Download - Exercicios Estruturas I [FCTUNL]
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1 Deformadas elsticas e deslocamentos
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1 Deformadas elsticas e deslocamentos 1
Problema 1.1 Para a estrutura representada na figura:
MPa
m
m
kN
cm
a) Calcule os esforos nas barras;b) Determine as componentes do deslocamento do n B.
Problema 1.2 Para a estrutura mista representada na figura:
m
m
m
kN
kN/m
!#" $%
a) Determine os diagramas de esforos & , ' e ( ;b) Calcule os seguintes deslocamentos: )+*,- )+.,/-0213-0 *4%576 ;c) Trace a deformada aproximada.
Nota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso.
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1 Deformadas elsticas e deslocamentos 2
Problema 1.3 Para a estrutura representada na figura:
98
:;
-
1 Deformadas elsticas e deslocamentos 3
Problema 1.5 Para a estrutura representada na figura:
kN/m
E
m
m
m
L
kN
; !#" $%
H
-
1 Deformadas elsticas e deslocamentos 4
Problema 1.7 A barra de alumnio ( [ Tkja` GPa e g Tl`_^Nm ) de seco circularde raio n
T]\Z`
mm, encastrada em A sujeito a uma fora inclinada, assim comose mostra na figura.
o
p
1 m
1 m
1.2 m
0.7 kN
q
Determine o deslocamento do ponto C na direco da fora de `i^sr kN. Para osefeitos de deformabilidade, considere os efeitos do momento flector, esforo axial,esforo de corte e momento torsor.
Problema 1.8 A estrutura representada sujeito a uma carga distribuda de10 kN/m e uma variao de temperatura t%u
Th\Z`av
C e t 5Txwy`av
C.
0.1 m
3 m
0.6 m
10 kN/m${z$}|
$
|
2 m0.4
Desprezando o esforo de corte para os efeitos de deformabilidade, calcule odeslocamento do ponto A.Considere o mdulo de elasticidade [
T~\HbcdM`2
MPa e o coeficiente de dilataotrmica
TdM`#
f
W2v
C.
-
1 Deformadas elsticas e deslocamentos 5
Solues
Problema 1.1
b.))+
,
Th`_^s\2wyV
mm
)+
>
Th`i^K`y\2w
mm
Problema 1.2
b.))
*
,
TYyW
[
m
)
.
,
TmyW
[
m
0
1
T]Ya`yW
[
rad (rotao horria)0
*
4%576
Twami^N`ZYaYyW
[
rad (abrir o ngulo relativo entre as barras) Problema 1.3
a.))
*
>
Thmamami^KmyW
[
m
0
1
4%576
TkdMV_da^dadW
[
rad (abrir o ngulo relativo entre as barras)0
*
4%576
TkdMVZYi^dadW
[
rad (fechar o ngulo relativo entre as barras) Problema 1.4
)2,
T]ma`i^NV2ZW
[
m
0
*
TdJw^N\ZidMr2aW
[
rad (rotao anti-horria) Problema 1.5
a.))+
>
ThaYa`yW
[
m
0
*
4%576
TkdJjaaji^KmamyW
[
rad (rotao anti-horria da barra C B ))
*
,
T]\2wrZm_^NmamaW
[
m
Problema 1.6
b.))+
,
Th`_^srar#d
mm
)
.
,
T`i^K`amyV
mm
0
*
T`i^dZdadbedM`##
rad (rotao anti-horria) d.)
)
,
Th`_^srZjZm
mm
-
1 Deformadas elsticas e deslocamentos 6
)
.
,
T`i^K`amid
mm
0
*
T`i^dZdMmcbedM` #
rad (rotao anti-horria) Problema 1.7
)*
Th`i^dadM
m
Problema 1.8
)1
,
T]`i^N`_dV
m
)1
>
T]`_^N`a`a\
m
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2 Simetria e anti-simetria - Problemas Propostos
Problema 2.1 Considere as estruturas e as respectivas solicitaesrepresentadas nas figuras P1 P4. Considere constantes a EA e EIpara todas as barras. Para cada caso decomponha a solicitao indicadanum carregamento simtrico e anti-simtrico. Defina, para cada uma dasparcelas a subestrutura obtida por consideraes de simetria que reproduz ocomportamento da estrutura global.
P3
30 kN
40 kNm
te=20 C
ti=+10 C1cm
2cm4 m
1.5m
3m
3m
1.5m
A
B
C
D
E
F
G
5 5 10 10 5 5
8m
4m
2m
P4
50 kN
20 kN
50 kN/m
k
A
B C
D
E F G
JI
H
2m 2m 4m
A B C
4cm ti=10 C
100kN te=+20 C
ti=5 C
20 kN/m
P220 kNm
2 kN/m20 kN
10 kN
10 kN/m
2m 2m 2m 2m
3m
1.5m
1.5mA B C
D
E F G
H I J
P1
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2 Mtodo das ForasNota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso, excepto quando expressamente indicado.
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2 Mtodo das Foras 1
Problema 2.1 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine adistribuio de esforos e trace a deformada aproximada:
kN/m
m
m
m
kN
"!#
m $
m
Nota: necessria a resoluo do Problema 1.5.
Problema 2.2 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine:
% %
% %&
&
' '
' '(
(
) )
) )
) )
*
*
*
+ kN/m
,-
.
m
/
-
-
m
m
m
-
01 kN
a) a distribuio de esforos em todas as barras.b) os deslocamentos verticais em B e C e a rotao em A.
Nota: Para efeitos de deformabilidade considere a barra AD axialmenteindeformvel.
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2 Mtodo das Foras 2
Problema 2.3 Considere a estrutura representadas na figura:
2
2
2
3
3
3
4 4 4
5 5 +
.
m
AB:
678 -
kNm $
9
BC:
:
6 -
kNm $
6#
.,
-
kN
b) ; 1,<
.1
m
.
m
a) =
c) > ? cm
@
+"ACB
a) BC: >6X <
m
Determine os diagramas de esforos na estrutura devido:
a) a uma variao da temperatura na barra BC constante ao longo do eixo dabarra e variao linear na altura da seco como mostra na figura a)
b) a um assentamento do apoio E horizontal igual a GJY , figura b);c) a um assentamento do apoio E vertical igual a GJY , figura c)
Nota 1: Resolver o problema tomando em conta a simetria.
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2 Mtodo das Foras 4
Problema 2.6 Considere a estrutura atirantada e o carregamento representadana figura:
Z Z Z
Z Z Z
[ [ [
[ [ [
+
m+
m+
m+
m
, kN/m
?
m
K
m
$
$
]\\
^`_bac_
^Cdfegd
m $
Admita que os cabos esto pr-esforados com um valor suficiente, de modo queo seu esforo total nunca seja de compresso. Admita ainda que desprezvel adeformabilidade axial do tabuleiro e da torre.
a) Determine a parcela simtrica e anti-simtrica do carregamentob) Trace os diagramas de momento flector e de esforo axial para a parcela
assimtrica do carregamento indicado.
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2 Mtodo das Foras 5
Solues
h Problema 2.1 Deslocamentos na deformada aproximada:
ikjl
EmGknpoqGkngrJsQt m u
i jv
EmGJIgrksQt m w
ikxl
Ezy{oq|C}JrJsQt m u
ikxv
E~"IC|CG{o|JgrJst m w
h Problema 2.2
i jv
E~"CI{ong|JrJsQt m w
i xv
EHG{~yponC|CrJsQt m w
k#EzJ`rJsQt rad (rotao horria)h Problema 2.3
a) i jv EHGoqGC|JrJsQt m w i j
l
EmI m
kjEHG{o|JgrksQt rad (rotao anti-horria)b) i jv Em{onJJ~"I m w
i jl
EmCI~"I m u
j Ez`Gon~"I` rad (rotao horria)c) i
j
v
EH}oq}C}~I m w
ij
l
EmI m
j EHG{oIgG~"I` rad (rotao horria)h Problema 2.4
c) ikxv Empo`G mm wh Problema 2.5 Esforo normal na barra BD:
a) j
EIpo~|CG~"IYsQt kN (traco)b)
j
Enpo|CG~"IY
l
st kN (traco)c)
j
EI kNh Problema 2.6 Esforo normal nos cabos (AS):
cb EmC}{oq}kn kN (compresso) cb Emg}{o}Jn kN (traco)
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3 Mtodo das Foras - Problemas 1
3 Mtodo das Foras - ProblemasNota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso, excepto quando expressamente indicado.
Problema 3.1 Determine, pelo Mtodo das Foras, os diagramas de esforosna estrutura indicada. Despreze a deformabilidade das barras por esforotransverso. Considere EA = 3.6 106 kN e EI = 48 103 kNm2.
10 kN/m
4 m2 m
2 m
3 m
16 kN
C D
B
A
E
Problema 3.2 Recorrendo ao Mtodo das Foras calcule a rotao relativaem C para o carregamento indicado na figura. Admita que desprezvel adeformabilidade axial das barras e que todas as barras tm a mesma inrcia flexo EI = 105 kNm2.
2 m1 m 1 m3 m 3 mA B
4 m
4 kN/m
C
10 kNm5 kN
D10 kNm
5 kN
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3 Mtodo das Foras - Problemas 2
Problema 3.3 Considere a estrutura representada na figura em que a rigidez flexo, EI , constante para todas as barras excepto a da barra CD de rigidezinfinita. Para as deformaes axiais adopte a rigidez EA = 10EI . RecorrendoaoMtodo das Foras determine a distribuio de esforos devido a aco isoladade cada uma das solicitaes indicadas:
10 kN
5 kN/m
3 m
4 m
A
C
D
B
a) solicitao representada na figura;b) variao da temperatura na barra CD constante na altura da barra e
com variao linear ao longo do eixo da barra, sendo o valor mximoem tC = +10
C e tD = 0C. Adopte um coeficiente de dilatao
trmica = 105/C.
c) assentamento vertical (para baixo) no apoio A de 5 cm.
Problema 3.4 Considere a estrutura representada na figura. Aplicando oMtodo das Foras determine os diagramas de esforos. Todas as barras tma mesma inrcia flexo EI = 4.0 102 kNm2 e k = 5EI kNm. Considereapenas as deformaes por flexo.
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3 Mtodo das Foras - Problemas 3
3 m 3 m
CD
F
E
G
B
3 m
3 m
Ak
8 kN/m8 kN/m
Problema 3.5 Considera a estrutura representada na figura, em que todas asbarras tm as mesmas caractersticas: seco rectangular de 0.4 m de altura,inrcia flexo EI e deformao axial EA = 10EI constantes.
3 m
3 m20 kN/m
AB
C D
Determine:
a) os diagramas de esforos e o deslocamento do n C para o carregamentorepresentado.
b) os diagramas de esforos para uma variao de temperatura uniformeao longo da barra CD e variao linear na seco sendo a temperaturainterior ti = 10C e exterior te = +5C. Adopte um coeficiente dedilatao trmica = 105/C.
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3 Mtodo das Foras - Problemas 4
Problemas Propostos - Mtodo das Foras
Problema 3.6 Considere a estrutura representadas na figura:
!!
!
!
!
!!
!!
4 m 3 m
a) 20 kN/m
D
A
4 m
B
EI = const.
AC axialmente indeformavelI/A = 0.1 m2
b) = 3 cm
C
c) = 2
Determine a distribuio de esforos na estrutura e o deslocamento do ponto Bdevido a:
a) uma carga uniformemente distribuda p = 20 kN/m;b) assentamento vertical no apoio D de 3 cm.b) uma rotao de = 2 em C representada na figura.
Problema 3.7 Considere a estrutura representada na figura:
+
0.20 m
tBim
= +20C
tBem = 20C
Seco B:
4 m
C
6 m 3 m
D
A
30
B10 kN/m
k
ABC:
= 105 /Ch = 0.2 m
BD: EA = 10EI0 kNk = 4EI0 kN/m
EI = EI0 kNm2EA
Determine a distribuio dos esforos na estrutura devido ao momento aplicadono n B e a variao de temperatura na barra AB, crescente ao longo de eixoda barra e diferencial na altura da seco com valor mximo na seco B deti = +20
C e te = 20 C (como mostra na figura).
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3 Mtodo das Foras - Problemas 5
Problema 3.8 Para a estrutura representada na figura, determine a distribuiode esforos na estrutura e os deslocamentos de ponto A, B e a rotao em Ddevido a:
4 m 2 m 2 m
B
CA
4 m
4 m
D
C
b) = 5 cm
= 105 /CBD: A = 10I0 m2AC,BC: EAEI0 = const.
30
a) um aumento de temperatura uniforme ao longo das barras e na seco de+20 C nas barras BC e BD e variao uniforme ao longo da barra ediferencial na seco da barra AB (hAB = 0.40 m) de +30 C na fibrasuperior e de 30 C na fibra inferior;
b) um assentamento vertical de = 5 cm no apoio C;
Problema 3.9 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine adistribuio de esforos e trace a deformada aproximada:
!!
!!
!!
10 kN/m
B D
C
4 m 1 m 1 m
20 kN
EA = const.EI = const.
I/A = 0.1 m2
4 m
A
-
3 Mtodo das Foras - Problemas 6
Problema 3.10 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine:
!
!
!
!
!
!!
!!
!!
10 kN/m
EA = 4EI0
A
3 m
D
Bk = EI0
CEI0
2 m 2 m 4 m
EI0
50 kN
a) a distribuio de esforos em todas as barras.b) os deslocamentos verticais em B e C e a rotao em A.
Nota: Para efeitos de deformabilidade considere a barra AD axialmenteindeformvel.Problema 3.11 Considere a estrutura representadas na figura:
!
!
!
!!!
+
3 m
AB: EI = 4EI0 kNm2EA =
BC: EI = 2EI0 kNm2EA = 30EI0 kN
b) +20C
0.30 m
3 m
A
B
C
a) p
c) = 6 cm
= 105 /C
Determine a distribuio de esforos na estrutura e os deslocamentos do ponto Bdevido a:
a) uma carga uniformemente distribuda p = 20 kN/m;b) uma variao de temperatura na barra AB, constante ao longo do eixo da
barra e com variao linear na altura da barra, representada na figura b)c) assentamento vertical no apoio C de 6 cm.
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3 Mtodo das Foras - Problemas 7
Problema 3.12 A viga do caminho de rolamento de uma grua de um caismartimo construda por vrios troos de 4 tramos apoiados em 5 estacasde beto trabalhando por resistncia de ponta. Utilizando o modelo declculo representada na figura e considerando um carregamento uniformementedistribudo nos 2 tramos centrais, determine os esforos finais na estrutura.
8 m 8 m 8 m 8 m
200 kN/m
A B C D E
E = 30.5 GPa
k
EI
I = 25 106 cm4
k = 16 105 N/cm
a) Resolver o problema tomando em conta a simetria;b) Resolver o mesmo problema substituindo as molas por 4 apoios simples e
um apoio fixo e comparar os resultados;c) Nas condies da alnea a) qual o deslocamento do ponto C?
Problema 3.13 Considere o prtico representada na figura:
!!!
!!!
!!!
+
3 m 3 m5 m 5 m
2 m
4 m
ABCDE: EI = const kNm2EA = = 105 /Ch = 0.40 m
BD: EA = 10EI kNB
C
D
EAc) 2
b) 2
a) BC: 2C
0.40 m
Determine os diagramas de esforos na estrutura devido:a) a uma variao da temperatura na barra BC constante ao longo do eixo da
barra e variao linear na altura da seco como mostra na figura a)b) a um assentamento do apoio E horizontal igual a 2, figura b);c) a um assentamento do apoio E vertical igual a 2, figura c)
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3 Mtodo das Foras - Problemas 8
Nota 1: Resolver o problema tomando em conta a simetria.
Problema 3.14 Considere a estrutura atirantada e o carregamento representadana figura:
!!!
!!!
12 m 12 m 12 m 12 m
100 kN/m16 m
8 m
E2A2
E1I1
E1I1
E2A2= 2 m2
Admita que os cabos esto pr-esforados com um valor suficiente, de modo queo seu esforo total nunca seja de compresso. Admita ainda que desprezvel adeformabilidade axial do tabuleiro e da torre.
a) Determine a parcela simtrica e anti-simtrica do carregamentob) Trace os diagramas de momento flector e de esforo axial para a parcela
anti-simtrica do carregamento indicado.
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3 Mtodos EnergticosNota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso, excepto quando expressamente indicado.
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3 Mtodos Energticos 1
Problema 3.1 Sabe-se que, para uma viga simplesmente apoiada de rigidez ,sujeita a um momento concentrado aplicado na uma das extremidades,o deslocamento e a rotao so dados por:
M=6EI
x
yL
!"
#$%&'
onde (
Utilizando o Teorema de Betti, determine os momentos de fixao para:a.) a viga bi-encastrada sujeita a uma carga concentrada, representada;
P
a b
L
A B
b.) a mesma viga bi-encastrada sujeita a uma carga uniformementedistribuda, ) .
c.) utilizando os resultados obtidos na alnea * e + determine os esforosproduzidos na viga contnua:
D
100 kN 20 kN/m
2 m 2 m 4 m 4 m
ACB
Determine os momentos de fixao para alnea * e + por aplicao do Teoremade Manabrea.
Problema 3.2 Considere as duas estruturas representadas sujeitas a um sistemade foras ,.- . Admite que a deformada das estruturas, quando retirada a mola
-
3 Mtodos Energticos 2
e sujeitadas a uma fora / que provoca um deslocamento unitrio segunda adireco da mola, dada por uma funo conhecida, 0 "
. Utilizando o Teoremade Betti, mostre que, a reaco 1 que aparece na mola devida a carga aplicadapode ser calculada por:
a.)P1 P2 Pn
F
1
1 2n
k
132 ,.-.450#-
b.)P1 P2 Pn
F
1
1 2n
k
16
2
,.-7480#-
9
/ :
Problema 3.3 Determine a energia potencial de deformao acumulada na vigade rigidez ; representada. Utilizando os teoremas de Castigliano, determinetambm o deslocamento segundo a direco da fora concentrada.
P
L/2 L/2
Problema 3.4 Considerando as incgnitas hiperestticas indicadas na figura,
X1
X2
X3
L
A, I
(a)
X1
X3X2
L
A, I
(b)
determine os coeficientes da matriz de flexibilidade utilizando:
-
3 Mtodos Energticos 3
1. os teoremas de Castigliano;
2. o princpio dos trabalhos virtuais;
Problema 3.5 Para a barra bi-encastrada representada, determine:
L
2
13 6
5
4
A, I
a.) a expresso analtica da deformada;b.) a energia potencial de deformao acumulada na barra;c.) a rigidez segundo a direco 2;
provocadas por um deslocamento segundo a direco 3.
Problema 3.7 Para a barra bi-encastrada representada, determine:
L
2
13 6
5
4
A, I
a.) a expresso analtica da deformada;b.) a energia potencial de deformao acumulada na barra;c.) a rigidez segundo a direco 2 e 5;
provocadas pelos deslocamentos e =?C segundo as direces 3 e 6, respectivamente.Representa tambm o diagrama de momento flector.
Problema 3.9 Para a barra bi-encastrada representada, determine:
L
2
13 6
5
4
A, I
a.) a expresso analtica da deformada;b.) a energia potencial de deformao acumulada na barra;c.) a rigidez segundo todas as direces.
Com os elementos calculados, construa a matriz de rigidez deste tipo de barra.
Problema 3.10 Para a barra encastrada-rotulada representada, determine:
L
2
13
5
4
A, I
a.) a expresso analtica da deformada;b.) a energia potencial de deformao acumulada na barra;c.) a rigidez segundo a direco 2;
provocadas por um deslocamento segundo a direco 3.
Problema 3.12 Determine a matriz de rigidez para a barra encastrada-rotuladarepresentada.
L
2
13
5
4
A, I
-
3 Mtodos Energticos 7
Solues
D Problema 3.1
a.) FEGH',*I+J
; LKMN',*
+
J
b.) FEGLK5H%)A J
9
D Problema 3.3O
6,
>
J
QP
; RS6, >J
"TVU
;
D Problema 3.4
a.) W
XY
J
Z
[ [
[
>
J
;
J
[
J
;
J
\]
b.) W
X
Y
J
;Z
[ [
[
J
;
J
[
J
;
J
\
]
D Problema 3.5
a.) < "
6
J
>
b.) O 6
c.):
`
9
J
>
D Problema 3.6
a.) < "
=?> "
J
8
>
J
b.) O =
>
J
c.):
`
T
J
>
D Problema 3.7
a.) < "
6
`n
b.) O 6
c.):
`
6
J
>
D Problema 3.11
a.) < "
=?>m
&
J
>
J
an
b.) O 6 =
>
J
c.):
>`>h6
J
D Problema 3.12
i
X
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Y
;Z
[ [
;Z
[
[
;
>
[
>
[
;
[
Z
[ [
Z
[
[
>
[
>
\
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
]
-
1 Mtodos Energticos
Problema 1.1 Para a estrutura representada na figura, determine ascomponentes do deslocamento do n C e B pelo PTV. Trace a deformadaaproximada da estrutura.
20 kN
AB
C
1 m
2 m
A = 10 cm2
E = 2.06 105 MPa
Problema 1.2 Para a estrutura representada na figura:
D
4 m
EA = const.EI = const.
I/A = 0.1 m2
4 m
A
B
5 kN/m
C
20 kN
2 m
a) Determine o deslocamento horizontal do ponto D, a rotao relativa em Be as componentes do deslocamento do n C, pelo mtodo de PTV.
b) Trace a deformada aproximada.Nota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso.
Problema 1.3 Considere estrutura representada na figura a) em que todas asbarras so deformveis axialmente e por flexo, sendo EI = const., EA = 5EI .Para P = 30 kN , responda as seguintes questes:
-
a) Determine o deslocamento vertical do ponto B utilizando os Teoremas deCastigliano.
b) Calcule a rotao em A utilizando o princpio dos trabalhos virtuais e osTeoremas de Castigliano;
c) Considere agora a estrutura representada na figura b). Obtenha osdiagramas de esforo normal e do momento flector na estrutura utilizandoo Teorema de Menabrea;
1.5 m 3 m1.5 m
A
D
C
2 m
P
B
1.5 m 3 m1.5 m
A
D
C
2 m
P
B
Problema 1.4 Sabe-se que, para uma viga simplesmente apoiada de rigidez EI ,sujeita a um momento concentradoM = 6EI aplicado na uma das extremidades,o deslocamento e a rotao so dados por:
M=6EI
x
yL
y(x) = L2(2 3 + 2); y(x) = L(32 6 + 2); onde xL
Determine, utilizando o Teorema de Betti, os momentos de fixao para a vigabi-encastrada sujeito a uma carga concentrada, representada.
6 m
4 m 2 m
20 kN
Problema 1.5 Para as vigas representadas e aplicando os Teoremas deCastigliano determine as flexibilidades para uma aco simultnea das forasX1, X2 e X3:
2
-
X1
X2
X3
L
A, I
(a)
X1
X3X2
L
A, I
(b)
Problema 1.6 Para a barra bi-encastrada representada e recorrendo aosteoremas de Castigliano determine os coeficientes de rigidez segundo as direces3 e 5 provocadas pelos deslocamentos 3 e u5:
L
2
13 6
5
4
A, I
Problema 1.7 Determine os ceficientes de rigidez k11, k12, k15, k21, k22, k25,k51, k52 e k55 para a barra encastrada-rotulada representada provocadas pelosdeslocamentos u1, u2 e u5 utilizando os teoremas de Castigliano. Considereu2 > u5
L
2
13
5
4
A, I
3
-
Problemas Propostos
Problema 1.8 Considere as duas estruturas representadas sujeitas a um sistemade foras Pi. Admite que a deformada das estruturas, quando retirada a molae sujeitadas a uma fora F que provoca um deslocamento unitrio segunda adireco da mola, dada por uma funo conhecida, (x). Utilizando o Teoremade Betti, mostre que, a reaco R que aparece na mola devida a carga aplicadapode ser calculada por:
a.)P1 P2 Pn
F
1
1 2n
k
R =
Pi i
b.)P1 P2 Pn
F
1
1 2n
k
R =
Pi i
1 +F
k
4
-
4 Mtodo dos DeslocamentosProblema 4.1 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine a
distribuio de esforos:
EI
2EI
C 2EI D
20kNm10 kN/m
A
B
E
EA
8 m 3 m
5 m
2 m
Problema 4.2 Considere a estrutura representada na figura em que EI constante em todas as barras e as deformaes devidas ao esforo axial sodesprezveis.
6m 5m
4m
B
5 kN/m
5m
20kN
C
4m
DA
80kN
Determine a distribuio de esforos na estrutura o deslocamento do ponto Bdevido a aco isolada das seguintes solicitaes:
a) solicitao representada na figura;b) assentamento vertical (para baixo) no apoio D de 4 cm.c) uma rotao do apoio A no sentido horrio = 3.
-
4 Mtodo dos Deslocamentos 2
Problema 4.3 Considere a estrutura representada na figura com barras deseco transversal rectangular de dimenses 0.4 0.6 m, sujeita a acosimultnea das solicitaes indicadas. A variao da temperatura nas barrasBC e GF constante ao longo do eixo e na altura da seco.Desprezando a deformabilidade axial de todas as barras com excepo das barrasAB e FH , determine os diagramas de esforos e a deformada aproximada daestrutura. Adopte E = 25 GPa e = 105/C.
4 kN/m4 kN/m6kNm
10 kN
t0 = +30C
t0 = 30C
A
B
C
D
EG H
F
3 m 3 m4 m 4 m
4 m
10 kN = 8 cm
Problema 4.4 Considere a estrutura representadas na figura em que asdeformaes devidas ao esforo normal so desprezveis e todas as barras tmrigidez flexo EI constante.
3 m
20 kN/m
D
B
C
A
3 m
Determine a distribuio de esforos na estrutura devido a aco isolada dasseguintes solicitaes:
a) a carregamento representado. Determine ainda a rotao relativa em C ;
-
4 Mtodo dos Deslocamentos 3
b) um aumento de temperatura de 40C na barra AB (uniforme aolongo da barra e na seco). Considere um coeficiente de dilataotrmica = 105/C;
Problema 4.5 Determine a distribuio de esforos na estrutura e acesrepresentadas na figura. Considere a rigidez da mola k = 5EI , a rigidez flexo EI para todas as barras e a deformabilidade axial desprezvel paratodas as barras excepto a da barra AB de rigidez EA = 10EI .
10 kN
50 kND
4m
C
B
A
2m
3m 2m 2m
k
Problema 4.6 Considere a estrutura representada na figura:
+
tim = 40C
tem = +20C
Seco A:
0.2 m4 m
C
6 m 3 m
D
ABC:
= 105 /Ch = 0.2 m
BD: EA = 10EI0 kNk = 4EI0 kN/m
EA20 kN EI = EI0 kNm2
k
B
10 kN/m30A
Determine a distribuio dos esforos na estrutura devido a aco isolada dasseguintes solicitaes:
a) solicitao representvel por foras;b) variao de temperatura na barra AB, decrescente ao longo de eixo da
barra e diferencial na altura da seco com valor mximo na seco Ade ti = 40 C na face inferior e te = +20C na face superior daviga (como mostra na figura b). Considere um coeficiente de dilataotrmica = 105/C.
-
4 Mtodo dos Deslocamentos 4
Problema 4.7 Considere o prtico de pisos rgidos representada na figura emque deformabilidade axial de todas barras desprezvel e os pilar tm rigidez aflexo EI constante.
4m
4m
3m 3m
B
A
E
F
DC
Determine o deslocamento horizontal do n D para a aco isolada das seguintessolicitaes:
a) um assentamento vertical (para baixo) do apoio A de = 8cm;b) um aumento da temperatura (uniforme ao longo do eixo e na altura da
seco) de t0 = +30C em todas as barras. Considere um coeficiente dedilatao trmica = 105/C.
Problema 4.8 Considere a estrutura representada na figura, em que todas asbarras so de seco transversal rectangular de 0.4 0.6 m e k = 5EI kN/m.
A
CB
ti
te
k
A
CB
10kNm
k
1 m
2 m
2 m
1.5 m 1.5 m
b)a)
20 kN10 kN
-
4 Mtodo dos Deslocamentos 5
Desprezando a deformabilidade axial das barras e considerando EI constante,determine a distribuio dos esforos na estrutura devido a aco isolada dasseguintes solicitaes:
a) solicitao representvel por foras (figura a);b) variao de temperatura na barra AB, decrescente ao longo de eixo da
barra e diferencial na altura da seco com valor mximo na seco Ade ti = +20 C e te = 20C (como mostra na figura b). Considere umcoeficiente de dilatao trmica = 105/C.
Problema 4.9 Considere a estrutura atirantada e o carregamento representadana figura:
12 m 12 m 12 m 12 m
100 kN/m16 m
8 m
E2A2
E1I1
E1I1
E2A2= 2 m2
Admita que os cabos esto pr-esforados com um valor suficiente, de modo queo seu esforo total nunca seja de compresso. Admita ainda que desprezvel adeformabilidade axial do tabuleiro e da torre. Trace os diagramas de momentoflector e de esforo axial para a parcela simtrica do carregamento indicado.
Problema 4.10 Para a estrutura representada na figura, determine a distribuiode esforos na estrutura e os deslocamentos de ponto A, B e a rotao em Ddevido a:
4 m 2 m 2 m
B
CA
4 m
4 m
D
C
b) = 5 cm
= 105 /CBD: A = 10I0 m2AC,BC: EAEI0 = const.
30
-
4 Mtodo dos Deslocamentos 6
a) um aumento de temperatura uniforme ao longo das barras e na seco de+20 C nas barras BC e BD e variao uniforme ao longo da barra ediferencial na seco da barra AB (hAB = 0.40 m) de +30 C na fibrasuperior e de 30 C na fibra inferior;
b) um assentamento vertical de = 5 cm no apoio C;
Problema 4.11 Considere a estrutura representada na figura em que todas asbarras so axialmente indeformveis:
DA
B
2 m 2 m 2 m
3 m
C
20 kN/m
EI = const.EA
= 105 /C
Determine a distribuio de esforos na estrutura devido a:a) a carregamento uniformemente distribuda q = 20 kN/m na barra BC;b) um aumento de temperatura de 20 C em todas as barras (com variao
uniforme ao longo da barra e na seco);Problema 4.12 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine a
distribuio de esforos. Despreze a deformabilidade axial de todas as barras.
D
B
10 kN/m
8 m 3 m3 m
A
4 m
4 m
20 kNm
EC Caractersticas das barrasBarras EI[kNm2]AB 1.5EI0BC,CE 2EI0CD EI0
-
4 Mtodo dos Deslocamentos 7
Problema 4.13 Considere a estrutura representadas na figura:
4 m 3 m
a) 20 kN/m
D
A
4 m
B
EI = const.
AC axialmente indeformvelI/A = 0.1 m2
b) = 3 cm
C
c) = 2
Determine a distribuio de esforos na estrutura e os deslocamentos do ponto Bdevido a:
a) uma carga uniformemente distribuda p = 20 kN/m;b) assentamento vertical no apoio D de 3 cm.c) uma rotao em apoio C = 2 representada na figura.
Problema 4.14 Para a viga de inrcia constante, submetida ao carregamentoindicado na figura determine os diagramas de esforos na estrutura e odeslocamento do ponto B.
20 kN/m
B
5 m
20 kN
5 m5 m
AC D
EI = 5 104 kNm2
EAk = 5 103 kN/m
Problema 4.15 Escreva a equao do Mtodo dos Deslocamentos para aestrutura e aco representadas na figura.
Pilares: EI = EI0, EAVigas: EI = 2EI0, EA
50 kN
50 kN
20 kNm
20 kNm4 m
4 m
E
A
B
C D
3 m 3 m
F
-
4 Mtodo dos Deslocamentos 8
Problema 4.16 Considere a estrutura representadas na figura:
B
C
Da) 15 kN/ma) 30 kN
60
4545
EI
EI
2EIlAC = lBC = lCD = 4 m
a) 50 kNm
EAA
Determine a distribuio de esforos na estrutura devido a:a) a carregamento representado a) ;b) um aumento de temperatura de 40 C na barraCD (com variao uniforme
ao longo da barra e na seco);
Problema 4.17 Considere a estrutura representada na figura:
+
0.2 m
tBim = +20C
tBem = 20C
Seco B:
4 m
C
6 m 3 m
D
A
30
B10 kN/m
k
ABC:
= 105 /Ch = 0.2 m
BD: EA = 10EI0 kNk = 4EI0 kN/m
EI = EI0 kNm2EA
Determine a distribuio dos esforos na estrutura devido ao momento aplicadono n B e a variao de temperatura na barra AB, crescente ao longo de eixoda barra e diferencial na altura da seco com valor mximo na seco B deti = +20
C e te = 20 C (como mostra na figura).
Problema 4.18 Considere a estrutura representada na figura em que as barrastm rigidez flexo EI e a rigidez a esforo axial de 10EI .
-
4 Mtodo dos Deslocamentos 9
4.0 m
a) 50 kN
b) = 0.04 rad
a) 10 kN
2.0 m 2.0 m
A C
B
D
3.0 m
3.0 m
Determine a distribuio de esforos na estrutura a:a) a carregamento representado a) ;b) uma rotao de = 0.04 rad no apoio C;