Introduction
Dimensionner des structures vis à vis des charges de fonctionnement par une approche sta
tique ne suffit pas toujours tant la réponse dynamique peut être différente de la réponse statique.
Suite aux faibles durées de sollicitation, des phénomènes dynamiques (inertie), qui ne peuvent
être négligés, apparaissent. Les analyses dynamiques se révèlent ainsi nécessaires dès que les
effets d'inertie ne sont plus négligeables.
Une analyse dynamique rigoureuse consisterait à calculer en chaque point de la structure
les contraintes et les déformations en fonction du temps. Cependant, comme la menace est
généralement mal définie, une telle précision de calcul n'est pas nécessaire.
En considérant séparément tous les points du mur, il en résulterait un système à une infinité
de degrés de liberté. La méthode des éléments finis pourrait être envisagée pour résoudre ce
problème.
Depuis les années cinquante, des méthodes de calcul approchées ont été développées, dans
lesquelles un nombre limité de degrés de liberté est considéré pour caractériser la structure.
En ce qui concerne les poutres et les plaques, le nombre de degrés de liberté est réduit à un.
La détermination du premier mode de vibration est essentielle pour le dimensionnement d'une
structure subissant des charges dynamiques, Cette manière de procéder est en tout point ana
logue à celle utilisée pour déterminer le comportement dynamique des machines où souvent il
suffit de calculer le mode fondamental de vibration qui est généralement le plus néfaste.
2.4.2 Système à un degré de liberté
Pour introduire l'effet dynamique de la charge, le mur en maçonnerie one-way est remplacé
par un système SDüF équivalent dont la déformation est, à chaque instant, la même que la
déformation maximale du système d'origine. La figure 2.10 représente le remplacement d'une
poutre en un système rnasse-resaort-arnortisseur équivalent.
15
2. Rappel théorique
M
c
Figure 1
FIGURE 2.10 - Système masse-ressort-amortisseur (ref : Bourgeois, 1999)
IV1 masse équivalente du système SDüF
C coefficient d'amortissement équivalent du système SDüF
K constante équivalente du ressort du système SDüF
P(t) intensité de la charge appliquée au système SDüF
x (t) déplacement (réponse)
t tenlps
En cas de vibration forcée, l'équation du mouvement s'écrit:
IV1x(t) + Cx(t) + Kx(t) = P(t) (2.4.1)
où Kx représente la force résistante opposée par le ressort, notée R (fonction dite de résistance).
Dans les problèmes d'explosion, I'amortissement n'est généralement pas pris en considération.
Les principaux arguments sont les suivants (ref :Bourgeois (1999)) :
- le fait de négliger I'amortissement va toujours dans le sens de la sécurité.
I'amortissement propre à la structure n'est jamais important et, de plus, est mal connu.
- I'arnortissement influence peu les diagrammes pour le premier cycle au cours duquel survient
xm ax '
Par conséquent, le coefficient d'amortissemerrt est supposé égal à zéro. L'équation 3.2.1 se réduit
donc à :
IV1x(t) + Kx(t) P(t) (2.4.2)
16
2. Rappel théorique
En tenant compte des relations entre les caractéristiques du mur et du système SDüF, l'équation
3.2.3 peut s'écrire sous la forme suivante:
(2.4.3)
où Kl'vI est le facteur de masse, J\/h la masse du mur, KK le facteur de constante du ressort, Kb
le coefficient de rigidité du mur, K L est le facteur de charge et Pb la sollicitation appliquée au mur.
En divisant les termes de cette équation K L, et en tenant compte que K L = KK et KLl\iI = fi: 'l'équation 3.2.4 devient:
(2.4.4)
Pour résoudre cette équation, il suffit d'y introduire les données suivantes: KLl'vI, Mi; Ki, et Pb
En résolvant l'équation différentielle ci-dessus, il en résulte une fonction représentant la déformation
maximale du mur en fonction du temps.
17
2. Rappel théorique
2.5 Explosions
2.5.1 Explosion chimique
Une explosion chimique est le résultat d'une réaction chimique de décomposition d'une sub
stance appelée explosif ou d'un mélange de substances chimiques qui, prises séparément, ne sont
pas explosives.
Elle peut être subdivisée selon la phase dans laquelle la matière qui explose se trouve. La
phase condensée (liquide, solide ou gel) se distingue de la phase gazeuse.
Les explosions chimiques en phase condensée comme en phase gazeuse peuvent être des
déflagrations ou des détonations.
Une déflagration est un phénomène subsonique. Le transfert de chaleur de la zone de réaction
vers la matière intacte se trouve à la base du mécanisme de propagation.
Par contre, une détonation est un phénomène supersonique. La zone de réaction, précédée
d'un front de choc, se déplace à vitesse constante et est entretenue par l'énergie dégagée.
2.5.2 Phénoménologie d'une explosion
Une explosion libère une grande quantité d'énergie endéans un laps de temps très réduit.
Cette énergie est alors immédiatement diffusée et éventuellement transmise à une structure. Ce
transfert d'énergie se déroule sous trois aspects:
une détente des gaz
un rayonnement thermique
- une fragmentation de l'enveloppe qui entoure la charge
Détente des gaz
La libération violente d'énergie convertit le matériau explosif en un gaz porté à haute pres
sion et à température élevée. Cette détente entraîne la formation d'une onde de choc. Celle-ci,
caractérisée par un accroissement brutal de la pression, se propage radialement à une vitesse
supersonique dans I'atmosphère, Au fur et à mesure que l'onde parcourt son chemin, la vitesse de
propagation diminue, tout comme I'accroissement de pression. Chaque point de l'espace, éloigné
de l'explosion, est caractérisé par un diagramme de pression (figure 2.11) sur lequel est reprise
l'évolution de celle-ci en fonction du temps. L'onde de choc est suivie par un déplacement d'air
appelé souffie, d'abord dans la direction de déplacement de l'onde de choc, et ensuite, vers le
18
2. Rappel théorique
centre d'explosion lorsque survient la phase de succion (phase négative). Le souffle n'est donc
pas le déplacement des produits d'explosion proprement dits.
phase positivep.so
p _ 1 1so 1 1
-----;- 1__."""'-'---'----'"-
1 1J J1 11 1
a
o
o
FIGURE 2.11 - Diagramme des pressions (ref: Bourgois (1999))
Po(kPa)
Pso(kPa)
Pso- (kPa)
ta(ms)
to(ms)
to- (ms)
P(kPa)
Ps(kPa)
is(kPa - ms)
pression ambiante
pic de surpression
pic de dépression
temps d'arrivée
durée de la phase positive
durée de la phase négative
pression absolue
surpression
impulsion spécifique de la phase positive
Jt:a+toPsdt, la surface positive sous la courbe
impulsion spécifique de la phase négative
JLa~:o+to- Psdt, la surface négative au-dessus de la courbe
Rayonnement thermique
Les effets du rayonnement thermique sont généralement peu importants, sauf dans le cas
d'explosions de mélanges gazeux ou d'explosions nucléaires.
Fragmentation de l'enveloppe entourant la charge
Les fragments sont projetés à des vitesses très élevées. Ce facteur peut être prépondérant pour
les projectiles dont l'enveloppe se fragmente (vitesse parfois supérieure à la vitesse de l'onde de
choc). Lors de l'impact, les fragments abandonnent leur énergie cinétique, ce qui peut provoquer
19
2. Rappel théorique
des effets dynamiques aux structures.
2.5.3 Choc engendré par l'explosion
Suite à l'expansion des gaz, une onde de pression prend naissance. Elle devient de plus en plus
abrupte quand la distance qu'elle parcourt augmente. Ce front de discontinuité est appelé le front
de choc. La figure 2.12 illustre la formation des ondes de choc. Chaque composante infiniment
petite s'éloigne du centre d'explosion avec sa vitesse propre qui est fonction des circonstances
locales et est égale à la vitesse locale du son.
Celle-ci est exprimée par la formule suivante :
a (2.5.1)
où R est la constante des gaz parfaits qui vaut 287 J jkgK (ref: Bourgois (1999)), T la température
en K et "t l'exposant isentropique.
Les composantes supérieures de l'onde, étant à température plus élevée, sont donc plus rapides
que les composantes inférieures. Les composantes inférieures vont par conséquent être rattrapées
par les supérieures. Le front de choc devient dès lors de plus en plus marqué alors que la queue
de l'onde l'est de moins en moins, Après un certain temps, une dépression naît à proximité du
centre de l'explosion suite à la surexpansion des gaz provoquée par les forces d'inertie. Ainsi,
une phase positive et une phase négative (pression inférieure à la pression atmosphérique) sont
obtenues (figure 2.13). Les pressions « négatives ~ en valeur absolue ne peuvent naturellement
pas dépasser la pression atmosphérique.
p p
_____________ . .; <. _ ~ -==:L
FIGURE 2.12 - Formation des ondes de choc (ref : Bourgois, 1999)
20
p
2. Rappel théorique
~
---------~d~
FIGURE 2.13 - Pression en fonction de la distance au centre de l'explosion dans le cas d'une
explosion ponctuelle(ref : Bourgois (1999))
2.5.4 Réflexions des ondes de choc
Définitions
L'onde de choc est donc un front de discontinuité qui se déplace à une vitesse supersonique
dans le fluide. Ce front se caractérise par un brusque changement de vitesse, de pression, de
température et de masse spécifique du fluide.
L'onde de choc se réfléchit lorsqu'elle touche un obstacle. Il existe trois sortes de réflexion:
réflexion normale : elle se produit lorsque l'onde est plane et touche une paroi plane et parallèle
au plan de l'onde de choc.
réflexion oblique régulière: elle se déroule lorsque l'onde de choc rencontre une paroi indéformable
sous un certain angle.
- front Y de Mach: ce phénomène apparaît lorsque l'angle d'incidence de l'onde de choc dépasse
une valeur dépendant de la vitesse de celle-ci.
Front de Mach
1. Description
Lorsque l'angle d'incidence de l'onde de choc f3 dépasse une certaine valeur, il n'est plus
possible d'obtenir la réflexion oblique régulière. La figure 2.14 donnent les valeurs ultimes
f3lim qui permettent encore la réflexion régulière. La valeur, notée f3lim' est fonction du
nombre de Mach incident. Les valeurs ultimes de f3Zim qui permettent encore la réflexion
régulière sont données à la figure 2.14. Au delà de JYIi = 1.5 (1\!Ii > 1.5), cet angle linlite
reste sensiblement constant (f3lim ~ 40). Si l'angle incident de l'onde de choc dépasse
l'angle limite, il y a form.ation d'une onde de choc appelée onde de Mach. Elle résulte de
l'interaction de l'onde incidente et de ses réflexions sur le sol. Dans ce cas, quatre domaines
coexistent, chacun avec ses caractéristiques propres, comme montré à la figure 2.15. L'in-
21
2. Rappel théorique
tersection des ondes incidentes, réfléchies et de Mach forme le point triple Y, qui est le
point le plus haut du front de l'onde de Mach. Ce point se déplace vers le haut avec la
progression de l'onde de choc. A la frontière commune des domaines 3 et 4, une surface
de glissement apparaît. Ceci s'explique par le fait que la zone supérieure du domaine 1
subit deux chocs obliques alors que la zone inférieure subit un choc normal ou quasi nor-
mal, ce qui explique que la vitesse du fluide dans la région 3 est différente de celle dans
la région 4. La ligne de glissement sépare les deux régions. Le front de Mach, qui est le
plan frontière entre les domaines 1 et 4, se comporte plus ou moins comme un front de
choc approximativement perpendiculaire au sol dont la pression est uniforme sur toute sa
hauteur. La surpression engendrée à sa partie supérieure peut être jusqu'à 20 % inférieure
à celle observée près de la paroi de l'obstacle.
La formation du front de Mach est due à l'incapacité de I'écoulement quittant le choc
réfléchi à rester parallèle à la paroi de l'obstacle. En fait, le choc réfléchi rattrape progres-
sivement le choc incident.
3.0Ta 39.97°AT l'vi '" cox
REGION OF MACH STEMFORMATION
30D 45" 50" 75°ANGLE OF INCIDENce (Pl
MINIMUM 39.23°/
AT Mx"" 2.48
REGION OF OBLIQUEREFLECTION~g 2.6
:r:(J)
lZWoÜ 2.2~Il.acr::wQ':l
~ 1.8z:co-c:;;:
"x lA~
FIGURE 2.14 - Transition de la réflexion oblique régulière vers le front de Mach (ref: Bourgois
(1999) )
22
~~chi chocincident
2. Rappel théorique
trajectoire du.-"--- pointtriple
® .-..../-~urgfi:semê~~-~::.~-;>y <D
.- @
front de Mach
FIGURE 2.15 - Front de Mach (ref: Bourgois (1999))
2. Action sur la face avant du mur
La face avant du I11ur est soumise à l'instant t = 0, à un front de Mach (figure 2.16), c'est-à
dire une onde de choc plane supposée perpendiculaire au sol. La pression engendrée par ce
choc incident atteint Ï111I11édiateI11ent et en chaque point la valeur de la pression réfléchie
PrO pour ensuite diminuer. L'intensité de cette pression dépend de plusieurs facteurs,
notamment de la masse de la charge, du type d'explosif et de la distance entre l'explosif
et le mur.
u
t:o11f1J11
Il
FIGURE 2.16 - Front de Mach (figure adaptée d'après la figure 3 du torne 2 de Bourgois (1999))
3. Hauteur du pied de Mach: approche de Kinney (1985)
La figure 2.17 illustre le fait que l'onde se réfléchit d'abord sous une onde de réflexion
régulière puis sous une onde de Mach. Au fur et à mesure que l'onde se propage, l'angle
d'incidence f3 entre le choc incident (IS) et le sol augmente, la pression incidente varie et il
y a alors une transition vers la réflexion de Mach (MS). COl11I11e expliqué précédemment, la
figure 2.14 montre qu'il existe en fonction du nombre de Mach de l'onde incidente l\!Ii , un
angle limite f3lim qui caractérise la transition d'un type de réflexion à l'autre. L'évolution
23
2. Rappel théorique
de cet angle peut être représentée par l'équation hyperbolique suivante:
f3lim =
avec (l/Ii > 1)
(2.5.2)
Connaissant un nombre de Mach 1VIi, l'angle d'incidence à la transition peut être déterminé
en utilisant la courbe (figure 2.14) évoquée ci-dessus.
r IS
Lignede \glissement ....
...... 1Ir..... .....1\JIS
FIGURE 2.17 - Géométrie du pied de Mach formée lors d'une explosion en altitude (figure adaptée
d'après la figure 4.37 de Trelat (2006)
Il fut observé empiriquement qu'en mesurant la hauteur du pied de Mach par rapport à la
hauteur d'explosion HüB, en fonction de la distance limite horizontale pour la formation
d'un pied de Mach, une seule courbe (figure 5.3) permet, approximativement, de couvrir
toutes les situations expérimentales.
Cette courbe fut obtenue à l'aide d'observations sur l'explosion de charges sphériques.
//
//
V~
V
----
OA
0.3
0.1
0.01.0 1.5 2.0 di
cç2.5 3.0 3.5
FIGURE 2.18 - Courbe empirique de hauteur JltJ~ en fonction de la distance ~~ (ref: Kinney,
1985)
24
hll;J(m)
HOB(m)
di(m)
do(m)
2. Rappel théorique
hauteur du pied de Mach
hauteur de l'explosion
distance à la projection sur le sol du centre d'explosion
distance de formation du pied de Mach
Algébriquement, elle peut être décrite par l'équation suivante (Trelat (2006)) :
- pour ~~ > 0 :
hl\!I = -0 33155 + 1 00109( di ) _ 1 24835( di )2 + 0 80629( di )3HOB' , do ' do ' do
-0, 26845(:~)4+ 0, 04347(:~)5 - 0, 0024(:~)6
- pour ~~ = 0 :
hll;JHOB = 0
(2.5.3)
(2.5.4)
Connaissant f3Zim et HüB, la distance de formation du pied de Mach do(m) peut être
calculée de la façon suivante :
do = HOB * tan(f3lim) (2.5.5)
Après avoir choisi un di tel que di > do, la hauteur du pied de lVIach hlvI peut être déduite
en utilisant l'abaque de la figure 5.3.
2.5.5 Equivalence TNT
La magnitude d'une explosion est mesurée par l'énergie qu'elle libère. L'unité d'énergie utilisée
est le Joule. Cette méthode s'avère peu pratique pour comparer les explosifs. C'est pourquoi
l'explosif considéré est remplacé par une quantité équivalente de TNT appelée l'équivalent TNT
L'énergie correspondant à 1kg de TNT est égale à 4520kJ. Quelques exemples de conversion
d'explosifs en équivalent TNT sont donnés par le tableau 2.3.
25
2. Rappel théorique
Explosifs kJ/kg Equivalent TNT
TNT (1\'otyl, Toluol, Tolite) 4520 1,00
PETN (Penthrite, Nitropenta) 5800 1,28
TETRYL (CE) 4520 1,00
Acide picrique (Mélinite) 4180 0,93
Hexogène (RDX, Cyclonite) 5360 1,19
AMATOL (80 AN, 20 TNT) 2650 0,59
PENTOLITE(50 PETN 50 TNT) 5110 1,13
HEXOLITE (60 HEX, 40 TNT) 5190 1,15
FULMINATE DE MERCURE 1790 0,40
AZOTURE DE PLOMB 1540 0,34
TABLE 2.3 Exemple de conversion d'explosifs en équivalent TNT (ref: Bourgois (1999))
26
Le but de ce chapitre est de ressembler des théories traitant la résistance d'un mur en
maçonnerie non renforcée et de les étudier. Les fonctions de résistance du TM5-1300 (1990),
de Smith et al.(1994), et de Moradi (2008) seront exposées.
Le présent chapitre reprend tout d'abord les différentes étapes suivies par les auteurs qui per
mettent d'obtenir les équations nécessaires à l'établissement de la fonction de résistance dans les
cas traités. Le but n'étant pas de reprendre simplement les théories, nous nous sommes efforcées
d'expliquer en détailles étapes intermédiaires ainsi que d'établir une interprétation des fonctions
de résistance.
3.1 Introduction
Plusieurs formes de fonctions de résistance d'un nlur en maçonnerie existent selon qu'il soit
renforcé ou pas, selon le type d'appui, le type de chargement (charge concentrée ou répartie) et
surtout selon la face du mur où la charge est appliquée. Il est aussi nécessaire de noter que les
nl1US en maçonnerie non renforcée ont une faible résistance aux charges, charges dues aux ondes
de choc.
Le mur en maçonnerie non renforcée (figure 3.1), situé entre le sol et le plafond, est soumis
à une charge explosive uniformément répartie. Le mouvement horizontal des extrémités du mur
est considéré bloqué. Ceci implique que le mur fléchira sous l'action de la charge uniformément
répartie sur la face avant. Puisque le mur fléchit selon une seule direction, et en supposant que
le coefficient de poisson v vaut zéro, le mur peut être assimilé à des poutres et analysé en tant
que telles (figure 3.2). Supposer que le coefficient de poisson est nul signifie qu'on considère une
série de poutres sans aucune interaction latérale. On dira que l'effet de paroi est négligé.
27
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
Hauteur h
/ Epaisseur t
Largeur L
FIGURE 3.1 - Dirnensionnement d'un mur en maçonnerie non renforcée
Epaisseur du mur tHauteur de la poutre
hHauteur du mur
Longueur de la poutre
Largeur du murl Largeur de la poutre
FIGURE 3.2 - Dimensionnement d'une poutre en maçonnerie non renforcée obtenue en faisnat
la coupe verticale du mur d'une largeur 1
3.2 Théorie exposée dans le TM5-1300 (1990)
La résistance des murs en maçonnerie non renforcée soumis à une charge explosive latérale
est fonction de la flèche du mur, de la résistance en compression du mortier et de la rigidité des
supports.
3.2.1 Hyphothèses
1. La résistance à la rupture en compression f:n ainsi que le module d'élasticité Em des blocs
en maçonnerie sont supposés égaux à ceux du mortier, c'est-à-dire à f~ et En .
Le module d'élasticité des blocs en maçonnerie est défini de la manière suivante:
1
Em = 1000fm (3.2.1)
2. Les supports sont complètement rigides. Le plafond bloque le déplacement vertical du 11llU.
3. La résistance à la rupture en compression du mortier est connue.
4. Un espace vide est censé exister entre le mur et le support supérieur.
5. Le poids propre des blocs est négligé.
28
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
6. Le mur se fissure au centre sous l'action d'une charge appliquée uniformément sur la surface
du mur.
7. La réduction des diagonales D des deux parties du mur est considérée comme une fonction
linéaire du déplacement latéral du point situé au milieu du mur.
3.2.2 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée
Vu la rigidité des deux supports, le mouvement latéral du mur au-dessus et en-dessous est
empêché. Sous l'action de la charge, le mur est supposé se fissurer au centre. Chaque moitié
tourne alors comme un corps rigide jusqu'à ce que le mur prenne la position montrée à la figure
3.4. La rotation pendant laquelle la flèche se déplace d'une distance ~c se fait sans résistance.
(1990) )
maçonnerie après rotation jusqu'à at
teindre un déplacement latéral ~c (figure
adaptée d'après la figure 6.9 du TM5-1300
.&:
·1+
n ~
Flèche d'un mur enFIGURE 3.4
FIGURE 3.3 - Mur en maçonnerie non ren-
forcée (figure adaptée d'après la figure 6.9
du TM5-1300 (1990))
Céométriquement, la longueur de la diagonale D peut être déterminée comme suit :
(3.2.2)
Pour tout mouvement latéral du point rn, les forces compressives auront lieu aux points m et o.
Les forces compressives forment un couple qui produit une résistance à la charge latérale et qui
est déterminée en utilisant la théorie de Mays et al. (1995) et est égale à :
(3.2.3)
où l\lIu est le moment résistant et h la longueur de la poutre.
29
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
Quand la flèche est telle que le point ln se trouve sur la ligne n-o (figure 3.5), le bras de levier
du couple résistant sera réduit à zéro et le mur deviendra instable. Dans cette position, les
diagonales o-m et m-n ont comme valeur:
hlD=
2
où h' est la hauteur entre le sol et le plafond.
La déformation du mortier dans le mur est dans ce cas établie de la manière suivante:
(3.2.4)
Em = (3.2.5)
où Em est la déformation du mortier.
FIGURE 3.5 - Déplacement au milieu d'un mur en maçonnerie après rotation jusqu'à atteindre
un déplacement latéral ..6.m (qui vaut l'épaissseur) (ref: TM5-1300, 1990)
Chaque réduction est supposée se dérouler dans les joints de mortier et donc:
(3.2.6)
où En est le module d'élasticité du mortier et lm la contrainte en compression correspondant à
la déformation E.
Dans la plupart des cas, lm sera plus grand que la résistance à la rupture en compression du
mortier I:n' Il est évident que ce n'est pas possible. Pour les murs d'une hauteur et épaisseur
normales, chaque moitié du mur subit une petite rotation pour obtenir la position montrée à la
figure 3.5. Le TM5-1300 (1990) considère la réduction des diagonales 0 - m et rn - n comme une
fonction linéaire du déplacement latéral du point ln. Cette fonction est établie en considérant
30
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
qu'avec une flèche .6.1 , une contrainte compressive I~ apparaît aux points ln, n et 0, tandis
qu'avec une flèche .6.m = t, la contrainte compressive lm doit être obtenue. .6.1 peut donc être
trouvé de la façon suivante :
ou
t -.6.c 1
.6.1 = E lm + .6.cntm
(3.2.7)
Le moment résistant, causé par une flèche latérale .6.1, est trouvé en supposant des blocs rec
tangulaires de compression qui existent au niveau des supports (les points 0 et n) et au centre
(point m) comme le montre la figure 3.6.
FIGURE 3.6 - Action des forces de compression (figure adaptée d'après la figure 6.10(a) du
TM5-1300 (1990))
Le moment résistant dû aux forces de compression autour du point A (figure 3.6) est donné par
l'équation suivante:
M[Nmm] = lain(t -.6.1 - a) (3.2.8)
où 1 est la largeur du mur, a la zone de compression, I~ la contrainte de compression ultime de
la maçonnerie et (t - .6.1 - a) le bras de levier.
L'équation 3.2.8 doit encore être divisée par la largeur 1 afin d'obtenir le moment résistant par
mètre de largeur de mur présentée dans le TM5-1300(1990). On obtient ainsi l\!Iu à l'équation
3.2.9.
31
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
(3.2.9)
La zone compressive est choisie de telle sorte que le moment lVlu soit maximum, En différenciant
I\!Iu par rapport à a et en égalisant la dérivée à zéro, il en résulte :
(3.2.10)
Le moment-rupture (ultimate moment) et la résistance (figure 3.7) correspondante sont:
(3.2.11)
et
(3.2.12)
Quand la flèche est supérieure à .6.1 , l'expression de la résistance se note comme une fonction
du déplacement horizontal :
2 2 1 2r[N/mm ] = h2 fm(t -.6.) (3.2.13)
Quand la flèche augmente, la résistance diminue jusqu'à ce que r soit égal à zéro et que la flèche
maximale .6.m (figure 3.7) soit atteinte.
FIGURE 3.7 - Comportement structurel d'un mur en maçonnerie non renforcée ayant des sup-
ports rigides (figure adaptée d'après la figure 6.10(b) du TM5-1300 (1990))
Remarque: il est important de noter que la résistance l'est synonyme de pression p.
32
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
Interprétation
La fonction ci-dessus représente donc la résistance du mur lorsqu'il est soumis à une sollicitation
latérale uniforme. Celui-ci est séparé d'un joint vide avec le support supérieur.
Premièrement, les blocs subissent une rotation libre pendant laquelle le milieu du mur se
déplace latéralement d'une distance ~c faisant que le haut du mur atteint le support supérieur.
Cette rotation se fait sans résistance. A ce déplacement latéral du point ln, ~c, correspond un
déplacement vertical des blocs. Deuxièmement, une fois que le bloc supérieur touche le support
du dessus, des forces membranaires apparaissent. Le moment résistant M dû à ces forces s'oppose
à la rotation que les deux parties du l111U' subissent. En ~1, le moment résistant est maximal
et vaut l\lIu ' Finalement, la résistance du mur diminue suite à la réduction du bras de levier.
En ~m, le bras de levier est nul, donc le l11ur devient instable et n'offre plus de résistance aux
déplacements.
33
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
3.3 Théorie de Smith et al. (1994)
Dans la section qui suit, sera traité le cas d'un mur en maçonnerie non renforcée, simplement
appuyé sur le sol, un mur dont le déplacement horizontal du bord supérieur est empêché par un
appui simple. Le mur est sollicité par une charge répartie horizontalement.
3.3.1 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée
Dans le cas traité ci-dessous, la résistance offerte comprend deux composantes :
la résistance due à l'action élastique intervient jusqu'à ce que le mortier se fissure sur la face
mise en tension.
- le moment de restauration dû au poids propre des blocs fournit une opposition à la rotation
que subissent les deux parties du mur quand la fissure s'accentue.
La figure 3.8 montre la section transversale d'un mur en maçonnerie non renforcée dont le
mouvement horizontal des bords supérieur et inférieur est empêché. Rien n'est prévu contre le
mouvement vertical en ce qui concerne le bord supérieur. La rupture se produit le long d'un
joint horizontal à une hauteur h2 au dessus du sol. Le point de contact entre les deux blocs
se trouve à une distance ~ et le système développe un moment de restauration vers le haut
jusqu'au moment où ~ vaut t, l'épaisseur du mur.
FIGURE 3.8 - Mécanisme de rupture d'un mur en maçonnerie simplement appuyé (figure adaptée
d'après la figure 11.9 de Smith et al. (1994))
34
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
L'évolution de la fonction de résistance présente trois phases:
1. La phase avant fissuration
Dans la première phase, Smith et al. (1994) étudie le cas de la poutre élastique modélisée
comme suit (figure 3.9 ) :
q
FIGURE 3.9 - Poutre simplement appuyée aux extrémités et soumise à une charge q uni
formément répartie
La résistance d'une poutre Rb est obtenue en multipliant la flèche ..6. avec le constante de
rigidité de la poutre Ki;
La flèche ..6. (ref: Mays et al. (1995)) est donnée par l'équation suivante:
(3.3.1)
où li, est la longueur de la poutre en [mm], E le module d'élasticité de la poutre de largeur
unitaire en [Nlmm2], Ile moment d'inertie de la poutre de largeur unitaire en [mm4] et q
la charge répartie uniforme en [Nlm].
La constante de rigidité de la poutre peut être tirée de l'équation 3.3.1, puisque la résistance
Rb est synonyme de charge répartie q.
K [NI 2] = 384EIb mm 5h4
s
Ainsi, la fonction de résistance pour cette phase est :
R [NI ] = 384EI..6.b mm 5h4
s
(3.3.2)
(3.3.3)
Il est cependant encore nécessaire de diviser l'équation 3.3.3 par la largeur unitaire l pour
obtenir la fonction de résistance par unité de largeur de mur présentée par Smith et al.
(1994).
[NI 2] = 384EI..6. = 384Elr A
Tb mm 5h4 l 5h4 L..ls s
(3.3.4)
35
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
où rb est la résistance exprimée en pression [N/mm2] et Ir est le moment d'inertie par
millimètre de largeur de la poutre.
2. La phase de rupture: Smith et al. (1994) considère que la fissure s'est propagée sur toute
l'épaisseur du mur.
L'équilibre des moments du bloc supérieur autour du point A (figure 3.8) donne:
(3.3.5)
où hl est la hauteur du bloc supérieur en [mm], West le poids du mur en [N] et t
l'épaisseur du mur en [mm] .
L'équilibre des moments du bloc inférieur autour du point B (figure 3.8) donne:
qh~ _ TiVh2(t - .6.) + TiVh2(t - .6.) = 02 hs 2hs
où h2 est la hauteur du bloc intérieur en [mm]
- Eliminer q des équations 3.3.5 et 3.3.7 donne: ha = 2hl.
Comme hl + h2 = hs et hl = 18• L'équation 3.3.5 devient:
31iV(t - .6.)q = h2
s
(3.3.6)
(3.3.7)
(3.3.8)
Afin d'obtenir la fonction de résistance par millimètre de largeur de mur présentée par
Smith et al. (1994), il faut diviser l'équation 3.3.8 par la largeur 1 du mur.
(3.3.9)
où TiVr est le poids du mur par millimètre courant de 111lU et p la charge uniformément
répartie par millimètre courant de mur, c'est-à-dire la pression exercée sur le mur.
36
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
3. La phase transitoire où la contrainte en traction maximale du mortier est atteinte.
q
""'.l--- X
y
FIGURE 3.10 - Poutre simplement appuyée aux extrémités et soumise à une charge q uni
formément répartie
Le moment fléchissant ]\II [N/mm] d'une poutre de largeur l simplement appuyée aux
extrémités soumise à une charge q uniformément répartie est :
IVI = qx2
_ qhsxz 2 2
Le moment fléchissant maximum M est trouvé en ~s. Ce moment fléchissant maximum est
égal à :qh;
IVImax =-sLa contrainte maximale dans le mortier est donnée par l'équation suivante:
IVIO'max -J'b:..
En remplacant le moment fléchissant j'III par l\!Imax , le moment d'inertie I par 1= lf~ (où
t est la hauteur de la poutre) et le déplacement b:.. par ~, il est possible de déterminer la
contrainte maximale O'max dans les fibres en traction dans la face arrière du mur.
_ (-~)t 3qh;O'max - - lt3 2 4t2l
12
(3.3.10)
avec O'm la résistance à la traction du mortier.
Afin d'obtenir la fonction de résistance par mètre de largeur de mur présentée par Smith
et al. (1994), il faut diviser l'équation 3.3.10 par la largeur l.
Pmax[N/mm2] (3.3.11)
Ainsi la fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée, dans ces conditions, est
représentée à la figure 3.11.
37
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
FIGURE 3.11- Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie simplement appuyé aux extrémités
(figure adaptée d'après la figure 11.10 de Smith et al.(1994))
Interprétation
La fonction ci-dessus représente donc la résistance offerte par le mur lorsqu'il est soumis à une
sollicitation latérale uniforme. Aucun support supérieur n'est présent et le mouvement latéral
des extrémités est empêché. Celle-ci peut être interprétée de la façon suivante:
elle donne la valeur de la pression à appliquer sur la structure pour obtenir un certain déplacement
latéral (phase élastique). Pour avoir une petite déformation, une force est nécessaire. Pour aug
meriter celle-ci, il faut une force plus élevée. Lorsque la résistance à la traction du mortier est
atteinte, il y a fissuration horizontale de la structure à une hauteur ba- De par cette fissuration,
la résistance du mur chute (phase de transition). L'écroulement est toutefois empêché par le
moment restaurateur développé par le poids, comme cela a été étudié dans la phase de rupture.
Vu l'affaiblissement de ce moment restaurateur, la pression nécessaire pour augmenter encore
la déformation ne doit plus être si élevée. Et donc la pression diminue lorsque le déplacement
augmente (phase de rupture).
38
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
3.4 Théorie de Moradi (2008)
3.4.1 Introduction
Une autre approche étudiant le comportement d'un mur soumis à une charge latérale uniforme
a été établie lors d'un rapport paru en 2008. Celui-ci a été rédigé par Mr lVIoradi, directeur de
la recherche en ingénierie de l'Université d'Alabama à Birmingham. Dans le rapport, Moradi
étudie entre autre la fonction de résistance dans deux cas différents : mur en maçonnerie non
renforcée sans effet membranaire et avec effet membranaire.
3.4.2 Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée
Approche
Précédemment, Drysdale et al. (1994) ont démontré que lorsqu'un mur en maçonnerie non
renforcée est placé entre deux supports (sol et plafond) qui vont donc restreindre le mouvement
vertical du mur lors de la flexion de celui-ci, des forces compressives axiales sont induites. Ces
forces de compression peuvent retarder la fissuration, et suivant la fissuration, peuvent produire
une action appelée effet membranaire qui dans beaucoup de cas augmente la capacité du mur par
rapport au cas du mur en flexion pure. Le modèle de rupture peut être très complexe et dépend
du type de supports placés au niveau des bords supérieur et inférieur, ainsi que de l'intensité du
poids propre et des charges verticales supplémentaires (comme par exemple la présence d'étages).
Le phénomène se résume comme suit: au départ, le poids du mur induit une contrainte
uniforme de compression. A cause de la charge latérale uniforme q appliquée sur la face avant
du mur (voir fig 3.12), celui-ci subit une courbure (les extrémités du lnur ne peuvent pas mouvoir
dans le sens horizontal) et des contraintes de traction sur la face arrière apparaissent. Au début,
ces contraintes sont maîtrisées par les contraintes compressives dues au poids du mur et à la
surcharge. lVIais plus l'intensité de la charge augmente, moins les contraintes de compression
ont d'impact sur les contraintes de traction et celles-ci peuvent alors se développer. Dès que les
contraintes de traction dépassent la résistance à la traction de I'élément le plus faible, il y a
fissure. A savoir que la formation de fissures ne constitue pas la rupture du mur, même pour les
murs en maçonnerie non renforcée (Paulay and Priestley (1992)).
39
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
q (Nfm)Faceavant
Facearrière
;(1T (mm)
h (mm)
FIGURE 3.12 - Notations introduites pour le mur pour la hauteur, la largeur, l'épaisseur et
nominations des faces du mur
Pour cette étude, plusieurs éléments sont à prendre en compte :
le mur ne peut pas résister aux contraintes de traction. La résistance à la traction du mortier
est faible et varie autour de 2 MPa. De plus, une mauvaise technique de construction et des
conditions atmosphériques pouvant causer une perte d'eau trop rapide dans le mortier ont une
influence négative sur la résistance de celui-ci. Un bon mortier peut donc voir sa résistance à la
traction diminuée et mal estimée. Vu que des fissures apparaissent dans le mortier lorsque les
contraintes dépassent la résistance en traction de ce dernier, le fait de considérer la résistance
à la traction nulle va dans le sens de la sécurité. L'élément le plus faible dans un mur en
maçonnerie est le mortier.
en considérant qu'aucune contrainte de traction ne peut se développer dans la maçonnerie,
une fois que les contraintes de compression causées par la gravité et la surcharge n'ont plus
l'influence suffisante, les contraintes dans la maçonnerie sont distribuées sous une forme tri-
angulaire (Paulayet al. (1992)).
R est la résultante de cette distribution de contraintes. Lorsque la force latérale augmente, la
fissure dans la maçonnerie se propage, la distribution des contraintes augmente en intensité
mais diminue en longueur, ce qui implique le déplacement de R vers la face en compression
du mur. Ce processus continue jusqu'à obtention d'une distribution de compression en bloc
(rectangulaire) qui est très proche de la face en compression avec comme intensité la résistance
ultime de la maçonnerie in multipliée par un coefficient 0,85. La rupture survient quand R
bouge hors de la ligne d'action du poids propre et de la surcharge.
40
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
h/2
H
H
x
11
1
1-~ ...----
L~
R 11
-liII!4-j-f-";';""--
1
WI21i ~
...LLJ~! ii lü
WI2
q
P+W
FIGURE 3.13 - La force de compression résultante R est opposée au poids propre W /2 du bloc
supérieur et à la surcharge P (figure adaptée d'après la figure 5.1-2 de Moradi (2008)
(141)/2
M t t""'RtJ6 MsRrl3 M-5RtllZ ra2.5Mf!7 M;;; (R/l)(tsll)
h,""2RIJ J:. "" 2R/(tI2) h"" 2R1(r14) =- 4/., J;,=o.8sFm
fPu'SJ~Et 4J""1/dE(tJ2) 1S 4t,1JCi t,1J=41c1E(tl4) ""16fP~ tP=ec/ca) At crflcking b) HaIteraeked c)%Cracked d) UltÎmate
FIGURE 3.14 - Evolution de la distribution des contraintes pendant la fissuration d'une section
horizontale du mur (ref: Paulay and Priestley et al. (1992))
41
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
Mur en maçonnerie non renforcée
Les hypothèses sont les suivantes :
le mur est porteur et subit des actions de flexion dans une direction (one-way) .
si le mur est construit avec des blocs creux, les trous ne sont pas remplis de coulis de ciment.
- le n1ur est non renforcé.
la résistance en traction de la maçonnerie et des joints de mortier est ignorée.
la charge latérale sur le mur est uniforme sur toute la hauteur.
la fissure a lieu au milieu de la hauteur du mur. Le déplacement étudié est le déplacement du
mur où il y a la fissure.
l'effet de paroi n'est pas pris en compte.
- le mur est partiellement fixé aux interfaces supérieure et inférieure: cette hypothèse permet
d'établir des équations où il est possible de faire varier un coefficient, appelé le degré de fixité
d'extrémité. Celui-ci décrit, C0111n1e le nom l'indique, le degré de fixité des supports du mur
et il est exprimé en pourcentage avec comme minimum 0% pour un mur simplement appuyé
aux deux extrémités et comme maximum 100% pour un mur encastré aux deux extrémités. Il
est démontré par la suite que, aussi longtemps que la fixité est en-dessous de 75%, le n10111ent
maximal se produit au milieu du mur.
Selon les sources, les unités des paramètres peuvent varier. Il est possible d'exprimer la fonc
tion de résistance en N/nll11, aussi bien qu'en N/mm2• On parlera respectivement de charge
répartie sur la hauteur du mur ou de pression. Pour le premier cas, les forces sont en N et les
moments en NI11n1 tandis que dans le deuxième cas, les forces sont en N/ I11n1 et les moments en
N, car les calculs sont faits pour une unité de largeur de mur.
Dans la suite du développement analytique, les forces sont en N et les moments en Nl11n1.
h la hauteur [111111]
H force horizontale [N]
W poids du mur [N]
Ll déplacement horizontal [mm]
1\11 n10111ent [Nn1n1]
q charge répartie sur le l11ur (pression multipliée par la largeur) [N/n1111]
I moment d'inertie [mm4]
42
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
La somme des moments autour du point B (figure 3.15) est obtenue de la façon suivante:
(3.4.1)
qh2 lV ~Hh- - - -- - (P+ W)~+P~
2 2 2
Hh- qh2
_ lV~2 2
o
L'équation 3.4.2 donne l'équilibre des moments autour du point 0 pour la partie supérieure du
mur:
o
o
qh2 W h aqh2
--+ -~+H- - --+q~-Rx8 4 2 12
qh2 W qh W h aqh2
-- +-~+ (- + -~)- - - +P~ -Rx8 4 2 2h 2 12
(3.4.2)
p
aqh2/12 Partial fixity
W/2 11
x
aqh2/12 Partial fixity
!W/2 !!i
4 ~ i
!
!1 -"""l!!"PilIII~-q h
P+W
FIGURE 3.15 - Déplacement du mur soumis à une charge uniforme latérale. Cette représentation
permet de calculer l'équilibre des moments (figure adaptée d'après la figure 5.2-1 de Moradi
(2008))
43
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
Cette équation permet de calculer ~ :
~ =Rx
Ir +P
(3 - 2Œ)qh2
12W + 24P(3.4.3)
En faisant l'équilibre de forces verticales, R est défini ci-dessous:
(3.4.4)
R est donc constant selon cet équilibre qui est toujours valable.
Comme dit précédemment, il est possible de démontrer que si Œ est inférieur à 75%, le moment
est supérieur au milieu du mur. Les moments aux extrémités et au milieu sont étudiés pour
différents cas :
Œ = 100% (mur doublement encastré) :
lVIend
lVlmilieu =
h2et le moment total vaut : lVItotal=ll/lend+lVImilieu=~
Œ = 0% (mur simplement appuyé)
lVIend
]I/Imilieu
h 2
et le moment total vaut : lVItotal=~
Œquelconque (mur partiellement encastré aux extrémités) :
lVIend
lVlmilieu
qh2
Œ12qh2
(3 - 2Œ)24
qh 2et le moment total vaut: lVItotal=8
Pour que le moment au milieu soit plus grand que les moments aux extrémités, Œ doit être
inférieur à 75%.
44
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
A partir de la fig 3.14, il peut être démontré que si : y = longueur de la fissure et x = distance
entre R et la ligne centrale, alors :
x
x
t t-y----2 3t+ 2y
6(3.4.5)
En substituant les équations 3.4.4 et 3.4.5 dans l'équation 3.4.3, il en résulte l'équation suivante
dans laquelle le déplacement du Inur (au milieu de la hauteur) est fonction de q :
t Y (3 - 2a)qh2
"6 + "3 - 121iV + 8P
ou en termes de charge répartie :
q = (_~ ! ~) 12W + 24P+ 6 + 3 (3 - 2a)h2
(3.4.6)
(3.4.7)
La pression appliquée sur la structure p [N/ mm2] est la charge répartie appliquée sur une unité
de largeur. Celle-ci se détermine donc de la manière suivante:
_ (_~ ! ~) 12111 + 24P lq - + 6 + 3 (3 - 2a)h2 l
~ = (_~ ! ~) 12W + 24P 1l + 6 + 3 (3 - 2a)h2 l
_ (_~ ! ~) 12W + 24P 1p- + 6 + 3 (3-2a)h2 l (3.4.8)
La flèche élastique du mur avant fissuration est calculée en considérant la théorie d'une poutre
uniformément chargée et à laquelle il est appliqué un moment M; aux deux extrémités. L'équation
3.4.9 est établie dans le cours -e; Constructions soumises à des sollicitations d'explosions (1999)>> du
Professeur Bourgeois :
_ o;qh 2
avec M; - 12'
~élastiquemax5qh4
384EI(3.4.9)
~élastique max (3.4.10)
45
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
Pour trouver qélastique, il suffit d'égaliser les équations 6 et 8 et de poser y = 0 :
t Y (3 - 2a)qh2
6+ 3" - 12W +8P
qmax élastique =
t(3
( 5-4a h4) ( 3-2a h 2)384EcI + 12H!+24P
(3.4.11)
(3.4.12)
Pour étudier la fonction de résistance en termes de pression [N/mm2 ], il suffit de diviser la valeur
de qmax élastique par la valeur de la largeur du mur :
q ~Pmax élastique = l: = l(( 5-4a h4) + ( 3-2a h2))
384EcI 12H!+24P
Les deux équations 3.4.6 et 3.4.10 présentent trois inconnues. De plus,
(3.4.13)
l'équation précédente
ne peut être utilisée que dans le domaine élastique. Il est possible de résoudre ce problème en
étudiant la courbure du mur.
Juste avant la formation de la fissure, la courbure du mur au niveau de la section centrale du
mur est déterminé par l'équation suivante:
<P - (J'crcr - Eet
Il est supposé, en se plaçant du côté de la sécurité, que le déplacement .ô. augmente proportion
nellement à la courbure centrale.
La courbure lorsque la fissure se développe est :
<PcrG
avec
2Rcr(J'cr =--
t
«-o
2RerG(J'erG = ---
t-y
(3.4.14)
(3.4.15)
Dans ce cas-ci, Rer = RcrG, puisque de par l'équation 3.4.4, R est constant. j3 est la valeur du
rapport suivant :
j3<PcrG
<Per
j3.ô.er
(3.4.16)
(3.4.17)
Il est maintenant possible de représenter la fonction de résistance (p = f (.ô.)) en faisant varier
y. Le premier point du graphe est obtenu en utilisant les équations 3.4.10 et 3.4.30. Pour ce
46
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
point, y est nul. Ensuite, en faisant augmenter y, ..6. est calculé à partir de l'équation 3.4.17 et p
est par la suite obtenu en utilisant l'équation 3.4.8. Il est possible d'implémenter ces équations
dans un programme comme Excel ou Maltab en prenant un faible incrément pour y.
0.15
~ 0.125
i 0.1
~ 0.075
oos
oL--'----'--'--_-'---'----'--'--_--'--'-----Jo ro ro ~ ~ ro w ro M ~ ~
Olsplaeemont (mm)
FIGURE 3.16 - Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée (ref: Moradi (2008))
L'interprétation de la fonction de résistance est donnée lors de l'étude du cas suivant exposant
un 111ur en maçonnerie non renforcée avec effet membranaire.
Mur en maçonnerie non renforcée en considérant l'effet membranaire
Cette théorie est basée sur le fait que le mur est placé entre deux supports en contact étroit.
Ceux-ci vont ainsi restreindre le mouvement vers le haut du mur lors de sa mise en flexion et
l'élongation de la face en traction (face arrière) ne peut se faire sans induire une force compressive
(Drysdale et al. 1994). Dans ce cas-ci, la flexion du n1ur est toujours due à une pression latérale
et uniformément appliquée sur toute la hauteur du n11U. Les forces de compression induites dans
le plan du mur résultent du poids propre et de la surcharge du mur mais aussi d'un phénomène
appelé effet membranaire. En augmentant la charge appliquée, des fissures dues à la flexion
apparaissent près des supports et au milieu. Les hypothèses introduites auparavant (sauf celle
concernant la fixité des supports) sont reprises dans cette section.
Con1111e montré à la figure 3.17 où le mur est mis en flexion, la présence des supports provoque
l'apparition des forces membranaires Vu et I'écrasement de la maçonnerie aux extrémités et au
milieu de la hauteur.
COl11n1e dans le paragraphe précédent, les unités des forces sont en [N], les moments en [Nn1111]
et la charge répartie appliquée sur la structure en [N/n1111].
47
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
â _v....::."~+- -..;;:..~'--
FIGURE 3.17 - Mur en flexion entre deux supports rigides (ref: Moradi (2008))
La somme des moments autour du point B (figure 3.18) est obtenue de la façon suivante:
qh2 t - a t - a ~o = H; h--+P(-)+W(---)op 2 2 2 2
qh _ (P W) (t - a TV~ )2 + 2h + 2h
qh (P TV) (t - a _ W ~)2 + + 2h 2h
(3.4.18)
(3.4.19)
L'équation 3.4.20 donne l'équilibre des moments autour du point 0 pour la partie supérieure du
mur :
t - a T/V t - a ~ t - a qh h'" 1\110 = 0 = P(-) +-(- - -) - R(x + - -~) + (-)(-) (3.4.20)c: 2 2 2 2 2 2 4
L'équilibre des forces verticales permet de calculer R :
o WR-P-V;t -op 2
WR = P+vtoP+ 2 (3.4.21)
La force R est en [N]. Contrairement au cas précédent, R n'est pas constant tout au long du
phénomène, Ceci est démontré ci-après.
48
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
W/2
h
N2
H Top
HBottom
11
"'/2
q
p
FIGURE 3.18 - Flexion d'un mur placé entre deux supports rigides - Représentation des forces
utilisées pour le calcul de l'équilibre des moments (ref: Moradi (2008))
49
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
La relation entre les distances x et y est établie avec l'équation 3.4.5.
Pour déterminer vtop , McDoWell et al. (1956) ont proposé d'étudier la déformation dans la
section du mur sollicitée par cette force.
E28h2"
En utilisant la loi de Hooke, il est possible de déterminer la contrainte correspondante :
vtop
4E8 4E 2!::.tEE h= --
h h8ET~
h2
craL8ET~la
h2
r;~
(3.4.22)
(3.4.23)
(3.4.24)
avec ïl = 8E,;pa [N/mm]
Drysdale et al. (1994) introduisent l'égalité suivante: a = 0, 1t
Comme on peut le constater, vtop est fonction du déplacement ~. Comme R dépend de V top,
R n'est pas constant tout au long du phénomène.
L'établissement de q est obtenu en substituant les équations 3.4.21 et 3.4.24 dans l'équation
3.4.20.
8 [ t - a Hf t - a ~ TV t + 2y t - a ]q = - h2 P(-2-) + 2(-2- - 2) - (P + vtop + 2 )(-6- + -2- - ~) (3.4.25)
En tenues de pression p, l'équation 3.4.25 devient:
8 [ t - a TV t - a ~ vV t + 2y t - a Jp = -- P(-) + -(- - -) - (P + vt + -)(-- + - -~) 3.4.26)n» 2 2 2 2 op 2 6 2
Avant que la fissure ne soit initiée (en y = °et x = ~), il est supposé, en se plaçant du côté de
la sécurité, que vtop est nul. ~ devient donc:
q
q
8 [t-a W t-a ~ W t t-a ]-- P-+-(- - -) - (P+-)(- +--~)h2 2 2 2 2 2 6 2
8[W t W]-- ~(- + P) - -(P + -)h2 4 6 2
(P + lf)(~) - P[-p + lV
4
(3.4.27)
50
3. Développement de la fonction de résistance statique - calculs analytiques
De plus, en y 0, le mur subit une courbure élastique et comme dans le cas traité sans effet
membranaire, ~ est obtenu par l'équation 3.4.28 :
(3.4.28)
Egaliser les équations 3.4.27 et 3.4.28 permet de calculer q dans le domaine élastique ainsi que
p, par simple division par la largeur de mur.
q =
p =
(P + lf)(~)
l((382~cI )(P + 11:) + ~2)
(3.4.29)
(3.4.30)
Il est admis comme étant plus sûr de considérer que le déplacement ~ augmente proportionnel
lement avec le rapport de la courbure instantanée sur la courbure élastique. Dans ce cas, il suffit
de reprendre l'équation 3.4.17.
A partir des équations établies, la fonction de résistance représentant la charge répartie sur le
mur en fonction du déplacement ~ peut être établie. Le premier point est déterminé avec les
équations 3.4.27 et 3.4.30, avec y = O. Pour les autres points de la fonction, il faut utiliser
l'équation 3.4.17 pour calculer le déplacement ~ et l'équation 3.4.26 pour déterminer la pression
p.
La figure 3.19 montre la fonction de résistance pour un mur placé entre deux supports rigides
et soumis à une charge uniformément répartie. Le mur est composé de blocs creux.
w ~ W M ~ rn ~ ~ ~
Dlsplacement(mm)
FIGURE 3.19 - Fonction de résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée en considérant
l'effet membranaire (ref: Moradi (2008))
Interprétation
La fonction de résistance établie par Moradi (2008) peut être interprétée de la manière suivante:
le premier point de la courbe est le point où la flexion du mur est telle que la première fissure
apparaît dans la section centrale. De par la propagation de la fissure, la flexion du mur s'accentue
et le déplacement ~ en est la conséquence. Lorsque la résistance à la compression est atteinte
51
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
le TM5-1300, il Y a instabilité lorsque le déplacement du point ln dépasse la ligne verticale entre
n et 0 (figure 2.5) puisque le bras de levier du couple résistant est réduit à zéro.
4.1.1 Influence de la hauteur
L'augmentation de la hauteur h permet une rotation libre plus grande pendant laquelle le
mur ne s'oppose pas à celle-ci. Le point de résistance rnaximale diminue et est atteint après
une plus grande rotation. Un mur élancé est plus facilement mis en flexion, ce qui implique une
résistance maximale moins importante. L'augmentation de la résistance n'est pas proprotionnelle
à la diminution de la hauteur. Par exemple, en divisant la hauteur par deux (3180 -+ 1590), la
résistance augmente d'un facteur 5.
200
TMS-1300)
50 100 150déplacement latéral (mm)
0.2
Fonction de résistance (ref1
0.8
(IjP-I
e 0.6IIIus::(Ij
~ 0.4-ri
1)1
'lllw
FIGURE 4.1 - Influence de la hauteur sur la fonction de résistance
Dt.c(mm) Dt.1 (mm) ru (MPa)
h = 1000mm 1,32 4,26 0,95
h = 1590mm 2,10 9,12 0,36
h = 2180mm 2,89 15,89 0,18
h = 3180mm 4,23 31,75 0,07
TABLE 4.1 - Influence de la hauteur
54
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
4.1.2 Influence de l'écart entre le mur et le support supérieur
Pour une même hauteur du mur h, augmenter l'espace vide (h'-h) donne lieu à une rotation
plus importante sans opposition du mur. La résistance maximale diminue lorsque cet écart
augmente.
20050 100 150déplacement latéral (mm)
0.1
0.05
coIIIe 0.25
Fonction de résistance (ref : TMS-1300)0.4
0.3
0.35
FIGURE 4.2 - Influence de l'espace vide h'-h sur la fonction de résistance
Fonction de résistance (ref TMS-1300)
255 10 15 20déplacement latéral (mm)
o.33 L.- L.-L-..J----l~L._ _'_____, _L._____'
o
0.335
0.37
0.36
0.34
0.365
Qi'§ 0.355
(j)
~ 0.35a:l~!fl
.~ 0.345'(j)>-l
FIGURE 4.3 - ZOOln sur l'influence de l'espace vide h'-h
55
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
.6.c (mm ) .6.1 (mm) ru (MPa)
hl 1590mm ° 6,94 0,3658
hl = 1590, 5mm 1,05 8,04 0,3615
hl = 1591mm 2,10 9,12 0,3571
hl = 1591, 5mm 3,17 10,23 0,3528
TABLE 4.2 - Influence de l'écart entre le mur et le support supérieur
4.1.3 Infl.uence de l'épaisseur
L'augmentation de l'épaisseur t implique une diminution de la rotation libre (sans résistance
du mur). De par le fait que le mur est plus imposant et donc résiste mieux à la flexion qu'il
subit, la résistance maximale est relevée pour un déplacement du point m moindre.
Fonction de ~é5i5tance (~ef : TMS-1300)o.
<1JUs::2 o.01
-.-101
'<1JW
50 100 150 200 250 300déplacement latéral (mm)
FIGURE 4.4 - Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance
56
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
~c (mm) ~1 (mm) ru (MPa)
t = 150mm 4,53 19,47 0,05
t = 190mm 2,87 13,31 0,18
t = 230mm 2,10 9,12 0,36
t = 380mm 1,37 6,19 0,88
TABLE 4.3 - Influence de l'épaisseur
4.1.4 Influence de la résistance à la compression f:n
L'augmentation de la résistance à la compression f~ améliore de façon proportionnelle la
résistance du mur alors que les deux déplacements, ~c et ~1, ne varie pas.
Fonction de résistance (ref : TM5-1300)
0.5
((jPole 0.4
(J)o~ 0.3+J(Il
-ri(Il
'~ 0.2
0.1
50 100 150déplacement latéral (mm)
200
FIGURE 4.5 - Influence de la résistance à la compression sur la fonction de résistance
~c (rnm) ~1 (nlm) ru (MPa)
f~ = 13, 81VIPa 2,10 9,12 0,3571
f~ = 16,5611([Pa 2,10 9,12 0,4286
f~ 20, 71VIPa 2,10 9,12 0,5357
TABLE 4.4 - Influence de la résistance à la compression
57
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
4.2 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon
Smith et al. (1994)
En ce qui concerne l'étude de la fonction de résistance établie par Smith et al. (1994), l'in
fluence de la hauteur ainsi que celles de l'épaisseur et de la résistance à la traction du mortier
sont présentées. La résistance ultime à la traction du mortier (Jt = 21\([Pa pour le modèle de
référence est à prendre en compte pour établir cette fonction de résistance.
Les paramètres étudiés sont les suivants :
- Lls , le déplacement aux 2/3 du mur
- Pmaxl, la pression maximale qu'il est possible d'appliquer sur le mur pour la phase avant
fissuration
- Pmax2, la pression maximale qu'il est possible d'appliquer sur le Inllr pour la phase de rupture
Quelles que soient les dimensions de la face avant du mur et de la résistance à la traction du
mortier, la valeur maximale du déplacement latéral est égale à la valeur de l'épaisseur.
4.2.1 Influence de la hauteur
Plus la hauteur h augmente, plus le déplacement Lls augmente et plus les pressions Pmaxl
et Pmax2 diminuent. L'augmentation de ces deux pressions est double lorsque la hauteur est
diminuée d'un facteur 2. Etant plus élancé, le mur offre moins de résistance. L'influence est
similaire au cas vu dans le TM5-1300 en ce qui concerne la pression maximale.
58
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
Fonction de résistance (ref Smith et al.)
0.0
o.
o.
Q)
~ 0.011l+)(Ii
·ri(Ii
'Q)
,.. 0.0
0.0
6
-h 1000 nunU .Ub r-: ..... •.............. .•....... - mm
5r- '"
mm--h 3180 nun
0.05 i· .... ...
4 0.04 .......... ...
0.031 :
3
Il0.02
•••
....... ....
--~>~.~.~~~-.i->
20.01 . .. .
+-~~.~,............
/ ..----~/.-~
1 0,»>:
o 5 1.5 2 2 5 3.5
0200 20 40 60 80 100 120 140 160 180
déplacement latéral (nun)
FIGURE 4.6 - Influence de la hauteur sur la fonction de résistance
.lls(nnn) Pmaxl(Mpa) Pmax2(JVIPa)
h = 1000 mm 0,09 0,0545 0,0026
h = 1590 mm 0,40 0,0379 0,0016
h = 21S0 mm 1,03 0,0276 0,0012
h = 31S0 mm 3,21 0,0190 O,OOOS
TABLE 4.5 - Influence de la hauteur
4.2.2 Influence de l'épaisseur
Plus l'épaisseur t augmente, plus le déplacement .lls diminue et plus les pressions augmentent.
La variation de l'épaisseur influence Pmaxl et Pmax2 de la mène manière,
59
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
Fonction de résistance (ref Smith et al.)0.09
0.08
0.07
0.06
0.03
0.02
0.01
-o•O~ - mm
! mmo 18
,! t 290 mm,.....
o 17
iln
10.U~/ ...
~../
10 )4~'
10 )3/./
:..
i/10 ,~ ! /
: //1 1.> //
'0 n t,c ///'
!~~~~~_--r::=-=-==='1\0.5
:
""""1 "'"
50 100 150 200déplacement latéral (mm)
250 300
FIGURE 4.7 - Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance
~s(nll11) Pmaxl(Mpa) Pmax2 (]\IIPa)
t = 90 mm 0,84 0,0085 0,0004
t 140 mm 0,54 0,0205 0,0009
t = 190 111111 0,40 0,0379 0,0016
t = 290 mm 0,26 0,0876 0,0037
TABLE 4.6 - Influence de l'épaisseur
4.2.3 Influence de la résistance à la traction
Le déplacement ~s et la pression Pmaxl augmentent proportionnellement avec la résistance
en traction O"t. Contrairement aux cas précédents, les deux pressions ne sont pas influencées de
la même manière puisque dans le cas où la résistance en traction O"t augmente, Pmaxl augmente
tandis que Pmax2 diminue faiblement. Ceci est dû au fait que la résistance en traction O"t intervient
principalement en limitant la phase élastique de la fonction de résistance.
60
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
Fonction de résistance (ref : smith et al.)
20018016014080 100 120déplacement latéral (mm)
604020
6ft 2
1
006
ft 3 MPa5
/o )5
4i
o ;,
0,03 _.ii
3
10,02 i2
la IIi
I/i1
00
'-L.... ...
0.5
0 r .....i j .... i j
o.
o.
o.
o.
O!
~ 0.0tlJ+Jtfl
..-1tfl'illS--J
0.0
FIGURE 4.8 - Influence de la résistance à la traction sur la fonction de résistance
~s(nl1n) Pmaxl(Mpa) Pmax2 (lVIPa)
(Jt = 2MPa 0,40 0,0379 0,001614
(Jt = 2, 5MPa 0,50 0,0474 0,001613
(Jt = 3MPa 0,60 0,0569 0,001612
TABLE 4.7 - Influence de la résistance en traction
4.3 Analyse paramétrique de la fonction de résistance selon Mo-
radi (2008)
Pour l'étude paramétrique de la fonction de résistance établie par Moradi, une première étude
est faite sans considérer l'effet membranaire, Par après, l'effet membranaire sera pris en compte.
Le nlur de référence a les mêmes dimensions que celles choisies dans les deux cas précédents.
Deux autres caractéristiques sont à prendre en compte pour établir cette fonction de résistance:
- résistance ultime à la compression de la maçonnerie f:n = 13,81\11Pa;
la surcharge P = °Njlnln (force par unité de largeur de mur)
61
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
4.3.1 Cas sans effet membranaire
L'influence de la hauteur ainsi que celles de l'épaisseur, de la surcharge, de la résistance à la
compression de la maçonnerie et de la rigidité des supports sont présentées.
Les paramètres étudiés par la suite sont :
- .6.1111 , le déplacement correspondant à la pression maximale
- Pmax, la pression maximale qu'il est possible d'appliquer sur le mur
.6.m ax , le déplacement maximal au milieu du nlur
Influence de la hauteur
La pression maximale diminue avec la hauteur. Le déplacement maximale est quant-à-lui peu
influencé. Il est limité généralement à une valeur proche de la demi-épaisseur du mur.
Fonction de résistance sans arching (ref Moradi)
100807040déplacement latéral (mm)
FIGURE 4.9 - Influence de la hauteur sur la fonction de résistance
62
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
LlJYf(nlm) Pmax(MPa) Llmax(mnl )
h = 1000 mm 0,985 0,00166 94,8
h = 1590 mm 1,569 0,00103 94,6
h = 2180 mm 2,156 0,00073 94,36
h = 3180 mm 3,121 0,00049 93,86
TABLE 4.8 - Influence de la hauteur
Influence de l'épaisseur
Quand l'épaisseur t augmente, la pression maximale qu'il est possible d'appliquer augmente.
Le déplacement maximale augmente également avec l'épaisseur et est généralement égal à plus
ou moins la moitié de celle-ci.
Fonction de résistance sans arching (ref : Moradi)
0.5 f- ."...~,,_ ,."h"' .
10050°0L.----------===----'-------=""'---------""-...l..-----------"----'
déplacement latéral (mm)
FIGURE 4.10 Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance
63
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
.ôJvJ(mm) Pmax(MPa) .ôm ax (mn1)
t = 90 111111 1,24 0,00022 44,6
t = 140 111m 1,415 0,00055 69,6
t = 190 mm 1,569 0,00103 94,6
t = 290 111m 1,797 0,00242 144,6
TABLE 4.9 - Influence de l'épaisseur
Influence de la surcharge
Considérer une surcharge P agissant sur la face supérieure du 111ur permet d'augmenter la
résistance du mur. De plus, la déformation pour atteindre cette résistance maximale est plus
importante. Une surcharge de 10 N/111n1 appliquée sur la face supérieure du 111ur de référence
correspond à une force de 1900 N. Ceci est une charge possible si on considère par exemple une
dalle en béton qui repose en partie sur le mur.
Fonction de résistance sans arching (ref Moradi)
5 1- ,., .: .. , , ;- ; o.•...,......•....... , " •••• ,;, •....••.. , , ;..•..•.••••••••.... ;
q;-'"ë 41-··· ·····,··,················,··;····· ..,· .. ·· .. ·····, ;., , , ; , ; , ; ,.,.;
30 40 50déplacement latéral (mm)
70 100
FIGURE 4.11 - Influence de la surcharge sur la fonction de résistance
64
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
~JvI(lnm) Pmax(MPa) ~max(nlnl)
P = 0 JVIPa 1,57 0,00103 94,6
P = 5 MPa 2,10 0,00241 94,38
P 10 MPa 2,45 0,00377 94,22
P = 20 MPa 2,92 0,00644 93,97
TABLE 4.10 - Influence de la surcharge
Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n)
L'augmentation de la résistance à la compression de la maçonnerie est un autre moyen pour
augmenter la résistance du mur. Néanmoins, multiplier la résistance à la compression de la
maçonnerie par 1,2 ou 1,5, a peu d'influence sur le Pmax et le ~max'
Fonction de résistance sans arching (ref : Moradi)
-;00<
é(])g 0.61-··················;····· .. ············,·········· .. · ; ;."'-.;. , ; : : , ;<1J-I-l(/1
•.-j
(/1,(])w
0.4
o.21-················;················· .. ;········· ..····· , , ; ; : "."' ; ;- :
10 20 30 40 50 60déplacement latéral (mm)
70 80 90 100
FIGURE 4.12 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n) sur la fonction
de résistance
65
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
Lll\1 (mm) Pmax (JVIPa) Llm ax (mm)
P °lVIPa 1,57 0,00103 94,6
P = 5 MPa 2,10 0,00241 94,38
P = 10 MPa 2,45 0,00377 94,22
P = 20 MPa 2,92 0,00644 93,97
TABLE 4.10 Influence de la surcharge
Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n)
L'augmentation de la résistance à la compression de la maçonnerie est un autre moyen pour
augmenter la résistance du mur. Néanmoins, multiplier la résistance à la compression de la
maçonnerie par 1,2 ou 1,5, a peu d'influence sur le Pmax et le Llm ax.
10090807040 50 60déplacement latéral (mm)
30
Fonction de résistance sans arching (ref . Moradi)
2010
2 x 10 ,...
1
·fm' 13 8
11P~
"
~ ~
~"'--8
~~6 <,
~'"4
~~2 <,
~~~,
0 1 1
o.
o.
o.
FIGURE 4.12 - Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n) sur la fonction
de résistance
65
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
~}'\lI(mlu) Pmax(Mf'a) ~max(mnl)
P = 0 ]VIPa 1,57 0,00103 94,6
P = 5 MPa 2,10 0,00241 94,38
P = 10 MPa 2,45 0,00377 94,22
P = 20 MPa 2,92 0,00644 93,97
TABLE 4.10 - Influence de la surcharge
Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n)
L'augmentation de la résistance à la compression de la maçonnerie est un autre moyen pour
augmenter la résistance du mur. Néanmoins, multiplier la résistance à la compression de la
maçonnerie par 1,2 ou 1,5, a peu d'influence sur le Pmax et le ~max.
-3X 10 Fonction de résistance sans arching (ref : Moradi)
10090807040 50 60déplacement latéral (mm)
302010
2
11
-fm' 13
"
1~~
~8
~
~~6
<.~"4
~~
2~
"~,0 1
o.
o•
o.
o.
FIGURE 4.12 Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n) sur la fonction
de résistance
65
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
LllV[(lnm) Pmax (NIPa) Llmax(mnl)
P = 0 NIPa 1,57 0,00103 94,6
P = 5 MPa 2,10 0,00241 94,38
P = 10 MPa 2,45 0,00377 94,22
P 20 MPa 2,92 0,00644 93,97
TABLE 4.10 - Influence de la surcharge
Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n)
L'augmentation de la résistance à la compression de la maçonnerie est un autre moyen pour
augmenter la résistance du mur. Néanmoins, multiplier la résistance à la compression de la
maçonnerie par 1,2 ou 1,5, a peu d'influence sur le Pmax et le Llm ax .
-3x 10 Fonction de résistance sans arching (ref : Moradi)
o.
o.
o.
2
1
-fm138 1
-fm 20,7 MPa
1~ -'"~"-
8
~~6 <.
~~4f-
~~
~2 <,
~-~
r-.0 i 1
10 20 30 40 50 60déplacement latéral (mm)
70 80 90 100
FIGURE 4.12 - Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n) sur la fonction
de résistance
65
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
4.3.2 Cas avec effet membranaire
Les paramètres à considérer sont identiques à ceux utilisés pour établir la fonction de résistance
sans effet membranaire.
Influence de la hauteur
La pression maximale diminue avec la hauteur. Pour le mur de référence, la pression maximale
est multipliée d'un facteur 200 par rapport au cas sans effet membranaire. Le déplacement
maximale est peu influencé. Il est limité généralement à une valeur proche de l'épaisseur du mur
qui vaut le double du déplacement maximum calculé sans effet membranaire,
Fonction de résistance avec arching (ref : Moradi).7
mmmm
.61-mm
3180 mm
.5
.3
.2
.1rk0 1
/ i -i- - __ .-'0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
déplacement latéral (mm)
FIGURE 4.15 - Influence de la hauteur sur la fonction de résistance
~ IvI (n1111) Pmax(MPa) ~max(nlnl)
h = 1000 n1111 0,517 0,543 189,7
h = 1590 mm 1,313 0,2146 184,5
h = 2180 mm 2,421 0,1138 182,9
h 3180Innl 5,168 0,05279 181,5
TABLE 4.13 - Influence de la hauteur
68
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
Influence de l'épaisseur
Comme dans le cas sans effet membranaire (à un facteur 200 près pour le mur de référence),
la pression maximale qu'il est possible d'appliquer croît quand l'épaisseur t augmente. Le
déplacement maximale augmente également avec l'épaisseur et est généralement égal à plus
ou moins celle-ci. Le déplacement correspondant à la pression maximale diminue en augmentant
l'épaisseur, ce qui est contraire au cas sans effet membranaire.
Fonction de résistance avec arching (ref Moradi)0.5
0.35
0.45
0.4
r-r-
1.[ : mm
/il
mmt 290 mm
il
li
\\\
i..0.05
m 0.3Ô
0.1
0.15
<1J
~ 0.25C\J+JU1
-.-1U1 0.2
'<1Jw
50 100 150déplacement latéral (mm)
200 250
FIGURE 4.16 - Influence de l'épaisseur sur la fonction de résistance
~]\!I(lunl) Pmax(MPa) ~max (nlnl)
t = 90 mm 2,817 0,04648 85,45
t = 140 mm 1,768 0,1155 134,1
t = 190 mm 1,313 0,2146 184,5
t = 290 mm 0,877 0,4707 238,8
TABLE 4.14 Influence de l'épaisseur
Influence de la surcharge
Considérer une surcharge P agissant sur la face supérieure du mur permet d'augrnenter
légèrement la résistance du mur. L'influence de P dans le cas sans effet membranaire est beau
coup plus grand. Le déplacement correspondant à la pression maximale diminue légèrement en
69
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
augmentant la surcharge, ce qui est contraire au cas sans effet membranaire dans le sens où il
augmente et en plus d'une manière plus rapide. Le déplacement maximal diminue beaucoup plus
fortement que dans le cas sans effet membranaire.
Fonction de résistance avec arching (ref Moradi)
80 100déplacement latéral (mm)
604020
O. 051f-········~, ·.. ·; · ·: · ·: ·.. · : : : c : ..
FIGURE 4.17 - Influence de la surcharge sur la fonction de résistance
~l'd(lnnl) Pmax(MPa) ~max(lnln)
P = °MPa 1,313 0,2146 194,5
P = 5 MPa 1,272 0,2167 121,4
P 10 MPa 1,262 0,2182 92,99
P = 20 MPa 1,222 0,221 64,35
TABLE 4.15 - Influence de la surcharge
Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (f:n)
L'augmentation de la résistance à la compression de la maçonnerie est aussi un moyen pour
augmenter la résistance du mur. La multiplication de la résistance à la compression de la
maçonnerie par 1,2 et 1,5 a peu d'influence sur le ~JvI et le ~max'
70
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
Fonction de résistance avec arching (ref Moradi)0.35
0.3
0.25
Qir:4
e 0 ..2(j)o~<1l+J.~ 0.15trl
'(j)W
0.1
0.05
1
-fm T
138 1
-fm 20,7 MPa
\\\~
"-,2~I~::S:--
~
i i20 40 60 80 100 120
déplacement latéral (mm)140 160 180
FIGURE 4.18 - Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie (in) sur la fonction
de résistance
.6.1\11 (mm) Pmax(MPa) .6.max(mm)
f:n = 13,8 MPa 1,313 0,2146 184,5
f:n 16,56 MPa 1,299 0,2572 183,8
f:n = 20,7 MPa 1,317 0,3208 182,7
TABLE 4.16 - Influence de la résistance à la compression de la maçonnerie
71
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
Implémentation dans le programme Matlab
Pour obtenir la fonction de résistance avec le programme Matlab, il a fallu introduire des
conditions supplémentaires aux équations établies précédemment.
Pour chaque pas d'incrémentation de l'avancée de la fissure y, (3 est déterminé à partir d'un
certain rapport de force de réaction R : R de la phase élastique et R de la phase précédente. (3
est utilisé pour calculer la déformation. Celle-ci est fonction de la déformation élastique initiale.
Si le pas d'intégration est petit, l'erreur est négligeable.
Lorsque la courbure maximale élastique est atteinte, la distribution des contraintes de corn
pression est de forme triangulaire. La distribution des contraintes dans le mur varie d'une dis
tribution de contraintes triangulaires jusqu'à l'obtention d'une distribution de contraintes rec
tangulaires quand la résistance à la compression ultime est atteinte. Une fois que la résistance à
la compression est atteinte, la contrainte fe ne peut plus augmenter. Il faut donc introduire des
conditions pour certain paramètres :
- La condition sur la force membranaire 1/top s'exprime de la manière suivante:
si 1/top (i - 1) > 0.85 * f:n * a alors 1/top (i ) = 0.85 * f:n * a, où a est la zone de compression.
Bien que 1/top devrait aussi évoluer selon une distribution triangulaire, l'approximation 1/top =
(J" * a implique une distribution rectangulaire tout au long du phénomène. La contrainte est
représentée par (J". Cette approximation apporte de bons résultats (Moradi). L'effet membra
naire est un phénomène complexe et personne n'a encore trouvé la bonne solution pour étudier
complètement ce phénomène.
En ce qui concerne la force R, l'évolution de la distribution des contraintes d'une forme trian
gulaire (lorsque la fissuration commence) vers une forme rectangulaire se fait en appliquant
la condition suivante: si fe > 0.85 * in alors R = 0.85 * f:n * (t - y),
ce qui signifie que lorsque la contrainte dans la section centrale du mur atteint la résistance à la
compression de la maçonnerie, celle-ci est fixée à sa valeur maximale 0.85 *f:w La distribution
des contraintes en compression est de forme rectangulaire.
Il faut remarquer que l'équilibre du mur n'est plus assuré puisqu'au moment où les deux pa
ramètres R et 1/top sont assujettis à ces conditions, R diminue tandis que 1/top est constant. On
peut expliquer cela par le fait que ces deux conditions n'interviennent que lorsque la distribu
tion de contraintes en compression atteint les conditions ultimes et que le mur a déjà subi un
déplacement significatif. A ce point, 100% de l'équilibre statique ne peut exister. A la place,
multiplier la capacité en compression ultime du mur par l'aire de la surface sur laquelle elle agit
permet d'obtenir une bonne approximation. En réalité, le mur ne sera pas capable de résister à
72
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
une valeur supérieure. Lorsque la distribution des contraintes passe d'une forme triangulaire à
une forme rectangulaire, ceci ne doit pas se faire en un saut brusque. L'évolution doit donc se
faire progressivement.
Calcul de la fonction de résistance pour un mur composé de blocs creux avec effet
membranaire
L'étude dans le cas d'un mur composé de blocs creux suit le même développement analytique
que pour un mur avec des blocs pleins. Cependant, il est nécessaire d'adapter quelques formules.
Le poids TVtotal [N] est calculé de la manière suivante :
TVtotal = C~ntier - 1!trous) p 9,81 (4.3.1)
où ~ntier et 1!trous sont respectivement le volume d'un bloc plein et le volume des trous. n1 est
le nombre de bloc en largeur et n2 le nombre de blocs en hauteur.
Le moment d'inertie I est aussi modifié (blocs avec deux trous)
(4.3.2)
avec 1 = la largeur du bloc et t = épaisseur du bloc, b = largeur des vides et e = épaisseur des
vides.
De plus, il faut tenir compte du fait que la contrainte est appliquée sur une surface de mur plus
petite par rapport à un mur composé de blocs sans vides. Un bloc avec deux vides est représenté
à la figure 4.19. L'épaisseur des parois dans ce cas est de 30 mm.
Largeur du bloc
FIGURE 4.19 - Représentattion d'un bloc creu
Lorsque la contrainte maximale est atteinte dans la section centrale et que la fissure se situe
dans la partie de la section avec les trous (y entre 30 mm et (t - 30) mm) , la distribution des
73
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
contraintes de forme rectangulaire est calculée de la manière suivante:
- Calcul de R dans la partie où la surface contient les vides :
où b = (largeur du bloc - 2 * largeur des vides) /largeur du bloc.
- Calcul de R dans la partie sans vide (30 mm) :
/
0.85*fm*30
- Calcul de R sur la surface à considérer (t-y) :
Rtotal = RI + R2 = 0.85 * f:n * ((t - Y - 30) *b+ 30))
(4.3.3)
(4.3.4)
(4.3.5)
Lorsque la fissure a dépassé les vides, l'influence de ceux-ci ne se fait plus ressentir et Rest
calculé de la manière suivante :
R = 0,85 * f:n (t - y) (4.3.6)
74
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
4.4 Comparaison des trois fonctions de résistance
L'étude paramétrique a d'abord permis d'appliquer les fonctions de résistance à des cas
concrets. Elle permet aussi d'établir des ordres de grandeur pour la résistance des trois théories.
Les résultats sont cohérents et ne surprennent pas beaucoup. En effet, il semble logique qu'un
mur présentant une épaisseur plus grande résiste mieux. De même, en optant pour un mur plus
élancé, le maximum de la fonction de résistance diminue.
La chose la plus intéressante est de comparer les différentes fonctions de résistance entre elles
et d'examiner les hypothèses qui sont introduites, ceci dans le but de choisir le modèle de la
fonction de résistance la plus adaptée à notre problème. Il faut étudier un mur en maçonnerie
non renforcée placé entre le sol et un support supérieur (ce qui est le cas dans la réalité).
A partir de ces considérations, la fonction de résistance de Smith et al. (1994) est écartée. En
effet, celle-ci ne considère pas la présence de support supérieur et donc s'écarte fortement du cas
à étudier. Connue on peut le constater dans les hypothèses de cette théorie, la diminution de la
résistance est due au fait que la résistance à la traction du mortier est atteinte et qu'il y a donc
fissuration. Les deux autres théories ne considèrent pas la fissuration con1n1e une faiblesse en soi
pour la résistance, bien qu'elle participe au phénomène, C'est la résistance à la compression qui
est prise en compte. Lorsque cette dernière est dépassée, la maçonnerie (Moradi (2008)) ou le
mortier (TJVI5-1300 (1990)) s'écrase.
Il reste donc à choisir entre la fonction de résistance du TM5-1300 (1990) et de Moradi (2008).
En revenant sur les hypothèses de ces modèles introduits auparavant, on peut voir que le TM5
1300 (1990) ne prend pas en considération le poids propre du mur. Or, celui-ci joue un rôle non
négligeable puisque le poids propre n'est pas uniforme sur toute la hauteur. En effet, le poids
est nul au sommet du mur et augmente jusqu'à atteindre le poids maximal dans le bas du mur.
La fonction de résistance utilisée dans la suite de ce travail est donc celle établie par Moradi
(2008). Le poids propre ainsi que la présence de supports sont pris en compte. De plus, Moradi
introduit l'effet membranaire pour I'établissement de la fonction de résistance. Cet effet augmente
d'un facteur 100 la pression que peut supporter le mur.
75
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
Comparaison des hypothèses
Ci-dessus sont reprises les hypothèses de chaque fonction de résistance introduites auparavant.
Ceci permet de mettre en évidence les différences entre les trois théories.
1. Fonction de résistance selon le TlVI5-1300 (1990)
Le mouvement horizontal des bords supérieur et inférieur du mur est empêché.
Des supports rigides, l'inférieur et le supérieur, sont présents.
Un espace peut exister entre le mur et le support supérieur.
Le poids propre est négligé.
- Le déplacement maximal .6. vaut l'épaisseur.
- La résistance en traction des éléments de maçonnerie n'est pas prise en compte,
La résistance en compression du mortier est considérée. La déformation du mur (rac
courcissement) a lieu uniquement dans le mortier.
La fissuration a lieu à la moitié de la hauteur du mur.
La résistance maximale est obtenue lorsque la contrainte de compression atteint la
résistance maximale en compression du mortier.
2. Fonction de résistance selon Smidth et al. (1994)
- Le mouvement horizontal des bords supérieur et inférieur du mur est empêché.
Il n'y a pas de support supérieur.
Le poids propre est considéré.
Le déplacement maximal .6. vaut l'épaisseur.
Seule la résistance en traction du mortier est prise en compte.
La fissuration a lieu aux ~ de la hauteur.
La résistance maximale est obtenue lorsque la contrainte de traction atteint la résistance
maximale en traction du mortier.
3. Fonction de résistance selon Moradi (2008)
Le mOUV8111ent horizontal des bords supérieur et inférieur du mur est empêché.
Des supports rigides, l'inférieur et le supérieur, sont présents.
- Le poids propre est considéré.
- La rupture survient quand la résultante R bouge hors de la ligne d'action du poids
propre et de la surcharge.
La résistance en traction du mortier est nulle.
La résistance en compression de la maçonnerie est considérée.
76
4. Etude paramétrique de la fonction de résistance statique
- La fissuration a lieu à la moitié de la hauteur du mur.
La résistance maximale est obtenue lorsque la contrainte de compression atteint la
résistance maximale en compression de la maçonnerie.
4.5 Conclusion
L'étude paramétrique a permis de mettre en évidence l'influence de certains paramètres comme
la hauteur, l'épaisseur, la résistance à la traction ou à la compression, la rigidité des supports
ou encore la surcharge.
Une des manières les plus communes de renforcer un mur afin qu'il résiste aux charges dues
au soufRe d'une explosion est tout d'abord de jouer sur ses dimensions comme par exemple
augmenter son épaisseur. Il est possible aussi d'opter pour une hauteur plus petite. La deuxième
méthode est de changer les matériaux utilisés pour construire le mur. Ajouter une surcharge sur
le mur ou encore augmenter la rigidité de ses supports peut également le renforcer.
77
Ce chapitre a pour buts, premièrement de montrer comment le logiciel a été utilisé de façon
optimale, deuxièmement de faire une synthèse des résultats obtenus et troisièmement de mettre
en évidence les problèmes qui ont été rencontrés. Cette partie décrit les simulations numériques
relatives à l'interaction d'une onde de choc avec un mur en maçonnerie. Après avoir introduit
le code de calcul d'Autodyn@ et les différents modèles utilisés dans cette étude, les différentes
simulations seront présentées et une étude paramétrique sera établie.
5.1 Concepts et définitions
5.1.1 Introduction
Pour exécuter les simulations numériques du phénomène étudié, nous avons utilisé le logiciel
Autodyn@ . Cet outil d'analyse explicite 1 permet la modélisation de phénomènes dynamiques
non linéaires des solides, des fluides et des gaz ainsi que leurs interactions. La version 2D d'Au
todyn@ fut développée par Century Dynamics en 1986. En 1992, fut introduit son homologue
tridimensionnel, Autodyn-3D. En 2005, ANSYS devint propriétaire du logiciel.
Celui-ci permet de simuler trois grands types de problèmes : impacts et perforations, explosions
et ondes de choc en milieu aérien, interaction entre une onde de choc et une structure.
La version 11 du logiciel est utilisée dans le cadre de ce travail.
5.1.2 Hydrocodes 2
Le comportement dynamique d'un matériau est décrit par les équations fondamentales de
conservation 3 :
1. L'information à un instant donné est calculée à partir de l'information obtenue au cycle précédent
2. HYDROdynamic computer CODE
3. Pour chaque cas, l'équation supérieure est établie dans le système lagrangien et l'équation inférieure dans
le système eulérien
78
5. Simulation avec Autodyn@
- conservation de la masse
p+ PUi,i = 0 (5.1.1)
(5.1.2)
avec p la densité du matériau, u le déplacement, t le temps, x la distance, Vi la vitesse.
- conservation de la quantité de mouvement
PÙi = Oji,j
avec 0ji le tenseur des contraintes.
conservation de l'énergie
(B e Be ) B<JjiVi
P -+Vi- =--ot OXi OXj
avec e l'énergie interne.
(5.1.3)
(5.1.4)
(5.1.5)
(5.1.6)
Afin d'offrir une solution aussi complète que possible, Autodyn@ fait intervenir d'autres
équations:
- l'équation d'état: elle fournit la relation donnant la pression hydrostatique en fonction de la
densité et de l'énergie interne.
- l'équation constitutive : elle établit la relation entre les contraintes appliquées (<Jij) et les
déformations (E), la vitesse de déformation (Eij) , l'énergie interne (1) et les dommages subis
par le matériau. Ceux-ci décrivent les effets de la déformation (changement de la forme ou des
propriétés de résistance).
- le modèle de rupture (pour un solide) : ce modèle permet de déterminer quand un matériau
n'offre plus de résistance et par conséquent se brisera.
79
5. Simulation avec Autodyn@
le modèle d'érosion (pour un solide) : le modèle érode le matériau, c'est-à-dire que le matériau
est transformé en noeud massique libre. L'érosion numérique permet de continuer le calcul
même lorsque les cellules sont excessivement déformées.
les conditions initiales
les conditions aux limites
Le terme (Yji utilisé dans les équations de conservation de la quantité de mouvement et
de l'énergie est calculé par Autodyn@ grâce à l'équation d'état et à l'équation constitutive.
L'équation 5.1.7 est toujours valable:
(5.1. 7)
Le premier terme Sji est le tenseur des contraintes déviatoriques qui sont les contraintes dues
aux changements de formes du matériau. Ce tenne est lié à l'équation constitutive. Le second
tenne p8j i représente la partie volumique. Les contraintes sont dues aux changements de volume
causés par la pression p qui est calculée à l'aide de l'équation d'état.
La méthode analytique pour étudier un système demande donc de résoudre des équations
différentielles. Pour des problèmes complexes, le recours à des programmes d'ordinateur est
nécessaire. Afin de résoudre les équations différentielles, Autodyn@ utilise des hydrocodes (HY
Dfl.Odynamic computer CODE) basés sur la technique de différences finies, volumes finis et
éléments finis. Ceci est dû au fait qu'un ordinateur a une mémoire limitée et qu'il faut donc
représenter un milieu continu en faisant la discrétisation de celui-ci. Dans ce programme, une
discrétisation est faite dans le temps et dans l'espace. Pour la première citée, le temps est mor
celé en pas de temps (time step). Et chaque pas de temps constitue un cycle de calcul. Il est
possible de spécifier le pas de temps initial. Pour la deuxième discrétisation, l'espace est divisé
en zones appelées cellules. Celles-ci sont des quadrilatères (2D) ou des parallélogrammes (3D),
à l'exception des particules du solveur SPH qui ne sera pas traité dans cette étude.
Le logiciel propose plusieurs solveurs numériques, notamment Lagrange et Euler. La bibliothèque
d'Autodyn@ propose déjà toute une série de matériaux définis par les lois les décrivant. De
nombreuses équations sont en fait des équations empiriques qui nécessitent des expériences pour
déterminer les différents paramètres.
Dans l'annexe Partie 1, seuls les modèles étudiés nécessaires à l'étude sont établis à partir des
manuels du logiciel et présentés: les modèles pour le béton, les explosifs et l'air. Autodyn@
propose une aide complète expliquant les modèles proposés dans sa bibliothèque.
80
5. Simulation avec Autodyn@
5.1.3 Stabilité
Le fait que l'algorithme utilisé par Autodyn@ est explicite, implique qu'un pas de temps
d'intégration maximum soit observé, ceci dans le but que la solution proposée soit représentative
du problème considéré.
Pour assurer ce pas de temps maximum, la condition de stabilité de Courant (Pierazzo et al.)
est utilisée dans Autodyn@ :
cLltLlx < 1 (Lagrange)
LlxLlt < (c + Iv!) (Euler) (5.1.8)
où Llx est la taille de la cellule, c la vitesse du son et v la vitesse.
Ceci veut dire que la plus petite cellule (Llx) va contrôler le pas d'intégration. A chaque pas,
l'équation est calculée et le programme va adapter Llt pour satisfaire à la condition.
5.1.4 Les solveurs Lagrange et Euler
Il existe de nombreux solveurs dans les hydrocodes modernes. Ils peuvent cependant être
classés en deux catégories: les solveurs lagrangiens dans lesquels un système mécanique est
étudié et les solveurs eulériens dans lesquels un volume de contrôle est étudié. Chaque type
présente des avantages et des désavantages. Le choix du solveur adapté dépend du cas à étudier.
Lagrange
Avec un solveur Lagrange, le maillage numérique se déplace et se déforme avec le matériau.
Le volume change mais la masse reste constante.
Le maillage en Lagrange est bien indiqué pour la dynamique des solides. Ce type de maillage
a l'avantage de donner une définition claire des interfaces entre les matériaux. Ceci est dû au
fait que le matériau remplit entièrement sa cellule et ne la quitte pas. Il est donc possible de
suivre la déformation de la structure. Un autre avantage est que le solveur présente une grande
efficacité vu le peu de calcul nécessaire par cycle et que le code de calcul est simple.
Le désavantage est que lors de fortes déformations, les cellules peuvent devenir dégénérées. Il
faut alors faire appel à des méthodes d'érosion numérique, c'est-à-dire que le programme a
l'autorisation de faire un remaillage ou de supprimer certaines cellules de manière automatique
afin de garantir un pas de temps. Puisqu'avec un solveur Lagrange la masse est constante, les
cellules supprimées sont remplacées par un point massique. Ce phénornène ne se fait pas dans
la réalité.
81
5. Simulation avec Autodyn@
Euler
En ce qui concerne le solveur eulérien, le maillage est fixe et le matériau -s; coule ~ dans les
cellules. Les cellules peuvent donc être remplies partiellement contrairement au cas Lagrange.
Ce maillage est indiqué pour la dynamique des fluides (effets des explosions, produits gazeux).
Comme le maillage est fixe, les fortes expansions ou déformations ne posent pas de problèmes.
Cette méthode rend difficile l'identification des interfaces entre les matériaux : des -e; cellules
mixtes ~ incluant différents matériaux sont introduites. Une conséquence est que la précision
dans la détermination des frontières entre les matériaux dépend de la finesse du maillage. Plus
le maillage est fin, plus la précision augmente et plus le temps de calcul augmente,
Euler FCT
Autodyn@ possède un deuxième solveur eulérien. Ce solveur a été optimisé pour les problèmes
concernant la dynamique des gaz idéaux.
5.2 Méthodologie
La section a pour but de présenter la méthodologie suivie pour établir les différents modèles
numériques utilisés permettant par la suite une comparaison avec les résultats obtenus de manière
analytique. Une étude expérimentale permet de confirmer ou infirmer des résultats obtenus par
un logiciel. Les expériences ne seront pas menées dans le cas de cette étude. Les résultats venant
des simulations devront être validés par expériences.
5.2.1 Modèle à schématiser
Un mur avec les dimensions suivantes (tableau 7.3) est choisi comme modèle de référence.
Une charge sphérique de 4 kg TNT placée symétriquement par rapport à la face avant du mur
explose à une hauteur de 795 mm. Elle sera placée à une distance suffisamment éloignée pour
considérer un onde plane. Comme il sera constaté plus tard, simuler une onde plane n'est pas
chose aisée.
La méthode utilisée pour simuler le cas étudié est basée sur la technique du remapping.
Cette technique présente une méthode simple permettant de combiner les modélisations lD et
3D dans un même problème.
82
5. Simulation avec Autodyn@
Dimensions du n1ur à étudier
hauteur 1590 mm
largeur 1590 mm
épaisseur 190 mm
TABLE 5.1 Dimensions du mur de référence
5.2.2 Wedge
La première chose à faire est de simuler l'explosion de la charge de TNT. Elle se fait dans
l'air sans présence d'obstacles. C'est donc une explosion à l'air libre. Pour cela, il faut d'abord
modéliser la détonation de l'explosif et sa propagation initiale sur une distance inférieure à celle
entre l'explosif et le sol. Ensuite, il faut importer ce modèle ID de la première étape (remapping)
dans un modèle 3D. C'est dans ce dernier que l'interaction de l'onde de choc avec le sol va se
produire avant d'interagir avec le mur.
Cette façon de faire offre un gain de temps (surtout si la distance du wedge est importante
comparée à I'ensemble de la propagation) puisque la propagation de l'onde de choc sur 795 mm
se fait en ID et non en 3D. Vu le nombre réduit de cellules par rapport à une simulation 3D
pour un même maillage considéré, le modèle ID est plus rapide.
1. Modèle ID
L'étude de la détonation d'une charge sphérique montre que les ondes de choc se propagent
sous la forme de sphères de plus en plus grandes et dont le centre est le point initial de
détonation. De par la symétrie sphérique, il est possible de passer à un modèle en deux
dimensions. L'explosion est modélisée par un wedge avec une symétrie axiale. La géométrie
utilisée impose que l'écoulement ne se fasse que dans la direction y. C'est pourquoi la
discrétisation se fait selon cet axe (figure 5.1). L'angle du wedge est fixé automatiquement
par le logiciel. Les éléments quadrilatères du schéma 2D ci-dessous peuvent être considérés
comme unidimensionnels. C'est pour cette raison qu'Autodyn@ appelle ce modèle, le
-e; modèle ID ~.
83
5. Simulation avec Autodyn@
dx.... +-
• KmTIillTIITITIITI.............. nl
~
nR
FIGURE 5.1 - lVIaillage composé de quadrilatères (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)
2. Remapping
Le remapping est une technique permettant à l'utilisateur d'Autodyn@ d'utiliser les
solutions du calcul initialement effectué en 2D ou en 1D et de les « imposer ~ à toutes
les régions ou à une région particulière d'un second modèle 2D ou 3D. Ceci permet donc
de simuler l'explosion avec le wedge en 1D pour ensuite l'importer dans le modèle 3D
comportant le mur.
3. Quantité de la charge explosive
La charge à simuler est 4kg de TNT. En faisant l'hypothèse que la charge est sphérique, il
est possible de déterminer le rayon de la charge de TNT avec l'équation suivante:
IVl
R4*3
1630 *4 *II8,3675 * 10-2 = 83, 675mm
(5.2.1)
(5.2.2)
(5.2.3)
avec p la densité de la charge de TNT, R son rayon et M sa masse.
La règle imposant que le TNT doit être composé de minimum Zû cellules oblige à considérer
un nombre limite pour la largeur d'une maille (Introductory Training Course Autodyn@(2004))
. Dans ce cas-ci, la largeur de la cellule de TNT doit être de maximum 4,184 mm.
4. Comparaison avec Conwep@
Le logiciel Conwep@ est un outil de calcul basé sur le document TM5-855-1 des forces
armées américaines qui permet de déterminer les effets de la plupart des armes convention
nelles. Les résultats calculés par le logiciel sont issus d'un ensemble d'essais expérimentaux,
ce qui signifie aussi que les résultats ne sont pas sans erreur. Il permet entre autres de cal
culer l'effet d'une explosion sur un obstacle perpendiculaire à la direction de l'onde de
choc. Néanmoins, il ne permet pas de placer des obstacles entre l'explosif et le capteur. On
ne peut donc pas utiliser ce programme pour comparer les pressions sur le mur puisqu'il
ne peut pas calculer l'effet d'une explosion ayant lieu en hauteur par rapport au sol.
84
5. Simulation avec Autodyn@
Le logiciel peut ainsi être utilisé dans le but de valider les essais numériques obtenus avec
Autodyn@ . Cette étape est importante car en validant cette première étape, cela permet
de commencer la deuxième phase en 3D avec le moins d'erreur possible.
La longueur du wedge ne peut donc pas être supérieure à la hauteur où se trouve l'explosif
afin que le wedge simule une explosion dans l'air libre sans aucun obstacle. Connaissant
le rayon de la charge, il est possible de déterminer le maillage. Comme cité précédemment,
la taille des cellules est Iimitée à 4,184 mm. Quatre wedges avec des tailles de cellules
différentes sont étudiés. Ils ont été respectivement divisés en cellules de 4 mm, 2 mm, 0,5
mm et 0,2 mm. Le tableau 5.2 reprend les valeurs des pressions d'une jauge placée à 690
mm du centre de détonation ainsi que la valeur donnée par Conwep@ pour la même dis
tance. Les pressions incidentes sont comparées. Il faut tenir compte du fait qu'Autodyn@
considère la pression ambiante (Patm 101330Pa) comme pression initiale contrairement
à Conwep@ qui part de O.
FIGURE 5.2 - wedge de 795 mm de long et la jauge en 690 mm - en vert le TNT et en bleu l'air
(Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics)
Autodyn@ Conwep@ Erreur (%)
Dimension Pression de Pic de surpression incidente Ajout de Patm
des cellules la jauge [kPa] r; [kPa] r; + r-: [kPa]
4 n1111 4193.2 4988 5089,33 17,6
2 mm 4404.5 " " 13,5
0,5 mm 4705 " " 7,55
0,2 mm 4810 " " 5,49
TABLE 5.2 - Comparaison des pressions pour le wedge Autodyn@ - Conwep@
Une erreur inférieure à 10 % est considérée comme étant acceptable. Le wedge repris dans
la suite de l'étude est celui ayant des cellules de 0,2 mm puisqu'il apporte une meilleure
précision pour un temps de simulation tout de même important (environ 40 minutes). Le
temps de simulation pour un wedge composé de cellules de 4 mm est de 2 minutes, Un
fin maillage ne pose pas de problème pour autant que la distance du wedge est assez
85
5. Simulation avec Autodvn
faible. Pour de plus grandes distances, c'est un c0111pr0111is entre la précision et le temps
de simulation.
5.2.3 Etude de l'onde
C0111111e mentionné dans la théorie des explosions (Kinney (1985)), une explosion qui a lieu
à une certaine hauteur du sol a C0111me conséquence la formation d'un pied de Mach à partir
d'une distance do. Le pied de Mach est assimilé à un front d'onde vertical dont la vitesse et la
pression sont uniformes sur toute la hauteur.
Pour déterminer la distance di entre le mur et la charge explosive afin d'obtenir une hauteur
de pied de Mach supérieure à 1590 mm, la théorie de Kinney (1985) donne une première idée de
la valeur de cette distance. Dans l'air, si l'angle d'incidence (3 est supérieur à 39,97°, une onde de
Mach est générée. Connaissant l'angle f3Zim 39,97° et la hauteur de l'explosion HOB = 0,795
m, la distance de formation du pied de Mach do(mm) peut être calculée de la façon suivante:
do = HOB * tan({3Zim) 0, 795 * tan(39, 97) = 0, 666m
Par exemple, pour avoir une hauteur du pied de Mach hM=1,59 m, il en résulte:
(5.2.4)
hJl./f
HOB= 2 (5.2.5)
Le rapport ~~ tel que di > do peut être déduit en utilisant l'abaque de la figure 5.3.
//
//
/
~V
»->:
OA
0.3
0.1
0.01.0 1.5 2.0 di
cç2.5 3.0 3.5
FIGURE 5.3 - Courbe empirique de hauteur Jlô~ en fonction de la distance ~~ (ref: Kinney,
(1985)
86
5. Simulation avec Autodyn@
Algébriquement, cette courbe peut être décrite par l'équation suivante (Trelat (2006)) :
- pour ~~ > 0 :
- pour di 0 :do
h1l1 = -0 33155 + 1 00109( di ) _ 1 24835( di )2 + 0 80629( di )3HOB' , do ' do ' do
-0, 26845(:~)4 + 0, 04347(:~)5-0, 0024(:~)6 (5.2.6)
h 1l1
HOB
= 4,31
o (5.2.7)
(5.2.8)
Donc, di = 2, 869m. Cette théorie donne une onde plane à partir de 2,868 m.
Pour vérifier la théorie de Kinney, une simulation a été faite en Autodyn@. Le modèle 3D
est un parallélépipède rectangle avec un maillage composé de cellules cubiques (tableau 5.3). Le
solveur de calcul choisi pour l'air est Euler FCT. Une symétrie axiale par rapport au plan X
= 0 est considérée. Le wedge est ensuite importé dans l'air de telle manière que le centre de
l'explosion soit centré au milieu de la largeur. Une condition aux limites flow out est introduite
sur les bords latéraux et sur le bord supérieur du parallélépipède rectangle afin de simuler que
l'air n'est pas limité au maillage mais s'étend à l'infini. Pour imposer l'effet de sol, il suffit de
limiter le bloc d'air au niveau du bas du mur. Lorsque l'onde atteint la base du bloc de l'air,
Autodyn@ considère que celle-ci rencontre une couche indéformable et il y a réflexion.
Dimensions de l'espace air (rn) Dimensions des cellules (mm)
Longueur 10 100
Largeur 1,2 100
Hauteur 2 100
TABLE 5.3 - Dimensions de l'espace air et des cellules
Le déplacement de l'onde de choc est simulé dans l'air (figure 5.4).
Des jauges ont été placées dans le plan vertical à une distance de 2,868 m de la charge afin
d'étudier la pression en fonction du temps à différentes hauteurs (figure 5.5).
Comme le montrent les figures 5.4 et 5.5 ci-dessus, l'onde n'est pas plane.
87
5. Simulation avec Autodyn@
Units mm, mg, ms
FIGURE 5.4 - Le front de Mach à 2,868 m. Position des jauges à différentes distances du centre
de l'explosion (Autodyn-3D vI1.ü from Century Dynamics)
Gauge History ( espaceair )
• • 1 1__ L J. J. J. _, , , 1
, • 1 •, , , ., l , 1l , , •1 l , •... J.. .l. .l. _
• , l ,, , l ,, , ,, , ,1 1 l ,, , , ,
- --.----.--------+--------+--------, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,r , ,
·---T--------T--------T--------, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,-T--------r--------1--------
, ,, , ,-,---- --,--- ----,--------1r-------,
50--+--------,---··----,·--------,--------,--··-----,--------jl
2,0 2,5 3,0 3,5 4,0TIME(ms)
250
200
300
350
150
400
FIGURE 5.5 - Le diagramme des pressions en fonction du temps à différentes hauteurs à une
distance de 2,868 III de la charge (Autodyn-3D vl Lû from Century Dynamics)
88
5. Simulation avec Autodyn@
Pour obtenir une onde plus plane, la propagation de l'onde choc à des distances supérieures
à 2,868 m a été étudiée. Des jauges ont été placées dans le plan vertical à une distance de 3,
4, 5 et 6 m. Les différences entre les pressions maximales des différentes jauges dans un plan
vertical diminuent quand la distance augmente. Le décalage en temps des pressions maximales
entre la jauge sur le sol et la jauge à une hauteur de 1590 mm diminue également quand la
distance augmente. Le choix s'est orienté vers une distance de 5 m. La différence de précision
entre 5 et 6 III aussi bien en décalage qu'en différences de pressions maximales ne justifie pas
l'ajout de cellules et donc un temps de calcul plus grand. Néanmoins, il faut remarquer qu'en
considérant un espace d'air de 2 m de hauteur, l'influence du flow out est fort marquée (figure
5.6). De plus, notre étude consiste entre autres en une étude paramétrique dans laquelle il faut
faire varier la hauteur. Pour pouvoir augmenter la hauteur du mur sans modifier l'espace d'air,
il semblait approprié de choisir une hauteur de 3 III (figure 5.7). Il faut noter que la valeur de la
hauteur de l'espace d'air est presque le double de la hauteur du mur.
Gauge History ( onde-sol-2m )
200--+··············;·,
100-4==""'"
1097 8TIME(ms)
6
- {1lGauge;ll!
"~(2)Gauge# 2
(3)Gauge# 3
- (4)Gauge# 4
- (5)Gauge# 550-+---;--.---;--..........,;--.--'-1--.........1- (6)Gauge# 6
5
FIGURE 5.6 - L'influence du flow out à une distance de 5 m de la charge (Autodyn-3D vl1.0
from Century Dynamics)
89
5. Simulation avec Autodyn@
Gauge History ( onde-sol-3m )
200
tGa..e 150~:::l(1)(1)
~a..
100~=~ - ('1)Gauge# '1
(2)Gauge# 2
(3)Gauge# 3
(4)Gauge# 4
(5)Gauge# 5
(6)Gauge# 6
5 6 7 8 9 10TIME(ms)
FIGURE 5.7 - La diminution de l'influence du flow out due à l'augmentation de la hauteur de
l'espace d'air (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)
5.2.4 Premier modèle simulé maillage grossier
Modèle 3D
1. Matériaux
Les matériaux utilisés sont l'air, le béton, le mortier et l'acier. Autodyn@ permet la visua
lisation de plusieurs vidéos sur son site internet (ref : site internet demoroom) montrant
diverses simulations dont une concernant un mur en maçonnerie sollicité par une onde de
choc. Les données fixées par Autodyn@ pour l'air, le TNT, le béton, le mortier et l'acier
sont reprises dans cette étude. Il faut savoir que pour utiliser un matériau, le logiciel a
besoin de nombreuses données qui sont obtenues par des tests expérimentaux précis et
souvent assez longs. Ceci ne rentre pas dans le cadre de notre étude.
Toutes les données pour les matériaux sont reprises en annexes.
2. Mur
Dans cette étude, le mur est construit par le logiciel. Il suffit de lui fournir les matériaux
composant le mur, qui sont dans ce cas-ci, le mortier et le béton, ainsi que les dimensions
et le nombre de blocs dans les directions x, y et z. Ceci se fait en utilisant la géométrie
Fragjbrick. Les dimensions du mur et des blocs sont mentionnées respectivement dans
le tableau 7.3 et 5.8. Une couche de 10 mm d'épaisseur de mortier est posée verticalement
et horizontalement. Il faut donc mettre 2 blocs en largeur vu la symétrie par rapport au
plan X = 0 considéré et 8 briques en hauteur. Le solveur de calcul choisi est Lagrange. Le
maillage est composé de cellules parallélépipédiques (tableau 5.8). Le nombre de mailles
90
5. Simulation avec Autodyn@
par brique dans la direction X doit être impair afin d'obtenir une symétrie au niveau du
maillage et celui dans la direction Z doit être pair afin de pouvoir appliquer des conditions
aux limites sur le noeud au milieu de l'épaisseur.
Dimensions des briques (mm) Dimensions des cellules (mm)
Longueur 390 78
Hauteur 190 95
Epaisseur 190 95
TABLE 5.4 - Dimensions des briques et des cellules
Conditions aux limites
La première condition à introduire doit faire en sorte que la rotation des sections extrêmes
du mur (en h = 0 et h 1590 mm) se fasse autour du point central de celles-ci (figure 5.8).
Ceci est réalisé en imposant durant tout le processus une vitesse nulle dans les directions
x, y, z au niveau du point central des sections d'extrélnité. Le mouvement horizontal est
donc empêché. Une deuxième condition doit être introduite afin de simuler le fait que la
base du mur ne peut pas s'enfoncer dans le sol. Ceci se fait avec la condition appelée sol.
Pour empêcher le mouvement vertical du mur, une paroi sera ajoutée (voir plus loin).
sol4.
sol~
vx=oVy=üvz=o
h
FIGURE 5.8 - Conditions aux limites
3. Air
Dans Autodyn@ , il faut introduire un espace d'air dans lequel l'onde de choc se propagera
pour ensuite interagir avec le mur. Pour éviter l'influence du flow out, la largeur et la
hauteur du bloc d'air sont supérieures aux dimensions du mur.
91
5. Simulation avec Autodyn@
L'air est représenté par un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont reprises dans
le tableau 5.5. Un maillage composé de cellules parallélépipédiques est utilisé. Le solveur
de calcul choisi est Euler FCT dans le parallélépipède rempli d'air. Une symétrie axiale
par rapport au plan X = 0 est considérée.
Dimensions de l'espace air (rnm) Dimensions des cellules (lnm)
Longueur 5500 75
Largeur 1200 75
Hauteur 3000 76,38
TABLE 5.5 - Dimensions de l'espace air et des cellules
La figure 5.9 présente un schéma de la situation étudiée.
Explosif ~e ----------- ---- ------------ -- ---- ------- --- ---------- --lTIUr
FIGURE 5.9 - Schématisation du problème à considérer (vue du haut)
La figure 5.10 ci-dessous montre le modèle composé du bloc d'air et du mur.
FIGURE 5.10 - Modèle 3D comprenant le mur et les vecteurs de vitesse de l'onde de choc en
tenant compte de la symétrie par rapport à l'axe z (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics)
4. Supports ajoutés
Le dernier élément à prendre en considération pour s'approcher le plus possible de la
situation de l'étude analytique est la présence de supports rigides aux deux extrémités du
mur. Le support rigide inférieur est déjà simulé par le sol. Pour le support supérieur, il
92
5. Simulation avec Autodyn@
faut ajouter une paroi composée d'un matériau plus rigide que le béton. L'acier a cette
caractéristique. La paroi joue également un second rôle. En effet, les dimensions du bloc
d'air étant supérieures à celle du mur, le fait d'ajouter des parois permet de bloquer le
passage de l'onde au-dessus et sur les côtés du mur. Ainsi, le comportement de ce dernier
n'est pas influencé par le mouvement de l'onde. La figure 5.11 montre l'interaction de
l'onde de choc lorsqu'il n'y a pas de parois. L'onde passe au-dessus du mur pour ensuite
passer à l'arrière de celui-ci.
FIGURE 5.11 - Simulation de l'interaction d'une onde de choc sur un nlur sans ajout de parois
(Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)
Autodyn@ peut calculer l'interaction entre le mur et la paroi supérieure à condition qu'il
existe un espace, appelé gap, entre ces deux éléments. La grandeur du gap doit valoir au
minimum le dixième de la plus petite dimension des différents maillages et au maximum
la moitié de la plus grande dimension. Cette règle est donnée par le logiciel qui calcule
ces deux valeurs limites, Pour un mur construit avec des cellules de mortier de 10 mm, la
plus petite dimension vaut donc l'épaisseur du mortier, c'est-à-dire 10 mm. Dans le cas
présent, le mur et la paroi supérieure sont espacés de 1,02 mm. Quant aux parois sur le
côté, elles sont placées pour bloquer le passage de l'onde. Il n'existe aucune interaction
entre elles et le mur. Il faut savoir que la paroi supérieure a été construite à partir de la
même géométrie que celle utilisée pour construire le mur (Fragjbrick). Ceci permet en
effet d'avoir un maillage commun dans le sens de l'axe x, ce qui est nécessaire pour que
l'interaction soit bien calculée. Les parois latérales sont définies par la géométrie (Block)
du logiciel. La seule contrainte est d'avoir un maillage permettant de joindre les surfaces
des parois communes. Pour joindre ces surfaces, on utilise la fonction joins qui implique
que les parois ne forment qu'un seul élément.
93
5. Simulation avec Autodyn@
La figure 5.12 montre le maillage des parois et du mur.
FIGURE 5.12 - Maillage pour le n1ur et les parois (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)
La figure 5.13 donne la modélisation du modèle entier.
FIGURE 5.13 - Modèle 3D comprenant l'air, le mur et les parois (Autodyn-3D v11.0 from Century
Dynamics)
5. Durée des simulations
Le temps de simulation du modèle avec un maillage assez grossier demande environ 48
heures. Pour la plupart des modèles, le temps du phénomène étudié varie entre 100 n1S et
200 ms.
Remarques
La durée des simulations dépend tout d'abord des données à sauver demandées par l'uti
lisateur. L'ordinateur peut aussi limiter la rapidité des calculs.
94
5. Simulation avec Autodyn@
5.2.5 Etude paramétrique
Les murs sont tous soumis à la même charge dynamique. Le diagramme de pression en fonction
du temps est représenté à la figure 5.14. L'intensité du pic de surpression réfléchie PrO est égale
à 301,5 kPa et la durée de la phase positive tro est égale à 6,7 ms.
Gauge History ( mur-grossier)
5040302010
----------
---------
---------
---------- \---,
:\."~1- (1 )Gauge# 3711 1 1o
o
50
300
100
250
TIME(ms)
FIGURE 5.14 - Diagramme de la pression réfléchie en fonction du temps (Autodyn-3D v11.0
from Century Dynamics)
Le tableau 5.16 reprend les valeurs des déformations maximales des différents murs dans le sens
de propagation de l'onde de choc. La rupture avant 200 ms ainsi que la hauteur où a lieu celle-ci
est également indiquée. Le signe (-) désigne le sens contraire à la direction de l'explosion.
Mur Hauteur h Epaisseur t Hauteur des blocs Déformation Max. Temps Rupture
(rnm) (mm) (n1111) (lnln) (ms) avant 200 ms
1 1590 190 190 5,963 15,5 non
2 2390 190 190 9,931 20,5 rupture(-)
3 1590 100 190 17,712 17,74 rupture(-)
4 1590 190 310 5,68 14,2 non
TABLE 5.6 - Déformation maximale du mur dans la direction de propagation de l'onde de choc
ainsi que le sens de sa rupture si elle est présente
Les résultats de cette analyse montrent les différences obtenues en changeant une des ca
ractéristiques du mur. Si la hauteur du mur augmente, la déformation maximale augmente. Si
l'épaisseur diminue, la déformation maximale augmente également. Par contre, en considérant
95
5. Simulation avec Autodyn@
des blocs d'une hauteur plus grande, la déformation maximale diminue légèrement.
Lors de l'étude des contraintes, plusieurs problèmes sont apparus (voir section 5.2.5). Suite à
l'étude de ceux-ci, il a fallu reconsidérer le modèle. Dans la suite, les constatations sont reprises
et un nouveau modèle est introduit.
Problèmes rencontrés avec le maillage grossier
Des contraintes de 52.3 kPa existent déjà dans le mur avant que l'onde de choc arrive (t =
1,1 ms). Etant donné que la résistance à la traction du mortier est de 200 kPa, l'influence
de ces contraintes n'est pas à négliger. En fait, en supposant une réduction de volume égale
pour le mortier et le béton due à la pression de l'air, des contraintes différentielles vont
apparaître vu que leur élasticité est différente. La solution serait de simuler l'action de l'air
sur le mur pendant un certain temps afin que la pression dans le mur se stabilise à la pression
atmosphérique et ensuite de faire le remapping du wedge dans l'air afin de calculer l'effet
de l'onde de choc proprement dite.
Gauge History ( mur-grossier) Gauge History ( mur-grossier)
300
250(r"/......
100
50
~~
-50
'fN'\~\rJvv" ""'"
50
o 1-{lJGau9~37101234567
TIME(ms)
-100o
TIME(ms)
1-{llGiJUtp# 116
FIGURE 5.15 - Pression pour une jauge
placée à 0.1 mm du mur (Autodyn-3D v1l.0
from Century Dynamics)
FIGURE 5.16 - Contrainte O'yy dans le mur
avant l'interaction avec l'onde (Autodyn-3D
vIl.0 from Century Dynam.ics)
- Etant donné qu'il n'y a que deux cellules dans le sens des z, la contrainte dans la face du mur
est diminuée. En effet, une valeur moyenne des contraintes pour 95 cm est considérée. Donc,
l'évolution des contraintes n'est pas correcte. Avec cette moyenne de contraintes, le mur est
plus résistant qu'avec un plus fin maillage. Avec un modèle plus maillé, on arriverait beaucoup
plus rapidement à la résistance ultime du mortier.
La phase négative de I'impulsion ne remonte pas à la valeur de la pression athmosphérique
(figure 5.14). Ceci est certainement dû à la condition aux Iimites flow out appliquée au
96
5. Simulation avec Autodyn@
modèle. L'énergie s'en va par ce flow out.
Modèle avec un maillage plus fin pour l'espace d'air et le mur
Comme dit précédemment, le maillage du mur et de l'air doivent être réduits. Si on considère
la taille de la plus petite cellule du mur comme limitation de la taille des cellules de l'air, il
faut que celles-ci soient inférieures à la mm. Avec cette finesse du maillage de l'air, le temps de
simulation serait très long. C'est pourquoi il a été décidé de simuler la propagation de l'onde
de choc dans un bloc d'air de même dimension, avec un maillage moins fin (cellules de 20 mm)
et sans la présence du mur. La simulation est stoppée avant que l'onde ait parcouru les 5 ln
séparant l'explosif du mur. Ceci est fait dans le but d'importer ce fichier dans le modèle final
3D. De plus, le maillage pour le modèle 3D avec le mur va être fait en utilisant la méthode
de grading. Ceci permet d'utiliser une gradation dans le maillage dans les trois directions. Le
maillage choisi pour l'air est expliqué sur la figure 5.17.
-
)(<;-------+E----------........,.).<i---7~
100mm grading entre 5 et 100 mm 5 mm 20 mm
FIGURE 5.17 - Maillage du bloc d'air
Bien que le logiciel donne la possibilité d'exécuter cette méthode, le remapping n'a pas pu être
fait. Ceci est peut-être dû à la méthode de grading utilisé. Le nombre de cellules n'est pourtant
pas grand (un peu plus de 700 000 cellules). Le maillage a alors été rendu constant dans la
direction z (plus de 1 190 000 cellules). Le remapping a pu être exécuté mais la simulation de
l'onde donnait des résultats complètement erronés.
5.2.6 Modèle simplifié
Il a été décidé de modifier le modèle précédent et de le simplifier, ceci dans le but d'éviter
de faire un remapping 3D-3D et de diminuer le nombre de cellules. Comme on le verra par
la suite, l'option choisie ne s'écarte pas trop de l'onde plane. Il est utile de noter qu'avec cette
méthode, il n'est pas possible d'introduire l'effet du sol pour obtenir une onde de Mach.
97
5. Simulation avec Autodyn@
La méthode suivie se fait en deux étapes. Premièrement, on simule la propagation de l'onde de
choc sur 3800 mm (modèle 1D). Deuxièmement, le wedge est importé pour simuler le problème
final en 3D.
Une étude du maillage du wedge a d'abord été faite. Les résultats sont repris dans le tableau
6.3.
Autodyn@ Conwep@ Erreur (%)
Dimension Pression de Intensité du pic de surpression Ajout de Patm
des cellules la jauge [kPa] incidente r; [kPa] P so + Patm [kPa]
4 mm 204,54 117,5 218,83 6,5
2 mm 206,21 " " 6,11
0,5 lunl 208,73 " " 4,83
0,2 mm 209 " " 4,7
TABLE 5.7 - Comparaison des pressions incidentes pour le wedge Autodyn@ - Conwep@
(distance du wedge = -lm)
Le wedge repris dans la suite de l'étude est celui ayant des cellules de 0,5 mm puisqu'il apporte
une bonne précision. Toutefois, le temps de simulation est important (10 heures). Diminuer
encore la taille des cellules demande un temps de simulation encore plus important sans pour
autant diminuer considérablement le pourcentage d'erreur.
Le mur a les mêmes dimensions que précédemment. L'effet du flow out n'est pas très grand
dans ce cas-ci puisque l'onde introduite dans le modèle est fort proche du mur (200 mm). Une
paroi est malgré tout ajoutée autour du mur (même en dessous) afin de limiter au maximum
cet effet.
La résistance à la traction du béton et du mortier a été augmentée. Pour le béton, celle-ci
passe de 250 kPa à 3000 kPa et pour le mortier, elle passe de 200 kPa à 2000 kPa. Non seulement,
l'influence des contraintes différentielles devient négligeable mais aussi les valeurs vues en théorie
sont rejointes.
98
5. Simulation avec Autodyn@
Les dimensions du bloc d'air sont les suivantes:
Longueur 1000
Hauteur 2000
Epaisseur 4700
TABLE 5.8 - Dimensions du bloc d'air
La figure 5.18 montre le modèle 3D établi.
CycleO
FIGURE 5.18 - Modèle 3D simplifié comprenant le mur entouré d'une paroi. Les vecteurs de
vitesse sont aussi représentés (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)
Etude de la pression réfléchie
Les jauges sont placées dans l'air à 0,1 mm du mur au milieu de la largeur de celui-ci. Le profil
des pressions pour différentes hauteurs est repris à la figure 5.19. Les coordonnées de ces jauges
sont mises à l'annexe 3.
La durée de la phase positive pour la jauge placée à mi-hauteur du mur vaut 4 n1S et le pic de
pression est de 260,15 kPa (en 0.9 ms},
Un ZOOln sur les pics de pression est montré à la figure 5.20. La différence entre les deux pics
extrêmes vaut 12,09 kPa et leur décalage est de 0,2 ms. L'onde peut être acceptée comme une
onde plane.
99
5. Simulation avec Autodyn@
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
250
200
150
100
50
- ..
-\\/', - (1)Gaugo#47
~ (2)Gau90# 48
"(3)Gauge# 49
i"'-:--="":- (4)G8uge# 50
- (5)Gaugo# 51
1 1 (6)G8uge# 52
o 10 20TIME(ms)
30 40
FIGURE 5.19 - Profils des pressions réfléchies pour les jauges placées à différentes hauteurs au
milieu de la largeur du mur (Autodyn-3D v1l.0 from Century Dynamics)
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
- (1)Gauge#47
(2)Gauge#48
(3)Gauge#49
- (4)Gauge# 50
(5)Gauge#51
(6)Gauge#52
5432
......; ~ l .
'111
.--- ----,
50-t----;-----,i----;----;----11l '----'-'-'----"-'--'--'
o
250 .
100
----200
~~::>~ 150~a.
TIME (ms)
FIGURE 5.20 - Zoom sur les pics de pressions (Autodyn-3D v1l.0 from Century Dynarnics)
100
5. Simulation avec Autodyn@
Puisqu'aucun obstacle n'est présent entre le wedge et le mur, il est possible de comparer la
pression réfléchie obtenue par Autodyn@ avec celle donnée par Conwep@. La jauge utilisée
pour la comparaison se trouve à 795 mm au-dessus du sol et à 0,1 mm du mur.
Autodyn@ Conwep@ Erreur (%)
Pression - jauge à Intensité du pic de la pression Ajout de Patm
mi-hauteur à 0,1 mm du mur [kPa] réfléchie P r [kPa] r; + Patm [kPa]
260,1 339,1 440.43 40%
TABLE 5.9 - Comparaison de la pression réfléchie obtenue avec Conwep@ et Autodyn@
Gauge Hisfory ( mur-euler-moifié-épaisseur )
250
200
cu0e~ 150:::J
1100
50
_.
~\V'\
<,'-:---~
1 1 1 ( 1)Gaugo#431a 10 20
TIME(ms)
30 40
FIGURE 5.21 - Evolution des pressions réfléchies en fonction du temps (maillage de l'air grossier)
- jauge à une hauteur de 795 mm
Le pourcentage d'erreur est relativement important. Ceci est dû au maillage grossier de l'air. Il
ne faut pas oublier que le wedge a été simulé avec des cellules de 0,2 mm, Ici, le maillage de l'air
est composé de cellules de 90 mm. Il est donc logique qu'il y ait une grande perte d'information,
Etude clu mur de référence
Chaque mur a tout d'abord été simulé avec un maillage grossier pour l'air (les cellules sont
légèrement inférieures à la moitié de l'épaisseur du mur), et ensuite avec un maillage dont les
dimensions des cellules d'air sont inférieures à la plus petite dimension du mur sans considérer
le mortier de 10 mm. Ceci permettra de mettre en avant l'influence du maillage de l'air.
Pour le modèle grossier, une étude qualitative est faite tandis que pour le modèle avec un maillage
fin, une analyse quantitative est réalisée.
101
5. Simulation avec Autodyn@
Simulation 1 - Euler maillage grossier
Le tableau 5.10 donne les différentes dimensions considérées pour la construction du bloc d'air
et du mur.
Dimensions de l'espace air (mm) Dimensions des cellules (mm)
Longueur 1000 90
Largeur 2000 90
Hauteur 4700 90
Dimensions du mur (mrn) Dimensions des cellules d'un bloc (rnm)
Longueur 1590 43,3
Hauteur 1590 38
Epaisseur 190 23,75
TABLE 5.10 - Dimensions et maillage du bloc d'air et du mur
La première étude est faite sur 3 jauges qui se trouvent dans le béton à une hauteur de 695
mm. La première (jauge 1) est au niveau de la face avant du mur, la deuxième (jauge 5) au
milieu et la troisième (jauge 8) dans la face arrière.
Les déplacements latéraux des jauges sont donnés à la figure 5.22. Le mur subit une première
flexion dans le sens de la propagation de l'onde de choc, puis part vers l'arrière en passant
par sa position initial. La suite du mouvement des jauges montre une oscillation autour d'une
valeur de Z inférieure à sa valeur initiale. Le mur a subi de petites déformations plastiques.
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
10050TIME(ms)
i
-'~"'~'~'-,"~,
~~F
...-....... 11- (1IGaUge#11
- 'FFF' (2)Gauge# 5
1 (3)Gauge# 8oo
50
150
FIGURE 5.22 - Evolution des déplacements dans le temps (Autodyn-3D v11.0 from Century
Dynamics)
102
5. Simulation avec Autodyn@
A la figure 5.23, l'évolution des contraintes rJy y pour chacune de ces 3 jauges est donnée.
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
o~ë'::O~ij --\---------- -~------------~-- --------.: ---- •.------~-----
-;--2.0000e-~13 -4.000 -+--------. ;-,--..-+---+--.-.-----;---..--------;------.-----;---------"-'--1
~Cf)
-6.000-+--------.--+'--. -.------;-----------;---. --------;------------,---·------··-'--1
-8. 000 -t------- ..·--i'.-·}-------i--------..--;---·--------+---------.+--_.-----.-i--j
o 50TIME(ms)
100
FIGURE 5.23 - Evolution des contraintes rJyy dans le temps (Autodyn-3D v11.0 from Century
Dynamics)
La jauge 1 subit d'abord de la compression puis de la traction. La jauge 8 située sur l'autre
face subit quant à elle d'abord de la traction et puis de la compression. Ceci correspond bien
au déplacement latéral des jauges en fonction du temps vu précédemment lors de l'étude du
déplacement Z. A partir de 50 ms, les contraintes ont tendance à se stabiliser.
La contrainte en compression pour la jauge 8 est nettement supérieure à celle de la jauge 5.
La compression dans le mur due à la flexion se fait donc plus ressentir lors de la flexion dans
le sens opposé de la propagation initiale de l'onde de choc.
103
5. Simulation avec Autodyn@
Il est intéressant d'étudier l'évolution des contraintes et du déplacement latéral dans le mur
en fonction du temps. Pour cela, seule la jauge 1 est étudiée. En superposant les graphes de
la pression réfléchie, des contraintes et de la déformation, plusieurs constatations sont à faire
(figure 5.11).
Pour la jauge 1, lorsque le déplacement dans le sens de la propagation de l'onde a lieu, les
contraintes sont négatives (compression}. Lorsque le déplacement maximal est atteint, les
contraintes atteignent simultanément la valeur maximale en compression. Au moment où la
jauge revient à sa position initiale, les contraintes redeviennent nulles pour ensuite devenir
positives (traction). Ces résultats correspondent à nos attentes. En effet, lors de la flexion
d'un mur, la face sur laquelle la charge est appliquée est mise en traction tandis que l'autre
est en compression. La deuxième compression a une intensité plus faible que la première. La
jauge 1 ne retourne plus à sa position initiale.
Le temps de la phase positive de l'onde de choc est 4 n1S et le pic de pression arrive après 0,9
ms. Les contraintes atteignent la valeur maximale en compression en 8,3 n1S et redeviennent
nulles en 13,6 ms. Le déplacement selon z passe par un maximum en 8,2 ms et retourne à sa
position initiale en 14,1 n1S. On constate donc un décalage en temps de l'influence de l'onde
de choc sur le mur.
Les contraintes commencent à devenir non négligeables seulement après le pic de la phase
positive de l'onde de choc. L'influence de l'onde de choc ne se fait pas ressentir tout de suite.
La phase négative peut être la cause du retour du mur.
104
5. Simulation avec Autodyn@
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
3020TIME (ms)
10-l---'---r-....:--i------:...--j--:---j1- (1)Gauge# 11
40
,,r,,,,,,,,-r,,,,-,,,,r,,,,-w'"",;"",..",~,.,"'_\
14
12
10E.s-N 8
6
4
20
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
-2.000
1.000
(11
~~CI)CI)
~ -1.000CI)
o
ril.J, 1 ," 1 \.v.~
".--.
f "-
"- ... _--
J'\.~
._--
V'\
\./1- (1)Gauge# 11
o 10 20TIME (ms)
30 40
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
50
200
250
(11o,e~ 150:::>CI)CI)
~a, 100
_.
-
\- ------ \
V'\
't'-....: r-~ 1- (1)Gauge#53!1 1
o 10 20TIME(ms)
30 40
TABLE 5.11 - Déformation Z, o-yy et P; en h = 695 Innl en fonction du temps pour la jauge 1 et
le maillage grossier (Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)
105
5. Simulation avec Autodyn@
L'étude suivante se penche sur les jauges placées dans la face avant du mur. Les jauges 1, 9
et 17 se trouvent au niveau de la face avant du mur à des hauteurs différentes. A la figure
5.24 sont m.ontrés les déplacements latéraux de ces jauges. Les jauges 1 et 9 se trouvant dans
le béton montrent le même déplacement en fonction du temps. En ce qui concerne la jauge
17 dans le mortier, son déplacement correspond au déplacement des deux autres jauges pour
les 20 premières millisecondes. Par la suite, son évolution s'écarte un peu de celle des autres
jauges.
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
15
10E.§..N
5
- I~~.
/ \\
\\
\-
\ [i;~\~\J'i \çj 1-(1)G~g" 1 1
' (2)Gauge# 9
i (3)Gauge# 17
o 10 20 30 40 50 60TIME (ms)
FIGURE 5.24 Déformation du mur au niveau des jauges 1, 9 et 17 en fonction du temps
(Autodyn-3D v11.0 from Century Dynamics)
Le profil des contraintes dans le mortier (figure 5.25) est complètement différent après 20
ms. Le m.ortier subit une importante compression (8193 kPa) lorsque le mur retourne vers sa
position initiale (seconde oscillation). Ceci peut s'expliquer par le fait qu'il y a une fissuration
dans le mortier (figure 5.26). Une contrainte est par définition une force appliquée sur une
surface. Etant donné que le nombre de points de contact diminue suite à la fissuration, on
peut dire que la surface diminue et donc que la contrainte augmente. Les pressions réfléchies
à la hauteur de ces trois jauges présentent le même profil.
En ce qui concerne le problème des contraintes différentielles, elles ne sont pas présentes dans
le cas de cette simulation (Annexe Partie 1).
106
5. Simulation avec Autodyn@
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
2.000 -+------------:-----1--!~-·-----·-----~'''''''~~,,,.,*,~"''·----..-----..;-----,-------1
O~~,~---------:--·tl---·--":':----··----}··-----··-----;.----- ..-----.,---'--·------1
(\1e,6-2.000~CIlCIlW~ -4.000-+------------;------------;------------:,"----------.:------------,-----------'1CIl
-6.000-+-----------:------------;------------;--+--------~:------------;------------j
-8. 000 ....+-.----- .. ---;------------;------- .... --;-------,,!--:------..----,....---------j 1
o 10 20 30 40 50 60TIME(ms)
FIGURE 5.25 - Contraintes dans les jauges 1, 9 et 17 (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dynamics)
FIGURE 5.26 - Fissuration dans le mortier après 37 ms (Autodyn-3D vl1.0 from Century Dy
namics)
107
5. Simulation avec Autodyn@
- Simulation 2 - Euler maillage fin
Comme dit précédemment, une deuxième simulation a été faite avec un maillage plus fin pour
l'air. Les dimensions des cellules sont de 20 mm dans les trois directions.
La valeur du pic de la pression réfléchie pour la jauge à mi-largeur du mur est reprise dans
le tableau 5.12. En la comparant avec la valeur obtenue avec Conwep@, on constate que
le pourcentage d'erreur est de 40 à 16%. Il est important de noter qu'une simulation avec
le maillage fin demande 50 h pour un temps de simulation de 50 ms, Le maillage grossier
demande environ 15 heures.
Autodyn@ Conwep@ Erreur (%)
Pression - jauge à Intensité du pic de la pression Ajout de Patm
mi-hauteur à 0,1 mm du mur [kPa] réfléchie P r [kPa] P r + Patm [kPa]
368,02 339,1 440.43 16,44%
TABLE 5.12 - Comparaison de la pression réfléchie obtenue avec Conwep@ et Autodyn@
Le tableau 5.13 reprend le déplacement de quatre jauges. Il en ressort que ces jauges subissent
le même déplacement latéral dans un même laps de temps. Les trois premières sont situées
dans le béton et la quatrième dans le mortier.
N° des jauges Z1I1ax - Zinitial Temps Temps du retour
coord.irnrn) (mm) (ms) (ms)
1 (béton) 3,007 7,8001 13,6
(x = 76 2'Y = 695' Z = 11 9), , , ,
8 (béton) 3,13 7,8001 13,5
(x = 76,2; Y = 695; Z = 178)
9 (béton) 2,87 7,3001 13,5
(x 76 2' Y = 895' Z = 11 9), , , ,17 (mortier] 2,997 7,6 13,5
(x = 2 5' Y = 795' Z = 11 9), , , ,
TABLE 5.13 - Déformation maximale du mur dans la direction de propagation de l'onde de choc
pour le maillage fin de l'air
108
5. Simulation avec Autodyn@
Pour les mêmes jauges, les valeurs extrêmes des contraintes Œy y sont reprises dans le tableau
5.14. Les contraintes négatives montrent la présence de compression et les positives la présence
de la traction.
N° des jauges 0"yy traction Te111ps Retour O"yy=O O"yy compression Temps
(kPa) (rns) (ms) (kPa) (l11S)
1 (béton) 3497,6 26,8 11,7 -2171,9 8,3001
8 (béton) 788,37 4,8001 10,7 -9095,8 24,4
9 (béton) 1934,3 17,5 12,25 -2329,8 5,0002
17 (mortier) 815,38 15,3 11,2 -8173,6 36,1
TABLE 5.14 - Contraintes O"yy en compression et en traction pour les jauges 1, 8, 9 et 17 (kPa)
Les figures 5.27 et 5.28 montrent l'évolution des déplacements et des contraintes pour ces
jauges. Les résultats en ce qui concerne les contraintes pour la jauge 8 sont évidemment
différents puisque cette jauge est placée du côté de la face arrière du mur.
Gauge History ( mur-eulerfln ) Gauge History ( mur-eulerfln )
-~ C'C"~c".'C,~,,~"'"~ ,~~,
- (1)Gauge# cl
- c""~ (2)Gauge# 8,-
~, (3)Gauge# 9
1 1 (4)Gauge# 17
5040302010o
2.000
o
-6.000-l---------·.---;-··-----·---H-------------:{----1,----f+--)~-------+··-----I
- (1)Gauge# 1-8.000-l----------.---~--------------;\--------,J--~------V---c-: ::T- I (2)Gauge# 3
(3)Gauge# 9
I---i----i---i---i---i----l ~ (4)Gauge# 17
i -2.000-+-----T-"""f'-----c\c------;.c------------i
~
~ -4.000-+------------,-··-----··+---~-------------H-,i------1',-------------~--c·----1Cf)
5040302010o
o
50
150
~ 100N
TIME (ms) TIME(ms)
FIGURE 5.27 - Evolution des déplacements
pour les jauges 1, 8, 9 et 17
FIGURE 5.28 - Evolution des contraintes
pour les jauges 1, 8, 9 et 17
109
5. Simulation avec Autodyn@
Comparaison entre le maillage grossier et le maillage fin de l'air
Le déplacement et les contraintes sont étudiés pour la jauge 1 et la jauge 9.
Maillage grossier Maillage fin Différence en %
jauge 1
Valeur Temps Valeur Temps Valeur Temps
Déplacement max Z [lnln] 3,18 8,2003 3,007 7,8001 5,44 4,88
Contraintes (J"yy 2581,4 8,3001 2171,9 8,3001 15,8 0,001
en compression
jauge 9
Valeur Temps Valeur Temps Valeur Temps
Déplacement max Z [mm] 3,02 7,8001 2,87 7,3001 5 6,41
Contraintes (J"yy 2346,6 6,5002 2329,8 5,0002 0,73 23
en compression
TABLE 5.15 - Comparaison des valeurs des déplacements et des contraintes pour les jauges 1 et
9 pour les maillages grossier et fin
En comparant deux jauges différentes, l'influence du maillage peut être faible pour l'un et
importante pour l'autre. Par exemple, pour la jauge 1, le pourcentage d'erreur pour les
contraintes est non négligeable tandis que pour la jauge 9, l'erreur est quasi nulle. Il est
donc difficile de vraiment déterminer l'influence négative ou positive du maillage de l'air. Il
semble pourtant plus approprié d'opter pour le maillage fin. La pression réfléchie est la seule
valeur qu'il est possible de confirmer ou d'infirmer grâce à une autre méthode.
Le remapping ne se fait pas sans perte d'infonnation. Il est donc nécessaire de conserver un
maillage assez fin dans le modèle 3D. Le maillage grossier montre un pourcentage d'erreur
pour la pression sur le mur de 40% tandis que le maillage fin présente un pourcentage d'erreur
de 16%. La solution serait donc d'affiner le maillage de l'air, au moins pour la zone proche du
mur. Ceci demande évidemment un temps de simulation plus grand. Vu le temps de simulation
avec le maillage de l'air fin, l'étude a été faite sur 50 n1S. Il serait évidemment intéressant de
faire celle-ci sur un temps plus long.
110
5. Simulation avec Autodyn@
Etude paramétrique
En plus du mur de référence (h = 1590 lnm et t = 190 mrn), deux simulations supplémentaires
ont été exécutées pour faire une étude paramétrique. Le premier mur a une épaisseur de 120
mm et le deuxième une hauteur de 1190 mm,
Le tableau 5.16 reprend les valeurs des déformations maximales de la section au milieu de ces
3 murs dans le sens de propagation de l'onde. Ce sont les valeurs obtenues avec la jauge, située
à mi-hauteur du mur dans le mortier sur sa face avant qui seront étudiées par la suite. En ce
qui concerne le déplacement lors de la flexion du mur du côté du centre d'explosion, un ordre
de grandeur est donné. Les simulations avec le maillage fin dure plus de 2 jours. Pour 50 ms de
temps de simulation, l'évolution du déplacement en fonction du temps montre une oscillation. Il
faudrait simuler le phénomène suffisamment longtemps pour connaitre la valeur du déplacement
lorsqu'il y a stabilisation de cette évolution. Dans cette étude, seule la flexion du mur dans le
sens de propagation de l'onde sera étudiée.
Mur Hauteur Epaisseur Déformation Temps Ordre de gran- Rupture
h t Max. deur des
(mm) (mm] Z > 0 (mm) (ms) déplacements mi- avant 50 ms
nimaux
1 1590 190 2,997 7,6 entre z = 7,33 et non
5,54
2 1590 120 7,027 9,0002 pas d'oscillation rupture(-)
3 1190 190 1,865 5,8 entre z = -1,78 et non
4,4
TABLE 5.16 - Déformation maximale du mur dans la direction de propagation de l'onde de choc
ainsi que le sens de sa rupture s'il y a rupture
111
5. Simulation avec Autodyn@
Le mur avec une plus petite épaisseur subira une rupture dans les 50 premières millisecondes.
Ceci rejoint les résultats obtenus de manière analytique pendant l'étude paramétrique des trois
fonctions de résistance: plus l'épaisseur diminue, moins le mur est résistant.
Notel :
- Mur 1 -+ coordonnée de Z initial de la jauge étudiée: 11,9 mm
- Mur 2 -+ coordonnée de Z initial de la jauge étudiée: 7,5 mm
- Mur 3 -+ coordonnée de Z initial de la jauge étudiée : 11,9 mm
Note2 :
Etant donné que les dimensions du mur à étudier étaient différentes pour les trois murs considérés,
il a fallu adapter le maillage du mur et par conséquent aussi celui de l'air.
Maillage du mur 2 :
- Mur 30; 27; 15
- Euler 18,18; 18,02; 18,01
Maillage du mur 3 :
- Lagrange 43,3 ; 38; 23,75
- Euler 20; 20; 20
112
5. Simulation avec Autodyn@
Comparaison des solveurs pour l'air
Autodyn@ luet à la disposition des utilisateurs plusieurs solveurs pour l'air. Dans le cas de cette
étude, les solveurs FCT et Godunov peuvent être utilisés. Le premier a été optimisé pour les
problèmes de dynamique des gaz. Un seul gaz idéal peut être considéré par parts. Le deuxième
peut employer différents matériaux dans une parts.
Une simulation supplémentaire a été effectuée pour voir l'influence du choix du solveur de l'air.
Dans le tableau 5.17 sont rassemblées les valeurs des pressions réfléchies (pour la jauge 43 à
mi-hauteur du mur et à une distance de 0,1 mm de celui-ci). Ensuite, on étudie les déplacements
latéraux et les contraintes en compression (jauge 1 située à une hauteur de 695 mm).
Euler FCT Euler Godunov
Valeur temps correspondant (ms) Valeur temps correspondant (ms)
jauge 43
Pression max (kPa) 260,15 9,0013 276,16 9,001
Retour (lUS) 4 3,2
jauge 1
Déplacement max (mm] 15,08 8,2003 14,942 8,6
O"yy en compression 2581,4 8,3 2365,5 8,5002
TABLE 5.17 - Comparaison de l'influence des solveurs FCT et Godunov en considérant les pics
des pressions réfléchies pour la jauge 43, les déplacements latéraux et les contraintes pour la
jauge 1
Les graphes 5.18, 5.19 et 5.20 montrent que les profils des pressions n'ont pas la même allure.
Bien qu'il y ait cette différence, l'évolution du déplacement et des contraintes pour la jauge 1,
sont semblables, Les différences des valeurs dans le tableau 5.17 montrent tout de même que le
choix du solveur peut avoir une certaine influence. Par exemple, si pour un des deux modèles les
contraintes dépassent la résistance ultime, le modèle en question montrera une fissure alors que
pour l'autre celle-ci n'apparaîtra pas. Il faudrait donc faire des tests expérimentaux et comparer
les valeurs des deux modèles pour confirmer lequel des deux solveurs convient le mieux pour
l'étude de l'interaction d'une onde choc avec des murs en maçonnerie non renforcée.
113
5. Simulation avec Autodyn@
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur ) Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur-god )
50
250
200
&~ 150:::J
m0::a. 100
-
----
- \-----,V\
-:- - 1- (1)Gauge#43 11 1
100
250
-;'200~~:::JUl
~ 150a.
-
~\V'\
'j"-.... -1 1 ('1)Gauge# 431
o 10 20TIME (ms)
30 40 o 10 20TIME (ms)
30 40
TABLE 5.18 - Diagrammes des pressions réfléchies pour la jauge 43 - gauche FCT, droite
Godunov
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur ) Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur-god )
- V-.i: "--7 \
\\
\\
- \ /~
",
V
1 ('1)Gauge# 1 1
i/ \-} \\\\ L
\ V:<, 1- ('1)Gauge#1 1
~
ES-N
15
10
5
oo 10 20
TIME (ms)
30 40
14
12
~ 10N
8
6
o 10 20TIME(ms)
30 40
TABLE 5.19 Diagrammes du déplacement latéral de la jauge 1- gauche: FCT, droite: Godunov
114
5. Simulation avec Autodyn@
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur) Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur-god )
403020TIME (ms)
10o
AL }
r \1 ~~~
.ft r-,\ 1
- ..... 1
_\ /i~ 1- (l)Gauge# 11
2.000
1.000
li]
0-c~ 0(f)(f)
~1-(f)
-1.000
-2.000
403020TIME (ms)
10o
4.W~
JIo. 1 \
" 1 ~~._---
f ""'- ......-,
1 '\,~
._----
1-J\,1- (1)Gauge# '1 1
o
-2.000
1.000
li]
~~~~ -1.000(f)
TABLE 5.20 - Diagrammes des contraintes (J'yy à la jauge 1 - gauche: FOT, droite: Godunov
Résultats des déplacements latéraux avant 50 ms
Les figures 5.29, 5.30 et 5.31 montrent le déplacement de la jauge 17 (h = 795 mm) dans les
trois lUlUS pour les simulations pour lesquelles le solveur Euler FOT est composé d'un maillage
fin.
- Mur 1
Gauge History ( mur-eulerfin )
5040302010
r-'/ \
\\\
\ r- \
\/V \>'--
1- ('I]Gauge#H 11oo
5
15
ES-N
10
TIME (ms)
FIGURE 5.29 - Evolution des déplacements de la jauge placée à lui-hauteur du mur 1
115
5. Simulation avec Autodyn@
- lVIur 2
Gauge History ( mur-pt-t-euler-fin )
10, ,1 l , 1~~ '- 1". 1 , __
1 l , 11 1 1 11 lIt1 lIt1 1 1 11 1 1 1
20 30TIME(ms)
10f------t----r----r---r--JI- (1)Gauge# 1 1
40o
-30
-40
-10ÊE
N-20
FIGURE 5.30 - Evolution des déplacements de la jauge placée à mi-hauteur du mur 2
- Mur 3
Gauge History ( mur-pt-h-euler-ûn )
1- (1)Gauge# 171
............ ' j -1- · .. i··············10 --i- -j-- + [ .
.............+ ..j. ~ ~ .--------------t---.-.------- i---_. _.-----_. -r _.- -----------~--------------E
SN 5
o 10 20 30TIME(ms)
40 50
FIGURE 5.31 - Evolution des déplacements de la jauge placée à mi-hauteur du mur 3
Lorsque le mur subit un déplacement dans le sens contraire à la propagation initiale de l'onde,
les matériaux subissent des déformations plastiques puisque le mur n'oscille pas autour de sa
position de départ.
116
5. Simulation avec Autodyn@
5.3 Problèmes principaux rencontrés lors de l'utilisation du lo
giciel Autodyn@
- Le nombre de cellules est en théorie limité par les ordinateurs disponibles à 4 millions de
noeuds. Or, on remarque que les modèles dépassant 1500000 cellules posent déjà des problèmes
comme par exemple le fait que le logiciel refuse de montrer les conditions aux limites intro
duites.
- Le temps de simulation du modèle de départ durait 1 jour (L=95 jE=90) pour une simulation
d'environ 100 ms . Un maillage plus fin testé par la suite (L=47,5/E=25) durait approxima
tivement 3 jours pour le mène temps de simulation.
- Lors de l'étude d'Autodyn@ , le solveur Euler 3D Multimaterial (Godunov) a été testé à la
place du solveur Euler FCT. Les 2 solveurs montrent des simulations qui ne sont pas similaires.
Le seul changement effectué est le solveur de l'air. Il faudrait par conséquent approfondir les
tests avec ces deux solveurs.
- Autodyn@ donne la possibilité d'introduire un facteur d'énergie. Ce terme permet de stopper
un problème si l'erreur d'énergie devient trop grande. Par défaut, la valeur vaut 0,05, ce qui
veut dire que la simulation est stoppée si l'erreur sur l'énergie dépasse les 5%. Ce facteur doit
parfois être augmenté pour pouvoir continuer une simulation. Pour le mur 2, il a fallu prendre
un facteur égal à 0,25.
Pour créer un matériau dans Autodyn@ , il faut connaître les lois de comportement. Pour
cela, de nombreuses expériences sont nécessaires.
- Un problème d'ordre pratique est qu'il n'est pas possible de changer un paramètre d'une parts.
Autodyn@ oblige l'utilisateur de supprimer l'objet qu'il a créé et ensuite de le reconstruire.
5.4 Conclusion
Ce chapitre a permis de faire l'étude de l'interaction d'une onde de choc sur un mur en maçonnerie
non renforcée. A cause de différents problèmes et de certaines limitations, il a fallu simplifier
notre modèle. Après l'étude de ce dernier modèle, une étude paramétrique a pu être faite. Les
conclusions qui en resortent sont identiques à celles de l'étude paramétrique faite pour les fonc
tions de résistance statique. Un mur moins épais résiste moins bien à l'onde de choc. Diminuer
la hauteur du mur est un moyen pour augmenter la résistance de celui-ci. Les déplacements
latéraux seront utilisés pour faire la comparaison entre le modèle analytique et le numérique.
117
Le but de ce chapitre est de comparer les résultats obtenus analytiquement et numériquement.
Les calculs analytiques permettent d'obtenir une fonction de résistance sous sollicitation statique
tandis que le logiciel Autodyn@ tient compte du phénomène dynamique du problème. Il est donc
nécessaire d'établir une méthode afin de comparer les résultats. La comparaison se fera essen
tiellement au niveau de la réponse dynamique du mur, c'est-à-dire sa déformation en fonction
du temps,
6.1 La méthode suivie
Pour pouvoir comparer les résultats, il faut que les données de départ soient les mêmes. Les di
mensions du Inur et les caractéristiques des matériaux utilisées dans Autodyn@ sont introduites
dans les calculs analytiques. Comme dit précédemment, créer soi-même un matériau dans le logi
ciel exige beaucoup d'infonnations. Celles-ci peuvent être obtenues par des tests expérimentaux
qui n'ont pas été menés dans le cadre de cette étude.
Sachant qu'Autodyn@ donne la réponse dynamique du mur, il faut établir une méthode
pour trouver celle-ci à partir de la fonction de résistance sous sollicitation statique. La méthode
trouvée pour comparer les calculs analytiques avec les numériques est d'utiliser le système SDOF
après avoir multiplié les propriétés des matériaux par un facteur dynamique.
6.1.1 Fonction de résistance sous sollicitation dynamique
Un matériau sujet à un chargement dynamique peut montrer un comportement différent de ce
lui obtenu lors d'un chargement statique. Les expériences montrent que les caractéristiques telles
que par exemple la résistance du béton croissent avec la vitesse de déformation. Le dimension
nement des structures sous l'effet d'une explosion est basé sur sa résistance ultime (TM5-1300,
(1990)). Pour tenir compte de l'influence favorable de la vitesse de déformation, un coefficient
118
6. Comparaison entre les calculs analytiques et numériques
majorateur (DIF : Dynamic Increase Factor) est appliqué aux valeurs statiques de la résistance
ultime.
La maçonnerie porteuse se comporte comme le béton mais avec une plus faible résistance (Bour
geois, 1999). Le «DIF ~ est donc inférieur à celui utilisé pour le béton. Des valeurs de ce
coefficient sont présentées dans de nombreux documents mais varient souvent d'une source à
l'autre. Le coefficient à prendre en considération dépend du matériau ainsi que du type de
contraintes. Le coefficient choisi pour cette étude vaut 1,2.
6.1.2 Résolution du SDOF à l'aide de NONLIN@
La première chose à faire est d'introduire les équations de la fonction de résistance des murs
en maçonnerie non renforcée, développées dans le chapitre 2, dans le modèle de réponse dy
namique à un degré de liberté (SDOF). Afin de résoudre l'équation différentielle du système
SDOF, le logiciel NONLIN@ sera utilisé. Le programme donnera comme résultat une fonction
qui représente le déplacement du mur en fonction du temps.
Pour utiliser le programme NONLIN@ , il faut entrer plusieurs paramètres. Ceux-ci sont en
partie obtenus à partir des fonctions de résistance des murs en maçonnerie non renforcée aux
quelles la résistance à la rupture a été multipliée par le facteur dynamique « DIF ~. Le K b1 est
la première pente de la fonction de résistance ainsi obtenue, Kb2 sa deuxième pente et Rbmax son
maximum. Il faut encore y introduire le coefficient d'amortissement et le poids. Le coefficient
d'amortissement est pris égal à °pour les raisons évoquées dans la théorie. Le poids à entrer
est le poids JY.h multiplié par le coefficient KL.M qui est égal au rapport des facteurs de masse et
de charge. Puisque le mur est simplement appuyé aux extrémités, on a opté pour le coefficient
proposé par Mays et al. (1995) qui est égal à 0,78. Les derniers paramètres à entrer sont les
caractéristiques de l'onde de choc, c'est-à-dire respectivement la pression réfléchie maximale Pb
et la durée d'inlpulsion de la phase positive ta. Le temps d'arrivé du pic de pression ta doit
également être introduit.
Il est important de signaler que la nomenclature utilisée dans le système métrique de ce
programme est le cm et le kN. La force dynamique appliquée est une Blast Force.
119
6. Comparaison entre les calculs analytiques et numériques
p
Rbmax
FIGURE 6.1 - Fonction de résistance
ta t
FIGURE 6.2 - Pression réfléchie sur le mur en fonction du temps
La méthode utilisée est schématisée ci-dessous.
Calcul analytique
Fonction de résistancesous sollicitation statique
Coefficientdynamique
Fonction de résistancesous sollicitation dynamique
SODF
Réponse dynamiqueZ=f(t) <~=====:>
Calcul numérique
Autodyn@
Réponse dynamiqueZ= f(t)
FIGURE 6.3 Méthode établie dans le but de comparer les résultats obtenus analytiquement et
numériquement
120
6. Comparaison entre les calculs analytiques et numériques
6.2 Comparaison des résultats obtenus avec les deux méthodes
Trois murs vont être étudiés dans cette section. Les caractéristiques de ceux-ci sont données
dans le tableau 6.1.
Mur Hauteur h Epaisseur t
(mm) (mm)
1 1590 190
2 1590 120
3 1190 190
TABLE 6.1 - Caractéristiques des murs repris pour comparer les 2 méthodes
6.2.1 Solution du SDüF
Pour faire la comparaison des déplacements avec les deux méthodes, il faut tout d'abord prendre
les valeurs du pic de pression et la durée de la phase positive donnée par Autodyn@ . Ensuite il
faut les introduire dans NÜNLIN@ ainsi que les autres paramètres nécessaire pour ce logiciel.
La deuxième phase du diagramme des pressions n'a pas été considérée.
Les 3 n1lUS sont soumis à la même sollicitation. Le temps d'arrivée ta est de 0,3 lllS et la phase
positive ta dure 3,9 lUS. La valeur de Pb est en kN. Il faut donc multiplier la pression réfléchie
obtenue avec Autodyn@ par la surface de la face avant. Puisque les murs 1 et 2 ont les mêmes
dimensions pour la face avant, le pic de la force Pb est identique et vaut 930,391 kN. Par contre,
le mur 3, qui a une hauteur plus petite est sollicité par une force inférieure valant 696,33 kN.
Le tableau 6.2 reprend les autres valeurs à introduire dans NÜNLIN@ .
KLl\II [-] 1YIb [kN] TVb [kN] Kbl [kN/ cm] Kb2 [kN/ cm] Rbmax [kN]
Mur 1 0,78 Il,403 8,894 5005,59 -395,849 650,227
lVlur 2 0,78 7,270 5,617 1202,66 -807,915 255,085
Mur 3 0,78 8,530 6,653 11661,25 -552,47 869,23
TABLE 6.2 Données à introduire dans NÜNLIN@
où liVb = K t.u Mi; est le poids à entrer dans le logiciel.
121
6. Comparaison entre les calculs analytiques et numériques
Résultats
- Mur 1
Le graphe de la force du ressort (spring force) en fonction du temps donne la force maximale
dans le ressort. Elle vaut 641,03 kN et elle est atteinte après 13 ms. Or le Rbmax entré dans
le programme est de 650,227 kN. Comme la valeur maximale de la fonction de résistance
n'est pas dépassée, on reste dans la première branche de la fonction de résistance. Le graphe
représentant le code d'écoulement en fonction du temps montre qu'on est dans le domaine
plastique.
Le fait que la force est appliquée en quelques millisecondes explique que malgré que Pb soit
plus grand que Rbmax, la déformation reste dans le domaine plastique et il n'y a pas rupture.
La déformation maximale vaut 3 mm. Elle est atteinte après 16 n1S.
FIGURE 6.4 - Mur 1 : le déplacement du milieu du mur, la force du ressort et le code d'éooulement
en fonction du temps
Mur 2
La structure est instable. NONLIN ne donne aucune solution.
Mur 3
La force maximale dans le ressort vaut 867,55 kN et dans ce cas-ci, elle est atteinte après
12 ms. Or le Rbmax vaut 869,23 kN. Comme la valeur maximale de la fonction de résistance
n'est pas dépassée, on reste dans la première branche de la fonction de résistance. Le graphe
représentant le code d'écoulement en fonction du temps montre qu'on est dans le domaine
plastique. La déformation maximale vaut 1 mm. Elle est atteinte après 14 ms.
122
6. Comparaison entre les calculs analytiques et numériques
FIGURE 6.5 - Mur 3 : le déplacement du milieu du mur, la force du ressort et le code d'écoulement
en fonction du temps
123
t--ltv~
Mur Hauteur h Epaisseur t Surcharge P Analyse SDüF : Analyse Autodyn@ différence en %
(mm) (mm) (N/mm) déplacement Max. (mm) déplacement Max. (mm) avec l'analyse SDÜF
1 1590 190 0 3 2,999 0%
2 1590 120 0 ... 7,027 ... %
3 1190 190 0 1 1,865 46 %
TABLE 6.3 - Comparaison des résultats obtenus par l'analyse SDüF de la fonction de résistance et par l'analyse des différences finies
OJ
QoS
focJ\;l:II-i\;l:Iu:ïo~
CD~c+I-iCD
~moe:..oe..o:
§
~"ê'
CDo:CDe-t-
~~
SCD,I-i
..o'~CDm
6. Comparaison entre les calculs analytiques et numériques
Le déplacement maximum augmente en diminuant l'épaisseur et diminue en augmentant la hau
teur du mur. Ceci s'explique par le fait que si la hauteur diminue ou si l'épaisseur augmente, le
mur présente plus de résistance.
En ce qui concerne la différence des valeurs, cela peut être dû à plusieurs facteurs:
- avec NÜNLIN@ , il est impossible de considérer le même diagramme de pression obtenu avec
Autodyn@ . Une approximation a ce niveau a dû être faite. De plus, il est nécessaire de noter
que seule la phase positive approximée a été introduite dans NÜNLIN@ .
- Pour travailler avec NÜNLIN@ , les 2 phases courbes de la fonction de résistance ont été
approximées par des droites. La fonction de résistance statique est établie en considérant l'ef
fet membranaire. Ce phénomène n'étant pas connu complètement, des approximations ont été
faites.
-les valeurs données par NÜNLIN@ ne sont pas assez précises. Le programme donne des temps
en centisecondes or une explosion dure quelques millisecondes.
- seulement 128 points sont pris en considération par NÜNLIN@ pour représenter les graphes.
-le programme NONLIN@ ne prend en compte que le premier mode de vibration de la struc-
ture tandis qu'Autodyn@ en considère plusieurs.
6.3 Conclusion
Les 2 méthodes permettent de démontrer qu'en diminuant l'épaisseur ou qu'en augmentant
la hauteur, le déplacement maximum du mur augmente. Comparer les résultats obtenus avec
NÜNLIN@ et Autodyn@ permet de savoir si la méthode analytique donne une bonne approche
de la réalité. La méthode analytique, malgré les nombreuses approximatons introduites, semble
acceptable. La suite de l'étude doit donc consister en une campagne de tests expérimentaux pour
confirmer cette constatation.
125
Etant donné la présence de risques d'explosion à l'intérieur de ses bâtiments, une entre
prise chimique a demandé à l'Ecole Royale Militaire d'examiner la résistance de leurs murs en
maçonnerie non renforcée.
7.0.1 Charges sur le mur
Une poutre et une dalle reposent sur le mur schématisé à la figure 7.1. La densité du béton
vaut 2400kg/m3 . Pour un bâtiment, il faut également tenir compte d'une charge de service de
3 kN/m2 appliquée sur la dalle.
12m
3,I,L.? - ····'···'···'.··"'·'·'·'·'·'.7
/ ,,.' ~./' .. ,,-
,.
,/ -7777T777777777777-T7-'/
FIGURE 7.1 - Mur en maçonnerie non renforcée sur lequel repose une poutre et une dalle
Dalle Poutre
Largeur [ml 9 0,2
Longueur [m] 12 9
Epaisseur [m] 0,2 0,2
TABLE 7.1 - Dimensions de la dalle et de la poutre
126
7. Exemple pratique
La charge transmise par la dalle à la poutre est établie par une méthode vue dans le cadre du
cours C0524 du Professeur Vantomme. Celle-ci stipule que si les deux appuis perpendiculaires
sont de même type (encastrement ou appui simple), la répartition des charges se fait selon un
angle de 45 (figure 7.2).
I2m
9m
FIGURE 7.2 - Dalle
Le tableau 7.2 reprend respectivement le poids par millimètre de largeur de mur de la dalle, de
la poutre et de la charge de service. Le poids total appliqué par millimètre de largeur sur la face
supérieure du mur y est également indiqué.
Poids de la dalle (triangle) [N/mm] 24 *20, 45 * 0,2/9 = 11,36
Poids de la poutre [N/mm] 24 * 0, 2 * 0, 2 = 0, 96
Poids de la charge de service [N/mm] 3 * 20, 45 *0,2/9 = 1,36
Poids total [N/mm] 13,68
TABLE 7.2 - Poids par mmillimètre de largeur de mur de la dalle, de la poutre et de la charge
de service ainsi que le poids total appliqué par millimètre de largeur de mur
127
7. Exemple pratique
Le mur a les dimensions suivantes (tableau 7.3) :
Largeur [mm] 9000
Hauteur [mm] 3100
Epaisseur [mm] 200
TABLE 7.3 - Dimensions du mur
7.0.2 Fonction de résistance sous sollicitation dynamique
Il faut introduire les données reprises ci-dessous dans le programme Matlab (Annexe: partie
2). Il permet d'établir les deux fonctions de résistance avec et sans effet membranaire.
V olume mur [mm3]
t 3
12
6,667 * 105
200 * 3100 * 9000
5,58 * 109
(7.0.1 )
(7.0.2)
(7.0.3)
(7.0.4)
lV[N/mm]5, 58 * 109 * 0.0024 * 9,81
1000 * 9000
14,59
13, 8 * 103 * 1, 2
1,66 * 104
(7.0.5)
(7.0.6)
(7.0.7)
(7.0.8)
13,8* 1,2
16,56
(7.0.9)
(7.0.10)
128
7. Exemple pratique
Le résultat est montré à la figure 7.3 pour le cas sans effet membranaire et à la figure 7.4 pour
le cas avec effet membranaire.
'"r
FIGURE 7.3 - Fonction de résistance sans effet membranaire
Fonction de résistance avec effet membranaire (ref : Moradi)
'vJ0 .na}..·+·········-\·..············ ·; · · .
déplacement latéral (mm)
FIGURE 7.4 Fonction de résistance avec effet membranaire
129
7. Exemple pratique
7.0.3 NÜNLIN@
Sans effet membranaire
Le tableau 7.4 ci-dessous reprend les valeurs qui doivent être introduites dans NüNLIN@ .
KLl\II [-] 0,78 (Mays et al. (1995))
u, [kN] 131,375
Wb [kN] 102,473
K b1 [kN/cm] 53,065
Kb2 [kN/cln] -1,61
Rbmax [kN] 15,479
Pb [kN] 446,4
ta [ms] 90
TABLE 7.4 Données à introduire dans NüNLIN@
Résultat sans effet membranaire
La force maximale dans le ressort vaut 42,38 kN . Le Rbmax entré dans le programme est de
15,479 kN. Comme la valeur maximale de la fonction de résistance est dépassée, il y a rupture
du mur. Elle a lieu après 0,27 s.
FIGURE 7.5 - Fonction de résistance sans effet mernbranaire
130
7. Exemple pratique
A vec effet membranaire
Le tableau 7.5 ci-dessous reprend les valeurs qui doivent être introduites dans NÜNLIN@ .
KLld H 0,78 (Mays et al. (1995))
NIb [kN] 131,375
liVb [kN] 102,473
Kbl [kN/cIn] 4662,187
Kb2 [kN/ cm] -599,705
Rbmax [kN] 2098,917
Pb [kN] 446,4
ta [ms] 90
TABLE 7.5 - Données à introduire dans NÜNLIN@
Résultat avec effet membranaire
La force maximale dans le ressort vaut 810,25 kN. Le Rbmax entré dans le programme est de
2098,917 kN. Comme la valeur maximale de la fonction de résistance n'est pas dépassée, on reste
dans la première branche de la fonction de résistance, c'est-à-dire dans le domaine élastique. Le
graphe représentant le code d'écoulement en fonction du temps confirme qu'on reste bien dans
le domaine élastique.
Le fait que la force est appliquée en quelques millisecondes explique que malgré que Pb soit plus
grand que Rbmax, la déformation reste dans le domaine élastique. La déformation maximale vaut
1,7 mm. Elle est atteinte après 30 ms.
7.0.4 Conclusion
L'effet membranaire étant considéré, la résistance du mur augmente. Dès lors, il faut veiller à
ne laisser aucun jeu entre le mur et les supports afin de pouvoir profiter de cet effet.
131
7. Exemple pratique
FIGURE 7.6 - Fonction de résistance avec effet membranaire
132
Dans la société d'aujourd'hui, il existe un risque croissant d'attaques terroristes par des fac
tions. C'est pourquoi les recherches dans le domaine de la résistance de structures sous l'effet
d'une explosion se sont multipliées ces dernières années. Ce mémoire de fin d'études a pour
but d'étudier, de manière analytique et numérique, la résistance d'un mur en maçonnerie non
renforcée soumis à une sollicitation dynamique latérale.
L'étude de la résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée s'inscrit dans un domaine très
spécialisé. Etant donné que le béton armé est généralement l'élément essentiel d'une construc
tion, la plupart des travaux effectués jusqu'à présent traitent de ce matériau plutôt que de la
maçonnerie. De ce fait, il fut difficile de trouver des informations parlant de la maçonnerie.
Néanmoins, nos recherches nous ont permis de comprendre l'interaction d'une onde de choc avec
des InlUS en maçonnerie.
Notre contribution personnelle au niveau théorique est de rassembler des théories traitant la
résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée et de les étudier. Les fonctions de résistance du
TM5-1300 (1990), de Smith et al. (1994) , et de Moradi (2008) ont été présentées. Le but n'est pas
de reprendre simplement les théories mais bien d'expliquer en détailles étapes intermédiaires
ainsi que d'établir une interprétation de ces fonctions de résistance.
Au niveau analytique, nous avons implémenté ces 3 fonctions de résistance dans le programme
Matlab afin d'effectuer une étude paramétrique pour mettre en évidence l'influence de certains
paramètres comme la hauteur, l'épaisseur, la résistance à la traction ou à la compression, la ri
gidité des supports ou encore la surcharge. Il ressort de cette étude paramétrique qu'augmenter
la résistance d'un nlur en maçonnerie non renforcée peut se faire en augmentant l'épaisseur du
mur, en diminuant sa hauteur, en ajoutant une surcharge, en augmentant la rigidité des supports
ou encore en utilisant des matériaux plus résistants pour construire ce mur. L'analyse montre
que considérer l'effet membranaire augmente de plus d'un facteur 100 la résistance du mur.
133
8. Conclusion
Au niveau numérique, plusieurs modèles ont été simulés à l'aide du logiciel Autodyn@ . Son
code de calcul utilise les différences finies. A cause de différents problèmes et de certaines limita
tions, il a finalement été décidé d'effectuer les simulations en 3D après un remapping d'un modèle
ID pour simuler la détonation de l'explosif. Seule l'influence de la hauteur et de l'épaisseur a
été étudiée. Cette étude paramétrique fournit les mêmes conclusions que celles tirées de l'étude
paramétrique de la fonction de résistance analytique pour ces 2 paramètres.
Sachant qu'Autodyn@ donne la réponse dynamique du mur, une méthode pour trouver celle
ci à partir de la fonction de résistance sous sollicitation statique a dû être établie. La méthode
consiste à utiliser le système SDOF après avoir multiplié les propriétés des matériaux par un
facteur dynamique.
Etant donné qu'aucune campagne de tests n'a été effectuée dans ce travail, il est impossible
de confirmer ou d'infinner la validité des 2 méthodes, Cependant, la comparaison des résultats
analytiques et numériques obtenus pour différents murs montre une certaine cohérence.
Il est important de mentionner la précision d'un modèle fidèle aux différences finies par rap
port à des techniques analytiques approximatives, comme la fonction de résistance basée sur
l'approche SDOF. Bien que l'approche SDOF soit facile et rapide, elle ne correspond pas au ni
veau de fidélité détaillée que peut fournir un modèle aux différences finies. Avec Autodyn@ , on
peut regarder de plus près le comportement de ces murs complexes. Le modèle numérique per
met d'examiner beaucoup de centres d'intérêt tels que la déformation du mur, les déformations
locales, les contraintes dans le mortier ou dans le béton composant la maçonnerie.
La continuation future de ce travail pourrait se développer dans plusieurs voies de recherche :
l'optimisation de la fonction de résistance. L'effet membranaire est encore un phénomène mal
connu.
la réalisation de tests expérimentaux statiques pour valider la fonction de résistance de Moradi
(2008).
l'optimisation du modèle utilisé dans Autodyn@
l'élaboration d'une série d'expériences en laboratoire sur des murs à échelle naturelle. Les
résultats obtenus permettront de perfectionner les modèles analytique et numérique proposés
et d'approfondir l'étude entamée dans le travail présent.
l'étude de I'amélioration de la résistance d'un mur en maçonnerie non renforcée apportée
134
8. Conclusion
en utilisant différents renforcements. Ceux-ci peuvent par exemple être des membranes en
polymère.
Notre recommandation est la suivante: dans tous les cas possibles, les murs sujets à la pression
latérale doivent être construits sans espace entre les supports (inférieur et supérieur) et le mur
lui-même afin de développer des forces membranaires.
135
8. Conclusion
8.1 Références
Bourgeois R., Constructions soumises à des sollicitations d'explosions, Torne I - cours C0583,
Ecole Royale Militaire, 1999.
Bourgeois R., Constructions soumises à des sollicitations d'explosions, Tome II - cours C0583,
Ecole Royale Militaire, 1999.
Century Dynamics Inc, Autodyn - User manual, Version Il, 2005.
Century Dynamics Inc, Autodyn - Remapping Tutorial, Revision 4.3, 2005.
Century Dynamics Inc, Autodyn - Theory - manual, Revision 4.3, 2005.
Century Dynamics Inc, Autodyn - Introductory Training Course, 2004.
DEPARTEMENT of DEFENSE Explosives Safety Board, TM5-1300/ NAVFAC P-397/ AFR
88-22, Departement of the Arrny, the Nav y, and the Air Force, 1990.
Drysdale R.G., Hamid A.A., Baker L.R.,1\!Iasonry and Structures: Behavior and Design, New
Jersey, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1994.
Eurocode 6, Calcul des ouvrages en maçonnerie - Partie 1-1 : Régles générales - Régles pour la
maçonnerie armée et non armée, ENV 1996-1-1, Bruxelles, CEN Comité Européen de Norrna
lisation, 1995.
Groupernent Belge du Béton, Technologie du béton, Bruxelles, Croupement Belge du Béton,
2006, 605 pages.
Kinney, G.P. et Graham, K.J., Explosive Shocks in Air, Second edition, New York, Springer
Verlag, 1985, 270 pages.
McDowell E.L., JVlcKee K.E., ASCE, A.M., Sevin E., Arching Action Theory of Masonry Walls,
Journal of Structural Division, Proceedings of ASCE, 1956, Paper 915, 1-18.
136
8. Conclusion
Paulay, T. and Priestley, M.J.N., Seismic Design of Reinforced Concrete and lViasonry Buildings,
New York, J. Wiley, 1992.
Smith P. D. and Hetherington J. G., Blast and Ballistic Loading of Structures, Oxford, Butterworth
Heinemann, 1994.
Vantomme J., Calcul des structures en béton, cours ERM C0524, 2002, 4t.
Pfefferrnann O., Maçonnerie portante, Kluwer, Diegem, 1999.
Couasnet Y., Propriétés et caractéristiques des matériaux de construction, 2èm e édition, Paris,
Le moniteur, 2007.
8.2 Thèses
Moradi L., Resistance of membrane retrofit concreie masonry walls to lateral pressure, Final
report, University of Alabama at Birmingham, 2008.
Trelat S., Impact de fortes explosions sur les bâtiments représentatifs d'une installation indus
trielle, Thèse de Doctorat - Université d'Orleans, 2006.
8.3 Présentations PowerPoint
Ndambi J-M, Présentation PowerPoint, Autodyn "Centuri} Dynamics@/ANSYS@ ,2007.
Ndambi J-M, Présentation PowerPoint, Hydrocodes - Applications: Explosions, 2007.
8.4 Sources internet
2007, http://www.roosens.com/blocsOl.htm
Demoroom : ANSYS Engineering Simulation Virtual D81noRoom, http://www.ansys.com/demoroom/
2004, http://www.betons-vicat.fr/betons/pdf[les.chapes.nncat.pdf
137
2008, http://ire.nre - cnrc.qc.ca]pubs1cod]ebd163_f.html
8. Conclusion
138
8. Conclusion
Annexes
Annexe 1 : Equation et modèles pour le logiciel Autodyn@
Annexe 2 : Paramètres des matériaux fournis par Autodyn@
Annexe 3 : Quelques simulations Autodyn@ pour le mur 1
Annexe 4 : Programmes Matlab pour établir les fonctions de résistance analytiques
139
9.1 Equations d'état (EOS)
La forme générale des équations d'état est la suivante:
p = pression hydrostatique [N/m2J
e = énergie interne [J/kg]
p = densité [kg/m3J
9.1.1 Gaz idéaux
p f( e, p) (9.1.1)
Les gaz idéaux sont définis par l'équation des gaz parfaits. Cette équation est une des formes
d'équations les plus simples. Cette équation sera utilisée pour décrire le comportement de l'air
ambiant dans les simulations.
L'équation peut être exprimée comme suit :
pv R*T (9.1.2)
avec p = pression [N/mm 2]
v = volume spécifique [m3 / kg]
R*= constante universelle R divisée par la masse moléculaire [Nm/Kkg]
T = température [K]
La relation entre la pression et l'énergie interne est la suivante:
p (9.1.3)
avec r = l'exposant adiabatique
140
9. Annexe 1
Avec Autodyn@ , lors de problèmes impliquant plusieurs matériaux, des petites pressions
initiales dans les gaz généreraient des vitesses indésirables des cellules. Pour éviter ces compli
cations, l'équation précédente a été modifiée comme suit:
P = (,- l)pe + PShift
Pshift est une petite pression initiale définie pour avoir p = 0 au début du calcul.
9.1.2 Poudres, béton et sols
(9.1.4)
Ces matériaux manifestent une déformation volumétrique irréversible due à l'écroulement du
noyau.
Pour ces matériaux, Autodyn@ prévoit trois EOS :
Porous
Compaction
P-alpha
Porous EOS of piecewise Linear Porous Model
L'évolution de la courbe densité/pression des matériaux poreux, tel que le béton, peut être
décolnposée en trois phases (figure 9.1)
- un chargement élastique
- une phase de compactage plastique
un matériau complètement comprimé
pressure
Plasticcompaction
\Elastic
unloading(variable slope)
~
Initialporousdensity
Fullycompacted
/
density
FIGURE 9.1 Comportement de chargement./déchargernent des matériaux poreux
Autodyn@ remplace la courbe définissant le compactage par une série de segments linéaires
à partir desquels le chargement et déchargement se fait de manière élastique. La pente du
141
9. Annexe 1
chargement/ déchargement élastique est linéairement interpolée entre la vitesse du son dans les
matériaux poreux et la vitesse du son dans les matériaux solides complètement comprimés (figure
9.2).
pressure
Plastic compaction path
\Elastic unloading/ reloading path(linearly interpolated
..v'" soundspeed)
Initial porousdensity
Solidsoundspeed
iL/
density
FIGURE 9.2 - Piecewise-Linear Porous Model
Compaction EOS
Le modèle Compaction est une extension du modèle Porous qui permet plus de contrôle sur la
pente de chargement et de déchargement. Au lieu d'être linéairement interpolée entre les valeurs
de densité des états poreux et compactés, la vitesse du son élastique est définie comme une
fonction de la densité (figure 9.3). Ce modèle est utilisé pour décrire le mortier.
1.2
1 --- --- t------i------i-------1-- -- ---1- --- ---f -----+-----------: : : : : : p
0.8 ------~------~------~-------:-------:-------:_--- c -- - -------
e 1 1 1 i i i ,~ 0.6 ------~------~------i-------:-------:-------:_------, ------ -------c: :::;:::
1 1 1 1 1 1 1
0.4 -----T----T-----r----r~;;~~: -- ---r------ -------0.2 --~----y-' P" -j-------------
O+---j---j--;----r--'-r---r------jr------jr-----.
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.-1 2.3 2.5
Density
FIGURE 9.3 - Compaction Model
P-alpha EOS
Les équations d'état Compaction et Porous donnent de bons résulats pour des niveaux faibles
de contraintes et des matériaux peu poreux. P-alpha EOS est une approche phénoménologique
142
9. Annexe 1
qui donne le comportement correct à hautes pressions mais qui en même temps fournit une
description raisonnable de la phase de compactage à de faibles niveaux de contraintes (figure
9.4). C'est sous la forme suivante qu'Autodyn@ a implémenté le modèle.
p =
Œ
1 v(-)f(-,e)
Œ Œ
Ps
P
(9.1.5)
(9.1.6)
9.1.3 Les explosifs
FIGURE 9.4 - P-alpha EOS
En ce qui concerne les explosifs, Autodyn@ propose trois modèle EOS JWL EOS (with
burn on time), Lee- Tarver EOS et Slow burn EOS.
Pour les simulations dans cette étude, le TNT est utilisé. Celui-ci est donné dans la bibliothèque
d'Autodyn@ . Le TNT est décrit par l'équation de Jones, Wilkins et Lee (JWL EOS for high
explosives,1973) (figure 9.5). L'équation d'état JWL est habituellement utilisée pour des pres
sions allant jusqu'à 100 MPa. Elle permet de modéliser la détonation des explosifs en supposant
que celle-ci est entièrement initiée.
L'équation est établie de la manière suivante :
(9.1. 7)
où A,B,RI,R2 , w sont des constantes ajustables
P = pression dans les produits de détonation (Pa)
e = énergie interne spécifique des produits de détonation [J.kg- I ]
V = volume spécifique
143
Total pressure
1
log PCJ point
/-:
C1e-r1v
\Sv -(1+w)
9. Annexe 1
log v
FIGURE 9.5 - JWL EOS
9.2 Equations constitutives (Strength model)
La formule générale est la suivante :
ou
y = f(E,E,T,D)
(9.2.1)
(9.2.2)
où Y = la contrainte d'écoulement (yield stress).
La dépendance en énergie interne ou en température revient au même puisque e = f (T).
Sols secs, roches, béton et céramiques
Le modèle Drucker-Prager est utilisé pour représenter certains matériaux comme le béton où
le comportement de cohésion et du compactage des matériaux résulte d'une augmentation de
la résistance jusqu'à une valeur limite de la résistance d'écoulelnellt et ce quand la charge aug
mente. Ceci est modélisé dans Autodyn@ de trois manières différentes possibles: une droite
(linear) (figure 9.6), des segments linéaires (Piecewise) (figure 9.7) ou une courbe (Stassi) (figure
9.8).
144
9. Annexe 1
y
p
FIGURE 9.6 - Drucker-Prager Linear
Yield stress Y varies with pressure aspiecewise Iinear function. Constant shearmodulusG
Yieldstress Y
Pieeewiselinear
Pressure p
FIGURE 9.7 - Drucker-Prager Piecewise
y
( p
Mortier, sable
FIGURE 9.8 Drucker-Prager Stassi
Autodyn@ a introduit le modèle MO Granular qui est une extension du modèle Drucker-Praguer
où les effets associés aux matériaux granuleux sont pris en compte. L'utilisateur doit fournir les
données suivantes :
- 10 points donnant Y en fonction de la pression (Pressure hardening)
10 points donnant Y en fonction de la densité (Density hardening)
10 point donnant le module de cisaillement en fonction de la densité (Variable shear modulus)
145
9. Annexe 1
avec Y qui est la contrainte d'écoulement
9.3 Modèle de rupture
9.3.1 Hydrodynamic Tensile Failure (Prnin)
Il s'agit d'un modèle de rupture isotropique. L'utilisateur doit spécifier une limite d'élasticité
(Hydrodynamic Tensile limit). Lorsque cette valeur est atteinte dans une ou plusieurs cellules,
le matériau est considéré comme brisé (Bulk fail). La pression est alors mise à zéro et l'énergie
interne est recalculée par le programme.
Ce modèle est assez simpliste mais il n'est pas toujours évident de trouver une valeur appropriée
pour la pression limite.
f-------~-----TimeHydrodynamicTensile Limit I-------~
FIGURE 9.9 - Hydrodynamic tensile failure 1110del (Plllin = constant)
9.4 Modèle d'érosion
Ce modèle ne s'applique qu'au maillage lagrangien. Avec ce procédé, certaines cellules sont
jetées. Il existe différents critères pour l'élimination des cellules. Ci-dessous est décrit celui qui
est utilisé pour le mortier et le béton.
La déformation géométrique instantanée (Instantaneous geometric strain)
La déformation géométrique instantanée Eef f est calculée directement à partir des composantes
de la déformation principale:
Cette valeur peut donc augmenter et diminuer en fonction des chargements et déchargements.
146
AUTODYN-2D Version 11.0.00e
MATERIALS
MATERIAL NAME: AIR
Equation of State Ideal Gas
Reference density (g/cm3 ) : 1.22500E-03
Gamma (none ) 1.40000E+00
Adiabatic constant (none ) O.OOOOOE+OO
Pressure shift (kPa ) O.OOOOOE+OO
Reference Temperature (K ) 2. 88200E+02
Specifie Heat (J/kgK ) 7. 17600E+02
Thermal Conductivity (J/mKs ) O.OOOOOE+OO
Strength
Failure
Erosion
Material Cutoffs
None
None
None
Maximum Expansion (none ) 1.00000E-01
Minimum Density Factor (none ) 1.00000E-04
Minimum Density Factor (SPH) (none ) 2.00000E-01
Maximum Density Factor (SPH) (none ) 3.00000E+OO
Minimum Soundspeed (m/s ) 1.00000E-02
Maximum Soundspeed (m/s ) 1.01000E+20
Maximum Temperature (K ) 1.01000E+20
Reference:
147
10. Annexe 2
"Thermodynamic and Transport Properties of Fluids, SI Units", GFC Rogers, YR Mayhew
MATERIAL NAME: TNT
Equation of State Ideal Gas
Reference density (g/cm3 ) : 1.63000E-04
Gamma (none ) 1.35000E+OO
Adiabatic constant (none ) O.OOOOOE+OO
Pressure shift (kPa ) O.OOOOOE+OO
Reference Temperature (K ) 2. 93000E+02
Specifie Heat (J/kgK ) O.OOOOOE+OO
Thermal Conductivity (J/mKs ) O.OOOOOE+OO
Strength
Failure
Erosion
Material Cutoffs
None
None
None
Maximum Expansion (none ) 1.00000E-01
Minimum Density Factor (none ) 1.00000E-08
Minimum Density Factor (SPH) (none ) 2.00000E-01
Maximum Density Factor (SPH) (none ) 3.00000E+OO
Minimum Soundspeed (mis ) 1.00000E-06
Maximum Soundspeed (mis ) 1.01000E+20
Maximum Temperature (K ) 1.01000E+20
Reference:
JWL Equations of State Coeffs. for High ExplosivesLee Finger & Collins.
UCID-16189. January 1973
MATERIAL NAME: CONCRETE-L
Equation of State
Reference density
Solid Soundspeed
Porous
(g/cm3
(mis
): 2.44000E+OO
) 2.20000E+03
148
10. Annexe 2
Porous Soundspeed (m/s ) 2.20000E+03
Density #1 (g/cm3 ) 2. 34000E+00
Density #2 (g/cm3 ) 2. 35000E+00
Density #3 (g/cm3 ) 2.40000E+00
Density #4 (g/cm3 ) 2.46000E+00
Density #5 (g/cm3 ) 2.50000E+00
Density #6 (g/cm3 ) O.OOOOOE+OO
Density #7 (g/cm3 ) O.OOOOOE+OO
Density #8 (g/cm3 ) O.OOOOOE+OO
Density #9 (g/cm3 ) O.OOOOOE+OO
Density #10 (g/cm3 ) O.OOOOOE+OO
Pressure #1 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #2 (kPa ) 2.50000E+04
Pressure #3 (kPa ) 7.00000E+04
Pressure #4 (kPa ) 1.30000E+05
Pressure #5 (kPa ) 2.50000E+05
Pressure #6 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #7 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #8 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #9 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #10 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Crush failure density (g/cm3 ) 1.01000E+20
Strength Drucker-Prager
Shear Modulus (kPa ) 7. 88000E+06
Pressure hardening type Piecewise
Pressure #1 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #2 (kPa ) 8.00000E+04
Pressure #3 (kPa ) 1.10000E+05
Pressure #4 (kPa ) 2.00000E+05
Pressure #5 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #6 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #7 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #8 (kPa ) O.OOOOOE+OO
149
10. Annexe 2
Pressure #9 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #10 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #1 (kPa ) 2.50000E+04
Yield Stress #2 (kPa ) 1.10000E+05
Yield Stress #3 (kPa ) 1.60000E+05
Yield Stress #4 (kPa ) 1.95000E+05
Yield Stress #5 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #6 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #7 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #8 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #9 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #10 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Failure Hydro (Pmin)
Hydro Tensile Limit (kPa )-3.0000E+03
Reheal Yes
Crack Softening No
Stochastic failure Yes
Stochastic variance (gamma) (none ) 1.60000E+01
Minimum fail fraction (none ) 1.00000E-01
Distribution type Random Seed
Erosion Geometrie Strain
Erosion Strain (none ) 1.00000E+00
Type of Geometrie Strain Instantaneous
<Equation>
<Name>Material Cutoffs </Name>
<Type 1>
Maximum Expansion (none ) 1.00000E-01
Minimum Density Factor (none ) 1.00000E-04
Minimum Density Factor (SPH) (none ) 2.00000E-01
Maximum Density Factor (SPH) (none ) 3.00000E+00
Minimum Soundspeed (mis ) 1.00000E-06
Maximum Soundspeed (mis ) 1.01000E+20
150
Maximum Temperature (K
10. Annexe 2
) 1.01000E+20
Reference:
C.M. Wentzel et al "Concrete under Multi-Axial Dynamic Loading"
- Tran. Load. & resp. Struct. 1998
MATERIAL NAME: SAND
Equation of State Compact ion
Reference density (g/cm3 ) : 2. 64100E+00
Density #1 (g/cm3 ) 1. 67400E+00
Density #2 (g/cm3 ) 1.73950E+00
Density #3 (g/cm3 ) 1.87380E+00
Density #4 (g/cm3 ) 1.99700E+00
Density #5 (g/cm3 ) 2. 14380E+00
Density #6 (g/cm3 ) 2. 25000E+00
Density #7 (g/cm3 ) 2. 38000E+00
Density #8 (g/cm3 ) 2. 48500E+00
Density #9 (g/cm3 ) 2. 58500E+00
Density #10 (g/cm3 ) 2. 67130E+00
Pressure #1 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #2 (kPa ) 4. 57700E+03
Pressure #3 (kPa ) 1. 49800E+04
Pressure #4 (kPa ) 2. 91510E+04
Pressure #5 (kPa ) 5. 91750E+04
Pressure #6 (kPa ) 9.80980E+04
Pressure #7 (kPa ) 1.79443E+05
Pressure #8 (kPa ) 2. 89443E+05
Pressure #9 (kPa ) 4.50198E+05
Pressure #10 (kPa ) 6.50660E+05
Unloading method Linear
Density (Soundspeed) #1 (g/cm3 ) 1. 67400E+00
Density (Soundspeed) #2 (g/cm3 ) 1.74560E+00
Density (Soundspeed) #3 (g/cm3 ) 2.08630E+00
Density (Soundspeed) #4 (g/cm3 ) 2. 14680E+00
151
10. Annexe 2
Density (Soundspeed) #5 (g/cm3 ) 2.30000E+00
Density (Soundspeed) #6 (g/cm3 ) 2. 57200E+00
Density (Soundspeed) #7 (g/cm3 ) 2. 59800E+00
Density (Soundspeed) #8 (g/cm3 ) 2. 63500E+00
Density (Soundspeed) #9 (g/cm3 ) 2. 64100E+00
Density (Soundspeed) #10 (g/cm3 ) 2.80000E+00
Soundspeed #1 (mis ) 2. 65200E+02
Soundspeed #2 (mis ) 8. 52100E+02
Soundspeed #3 (mis ) 1.72170E+03
Soundspeed #4 (mis ) 1.87550E+03
Soundspeed #5 (mis ) 2. 26480E+03
Soundspeed #6 (mis ) 2. 95610E+03
Soundspeed #7 (mis ) 3. 11220E+03
Soundspeed #8 (mis ) 4.60000E+03
Soundspeed #9 (mis ) 4. 63400E+03
Soundspeed #10 (mis ) 4. 63400E+03
Strength MO Granular
Pressure #1 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #2 (kPa ) 3.40100E+03
Pressure #3 (kPa ) 3. 48980E+04
Pressure #4 (kPa ) 1.01324E+05
Pressure #5 (kPa ) 1. 84650E+05
Pressure #6 (kPa ) 5.00000E+05
Pressure #7 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #8 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #9 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Pressure #10 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #1 (kPa ) 1.50000E+02
Yield Stress #2 (kPa ) 4. 23500E+03
Yield Stress #3 (kPa ) 4. 46950E+04
Yield Stress #4 (kPa ) 1.24035E+05
Yield Stress #5 (kPa ) 2. 26000E+05
Yield Stress #6 (kPa ) 2. 26000E+05
152
10. Annexe 2
Yield Stress #7 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #8 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #9 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #10 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Density #1 (g/cm3 ) 1.67400E+OO
Density #2 (g/cm3 ) 1.74570E+OO
Density #3 (g/cm3 ) 2.08630E+OO
Density #4 (g/cm3 ) 2. 14680E+OO
Density #5 (g/cm3 ) 2.30000E+00
Density #6 (g/cm3 ) 2. 57200E+OO
Density #7 (g/cm3 ) 2. 59800E+OO
Density #8 (g/cm3 ) 2. 63500E+OO
Density #9 (g/cm3 ) 2.64100E+OO
Density #10 (g/cm3 ) 2.80000E+OO
Yield Stress #1 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #2 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #3 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #4 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #5 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #6 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #7 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #8 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #9 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Yield Stress #10 (kPa ) O.OOOOOE+OO
Density #1 (g/cm3 ) 1.67400E+00
Density #2 (g/cm3 ) 1.74570E+OO
Density #3 (g/cm3 ) 2.08630E+00
Density #4 (g/cm3 ) 2. 14680E+OO
Density #5 (g/cm3 ) 2.30000E+OO
Density #6 (g/cm3 ) 2. 57200E+OO
Density #7 (g/cm3 ) 2. 59800E+OO
Density #8 (g/cm3 ) 2. 63500E+OO
Density #9 (g/cm3 ) 2. 64100E+OO
Density #10 (g/cm3 ) 2.80000E+OO
153
10. Annexe 2
Shear Modulus #1 (kPa ) 7. 69000E+04
Shear Modulus #2 (kPa ) 8. 69400E+05
Shear Modulus #3 (kPa ) 4.03170E+06
Shear Modulus #4 (kPa ) 4.90690E+06
Shear Modulus #5 (kPa ) 7. 76900E+06
Shear Modulus #6 (kPa ) 1.48009E+07
Shear Modulus #7 (kPa ) 1. 65710E+07
Shear Modulus #8 (kPa ) 3. 67180E+07
Shear Modulus #9 (kPa ) 3. 73470E+07
Shear Modulus #10 (kPa ) 3. 73470E+07
Failure Hydro (Pmin)
Hydro Tensile Limit (kPa )-2.00000E+03
Reheal Yes
Crack Softening No
Stochastic failure Yes
Stochastic variance (gamma) (none ) 1.60000E+01
Minimum fail fraction (none ) 1.00000E-01
Distribution type Random Seed
Erosion Geometrie Strain
Erosion Strain (none ) 1.00000E+OO
Type of Geometrie Strain Instantaneous
<Equation>
<Name>Material Cutoffs </Name>
<Type 1>
Maximum Expansion (none ) 1.00000E-01
Minimum Density Factor (none ) 1.00000E-04
Minimum Density Factor (SPH) (none ) 2.00000E-01
Maximum Density Factor (SPH) (none ) 3.00000E+00
Minimum Soundspeed (mis ) 1.00000E-06
Maximum Soundspeed (mis ) 1. 01000E+20
Maximum Temperature (K ) 1. 01000E+20
154
Reference:
Laine L. ,Sandvik A. ,"Derivation of mechanical properties for sand",
4th SILOS,CI-Premier LTD,p361-367
MATERIAL NAME: STEEL 4340
10. Annexe 2
Equation of State Linear
Reference density (g/cm3 ) : 7. 83000E+00
Bulk Modulus (kPa ) 1. 59000E+08
Reference Temperature (K ) 3.00000E+02
Specifie Heat (J/kgK ) 4. 77000E+02
Thermal Conductivity (J/mKs ) O.OOOOOE+OO
Strength Johnson Cook
Shear Modulus (kPa ) 8. 18000E+07
Yield Stress (kPa ) 7. 92000E+05
Hardening Constant (kPa ) 5.10000E+05
Hardening Exponent (none ) 2.60000E-01
Strain Rate Constant (none ) 1.40000E-02
Thermal Softening Exponent (none ) 1.03000E+00
Melting Temperature (K ) 1.79300E+03
Ref. Strain Rate (/s) (none ) 1.00000E+00
Strain Rate Correction 1st Order
Failure None
Erosion None
<Equation>
<Name>Material Cutoffs </Name>
<Type 1>
Maximum Expansion (none ) 1.00000E-01
Minimum Density Factor (none ) 1.00000E-04
Minimum Density Factor (SPH) (none ) 2.00000E-01
Maximum Density Factor (SPH) (none ) 3.00000E+00
Minimum Soundspeed (mis ) 1.00000E-06
Maximum Soundspeed (mis ) 1.01000E+20
155
Maximum Temperature (K
10. Annexe 2
) 1. 01000E+20
Reference:
Engng. Frac. Mech. Vol 21. No. 1. pp 31-48. 1985 Johnson & Cook
156
11.0.1 Diagrammes obtenus - Modèle grossier pour l'air
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
- (1)Gauge# 1
~ (2)Gauge# 8
(3)Gauge# 9
(4)Gauge# 17
403020TIME (ms)
10o
-8.OOO,..·....·<..•...... :...... ·+...... ·+··~r·.... :-,'...... l ..· ......:-·'\:l
2.000-+· ·..; ·f ! < ; , , j
-6.000,·..·....,..·......f........;.......'.f ....·..·..:......t··f....'1, .. -:..... "fi r--------,
~ -2 000-t......·;''''..·,··/,:,..···..1'.... ··..+ .... ·.. ·:·..·..··~ ..··}.. ·-}......... [~ .~~ -4.000,···....··~· ........:........~·..I· ..··: .... ·..·..:...... ·..H ..·..·-:..·....·..,1Cf)
O~"';"'<""""'f""
FIGURE 11.1 - Contraintes dans le mur au niveau des jauges: 1 (béton), 8(béton) , 9(béton) et
17 (mortierj ) (Autodyn-3D vl1.ü from Century Dynamics)
La figure 11.2 montre l'emplacement des jauges 1, 9 et 17 dans le mur.
FIGURE 11.2 - Positions dans le nlur des jauges 1, 9 et 17 (Autodyn-3D vl1.ü from Century
Dynamics)
157
11. Annexe 3
Il.0.2 Coordonnées des jauges pour avoir la pression réfléchie
47 Fixed air 2 4 46 O.OOE+OO O.OOE+OO -1.00E-01
48 Fixed air 2 7 46 O.OOE+OO 3. 18E+02 -1.00E-01
49 Fixed air 2 11 46 O.OOE+OO 6.36E+02 -1. 00E-01
50 Fixed air 2 14 46 O.OOE+OO 9. 54E+02 -1. OOE-Oi
51 Fixed air 2 18 46 O.OOE+OO 1.27E+03 -1. 00E-01
52 Fixed air 2 21 46 O.OOE+OO 1.59E+03 -1.00E-01
L'évolution des pressions réfléchies donnée par les jauges 43, 53 et 54 qui se trouvent respecti
vement à la même hauteur que les jauges 1, 9 et 17.
AUTOD'IN-3D vltü fromCenturyDynamics
Gauge History ( mur-euler-moitié-épaisseur )
250
200
~,~ 150:::>Cf)Cf)
~0. 100
50
l''f
'\
'z
\z l\
"'\, .1- (1)Gauge#431
: (2)Gauge# 52.
1 1 1 (3 )Gauge# 54
o 10 20 30 40 50 60TIME (ms)
FIGURE 11.3 - Pressions réfléchies au niveau des jauges 43, 53 et 54 (Autodyn-3D v11.ü from
Century Dynamics)
Les contraintes initiales dans le béton avant l'interaction avec l'onde de choc.
158
.....
1 seurtest
11. Annexe 3
FIGURE 11.4 - Contraintes initiales dans le béton (Autodyn-3D v11.ü from Century Dynamics)
159
12.0.3 TM5-1300 (1990)
function tm5(t, h, l, hprim, fmprim)
2
4
5 NUT
6
7 'li t
8
9
10
11
12
13
14
15
16
h
1
hauLeur du mur (mm)
largeur du mUT (mm)
hauteur h + écart avec le support (tiuti)
des ma Lé r i a u »:
i:esi st an ce c:t: 1 a riipt: ure en compree s i. L.Jn CIe 1,uni t e
arrcc: a l a rUF't ure en comp.rcssI (JI] du mo rt.L C~'L"" (Ml-'a )
17 %RésolutiOTl
18
19 Em fmprim*1000; T[]()cIIJl (~, cl t t.o cio 1 "un i t.c: (.IC_' maçonncxi c
20 = module d' du rcorr i.cr (MPa)
21 D = ((h/2)A2 + t A2)A(1/2);7on9 u e u (mm)
22 X_cl = t - (DA2 - (hprim/2) A2) A(1/2); % déplacement latéral pendant lequel
23 aucune au mouvement sera
24 ( iora)
25 ~_1 = D - hprim/2; rac-c-ourc i s.'3emenL -~] .-.(Je di D9c)nD 7e (mm)
26 e p s i.Lori.m (a_1/D); % déformation du mortier ( )
27 fm Em * epsi1on....m; CLJ1Jt re i nt:« comprees i on corresponciant
28
29 ch n s 7e mo r Lie r) (MP a TV/mm'-
((t - X_cl) * fmprim)/(Em * epsi1on_m) + X_cl; latéral où
31 maximum
160
32
33 a = 0.5 * (t - X_1); larqeur portante de
(mm)
sorte crue l'Lu
12. Annexe 4
0.25 * fmprim * (t
2/h A2
* fmprim *(t
34 M_u
35 r_u
36
37 xl = 0 : 0 . 01: t;
38 for i = 1: length (xl)
39
® if x1(1,i) ~ X_cl
X_1) A 2;
X_1)A2;
mome-nt: ma x i mum (N)
Î :3 Lo nce max' Î ma 7e (NPa)
41 r1(1,i) 0;
~ elseif x1(1,i) ~ X_1
43 r1 (1, i) = (r_ul (X_1-X_c1)) * (xl (1, i)-X_c1) ;
44 else
45 r1(1,i) résistance (MPa)
'FontName', 'courier new',
46 end
47
48 end
49
50 x.c i
51 hold on
52 plot (xl, r1, lb 1)
53 title('Fonction de résistance (ref:TM5-1300)
54 1 Fontsize 1 , 14, 1 FontWeicJht 1 , 'derni')
~ xlabel('déplacement latéral (mm) " 'FontName', 'courier new', 'Fontsize',13)
56 ylabel ( 'rési:3t,ance (MPa)',' FontName j , 'courier new', "F'orrt.a i z e ' , 13)
57 set (gca, 'FontNarne', 'courier new', 'Fontsize',13)
58 grid on
59 end
12.0.4 Smith et al. (1994)
function smithetal(t,h,l,rho_m,fmtrac,fmcomp)
2
Donn6cs a introduire
4
6
7 t:
8 h
9 {~ 1
du mllT (mm)
hauL.eur du mur (mm)
laLCJeuL GU mur (mm)
161
12. Annexe 4
10
11
12
13 densiL~ du morLier (kg/m 3)
14 fmtrac ré,':d.stance 1 ·,CI. rupture traction du mortier tnt» N/I[/][/ ---2)
15 i mcomp L-ésist aIli:=:e rupture compxees i on cie l'unité cie
16 il,-
17
18 Résolution
19
20 l moment cl t i.ncrr i o (mm-~4)
21 W I-Joicls clu mur IJar- mi 7 7 i mè i.re r (N/mm)
22 Em = lOOO*fmcompi module d'~lastici de l'unité de maçonnerie
23 - mociule d'élasticité du moxc i e i: (MPa)
24 Kb
25
ciu :TytJtômc' 8UOF (N,/mm) (J3iqqs)
26
27
t.xene i.
28 rmax = 4/3* (t/h) A2*fmtrac; rc~;sist.ancc:' maximale: (MPa iII/mm--
29 xe = rmaxwhzKb , 7acemenL maxima7 clans ôc)ma i ne é 7as L- i (mm)
xe) /h A2i
% résitanc'e maximale dans la phase de rupture (J'Lfpa)
résist penis: un ciepl e c ement:
32
33
34
35 x= 0 : 0 . 01: t i
36 for i = 1: 1ength (x)
37
38 % Phase evant: fissuration
39
40 if x (1, i) :s; xe
41
42 r (1, i)
43
44
45
(Kb s x (1, i) ) / (1) i % iee i et.euice du mur (NT'a)
46 ~5 rha.'::::e de rupture
47
48 else
49
50 r (1, i)
51
% ieei.e t.etice du mur (JV1T'a)
162
12. Annexe 4
52 end
53
54 end
55
56 r;
57 hold on
58 plot (x, r, "b ' )
~ title('Fonction de résistance (ref Srnith et a L, ) 'FontName', 'courier new',
60 'Fontsize 1,14, 1 F'o n t.we i.qh t. l , î demi 1 )
61 xlabel('déplacement latéral (nua)', 'FontName ', 'courier newl, 'Fontsize ',13)
62 ylabel('résistance (MPa) " 'FontName', 'courier newl, 'Fontsize',13)
63 set (gca, 'FontNarne' , 1 courier ne1tJ',' Fonts i ze r , 13)
64 grid on
65
66 end
163
12.0.5 Moradi (2008)
12. Annexe 4
Sans effet membranaire
r~sistance d'un mur en blocs pleins sollici
3
4 % Donnée:,::; G .i nt iodu i i:e
5
6 rI, MU1;;
7 largeur du mur (mm)
8 %
9
10
11
épai:::;,seur du mur (mm)
hauteur du mur (tu..rn)
11 rop ri ei.es des tno t.e rio ux
Ec - module d'élasticit~ des blocs
12
13
14
r.-llo - densi des hl (q /tnm ' ..3 )
(MPa)
16
17
alpha riqidi dee suppor.-ts [Or 1]
18 lI,- 8uLclïaLqc
19
20
21
p sur le mur par milliméL de largeur (N/mm)
22 1;;6,";01 ution
23
u Wi = (rho*(1*t*h)/1000)*9.81; POiCi::3 du tnu r (N)
tA 3/12; 'Ô" t-ïomeot: cl 1 i ne ri. i e IJa r mil 1 i mèL
25 W
26 a
27 r
will; Poicls du mur par millimètre cie L a r oeu s: (N/mIn)
(1994))
maçonnerie non r.-enforc~e sans
28
29 MUL
30 -L'-
31
32 NI
33 N2
34 N3
35 N4
36
37
38
(5-4*alpha) ;
(384*Ec*I) ;
(3-2*alpha) ;
(12*w+24*P) ;
tiOIl où .Y o
'eri:ét membxerie i xe
> y est la lonqueur de la fissure
164
12. Annexe 4
39 pElastl
40 LŒlastl
(t/6) / (( (Nl*h~4/N2)+ (N3*h~2/N4»);
(Nl*pElastl*h~4)/N2;
41 betal (1) = 1;
42 dyl = 0.01;
43 pl zeros(l,t/dyl);
44 LÜ zeros(l,t/dyl);
45 LÜ (1) .6.Elastl;
46 pl(l) pElastl;
47
48 V euqment:e
49
50 yl (1) = 0;
51 R (1) = P+w/2;
52
53 for i = 2 :t/dyl
R(i) = P+w/2;
yl(i) = yl(i-l)+dyl;
fc (i) = 2* (P+w/2) / ( (t-yl (i) ) );
(R (i-l) *t ~2) / (R (1) * (t-yl (L) ~2);
1;
betal(i)*.6.Elastl;
betal (i)
betal(2)
pl (i)
.6.l(i)
54
55
56
57
58
59
60
61 end
62
M indice = find (pl<O); % Les i 00 pl est infdrieur O.
M V = min(indice);
65
66 TnLersec'LÎon de la ronC'Clon avec l ï oxe
ax~plpl (v-l) ;
pl (v); !k axc~pl
.6.1 (v-l);
.6.1 (v);
67
68 vl
69 v2
70 ul
71 u2
72 dtl = (v2-vl) / (u2-ul) ;t; coefficient anqulaire
73 dl = (-vl+ul*dtl) /dtl; -Z- nouveau T'oint nnr l'axe
74 U
75 V
LÜ (1 :v-l);
pl(l:v-l); % y
76 Cl= [U dl];
77 Gl= [V 0];
78
79 Repréeetii e ci.on
80
165
12. Annexe 4
81 hold on
82 plot (Cl, G1, 1 r')
83 title('Fonction de résistance sans arching (ref
84 'courier new', 'Font.size' , 14, 1 Font.Weü:rht.' , 'c:ierni 1 )
Moradi) l 'FontName',
85 xlabel ( j déplacement latéral (mm) j , 1 FontName j, j courier new " ; Font.s i z e ' , 13)
~ ylabel('résistance (MPa)', 'FontName ', 'courier new', 'Fontsize',13)
87 set (gca, 'FontName l , "cour ier new', 'Fontsize' , 13)
88 grid on
Avec effet membranaire
clear all
2 clc
3 close a l.L
4 ;~'Ca 7c u 7 ôe 7a ïon ct. ion
5 %clloc
6
70_
-;::,
8 ~b·
9
10~~Données
11 "/iMlm
12 1=1590 ; '~mm
13 t=190 ;%mm
14 h=15 90 ;'~~mIn
résisLance ô'un mur so77i iL6 par une onôe de
16 rho=O. 00242
17 fm=13. 8;
18 Ec=fm*1000;
19 !kSULcharqc
20 P=O; ;'!;N
21 Un b l.oc
; ''f:g/mm''
%MPa - lOOO,;-r'm
23 w= W/ (1) ; t~N_/m,rl1 cie .l arqeur cie mur
24 '/'-Allt.rCS variabLc:»
27 alpha=O;
29 I = (t A 3) /12;
SUF'POLt s en
166
30
31 N2
12. Annexe 4
TI/Tu en maçonner; non r~·enro
32
33
34 %
35 pElast2
36 ÂElast2
7 ferreL. membr~ana;re
( (P + (w/2) ) * (t / 6) ) / ( ( (h A4) / N2) * (P + (w/ 4) ) + ( (h A2) / 8) ) ;~;N /nID1
pElast2 * (h A4) /N2; !/'-mIn
37 dy2 = 0.01;
38 p2=zeros(1,t/dy2);
39 Â2=zeros(1,t/dy2);
40 y2=0:dy2:t-dy2;
41 Jl = P*(t-a)/2;
42
43 ~7stepl: elast
44 beta2(1)=0;
45 Â2(1)=ÂElast2;
46 vtop (1) =0;
47 x(1)=(t+2*y2(1))/6;
48 J2 (1)
49 J3 (1)
(w/2)*(((t-a)/2)-(Â2(1)/2));
x (1) -Â2 (1) + ( (t-a) /2) ;
50 R (1) =P+ (w/2) +Vtop (1);
51 fe (1) =0;
52 p2 (1) =pElast2;
53
54 : debut: i i es us:e
55 y2(2)=dy2;
56 beta2 (2) =1;
57 Â2(2)=beta2(2)*ÂElast2;
58 Vtop (2) =eta*Â2 (2);
59 x(2)=(t+2*y2(2))/6;
60 J2 (2)
61 J3 (2)
(w/2)*(((t-a)/2)-(Â2(2)/2));
x (2) - Â2 (2) + ( (t-a) /2) ;
62 R (2) =P+ (w/2) +Vtop (2);
63 fe (2) =2*R (2) / (t-y2 (2));
M p2(2)=-(8/(h A2) )*(J1+J2(2)-R(2)*J3(2));
65
66 fonction deux etape:3 pLecedente,'3
67 for i=3:t/dy2;
68 y2 (i)=(i-1) *dy2;
69 beta2 (i) =R (i-1) - t; A2/ (R (1) * ( (t-y2 (i)) ) A2);
70 Â2 (i) =beta2 (i) *ÂElast2;
71
167
72 if Vtop (i-1) <O. 85*fm*a
73 Vtop (i) =eta*~2 (i) ;
74 else
76 end
77
78
~ x(i)=(t+2*y2(i»/6;
12. Annexe 4
80
81
82
J2 (i)
J3 (i)
(w/2) * ( ( (t-a) /2) - (~2 (i) /2) ) ;
x(i)-~2(i)+((t-a)/2);
83 if fe (i-1) < O. 85*fm
84 R (i) =P+w/2+Vtop (i) ;
85 fe(i) = 2*R(i)/(t-y2(i»;
86 else
87 R(i)=0.85*fm*(t-y2(i»;
88 fe(i) = 0.85*fm;
89 end
90
91 p2 (i) =- (8/ (h A2» * (J1+J2 (i)-R (i) *J3 (i»;
92
93
94
indiee2 = find (p2<O);
m = min(indiee2);
95
96
97
98
w1
w2
b1
b2
p2 (m-1);
p2 (m);
À2 (m-1);
À2 (m);
3.-:"}.~e cie
cie'
99
100
dt2 = (w2-w1)/(b2-b1);
d2 = (-w1+b1*dt2)/dt2;
ï t: anC]u7ai
101
102
B
W
~2 (1 :m-1);
p2 (1 :m-1);
103
104
105
106
107
K= [B d2];
L=[W 0];
j=l :m-1;
z=max(p2(j» ;
n=find(p2(j)==z);
108
109 end
110
111 hold on
112 plot (K, L, 'b 1)
113 grid on
168
114 xlabel ( '~ (mm)')
115 ylabel ( 'p (MPa) ')
116 title('Fonction de résistance considérant l effet mebranaire')
12. Annexe 4
169