Evoluzione degli acceleratori
Elettrostatici
Lineari
Circolari
Diagramma dell’energia degli acceleratori dal 1930 al 2010
(Livingston Chart)
Lo sviluppo degli acceleratori è stato determinato dalla ricerca fondamentale:Il raggiungimento di energie sempre maggiori per indagare
la struttura della materia nei componenti più ultimiha portato con sé l’evoluzione di tecnologie e di conoscenze
che si usano per applicazioni in moltissimi campi
Un electron volt è una misura di energia: è l’energia cinetica guadagnata da un elettrone passando in una differenza di potenziale di un Volt.
Un Volt non è una misura di energia. Un electron volt è una misura di energia. Un eV è un’energia molto piccola.
Unità di misura dell’energia usate negli acceleratori:
103 eV = 1 KeV106 eV = 1 MeV109 eV = 1 GeV1012 eV = 1 TeV
un eV = 1.602 x 10-19 joules
Gli acceleratori circolari
E.O.Lawrence (1930) ebbe la brillante idea di curvare le particelle su una traiettoria circolare, facendole ripassare molte volte nello stessa cavità a radiofrequenza.Negli acceleratori circolari un campo magnetico B è diretto verticalmente; se una particella relativistica di momento p viaggia nel campo magnetico perpendicolare la variazione di momento è
dp/dt=e v x B
il raggio di curvatura della traiettoria dipende dalla carica e dall’energia della particella
Quali sono i componenti di un sistema di acceleratori ?
Booster - piccolo anello che prepara il fascio del linac per una migliore efficienza di iniezione
Electron Gun LinacAnello di accumulazione
Descrizione di un anello d’accumulazione
ELEMENTI
MagnetiCamera da vuoto
Cavità rfSistemi di diagnostica
-Posizione-Corrente
Sistema di raffreddamento(+ criogenico se SC)
Pompe da vuotoSistema di controllo
Cavi (km…)Protezione dalle radiazioni
…DANE: collider e+ e- all’energia della particella
usato anche come sorgente di luce di sincrotrone
Principali magneti di un anello
DIPOLI – determinano la traiettoria di riferimento
QUADRUPOLI – mantengono le oscillazioni di tutte le particelle intorno alla traiettoria di riferimento
SESTUPOLI – correggono l’effetto cromatico dei quadrupoliWIGGLERS – aumentano l’emissione di luce di sincrotrone
Equazione fondamentaleper descrivere il movimento di una particella in un acceleratore
( )BvEqdtpd rrrr
↔+=
caricaq
velocitàv
massamm
momentovmp
o
==
====
r
rr
γ
magneticocampoB
elettricocampoE
=
=r
r
cts
cvc
v
≈≈
≈= 1β
Il moto di una particella carica è modificato dai campi elettromagnetici
particella relativistica
Campi elettrici
Accelerazione:
aumento di velocità
+ aumento di energia
con le cavità a radiofrequenza
(come nei linacs)
EaFrrr
qmo ==
Accelerazione = aumento di energia
Velocità delle particelle normalizzata alla velocità della luce in funzione dell’energia
La variazione di velocità è trascurabile al di sopra di una certa
energia
β = v/c
Energia cinetica
Campi magnetici
Una particella carica in un campo magnetico uniforme Bdescrive un cerchio di raggio
Dalla forza di Lorentz:
Rigidità magnetica
vmBq oγ =
)(3.3)()( GeVEmTB =
I campi magnetici sono usati negli acceleratori per guidare le particelle cariche nelle loro traiettorie all’interno della camera da vuoto
In ogni acceleratore esiste una traiettoria di riferimento,sulla quale viaggia la particella nominale
(energia nominale, momenti trasversali nulli).
In un acceleratore circolare tale traiettoria è un’orbita chiusaformata da archi di cerchio e tratti drittiy
Siccome le particelle fanno traiettorie deviate rispetto a quest’orbita
servono anche forze focheggianti che le mantengano vicine ad essa
Frequenza di rivoluzione
o
oo Tf
v
CT
cv
1==
≈
mC 100=
sec103.3 7−=oT
3 milioni di giri/sec
DANE (Frascati) LEP (CERN, Ginevra)
kmC 27=
sec109 5−=oT
11000 giri/sec
Sistema di riferimento
x
y
s
x – orizzontaley – verticales – longitudinale sulla traiettoria di riferimento
Campo magnetico verticale:
DIPOLICurvano la traiettoria
0
0
=
==
s
oy
x
B
BB
B
[ ] [ ][ ]GeVE
TBm o3.0
1 1 =−
ρcomponenti nel nostro sistema di riferimento
QUADRUPOLIfocheggiano le traiettorie
fuori asse
campo magnetico forze sulle particelle
y
Fy
0=?−=
?−=
s
x
y
BygB
xgB
[ ]
[ ] ""
/
2 quadrupolodelforzaB
gmk
magneticocampodelgradientectemTg
==
==
−
ρ
Componenti del campo magnetico nel nostro
sistema di riferimento:
Quadrupoli
kkykds
yd
kkxkds
xd
yy
xx
−==+
+==+
;0
;0
2
2
2
2
qcgyF
qcgxF
y
x
−==
Forza di Lorentz: ( )BvqFrrr
×=
la forza di focheggiamento è lineare in x e y
Un quadrupolo focheggia in x
e defocheggia in y
Sequenza FODO
Una sequenza alternata di lenti focheggianti e defocheggianti ha uneffetto totale focheggiante se le distanze tra le lenti non sono troppo lunghe
Il quadrupolo che focheggia nel piano orizzontale, defocheggia in quello verticale e viceversa
La sequenza FODO focheggia nei due piani
Esempi di magneti in un anello
Si può variare l’intensità del campo magnetico modificando dal sistema di controllo la corrente nelle spire
dipolo quadrupolo
Magneti permanenti
i
per alcune applicazioni si usano i materiali a magneti permanenti:il campo magnetico è fisso, non può essere variato con l’energia;
non consumano corrente usati spesso negli ondulatori delle sorgenti di luce di sincrotrone
Quadrupoli usati nelle zone di interazione di DAFNE
Wigglers e ondulatori
Negli anelli di luce di sincrotroneper aumentare l’emissione di radiazione
si usano i Wigglers e gli Ondulatori:serie di dipoli a campi alternati
in cui le particelle compiono un’oscillazioneed emettono luce la cui lunghezza d’onda
dipende dal campo del wiggler
Oscillazioni di betatrone
Una particella con l’energia nominale e consegue la traiettoria nominalee passa al centro dei quadrupoli dove il campo magnetico è nullo
Se la sua posizione cambia per qualche motivo,passa fuori asse nei quadrupolie oscilla intorno alla traiettoria nominale:Oscillazione di betatrone
0'' ==== yyxx
x
Traiettoria nominale
Q Q
B
sgsk
sB
sgsk
y
x
ysky
xskx
y
x
)()(
)(
1)()(
2
0)(''
0)(''
−=
+=
⎩⎨⎧
=+
=+
Equazioni di Hill:Oscillatore pseudoarmonicoTermine forzante periodico
nzacirconferelunghezzaL
periodicafunzioneLskskxx
==+= )()(
Q
2''s
xƒƒ
=
D
Soluzione
A, : costanti di integrazione
β: ampiezza di betatrone
: avanzamento di fase di betatrone
( )
( ) ( )[ ]φαφβ
φβ
+++−=
+=
)(cos)()(sin)(
)('
)(cos)()(
ssss
Asy
ssAsy
)()(1
)(
)(21
)(
)(
2
ss
s
ss
s
s
βαγ
βα
β
+=
ƒƒ
−=
= )()(
sds
sβ
φ
Funzioni di Twissy : coordinata trasversa (x o y)
Posizione
Angolo(divergenza)
Piano orizzontale : particelle con energia diversa da quella nominale
ox E
Exskx
Δ=+1
)(''L’equazione del moto
è non omogenea nel piano orizzontale:
Una particella con l’energia diversa da quella nominale, al passaggio in un dipolo
segue una traiettoria diversa da quella nominale
La soluzione è la somma della soluzione all’equazione omogenea, xβ(s) e di un termine proporzionale alla deviazione di energia
oEE
sDsxsxΔ
+= )()()( β
D(s) è la funzione di dispersione, periodica, viene determinata dai dipoli e dai quadrupoli
Se xo(s) è l’orbita chiusa di
riferimento, per ogni energia Ek esiste un’orbita chiusa,
intorno alla quale oscillano di betatrone le particelle con energia Ek
o
okok E
EEsDsxsx
−+= )()()(
Negli anelli in cui i dipoli curvano soltanto sul piano orizzontale esiste solo la funzione Dx(s), dispersione orizzontale
Spazio delle fasi di una particella
Area dell’ellisse = invariante del moto
a energia costante
ellissedellareaconstyyyy '''2 22 ==++ βαγ
αβγ, variano lungo s; l’area dell’ellisse è invece costante
EMITTANZA
ellissedellareaconstyyyy '''2 22 ===++ εβαγ
L’area dell’ellisse che contiene tutte le particelle del fascio è
l’emittanza
Dimensione trasversa
Momento trasverso
I parametri di Twiss definiscono la forma e l’inclinazione dell’ellisse nello spazio delle fasi,l’emittanza la sua area.
L’emittanza si conserva qualunque sia la forza magnetica che agisce sulla particella:
Teorema di Liouville
“Nelle vicinanze di una particella, la densità delle particelle nello spazio delle
fasi è costante se le particelle si muovono in un campo magnetico esterno o in
qualunque campo in cui le forze siano conservative”
Le unità di misura dell’emittanza sonom rad
(dimensione * divergenza)
Spazio delle fasi in diversi punti dell’acceleratore
Caratterizzazione del fascio
Le particelle di un fascio in un acceleratore non hanno tutte la stessa energia e posizione
L’energia, la posizione e il momento trasverso hanno distribuzioni gaussiane
Il pacchetto di particelle è un ellissoide a 6 dimensioni:
Posizione - momento orizzontale
Posizione - momento verticaleEnergia - posizione
longitudinales
y
x
coordinata
distribuzione
Caratterizzazione di una particella
x y
x’ y’
Δl
ΔE/E
Ogni particella ha il suo invariante nei 3 “spazi delle fasi”:
orizzontale, verticale e longitudinale
Dimensione del fascio
)()( ss εβσ =La dimensione trasversadel fascio è
Quanto misura il pacchetto di elettroni o positroni all’interno della camera da vuoto?
Negli anelli di collisione e+ e- nel piano orizzontale la
σ è tipicamente dell’ordine dei mmmentre nel piano verticale
è circa 100 volte minore(rms della gaussiana) emittanza
Abbiamo visto:Orbita chiusa
Oscillazioni di betatrone intorno ad essaDiverse orbite chiuse per diverse energie
Equazioni del motoParametri di Twiss e dispersione periodici
…
Trattamento matematico: MATRICI
Ogni particella è caratterizzata da 6 coordinate
Due orizzontali: x, x’Due verticali: y, y’
Due longitudinali: s, ΔE/E
VETTORE
√√√√√√√
↵
ΔΔ
EE
s
yyx
x
/
'
'
Il modo in cui il vettore di una particella si trasforma quando passa per un elemento dell’anello
viene descritto dalla matrice dell’elemento
Tratto dritto:
Quadrupolo
Dipolo
√√√√√√√√
↵
100000
010000
001000
00100
000010
00001
l
l
√√√√√√√√√
↵
−−−
−−
−
−
100000
010000
00coshsinh00
00sinh1
cosh00
0000cossin
0000sin1
cos
lklkk
lkk
lk
lklkk
lkk
lk
√√√√√√√√
↵
−
−
100000
010000
001000
00100
sin000cossin1
)cos1(000sincos
ρθ
θθθρ
θρθρθ
Conoscendo le caratteristiche di un elementoLa sua matrice di trasporto è definita
, …, …
L’anello è descritto matematicamente da una serie di matrici.Sia per la progettazione che per la simulazione della dinamica del fascio
vengono usati codici di calcolo
Esempio di simulazione di una regione di anello:
funzioni β di Twiss (nera e rossa) e Dispersione (verde)
Frequenze di betatrone
= dssQ yxyx )(21
,, φπ
Il numero di oscillazioni di betatrone in un giro
è chiamato
‘numero di betatrone’ o ‘tuno’
(dall’inglese ‘tune’)
Siccome le oscillazioni vengono guidate dai quadrupoli,il tuno dell’anello viene determinato dai campi quadrupolari:
più forti sono i quadrupoli, più rapide sono le oscillazioni, maggiori sono i tuni
Risonanze
ci sono quindi zone ‘proibite’ nel diagramma dei tuni:
le risonanze
interi,,, pmnpmQnQ yx =+
La frequenza di betatrone non è un numero intero: se così fosse, qualunqueperturbazione ci fosse in un punto dell’anello sarebbe vista sempre
con la stessa fase, e il suo effetto cumulativo potrebbe essere distruttivo per la particella
Errori di posizionamento o campo… quanto detto finora si riferisce a un acceleratore ‘ideale’
Nella realtà è impossibile costruire una macchina perfetta:gli errori di posizionamento dei magneti o di intensità del campo
magnetico costituiscono un elemento della macchina.Il loro trattamento matematico fa parte della fisica degli acceleratori
tanto quanto ne fa parte l’elettromagnetismo
Orbita chiusa ideale
Orbita chiusa dovuta a un errore
Caso più semplice:errore di posizionamento di un quadrupolo
crea un’orbita chiusa che si discosta da quella idealelungo tutta la macchina
y
Fy
posizione della traiettoria: x
Il quadrupolo agisce come un dipoloBy = g x
e dà alla traiettoria un angoloα proporzionale a gx
L’orbita chiusa che ne deriva è data da
)(cos)()(
sin21
)( ssBBl
Qsx k
k
xk φββ
π=
Se Qx fosse intero l’orbita sarebbe infinita -> instabile
Cromatismo
L’effetto focheggiante o defocheggiante di un quadrupolo dipende dall’energia della particella
E = EE = Eoo
E > EE > Eoo
Il tuno della particella con energia nominale è diverso dal tuno di una particella con energia diversa
σσEE
o
yxyx EE
QC
ƒƒ
= ,, = cromatismo= cromatismo
Sestupoli Il cromatismo non corretto crea instabilità al di sopra di certe correnti
(effetto testa-coda: scoperto ad ADONE, Frascati)
Per correggerlo si usano i sestupoli
)(
222 yxSB
SxyB
y
x
−=
=
Il sestupolo si comporta come un quadrupolo con un gradiente proporzionale allo spostamento trasversale
I sestupoli introducono i campi non lineari nell’acceleratore
Apertura dinamica:zona stabile all’interno dell’anello
La presenza di campi non lineari implica La presenza di campi non lineari implica che il moto della particella che il moto della particella
non è più un’ellisse nello spazio delle fasinon è più un’ellisse nello spazio delle fasi(non basta l’equazione di Hill).(non basta l’equazione di Hill).
Il moto diventa più disordinato e può portare aIl moto diventa più disordinato e può portare aInstabilitàInstabilità..
L’attraversamento delle risonanze L’attraversamento delle risonanze può portare a perdita della particellapuò portare a perdita della particella
Solo campi lineariDipoli e quadrupoli Sestupoli Ottupoli ……....
simulazione dello spazio delle fasi con forti campi non lineari
Piano longitudinale
Cavità rfCavità rf
Il fascio di particelle viene iniettato nell’anello con l’energia
acquistata nel LINAC.Durante il passaggio attraverso i dipoli perde energia emettendo
“luce di sincrotrone”. Quando passa nella cavità rf ,
ri-guadagna energia.
VqdtEqEgap ==Δr
)(sinˆ'sinˆ0
tVdtVVt
rf φω ==
Durante l’accelerazione tutti i campi magnetici vengono aumentati per seguire l’aumento di energia
Quando l’energia del fascio arriva al valore nominale dell’anello, la cavità rf restituisce alle particelle solo l’energia che esse perdono
per luce di sincrotrone durante il giro.
La particella sincrona è la particella nominale, che arriva alla cavità dopo un
giro, all’istante in cui la fase è quella giusta per il guadagno nominale di energia
orfrf fhf == ωπ2
La frequenza rf del campo elettrico della cavità, frf , è un multiplo intero della
frequenza di rivoluzione, fo
armoniconumeroh =
Le altre particelle del fascio, oscillano intorno alla particella sincrona,
con lo stesso principio della stabilità di fase nei linacs.
Analogamente ai piani trasversali, si possono scrivere le equazioni delle
oscillazioni longitudinali, dove le coordinate della particella sono
energiaEEE
fase
s
s
−=Δ−=Δ φφφ
Oscillazioni di sincrotrone ( ) 0sinsincos
2
=−Ω
+ ss
s φφφ
φ&&
Zone stabili
Radiazione di sincrotrone
Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva emette fotoni, la cui energia dipende dalla massa e dall’energia della particella e dal raggio di curvatura della traiettoria
Una particella carica che viaggia in una traiettoria curva perde energia.In un anello di accumulazione l’energia persa viene compensata dalle cavità a radiofrequenza
U =4π3
romc2( )
3E 4
ρEnergia emessa per giro
cavità a rf
Le particelle più leggere emettono più energia. Come sorgenti di radiazione vengono usati acceleratori di elettroni o positroni
Emissione di luce di sincrotrone
m
E(GeV)
ΔE/giro(MeV)
DANE 1 0.51 0.009
ELETTRA 5.6 2 0.1
ESRF 23 6 1
LEP 3000 100 1500
Massa
Energia della particella
( ) ( )32
34
3234
mc
BEE
mc
rU o ∝=
ρπ
Raggio di curvatura della traiettoria
Campo magnetico
Anello di luce di sincrotrone: nella camera da vuoto dove le particelle curvano si inseriscono finestre di diamante
da dove la luce viene estratta e trasportata alle linee degli esperimenti
Quali sono i ‘limiti’ delle sorgenti di radiazione ?
Energia
Intensità
Aumentando l’energia di un acceleratore circolaresi aumenta la perdita di energia per luce di sincrotrone:
cavità rf dipolidimensioni totali dell’anellotutti i campi magnetici
devono essere dimensionati adeguatamente
Intensità: effetti collettivi
Abbiamo visto come il moto di una singola particella in un acceleratore è determinato dai campi
magnetici creati dai dipoli e quadrupoli, dal sistema rf, dalle condizioni inizialie dalla radiazione di sincrotrone
Tutte le particelle contenute in un fascio ad alta intensità sono una corrente elettrica con una
carica non trascurabile
Esempio:N=5 10 10 per bunch
n = 100Qtot= 1.6 10 –19 C x 100 x 5 10 10 = 8 10-7 C
I = Q/t = Q fo = 3 10 –6 1.6 10-7 = 2.4 A
Ciò può dare origine a una variazione delle frequenze proprie del fascio (frequenze di betatrone e sincrotrone),
può portare a:
instabilità,
o modifica della distribuzione del fascio,
o allungamento dei pacchetti.
Questi fenomeni si chiamano effetti collettivi
e sono naturalmente collegati al numero di particelle presenti nel fascio
Questi campi interagiscono con ciò che
li circonda, vengono modificati dalle condizioni
al contorno (camera da vuoto, cavità, ecc) e
agiscono a loro volta sul fascio stesso
I fasci di particelle agiscono come sorgente di campi
elettromagnetici:
self fields
I sistemi che ‘controllano’ gli effetti collettivi sono diversi:Impedenza di ogni elemento ‘visto’ dal fascio
(camera da vuoto, soffietti, cavità, elementi di diagnostica,….)Vuoto dinamico
Sistema di feedbacks…
Camera da vuoto
esempio di elementi
soffietto
arco di DANE
Diagnostica
Esempio di monitor di posizione: il segnale elettrico del fascio viene raccoltoda 4 elettrodi, La tensione indotta permettedi risalire alla posizione in x e y del centroide del fascio
Sistema di controllo
Le informazioni sullo stato di ogni elemento dell’acceleratore+ le informazioni sulla posizione, intensità, stato del fascio
lette dagli elementi di diagnosticavengono trasportate alla sala di controllodove l’operatore controlla la situazione e
agisce sugli elementi dell’accelaratoreper mantenere e ottimizzare le performance dell’insieme.
Eventuali malfunzionamenti dei vari sottosistemi vengono segnalatiin tempo reale
Collisori particella-antiparticella
Particella-antiparticella circolano in versi opposti
nello stesso anello (es. ADONE)
Vantaggio rispetto ad un fascio contro una targhetta fissa: stessa E nel centro di massa ma con molta meno E del fascio:
Collisore Targhetta fissa di e-
Per avere 1 GeV nel centro di massa: W = 1 GeV
E1 = E2 =.5 GeV E = 1000 GeV
Vantaggio e+e- rispetto a p anti-p: e+e- puntiformi
212 EEW ≅ 222
ttmmEW +≅
Luminosità
• Numero di particelle prodotte nell’interazione:
• Limite principale sulla L: interazione fascio-fascioparticella di un fascio vede l’altro fascio come una lente
convergente oscillazioni di betatrone incontrollabili entro un certo limite
Vantaggio dei 2 anelli separati (DANE)
A
NNL
−+
∝σLuminosità
Sezione d’urto
Numero di particelle collidenti
Sezione trasversa dei fasci all’interazione
Se volete saperne di più….
CAS: CERN Accelerator School Proceedings : http://cas.web.cern.ch/cas/CAS_Proceedings.html
M. Sands, “The Physics of Electron Storage Rings”, SLAC Report 121 (1970)