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Resolução lista FGV – Aula 8
1. (UFPB - 2012) Um produtor rural teve problema em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para
tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, uma
vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendações:
• No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida.
• A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à dosagem anterior e, assim, sucessivamente.
Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto
foi aplicado durante:
a. 18 dias b. 19 dias c. 20 dias d. 21 dias e. 22 dias
Resolução:
PA = (3, 5, 7, ..., an)
an = 3 + (n – 1).2
an = 3 + 2n – 2
an = 1 + 2n
(
)
( )
Mas, segundo o enunciado, S = 438, portanto
n² + 2n = 438 n² + 2n – 438 = 0 (n + 23).(n – 21) = 0 n = 21
Alternativa: d
2. (UEL - 2012) Para uma apresentação de dança, foram convidadas 312 bailarinas. Em uma de suas
coreografias, elas se posicionaram em círculos. No primeiro círculo, havia 15 bailarinas. Para cada um
dos círculos seguintes, havia K bailarinas a mais do que no círculo anterior.
Se
cosx sen xK 1
sen x cosx
, quantos círculos havia nesta coreografia?
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.
Resolução:
|
|
PA = (15, 17, 19, ..., an)
an = 15 + (n – 1).2
an = 13 + 2n
(
)
( )
624 = 28n + 2n² n² + 14n – 312 = 0 (n + 26).(n – 12) = 0 n = 12
Portanto, temos 12 círculos.
3. (UERJ - 2012) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de
atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas
senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em
37.
Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os
números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão
aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo
de pessoas que pode ter permanecido na fila é:
a. 6 b. 7 c. 9 d. 12
Resolução:
Segundo o enunciado, temos a1 = 37, a
13 = 49 r = 1
Logo, PA = (37, 38, 39, ..., 49)
Após a desistência de algumas pessoas, temos uma nova PA = (37, a2, a
3, ..., 49)
Portanto,
49 = 37 + (n - 1).r 12 = (n – 1).r n – 1 =
n =
Como a PA tem menos de 13 elementos, temos que o valor máximo de n será quando r = 2.
Assim, n = 7
Alternativa: b
4. (FUVEST - 2012) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por
21 2 3a 1 x, a 6x, a 2x 4 em que x é um número real.
a. Determine os possíveis valores de x.
b. Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor
de x encontrado no item a).
Resolução:
a.
PA = (1 + x, 6x, 2x² + 4)
b.
Para x =
, temos PA = (
)
a100
= a1 + 99r =
Assim
(
)
5. (UNICAMP - 2012) Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser
construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua
vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a
figura abaixo, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm.
a. Determine a área da região destacada na figura.
b. Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 arcos de circunferência.
Resolução:
a.
Temos R1 = 1 cm, R
2 =2 cm, R
3 = 3 cm, R
4 = 4 cm
b.
Curva é composta por uma soma de circunferências.
Assim, temos a soma = 1 + 2 + 3 + ...+ 20 (soma da PA com r = )
( )
6. (UEL - 2012) A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de
uma planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas
surgem mais duas ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação,
dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da
ramificação anterior.
Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de 1h 1 m , qual o comprimento
vertical total da raiz, em metros, até 10h ?
a. 10
1 11
2 2
b.
9
1 11
2 2
c.
10
12 1
2
d.
10
12 1
10
e.
9
12 1
2
Resolução:
Temos uma PG = (
) de razão q =
( (
)
)
(
)
Alternativa: c
7. (UERJ - 2012) Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repetições. No
entanto, como consequência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo de ácido
lático, o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior do que o tempo
gasto para fazer a série imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 segundos e a
última em 1 minuto e 40 segundos.
Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a:
a. 100 b. 120 c. 140 d. 160
Resolução:
Temos a PG = (25; 1,28¹.25; 1,28².25; ... ; 1,28n -1
.25)
Por outro lado 1 minuto e 40 segundos = 60 + 40 seg = 100 seg
Portanto, 1,28n -1
.25 = 100
1,28n -1
= 4
-
( - )
( )
( )( )
(n – 1)(7.0,3 – 2) = 2.0,3
(n – 1). 0,1 = 0,6
n – 1 = 6
n = 7
Assim, a soma do número de repetições é 7.20 = 140 flexões.
Alternativa: c
8. (MACKENZIE - 2011) A média aritmética de 20 números em progressão aritmética é 40. Retirados o
primeiro e o último termos da progressão, a média aritmética dos restantes será
a. 20 b. 25 c. 30 d. 35 e. 40
Resolução:
PA = (a1, a
2, a
3, ..., a
20)
Mas
( )
(
)
Retirando o 1º e o 20º termo da progressão teremos a média aritmética:
(
)
Alternativa: e
9. (ENEM - 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no
ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34
500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a. 38 000 b. 40 500 c. 41 000 d. 42 000 e. 48 000
Resolução:
Janeiro: 33000
Fevereiro: 34500
Março: 36000
Temos a PA =(33000, 34500, 36000, ...) com r = 1500
Julho será o 7º mês da sequência.
Logo, a7 = a
1 + 6r a
7 = 33000 + 6.1500 a
7 = 42000
Alternativa: a
10. (UFRS - 2011) O quociente entre o último e o primeiro termo de uma sequência de números é
1.000. Os logaritmos decimais dos termos dessa sequência formam uma progressão aritmética de
razão 1
2.
Então, o número de termos da sequência é
a. 3. b. 4. c. 5. d. 6. e. 7.
Resolução:
Seja a sequência (a1, a
2, a
3, ..., a
n) e
Temos a PA = (
) com r =
Portanto,
( )
( )
(
) ( )
( )
( )
(n – 1) = 6 n = 7
Alternativa: e
11. (FGV - 2011) Seja 1 2 3a ,a ,a ,... uma sequência com as seguintes propriedades:
I. 1a 1 .
II. 2n na n a , para qualquer n inteiro positivo.
III. 2n 1a 2 , para qualquer n inteiro positivo.
a. Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
b. Calcule o valor de 250a .
Resolução
a.
(a1, a
2, a
3, ...)
a1 = 1
a2 = a
2.1 = 1.a
1 = 1
a3 = 2
a4 = a
2.2 = 2.a
2 = 2
a5 = 2
a6 = a
2.3 = 3.a
3 = 6
a7 = 2
a8 = a
2.4 = 4.a
4 = 8
a9 = 2
a10
= a2.5
= 5.a5 = 10
a11
= 2
a12
= a2.6
= 6.a6 = 36
a13
= 2
a14
= a2.7
= 7.a7 = 14
a15
= 2
a16
= a2.8
= 8.a8 = 64
Assim, a sequencia será (1, 1, 2, 2, 2, 6, 2, 8, 2, 10, 2, 36, 2, 14, 2, 64)
b.
Observando os resultados do item (a), temos:
Assim,
Mas 1 +2 + 3 + ... + 49 = ( )
Então,
12. (UNICAMP SIMULADO - 2011) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada
figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.
Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que
seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para que seja possível
exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a
a. 200. b. 1000. c. 2000. d. 10000.
Resolução
De acordo com os desenhos, temos PA = (4, 12, 20, 28, ...) com r = 8
Assim, a50
= a1 + 49.r a
50 = 4 + 49.8 a
50 = 396
Portanto,
(
)
( )
Alternativa: d
13. (UFPR - 2011) Atribui-se ao matemático De Moivre uma lenda sobre um homem que previu sua
própria morte. As condições da previsão estão dentro de uma narrativa que modela grosseiramente
vários aspectos da realidade. Por exemplo, dormir 24 horas seguidas equivale a morrer, e assim por
diante. A lenda é a seguinte: um homem observou que cada dia dormia 15 minutos a mais que no dia
anterior. Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8 horas, quanto tempo levará para
que ele durma 24 horas seguidas, não mais acordando?
Resolução:
Observe a PA = (
)
Portanto,
14. (FGV - 2011) A sequência de termos positivos (a1, a
2, a
3,... a
n, ...) é uma progressão geométrica de
razão igual a q .
Podemos afirmar que a sequência (loga1 , loga
2 , loga
3 , ... loga
n ...) é:
a. Uma progressão aritmética de razão q .
b. Uma progressão geométrica de razão q .
c. Uma progressão aritmética de razão log q .
d. Uma progressão geométrica de razão log q .
e. Uma progressão aritmética de razão (loga1 - log
q ).
Resolução:
Temos a PG = (a1, a
2, a
3, ..., a
n, ...) (a
1, a
1.q, a
1.q², a
1.q³, ... , a
1.q
n-1
, ...)
Assim, temos a sequência
(
)
(
( ) )
Observe que S é uma PA com
e
Alternativa: c
15. (FGV - 2010) Roberto obtém um financiamento na compra de um apartamento.
O empréstimo deverá ser pago em 100 prestações mensais, de modo que uma parte de cada
prestação e o juro pago.
Junto com a 1ª prestação, o juro pago é de R$ 2 000,00; com a 2ª prestação, o juro pago é R$ 1
980,00 e, genericamente, em cada mês, o juro pago é R$ 20,00 inferior ao juro pago na prestação
anterior.
Nessas condições, a soma dos juros pagos desde a 1ª até a 100º prestação vale:
a. R$ 100 000,00
b. R$ 101 000,00
c. R$ 102 000,00
d. R$ 103 000,00
e. R$ 104 000,00
Resolução:
O valor dos juros decrescem como uma PA com a1 = 2000 e r = -20.
Assim, temos a PA = (2000, 1980, 1960, ...)
Neste caso, a100
= a1 + 99r a
100 = 2000 + 99.(-20) a
100 = 20
Portanto, a soma dos juros pagos será:
(
)
( )
S100
= 101000
Alternativa: b
16. (FGV - 2010) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos
100 termos seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa
progressão, nessa ordem, é
a. 10–4
. b. 10–3
. c. 10–2
. d. 10–1
. e. 1.
Resolução:
{
(
)
(
)
{
{
{
( )
{
Como a2 – a
1 = r a
2 – a
1 = 10
-2
Alternativa: c
17. (FGV - 2010) Um capital de R$ 1 000,00 é aplicado a juro simples, à taxa de 10% ao ano; os
montantes, daqui a 1, 2, 3, ... n anos, formam a sequência (a1, a
2, a
3
n).
Outro capital de R$ 2 000,00 é aplicado a juro composto, à taxa de 10% ao ano gerando a sequência
de montantes (b1, b
2, b
3 b
n) daqui a 1, 2, 3, ... n anos.
As sequências (a1, a
2, a
3
n) e (b
1, b
2, b
3 b
n) formam, respectivamente,
a. uma progressão aritmética de razão 1,1 e uma progressão geométrica de razão 10%.
b. uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 0,1.
c. uma progressão aritmética de razão 10% e uma progressão geométrica de razão 1,10.
d. uma progressão aritmética de razão 1,10 e uma progressão geométrica de razão 1,10.
e. uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 1,10.
Resolução:
Um capital aplicado a um juros simples de 10% ao ano sobre o montante de 1000 reais produz um
acréscimo de 100 reais ao ano, ou seja, gera a sequência S1 = (1000, 1100, 1200, ...)
Um capital aplicado a um juros composto de 10% ao ano sobre o montante produz um acréscimo de
10% ao valor do ano anterior, ou seja, gera a sequência S2 = (2000, 2200, 2420, ...)
Observe que S1 é uma PA de razão r = 100 e S
2 é uma PG de razão q = 1,1
Alternativa: e
18. (FUVEST - 2010) Os números a1, a
2, a
3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo
que 1α + 3, 2α - 3, 3α
– 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que 1α > 0 e 2α = 2,
conclui-se que r é igual a
a. 3 + 3 b. 3
32
c. 3 +3
4 d. 3 -
3
2 e. 3 - 3
Resolução:
Se (a1, a
2, a
3) é uma PA de razão r, com a
2 = 2, temos (2 – r, 2, 2 + r).
Por outro lado, se S = (a1 + 3, a
2 – 3, a
3 – 3) é uma PG então, S = (2 - r + 3, 2 – 3, 2 + r – 3) =
= (5 – r, -1, r – 1) é uma PG.
Logo (-1)² = (5 – r) (r – 1) 1 = 5r – 5 – r² + r r² - 6r + 6 = 0
’ √ ” - √
Como a1 > 0 r < 2, portanto r = – √
Alternativa: e
19. (FGV - 2009) Chamamos de falsa espiral de dois centros aquela construída da seguinte forma: os
dois centros são os pontos A e B. Traçam-se semicircunferências no sentido anti-horário, a primeira
com o centro em A e raio AB, a segunda com centro em B e raio BC, a terceira com centro em A e raio
AD, repetindo esse procedimento em que os centros se alternam entre A e B, como mostrado na
figura a seguir.
Determine a distância entre A e B se, ao completar duzentas semicircunferências, o comprimento total
dessa falsa espiral for 100500π metros.
Resolução:
Sendo AB = x, note que o raio de cada circunferência aumenta x metros.
Assim sendo, o comprimento da falsa espiral será:
(soma da PA com 200 elementos e r = 1)
( )
20. (FGV - 2009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se mal na
aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares. Carlos resolveu o
problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por
Carlos foi:
a. 512.000
b. 780.324
c. 1.000.00
d. 1.210.020
e. 2.048.000
Resolução:
A soma dos 1000 primeiros números ímpares positivos é uma PA com a1 = 1 e r = 2, ou seja,
PA = (1, 3, 5, 7, ..., a1000
)
a1000
= a1 + 999r = 1 + 999.2 = 1999
Logo,
( )
Alternativa: c
21. (FUVEST - 2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é 1
.2
Além
disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições,
determine:
a. A razão da PG.
b. A soma dos três primeiros termos da PG.
Resolução:
a.
a7 – a
2 = 3 a
1.q
6
– a1.q = 3 a
1.q(q
5
– 1) = 3 (
- )
(I)
-
-
(II)
Substituindo (I) em (II) vem:
( )
b.
(( ) )
( )
Portanto,
-