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Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica
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Sommario • Richiami di Meccanica Quantistica
• Evoluzione temporale
• Rappresentazioni di Schroedinger e di Heisenberg
• Serie di Dyson
• Matrice S
• Probabilita’ di transizione
• Regola d’oro
• Fattore di spazio delle fasi
F. Bianchi 2
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Ket, Bra, Operatori (1) • |a> ket, vettore di stato in spazio vettoriale complesso. • |a> + |b> = |c> somma di ket e’ un ket • c|a> =|a>c c numero complesso • |a> e c|a> rappresentano lo stesso stato fisico
• Un’osservabile A puo’ essere rappresentata da un operatore. • In generale A|a> e’ diverso da c|a> • Per gli autoket di A vale la proprieta’ A|a1> = c1|a1>,
A|a2>=c2|a2>,… • L’insieme dei numeri ci e’ l’insieme degli autovalori di A • Gli stati fisici corrispondenti agli autoket |ai> sono chiamati
autostati di A • Gli autoket di un’osservabile A costituiscono una base in uno
spazio vettoriale: – Un generico ket puo’ essere scritto come |b> = Σici|ai>
3 F. Bianchi
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Ket, Bra, Operatori (2) • Spazio dei bra <a|, spazio vettoriale duale dello spazio dei
ket – ca|a> + cb|b> c*a<a| + c*b<b|
• Prodotto interno: <b|a> – <b|a> = <a|b>* – <a|a> >= 0 – |a> e |b> ortogonali se <a|b> = 0
• X|a> <a|X+
• X+ e’ operatore aggiunto di X (in rappresentazione matriciale, l’aggiunto di X si ottiene sostituendo Xij con X*ji)
• Operatori Hermitiani: X=X+
– (XY)+ = Y+X+
– Autovalori di un operatore Hermitiano sono reali – Autoket di un operatore hermitiano sono ortogonali e possono
essere normalizzati: <ai|aj> = δij. Formano una base – Relazione di completezza: Σi|ai><ai| = 1 Operatore identita’ 4 F. Bianchi
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Rappresentazione Matriciale • X=Σi Σj|ai><ai| X|aj ><aj| • Ci sono N2 numeri della forma <ai| X|aj> • Possono essere disposti in una matrice quadrata (i indice di riga,
j di colonna)
• Gli |ai> siano una base. Allora:
><><
><><>=<
><><=><><=<
><><
>=
...||
*,...)|*,|(|
*,...)|*,|(,...)|,|(|
...||
|
2
1
21
21
21
2
1
baba
cacabc
cacaacacc
baba
b
><><
>=...||
| 2
1
caca
c
5 F. Bianchi
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Misura in MQ • “Una misura fa sempre saltare il sistema in un
autostato della variabile dinamica che si misura” (P.A.M. Dirac) – Prima della misura: |b> = Σici|ai> – La misura dell’osservabile A fa saltare il sistema in |ai>
uno degli autostati di A • Eccezione: quando il sistema si trova gia’ in un autostato di A
– Il risultato di una misura e’ uno degli autovalori di A. – Probabilita’ che il sistema salti nell’autostato |ai> e’
|<ai|b>|2
• Valore di aspettazione di A in uno stato |b>: <b| X|b>=<A>
– Se ai e’ l’autovalore dell’autostato|ai> <A> = Σi ai |<ai|b>|2
6 F. Bianchi
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Osservabili Compatibili, Operatori Unitari
• Quando i corrispondenti operatori commutano: [A,B] = 0 – Sono diagonalizzabili contemporaneamente – Hanno autostati comuni: |ai,bi>
• A|ai,bi> = ai|ai,bi> • B|ai,bi> = bi|ai,bi>
• Autovalore degenere: quando a diversi autostati di un operatore corrisponde lo stesso autovalore.
• Date due basi di ket ortonormali e complete |ai> e |bi>, esiste un operatore unitario U (UU+=U+U=1) tale che: – |bi> = U|ai> – Uij=<ai|U|aj> = <ai|bj> – X’ =U+XU dove X e’ la rappresentazione matriciale di un
operatore nella base |ai> e X’ e’ la sua rappresentazione nella base |bi>,
7 F. Bianchi
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Evoluzione Temporale in MQ (1) • Tempo e’ parametro (e non un operatore)
• A t= t0 stato del sistema e’ |a> • Ad un tempo t>t0 lo stato del sistema e’|a,t0;t> • limt->t0 |a,t0;t> = |a,t0;t0>=|a>=|a,t0>
• Vogliamo studiare l’evoluzione temporale |a> |a,t0;t> – Introduciamo l’operatore di evoluzione temporale U(t,t0) – |a,t0;t> = U(t,t0) |a,t0> – U+U=1 – U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0) proprieta’ di composizione
• Operatore infinitesimo di evoluzione temporale: – |a,t0;t0+dt> = U(t0+dt,t0) |a,t0> – lim dt->0 U(t0+dt,t0) = 1 – Tutte richieste sono soddisfatte con U(t0+dt,t0) = 1-iWdt; W+=W – Identificando W con l’Hamiltoniana H: W=H/h: – U(t0+dt,t0) = 1-i(Hdt)/h
8 F. Bianchi
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Evoluzione Temporale in MQ (2) • Usando la proprieta’ di composizione:
• Questa e’ l’equazione di Schroedinger per l’operatore di evoluzione temporale Moltiplicando ambo i membri per il ket di stato |a,t0>:
• Che e’ l’equazione di Schroedinger per un ket di stato.
• Se viene dato U(t,t0) e sappiamo come agisce su |a,t0>, non abbiamo bisogno di occuparci dell’equazione di Schroedinger per i ket di stato, basta applicare U(t,t0) a |a,t0> per ottenere |a,t0;t>. Dobbiamo trovare soluzioni dell’equazione di Schroedinger per
U(t,t0) con la condizione iniziale U(t0,t0)=1
),(),(),(),(),(
),(1),(),(),(
00000
000
ttHUttUt
ittdtUHittUtdttU
ttUiHdtttUtdttUtdttU
=∂∂
⇒−=−+⇒
⇒
−=+=+
>>=∂∂
>⇒>=∂∂ ttaHtta
titattHUtattU
ti ;,|;,|,|),(,|),( 000000
9 F. Bianchi
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Evoluzione Temporale in MQ (3)
• Equazione da risolvere:
• Tre casi:
10 F. Bianchi
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Evoluzione Temporale in MQ (4) • Occupiamoci del caso 1 (H non dipende dal tempo). Per sapere
come agisce U(t,t=0) su un generico ket, dobbiamo capire come agisce sui ket di una base.
• Scegliamo come base gli autoket di un operatore A tale che [A,H]=0 – autoket di A sono autoket di H: H|a’>=Ea’|a’>
• Se e’ nota l’espansione del ket iniziale |b>:
|'exp'||''|exp|''''|exp ''''' atiEaaaiHtaaiHt a
aaa <
−
>Σ=><
−
><ΣΣ=
−
−
==
⇒
−
>><Σ>==
−
>==
>⇒Σ>=><Σ>==
tiEtctc
tiEbaatbiHtttb
acbaatb
aaa
aa
aaa
'''
''
'''
exp)0()(
exp|''|0,|exp;0,|
'||''|0,|
N.B.: Le fasi relative delle diverse componenti Cambiano nel tempo perche’ le frequenze di oscillazioni sono diverse
11 F. Bianchi
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Evoluzione Temporale in MQ (5)
• Caso speciale:
• Se il sistema e’ in un autostato di A ed H rimane in tale autostato
• Se [A,H]=0 allora A e’ una costante del moto
• Si puo’ facilmente generalizzare al caso di diverse osservabili compatibili tra di loro e con H. – E’ fondamentale trovare un insieme di osservabili compatibili
fra loro e con H
−
>>==>⇒>==
tiEattbatb a 'exp'|;0,|'|0,|
12 F. Bianchi
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Evoluzione Temporale in MQ (6) • Consideriamo ora una osservabile B che non commuta
necessariamente con A od H e calcoliamone il valor medio in un autostato di A
• <B> e’ indipendente dal tempo autostati dell’energia sono stazionari
• Calcoliamo <B> in uno stato non stazionario. Se lo stato non e’ stazionario, lo si puo’ esprimere come una sovrapposizione di autostati dell’energia.
>>=<
−
=<
=><>=<
>>==+
'||''|expexp|'
)'|)0,(())0,(|'('|)0,(;0,'|
'' aBaatiEBtiEa
atUBtUaBatUtta
aa
−−><ΣΣ=
=
>
−Σ
<Σ>=<
>⇒Σ>==
tEEiaBacc
atiEcBtiEacB
actb
aaaaaa
aaa
aaa
aa
)(exp''||'
''|expexp|'
'|0,|
'''''
*''''
''''''
'*''
''
13 F. Bianchi
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Rappresentazione di Schroedinger • Quella vista finora: • Gli stati evolvono nel tempo, gli operatori sono stazionari
>=
−
>==
>==>===∂∂
>>==
0,|exp;0,|
0,|)0,(0,|)0,(
|)0,(;0,|
taiHttta
tattHUtattUt
atUtta
>
−
<=
=><>=< +
aiHtBiHta
atUBtUaB
|expexp|
)|)0,(())0,(|(
Valore di aspettazione
14 F. Bianchi
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Rappresentazione di Heisenberg
• Gli stati restano costanti • Le osservabili (gli operatori) evolvono nel tempo
−
=
=⇒
====
>=>==+
iHttBiHttB
ttUtBttUtBtatta
exp)0(exp)(
)0,()0()0,()(0,|;0,|
>
−
=
>=<<
=
aiHttBiHtaatBa
HtBdt
tdBi
|exp)0(exp||)(|
]),([)(
Equazione del moto di Heisemberg
Valore di aspettazione Identico nelle due rappresentazioni 15 F. Bianchi
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Momento Magnetico in Campo Costante(1)
16 F. Bianchi
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Momento Magnetico in Campo Costante(2)
17 F. Bianchi
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Momento Magnetico in Campo Costante(3)
18 F. Bianchi
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Rappresentazione d’Interazione(1) • Dovuta a Dirac
• Utile quando H =H0 + H’(t) – H0 termine libero – V(t) termine d’interazione eventualmente dipendente dal
tempo
• Intermedia tra la rappresentazione di Heisenberg e quella di Schroedinger – Osservabili variano nel tempo: evoluzione determinata da H0
– Stati variano nel tempo: evoluzione determinata dal termine d’interazione
],[10
// 00 HAidt
dAeAeA IItiH
stiH
I
=⇒= −
IIIStiH
I ttaHttat
ittaetta >==>=∂∂
⇒>==>= ,0,|',0,|;0,|;0,| /0
19 F. Bianchi
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Rappresentazione d’Interazione(2) • Supponiamo che:
H =H0 + H’(t) H0|n> = En|n>
• Consideriamo un ket arbitrario, che all’istante t=0 e’ dato da:
|a> = Σncn(0)|n>
• Il nostro problema e’ determinare i cn(t) tali che:
|a,t=0;t>= Σncn(t)exp(-iEnt/h)|n>
• Attenzione alla fattorizzazione della dipendenza temporale: – Il fattore exp(-iEnt/h) sarebbe presente anche in assenza di
H’(t) – La dipendenza dal tempo di cn(t) e’ dovuta a H’(t). In assenza
di H’(t) cn(t)= cn(0)
20 F. Bianchi
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Rappresentazione d’Interazione(3)
)(')(
,0,|)(
,0,|'
,0,||)('|
,0,||'|,0,|
,0,|',0,|
|)(,0,|
/)(
/)(
// 00
tceHtcdtdi
ttantc
ttameH
ttammetHen
ttammHnttant
i
ttaHttat
i
ntctta
mtEEi
nmmn
In
ItEEi
nmm
ItiHtiH
m
IImI
III
nnI
mn
mn
−
−
−
Σ=⇒
>==<
>=<Σ=
=>=><<Σ=
=>=><<Σ=>=<∂∂
⇒
>==>=∂∂
>Σ=>= Sviluppo di un ket generico nella base di autostati di H0
Moltiplichiamo ambo i membri dell’equaz. di Sch. per i ket per <n| ed usando la relazione di completezza
Definizione dei cn(t)
Equazione matriciale !!! 21 F. Bianchi
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Serie di Dyson(1) • Soluzione di equazione differenziale per cn(t) in
generale complicata approccio perturbativo
• Lavoriamo con l’operatore di evoluzione temporale UI(t,t0) definito da:
|a,t0;t>I=UI(t,t0)|a,t0;t0>I
• Che quindi soddisfa all’equaz:
• Con la condizione iniziale U(t0,t0)=1
),()('),( 00 ttUtHttUdtdi III =
22 F. Bianchi
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Serie di Dyson(2) • Equaz differenziale + condiz iniziale equivalente
a equazione integrale:
• Soluzione iterativa: '),'()'('11),( 00
0
dtttUtHh
ttUt
tIII ∫−=
)('...)''()'(...'''...
)''(')'(''''')'('1
'''),''()''('1)'('1),(
)()(''
''2
0
'
0
)(
00 0
0 00
0 0
nI
t
tII
nt
t
t
t
n
t
tII
t
t
t
tI
t
t
t
tIIII
tHtHtHdtdtdthi
tHtHdtdthidttH
hi
dtdtttUtHhitH
hittU
n
∫∫ ∫
∫ ∫∫
∫ ∫
×
−++
+
−+−=
=
−−=
23 F. Bianchi
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Probabilita’ di Transizione (1) • Relazione tra UI(t,t0) ed U(t,t0) (nella rapp di Schroedinger)
• Elemento di matrice di UI(t,t0) tra autostati di H0:
• Ampiezza di transizione: diversa nella rapp di Interazione ed in quella di Schroedinger
• Ma la probabilita’ di transizione:
• E’ la stessa ! (N.B.: solo tra autostati di H0)
/0
/0
00/
0/
000/
0/
0
000
000
00
),,(),,(
;,|),,(
;,|),,(;0,|;0,|
tiHtiHI
ItiHtiH
StiH
StiH
I
ettUettU
ttaettUe
ttattUettaetta
−
−
=⇒
>=
=>=>==>=
20
20
0/)(
0
||),,(||||),,(||
|),,(||),,(| 0
><=><
><>=< −
ittUfittUf
ittUfeittUf
I
tEtEiI
if
24 F. Bianchi
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Probabilita’ di Transizione (2) • Supponiamo che a t =0 il sistema sia in un autostato
di H0, |i>:
• Confrontando con:
• Si vede che:
• Anche i cn(t) possono essere sviluppati in modo
perturbativo:
>><Σ>=>== itUnnitUtti InI |)0,(|||)0,(;0,| 0
>=<
>Σ=>=
itUntc
ntctti
In
nnI
|)0,(|)(
|)(,0,|
...)()()()( )2()1()0( +++= tctctctc nnnn
25 F. Bianchi
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Probabilita’ di Transizione (3) • Confrontando con lo sviluppo perturbativo di UI(t,0):
• Ampiezza di transizione all’ordine j da|i> ad|n>: cn(j)(t)
– Termine di ordine 0: nessuna interazione – La Σm nel termine di ordine 2 ha il senso di somma sui possibili stati
intermedi
• Probabilita’ di transizione da |i> ad |n> ( stati diversi fra loro!):
)''(')'('''')(
')'('')'(')(
)(
/'')(/')(''2
)2(
/')()1(
)0(
0 0
0 0
tHetHedtdthitc
dttHehidttH
hitc
tc
mitEEi
nmtEEi
m
t
t
t
tn
t
t
t
tni
tEEiIn
nin
immn
in
−−
−
∑∫ ∫
∫ ∫
−=
−=−=
=δ
2)2()1( |...)()(|)( ++=→ tctcniP nn26 F. Bianchi
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Intuitivamente….
27 F. Bianchi
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Perturbazione Costante (1) H’ = costante Sviluppo dell’ampiezza di transizione |i> |f>:
28 F. Bianchi
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Perturbazione Costante (2) • Termine ordine zero: evoluzione libera dello stato iniziale da t0 a
t senza scambio energia con interazione
• Termine primo ordine:evoluzione libera dello stato iniziale da t0 a t1 in cui avviene scambio energia con interazione che lascia il sistema nello stato finale che evolve liberamente da t1 a t
• Termine secondo ordine: evoluzione libera dello stato iniziale da t0 a t1 in cui avviene scambio energia con interazione che lascia il sistema in uno stato intermedio |a> che evolve liberamente da t1 a t2. Nell’istante t2 c’e’ un ulteriore scambio energia con interazione che lascia il sistema nello stato finale che evolve liberamente da t2 a t. – Oltre ad integrare su tutti i possibili istanti t1 e t2 occorre anche
sommare su tutti i possibili stati intermedi.
• E cosi’ via per tuitti gli altri ordini perturbativi….
• Ad ogni ordine il sistema evolve liberamente con H0 fra i vertici dove interagisce con la perturbazione H’
29 F. Bianchi
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• Finora: ampiezza di transizione per intervallo di tempo finito
• Per studio di problemi di scattering e’ piu’ interessante l’estensione ad intervallo di tempo infinito. Introduciamo la matrice di Scattering:
– Scambio di sommatoria e limite forza un po’ la matematica….
• Il sistema si considera non interagente con la perturbazione a tempi lunghi nel passato e nel futuro.
• Gli stati asintotici |i> ed |f> sono autostati di H0
Matrice S (1)
30 F. Bianchi
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Matrice S (2)
Somma su stati intermedi include integrazione su gradi di liberta’ continui 31 F. Bianchi
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Matrice T • Se la serie si sapesse sommare, si potrebbe scrivere: • Dove T e’ la matrice di transizione, il cui sviluppo perturbativo e’:
• Gli elementi di T, tra stati imperturbati, rappresentano la somma (in principio infinita) delle ampiezze per lo scambio di 1,2,..n quanti fra sistema imperturbato e perturbazione
• Interpretazione:negli ordini superiori al primo compaiono stati intermedi (virtuali), che corrispondono a transizioni interne al processo in cui il sistema scambia energia con la perturbazione – N.B: nelle interazioni intermedie il sistema non conserva l’energia
che viene invece conservata globalmente grazie aalla δ – Si puo’ far risalire alla relazione di indeterminazione tempo-energia.
32 F. Bianchi
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Probabilita’ di Transizione (1)
33 F. Bianchi
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Probabilita’ di Transizione (2) • Probabilita’ di transizione al primo ordine tra gli autostati
|i> ed |f> di H0:
• Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo:
34 F. Bianchi
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Probabilita’ di Transizione (3) • Prob. di transizione per unita’ di tempo, al II ordine
perturbativo:
• Quando e’ importante considerare ordini perturbativi > 1 ? – Quando l’elemento di matrice al I ordine e’ = 0
• (P.es. per motivi di simmetria) – Quando e’ necessaria elevata accuratezza
• N.B: Tutti gli elementi di matrice di processi relativistici fra particelle reali sono come minimo del II ordine; quelli del I ordine non conservano E,p
35 F. Bianchi
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Una Rappresentazione della δ
36 F. Bianchi
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Limiti Sbarazzini
37 F. Bianchi
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Commenti sulle Probabilita’ di Transizione
• Finora: transizione tra stati |i> ed |f> specificati solo dalle energie
• In generale fissare Ef non fissa univocamente lo stato finale: esiste una molteplicita’ di stati finali (degeneri) corrispondenti ad una data energia – Questa molteplicita’ e’ funzione dell’energia.
• Per una data Ef si puo’ determinare la densita’ degli stati finali per intervallo di energia
• In pratica siamo interessati alla probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati tutti alla energia Ef – Occorre sommare wfi su tutti gli stati finali che si considerano. – Normalmente si puo’ approssimare la somma con un integrale.
38 F. Bianchi
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Regola d’Oro N. 2 • Se gli stati finali costituiscono un continuo: • Prob. (infinitesima) di transizione verso un “intervallo (infinitesimo) di
stati” • Al I ordine: regola d’oro n. 2 (Dirac, Fermi):
• Nel caso di transizioni verso lo spettro continuo la δ di fatto scompare
• dn/dEf :densita' di stati finali/Intervallo di energia; Fattore di spazio delle fasi – Fattore puramente cinematico (non dinamico) caratteristico dello
stato finale – Incremento del numero di stati finali accessibili al sistema per
incremento unitario dell’energia disponibile 39 F. Bianchi
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Fattore di Spazio delle Fasi(1) Esempio 1:
40 F. Bianchi
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Fattore di Spazio delle Fasi(2) Esempio 2:
41 F. Bianchi
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Fattore di Spazio delle Fasi(3) • Esempio 3: • Due particelle libere senza vincoli tra gli impulsi
• Quindi:
F. Bianchi 42
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Atomo d’Idrogeno in Condensatore (1)
• Atomo di H, nello stato fondamentale in condensatore piano collegato a generatore di corrente alternata di frequenza ω
• Generatore acceso a t= 0 e spento a t=t0 • EI (energia ionizzazione) • Hamiltoniano d’interazione:
• Due casi: hω<EI e hω>EI
F. Bianchi 43
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Atomo d’Idrogeno in Condensatore (2)
• Primo caso: hω<EI • Atomo non viene ionizzato, possiamo calcolare ampiezza di
transizione fra stato fondamentale ed uno degli stati eccitati (insieme discreto):
• Da cui:
F. Bianchi 44
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Atomo d’Idrogeno in Condensatore (3)
• Se Ef>Ei, solo il secondo termine e’ importante e la probabilita’ di transizione diventa:
• La probabilita’ di transizione oscilla nel tempo in funzione della durata della perturbazione con la frequenza di battimento (differenza fra frequenza della perturbazione e frequenza naturale della transizione)
F. Bianchi 45
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Atomo d’Idrogeno in Condensatore (4) • Secondo caso: hω>EI • L’atomo si ionizza e lo stato finale appartiene al continuo. • Probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati:
• Poiche’ (slide 40):
• Ne segue:
F. Bianchi 46
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Atomo d’Idrogeno in Condensatore (5)
• Alcune considerazioni: – Il volume di quantizzazione L3 si cancella con i fattori di
normalizzazione L3/2 delle funzioni d’onda – Per avere probabilita’ di transizione finita occorre
integrare su range finito di energia ed angolo solido dell’elettrone
• Trattiamo l’elemento di matrice come costante:
F. Bianchi 47