Download - Evolución de interfases fluidas: gotas
Evolución de interfases fluidas: gotasMarco Antonio Fontelos
Universidad Rey Juan Carlos
Primera Clase
1.1.- Las Ecuaciones1.2.- Soluciones de equilibrio y su estabilidad1.3.- Una restricción geométrica a la ruptura de interfases1.4.- El modelo unidimensional y ruptura autosimilar
Segunda Clase
2.1.- La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos2.2.- Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico2.3.- La estructura de gotas-en-alambre2.4.- Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero
1.1. Las Ecuaciones
Fluido 1
Fluido 2 Interfase
n
Fluido 1
Fluido 2Interfase
Caso de un solo fluido (ocupando )
N-S
(en )
C.C. (en )
Cinemát.(en )
La condición cinemática en un dominio axisimétrico
z
h(z,t)n
del fluido
s
R2
La curvatura de un Dominio axisimétrico
1.2. Soluciones de equilibrio y su estabilidad
Reescale:
Ecuación y cond. de contorno:
gz
Reescale:
Ecuación y cond. de contorno:
Reescale:
Ecuación y cond. de contorno:
Inestable. Wente 1980
Reescale:
Ecuación y cond. de contorno:
g S
Extremos de E con
Superficies capilares:
R. Finn: Equilibrium Capillary Surfaces
La inestabilidad del cilindro (Rayleigh 1879)
Supongamos un fluido no viscoso e irrotacional
Ley de Bernoulli:
En la frontera:
Pequeñas perturbaciones del cilindro:
R
x 1.210.80.60.40.20
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
G(x)
x
Caso viscoso, Chandrasekhar 1961.
Savart 1833
Inest. de Rayleigh
La estabilidad de la esfera (Rayleigh 1879)
R
Kowalewski, 1996
Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...)
1.3. Una restricción geométrica a la ruptura de interfases
A. Córdoba, D. Córdoba,
C. Fefferman, MAF (2002)
-L L
h(t)
Simetría cilíndrica, sin gravedad,sin contacto con sólidos.
Nota:
Entonces:
Debemos probar que A(t) crece como mucho linealmente
1)
2)
1.-Un solo fluido
Multiplicamos el sistema de Navier-Stokes por el vector velocidad,Integramos por partes y hacemos uso de las condiciones de contorno. Obtenemos así la siguiente identidad de energía:
Las componentes simétricas del gradiente de velocidades acotan todas las demás:
2.-
En un disco de radio R se tiene
Integramos la desigualdad en las variables z y t y usamos Cauchy-Schwarz en el término de la derecha:
3.-
Por 1) y 2) entonces
1.4. El modelo unidimensional y ruptura autosimilar
(J. Eggers, T. Dupont, 1993)
D
L
El límite unidimensional
z
n
tNavier-Stokes (axisimétricas)
Condiciones de contorno
Condición cinemática
D
L
z
n
tNavier-Stokes (axisimétricas)
Condiciones de contorno
Condición cinemática
Desarrollo de Taylor en la variable radial + divergencia nula:
Entonces:
N-S
C.C.
Cin.
p0 v2
Deshacemos el cambio para h y para z. Introducimos:
Sistema Unidimensional:
Rutland & Jameson, 1971
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1
0
1
2
0
-10 0 10 20 30 40 50
0
5
10
15
20
Solución numérica del sistema (perfiles)
h(z,t)
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3.5 -3 -2.5 -2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Solución numérica del sistema (velocidades)
v(z,t)
-10 0 10 20 30 40 50
0
5
10
15
20
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Caso no viscoso: Velázquez-MAF, 1999
La ruptura para un fluido no viscoso
Day et al. 1998
2.1. La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Rothert, Richter, Rehberg, 2001
tiempo
hmin
I II III IV
MAF 2001
Etapa I
Etapa II
Etapa III
Imponemos
y entonces
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Papageorgiou, 1994
Similaridad de 2º tipo (Barenblatt)
Filamentos iterados:
Shi, Brenner, Nagel, 1994
Etapa IV
¿Ruptura autosimilar?
2.2. Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico
Efecto Weissenberg Viscosidad vs. esfuerzo
g F
Bird et al., Dynamics of polymeric liquids.
Fluido Newtoniano Fluido viscoelástico (Oldroyd-B)
Leyes Constitutivas
2.3. La estructura de gotas-en-alambre
J. Eggers, J. Li, MAF (2002)
Goldin et al., 1969
McKinley et al., 2001
- Gotas en alambre- Migración y colisión de gotas
- Radio: hmin=h0exp(-At)
El modelo unidimensional para fluidos viscoelásticos
Modelo local
Coord. Lagrang.
Soluciones estacionarias
Filamento:
La estabilidad del filamento
Ondas viajeras
Factor integr.
R>>F0 , F0<<1
Evolución de un filamento
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
5
10
15
-3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
e-(t/3D)
e-(t/3D)
Perfiles
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
Velocidad
e-(t/3D)
-6 -4 -2 0 2 4 6-20
0
20
40
60
80
100
120
140
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Esfuerzo elástico
e-(t/3D)
e(t/3D)
El cuello
t>>1
Matching con la gota
Matching con el filamento
C. Clasen, G. McKinley (2002)
0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3Experimentos
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 1002
3
4
5
6
7
8
9
10x 10
-3
data 1 linear
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
10 20 30 40 50 60 70 80-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5data 1 linear
Log(hmín)
Régimen exponencial Régimen lineal (hmín)
-t/3D
2.4. Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero
Q+Qeq
Extensibilidad finita:
Extensibilidad infinita:
Ext. infinita Oldroyd B
Ext. finita FENE (finitely extensible nonlinear elastic)
log(hmin)
t
1.- Existencia y unicidad de soluciones hasta el punto de ruptura (sistemas unidimensional y tridimensional). 2.- Justificación del límite unidimensional a partir del modelo tridimensional (shallow waters).3.- Demostración de la existencia de las soluciones autosimilares del modelo unidimensional.4.- Existencia de ruptura en tiempo finito para el caso tridimen- sional y descripción completa del mecanismo. Estabilidad.5.- Mecanismo de formación de filamentos iterados.6.- Algoritmos numéricos que resuelvan la singularidad.7.- Idénticas cuestiones en el caso de los fluidos viscoelásticos.8.- Efectos “finos” de los polímeros (varias frecuencias de oscila- ción, efectos de enrollamiento, etc.) en la dinámica y observa- ción experimental.
Problemas
Ejercicio 1. Hallar la relación entre longitud de onda y velocidad de las ondas gravitatorio-capilares generadasen un contenedor de altura media H.
H
x
h(x,t)
yvy(x,0)=0
Ejercicio 2. Las ecuaciones para una película plana delgada, en la aproximación unidimensional, con simetría en una dirección, y bajo la acción de fuerzas de Van der Waals, son las siguientes:
i) Estudiar la estabilidad de una película de espesor constante.ii) Proponer mecanismos autosimilares de ruptura y deducir los sistemas de EDOs correspondientes.
(Vaynblat et al. 2001).
xh(x,t)
g
z
NOTA:
NOTA:
NOTA:
NOTA: