Propagation d’un signal
Exercice 1 : Relation entre fréquence et longueur d’onde
1) Calculer la longueur d’onde de l’onde électromagnétique qui existe dans un four micro-‐onde sachant que sa fréquence est 𝑓 = 2,45 GHz et que la célérité des ondes électromagnétiques est 𝑐 = 3,00. 10! m. s!!. Justifier alors l’appellation de four micro-‐onde.
2) La vitesse du son dans l’air dépend de la température de l’air selon la formule :
𝑐 =𝛾𝑅𝑇𝑀!"#
où 𝑅 = 8,314 J.K!!.mol!! est la constante des gaz parfaits, 𝛾 = 1,4 est un facteur caractéristique de l’air et 𝑀!"# = 29 g.mol!! est la masse molaire de l’air. Calculer la fréquence d’un son de longueur d’onde 𝜆 = 78 cm lorsque la température de l’air vaut 𝑇! = 290 K, puis lorsqu’elle vaut 𝑇! = 300 K.
3) Le rayon laser utilisé à l’observatoire du CERGA à Grasse pour mesurer la distance Terre-‐Lune est obtenu par doublage de fréquence à partir d’un laser de longueur d’onde 𝜆! = 1,064 µμm. Quelle est la longueur d’onde 𝜆! de la lumière envoyée vers la lune ? Quelle est sa couleur ?
Correction :
1) On utilise la relation liant la fréquence et la longueur d’onde :
𝜆 =𝑐𝑓= 0,122 𝑚
Contrairement à ce que l’on pourrait penser, les fours micro-‐ondes n’ont pas une longueur d’onde de l’ordre du micromètre !
2) On utilise la relation liant la fréquence et la longueur d’onde :
𝑓 =𝑐𝜆=
𝛾𝑅𝑇𝜆!𝑀!"#
⇒ 𝑓! = 437 𝐻𝑧 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑇! = 290 𝐾𝑓! = 445 𝐻𝑧 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑇! = 300 𝐾
La variation relative de fréquence entre les deux températures est : 𝑓! − 𝑓!𝑓!
= 1,7%
La variation de température entraîne donc un changement de hauteur de la note plus faible qu’un demi-‐ton.
3) On calcule tout d’abord la fréquence associée à 𝜆!:
𝑓! =𝑐𝜆!= 2,82. 10!" 𝐻𝑧
Il y a ensuite doublage de fréquence, c’est-‐à-‐dire qu’on multiplie par 2 la fréquence de sortie (processus non linéaire) :
𝑓! = 2𝑓! = 5,64. 10!" 𝐻𝑧
On calcule enfin la longueur d’onde associée à cette fréquence :
𝜆! =𝑐𝑓!= 532 𝑛𝑚
La couleur résultante est verte.
Exercice 2 : Propagation d’un ébranlement le long d’une corde
On considère une corde horizontale, parallèle à l’axe (𝑂𝑥), soumise à une onde progressive unidimensionnelle se propageant, à la célérité 𝑐, selon l’axe des x croissants.
1) Rappeler le modèle de l’onde progressive unidimensionnelle. Qu’est ce que ce modèle suppose sur le milieu de propagation ?
On suppose qu’à l’instant initial, on applique une perturbation en 𝑥 = 0. A l’instant 𝑡! = 5 s, le profil de la corde à l’allure suivante :
2) Sachant que 𝑥! = 10 cm, déterminer la célérité 𝑐 de l’onde.
3) Représenter, en le justifiant, le profil de la corde à l’instant 𝑡! = 25 s.
4) Représenter, en le justifiant, l’évolution temporelle de l’altitude du point d’abscisse 𝑥! = 40 cm.
Correction :
1) Une onde progressive unidimensionnelle est une onde qui se propage sans atténuation, ni déformation, à la vitesse constante 𝑐, appelée vitesse de propagation ou célérité de l’onde, dans une unique direction de l’espace. Ce modèle suppose donc que le milieu de propagation est non dispersif et non absorbant.
2) La célérité de l’onde vaut :
𝑐 =𝑥!𝑡!
= 0,02 𝑚. 𝑠!!
3) Le profil de la corde sera le même que celui de l’énoncé, mais avec un maximum situé en :
𝑥! = 𝑐𝑡! = 50 𝑐𝑚
4) Le profil de la corde sera le même que celui de l’énoncé, mais avec un maximum situé en :
𝑡! =𝑥!𝑐= 20 𝑠
PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION
c) Deuxième expression de l’onde progressive
s(x, t0) s(x, t1)
xx x0x0 x0+δ
à l’instant t0 à l’instant t1 > t0
Figure 2.13 – Onde se propageant sans atténuation ni déformation dans le senspositif de (Ox), à deux instants différents.
La figure 2.13 représente les valeurs du signal à deux instants différents t0 et t1 > t0 pour lamême onde que sur la figure 2.12.Entre les instants t0 et t1, l’onde qui progresse dans le sens positif de l’axe (Ox) se déplaced’une distance δ . Ainsi la valeur observée à l’instant t0 en x est observée à l’instant t1 enx+ δ :
s(x, t0) = s(x+ δ , t1).L’onde se propage à la vitesse c donc on a :
δ = c(t1− t0).
Il vient ainsi :s(x, t0) = s(x+ c(t1− t0), t1) . (2.4)
De même que plus haut, on peut se convaincre facilement que la formule (2.4) est valableaussi si t1 < t0. Si on l’écrit en posant t0 = t, instant quelconque, et t1 = 0 elle devient alors :
s(x, t) = s(x− ct,0).
Le membre de droite de cette équation est simplement une fonction d’une seule variable,x− ct. Pour simplifier l’écriture on le note F (x− ct). Ainsi :
Une onde progressive se propageant dans la direction de l’axe (Ox), dans le sens positifde cet axe, sans atténuation ni déformation, est de la forme mathématique suivante :
s(x, t) = F (x− ct),
où F est une fonction quelconque dont l’argument a la dimension d’une longueur.
Si l’on s’intéresse aussi à une onde se propageant le long de l’axe (Ox) dans le sens négatifde cet axe, c’est-à-dire le sens des x décroissants, le même raisonnement s’applique si l’onprend un axe (Ox′) tel que x′ = −x. Il suffit donc de changer x en −x dans le résultat. Onobtient une fonction de la variable −x− ct que l’on peut changer, pour avoir une notationplus simple, pour son opposé x+ ct. Ainsi :
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Exercice 3 : Ondes progressives sinusoïdales
On considère l’onde progressive sinusoïdale associée au signal :
𝑠 𝑥, 𝑡 = 5 sin 2,4. 10!𝜋𝑡 − 7,0𝜋𝑥 + 0,7𝜋
où 𝑡 et 𝑥 sont respectivement exprimés en secondes et en mètres.
1) Donner la période, la fréquence, la pulsation, la longueur d’onde et le vecteur d’onde de cette onde.
2) En déduire la célérité 𝑐 de l’onde.
Une onde progressive sinusoïdale se propage dans la direction de l’axe (𝑂𝑥) dans le sens des 𝑥 croissants avec la célérité 𝑐. L’expression du signal de l’onde au point d’abscisse 𝑥! est :
𝑠 𝑥!, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡
3) Déterminer l’expression de 𝑠 𝑥, 𝑡 . 4) Représenter 𝑠 𝑥, 0 en fonction de 𝑥.
Correction :
1) On identifie l’expression donnée à cette d’une onde progressive harmonique se propageant dans la direction de l’axe (𝑂𝑥) dans le sens des 𝑥 croissants :
𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑! = 𝐴 sin 2𝜋𝑓𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑! +𝜋2
⇒
𝑓 = 1,2. 10! 𝐻𝑧𝑇 = 8,3. 10!! 𝑠𝑘 = 22 𝑚!! 𝜆 = 0,29 𝑚
2) Pour déterminer la célérité, on utilise la relation liant la fréquence et la longueur d’onde :
𝜆 =𝑐𝑓⇔ 𝑐 = 𝜆𝑓 = 0,27 𝑚. 𝑠!!
3) L’onde se propageant dans le sens des 𝑥 croissants avec la célérité c, on a :
𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠 𝑥!, 𝑡 −𝑥 − 𝑥!𝑐
⇒ 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 − 𝜔𝑥 − 𝑥!𝑐
⇔ 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥 − 𝑥!
4) On trace 𝑠 𝑥, 0 : 𝑠 𝑥, 0 = 𝐴 cos 𝑘 𝑥 − 𝑥!
Exercices
Corrigés
CHAPITRE 2 – PROPAGATION D’UN SIGNAL
2.4 Cuve à ondes1. La longueur d’onde est la distance entre deux crêtes consécutives le long de l’axe (Ox),donc entre les centres de deux zones claires. On mesure sur la figure 2,1 cm pour 7λ , l’échelleétant de 1
5la longueur d’onde est λ = 5× 2,1
7= 1,5 cm.
2. La célérité de l’onde est c= λ f = 1,5.−2× 18= 0,27 m·s−1.3. Pour x > 0 l’onde se propage dans le sens de (Ox) donc s(x, t) = Acos
!
2π f!
t−xc
""
;
pour x< 0 elle se propage dans le sens inverse de l’axe (Ox) : s(x, t) = Acos!
2π f!
t+xc
""
.On peut résumer les deux expressions en :
s(x, t) = Acos#
2π f#
t−|x|c
$$
.
4. L’amplitude n’est pas constante parce que l’énergie de l’onde se répartit sur ces cercles derayon de plus en plus grand. Des considérations en dehors du programme permettent d’établirque A=
constante√x
.
2.5 Onde progressive sinusoïdale1. Période : T = 8,3.10−4 s, pulsation : ω = 7,5E3rad.s−1, fréquence : f = 1,2,103 Hz. Lon-gueur d’onde : λ = 0,29 m, vecteur d’onde : k= 22rad.m−1, nombre d’onde : σ = 3,5 m−1.La vitesse de propagation est : c= λ f = 348 m·s−1.2. L’onde se propageant avec la célérité c dans le senspositif de (Ox), on a :
s1(x, t) = s1(x1, t−x− x1c
) = Acos(ωt− kx+ kx1) ,
en posant k = ωc. Pour tracer s(x, t = 0) on remarque
que le signal est maximal en x= x1 à t = 0.
xx1
s1(x,0)
3. L’onde se propageant avec la célérité c dans le sensnégatif de (Ox), on a :
s2(x, t) = s2(0, t+xc) = Asin(ωt+ kx).
s2#
λ4, t$
est en quadrature avance sur s2(0, t) et
s2#
λ2, t$
est en quadrature avance sur s2#
λ4, t$
et en
opposition de phase par rapport à s2(0, t) .
0 t
s2#
λ4, t$
s2#
λ2, t$
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Exercice 4 : Train d’ondes
Une onde se propage dans la direction de l’axe 𝑂𝑥 , dans le sens des 𝑥 croissants avec la célérité 𝑐. La source, située en 𝑥 = 0, émet un train d’onde, c’est-‐à-‐dire une oscillation de durée limitée 𝜏 :
𝑠 0, 𝑡 =
0 si 𝑡 < 0
sin2𝜋𝑡𝑇 si 0 ≤ 𝑡 < 𝜏
0 si 𝑡 ≥ 𝜏
1) Exprimer 𝑠 𝑥, 𝑡 pour 𝑥 positif quelconque.
2) Représenter 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝜏/2 et 𝑠 𝑥, 𝑡 = 3𝜏/2 en fonction de 𝑥 pour 𝑥 > 0. On prendra 𝜏 = 4𝑇 pour le dessin. Quelle est la longueur du train d’ondes dans l’espace ?
Correction :
1) On sait que :
𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠 0, 𝑡 −𝑥𝑐
⇒ 𝑠 𝑥, 𝑡 =
0 si 𝑥 > 𝑐𝑡
sin2𝜋𝑡𝑇
−2𝜋𝑥𝑐𝑇
si 𝑐 𝑡 − 𝜏 ≤ 𝑥 < 𝑐𝑡
0 si 𝑥 ≤ 𝑐 𝑡 − 𝜏
2) On a alors les allures de courbes suivantes :
La longueur du train d’onde dans l’espace est :
𝐿 = 𝑐𝜏
Exercice 5 : Effet Doppler
Un émetteur se déplace à une vitesse constante 𝑣 selon la direction 𝑂𝑥 et émet une onde sonore qui se déplace avec une célérité 𝑐 = 340 m. s!!. Cette onde est reçue par un récepteur immobile.
1) En imaginant que l’émetteur émet un bip à intervalle 𝑇 régulier, quel est l’intervalle 𝑇! entre deux bips reçus par l’émetteur ?
2) Si l’on considère que le signal émis est un signal sinusoïdal à 440 Hz, émis par un camion de
Exercices
Corrigés
APPROFONDIR
2.6 Trains d’ondes
1. s(x, t) = s(0, t− x/c), donc :
s(x, t) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
0 si x> ct
sin(
2πtT
−2πxcT
)
si c(t− τ)< x≤ ct
0 si x≤ c(t− τ)
La longueur du train d’onde dans l’espace est : L= cτ . x
x
L
0
s(x, t)
cτ/2
cτ/2 3cτ/2
t=τ/2
t=3τ/2
2. Sur le graphe de s(0, t) on constate que les oscillations ne sont plus visibles en gros à partirde t = 6τ . Plus précisément, pour t > 6τ , exp
(
−tτ
)
< exp(−6) = 2,5.10−3 donc l’amplitude
d’oscillation est inférieure à 1400
de sa valeur initiale. Ceci justifie le fait de considérer que ladurée du train d’onde est 6τ . Dans ce cas la longueur du train d’onde dans l’espace est 6cτ ,comme on peut le voir sur la partie droite de la figure ci-dessous.
xt0 0
s(0, t) s(x,6τ)
6cτT 6τ
2.7 Propagation d’un signal périodique
1. La longueur d’onde associée au fondamental, composante sinusoïdale de fréquence fS, est
λ1 =cfS. La longueur d’onde associée à l’harmonique de rang n est λn =
cn fS
=λ1n.
La période spatiale de l’onde est λ1.2. Le phénomène de propagation à la célérité c dans le sens positif de l’axe (Ox) se traduitpar la relation :
s(x0, t) = s(
0, t−x0c
)
=∞
∑n=1
An cos(
2πn fst− 2πnfscx0+ϕn
)
.
On trouve bien la forme attendue, avec : A′n = An et ϕ ′n = ϕn− 2πn
fScx0 = ϕn− 2π
x0λn. On
remarque que le retard de phase dû à la propagation dépend de l’ordre n de l’harmonique.
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pompier se déplaçant à 70 km/h, quelle est la fréquence reçue ? Ce résultat dépend-‐il du sens dans lequel le camion se déplace ?
3) Que se passe-‐t-‐il si 𝑣 > 𝑐 ?
Correction :
1) Deux émissions de bips sont séparées d’un intervalle de temps 𝑇. Entre les deux émissions, l’émetteur aura parcouru une distance supplémentaire 𝑑 = 𝑣𝑇 que l’onde sonore devra parcourir à la vitesse 𝑐. Cela lui prendra donc un temps supplémentaire (en admettant que l’émetteur se déplace en sens inverse de l’émission) 𝑑/𝑐. Ainsi, l’intervalle de temps 𝑇! qui sépare deux réceptions sera :
𝑇! = 𝑇 +𝑑𝑐
⇔ 𝑇! = 𝑇 +𝑣𝑇𝑐
⇔ 𝑇! = 1 +𝑣𝑐𝑇
2) On se sert de la relation entre période et fréquence :
𝑓! =1𝑇!=
1
1 + 𝑣𝑐 𝑇
⇔ 𝑓! =𝑓
1 + 𝑣𝑐= 416 𝐻𝑧 𝑠𝑖 𝑣 > 0
467 𝐻𝑧 𝑠𝑖 𝑣 < 0
3) Si 𝑣 > 𝑐, on se déplace plus vite que l’onde que l’on émet : on franchit le mur du son !