Factorisation par
double mise en évidence
Remarque : Tu devrais visionner la présentation :
Factorisation par simple mise en évidence.ppt
avant de visionner celle-ci.
La double mise en évidence est l’opération inverse de la double distributivité.
Exemple :
(x + 4) (y + 2)
x (y + 2) + 4 (y + 2)
x X y + x X 2 + 4 X y + 4 X 2
xy + 2x + 4y + 8
(x + 4) (y + 2)
x (y + 2) + 4 (y + 2)
x X y + x X 2 + 4 X y + 4 X 2
xy + 2x + 4y + 8
Double distributivité Double mise en évidence
Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.
x ( )
xy + 2x + 4y + 8
+ 4 ( )
Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.
Pour ce faire, il faut :
- regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun;
- mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes;
- remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes.
Exemple :
xy + 2x + 4y + 8
x x
y + 2
4 4
y + 2
xy + 2x + 4y + 8
(y + 2) (y + 2)
(x + 4)(y + 2)
Remarque : La double mise en évidence s’utilise avec des polynômes à 4 termes.
y ( )
xy + 4y + 2x + 8
+ 2 ( )
Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.
On pourrait regrouper les termes différemment :
- regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun;
- mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes;
- remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes.
Exemple :
xy + 4y + 2x + 8 y y
x + 4
2 2
x + 4
xy + 2x + 4y + 8
(x + 4) (x + 4)
(x + 4) (y + 2)
x ( )
xy + 3x + 2y + 6
+ 2 ( )
Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.
Pour ce faire, il faut :
- regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun;
- mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes;
- remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes.
Exemple :
xy + 3x + 2y + 6
x x
y + 3
2 2
y + 3
xy + 3x + 2y + 6
(y + 3) (y + 3)
(x + 2)(y + 3)
Remarque : Pour s’assurer d’une bonne factorisation, on vérifie si les deux binômes sont identiques lors de la première mise en évidence.
+ 2 ( )b ( )
ab + 3b + 2a + 6 Exemple :
2 2b b
a + 3 a + 3
(a + 3) (a + 3)
(b + 2) (a + 3)
2x ( ) + 3 ( )
Exemple : 4x + 2xy + 6 + 3y
2 + y
3 3
2 + y
(2x + 3)(2 + y)
2x 2x
(2 + y) (2 + y)
2a3b + 3a3 + 2b2 + 3b
- 4 ( )b ( )
ab + 5b - 4a - 20
Exemple :
- 4 - 4b b
a + 5 a + 5
(a + 5) (a + 5)
(b – 4) (a + 5)
ab – 20 + 5b - 4a Regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun.
+ b ( )a3 ( )
Exemple :
b ba3 a3
2b + 3 2b + 3
(2b + 3) (2b + 3)
(2b + 3) (a3 + b)
Obtenir le même binôme.
+ 3 ( )b + 4a ( )
+ 21 ( )7a ( )
Exemple :
21 21
b + 4 b + 4
(b + 4) (b + 4)
(7a + 21) (b + 4)
7ab + 28a + 21b + 84
Attention :
7a 7a
Ce binôme n’est pas assez factorisé.
= (b + 4) 7 (a + 3) ou 7 (b + 4) (a + 3)
7ab + 28a + 21b + 84 7 (b + 4) (a + 3)
Règle : La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.
7ab + 28a + 21b + 84
7 7 7 7
ab + 4a + 3b + 12a a 3 3
b + 4
(b + 4) (b + 4)
(a + 3)(b + 4)
7
7
7
Ce polynôme contient 3 facteurs :
+ 2 ( )y - 4x ( )
2xy - 8x + 4y - 16
2 2 2 2
xy - 4x + 2y - 8x x 2 2
y - 4
(y - 4) (y - 4)
(x + 2)(y - 4)
2
2
2
Exemple :
x ( ) + 1 ( )
Factorise : xy + 3x + y + 3
x x
y + 3
1 1
y + 3
(y + 3) (y + 3)
(x + 1)(y + 3)
1 ( )
Factorise (y + 3)
1) PGCF : 1.
2) Diviser chaque terme par le PGCF.
1 1
3) Mettre le PGCF en évidence. y + 3
y + 3
Rappel :
(2a + 5) (a – 3) + (a + 8) (a – 3) Factorise
P.G.C.F. : (a – 3)
(2a + 5) (a – 3) + (a + 8) (a – 3)
(a – 3) (a – 3)
(2a + 5) + (a + 8)(a – 3)
(2a + 5 + a + 8)(a – 3)
(3a + 13)(a – 3)
Remarque : La double mise en évidence est une des étapes de la factorisation de
trinômes de la forme ax2 + bx + c.
Démarche exigée
+ 2 ( )b ( )
ab + 3b + 2a + 6
a + 3 a + 3
(b + 2) (a + 3)