Kontaktmechanik
D. Anders
Inhaltsbersicht
Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKrper
Analytische Lsung vs.
FEM
1
Lehrstuhl frFestkrper-mechanik
Universitt Siegen
Exkurs in die Grundlagen der
Kontaktmechanik
Dr.-Ing. Denis AndersSMS Siemag
Strukturanalysen und numerische Berechnungen
Lehrauftrag im Kurs Festigkeitslehre,18./21.01.2013
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKrper
Analytische Lsung vs.
FEM
2
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Universitt Siegen
Inhaltsbersicht
Einleitung Annahmen und Voraussetzungen
Hertzscher Kontakt fr ebene Probleme Punktfrmige Belastung einer elastischen
Halbebene (Flamant-Lsung) Elastische Halbebene unter beliebigen Zug- bzw.
Drucklasten Verformungszustand der Halbebene Hertzscher Kontakt zweier Scheiben
Hertzscher Kontakt fr dreidimensionale Probleme Punktfrmige Belastung des elastischen
Halbraumes (Boussinesq-Lsung) Krmmungsverhltnisse in der Kontaktzone Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischer Krper Analytische Lsung vs. FEM
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKrper
Analytische Lsung vs.
FEM
3
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Einleitung
Annahmen und Voraussetzungen (Hertzscher Kontakt)
Werden zwei elastische Krper mit gewlbter Oberflche inRichtung ihrer Berhrungsnormalen gegeneinander gedrckt,so verformen sich vorwiegend die Berhrstellen der beidenKrper.Voraussetzungen fr den Hertzschen Kontakt:
linear-elastische, homogene und isotrope Werkstoffe Reibungsfreiheit, keine Schubspannungen in der
Kontaktflche
kontinuierliche Berhrflchen ohne Oberflchenfehler Kontaktflche eben und klein gegenber den
Abmessungen der Krper
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKrper
Analytische Lsung vs.
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3
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Einleitung
Kontaktbereich
= berfhrung des Kontaktproblems in denBelastungs-/Verformungszustand einer elastischenHalbebene (fr ebene Probleme) bzw. des elastischenHalbraumes (fr dreidimensionale Probleme)
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Einleitung
2D Kontakt
Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKrper
Analytische Lsung vs.
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Halbebene unter einer Punktlast
Die keilfrmige Scheibe unter Last
Die untersuchte keilfrmige Scheibe wird durch dieNormalkraft FL0, die Querkraft FQ0 sowie das Moment M0belastet.
x
y
M0
FQ0
FL0
r
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Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
rotationssymmetrischerKrper
Analytische Lsung vs.
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Halbebene unter einer Punktlast
Ansatz fr die Airysche Spannungsfunktion :
= C1r sin+ C2r cos+ C3+ C4 sin 2 (1)
Mit Hilfe der nachfolgenden Beziehungen fr polareKoordinaten
r =1
r
r
+ 1r2
2
2=
2C1
rcos 2C2
rsin 4C4
r2sin 2 (2)
=2
r2=0 (3)
r= r(
1
r
)=
C3
r2+
2C4
r2cos 2 (4)
erhalten wir aus den Randbedingungen
(=)=0 (durch den bisherigen Ansatz bereits erfllt)
r(=)=0 C3r2
+2C4
r2cos 2=0 C3=2C4 cos 2. (5)
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Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
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Analytische Lsung vs.
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Halbebene unter einer Punktlast
M0
FQ0
FL0
rr
r
Die Gleichgewichtsbedingungen an diesem freigeschnittenenSegment liefern
= 0 : FL0 + d
(r sin r cos) r d = 0
= 0 : FQ0 d
(r cos+ r sin) r d = 0
M = 0 : M0 + d
r r
2 d = 0
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Halbebene unter Punktlast
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
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Analytische Lsung vs.
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Halbebene unter einer Punktlast
Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen folgt:
C1 =FL0
d (sin 2+ 2)
C2 =FQ0
d (sin 2 2)
C4 =M0
d (4 cos 2 2 sin 2)
C3 = 2C4 cos 2 =M0 cos 2
d (2 cos 2 sin 2)
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Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
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Analytische Lsung vs.
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Halbebene unter einer Punktlast
Der bergang zur Halbebene als ein Sonderfall derkeilfrmigen Scheibe wird durch = 2 realisiert:
y
x
M0
FQ0
FL0
= 2
= 2
r
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Halbebene unter Punktlast
Halbebene unter Linienlast
Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
Hertzscher Kontakt zweierScheiben
3D Kontakt
Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
Hertzscher Kontakt
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Analytische Lsung vs.
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Halbebene unter einer Punktlast
Fr die Halbebene lauten die Integrationskonstanten:
C1 =FL0
d, C2 =
FQ0
d, C3 =
M0
d, C4 =
M0
2d.
Ist die Halbebene nur durch eine senkrechte Punktlast FL0belastet, so erhalten wir fr die Airysche Spannungsfunktion
=FL0
dr sin
und die zugehrigen Spannungskomponenten
r =2FL0 cos
rd, = 0, r = 0.
Fr eine auf die Halbebene wirkende Druckkraft erhlt mananalog
= FL0d
r sin r = 2FL0 cos
rd, = 0, r = 0.
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Verformung der Halbebene
Starrer Stempel aufHalbebene
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Punktfrmige Belastung des
elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lsung)
Krmmungsverhltnisse in
der Kontaktzone
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