Familias de CamposOndulatorios Fundamentales de
la Ecuacion de Helmholtz enSistemas de CoordenadasCurvilıneas Ortogonales
por
Jose Adan Hernandez Nolasco
Tesis presentada en el cumplimiento parcial delos
Requisitos para el Grado de Dr. en Optica
en el
Instituto Nacional de Astrofısica, Optica yElectronica
Asesor de Tesis:
Dr. Sabino Chavez Cerda, INAOE
Junio 2012Tonantzintla, Puebla
c⃝INAOE 2012
CON TODO MI CORAZON A DAIANA, ALEXIS Y TAMMY,
ii
Reconocimientos
Agradezco al Dr. Sabino Chavez Cerda por su invaluable apoyo y supervision en
desarrollo de este trabajo de tesis, por sus orientaciones y sus acertadas crıticas, sobre todo
por haberme guiado al interesante tema la fısica matematica de la propagacion de la luz.
Agradezco tambien a todos y cada uno de los miembros del jurado que evaluaron mi
trabajo, Dr. Daniel Malacara Hernandez, Dra. Rocıo Jauregui Renaud, Dr. Jesus Rogel
Salazar, Dr. Victor Arrizon Pena y al Dr. Julian David Sanchez de la Llave, por el tiempo
que me dedicaron y por sus enriquecedores comentarios y sugerencias.
En lo personal, quiero agradecer infinitamente mi maravillosa familia que me apoyo y
soporto mis ausencias en el desarrollo de estes trabajo: Mi esposa Tammy Sammy, mi hijo
Alexis David y mi hija Daiana Gissel.
Hernandez Nolasco Jose Adan
Instituto Nacional de Astrofısica Optica y Electronica
Abril 2012
iii
Familias de Campos Ondulatorios Fundamentales de la Ecuacion
de Helmholtz en Sistemas de Coordenadas Curvilıneas
Ortogonales
Hernandez Nolasco Jose Adan, M.Sc.
Instituto Nacional de Astrofısica Optica y Electronica, 2012
Asesor de la tesis: Sabino Chavez Cerda, Ph.D.
The Scalar Helmholtz Equation is separable in eleven orthogonal coordinate systems. Despite
being one of the most studied equations in Mathematical Physics, this fact is not mentioned
and the whole story is hard to find in the classical textbooks or even specialized literature.
Moreover, even when mentioned, the geometry of some of those coordinate systems is not
properly illustrated in the literature.
In order to transform the differential operator of the Helmholtz equation the
corresponding metric for the curvilinear coordinates is used. For some of these, after
performing the transformation, the resulting equation can be very cumbersome and the
method of separation of variables does not apply in a simple and straightforward way. This
leads to look for an alternative method also barely known that is the Stackel determinant, this
allows to get the three separated differential equations for each of the curvilinear coordinates.
The method can be used for the eleven coordinate systems. From which emerge fifteen
different differential equations to solve.
To represent the whole families of scalar wave fields it is necessary to solve each of the
three equations for each one of the curvilinear coordinates. In most of the cases the solutions
are given in terms of not widely known special functions and in some cases their numerical
evaluation is not an easy task.
We will present in an understandable and visual way the eleven coordinate systems
in which the Helmholtz equation is separable. We will show the surfaces associated with
them, whose intersections determine univocally a point in a three dimensional space. We
will present the normalization in a canonical form, the corresponding sets of ordinary
differential equations resulting from the separation of the Helmholtz equation, providing
a graphical picture of the fundamental solutions that enable the representation of radiating
electromagnetic wave fields for each of the curvilinear coordinate systems.
ii
Fundamentals WaveFields Family of the Helmholtz Equation in
Orthogonal Curvilinear Coordinate Systems
Hernandez Nolasco Jose Adan, M.Sc.
Instituto Nacional de Astrofısica Optica y Electronica, 2012
Asesor de la tesis: Sabino Chavez Cerda, Ph.D.
The Scalar Helmholtz Equation is separable in eleven orthogonal coordinate systems. Despite
being one of the most studied equations in Mathematical Physics, this fact is not mentioned
and the whole story is hard to find in the classical textbooks or even specialized literature.
Moreover, even when mentioned, the geometry of some of those coordinate systems is not
properly illustrated in the literature.
In order to transform the differential operator of the Helmholtz equation the
corresponding metric for the curvilinear coordinates is used. For some of these, after
performing the transformation, the resulting equation can be very cumbersome and the
method of separation of variables does not apply in a simple and straightforward way. This
leads to look for an alternative method also barely known that is the Stackel determinant, this
allows to get the three separated differential equations for each of the curvilinear coordinates.
The method can be used for the eleven coordinate systems. From which emerge fifteen
different differential equations to solve.
To represent the whole families of scalar wave fields it is necessary to solve each of the
three equations for each one of the curvilinear coordinates. In most of the cases the solutions
are given in terms of not widely known special functions and in some cases their numerical
evaluation is not an easy task.
We will present in an understandable and visual way the eleven coordinate systems
in which the Helmholtz equation is separable. We will show the surfaces associated with
them, whose intersections determine univocally a point in a three dimensional space. We
will present the normalization in a canonical form, the corresponding sets of ordinary
differential equations resulting from the separation of the Helmholtz equation, providing
a graphical picture of the fundamental solutions that enable the representation of radiating
electromagnetic wave fields for each of the curvilinear coordinate systems.
Indice general
Indice de figuras V
Indice de cuadros VII
Capıtulo 1. Introduccion 1
Capıtulo 2. De las ecuaciones de Maxwell a la ecuacion de Helmholtz 5
2.1. Ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Solucion de la Ecuacion Vectorial de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales 11
3.1. Metricas de las coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Coordenadas Rotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4. Coordenadas Elipticoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5. Transformacion conformal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.1. Transformaciones conformales 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz 63
4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z) . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . 75
i
ii Indice general
4.2.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3. Determinante de Stackel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz 95
5.0.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.0.2. Condicion de radiacion de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1. Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1. Coordenadas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2. Coordenadas Cilındricas Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2. Coordenadas Rotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.1. Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.2. Coordenadas Esferoidales Prolatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.3. Coordenadas Esferoidales Oblatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.4. Coordenadas Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz 131
6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2. Coordenadas Elipticoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.1. Coordenadas Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.2. Coordenadas Paraboloidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.3. Coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Capıtulo 7. Conclusiones Generales y trabajos futuros 153
7.1. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz 159
A.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Indice general iii
A.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
A.10.Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.11.Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Apendice B. Determinante de Stackel 179
B.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
B.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
B.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
B.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B.10.Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.11.Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias 205
C.1. Funcion armonica simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
C.2. Funcion Bessel y Bessel esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
C.3. Funcion Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
C.4. Funcion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
C.5. Funcion de Onda Esferoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
C.5.1. Funcion de Onda Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
C.5.2. Funcion de Onda Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
C.6. Funcion de Onda Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
C.7. Funcion de Onda Paraboloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
C.8. Funcion Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
C.9. Funcion de Onda Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Bibliografıa 231
iv Indice general
Indice de figuras
3.1. Grafica de sistema de coordenado representado erroneamente, a) Cilındrico
Circular y b) Conico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Superficies del sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3. Sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4. Superficies del sistema de coordenadas cilındricas circulares . . . . . . . . . . 18
3.5. Sistema de coordenadas cilındricas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6. Superficies de las coordenadas cilındrica elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7. Sistema de coordenadas cilındricas elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8. Superficies de la coordenadas cilındricas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9. Sistema de coordenadas cilındricas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.10. Superficies de las coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.11. Sistema de coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.12. Superficies de las coordenadas esferoidales prolatas . . . . . . . . . . . . . . 29
3.13. Sistema de coordenadas esferoidales prolatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.14. Superficies de las coordenadas esferoidales oblatas . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.15. Sistema de coordenadas esferoidales oblatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.16. Superficies de las coordenadas esferoidales oblatas . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.17. Sistema de coordenadas esferoidales oblatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.18. Superficies de las coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.19. Sistema de coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.20. Superficies de las coordenadas conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.21. Sistema de coordenadas conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.22. Superficies de las coordenadas paraboloidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.23. Sistema de coordenadas paraboloidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.24. Superficies de las coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.25. Sistema de coordenadas elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.26. a) Coordenadas rectangulares , b) coordenadas circulares . . . . . . . . . . . 49
3.27. a) Coordenadas rectangulares, b) Coordenadas elıpticas . . . . . . . . . . . . 51
3.28. a) Coordenadas rectangulares, b) coordenadas circulares . . . . . . . . . . . 53
v
vi Indice de figuras
3.29. a) Coordenadas circulares, b) coordenadas elıpticas . . . . . . . . . . . . . . 55
3.30. a) Coordenadas circulares , b) coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . 57
3.31. a) Coordenadas elıpticas, b) coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . . 60
5.1. Solucion fundamental en coordenadas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2. Solucion fundamental en coordenadas Cilındricas Circulares . . . . . . . . . 102
5.3. Funcion Mathieu Angular Par a) q=10 b) q=25 . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4. Funcion Mathieu Angular impar a) q=10 b) q=25 . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5. Solucion fundamental en coordenadas Cilındricas Elıpticas primer tipo . . . 107
5.6. Solucion fundamental en coordenadas Cilındricas Elıpticas segundo tipo . . . 108
5.7. Funcion cilındrica parabolica para µ a) Par b) Impar . . . . . . . . . . . . . 109
5.8. Solucion fundamental en coordenadas Cilındricas Parabolicas . . . . . . . . . 111
5.9. Funcion asociada de Legendre a) primer tipo b) segundo tipo . . . . . . . . . 113
5.10. Solucion fundamental en coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.11. Funcion de onda angular prolata de primer tipo a) m=0, c=5 y b) m=2, c=5 117
5.12. Funcion de onda angular prolata de segundo tipo a) m=0,c=5 b) m=2,c=5 . 117
5.13. Funcion de onda Angular de segundo tipo a) m=0,n=0 b) m=1,n=1 . . . . . 118
5.14. Solucion fundamental en coordenadas Esferoidales Prolatas . . . . . . . . . . 120
5.15. Solucion fundamental en coordenadas Esferoidales Prolatas . . . . . . . . . . 121
5.16. Funcion de onda Angular oblata de primer tipo a)m=0, c=5 b) m=1, c=5 . 124
5.17. Funcion de onda Angular oblata de segundo tipo a) m=1, c=1 b) m=2, c=1 124
5.18. Solucion fundamental en coordenadas Esferoidales Oblatas . . . . . . . . . . 126
5.19. Solucion fundamental en coordenadas Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.20. Funcion de onda Bessel modificada a) q = 3 y p b) q = 4 y p . . . . . . . . . 130
6.1. Solucion fundamental en coordenadas Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2. Funcion Lame de primer tipo a) Km2n con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3 b) Lm2n+2 con
n = 8 y m = 0, 1, 2, 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3. funcion Lame de primer tipo a) Mm2n+1 b) Nm
2n+3 . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4. Lame function first kind a) Km2n+1 b) Lm2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5. Lame function a) Mm2n+1 b) Nm
2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.6. Funcion de onda paraboloidal angular par a) p = 2, m = 2 b) p = 3, m = 1 . 141
6.7. Funcion de onda paraboloidal impar a) p = 2, m = 2 b) p = 3, m = 3 . . . . 142
6.8. Funcion de onda paraboloidal a) Par b) Impar . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.9. Funcion de onda paraboloidal a) Par b) Impar . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.10. Solucion fundamental en coordenadas Paraboloidales . . . . . . . . . . . . . 146
6.11. Funcion de onda Lame % = σ = τ = 0, n = 0,m = 0 . . . . . . . . . . . . . . 149
6.12. Solucion fundamental en coordenadas Elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . 151
Indice de cuadros
7.1. Resumen de las ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . 156
C.1. Tipos de la funcion Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
C.2. Coeficientes de la matriz tridiagonal de la funcion Lame . . . . . . . . . . . . 226
vii
viii Indice de cuadros
Capıtulo 1
Introduccion
La ecuacion de Helmholtz es ampliamente utilizada en el tratamiento de la radiacion
de ondas electromagneticas. A pesar de ser una de la ecuaciones mas estudiadas de la fısica
matematica su estudio es comunmente restringido a unos pocos sistemas de coordenadas, sin
embargo sucede que la ecuacion escalar tridimensional de Helmholtz tiene separacion simple
en once sistemas de coordenadas [1, 2].
Para cada uno de los once sistemas de coordenadas la ecuacion de Helmholtz se
soluciona separandola en tres ecuaciones diferenciales ordinarias y estas a su vez tienen
como solucion funciones especiales. Es importante destacar que algunas de estas funciones
fueron construidas de manera independiente, es decir, en diferentes tiempos y para diversas
aplicaciones fısicas, principalmente como resultado de la busqueda de soluciones a problemas
fısicos asociados a condiciones de frontera con diversas formas geometricas. Por ejemplo, la
funcion de Mathieu fue introducida en 1868 por Emile Mathieu, cuando determino los modos
de vibracion de una membrana de frontera elıptica [3]. La funcion Bessel fue propuesta por
Bernoulli in 1738 [4]. La funcion Lame fue construida por Gabriel Lame 1837 al estudiar las
temperaturas en un elipsoide [5]. La funcion de onda esferoidal fue propuesta por Niven en
1880 con la finalidad de tratar el problema de conduccion de calor en cuerpos esferoidales
[6]. Solo por mencionar algunas.
Sin embargo, fue hasta 1934 cuando Eisenhart demostro que la ecuacion escalar
tridimensional de Helmholtz es separable en once sistemas de coordenadas ortogonales. El
trabajo de Eisenhart se baso en las demostraciones de separabilidad hechas por Stackel [2].
Fue entonces que se pudo apreciar la estrecha relacion entre las funciones especiales que
son soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se separa esta ecuacion
tridimensional, ya que forman una familia de funciones que tienen su origen en la misma
ecuacion, la ecuacion de Helmholtz.
A pesar del tiempo que ha transcurrido desde que Eisenhart demostro la separabilidad
en los once sistemas coordenados, aun en la actualidad en la literatura de la fısica matematica
es comun encontrar solo tratamientos para solucionar problemas de radiacion con geometrıa
1
2 Capıtulo 1. Introduccion
rectangular, cilındrica circular y esferica.
El libro de Margenau es el primer texto donde se presentan de manera conjunta los once
sistemas de coordenadas, pero unicamente aparecen las metricas y unas pocas graficas[7].
Posteriormente Morse and Feshbach, muestran en su totalidad la separacion de la ecuacion
de Helmholtz para los once sistemas de coordenadas ası como las graficas de dichos sistemas,
sin embargo, estas graficas son confusas y es complicado observar las superficies asociadas a
cada coordenada[8]. En este libro las separaciones se llevan a cabo empleando el determinante
de Stackel y es de los pocos textos que muestran esta tecnica de separacion, la cual es difıcil
de encontrar en libros de actualidad.
Despues, Moon y Spencer por varios anos desarrollaron un numero considerable de
trabajos, bastante completos, sobre la separacion de las ecuaciones de Helmholtz y la de
Laplace [9, 10, 11, 12], que finalmente reunieron en el texto “Field Theory Handbook”[13].
Mas tarde, uno de los textos mas ampliamente utilizado para los estudiantes de la fısica,
Arfken presento en sus dos primeras ediciones los once sistemas de coordenadas[14], pero sin
exponer totalmente las graficas de los once sistemas de coordenadas, mas aun, a partir de
la tercera edicion se reduce a presentar unicamente los tres sistemas mas conocidos, y eso
continua hasta las ediciones actuales, de la razon por la que no presenta el resto de los sistemas
de coordenadas Arfken menciona: “En parte porque las necesidades son poco frecuentes
pero sobre todo porque el desarrollo de la computacion y la eficiencia de las tecnicas
de programacion reduce la necesidad de estos sistema de coordenadas”[15]. Sin embargo,
nosotros consideramos que realmente ofrece mayores ventajas manejar la radiacion de onda
en los sistemas de coordenadas que mejor se adapte a las condiciones de frontera y a las
simetrıas del problema a tratar. En este mismo sentido, consideramos que la representacion
correcta de los sistemas de coordenadas respetando sus propiedades y caracterısticas, permite
relacionarlos apropiadamente con los sistemas fısicos a estudiar.
Recientemente el ano pasado se presento el libro de Willatzen, donde presenta
la ecuacion de Helmholtz de forma completa en los once sistemas de coordenadas[16],
sin embargo las graficas de las coordenadas no muestran mejorıa con respecto a los
libros mencionados anteriormente, muestra ejemplos, pero hace enfasis en la ecuacion de
Schrodinger y aplicaciones principalmente de potenciales; de la misma forma trata las
funciones especiales pero de manera general sin presentar graficas de la mayorıa de estas
funciones.
A pesar de que la ecuacion de Helmholtz ha sido ampliamente estudiada, en la
actualidad se continuan descubriendo nuevas propiedades y aplicaciones de sus soluciones.
Por ejemplo: Los haces adifraccionales surgen da las soluciones en coordenadas cilındricas
circulares (haces Bessel) [17, 18], de las cilındricas elıpticas (haces Mathieu) y en las
cilındricas parabolicas (haces parabolicos) [19], de el estudio de las moleculas asimetricas
tenemos las soluciones en coordenadas Conicas (funciones Lame) [20], en el estudio de
3
las antenas esferoidales (funciones de onda Esferoidales)[21], los eigenmodos para una
cavidad delimitada por dos paraboloides (funciones de onda Bessel) [22], por mencionar
algunas. Por lo tanto, las aplicaciones existentes y las que se continuan descubriendo de
las diferentes soluciones de la ecuacion de Helmholtz son y seguiran siendo transcendentes,
incluso destacamos que estas soluciones se emplean en temas actuales de la fısica como es el
estudio de la propagacion de ondas en metamateriales (cloaking) y la transformacion optica
[23, 24].
Por otra parte, la tecnica tradicional de llevar a cabo la separacion de variables de
una ecuacion diferencial parcial, es proponer una solucion que consiste de tres funciones
mutuamente independientes, una para cada variable [15], no obstante, en el caso en el caso
de la ecuacion de Helmholtz para los sistemas de coordenadas con caracterısticas elıpticas,
es complicado de implementar, ası que la separacion de variables basada e el determinante
de Stackel, es una buena alternativa para realizar la separacion. Este se construye a partir de
los factores de escala correspondientes a cada sistema de coordenadas, y permite realizarlo
de una manera sistematizada. El determinante de Stackel es virtualmente desconocido en la
literatura fısica matematica actual.
Contar con todas las soluciones fundamentales de la ecuacion de Helmholtz, y una
correcta definicion de los sistemas de coordenadas, permite sin duda expresar el fenomeno
fısico de la radiacion de ondas de una manera efectiva y comprensiva para toda la comunidad
cientıfica. Destacamos la manera en que las superficies coordenadas nos permiten representar
los frentes de onda de los campos propagantes de manera clara y relacionarlas con los
ecuaciones que modelan estos fenomenos fısicos y que de no hacerlo solo serıan simplemente
formulas matematicas abstractas.
En este trabajo proponemos la representacion de los campos electromagneticos
oscilatorios fundamentales de la ecuacion escalar tridimensional de Helmholtz en los once
sistemas de coordenadas en la que es separable, estos son: rectangular, cilındrico circular,
cilındrico elıptico, cilındrico parabolico, esferico, esferoidal alargado, esferoidal achatado,
parabolico, conico, paraboloidal y elipsoidal. Nos enfocamos en soluciones que nos permitan
representar ondas viajeras, es decir, aquellas donde el vector de propagacion sea positivo. Esto
es porque existen algunas soluciones que matematicamente son correctas, pero fısicamente
no representan ondas propagantes.
Presentamos la teorıa para obtener la solucion de la ecuacion vectorial de Helmholtz a
partir de la solucion escalar. Por lo que despues de obtener todas las soluciones escalares, de
acuerdo a esta teorıa es posible resolver la ecuacion vectorial de onda.
Estudiaremos los sistemas de coordenadas en el cual la ecuacion de Helmholtz es
separable y presentaremos la correspondiente ecuacion de Helmholtz asociada a cada una de
ellos.
Presentaremos la separabilidad de la ecuacion de Helmholtz, utilizando la tradicional
4 Capıtulo 1. Introduccion
tecnica de separacion de variables, y el metodo alternativo del determinante de Stackel.
Presentaremos tambien las soluciones fundamentales de la ecuacion escalar de
Helmholtz, para los once sistemas de coordenadas, las cuales dividimos en dos grupos,
primero en el capıtulo 6, analizamos las soluciones de los sistemas con simetrıa axial y
rotacional, y en el capıtulo 7 lo hacemos para los sistemas clasificados como elipticoidales.
Para cada caso construimos la solucion fundamental que permite representar campos
electromagneticos radiantes.
En el capitulo final, presentamos las conclusiones a las que llegamos con el desarrollo
de este trabajo.
Finalmente tenemos tres apendices con las operaciones y calculos a detalle de las
operaciones para obtener la ecuacion de Helmholtz correspondiente a cada sistema de
coordenadas, los determinantes de Stackel y las soluciones a las ecuaciones diferenciales
ordinarias.
Capıtulo 2
De las ecuaciones de Maxwell a la ecuacion de
Helmholtz
En este capıtulo presentamos las ecuaciones de Maxwell, y mostramos como estas
ecuaciones son la base obtener la ecuacion de onda y posteriormente la ecuacion de Helmholtz.
Explicamos ademas, la teorıa para obtener la solucion de la ecuacion de onda vectorial
a partir de la solucion escalar, es decir, de acuerdo a esta teorıa una vez que se cuenta
con las soluciones escalares, es posible construir las soluciones vectoriales de la ecuacion de
Helmholtz.
2.1. Ecuacion de onda
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen
completamente el fenomeno electromagnetico, ellas expresan como las cargas electricas
producen campos electricos, los campos magneticos variantes en el tiempo producen
campos electricos, la ausencia experimental de monopolos magneticos, como una corriente
electrica y los campos electricos variantes en el tiempo producen campos magneticos. La
interdependencia de los campos electricos y magneticos es un punto clave de la descripcion
de la naturaleza ondulatoria de la radiacion de campos oscilantes.
Una funcion basica de las ecuaciones de Maxwell para los campos electromagneticos es
la existencia de las soluciones de onda viajeras que representan el transporte de energıa de
un punto a otro. En este sentido, en un medio simple no conductor, con ausencia de fuentes,
las ecuaciones de Maxwell en el Sistema Internacional de Unidades se leen [25]
5
6 Capıtulo 2. De las ecuaciones de Maxwell a la ecuacion de Helmholtz
∇×E = −∂B∂t
, (2.1)
∇ ·E = 0, (2.2)
∇ ·B = 0, (2.3)
∇×B = µ0ε0∂E
∂t. (2.4)
La ecuacion (2.1) es la ley de Induccion de Faraday, la ecuacion (2.2) es la Ley de
Gauss Electrica, la ecuacion (2.3) es la Ley de Gauss magnetica y la ecuacion (2.4) es la Ley
Circuital de Ampere.
Donde E = E(r, t) y B = B(r, t) son los vectores de campo electrico y de induccion
magnetica respectivamente, ε es la constante de permitividad y µ es la constante de
permeabilidad.
Tomando como base estas ecuaciones podemos obtener la ecuacion de onda [26]. Para
ello el operador rotacional es aplicado en ambos lados de las ecuaciones (2.1) y (2.4), se
obtiene
∇(∇ · E)−∇2E = − ∂
∂t[∇×B];
∇(∇ ·B)−∇2B = µ0ε0∂
∂t[∇× E].
(2.5)
De acuerdo con las ecuaciones (2.2) y (2.3) la divergencia de E y B es cero, y
sustituyendo las ecuaciones (2.1) y (2.4) en el rotacional. La ecuacion de onda tanto para el
campo electrico como para el magnetico es
[∇2 − 1
c2
∂2
∂t2
]{E
B
}= 0. (2.6)
Donde c = 1√µ0ε0
. Los campos E y B dependen de la posicion y el tiempo. Sı separamos
la componente temporal asumiendo un comportamiento armonico, es decir, teniendo una
solucion temporal eiωt, entonces sustituyendo esta solucion en la ecuacion (2.6), tenemos
[∇2 + k2]
{E
B
}= 0. (2.7)
2.2. Solucion de la Ecuacion Vectorial de Helmholtz 7
Esta es la ecuacion vectorial de Helmholtz, donde k = ω/c es el numero de onda
y representa la magnitud del vector de onda k = (kx, ky, kz), asociado con la direccion
de propagacion de la onda. Es importante mencionar que en este trabajo nos centraremos
unicamente en valores reales de k para esta ecuacion, ya que esto especifıca que solo estan
permitidas soluciones oscilatorias propagantes y no evanescentes o crecientes.
2.2. Solucion de la Ecuacion Vectorial de Helmholtz
La solucion E o B de esta ecuacion es una funcion vectorial, con la cual podemos
estudiar propiedades fısicas tales como la polarizacion, el momento angular, el momento
lineal, los cuales son determinados por la solucion rigurosa de la ecuacion vectorial de onda.
Sin embargo, esta ecuacion en su forma vectorial es extremadamente difıcil de resolver
[8, 26]. Las soluciones completas de la ecuacion de onda vectorial en una forma aplicable
a la solucion de problemas de frontera se conocen en la actualidad unicamente para ciertos
sistemas separables [26]. Esto fue planteado por Stratton en 1941, sin embargo, hoy en
dıa aun esta pendiente encontrar la solucion de la ecuacion de onda vectorial para algunos
sistemas de coordenadas.
Una manera de resolver la ecuacion de onda vectorial es especificar las componentes
del campo vectorial para cada una de las tres coordenadas del sistema de coordenadas
tridimensionales para el cual se este resolviendo, que resulta ser apropiado para solucionar
el problema vectorial; esto reduce el problema a obtener tres campos escalares [8].
Posteriormente a partir de las soluciones escalares construir las soluciones vectoriales, que aun
ası realizarlo no es trivial. En este sentido, podemos trabajar para encontrar las soluciones
unicamente para el campo electrico E o para el campo magnetico B, teniendo presente que
estan estrechamente relacionados por las ecuaciones de Maxwell.
Trabajando con E, unicamente cuando la ecuacion de onda vectorial es resuelta en
coordenadas rectangulares es que las tres ecuaciones independientes quedan de la siguiente
manera [26].
∇2Ej + k2Ej = 0, (j = x, y, z). (2.8)
El operador escalar ∇2 puede ser expresado en coordenadas curvilıneas tal como en
coordenadas rectangulares utilizando los factores de escala propios del sistema coordenado.
Ademas, todos estos campos escalares tienen la propiedad de invariancia bajo una
transformacion de las coordenadas.
Ahora mostramos como a partir de la solucion escalar es posible construir la solucion
vectorial.
8 Capıtulo 2. De las ecuaciones de Maxwell a la ecuacion de Helmholtz
La identidad del operador Laplaciano ∇2 actuando sobre un vector ∇2E = ∇∇ · E −∇× (∇× E), y sı lo sustituimos en la ecuacion 2.7, podemos escribir
∇(∇ · E)−∇× (∇× E) + k2E = 0. (2.9)
Entonces, una forma de resolver la ecuacion vectorial (2.9) es reemplazarla por un
sistema simultaneo de tres ecuaciones escalares, sin embargo la ecuacion para los sistemas
coordenados mas complejos, resulta impractico. En nuestro caso partimos de la ecuacion
escalar de Helmholtz, donde la funcion escalar E es una solucion de esta ecuacion
∇2E + k2E = 0. (2.10)
Nosotros ahora construiremos tres soluciones vectoriales independientes como a
continuacion se muestra [26]
L = ∇E,M = ∇× aE,
N =1
k∇×M.
(2.11)
Donde a es una constante vectorial de longitud unitaria. L, M y N son funciones
vectoriales, y si ademas L es sustituido dentro de la ecuacion (2.9), tenemos
∇(∇ · L)−∇× (∇× L) + k2L = 0,
∇(∇ · ∇E)−∇× (∇×∇E) + k2∇E = 0 (donde ∇×∇E = 0),
∇(∇2E + k2E) = 0 (donde ∇2E + k2E = 0).
(2.12)
Por lo tanto L satisface la ecuacion de onda vectorial. Asumimos que la funcion vectorial
M tiene divergencia cero∇·M = 0, por esa razon es posible definir N = 1k∇×M sustituyendo
en la ecuacion (2.9), asumiendo que k es una constante
∇(∇ ·N)−∇× (∇×N) + k2N = 0,
1
k[∇(∇ · ∇ ×M)−∇× [∇× (∇×M)] + k2∇×M] = 0 [donde ∇ · (∇×M) = 0],
∇× [−∇× (∇×M) + k2M] = 0,
∇× [∇(∇ ·M)−∇× (∇×M) + k2M] = 0 [donde ∇ ·M = 0].
(2.13)
2.2. Solucion de la Ecuacion Vectorial de Helmholtz 9
Por consiguiente N satisface la ecuacion (2.9), y tambien ∇·N = 0. Ahora para funcion
M reemplazando en la ecuacion (2.9), tenemos
∇(∇ ·M)−∇× (∇×M) + k2M = 0,
∇2M + k2M = 0,
∇2(∇× aE) + k2(∇× aE) = 0,
∇2[∇E × a + E(∇× a)] + k2[∇E × a + E(∇× a)] = 0,
∇2(∇E × a) + k2(∇E × a) = 0 (since ∇× a = 0),
(∇2(∇E) + k2∇E)× a = 0,
[∇(∇2E + k2E)]× a = 0.
(2.14)
por lo tanto M tambien satisface la ecuacion (2.9).
De esta manera demostramos que L, M and N satisfacen la ecuacion vectorial de
Helmholtz. Sı nosotros hubieramos propuesto la funcion vectorial N con divergencia cero
tambien encontrarıamos que M tambien tendrıa divergencia cero, ası, debido a estos
argumentos de simetrıa podemos escribir M como sigue
M =1
k∇×N. (2.15)
Por otro lado, L = ∇E y M = ∇ × aE, de esta forma M = L × a, por lo tanto
deducimos que el vector M es perpendicular al vector L, o
L ·M = 0. (2.16)
Las funciones vectoriales L, M y N tienen ciertas propiedades notables que surgen
directamente de sus definiciones. Esta son
∇× L = 0,
∇ · L = ∇2E = −k2E.(2.17)
Las soluciones particulares de la ecuacion (2.10), son continuas, y de valor unico para un
dominio dado, forman un conjunto discreto de soluciones particulares En. Asociada con cada
funcion caracterıstica En hay tres soluciones vectoriales Ln, Mn, Nn de la ecuacion (2.9),
que son no-coplanares entre sı. Presumiblemente la ecuacion de onda puede ser representada
como una combinacion de las funciones vectoriales caracterısticas; ya que Ln, Mn, Nn poseen
propiedades ortogonales. Cuando la funcion dada es puramente solenoidal, es decir con
divergencia igual a cero, la expansion es hecha unicamente en terminos de Mn y Nn. Sin
embargo, sı la divergencia de la funcion no se anula, los terminos de Ln deber ser incluidos.
10 Capıtulo 2. De las ecuaciones de Maxwell a la ecuacion de Helmholtz
Entonces el campo vectorial se puede representar por una expansion en terminos de
estas funciones vectoriales caracterısticas y debido a la independencia lineal de las funciones
podemos elegir los coeficientes para que sea satisfecha la ecuacion [8, 26]
E =∑n
(anLn + bnMn + cnNn), (2.18)
los coeficientes an, bn y cn son numeros complejos.
De este modo se encuentra que teniendo la solucion escalar de la ecuacion de Helmholtz
es posible construir su solucion vectorial.
Este enfoque ha sido utilizado por otros autores, donde se obtienen las soluciones de
la ecuacion vectorial de Helmholtz solo por unos pocos sistemas de coordenadas, sobre todo
para los de simetrıa de traslacion y para el sistema de coordenadas esfericas [27, 28, 29], pero
aun faltan algunos por elaborar. En este trabajo nos enfocamos unicamente en encontrar las
soluciones escalares para los once sistemas de coordenadas en los cuales es separable la
ecuacion de Helmholtz y permanece como trabajo futuro las soluciones vectoriales para los
mismos once sistemas de coordenadas.
2.3. Conclusiones
En este capıtulo presentamos las ecuaciones de Maxwell, ası como, la deduccion de la
ecuacion de Helmholtz a partir de estas.
Tambien mostramos el metodo para resolver la ecuacion de onda vectorial utilizando los
vectores L, M y N; los cuales se obtienen a partir de las soluciones escalares.
Nos enfocaremos a encontrar las soluciones de la de la ecuacion de onda escalar en
los once sistemas de coordenadas en los que es separable, para ello en el siguiente capitulo
haremos la descripcion detallada de estos once sistemas de coordenadas. .
Capıtulo 3
Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
En este capıtulo, presentamos las superficies asociadas a cada uno de los once sistemas
de coordenadas tridimensionales en los cuales la ecuacion escalar de Helmholtz es separable.
Escribimos la ecuacion de Helmholtz para cada uno de estos sistemas de coordenadas,
los cuales hemos clasificado de acuerdo a su simetrıa en tres grupos: coordenadas cilındricas,
coordenadas rotacionales y coordenadas elipticoidales.
En la seccion 3.2 como un ejemplo de la generacion y conversion entre sistemas de
coordenadas, realizamos la transformacion conformal entre cuatro sistemas coordenadas 2D.
3.1. Metricas de las coordenadas curvilıneas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permite definir unıvocamente
la posicion de un punto en un espacio Euclidiano. Sin duda, para que un sistema de referencia
espacial se pueda considerar un sistema de coordenadas tiene que cumplir con esta definicion,
ademas, si el sistema coordenado es ortogonal, la interseccion de las superficies coordenadas
siempre deberan ser perpendiculares.
Sin duda la geometrizacion es una herramienta poderosa para la fısica y las matematicas,
esto permite la visualizacion de las interrelaciones que de otra manera quedarıan como una
simple formula abstracta [9]. En este sentido vamos a comentar de la necesidad de una
apropiada representacion de los diferentes sistemas de coordenadas. El sistema de coorde-
nadas que es usado mas ampliamente es el Cartesiano, pero desafortunadamente, no todos
los problemas fısicos se adaptan bien a solucionarlos en este sistema coordenado, por ejem-
plo, para estudiar el efecto de introducir una esfera dielectrica en un campo electrico, uno
utiliza coordenadas esfericas, pues las coordenadas cartesianas podrıan no ser apropiadas u
obtener soluciones confusas.
11
12 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Lo trascendente es que el sistema coordenado se podrıa seleccionar de acuerdo con la
geometrıa del sistema fısico, determinado por sus condiciones de frontera. Incluso cuando un
ajuste exacto del sistema de coordenadas a la geometrıa del problema no es posible, bien se
puede recurrir a un ajuste local, es decir, una superficie en general puede ser adecuadamente
aproximada por una de las superficies mas particulares que aparece en un sistema de coor-
denadas determinado [30]. En muchos casos las ondas propagantes tienen una forma simple
y tratable en terminos del sistema de coordenadas que mejor se adapte a la geometrıa del
problema, mientras que en coordenadas rectangulares es bastante compleja [8].
Como se menciono el sistema de coordenadas rectangular o cartesiano, representado
por las variable x, y, z es el mas comunmente utilizado, ademas se emplea como referencia
para el resto de los sistemas de coordenadas. En este sistema, un unico punto (x, y, z) es
ubicado en el espacio por una unica interseccion de tres planos perpendiculares, los cuales
corresponden a un valor de cada una de las variables coordenadas. En este sentido, en un
sistema de coordenadas curvilıneas cuyas superficies son descritas por q1 =constante, q2 =
constante, q3 = constante, podemos identificar un punto por (q1, q2, q3) ası como por (x, y, z).
Especificando x, y, z en terminos de ql , q2, q3 :
x = x(q1, q2, q3),
y = y(q1, q2, q3),
z = z(q1, q2, q3),
(3.1)
y las relaciones inversas
q1 = q1(x, y, z),
q2 = q2(x, y, z),
q3 = q3(x, y, z).
(3.2)
Estas relaciones identifica a cada sistema de coordenadas. De igual manera los sistemas
de coordenadas ortogonales pueden ser determinados por las metricas h1, h2 y h3, tambien
llamados factores de escala. Estos resultan de obtener el cuadrado de la distancia entre dos
puntos vecinos [15]
ds2 = h21(dq1)2 + h2
2(dq2)2 + h23(dq3)2, (3.3)
3.1. Metricas de las coordenadas curvilıneas 13
donde
h21 =
(∂x
∂q1
)2
+
(∂y
∂q1
)2
+
(∂z
∂q1
)2
,
h22 =
(∂x
∂q2
)2
+
(∂y
∂q2
)2
+
(∂z
∂q2
)2
,
h23 =
(∂x
∂q3
)2
+
(∂y
∂q3
)2
+
(∂z
∂q3
)2
.
(3.4)
Esta expresion es ası de simplificada debido a que el sistema es ortogonal. Ahora
conociendo los factores de escala para cada sistema de coordenadas, podemos obtener
las ecuaciones para el volumen, gradiente, rotacional, Laplaciano entre otras operaciones
vectoriales para cada uno de ellos. Ası por ejemplo, un elemento de area general para
cualquiera de los sistemas coordenados curvilıneos en la superficie q1q2 es
ds = (h1dq1)(h2dq2) = h1h2dq1dq2. (3.5)
Similarmente, un elemento de volumen es
dv = (h1dq1)(h2dq2)(h3dq3) = h1h2h3dq1dq2dq3. (3.6)
La mayor parte de la ecuacion de Helmholtz la constituye el operador Laplaciano, por lo
que es importante presentar su ecuacion general para cualquier sistema de coordenadas[14].
∇2E =1
h1h2h3
[∂
∂q1
(h2h3
h1
∂
∂q1
E
)+
∂
∂q2
(h1h3
h2
∂
∂q2
E
)+
∂
∂q3
(h1h2
h3
∂
∂q3
E
)]. (3.7)
Observamos en esta ecuacion que, con los factores de escala de cada sistema de
coordenadas ortogonales, podemos construir su correspondiente Laplaciano.
El numero de sistemas coordenados puede ser muy grande, por ejemplo, Spencer pre-
senta veintiun diferentes sistemas de coordenadas tridimensionales con simetrıa de traslacion
donde el operador Laplaciano se puede construir a partir de sus correspondientes factores
de escala [9]. Sin embargo, se ha demostrado que la ecuacion de Helmholtz es separable
unicamente en once tridimensionales sistemas de coordenadas ortogonales [2, 1], estos son:
Rectangulares, Cilındricas circulares, Cilındricas elıpticas, Cilındricas parabolicas, Esfericas,
Esferoidales alargadas, Esferoidales achatadas, Parabolicas, Conicas, Paraboloidales y Elip-
soidales.
El sistema de coordenadas mas general es el sistema Elipsoidal, los diez sistemas restantes
14 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
son un caso particular de este sistema [8].
Se ha encontrado en varios casos de la limitada literatura existente donde se muestran
los once sistemas de coordenadas, que la representacion grafica de la interseccion de las
superficies coordenadas no es adecuada, y esto conlleva a introducir errores al querer
representar puntos en el espacio tridimensional. Ademas en el caso de los campos hace
difıcil la percepcion de su comportamiento descrito por sus correspondientes soluciones.
Por ejemplo, incluso para el simple caso de las coordenadas cilındricas circulares de la
Figura 3.1a (Tomada del texto: Partial Differential Equations with Mathematica [31]) en
el cual se observan dos puntos de interseccion resaltados con esferas rojas. Para sistemas de
coordenadas mas complejos, la sobredefinicion de puntos en el espacio es mayor, como se
muestra en la Figura 3.1b, en el cual la interseccion de las superficies coordenadas ocurre en
ocho puntos del espacio tridimensional (tomado del artıculo: Angular Momentum in Sphero-
Conal Coordinates [34]).
(a) (b)
Figura 3.1: Grafica de sistema de coordenado representado erroneamente, a) Cilındrico
Circular y b) Conico
Por otra parte, debido a que los once sistemas de coordenadas tienen alguna similitud
en sus simetrıas, los podemos clasificar en tres grupos: Coordenadas cilındricas, estas tienen
simetrıa con el eje de traslacion, y en ellas la superficie correspondiente a z es un plano per-
pendicular a este eje; Coordenadas rotacionales, estas tienen simetrıa con el eje de rotacion y
3.2. Coordenadas Cilındricas 15
Coordenadas elipticoidales, debido a que al menos dos de sus superficies coordenadas tienen
caracterısticas elıpticas, tambien son llamadas generales.
Para cada sistema de coordenadas de una forma sistematica presentamos su conversion
a coordenadas rectangulares, escribiremos para cada variable coordenada sus unidades y
su respectivo dominio. Mostramos sus metricas (factores de escala) que los caracterizan.
Tambien escribiremos la ecuacion de Helmholtz; para observar los detalles de los calculos que
llevan a obtener la ecuacion de Helmholtz a partir de los factores de escala, los presentamos
en el apendice A.
Despues, presentamos las graficas de las superficies asociadas a cada variable coordenada del
sistema de coordenadas, junto con la descripcion de el comportamiento de esta superficies
para diferentes valores, y otra grafica mostrando la interseccion unıvoca de las tres superficies,
en las cuales resaltamos ese unico punto de interseccion mediante una esfera roja.
3.2. Coordenadas Cilındricas
Esta clasificacion es asignada a los sistemas de coordenadas que tienen simetrıa con el
eje de traslacion, normalmente el eje z, ademas tienen en comun un plano perpendicular a
este eje, que se mueve a lo largo de el.
Coordenadas Rectangulares
El mas simple de todos los sistemas coordenados es el rectangular, tambien llamado
Cartesiano. Este sistema coordenado es usado como referencia para los otros sistemas, por
esta razon en todos los casos se presentaran las ecuaciones de conversion hacia este sistema.
Ahora, las variables (x, y, z) son empleadas para este sistema, por lo tanto, tenemos las
siguientes ecuaciones de conversion
x = x,
y = y,
z = z.
(3.8)
Donde x ∈ (−∞,∞), y ∈ (−∞,∞) y z ∈ (−∞,∞). Estas variables son dadas en
unidades de longitud. Los correspondientes factores de escala son:
hx =1,
hy =1,
hz =1.
(3.9)
16 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Y la ecuacion de Helmholtz es:
∂2E
∂x2+∂2E
∂y2+∂2E
∂z2+ k2E = 0. (3.10)
Este sistema es descrito por tres planos perpendiculares entre sı, en la Figura 3.2
tenemos: a) sı tomamos x constante, tenemos el plano yz que se mueve a lo largo del eje x, b)
para y constante el plano xz que se mueve a lo largo del eje y y c) para z constante el plano
xy plane que se mueve a lo largo del eje z. La interseccion de los tres planos la presentamos
en la Figura 3.3. Para este sistema es bastante claro que las tres superficies coordenadas se
intersectan en un solo punto para cualquier valor de las variables coordenadas.
(a) (b) (c)
Figura 3.2: Superficies de las coordenadas rectangulares, a) x constante, b) y constante and
c) z constante
3.2. Coordenadas Cilındricas 17
Figura 3.3: Sistema de coordenadas rectangulares
Coordenadas Cilındricas Circulares
Este sistema de coordenadas es tambien de los mas conocidos y utilizados. Es apropiado
para el estudio de ondas electromagneticas en una guıa de onda cilındrica, modos de vibracion
de membranas circulares delgadas, modos transversales electromagneticos en guıas opticas,
solo por mencionar algunas aplicaciones. La transformacion de coordenadas cilındricas
circulares (ρ, ϕ, z) a rectangulares (x, y, z) es definida por las siguientes ecuaciones
x = ρ cosϕ,
y = ρ sinϕ,
z = z.
(3.11)
Donde ρ ∈ [0,∞), ϕ ∈ [0, 2π] y z ∈ (−∞,∞). Las magnitudes de la variable ρ y z estan
dadas en unidades de longitud y ϕ en unidades angulares. Los correspondientes factores de
escala son:
18 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
hρ = 1,
hϕ = ρ,
hz = 1.
(3.12)
La ecuacion de Helmholtz para este sistema de coordenadas es
1
ρ
∂
∂ρ
(ρ∂E
∂ρ
)+
1
ρ2
∂2E
∂ϕ2+∂2E
∂z2+ k2E = 0. (3.13)
Este sistema es descrito por las superficies mostradas en la Figura 3.4: a) para ρ
constante, cilindros circulares teniendo como eje comun al eje z, su radio crece de acuerdo
a el valor de ρ; b) para ϕ constante, tenemos semiplanos rectangulares verticales iniciando
en el eje z, estos giran alrededor de este eje de acuerdo al valor del angulo ϕ, y c) para z
constante, planos perpendicular al eje z y centro en este mismo eje, tiene frontera circular y
se posicion depende del valor de z. La interseccion de estos tres planos podemos observarla
en la Figura 3.5.
(a) (b) (c)
Figura 3.4: Superficies de las coordenadas cilındricas circulares, a) ρ constante, b) ϕ constante
and c) z constante
3.2. Coordenadas Cilındricas 19
Figura 3.5: Sistema de coordenadas cilındricas circulares
Coordenadas Cilındricas Elıpticas
Si la condicion de frontera en un problema fısico se puede relacionar geometricamente
con el perımetro de una elipse, por ejemplo en el analisis de los modos de vibracion de una
membrana elıptica, los modos de propagacion en una fibra optica elıptica, y las oscilaciones
de agua en un lago de forma elıptica [32], el uso de las coordenadas elıpticas es conveniente.
La transformacion de coordenadas cilındricas elıpticas (ξ, η, z) a rectangulares es definida
por las siguientes ecuaciones [14, 8]
x = d cosh ξ cos η,
y = d sinh ξ sin η,
z = z.
(3.14)
Donde ξ ∈ [0,∞), η ∈ [0, 2π], z ∈ (−∞,∞) y d es la longitud semi-focal de la elipse en
unidades de longitud y contiene informacion de su excentricidad, ξ y η son adimensionales
las unidades estan establecidas por d, z tambien esta dada en unidades de longitud.
20 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Los correspondientes factores de escala son:
hξ = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2,
hη = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2,
hz = 1.
(3.15)
La ecuacion de Helmholtz en este sistema de coordenadas es
1
d2(sinh2 ξ + sin2 η)
(∂2E
∂ξ2+∂2E
∂η2
)+∂2E
∂z2+ k2E = 0. (3.16)
En la Figura 3.6 mostramos las superficies que describen este sistema: a) para ξ
constante, tenemos un cilindro elıptico confocal centrado en el origen, cuyo eje se encuentra
sobre el eje z, cuando ξ = 0 el cilindro colapsa a un plano de longitud 2d; b) para η constante,
tenemos la cuarta parte de un cilindro hiperbolico, cuando η = 0 es un plano que inicia en
el foco positivo d, al incrementar su valor adquiere la forma hiperbolica moviendose hacia
la parte negativa del eje y, con un desplazamiento similar al de la coordenada acimutal
en las coordenadas cilındricas circulares, pero esta a la vez que gira toma la forma del
cilindro hiperbolico, su centro es en la lınea que une los puntos focales, continua la rotacion
hasta ser un plano nuevamente cuando η = π/2, pero ahora iniciando en el origen de lado
negativo del eje y, continuando con el incremento en sus valores, adquiere nuevamente la
forma hiperbolica, moviendose de la parte negativa del eje y a la parte negativa del eje x,
hasta formar un plano que inicia en el foco ubicado en la parte negativa del eje x, cuando
η = π.
(a) (b) (c)
Figura 3.6: Superficies de las coordenadas cilındricas elıpticas, a) ξ constante, b) η constante
and c) z constante
3.2. Coordenadas Cilındricas 21
Figura 3.7: Sistema de coordenadas cilındricas elıpticas
Para el resto de los valores, la superficies tienen forma hiperbolica nuevamente, pero
ahora de la parte negativa del eje x a la parte positiva del eje y el cual vuelve a ser un plano
cuando η = 3π/2, continua su rotacion sobre el eje y positivo hacia la parte positiva del eje
x, una vez que termina el ciclo es otra vez un plano cuando η = 2π. Finalmente en c) para z
constante, tenemos planos perpendiculares al eje z, que se mueven a lo largo de ese mismo
eje, pero el contorno del plano es elıptico.
En la Figura 3.7, podemos observar la interseccion de las tres superficies, resaltando la
interseccion en un solo punto de las tres superficies.
22 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Coordenadas Cilındricas Parabolicas
Este sistema es adecuado para el estudio del campo electrico alrededor de un placa
conductora semi-infinita. La transformacion de coordenadas cilındricas elıpticas (µ, ν, z) a
rectangulares es definido por las siguientes ecuaciones
x = µν,
y =1
2(µ2 − ν2),
z = z.
(3.17)
Donde µ ∈ [0,∞), ν ∈ (−∞,∞) y z ∈ (−∞,∞). Las unidades de µ y ν son en raız cuadrada
de unidades de longitud y z es en unidades de longitud.
Los factores de escala correspondientes son:
hµ = (µ2 + ν2)1/2,
hν = (µ2 + ν2)1/2,
hz = 1.
(3.18)
La ecuacion de Helmholtz para este sistema es.
1
µ2 + ν2
(∂2E
∂µ2+∂2E
∂ν2
)+∂2E
∂z2+ k2E = 0. (3.19)
Ahora en la Figura 3.8 mostramos las superficies correspondientes a este sistema
coordenado: a) para µ constante cilindros parabolicos con foco en el eje z, cuando µ = 0
tenemos medios planos iniciando el eje z hacia la parte positiva del eje x, es decir, la longitud
del lado recto de la parabola es cero, y al incrementar el valor de µ el medio plano toma la
forma de cilindro parabolico, al mismo tiempo que aumenta la distancia focal y la longitud
del lado recto pero el foco permanece fijo.
3.2. Coordenadas Cilındricas 23
(a) (b) (c)
Figura 3.8: Superficies de la coordenadas cilındricas parabolicas, a) µ constante, b) ν
constante y c) z constante
Figura 3.9: Sistema de coordenadas cilındricas parabolicas
24 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
En b) para ν constante tenemos medio cilindro parabolico con apertura hacia la parte
negativa del eje x, con foco en el eje z, cuando ν = 0 es un medio plano saliendo del foco
hacia la parte negativa del eje x, y para ν > 0 es un medio cilindro parabolico hacia la parte
negativa del eje x, localizado en el lado negativo del eje y, y al aumentar su valor incrementa
su distancia focal ası como la longitud del lado recto, pero manteniendo fijo su foco, y cuando
ν < 0 similarmente tenemos media parabola, solo que ahora, localizada en el lado positivo
del eje y; y c) para z constante planos perpendiculares al eje z, y se mueve a lo largo del eje
z, con un contorno similar a la interseccion de dos parabolas.
En la Figura 3.9 podemos ver la intersection de las tres superficies, al igual que en el resto de
los sistemas resaltamos el unico punto de interseccion de las tres superficies para cualquier
valor de ellas.
3.3. Coordenadas Rotacionales
Estos sistemas de coordenadas tienen en comun las superficies con simetrıa de rotacion
sobre el eje z, adicionalmente, tienen en comun una superficie que es un semi-plano que rota
alrededor del eje z. A pesar de que el sistema de coordenadas cilındricas circulares comparte
algunas caracterısticas con esta clasificacion, es mas afın con la clasificacion de coordenadas
cilındricas.
Coordenadas Esfericas
Este sistema de coordenadas es junto con los sistemas rectangulares y cilındricos
circulares los mas conocidos. Este sistema es ampliamente utilizado en problemas donde
se tiene simetrıa respecto a un punto, por ejemplo, las fuentes puntuales. La transformacion
de coordenadas esfericas (r, θ, ϕ) a coordenadas rectangulares esta definida por las siguientes
relaciones
x = r sin θ cosϕ,
y = r sin θ sinϕ,
z = r cos θ.
(3.20)
3.3. Coordenadas Rotacionales 25
Donde r ∈ [0,∞) es la coordenada radial, θ ∈ [0, π] es la coordenada polar y ϕ ∈ [0, 2π]
es la coordenada acimutal. r esta dado en unidades de longitud, θ y ϕ son adimensionales,
son angulos. Los correspondientes factores de escala son:
hr = 1,
hθ = r,
hϕ = r sin θ.
(3.21)
La ecuacion de Helmholtz para este sistema es
1
r2
∂
∂r
(r2∂E
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂
(sin θ
∂E
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2E
∂ϕ+ k2E = 0. (3.22)
En la Figura 3.10 mostramos las superficies que describen este sistema: a) para r
constante tenemos esferas centradas en el origen, inicia siendo un punto cuando r = 0 e
incrementa su tamano de acuerdo con el valor de r; b) para θ constante tenemos conos de
revolucion con vertice en el origen, con eje en el eje z, cuando θ = 0 tenemos una lınea sobre
la parte positiva del eje z, al incrementar θ el valor del radio del cono comienza a incrementar,
en otras palabras, el cono se abre, hasta formar un plano en el origen perpendicular al eje
z cuando θ = π/2, al continuar incrementando el valor de θ, el radio del cono decrece, es
decir, el cono se cierra, pero ahora hacia la parte negativa del eje z, hasta convertirse en
una lınea sobre la parte negativa del eje z cuando θ = π; y en c) para ϕ constante, tenemos
medios planos verticales saliendo del eje z, girando sobre el eje z en direccion opuesta a
las manecillas del reloj, de acuerdo al valor del angulo ϕ, el contorno de este semiplano es
circular. La interseccion de las tres superficies la presentamos en la Figura 3.11, un error
que ocurre al representar las superficies de este sistema coordenado es mostrar dos conos al
mismo tiempo, asignando dos valores a θ simultaneamente, y en realidad solo debe estar un
cono que se abre y se cierra desde la parte positiva del eje z hasta la parte negativa de este
mismo eje.
26 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
(a) (b) (c)
Figura 3.10: Superficies de las coordenadas esfericas, a) r constante, b) θ constante y c) ϕ
constante
Figura 3.11: Sistema de coordenadas esfericas
3.3. Coordenadas Rotacionales 27
Coordenadas Esferoidales Prolatas
Este sistema tridimensional es generado por la rotacion de una elipse bidimensional
alrededor de su eje mayor. Las coordenadas esferoidales prolatas son bastante importantes
en fısica, principalmente por su utilidad en el tratamiento de problemas denominados ((dos-
centros)). Por ejemplo estos ((dos-centros)) podrıan corresponder a los dos puntos focales de
un elipsoide e hiperboloide de revolucion [14]. Para transformar de coordenadas esferoidales
alargadas (ξ, η, ϕ) a coordenadas rectangulares (x, y, z), tomando como eje de simetrıa el eje
z, tenemos las siguientes relaciones
x = d sinh ξ sin η cosϕ,
y = d sinh ξ sin η sinϕ,
z = d cosh ξ cos η.
(3.23)
Donde, de manera equivalente al sistema esferico ξ ∈ [0,∞) es la variable radial,
η ∈ [0, π] es la variable polar y ϕ ∈ [0, 2π) es la variable acimutal, d es la mitad de la
distancia entre los puntos focales del sistema coincidiendo exactamente en el origen. Estas
tres variables son adimensionales, las dimensiones son proporcionada por la constante d y
esta en unidades de longitud. Los correspondientes factores de escala son:
hξ = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2,
hη = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2,
hϕ = d sinh ξ sin η.
(3.24)
Para este sistema, la ecuacion de Helmholtz resulta
1
sinh ξ
∂
∂ξ
[sinh ξ
∂
∂ξE
]+
1
sin η
∂
∂η
[sin η
∂
∂ηE
]+
(sinh2 ξ + sin2 η
sinh2 ξ sin2 η
)∂2E
∂ϕ2+ k2d2(sinh2 ξ + sin2 η)E = 0. (3.25)
Sin embargo tenemos otra manera de representar las coordenadas esferoidales alargadas,
esto es, haciendo el cambio de variable, ξ ⇒ cosh ξ y η ⇒ cos η , resulta.
x = d(ξ2 − 1)1/2(1− η2)1/2 cosϕ,
y = d(ξ2 − 1)1/2(1− η2)1/2 sinϕ,
z = dξη.
(3.26)
28 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Con estos nuevos valores: ξ ∈ [1,∞), η ∈ (−1, 1) y ϕ ∈ [0, 2π). Las superficies
permanecen sin cambios.
Los correspondientes factores de escala para esta representacion son:
hξ = d
(ξ2 − η2
ξ2 − 1
)1/2
,
hη = d
(ξ2 − η2
1− η2
)1/2
,
hϕ = d[(ξ2 − 1)(1− η2)
]1/2.
(3.27)
Resultando ahora ası, la ecuacion de Helmholtz
∂
∂ξ
[(ξ2 − 1
) ∂E∂ξ
]+
∂
∂η
[(1− η2
) ∂E∂η
]+
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)
∂2E
∂ϕ2+ k2d2(ξ2 − η2)E = 0.
(3.28)
Este sistema, es descrito por las siguientes superficies que podemos observar en la Figura
3.12: a) Para ξ constante, un esferoide con eje mayor a lo largo del eje z, recordemos que este
esferoide es un elipsoide de revolucion, cuando ξ = 0 es una lınea que conecta los dos puntos
focales, de acuerdo al incremento en los valores de ξ, la superficie toma la forma del esferoide
y crece de acuerdo a estos valores, pero permanecen fijos los puntos focales; en b) para η
constante, tenemos un cono hiperbolico de revolucion, cuando η = 0 solo es una lınea en la
parte positiva del eje z iniciando en el foco, al incrementar su valor el cono hiperbolico se
forma y se va abriendo cada vez mas a la vez que se desplaza hacia el origen hasta formar un
plano en este punto perpendicular el eje z cuando η = π/2, al continuar con incrementando
su valor, este toma nuevamente la forma de cono hiperbolico, pero ahora en la parte negativa
del eje z, se va cerrando hasta hacerlo completamente, formando una lınea en el negativo eje
z, iniciando en z = −d cuando η = π; y finalmente c) para ϕ constante, tenemos un medio
plano a traves del eje z-axis, girando sobre este eje de acuerdo al valor del angulo ϕ. En la
Figura 3.13 podemos ver las tres superficies simultaneamente, resaltando el unico punto de
interseccion.
Es importante mencionar que si suponemos un caso extremo, donde la distancia interfocal
se va colapsando y ambos focos se reducen a uno solo, la simetrıa cambiara de esferoidal a
esferica, es decir, tendremos el sistema de coordenadas esfericas.
3.3. Coordenadas Rotacionales 29
(a) (b) (c)
Figura 3.12: Superficies de las coordenadas esferoidales prolatas. a)ξ constante, b) η constante
y c) ϕ constante
Figura 3.13: Sistema de coordenadas esferoidales prolatas
30 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Coordenadas Esferoidales Oblatas
Para este sistema, cuando la elipse bidimensional es rotada alrededor de su eje menor,
generamos este sistema de coordenadas. Este sistema de coordenadas ha sido ampliamente
utilizado para describir el campo de fuerza gravitacional terrestre. La transformacion de
coordenadas esferoidales achatadas (ξ, η, ϕ) a coordenadas rectangulares, tomando como eje
de simetrıa el eje z, son llevadas de acuerdo a las siguientes ecuaciones
x = d cosh ξ cos η cosϕ,
y = d cosh ξ cos η sinϕ,
z = d sinh ξ sin η.
(3.29)
Donde, el dominio de las variables es igual al de las coordenadas esferoidales prolatas
ξ ∈ [0,∞), η ∈ [−π/2, π/2], y ϕ ∈ [0, 2π) y d es la mitad de la distancia entre los
puntos focales. Nuevamente las tres variables tambien son adimensionales, las unidades las
proporciona d, y esta dada en unidades de longitud.
Los correspondientes factores de escala son:
hξ = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2,
hη = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2,
hϕ = d cosh ξ sin η.
(3.30)
Y la ecuacion de Helmholtz para este sistema es
1
cosh ξ
∂
∂ξ
[cosh ξ
∂E
∂ξ
]+
1
sin η
∂
∂η
[sin η
∂E
∂η
]+
(cosh2 ξ − sin2 η)
cosh2 ξ sin2 η
∂2E
∂ϕ2+ k2d2(cosh2 ξ − sin2 η)E = 0 (3.31)
Este sistema de coordenadas tambien tiene otra representacion, cambiando las variables
ξ ⇒ sinh ξ y η ⇒ sin η, tenemos las siguientes relaciones.
x = d(ξ2 + 1)1/2(1− η2)1/2 cosϕ,
y = d(ξ2 + 1)1/2(1− η2)1/2 sinϕ,
z = dξη.
(3.32)
Los nuevos valores son: ξ ∈ [0,∞), η ∈ (−1, 1) y ϕ ∈ [0, 2π. Las superficies no cambian.
Para estos tenemos los siguientes factores de escala
3.3. Coordenadas Rotacionales 31
hξ = d
(ξ2 + η2
ξ2 + 1
)1/2
,
hη = d
(ξ2 + η2
1− η2
)1/2
,
hϕ = d[(ξ2 + 1)(1− η2)
]1/2.
(3.33)
Y la ecuacion de Helmholtz ahora es
∂
∂ξ
[(ξ2 + 1
) ∂E∂ξ
]+
∂
∂η
[(1− η2
) ∂E∂η
]+
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)
∂2E
∂ϕ2+ k2d2(ξ2 + η2)E = 0.
(3.34)
En la Figura 3.14, podemos apreciar las superficies correspondientes a este sistema co-
ordenado que describimos a continuacion: a) Para ξ constante esferoides achatados, cuando
ξ = 0 tenemos un disco de radio d en el origen perpendicular al eje z, al incrementar el valor
de ξ, el disco toma la forma del esferoide achatado e incrementa su tamano de acuerdo al
valor de ξ, pero el punto focal permanece constante para cualquier tamano del esferoide. b)
Para η constante, medio hiperboloide de una hoja, con eje a lo largo del eje z, cuando η = 1,
es decir su maximo valor, tenemos una lınea en la parte positiva del eje z, al decrementar su
valor, este toma la forma de medio hiperboloide pero va reduciendo su longitud del eje menor
hasta ser cero cuando η = 0, en otras palabras, se forma un plano con un orificio circular
de radio d, continuando con la disminucion del valor de η, toma nuevamente la forma del
medio hiperboloide, solo que ahora en la parte negativa del eje z, y la longitud del eje menor
comienza a incrementarse hasta infinito cuando η = −1, es decir, hasta que es una lınea en
z negativa. Y c) para ϕ constante medios planos a traves del eje z, girando en z de acuerdo
al valor del angulo ϕ.
La figura 3.15 muestra la interseccion de estas tres superficies.
32 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
(a) (b) (c)
Figura 3.14: Superficies de las coordenadas esferoidales oblatas. a) ξ constante b) η constante
y c) ϕ constante
Figura 3.15: Sistema de coordenadas esferoidales oblatas
3.3. Coordenadas Rotacionales 33
(a) (b) (c)
Figura 3.16: Superficies de las coordenadas esferoidales oblatas. a) ξ constante b) η constante
y c) ϕ constante
Figura 3.17: Sistema de coordenadas esferoidales oblatas
34 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Existe un dominio alternativo para este sistema coordenado, en el cual, la ecuacion de
Helmholtz es invariante a estos cambios, esto dependera de la aplicacion fısica que se le de,
siempre y cuando se siga abarcando en su totalidad el espacio, por ejemplo para los haces
noparaxiales exactos [33].
En este caso tenemos −∞ < ξ < ∞, 0 ≤ η ≤ 1 y 0 ≤ ϕ < 2π. Las superficies ahora
son presentadas en la Figura 3.16: a) para ξ constante medio esferoide achatado, para ξ = 0
tenemos un disco de radio d en el origen perpendicular al eje z, sı ξ 6= 0 tenemos medio
esferoide para ξ > 0 hacia la parte positiva del eje z y para ξ < 0 hacia la parte negativa del
eje z. b) Para η constante, un hiperboloide completo de una hoja, con eje en el eje z, cuando
η = 0 es un plano con un orificio circular de radio d, cuando 0 < η < 1 tiene la forma del
hiperboloide e incrementa la longitud del eje menor conforme aumenta el valor de η hasta
ser infinito cuando η = 1, es decir, es una lınea sobre todo el eje z. Y en c) para ϕ constante
medios planos a traves de z-axis girando en el eje z de acuerdo al valor del angulo ϕ, esta
superficie no cambia a la anterior con los rango cambiados.
La Figura 3.17 muestra la interseccion de las tres superficies con estos dominios
alternativos, que a pesar de modificar los dominios, en realidad solo se alternaron sus
dominios, lo indispensable es mantener la cobertura de todo el espacio y sobre todo respetar
la interseccion de las tres superficies en un unico punto.
Coordenadas Parabolicas
Este sistema es generado por la rotacion de dos parabolas bidimensionales alrededor
sobre el eje z. Una aplicacion de las coordenadas parabolicas es en el analisis del efecto Stark
[14]. Las ecuaciones de transformacion de coordenadas parabolicas (µ, ν, ϕ) a rectangulares
(x, y, z) son
x = µν cosϕ,
y = µν sinϕ,
z =1
2(µ2 − ν2).
(3.35)
Donde µ ∈ [0,∞), ν ∈ [0,∞] y ϕ ∈ (0, 2π). µ y ν estan dadas en raız cuadrada de
3.3. Coordenadas Rotacionales 35
unidades de longitud y ϕ en unidades angulares. Los correspondientes factores de escala son:
hµ = (µ2 + ν2)1/2,
hν = (µ2 + ν2)1/2,
hϕ = µν.
(3.36)
La ecuacion de Helmholtz para este sistema es
1
µ(µ2 + ν2)
∂
∂µ
(µ∂E
∂µ
)+
1
ν(µ2 + ν2)
∂
∂ν
(ν∂E
∂ν
)+
1
µ2ν2
∂2E
∂ϕ2+ k2E = 0. (3.37)
Ahora en la Figura 3.18 podemos ver las superficies que describen este sistema de
coordenadas: a) Para ν constante paraboloides de revolucion que se extienden hacia la parte
positiva del eje z, con foco en el origen, cuando ν = 0 tenemos una lınea en z positiva y al
incrementar el valor de ν incrementa la longitud focal, pero el foco permanece fijo, es decir,
la parabola se va abriendo a la vez que se mueve hacia el lado negativo del eje z. b) Para
µ constante, paraboloides de revolucion que se extienden en la direccion negativa del eje z,
con foco en el origen, cuando µ = 0 tenemos una lınea en la parte negativa del eje z, al
incrementar el valor de µ incrementa la distancia focal, pero el foco permanece fijo, en otras
palabras, la parabola se va abriendo a la vez que se mueve hacia la parte positiva del eje z. Y
c) para ϕ constante tenemos medios planos a traves del eje z, el cual gira alrededor de este
mismo eje, de acuerdo al valor del angulo ϕ, este semiplano que inicia en el eje z presenta
un contorno similar a la interseccion de dos medias parabolas, la parte positiva la media
parabola negativa, y en la parte negativa del plano limitado con media parabola positiva.
En la Figura 3.19 presentamos la interseccion de las tres superficies, se puede apreciar sobre
las lıneas de contorno de las parabolas como el semiplano rota sobre el eje z y la interseccion
permanece para un solo punto.
36 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
(a) (b) (c)
Figura 3.18: Superficies de las coordenadas parabolicas. a) ν constante, b) µ constante y c)ϕ
constante
Figura 3.19: Sistema de coordenadas parabolicas
3.4. Coordenadas Elipticoidales 37
3.4. Coordenadas Elipticoidales
Estos sistemas tienen en comun que la superficie equivalente a la coordenada acimutal,
se mueve a lo largo de trayectorias elıpticas o trayectorias elipticoidales, y en este sentido,
a este grupo de sistemas de coordenadas nosotros lo denominamos elipticoidales. Tambien
estos sistemas son llamados generales debido a que los otros sistemas pueden ser considerados
casos particulares de estos, por ejemplo de las coordenadas paraboloidales puede obtenerse
los parabolicas, de las conicas las esfericas, y todas pueden ser deducidas de las coordenadas
elipsoidales [30].
Coordenadas Conicas
Este sistema de coordenadas tambien es llamado coordenadas esfero-conicas [34, 35, 36],
es usado en el estudio del scattering de ondas electromagneticas por conos elıpticos
conductores, para describir las eigen-funciones del momento angular de un rotor asimetrico,
por mencionar algunas aplicaciones. En los trabajos referentes a este sistema de coordenadas
es comun encontrar graficas erroneas donde se presentan multiples puntos de interseccion
simultaneos entre las superficies coordenadas como el mostrado en la Figura 3.1.
Las ecuaciones de transformacion de las coordenadas conicas (r,θe,ϕe) a rectangulares (x, y, z)
son
x2 =
(rθeϕeab
)2
,
y2 =r2(θ2
e − a2)(ϕ2e − a2)
a2(a2 − b2),
z2 =r2(θ2
e − b2)(ϕ2e − b2)
b2(b2 − a2).
(3.38)
Donde (0 ≤ r < ∞), a y b son parametros que satisfacen las condiciones
b2 > θ2e > a2 > ϕ2
e ≥ 0. r, θe y ϕe esta dada en unidades de longitud. Los correspondientes
factores de escala son:
38 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
h1 =1,
h2 =r
√θ2e − ϕ2
e
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e),
h3 =r
√θ2e − ϕ2
e
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e).
(3.39)
La ecuacion de Helmholtz es este sistema es
1
r2
∂
∂r
(r2∂E
∂r
)+
√(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)
r2(θe − ϕ2e)
∂
∂θe
(√(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)∂E
∂θe
)+
√(b2 − ϕ2
e)(c2 − ϕ2
e)
r2(θe − ϕ2e)
∂
∂ϕe
(√(b2 − ϕ2
e)(c2 − ϕ2
e)∂E
∂ϕe
)+ k2E = 0. (3.40)
Este sistema de coordenadas tambien puede ser representado mediante funciones
elıpticas jacobianas, sin embargo, nosotros nos enfocaremos a la forma algebraica de su
representacion.
Si observamos detenidamente, este sistema es similar al sistema de coordenadas esferi-
cas. Es importante resaltar que un apropiado uso de signos, nos permite obtener graficas
precisas de las superficies que describen este sistema coordenado, esto, debido a que tenemos
en la funciones dos raıces cuadradas, por lo tanto se tienen cuatro posibles combinaciones
para cada superficie.
El sistema de coordenadas conicas es descrito por las siguientes superficies, y de esta
manera lo podemos ver en la Figura 3.20: a) Para r constante, esferas centradas en el origen,
de radio r que incrementa el tamano de acuerdo al valor de r, la esfera es construida con las
cuatro combinaciones de los signos.
En b) para θe constante, cono de seccion cruzada elıptica, con vertice en el origen y eje a
lo largo del eje z, pero unicamente es posible apreciar un cono a la vez, el cual es construido
graficando a la vez un par de combinaciones, cuando θe ' a tenemos un cono totalmente
aplanado ubicado en la parte positiva del eje z, al incrementar su valor toma la forma del
3.4. Coordenadas Elipticoidales 39
cono elıptico, y este se va abriendo cada vez mas, de tal manera que cuando θe ' b tenemos
un plano en z = 0 perpendicular al eje z, ahora tomando el otro par de combinaciones de
signos de las raıces, y θe ' −b es un plano similar al de b, ahora cuando sus valores se estan
aproximado a −a el cono comienza a cerrarse pero en esta ocasion hacia la parte negativa del
eje z hasta que cuando θe ' −a se forma el cono totalmente aplanado en la parte negativa
del eje z.
Finalmente en c) para ϕe constante, medios conos de seccion transversal elıptica con
vertice en el origen y ejes a lo largo del eje x, si graficaramos todas las posibles combinaciones
de signos a la vez, tendrıamos dos conos completos al mismo tiempo, lo que ocasionarıa mas
de un punto de interseccion a la vez, lo apropiado es tener solo medio cono.
Para ello consideramos la siguiente combinacion de los signos de las raıces: primera positiva
y segunda negativa, de esta manera cuando ϕe ' a tenemos un cono totalmente aplanado
centrado en el eje x positivo y conforme disminuye el valor adquiere la forma del medio cono,
y podemos ver como gira sobre el eje z, y cuando ϕe = 0 es un semiplano perpendicular al
eje x en la parte negativa del eje y, continuando con el decremento retoma nuevamente la
forma del medio cono elıptico, solo que ahora en parte negativa del eje x hasta forma el
medio plano conico cuando ϕe ' −a, ahora para la siguiente parte consideramos la com-
binacion negativa-positiva, y cuando ϕe incrementa el valor con respecto a −a se forma el
medio cono elıptico, pero en esta ocasion , girando en la parte positiva del eje y hasta forma
el semiplano perpendicular al eje x ubicado en el lado positivo del eje y cuando ϕe = 0 y al
continuar con los incrementos adquiere nuevamente la forma del medio cono elıptico, hasta
que es totalmente aplanado cuando ϕe ' a.
Esta variable es equivalente a la coordenada acimutal en las coordenadas esfericas, solo que
en este sistema tiene trayectoria elipticoidal debido a la forma elıpticas que adquiere la su-
perficie a la vez que va girando sobre el eje z.
En la Figura 3.21 podemos observar las tres superficies del sistema de coordenadas
conicas y resaltando el unico punto de interseccion, al igual que las lıneas en cada superficie
muestra las formas elıpticas que adquieren para los diferentes valores de las variables
coordenadas.
40 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
(a) (b) (c)
Figura 3.20: Superficies de las coordenadas conicas. a) r constante , b) θe constante y c) ϕeconstante
Figura 3.21: Sistema de coordenadas conicas
3.4. Coordenadas Elipticoidales 41
Coordenadas Paraboloidales
Este sistema puede ser aplicado al estudio de la distribucion de campos de reflectores
y lentes paraboloidales. Las ecuaciones de transformacion de coordenadas paraboloidales
(µe,νe,ϕe) a rectangulares son
x2 =(µe − c)(c− νe)(c− ϕe)
(c− b),
y2 =(µe − b)(b− νe)(ϕe − b)
(c− b),
z = µe + νe + ϕe − b− c.
(3.41)
Donde∞ > µe > c > ϕe > b > νe, ademas, b y c son los parametros de los paraboloides
y los hiperboloides. Todas las variables y parametros son dados en unidades de longitud. Los
correspondientes factores de escala son
hµe =
√(µe − νe)(µe − ϕe)(µe − c)(µe − b)
,
hνe =
√(µe − νe)(ϕe − νe)
(c− νe)(b− νe),
hϕe =
√(ϕe − νe)(µe − ϕe)(c− ϕe)(ϕ− be)
.
(3.42)
La ecuacion de Helmholtz en este sistema es:
f(µe)
(µe − νe)(µe − ϕe)∂
∂µe
(f(µe)
∂E
∂µe
)+
f(νe)
(µe − νe)(ϕe − νe)∂
∂νe
(f(νe)
∂E
∂νe
)+
f(ϕe)
(µe − ϕe)(ϕe − νe)∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+ k2E = 0, (3.43)
donde
f(µe) =√
(µe − c)(µe − b),
f(νe) =√
(c− νe)(b− νe),
f(ϕe) =√
(c− ϕe)(ϕe − b).
(3.44)
42 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Este sistema es similar al de las coordenadas parabolicas. En la Figura 3.22 podemos
apreciar las superficies que describen este sistema de coordenadas: a) para νe constante,
paraboloides confocales de seccion transversal elıptica abriendo hacia arriba, cuando νe ' c
tenemos un semiplano parabolico paralelo al plano yz en la parte positiva del eje z cuyo valor
mas pequeno esta en z = b conforme disminuye su valor νe, el semiplano adquiere volumen
y toma la forma del paraboloide ensanchandose cada vez mas a la vez que se desplaza hacia
la parte negativa del eje z. En b) Para µe constante tenemos un paraboloide con seccion
transversal elıptica abriendo hacia abajo, cuando µe ' c tenemos un semiplano con forma
parabolica paralelo al plano xz cuyo valor maximo esta en z y vale c, al incrementar el valor
de µe se forma el paraboloide, es decir, el plano en realidad es un paraboloide totalmente
aplanado y al incrementar el valor de µe adquiere volumen, y a la vez que se va ensanchando
se mueve hacia la parte positiva del eje z de acuerdo al incremento de µe Y c) para ϕeconstante tenemos un cuarto de hiperboloide-paraboloide, en este caso, podemos considerar
cuatro combinaciones para los signos de las raıces de las ecuaciones de conversion de tal
manera que se mantenga siempre un solo punto de interseccion de las tres superficies, para
positivo-positivo y ϕe ' b tenemos un semiplano iniciando en el eje z hacia la parte positiva
del eje x paralelo al plano xz delimitado por una parabola con apertura hacia arriba tanto en
la parte superior como en la inferior y en el lado derecho por una parabola con apertura hacia
abajo, los valores del plano en el eje z para x = 0 van de 0 a b, al incrementar el valor de νe la
superficie adquiere volumen con la forma de un cuarto de hiperboloide-paraboloide girando en
el sentido contrario de las manecillas del reloj, del eje x positivo hacia el eje y negativo hasta
que ϕe ' c que vuelve a ser un plano, pero en la parte negativa del eje y paralelo al plano yz
limitada en la parte superior e inferior por una parabola con apertura hacia abajo, saliendo
del eje z y su manor valor en z es c, el otro extremo es limitado por una seccion parabolica
con apertura hacia arriba; ahora tomando la combinacion positiva-negativa, tenemos que las
formas y movimientos de la superficie son similares a las de la combinacion anterior, pero
inicia con la superficie final de la combinacion anterior, es decir, el plano yz para ϕe ' c
moviendose de y negativo hacia x negativo, terminando con el semiplano xz para ϕe ' b;
para la combinacion negativo-negativo, comenzamos con el semiplano xz para ϕe ' b y
finalmente la combinacion positivo-negativo comenzamos con el semiplano yz para ν ' c y
terminamos con el semiplano xz para ϕe ' b. Todos esto se observa como una rotacion sobre
el eje z con trayectoria elipticoidal.
Ahora en la Figura 3.23 mostramos la interseccion de estas tres superficies, en las lıneas
de contorno de las superficies es posible apreciar las trayectorias y formas para diferentes
valores de las variables coordenadas.
3.4. Coordenadas Elipticoidales 43
(a) (b) (c)
Figura 3.22: Superficies de las coordenadas paraboloidales. a) νe constante, b) µe constante
and c) ϕe constante
Figura 3.23: Sistema de coordenadas paraboloidales
44 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Coordenadas elipsoidales
Este es el sistema de coordenadas mas general, los otros diez sistemas de coordenadas
pueden ser considerados casos especiales de este sistema de coordenadas [8]. Este sistema se
utiliza en el estudio de, entre otros, de los problemas de dispersion electromagnetica y escalar
causados por un elipsoide, y la difraccion por una placa elıptica o traves de una abertura
elıptica.
Las ecuaciones de transformacion de coordenadas elipsoidales (ξe,ηe,ϕe) a coordenadas
rectangulares, es definido por lo siguientes ecuaciones [9]
x2 =
(ηeξeϕebc
)2
,
y2 =(ξ2e − b2)(η2
e − b2)(b2 − ϕ2e)
b2(c2 − b2),
z2 =(ξ2e − c2)(c2 − ηe)(c2 − ϕe)
c2(c2 − b2).
(3.45)
Sujeta a ξ2e > c2 > η2
e > b2ϕe ≥ 0. Todas las variables y parametros de este sistema
estan dados en unidades de longitud.
Los factores de escala son:
hξe =
√(ξ2e − η2
e)(ξ2 − ϕ2
e)
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2),
hηe =
√(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)
(η2e − b2)(c2 − η2
e),
hϕe =
√(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e).
(3.46)
La ecuacion de Helmholtz en este sistema es
f(ξe)
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
∂
∂ξe
(f(ξe)
∂E
∂ξe
)+
f(ηe)
(ξ2e − η2
e)(η2e − ϕ2
e)
∂
∂ηe
(f(ηe)
∂E
∂ηe
)+
f(ϕe)
(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+ k2E = 0, (3.47)
3.4. Coordenadas Elipticoidales 45
donde
f(ξe) =√
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2),
f(ηe) =√
(η2e − b2)(c2 − η2
e),
f(ϕe) =√
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e).
(3.48)
Este sistema es descrito por las siguientes superficies que presentamos en la Figura
3.24: a) Para ξe constante, elipsoides con focos en el eje x, cuando ξ2e ' c2 tenemos un disco
elıptico en z = 0 con eje mayor igual a 2c y longitud focal b, al incrementar el valor de ξe el
disco adquiere volumen tomando la forma elipsoidal y crece de acuerdo al valor de ξe, pero
sus puntos focales permanecen fijos.
b) Para ηe constante, medio hiperboloide de una hoja pero de seccion transversal elıptico,
cuando ηe ' b tenemos el medio hiperboloide totalmente aplanado en eje z positivo paralelo
al plano xz y al incrementar el valor de ηe el hiperboloide adquiere volumen aumentando
su apertura, hasta ser un plano en el origen perpendicular al eje z el cual tiene un orificio
elıptico con eje mayor igual a 2c, cuando ηe ' c; ahora continuando con los valores negativos
del rango η ' −c y al aumentar el valor de ηe con respecto a −c se forma la otra mitad del
hiperboloide hasta aplanarse totalmente cuando ηe ' −b. Finalmente en c) para ϕe constante,
tenemos un cuarto de hiperboloide de 2 hojas de seccion transversal elıptica, debido a las
raıces cuadradas en las ecuaciones de conversion, tenemos cuatro posibles combinaciones de
los signos de estas ecuaciones; para la primera combinacion y ϕe ' b tenemos un plano
paralelo al plano xz cuyas frontera forman una parabola, localizado en el eje x positivo, al
disminuir el valor adquiere volumen con la forma del cuarto de hiperboloide y moviendose
de x positivo a y negativo, hasta formar un semiplano saliendo del eje z paralelo al plano yz
cuando ϕe ' 0, para la segunda combinacion comenzamos en ϕe ' 0 y disminuyendo el valor
nuevamente el plano toma la forma del cuarto de hiperboloide a la vez que se mueve de y
negativo a x negativo hasta formar un plano paralelo al plano yz cuando ϕe ' 0 localizado
en la parte negativa del eje x; para la tercera combinacion tendremos el desplazamiento de
el lado negativo del eje x hacia la parte positiva del eje y; y para finalizar con la cuarta
combinacion, el desplazamiento es de la parte positiva del eje y hacia la parte positiva del
eje x; todo este recorrido es similar a la rotacion en sentido contrario a las manecillas del
reloj que se presenta en la coordenada acimutal de las coordenadas esfericas, solo que con
trayectorias elipticoidales.
Ahora en la Figura 3.25 tenemos el conjunto de superficies que forma el sistema
de coordenadas elipsoidales. Es importante recordar que de este sistema de coordenadas
podemos deducir el resto de coordenadas como un caso particular de este.
46 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
(a) (b) (c)
Figura 3.24: Superficies de las coordenadas elipsoidales. a) ξe constante, b) ηe constante y c)
ϕe constante
Figura 3.25: Sistema de coordenadas elipsoidales
3.5. Transformacion conformal 47
3.5. Transformacion conformal
La transformacion conformal, es una transformacion en el plano complejo, esta tecnica
es utilizada para hacer transformaciones entre sistemas de coordenadas donde se conservan
la magnitud y sentido del angulo de interseccion entre dos curvas cualesquiera; incluso es
utilizada para generar nuevos sistemas coordenados. Es comun encontrar la relacion de
coordenadas rectangulares a otros sistemas de coordenadas y viceversa, sin embargo, es
poco usado las relaciones entre los sistemas de coordenadas sin pasar por las rectangulares,
por ejemplo la relacion directa entre coordenadas cilındricas circulares con las cilındricas
parabolicas.
Ahora mostraremos las relaciones directas entre los cuatro sistemas de coordenadas que
clasificamos como cilındricos, pero unicamente para su plano caracterıstico, descartando el
elemento en comun de estos sistemas, la coordenada z. En este conjunto de sistemas de
coordenadas la ecuacion de Helmholtz es separable.
3.5.1. Transformaciones conformales 2D
La transformacion conformal se lleva a cabo en el plano complejo, y no es mas que,
encontrar la funcion que permite realizar la transformacion de un plano a otro. Los angulos
siempre se conservan. Se toma una relacion arbitraria entre el plano w y el plano z
z = f(w), (3.49)
donde w = u + iv, z = x + iy y f es una funcion arbitraria que transforma los puntos
del plano z en puntos del plano w. Si la transformacion z = f(w) en w0 retiene la magnitud
y la direccion del angulo de interseccion de dos curvas intersectadas en cualquier w0, la
transformacion es conformal. Otra importante funcion es la transformacion uno a uno, es
decir, biunıvoca. Por lo tanto tambien se puede
w = g(z). (3.50)
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se aplican a esta transformacion [37].
∂x
∂u=∂y
∂v,
∂x
∂v= −∂y
∂u, (3.51)
x = χ1(u, v),
y = χ2(u, v),(3.52)
48 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
y el otro camino
u = ζ1(x, y),
v = ζ2(x, y),(3.53)
Con esta herramienta matematica podemos transformar a una funcion real E(x, y) en
una funcion E(u, v) definida en el plano w a traves de un cambio de variables. Sı consideramos
llevar estas transformaciones a funciones que puedan ser utilizadas para la representacion
de la propagacion de ondas, podemos considerar que E(x, y) es una funcion armonica en el
plano z,
∂2E
∂x2+∂2E
∂y2= 0. (3.54)
Ademas sı la transformacion que define el cambio de las de variables w = u(x, y)+ iv(x, y) =
f(z) es analıtica, puede ser demostrado que:
∂2E
∂u2+∂2E
∂v2= 0. (3.55)
Donde E(u, v) es una herramienta armonica en el medio w. Las funciones z = f(w)
y w = g(z) transforman los contornos, ası que podemos aplicar esta propiedad a las
ondas viajeras, es decir, una solucion armonica en un sistema de coordenadas ortogonal
sera invariante para otro sistema coordenado.
A continuacion mostramos la transformacion conformal en ambos sentidos entre los
cuatro sistemas de coordenadas bidimensionales donde la ecuacion de Helmholtz es separable,
de rectangular a circular (polar), de rectangular a elıptica, de rectangular a parabolicas,
despues de circular (polar) a elıptica, de circular a parabolica y finalmente de elıptica a
parabolica.
3.5. Transformacion conformal 49
rectangular � circular
Figura 3.26: a) Coordenadas rectangulares , b) coordenadas circulares
El sistema de coordenadas rectangulares es el sistema de mayor uso, el sistema es
definido por dos lıneas rectas perpendiculares entre sı, para x constante, tenemos lıneas
verticales, donde x ∈ (−∞,∞), para y constante lıneas horizontales, donde y ∈ (−∞,∞).
Adicionalmente este sistema es comunmente empleado como referencia para representar los
otros sistemas coordenados.
El sistema de coordenadas circular (polar) es definido por cırculos para r constante,
donde r ∈ [0,∞), para φ constante, lıneas rectas iniciando en el origen con angulo φ, donde
φ ∈ [0, 2π]
A continuacion obtenemos las ecuaciones de transformacion entre estos dos sistemas
de coordenadas bidimensionales. Dada una funcion compleja, y aplicando operaciones alge-
braicas simples separamos la parte real de la parte imaginaria, y posteriormente aplicamos
condiciones de igualdad.
De coordenadas circulares a rectangulares, es una transformacion de la funcion
exponencial compleja. Haciendo uso de la identidad de Euler, es relativamente simple separar
la parte real de la parte imaginaria.
x+ iy = reiϕ,
x+ iy = r(cosϕ+ i sinϕ),
x+ iy = r cosϕ+ ir sinϕ.
(3.56)
50 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Ahora sabemos que la igualdad anterior se cumple, si y solo si, las partes reales son
iguales y las partes imaginarias tambien, con esto obtenemos las ecuaciones para realizar el
cambio de coordenadas.
x = r cosϕ,
y = r sinϕ.(3.57)
Para transformar de rectangular a circular (polar), empleando el resultado previo,
primero vamos a obtener r en funcion x y de y, para esto, elevamos ambas ecuaciones
al cuadrado y al igualarlas obtenemos,
r2 cosϕ2 + r2 sin2 ϕ = x2 + y2,
r2(cosϕ2 + sin2 ϕ) = x2 + y2,
r =√x2 + y2,
(3.58)
y para ϕ, dividimos y entre x en la ecuacion (3.57) y obtenemos
r sinϕ
r cosϕ= 2
y
x,
tanϕ =y
x,
ϕ = arctan (y
x).
(3.59)
Los resultados para la transformacion de rectangulares a circulares son
r =√x2 + y2,
ϕ = r arctan (y
x).
(3.60)
Con esto tenemos ya la transformacion en ambos sentidos, entre coordenadas
rectangulares y circulares.
3.5. Transformacion conformal 51
rectangular � elıpticas
Figura 3.27: a) Coordenadas rectangulares, b) Coordenadas elıpticas
Las coordenadas elıpticas son definidas por elipses para ξ constante, con una distancia
entre los puntos focales igual a 2h, donde ξ ∈ [0,∞); para η constante, un cuarto de hiperbola,
iniciando como una lınea que sale del punto h en el lado positivo del eje x realiza una rotacion
en sentido contrario de las manecillas del reloj, donde η ∈ [0, 2π]. Sin embargo, es posible
variar los dominios de las variables, mas bien alternar los dominios, pues es imprescindible
cubrir todo el espacio y mantener la interseccion en un solo punto, por ejemplo, sı ξ constante
y ξ ∈ (−∞,∞) tenemos medias elipses, iniciando en la parte negativa del eje y, se va
aplanando hasta formar una lınea que une los dos puntos focales justo cuando ξ = 0,
posteriormente al incrementar el valor de ξ la lınea toma la forma elıptica pero ahora en
52 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
la parte positiva del eje y; para η constante, tenemos media hiperbola que comienza en la
parte positiva del eje x inicia como una lınea cuando η = 0 al incrementar su valor se forma
la media hiperbola ensanchandose cada vez mas hasta ser una lınea recta cuando η = π/2
al continuar incrementando vuelve a tomar la forma hiperbolica, solo que ahora en la parte
negativa del eje x, y esta se va cerrando hasta formar una lınea cuando η = π.
Para la transformacion tenemos como base una funcion hiperbolica, la cual nos da las
coordenadas elıpticas, para encontrar la conversion tenemos
x+ iy = cosh(ξ + iη),
= cosh ξ cosh iη + sinh ξ sinh iη,
= cosh ξ cos η + i sinh ξ sin η.
(3.61)
Esto, haciendo uso de las identidades cosh iη = cos η y sinh iη = i sin η. Conseguimos
de esta manera las ecuaciones de transformacion de coordenadas rectangulares a elıptica. E
igualando las partes reales e imaginarias.
x = cosh ξ cos η,
y = sinh ξ sin η.(3.62)
De rectangular a elıptica realizamos los siguientes calculos
cosh (ξ + iη) = x+ iy,
ξ + iη = acosh(x+ iy),(3.63)
Ahora el acosh de un numero complejo, es otro numero complejo, es decir, una parte
real y una parte imaginaria.
ξ + iη = Re(acosh(x+ iy)) + Im(acosh(x+ iy)). (3.64)
Despues igualando la parte real e imaginaria obtenemos las funciones de transformacion,
ξ = Re[acosh(r + iy)],
η = Im[acosh(x+ iy)].(3.65)
3.5. Transformacion conformal 53
rectangular � parabolicas
Figura 3.28: a) Coordenadas rectangulares, b) coordenadas circulares
Las lıneas que describen las coordenadas parabolicas son: para µ constante, parabolas
horizontales con foco en el origen, con apertura hacia la parte negativa del eje x, donde
µ ∈ (0,∞), para µ = 0 tenemos una lınea en la parte negativa del eje x, es decir, la longitud
del lado recto es cero, al aumentar el valor µ aumenta la longitud del lado recto y la parabola
se desplaza hacia la parte positiva del eje x de tal manera que el punto focal permanece fijo.
Para ν constante tenemos medias parabolas con apertura hacia la parte positiva del eje x,
donde ν ∈ [0,∞), para ν < 0 tenemos media parabola ubicada en la parte negativa del eje
y, esta se va acercando al origen, es decir, la longitud del lado recto disminuye cada vez
mas, hasta que es cero cuando ν = 0 y tenemos una lınea recta en la parte positiva del
eje x, para ν > 0 tenemos la otra mitad de la parabola solo que ahora en la parte positiva
de y aumentando la longitud del lado recto, el foco permanece fijo, esta lınea parece rotar
alrededor del eje y similar a la coordenada angular en las coordenadas polares.
Para obtener las funciones de transformacion de coordenadas parabolicas a coordenadas
rectangulares, consideramos una funcion cuadratica 12w2, por lo tanto, desarrollamos la
siguiente operacion
54 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
x+ iy =1
2(µ+ iν)2,
=1
2(µ2 + i2µν − ν2),
=1
2(µ2 − ν2) + iµν.
(3.66)
Demostrando de esta manera
x =1
2(µ2 − ν2),
y = µν.(3.67)
Ahora, para el caso inverso, es decir, de rectangulares a parabolicas, procedemos hacer
lo siguiente: elevamos al cuadrado las igualdades de la ecuacion (3.67) y sumamos, realizando
operaciones tenemos
1
4(µ2 − ν2)2 + (µν)2 = x2 + y2,
1
4µ4 − 2
4µ2ν2 +
1
4ν4 +
4
4µ2ν2 = x2 + y2,
1
4µ4 +
2
4µ2ν2 +
1
4ν4 = x2 + y2,
1
4(µ2 + ν2)2 = x2 + y2,
1
2(µ2 + ν2) =
√x2 + y2
(3.68)
Restamos de ambos lados de la igualdad 12(µ2 − ν2), pero de la ecuacion (3.67) esto es
igual a x , por lo tanto, esto resulta
1
2(µ2 + ν2)− 1
2(µ2 − ν2) =
√x2 + y2 − 1
2(µ2 − ν2)2,
1
2µ2 +
1
2ν2 − 1
2µ2 − 1
2ν2 =
√x2 + y2 − x,
ν2 =√x2 + y2 − x,
ν =
√√x2 + y2 − x,
(3.69)
y ahora de la ecuacion (3.67) podemos obtener µ.
3.5. Transformacion conformal 55
µν = y,
µ =y
ν,
µ =y√√
x2 + y2 − x.
(3.70)
Con esto encontramos las funciones para la conversion de rectangular a parabolicas.
Que en conjunto son los siguientes:
µ =y√√
x2 + y2 − x,
ν =
√√x2 + y2 − x,
(3.71)
circular � elıpticas
Figura 3.29: a) Coordenadas circulares, b) coordenadas elıpticas
Para transformar de elıpticas a circulares, tomamos las funciones complejas de los
resultados previos, donde tenemos separadas las parte real y la parte compleja
r cosϕ+ ir sinϕ = cosh ξ cos η + i sinh ξ sin η, (3.72)
56 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
para satisfacer la identidad en los numeros complejos tenemos
r cosϕ = cosh ξ cos η,
r sinϕ = sinh ξ sin η,(3.73)
para encontrar r elevamos al cuadrado y sumamos las ecuaciones previas, realizamos
las siguientes operaciones
r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ = (cosh ξ cos η)2 + (sinh ξ sin η)2,
r2 = cosh2 ξ cos2 η + sinh2 ξ sin2 η,
r =
√cosh2 ξ cos2 η + sinh2 ξ sin2 η,
r =
√1
2(cosh 2ξ + cos 2η).
(3.74)
Para ϕ dividimos entre sı las ecuaciones (3.73), para obtener
r sinϕ
r cosϕ=
sinh ξ sin η
cosh ξ cos η,
tanϕ = tanh ξ tan η,
ϕ = arctan (tanh ξ tan η).
(3.75)
De esta manera las funciones de transformacion son
r =
√1
2(cosh 2ξ + cos 2η),
ϕ = arctan (tanh ξ tan η).
(3.76)
Ahora en el sentido opuesto, para transformar de coordenadas circulares a elıpticas,
iniciamos nuevamente de las funciones complejas de cada sistema, y de esto aplicamos cosh
en ambos lados.
cosh ξ + iη = reiϕ,
ξ + iη = acosh reiϕ.(3.77)
Tal como se menciono anteriormente el resultado del acosh de un numero complejo es
un numero complejo, entonces aplicamos la condicion de igualdad para obtener, para obtener
ξ = Re[acosh(reiϕ)],
η = Im[acosh(reiϕ)].(3.78)
3.5. Transformacion conformal 57
circular � parabolicas
Figura 3.30: a) Coordenadas circulares , b) coordenadas parabolicas
Debido a que ya hemos comentado de los rangos y trayectorias que describen estos
sistemas de coordenadas, ahora, nos centraremos solo en deducir las transformaciones.
Para llevar de coordenadas parabolicas a coordenadas circulares, primero colocamos los
dos numeros complejos como la suma la parte real mas la parte imaginaria
reiϕ =1
2(µ+ iν)2,
r cosϕ+ ir sinϕ =1
2(µ2 − ν2) + iµν,
(3.79)
y al satisfacer la igualdad de los numeros complejos, tenemos
r cosϕ =1
2(µ2 − ν2),
r sinϕ = µν.(3.80)
Ası, para encontrar r, elevamos al cuadrado las ecuaciones previas y las sumamos
58 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
r2 cosϕ2 + r2 sinϕ =1
4(µ2 − ν2)2 + (µν)2,
r2(cosϕ2 + sinϕ) =1
4(µ2 − ν2)2 + (µν)2,
r =
√1
4(µ2 − ν2)2 + (µν)2,
r =
√1
4(µ2 + ν2)2,
r =1
2(µ2 + ν2).
(3.81)
Para ϕ dividimos las ecuaciones (3.80) y desarrollamos las siguientes calculos
r sinϕ
r cosϕ= 2
µν
µ2 − ν2,
tanϕ = 2µν
µ2 − ν2,
ϕ = arctan (2µν
µ2 − ν2).
(3.82)
de esta manera, las funciones de transformacion de coordenadas parabolicas a circulares
son
r =1
2(µ2 + ν2),
ϕ = arctan (2µν
µ2 − ν2).
(3.83)
Realizamos los calculos para obtener las funciones de transformacion de circulares a
parabolicas. Debido a que las coordenadas circulares tambien se pueden separar en una
parte real y una imaginaria, equivalente a x+ iy, ahora en terminos de r y ϕ. Sustituimos en
la ecuacion (3.71), primero para µ y desarrollamos operaciones algebraicas para simplificar
3.5. Transformacion conformal 59
µ =r sinϕ√√
(r cosϕ)2 + (r sinϕ)2 − (r cosϕ),
µ =r√
1− cos2 ϕ√r − (r cosϕ)
,
µ =
√r2(1− cos2 ϕ)√r(1− cosϕ
,
µ =√r(1 + cosϕ),
µ =√
2r cosϕ
2.
(3.84)
posteriormente lo hacemos para ν
ν =
√√(r cosϕ)2 + (r sinϕ)2 − (r cosϕ),
ν =√r(1− cosϕ),
ν =√
2r sinϕ
2.
(3.85)
Y de esta forma, las funciones de transformacion de coordenadas circulares a elıpticas
son:
µ =√
2r cosϕ
2,
ν =√
2r sinϕ
2,
(3.86)
60 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
elıpticas � parabolicas
Figura 3.31: a) Coordenadas elıpticas, b) coordenadas parabolicas
Para terminar con estos pares de transformaciones, obtendremos las funciones de
conversion de coordenadas elıpticas a coordenadas parabolicas. Iniciamos con las funciones
complejas representativas de cada sistema
cosh (ξ + iη) = (1
2(µ− iν)2)
ξ + iη = acosh (1
2(µ2 − ν2) + iµν)
(3.87)
recordando una vez mas que el acosh de un numero complejo es otro numero complejo,
por lo tanto, podemos aplicar la condicion de igualdad de los numeros complejos, es decir
ξ = Re[acosh(1
2(µ2 − ν2) + iµν)],
η = Im[acosh(1
2(µ2 − ν2) + iµν)].
(3.88)
Estas son las funciones de transformacion de coordenadas parabolicas a elıpticas.
Para transformar de coordenadas elıpticas a parabolicas, colocamos sus funciones
complejas representativas de cada sistema separadas en su parte real e imaginaria
3.6. Conclusiones 61
1
2(µ2 − ν2) + iµν = cosh ξ cos η + i sinh ξ sin η. (3.89)
Y reemplazando los resultados en la ecuacion (3.87), esto debido a que hemos separado
la parte real de la parte imaginaria, encontramos para µ
µ =sinh ξ sin η√√
(cosh ξ cos η)2 + (sinh ξ sin η)2 − (cosh ξ cos η),
µ =sinh ξ sin η√√
cosh2 ξ cos2 η + sinh2 ξ sin2 η − (cosh ξ cos η)
,
µ =sinh ξ sin η√√
12(cosh 2ξ + cos 2η)− (cosh ξ cos η)
.
(3.90)
y para ν tenemos
ν =
√√(cosh ξ cos η)2 + (sinh ξ sin η)2 − (cosh ξ cos η),
ν =
√√cosh2 ξ cos2 η + sinh2 ξ sin2 η − (cosh ξ cos η),
ν =
√√1
2(cosh 2ξ + cos 2η)− (cosh ξ cos η).
(3.91)
Despues, las funciones resultantes son
µ =sinh ξ sin η√√
12(cosh 2ξ + cos 2η)− (cosh ξ cos η)
,
ν =
√√1
2(cosh 2ξ + cos 2η)− (cosh ξ cos η).
(3.92)
De esta manera, tenemos los pares de funciones para la transformacion entre los sistemas
bidimensionales en los que se puede separar la ecuacion de Helmholtz.
3.6. Conclusiones
En este capıtulo, presentamos las metricas que identifican los once sistemas de
coordenadas, junto con la ecuacion de Helmholtz correspondiente para cada uno de estos
sistemas de coordenadas.
62 Capıtulo 3. Sistemas de Coordenadas Ortogonales Tridimensionales
Del mismo modo hemos presentado los graficos de las superficies que forman cada uno
de los once sistemas de coordenadas acompanado con una descripcion de sus movimientos y
dominios de cada uno de ellos, pero resaltando las caracterısticas unıvocas para representar
a un solo punto en el espacio.
Por ultimo, hemos obtenido las funciones de transformacion entre los cuatro sistemas
de coordenadas bidimensionales en los que la ecuacion de Helmholtz es separable, haciendo
uso de la transformacion conformal.
Ya que hemos presentado la ecuacion de Helmholtz, en el capıtulo siguiente vamos a
continuar con su separabilidad.
Capıtulo 4
Separabilidad de la ecuacion tridimensional de
Helmholtz
En este capitulo, obtenemos la familia completa de ecuaciones diferenciales ordinarias
en la cuales la ecuacion de Helmholtz es separable.
En la seccion 4.1 llevaremos a cabo la separacion de variables de la ecuacion de
Helmholtz, empleando la tradicional tecnica, para lo cual mostramos las operaciones
algebraicas que conllevan a la separacion de esta ecuacion diferencial parcial. Adicionalmente
presentamos el determinante de Stackel como una tecnica alternativa para llevar a cabo la
separacion de variables de la ecuacion de Helmholtz de una manera sistematizada para los
once sistemas de coordenadas. Al llevar a cabo la separacion buscamos en todo momento
que las ecuaciones resultantes sean apropiadas para la representacion de ondas viajeras
4.1. Introduccion
En el metodo de separacion de variables lo que se busca es transformar el problema
de resolver una ecuacion diferencial parcial de tres variables a el problema de resolver tres
ecuaciones diferenciales ordinarias, una para cada variable.
En algunos casos, aplicando esta tecnica, a la ecuacion de Helmholtz en sus diferentes
sistemas de coordenadas es algebraicamente directo, pero en algunos se requiere de cambios
de variable no triviales. Esto nos llevo a investigar un metodo alternativo, que esta basado
en el determinante de Stackel que es construido a partir de los factores de escala de cada
sistema coordenado.
Esta tecnica es poco conocida, sin embargo, ofrece una buena alternativa y sobre todo
sistematizada para obtener las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se separa la
ecuacion de Helmholtz
Este determinante es aplicado a los once sistemas coordenados. Es importante
mencionar que las coordenadas paraboloidales y elipsoidales no es posible separar la ecuacion
63
64 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
de Helmholtz de una manera clara, situacion que no se presenta con el uso del determinante
de Stackel [11].
Este metodo alternativo nos permitio corroborar lo correcto de las ecuaciones obtenidas
por el metodo comun en los once sistemas de coordenadas.
4.2. Separacion de variables
La tecnica comunmente utilizada para encontrar la solucion de la ecuacion tridimen-
sional de Helmholtz, es “Separacion de variables”, esto es, la ecuacion diferencial parcial
con n independientes variables es separada en n ecuaciones diferenciales ordinarias. Cada
separacion introduce una constante, denominada constante de separacion, de esta manera,
si tenemos n variables, podrıamos introducir n− 1 constantes [14, 11].
El tradicional proceso de separacion de variables, consiste en proponer que la solucion
es una funcion de las tres variables independientes, como el producto de tres funciones, una
funcion para cada variable. Esta propuesta de solucion es sustituida dentro de la ecuacion
diferencial, se llevan a cabo las derivadas, y posteriormente se divide toda la ecuacion entre
la solucion propuesta.
Mas tarde, se busca a traves de operaciones algebraicas, que de un lado de la igualdad
se pueda tener una parte de la ecuacion que solo contenga una de las variables y en el otro
lado los terminos con el resto de las variables.
Una vez que tenemos lo anterior, ambos lados de la ecuacion son independientes, y
posteriormente podemos proponer que son iguales a una constante, denominada constante
de separacion, de esta manera, tenemos que repetir el proceso de separacion con el lado
de la ecuacion que contiene las dos variables restantes, y ası obtenemos las tres ecuaciones
diferenciales ordinarias. Este proceso se repite para los once sistemas de coordenadas.
En la siguiente seccion realizaremos la separacion de variables para los once sistemas
de coordenadas, pero debido a que el procedimiento es estandar para todos los sistemas de
coordenadas, podemos reducir el proceso al mınimo.
4.2.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z)
Iniciando con la ecuacion de Helmholtz en coordenadas rectangulares
∂2E
∂x2+∂2E
∂y2+∂2E
∂z2+ k2E = 0, (4.1)
proponemos la solucion de la forma
E(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). (4.2)
4.2. Separacion de variables 65
Ahora sustituimos en la ecuacion y realizando las derivadas, tenemos
∂2X(x)Y (y)Z(z)
∂x2+∂2X(x)Y (y)Z(z)
∂y2+∂2X(x)Y (y)Z(z)
∂z2+ k2X(x)Y (y)Z(z) =0, (4.3)
Y Zd2X
dx2+XZ
d2Y
dy2+XY
d2Z
dz2+ k2XY Z =0. (4.4)
Ahora dividiendo entre XY Z y organizando
1
X
d2X
dx2+
1
Y
d2Y
dy2+
1
Z
d2Z
dz2+ k2 = 0, (4.5)
1
X
d2X
dx2= −k2 − 1
Y
d2Y
dy2− 1
Z
d2Z
dz2. (4.6)
Ahora, como el primer termino es independiente de y y z. Y x, y, y z son todas
coordenadas independientes. Por lo tanto la primera y segunda expresion pueden ser iguales
a una constante independiente de x, y o z. Esta es llamada constante de separacion. Por lo
tanto serıa
1
X
d2X
dx2=− k2
x, (4.7)
−k2 − 1
Y
d2Y
dy2− 1
Z
d2Z
dz2=− k2
x. (4.8)
Para esta ultima ecuacion podemos acomodarla como sigue
1
Y
d2Y
dy2= −k2 + k2
x −1
Z
d2Z
dz2. (4.9)
Aplicando la misma consideracion de independencia entra las variables en ambos lados
de la ecuacion, igualamos a una constante −k2y y obtenemos
1
Y
d2Y
dy2=− k2
y, (4.10)
1
Z
d2Z
dz2=− k2 + k2
x = −k2z . (4.11)
Proponemos que las constantes k2 = k2x + k2
y + k2z para producir simetrıa en el conjunto
de ecuaciones. Finalmente obtenemos las tres ecuaciones diferenciales ordinarias
66 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
d2X
dx2+ k2
xX = 0,
d2Y
dy2+ k2
xY = 0,
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0.
(4.12)
4.2.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z)
La ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas circulares es
1
ρ
∂
∂ρ(ρ∂E
∂ρ) +
1
ρ2
∂2E
∂ϕ2+∂2E
∂z2+ k2E = 0. (4.13)
para resolver esta ecuacion, proponemos la solucion de la forma E(ρ, θ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z),
sustituyendo dentro de (4.13), tenemos
ΦZ
ρ
d
dρ(ρdR
dρ) +
RZ
ρ2
d2Φ
dϕ2+RΦ
d2Z
dz2+ k2RΦZ = 0. (4.14)
Dividiendo por RΦZ, y moviendo el diferencial con respecto a z al lado derecho
1
ρR
d
dρ(ρdR
dρ) +
1
Φρ2
d2Φ
dϕ2+ k2 = − 1
Z
d2Z
dz2. (4.15)
La funcion de z en el lado derecho de la ecuacion es independiente de la funcion de ρ and
ϕ en el lado izquierdo. Nosotros resolvemos esto para cada lado de la ecuacion e igualamos
a una constante, seleccionamos k2z y obtenemos las siguientes ecuaciones.
1
Z
d2Z
dz2= −k2
z (4.16)
1
ρR
d
dρ(ρdR
dρ)+
1
Φρ2
d2Φ
dψ2+ k2 = k2
z . (4.17)
para la ultima ecuacion, si k2t = k2 − k2
z , multiplicando por ρ2, y reordenando los
terminos, tenemosρ
R
d
dρ(ρdR
dρ) + k2
t ρ2 = − 1
Φ
d2Φ
dϕ2. (4.18)
4.2. Separacion de variables 67
De nueva cuenta, el termino de la derecha es independiente de ρ, y de esta manera podemos
igualar a la constante n2, tenemos
d2Φ
dϕ2= −n2Φ (4.19)
ρ
R
d
dρ(ρdR
dρ) + k2
t ρ2 = n2. (4.20)
Ordenando la ultima ecuacion
ρd
dρ(ρdR
dρ) = −(k2
t ρ2 − n2)R (4.21)
ρd
dρ(ρdR
dρ) + (k2
zρ2 − n2)R = 0. (4.22)
Haciendo la derivada, obtenemos la ecuacion
ρ2d2R
dρ2+ ρ
dR
dρ+ (k2
t ρ2 − n2)R = 0, (4.23)
Esta es la ecuacion de Bessel.
Finalmente obtenemos el conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias
ρ2d2R
dρ2+ ρ
dR
dρ+ (k2
t ρ2 − n2)R = 0,
d2Φ
dϕ2+ n2Φ = 0,
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0.
(4.24)
. La solucion general de la ecuacion tridimensional de Helmholtz es una combinacion lineal
del conjunto de soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
4.2.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z)
La ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas elıpticas es
1
d2(cosh2 ξ − cos2 η)
(∂2E
∂ξ2+∂2E
∂η2
)+∂2E
∂z2+ k2E = 0. (4.25)
68 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
Proponemos E(ξ, η, z) = R(ξ)Φ(η)Z(z). Substituyendo y derivando obtenemos
1
d2(sinh2 ξ + sin2 η)(ΦZ
d2R
dξ2+RZ
d2Φ
dξ2) +RΦ
d2Z
dz2+ k2ψ = 0, (4.26)
ahora dividimos entre RΦZ y acomodando, la ecuacion se convierte en
1
d2(sinh2 ξ + sin2 η)(
1
R
d2R
dξ2+
1
Φ
d2Φ
dη2) + k2 = − 1
Z
d2Z
dz2. (4.27)
Como en la ecuacion diferencial el lado derecho de la igualdad no depende de las
variables η and ξ podemos igualar a la constante k2z . Las ecuaciones resultante son
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0, (4.28)
1
d2(sinh2 ξ + sin2 η)(
1
R
d2R
dξ2+
1
Φ
d2Φ
dη2) + k2 − k2
z = 0. (4.29)
Ahora aplicamos las siguientes identidades trigonometricas sinh2 η = 12(cosh 2η − 1) y
sin2 ξ = 12(1− cos 2ξ) ası como la igualdad sin2 ξ = 1
2(1− cos 2ξ). Ademas el vector de onda
esta compuesto por una parte longitudinal y una transversal por lo tanto podemos proponer
la igualdad k2t = k2 − k2
z . Sustituyendo estas identidades tenemos
2
d2(cosh 2ξ − cos 2η)(
1
R
d2R
dξ2+
1
Φ
d2Φ
dη2) + k2
t =0,
1
R
d2R
dξ2+
1
Φ
d2Φ
dη2=−k2
t d2
2(cosh 2ξ − cos 2η),
1
R
d2R
dξ2+k2t d
2
2cosh 2ξ =− 1
Φ
d2Φ
dη2+k2t d
2
2cos 2η.
(4.30)
los terminos ahora son independientes cada uno, por lo tanto podemos igualar a una
constante an, despues hacemos de la siguiente manera
1
R
d2R
dξ2+k2t d
2
2cosh 2ξ = − 1
Φ
d2Φ
dη2+k2t d
2
2cos 2η = an. (4.31)
Despues de separar las siguiente ecuaciones
1
R
d2R
dξ2=an −
k2t d
2
2cosh 2ξ (4.32)
− 1
Φ
d2Φ
dη2=an −
k2t d
2
2cos 2η, (4.33)
4.2. Separacion de variables 69
igualamos ambas ecuaciones a cero
d2R
dξ2− (an −
k2t d
2
2cosh 2ξ)R =0, (4.34)
d2Φ
dη2+ (an −
k2t d
2
2cos 2η)Φ =0. (4.35)
Estas ecuaciones son conocidas como ecuacion de Mathieu Radial y Angular
respectivamente.
Finalmente tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias
d2R
dξ2− (an −
k2t d
2
2cosh 2ξ)R = 0,
d2Φ
dη2+ (an −
k2t d
2
2cos 2η)Φ = 0,
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0.
(4.36)
4.2.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z)
La ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas parabolicas es
1
µ2 + ν2
(∂2E
∂µ2+∂2E
∂ν2
)+∂2E
∂z2+ k2E = 0. (4.37)
Proponemos E(µ, ν, z) = R(µ)Φ(ν)Z(z). Sustituyendo y desarrollando las derivadas
obtenemos
1
µ2 + ν2(ΦZ
d2R
dµ2+RZ
d2Φ
dν2) +RΦ
d2Z
dz2+ k2RΦZ = 0. (4.38)
Dividimos entre RΦZ. Adicionalmente, pasamos el diferencial respecto de z al lado
derecho de la igualdad, siendo esto
1
µ2 + ν2(
1
R
d2R
dµ2+
1
Φ
d2Φ
dν2) + k2 = − 1
Z
d2Z
dz2. (4.39)
El termino con la variable z es independiente de las otras variables, entonces podemos
igualar a una constante de separacion k2z , y tenemos las siguientes ecuaciones
70 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
1
Z
d2Z
dz2= −k2
z , (4.40)
1
µ2 + ν2(
1
R
d2R
dµ2+
1
Φ
d2Φ
dν2) + k2 = k2
z , (4.41)
ahora trabajamos con la ultima ecuacion, considerando k2t = k2 − k2
z ,
1
R
d2R
dµ2+
1
Φ
d2Φ
dν2= −k2
t (µ2 + ν2), (4.42)
1
R
d2R
dµ2+ k2
tµ2 = − 1
Φ
d2Φ
dν2− k2
t ν2. (4.43)
los terminos de la derecha y de la izquierda son independiente, podemos igualar a la
constante kta, la constante a es adimensional y el numero de onda kt tiene unidades 1/m, al
sustituir estas constantes aseguramos la congruencia en las unidades entre todos los terminos
de las ecuaciones, algunos autores no consideran las unidades fısicas al momento de proponer
las constantes de separacion [13]. Obtenemos las siguientes ecuaciones
1
R
d2R
dµ2+ k2
tµ2 = kta, (4.44)
− 1
Φ
d2Φ
dν2− k2
t ν2 = kta, (4.45)
ambas ecuaciones las igualamos a cero, tenemos
d2R
dµ2+ (k2
tµ2 − kta)R = 0, (4.46)
d2Φ
dν2+ (k2
t ν2 + kta)Φ = 0. (4.47)
Finalmente tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias
d2R
dµ2+ (k2
tµ2 − kta)R = 0,
d2Φ
dν2+ (k2
t ν2 + kta)Φ = 0,
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0.
(4.48)
4.2. Separacion de variables 71
4.2.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ)
La ecuacion de Helmholtz en coordenadas esfericas es
1
r2
∂
∂r
(r2∂E
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂
(sin θ
∂E
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2E
∂ϕ2+ k2E = 0, (4.49)
a fin de aplicar separacion de variables sugerimos la solucion E(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),
sustituimos en la ecuacion anterior y desarrollando las derivadas, resulta
1
r2
[ΘΦ
d
dr
(r2dR
dr
)+
1
r2 sin θRΦ
d
d
(sin θ
dΘ
dθ
)+RΘ
1
r2 sin2 θ
d2Φ
dϕ2
]+ k2RΘΦ = 0, (4.50)
ahora dividimos entre RΘΦ y expandimos la ecuacion
1
r2R
d
dr
(r2dR
dr
)+
1
r2Θ sin θ
d
d
(sin θ
dΘ
dθ
)+
1
r2Φ sin2 θ
d2Φ
dϕ+ k2 = 0, (4.51)
despues multiplicamos por r2 sin2 θ para obtener
r2 sin2 θ
[1
r2R
d
dr
(r2dR
dr
)+
1
r2Θ sin θ
d
d
(sin θ
dΘ
dθ
)+ k2
]= − 1
Φ
d2Φ
dϕ. (4.52)
Como el diferencial de la derecha no depende de r o θ, podemos igualar a la constante
m2, luego tomando el lado derecho de la igualdad, tenemos
d2Φ
dϕ= −m2Φ, (4.53)
para el lado izquierdo de la igualdad nos queda
1
r2R
d
dr
(r2dR
dr
)+
1
r2Θ sin θ
d
d
(sin θ
dΘ
dθ
)+ k2 =
m2
r2 sin2 θ, (4.54)
multiplicando por r2 y ordenando
1
R
d
dr
(r2dR
dr
)+ k2r2 = − 1
sin θΘ
d
d
(sin θ
dΘ
dθ
)+
m2
sin2 θ. (4.55)
Las variables estan separadas ahora e igualamos a las constante n(n + 1). De el lado
derecho de esta igualdad tenemos
− 1
sin θΘ
d
d
(sin θ
dΘ
dθ
)+
m2
sin2 θ=n(n+ 1),
1
sin θ
d
d
(sin θ
dΘ
dθ
)− m2
sin2 θΘ + n(n+ 1)Θ =0.
(4.56)
72 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
Esta ecuacion diferencial ordinaria es la ecuacion asociada de Legendre
Tomando el lado izquierdo de la ecuacion (4.55)
1
R
d
dr
(r2dR
dr
)+ k2r2 =n(n+ 1),
d
dr
(r2dR
dr
)=n(n+ 1)R− k2r2R,
d
dr
(r2dR
dr
)=r2(
n(n+ 1)R
r2− k2R),
d
dr
(r2dR
dr
)+(k2r2 − n(n+ 1)
)R =0.
(4.57)
Esta ecuacion es conocida como ecuacion de Bessel esferica
Entonces tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias
d
dr
(r2dR
dr
)+[k2r2 − n(n+ 1)
]R = 0,
1
sin θ
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
)− m2
sin2 θΘ + n(n+ 1)Θ = 0,
d2Φ
dϕ+m2Φ = 0.
(4.58)
4.2.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ)
La forma algebraica de la ecuacion de Helmholtz para las coordenadas esferoidales
prolatas es
∂
∂ξ
[(ξ2 − 1
) ∂E∂ξ
]+
∂
∂η
[(1− η2
) ∂E∂η
]+
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)
∂2E
∂ϕ2+ k2d2(ξ2 − η2)E = 0.
(4.59)
Para resolver la ecuacion diferencial, proponemos una solucion de la forma E(ξ, η, ϕ) =
R(ξ)Θ(η)Φ(ϕ) que al reemplazar en la ecuacion anterior, encontramos
ΘΦd
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]+
RΦd
dη
[(1− η2
) ddη
Θ
]+
RΘ(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)
d2Φ
dϕ2+ k2d2(ξ2 − η2)RΘΦ = 0. (4.60)
4.2. Separacion de variables 73
Ahora dividimos entre RΘΦ, tenemos
1
R
d
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]+
1
Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+
1
Φ
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)
d2Φ
dϕ2+k2d2(ξ2− η2) = 0,
(4.61)
multiplicamos por (ξ2−1)(1−η2)(ξ2−η2)
y acomodando nos resulta
(ξ2 − 1)(1− η2)
(ξ2 − η2)R
d
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]+
(ξ2 − 1)(1− η2)
(ξ2 − η2)Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+ k2d2(ξ2 − 1)(1− η2) = − 1
Φ
d2
dϕ2Φ. (4.62)
Nuevamente el termino de el lado derecho de la igualdad depende solo de ϕ, ası que
podemos igualar a la constante m2 y obtenemos
− 1
Φ
d2
dϕ2Φ = m2,
d2
dϕ2Φ +m2Φ = 0.
(4.63)
Para el lado izquierdo de la igualdad tenemos
(ξ2 − 1)(1− η2)
(ξ2 − η2)R
d
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]+
(ξ2 − 1)(1− η2)
(ξ2 − η2)Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+ k2d2(ξ2 − 1)(1− η2) = m2. (4.64)
Para separar multiplicamos por (ξ2−η2)(ξ2−1)(1−η2)
y organizando resulta
1
R
d
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]+
1
Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+ k2d2(ξ2 − η2) =
m2(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2). (4.65)
El termino de la derecha es
m2(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)=
m2
(1− η2)+
m2
(ξ2 − 1). (4.66)
Acomodando la ecuacion (4.65) tenemos
74 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
1
R
d
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]+ k2d2ξ2 − m2
(ξ2 − 1)= − 1
Θ
d
dη
[(1− η2
) ddη
Θ
]+
m2
(1− η2)+ k2d2η2.
(4.67)
Ahora las variables estan separadas, entonces podemos igualar a la constante an,m, para
el termino de la izquierda tenemos
1
R
d
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]+ k2d2ξ2 − m2
(ξ2 − 1)= an,m,
1
R
d
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]= an,m − k2d2ξ2 +
m2
(ξ2 − 1),
d
dξ
[(ξ2 − 1
) dRdξ
]−(an,m − k2d2ξ2 +
m2
(ξ2 − 1)
)R = 0.
(4.68)
Y para el termino de la derecha de la ecuacion (4.67)
− 1
Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+
m2
(1− η2)+ k2d2η2 = an,m,
1
Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]= −an,m + c2η2 +
m2
(1− η2),
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+
(an,m − k2d2η2 − m2
(1− η2)
)Θ = 0.
(4.69)
Finalmente realizamos las derivadas y de esta manera tenemos el conjunto de ecuaciones
diferenciales ordinarias
(ξ2 − 1)d2R
dξ2+ 2ξ
dR
dξ−(an,m − k2d2ξ2 +
m2
(ξ2 − 1)
)R = 0,
(1− η2)d2Θ
dη2− 2η
dΘ
dη+
(an,m − k2d2η2 − m2
(1− η2)
)Θ = 0,
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0.
(4.70)
4.2. Separacion de variables 75
4.2.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ)
La forma algebraica de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales oblatas es
∂
∂ξ
[(ξ2 + 1
) ∂E∂ξ
]+
∂
∂η
[(1− η2
) ∂E∂η
]+
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)
∂2E
∂ϕ2+ k2d2(ξ2 + η2)E = 0.
(4.71)
Para separar la ecuacion diferencial proponemos una solucion de la forma E(ξ, η, ϕ) =
R(ξ)Θ(η)Φ(ϕ), que al sustituirla en la ecuacion anterior obtenemos
ΘΦd
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]+
RΦd
dη
[(1− η2
) ddη
Θ
]+
RΘ(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)
d2Φ
dϕ2+ k2d2(ξ2 + η2)RΘΦ = 0. (4.72)
Ahora dividimos entre RΘΦ
1
R
d
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]+
1
Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+
1
Φ
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)
d2Φ
dϕ2+ k2d2(ξ2 + η2) = 0.
(4.73)
multiplicamos por (ξ2+1)(1−η2)(ξ2+η2)
, esto da
(ξ2 + 1)(1− η2)
(ξ2 + η2)R
d
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]+
(ξ2 + 1)(1− η2)
(ξ2 + η2)Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+ k2d2(ξ2 + 1)(1− η2) = − 1
Φ
d2
dϕ2Φ, (4.74)
ahora el termino del lado derecho de la igualdad depende solo de ϕ, podemos igualar a
la constante m2 y resulta
− 1
Φ
d2
dϕ2Φ = m2,
d2
dϕ2Φ +m2Φ = 0.
(4.75)
Para los terminos del lado izquierdo de la igualdad, tenemos
(ξ2 + 1)(1− η2)
(ξ2 + η2)R
d
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]+
(ξ2 + 1)(1− η2)
(ξ2 + η2)Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+ k2d2(ξ2 + 1)(1− η2) = m2. (4.76)
76 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
Para separar multiplicamos por (ξ2+η2)(ξ2+1)(1−η2)
y ordenando
1
R
d
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]+
1
Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+ k2d2(ξ2 + η2) =
m2(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2). (4.77)
Para el termino de la derecha resulta
m2(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)=
m2
(1− η2)− m2
(ξ2 + 1). (4.78)
Ordenando la ecuacion (4.77) tenemos
1
R
d
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]+ k2d2ξ2 +
m2
(ξ2 + 1)= − 1
Θ
d
dη
[(1− η2
) ddηS
]+
m2
(1− η2)− c2η2.
(4.79)
Las variables estan separadas, por lo tanto, podemos igualar a la constante an,m, para
el termino del lado izquierdo de la igualdad resulta
1
R
d
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]+ k2d2ξ2 +
m2
(ξ2 − 1)= an,m,
1
R
d
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]= an,m − k2d2ξ2 − m2
(ξ2 − 1),
d
dξ
[(ξ2 + 1
) dRdξ
]−(an,m − k2d2ξ2 − m2
(ξ2 + 1)
)R = 0.
(4.80)
Y para los terminos de la derecha
− 1
Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+
m2
(1− η2)− k2d2η2 = an,m
1
Θ
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]= −an,m − k2d2η2 +
m2
(1− η2),
d
dη
[(1− η2
) dΘ
dη
]+
(an,m + k2d2η2 − m2
(1− η2)
)Θ = 0.
(4.81)
Finalmente realizamos la derivadas para obtener el conjunto de ecuaciones diferenciales
ordinarias:
(ξ2 + 1)d2R
dξ2+ 2ξ
dR
dξ−(an,m − k2d2ξ2 − m2
(ξ2 − 1)
)R = 0,
(1− η2)d2Θ
dη2− 2η
dΘ
dη+
(an,m + k2d2η2 − m2
(1− η2)
)Θ = 0,
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0.
(4.82)
4.2. Separacion de variables 77
4.2.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ)
La ecuacion de Helmholtz en coordenadas parabolicas es
1
µ(µ2 + ν2)
∂
∂µ
(µ∂E
∂µ
)+
1
ν(µ2 + ν2)
∂
∂ν
(ν∂E
∂ν
)+
1
µ2ν2
∂2E
∂ϕ2+ k2E = 0. (4.83)
Proponemos una solucion de la forma E(µ, ν, ϕ) = M(µ)V (ν)Φ(ϕ), que al sustituirla
en la ecuacion (4.83) y realizando las derivadas nos resulta
V Φ
µ(µ2 + ν2)
d
dµ(µdM
dµ) +
MΦ
ν(µ2 + ν2)
d
dν(νdV
dν) +
MV
µ2ν2
d2Φ
dϕ2+ k2MV Φ = 0. (4.84)
Dividimos por MV Φ y al mismo tiempo multiplicamos por µ2ν2 para obtener
µν2
M(µ2 + ν2)
d
dµ(µdM
dµ) +
µ2ν
V (µ2 + ν2)
d
dν(νdV
dν) + k2(µ2ν2) = − 1
Φ
d2Φ
dϕ2. (4.85)
Ahora el termino del lado derecho es independiente de µ y ν, por lo tanto podemos
igualar a la constante m2
− 1
Φ
d2
dϕ2Φ = m2,
d2
dϕ2Φ +m2Φ = 0.
(4.86)
El termino del lado izquierdo de la ecuacion (4.85) tenemos
µν2
M(µ2 + ν2)
d
dµ(µdM
dµ) +
µ2ν
V (µ2 + ν2)
d
dν(νdV
dν) + k2(µ2ν2) = m2. (4.87)
A fin de separar las variables en esta ecuacion, multiplicamos por µ2+ν2
µ2ν2
1
Mµ
d
dµ(µdM
dµ) +
1
V ν
d
dν(νdV
dν) + k2(µ2 + ν2) =
m2(µ2 + ν2)
µ2ν2, (4.88)
organizando
1
Mµ
d
dµ(µdM
dµ) + k2µ2 − m2
µ2= − 1
V ν
d
dν(νdV
dν) +
m2
ν2− kν2. (4.89)
Las variables estan separadas y podemos ahora igualar a la constante kq2, donde q
es adimensional y k es el numero de onda y esta dado en unidades de longitud−1, esto
nos permite obtener congruencia en todos los terminos de la ecuacion, a pesar de que
78 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
matematicamente no es una restriccion, fısicamente es necesario tener esta congruencia entre
los terminos
− 1
V ν
d
dν(νdV
dν) +
m2
ν2− k2ν2 = kq2,
1
ν
d
dν(νdV
dν) = −(kν2 + kq2 − m2
ν2)V
1
ν
d
dν(νdV
dν) + (k2ν2 + kq2 − m2
ν2)V = 0,
d2V
dν2+
1
ν
dV
dν+ (k2ν2 + kq2 − m2
ν2)V = 0.
(4.90)
Y del lado izquierdo
1
Mµ
d
dµ(µdM
dµ) + k2µ2 − m2
µ2= kq2,
1
µ
d
dµ(µdM
dµ) = −(k2µ2 − kq2 − m2
µ2)M,
1
µ
d
dµ(µdM
dµ) + (k2µ2 − kq2 − m2
µ2)M = 0,
dM
dµ2+
1
µ
dM
dµ+ (k2µ2 − kq2 − m2
µ2)M = 0.
(4.91)
Finalmente tenemos el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.
d2M
dµ2+
1
µ
dM
dµ+ (k2µ2 − kq2 − m2
µ2)M = 0,
d2V
dν2+
1
ν
dV
dν+ (k2ν2 + kq2 − m2
ν2)V = 0,
d2
dϕ2Φ +m2Φ = 0.
(4.92)
4.2.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe)
La ecuacion de Helmholtz en coordenadas conicas es
1
r2
∂
∂r
(r2∂E
∂r
)+
f(θe)
r2(θ2e − ϕ2
e)
∂
∂θe
(f(θe)
∂E
∂θe
)+
f(ϕe)
r2(θ2e − ϕ2
e)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+k2E = 0.
(4.93)
4.2. Separacion de variables 79
Donde
f(θe) =√
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e),
f(ϕe) =√
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e).
(4.94)
Para separar esta ecuacion proponemos una solucion E(r, θe, ϕe) = R(r)Θ(θe)Φ(ϕe),
desarrollando las derivadas, resulta
ΘΦ
r2
d
dr
(r2dR
dr
)+
RΦf(θe)
r2(θ2e − ϕ2
e)
d
dθe
(f(θe)
dΘ
dθe
)RΘf(ϕe)
r2(θ2e − ϕ2
e)
d
dϕ
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)+ k2RΘΦ = 0. (4.95)
Dividimos entre RΘΦ. Despues de los terminos con las variables diferentes de r los
pasamos al otro lado de la igualdad y multiplicando todo por r2 resulta
k2r2 +1
R
d
dr
(r2dR
dr
)= − f(θe)
Θ(θ2e − ϕ2
e)
d
dθe
(f(θe)
dΘ
dθe
)− f(ϕe)
Φ(θ2e − ϕ2
e)
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
).
(4.96)
Notemos que los terminos en el lado izquierdo de la igualdad son independientes de las
variables θe and ϕe, por lo tanto, podemos igualar a la constante n(n+ 1), el resultado es:
1
R
d
dr
(r2dR
dr
)+ k2r2 = n(n+ 1),
d
dr
(r2dR
dr
)= −
(k2r2 − n(n+ 1)
)R,
r2d2R
dr2+ 2r
dR
dr+(k2r2 − n(n+ 1)
)R = 0.
(4.97)
Esta es la ecuacion de Bessel esferica. Por otra parte, para el lado derecho de la ecuacion
(4.96) tenemos
− f(θe)
Θ(θ2e − ϕ2
e)
d
dθe
(f(θe)
dΘ
dθe
)− f(ϕe)
Φ(θ2e − ϕ2
e)
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)= n(n+ 1), (4.98)
multiplicamos esta ecuacion por (θ2e − ϕ2
e) y organizando
− f(θe)
Θ
d
dθe
(f(θe)
dΘ
dθe
)− n(n+ 1)θ2
e =f(ϕe)
Φ
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)− n(n+ 1)ϕ2
e. (4.99)
Las variables estas separadas, por lo tanto podemos igualar a la constante q(b2 + c2).
Para los terminos del lado izquierdo de la ecuacion y al multiplicarla por −1 los resultados
80 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
son
f(θe)
Θ
d
dθe
(f(θe)
dΘ
dθe
)+ n(n+ 1)θ2
e = −q(b2 + c2),
f(θe)d
dθe
(f(θe)
dΘ
dθe
)= −
[q(b2 + c2) + n(n+ 1)θ2
e
]Θ,
f(θe)d
dθe
(f(θe)
dΘ
dθe
)+[q(b2 + c2) + n(n+ 1)θ2
e
]Θ = 0,
(4.100)
y para el otro lado de la igualdad
f(ϕe)
Φ
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)− n(n+ 1)ϕ2
e = q(b2 + c2),
f(ϕe)d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)=[q(b2 + c2) + n(n+ 1)ϕ2
e
]Φ,
f(ϕe)d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)−[q(b2 + c2) + n(n+ 1)ϕ2
e
]Φ = 0.
(4.101)
Estas dos ecuaciones diferenciales tienen como solucion las funciones especiales Lame.
Eventualmente sustituimos las funciones f(θe) y f(ϕe), y derivando tenemos el conjunto
de ecuaciones diferenciales ordinarias para el sistema de coordenadas conicas
r2d2R
dr2+ 2r
dR
dr+[n(n+ 1) + k2r2
]R = 0,
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)d2Θ
dθ2e
− θe(2θ2e − (b2 + c2)
dΘ
dθe+[q(b2 + c2) + n(n+ 1)θ2
e
]Θ = 0,
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)d2Φ
dϕ2e
+ ϕe(2ϕ2e − (b2 + c2)
dΦ
dϕe−[q(b2 + c2) + n(n+ 1)ϕ2
e
]Φ = 0.
(4.102)
4.2.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe)
La ecuacion de Helmholtz en coordenadas paraboloidales es
4.2. Separacion de variables 81
f(µe)
(µe − νe)(µe − ϕe)∂
∂µe
(f(µe)
∂E
∂µe
)+
f(νe)
(µe − νe)(ϕe − νe)∂
∂νe
(f(νe)
∂E
∂νe
)+
f(ϕe)
(µe − ϕe)(ϕe − νe)∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+ k2E = 0. (4.103)
Donde
f(µe) =√
(µe − c)(µe − b),
f(νe) =√
(c− νe)(b− νe),
f(ϕe) =√
(c− ϕe)(ϕe − b).
(4.104)
Ahora multiplicando la ecuacion por (µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe), resulta
(ϕe − νe)f(µe)∂
∂µe
(f(µe)
∂E
∂µe
)+ (µe − ϕe)f(νe)
∂
∂νe
(f(νe)
∂E
∂νe
)+ (µe − νe)f(ϕe)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+ k2(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)E = 0. (4.105)
Para separar la ecuacion proponemos una solucion de la forma E = M(µe)V (νe)Φ(ϕe).
Sustituyendo en la ecuacion anterior y desarrollando las derivadas, tenemos
(ϕe − νe)f(µe)V Φd
dµe
(f(µe)
dM
dµe
)+ (µe − ϕe)f(νe)MΦ
d
dνe
(f(νe)
dV
dνe
)+ (µe − νe)f(ϕe)MV
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)+ k2(µe − νe)(µ− ϕe)(ϕe − νe)MV Φ = 0. (4.106)
Dividiendo entre MV Φ, resulta
(ϕe − νe)f(µe)
M
d
dµe
(f(µe)
dM
dµe
)+ (µe − ϕe)
f(νe)
V
d
dνe
(f(νe)
dV
dνe
)+ (µe − νe)
f(ϕe)
Φ
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)+ k2(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe) = 0. (4.107)
Es complicado realizar la separacion por metodos usuales. Sin embargo, podemos
82 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
proponer las siguientes igualdades [57]
f(µe)
M
d
dµe
(f(µe)
dM
dµe
)=[α0 − α1µe − k2µ2
e
],
f(νe)
V
d
dνe
(f(νe)
dV
dνe
)=[α0 − α1νe − k2ν2
e
],
f(ϕe)
Φ
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)=[−α0 + α1ϕe + k2ϕ2
e
].
(4.108)
Para verificar la igualdad, sustituimos los terminos con los diferenciales por las
igualdades propuestas en la ecuacion 4.107
(ϕe − νe)[α0 − α1µe − k2µ2
e
]+ (µe − ϕe)
[α0 − α1νe − k2ν2
e
]+ (µe − νe)
[−α0 + α1ϕe + k2ϕ2
e
]+ k2(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe) = 0, (4.109)
primero, la suma de los terminos con α0 resulta cero, y estos no afectan los terminos
que contienen k2
(ϕe − νe)α0 + (µe − ϕe)α0 + (µe − νe)(−α0) = 0,
ϕeα0 − νeα0 + µeα0 − ϕeα0 − µeα0 + νeα0 = 0.(4.110)
Para los terminos con α1 nos resulta cero tambien, y de igual manera no afecta los
terminos con k2
(ϕe − νe)(−α1µe) + (µe − ϕe)(−α1νe) + (µe − νe)(α1ϕe) = 0,
−ϕeµeα1 + νeµeα1 − µeνeα1 + ϕνeα1 + µeϕeα1 − νeϕeα1 = 0,(4.111)
por lo tanto la ecuacion se reduce a
−(ϕe−νe)(k2µ2e)−(µe−ϕe)(k2ν2
e )+(µe−νe)(k2ϕ2e)+k
2(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe) = 0, (4.112)
trabajando con el ultimo termino de esta ecuacion
k2(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe) = k2[(µ2e − µeϕe − νeµe + νeϕe)(ϕe − νe)],
= k2[µ2eϕe − µeϕ2
e − νeµeϕe + νeϕ2e − µ2
eνe + µeϕeνe + ν2eµe + ν2
eϕe)],
= k2[µ2eϕe − µ2
eνe + νeϕ2e − µeϕ2
e + ν2eµe + ν2
eϕe],
= k2[µ2e(ϕe − νe) + ν2
e (µe + ϕe)− ϕ2e(µe − νe)],
= k2µ2e(ϕe − νe) + k2ν2
e (µe + ϕe)− k2ϕ2e(µe − νe).
(4.113)
4.2. Separacion de variables 83
Ası, vemos que es igual y opuesta a los tres primeros terminos, por lo tanto se cumple
la igualdad. Entonces las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se separa la ecuacion
de Helmholtz en coordenadas paraboloidales son
f(µe)d
dµe
(f(µe)
dM
dµe
)+ (k2µ2
e + α1µe − α0)M = 0,
f(νe)d
dνe
(f(νe)
dV
dνe
)+ (k2ν2
e + α1νe − α0)V = 0,
f(ϕe)d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)− (k2ϕ2
e − α1ϕe + α0)Φ = 0.
(4.114)
Ahora hacemos α0 = sk(b+ c) y α1 = kp, donde k es el numero de onda, y esta dada en
metros−1, al ser k parte de estas constantes, tenemos consistencia en las unidades de cada
termino de las tres ecuaciones. Finalmente reemplazamos f(µe), f(νe) y f(ϕe) y haciendo
las derivadas, el conjunto de ecuaciones es
(µe − c)(µe − b)d2M
dµ2e
+ [2µe − (b+ c)]dM
dµe+[k2µ2
e − sk(b+ c) + kpµe]M = 0,
(c− νe)(b− νe)d2V
dν2e
+ [2νe − (b+ c)]dV
dνe+[k2ν2
e − sk(b+ c) + kpνe]V = 0,
(c− ϕe)(ϕe − b)d2Φ
dϕ2e
− [2ϕe − (b+ c)]dΦ
dϕe−[k2ϕ2
e − sk(b+ c) + kpϕe]
Φ = 0.
(4.115)
4.2.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe)
La ecuacion de Helmholtz en coordenadas elipsoidales es
f(ξe)
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
∂
∂ξe
(f(ξe)
∂E
∂ξe
)+
f(ηe)
(ξ2e − η2
e)(η2e − ϕ2
e)
∂
∂ηe
(f(ηe)
∂E
∂ηe
)+
f(ϕe)
(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+ k2E = 0. (4.116)
Donde
f(ξe) = (ξ2e − b2)(ξ2
e − c2),
f(ηe) = (η2e − b2)(c2 − η2
e),
f(ϕe) = (b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e).
(4.117)
84 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
Primeramente, multiplicamos por (ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e), para obtener
(η2e − ϕ2
e)f(ξe)∂
∂ξe
(f(ξe)
∂E
∂ξe
)+ (ξ2
e − ϕ2e)f(ηe)
∂
∂ηe
(f(ηe)
∂E
∂ηe
)+ (ξ2
e − η2e)f(ϕe)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+ k2(ξ2
e − η2e)(ξ
2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)E = 0. (4.118)
Ahora proponemos que la solucion E = R(ξe)Θ(ηe)Φ(ϕe). Y sustituyendo en la ecuacion
de Helmholtz y realizando las derivadas tenemos
(η2e − ϕ2
e)ΘΦf(ξe)d
dξe
(f(ξe)
dR
dξe
)+ (ξ2
e − ϕ2e)RΦf(ηe)
d
dηe
(f(ηe)
dΘ
dηe
)+ (ξ2
e − η2e)RΘf(ϕe)
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)+ k2(ξ2
e − η2e)(ξ
2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)RΘΦ = 0. (4.119)
Dividimos entre RΘΦ, resultando
(η2e − ϕ2
e)f(ξe)
R
d
dξe
(f(ξe)
dR
dξe
)+ (ξ2
e − ϕ2e)f(ηe)
Θ
d
dη
(f(ηe)
dΘ
dηe
)+ (ξ2
e − η2e)f(ϕe)
Φ
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)+ k2(ξ2
e − η2e)(ξ
2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e) = 0. (4.120)
Tratar de separar los terminos que dependen de una sola variable, es decir, llevarlos a
uno de los lados de la igualdad realizando operaciones algebraicas, tal y como se realizo para
la mayorıa de los sistemas coordenados es muy complicado, lo que se hace es proponer [57]
f(ξe)
R
d
dξe
(f(ξe)
dR
dξe
)=− α0 − α2ξ
2e − k2ξ4
e ,
f(ηe)
Θ
d
dηe
(f(ηe)
dΘ
dηe
)=α0 + α2η
2e + k2η4
e ,
f(ϕe)
Φe
d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)=− α0 − α2ϕ
2e − k2ϕ4
e.
(4.121)
Para verificar la igualdad, sustituimos las identidades propuestas en la ecuacion 4.120
(η2e − ϕ2
e)(−α0 − α2ξ2e − k2ξ4
e ) + (ξ2e − ϕ2
e)(α0 + α2η2e + k2η4
e)
+ (ξ2e − η2
e)(−α0 − α2ϕ2e − k2ϕ4
e) + k2(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)(η2 − ϕ2) = 0, (4.122)
primero, para el termino con α0 resulta cero, y no afecta los terminos que contienen a
k2
(η2e − ϕ2
e)(−α0) + (ξ2e − ϕ2
e)(α0) + (ξ2e − η2
e)(−α0) = 0,
−α0η2e + α0ϕ
2e + α0ξ
2e − α0ϕ
2e − α0ξ
2e + α0η
2e = 0.
(4.123)
4.2. Separacion de variables 85
para los terminos con α2 tambien resulta cero, y tampoco afecta los terminos con k2
(η2e − ϕ2
e)(−α2ξ2e ) + (ξ2
e − ϕ2e)(α2η
2e) + (ξ2
e − η2e)(−α2ϕ
2e) = 0,
−α2η2eξ
2e + α2ϕ
2eξ
2e + α2ξ
2eη
2e − α2ϕ
2eη
2e − α2ϕ
2eξ
2e + α2ϕ
2eη
2e = 0,
(4.124)
por lo tanto la ecuacion se reduce
(η2e − ϕ2
e)(−k2ξ4e ) + (ξ2
e − ϕ2e)(k
2η4e)
+ (ξ2e − η2
e)(−k2ϕ4e) + k2(ξ2
e − η2e)(ξ
2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e) = 0, (4.125)
trabajando con el ultimo termino de esta ecuacion
k2(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e) = k2[(ξ4e − ξ2
eϕ2e − η2
eξ2e + η2
eϕ2e)(η
2e − ϕ2
e)],
= k2[ξ4eη
2e − η4
eξ2e + η4
eϕ2e − ξ4
eϕ2e + ξ2
eϕ4e − η2
eϕ4e],
= k2[ξ4eη
2e − ξ4
eϕ2e − η4
eξ2e + η4
eϕ2e + ϕ4
eξ2e − ϕ4
eη2e ],
= k2[ξ4e (η
2e − ϕ2
e)− η4e(ξ
2e − ϕ2
e) + ϕ4e(ξ
2e − η2
e)].
(4.126)
Ası, vemos que es igual y opuesta a los tres primeros terminos de la ecuacion 4.125, por
lo tanto se satisface la igualdad. De esta forma las ecuaciones diferenciales ordinarias en las
que la ecuacion de Helmholtz en coordenadas elipsoidales se separa son:
f(ξe)d
dξe
(f(ξe)
dR
dξe
)+ (k2ξ4
e + α2ξ2e + α0)R =0,
f(ηe)d
dηe
(f(ηe)
dΘ
dη
)− (k2η4
e + α2η2e + α0)Θ =0,
f(ϕe)d
dϕe
(f(ϕe)
dΦ
dϕe
)+ (k2ϕ4
e + α2ϕ2e + α0)Φ =0.
(4.127)
Ahora hacemos α0 = q(b2 + c2) y α2 = p(p+ 1). Finalmente reemplazamos f(ξe), f(ηe)
y f(ϕe) y derivamos, el conjunto de ecuaciones diferenciales es
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2)d2Re
dξ2e
+ ξe[2ξ2e − (b2 − c2)]
dR
dξe+ [k2ξ4
e + p(p+ 1)ξ2e + q(b2 + c2)]R = 0,
(η2e − b2)(c2 − η2
e)d2Θ
dη2e
− ηe[2η2e − (b2 + c2)]
dΘ
dη− [k2η4
e + p(p+ 1)η2e + q(b2 + c2)]Θ = 0,
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)d2Φ
dϕ2e
+ ϕe[2ϕ2e − (b2 − c2)]
dΦ
dϕe+ [k2ϕ4
e + p(p+ 1)ϕ2e + q(b2 + c2)]Φ = 0.
(4.128)
86 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
4.3. Determinante de Stackel
El metodo habitual de separacion de variables es difıcil de aplicar a las coordenadas
generales, por lo que en la busqueda de un metodo de solucion alternativo encontramos
el determinante de Stackel, que permite de una manera sistematizada separar la ecuacion
tridimensional de Helmholtz, para los once sistemas de coordenadas.
Lo que es mas, primero fue necesario llevar a cabo la separacion de variables para
todos los sistemas de coordenadas empleando el determinante de Stackel, y esto nos
permitio visualizar las identidades que tenemos que proponer para realizar la separacion
de variables en las coordenadas paraboloidales y elipsoidales, debido a que con operaciones
algebraicas para el despeje no es posible la separacion. Por lo tanto tenemos la separacion
de variables de la ecuacion de Helmholtz empleando los dos metodos.
En efecto, las condiciones de separabilidad de la ecuacion de Helmholtz, son basadas
en el trabajo de separabilidad de la ecuacion de Hamilton-Jacobi desarrollada por Stackel
y basada en la condicion de separabilidad de Robertson[2], es decir, la separabilidad de la
ecuacion de Helmholtz para los once sistemas de coordenadas se baso para ser demostrada y
desarrollada con el determinante de Stackel, pero el uso y presentacion de este determinante
fue disminuyendo, de tal manera, que hoy en dıa es poco conocido en la literatura actual de
la fısica matematica.
Para iniciar con la separacion de variables, hacemos uso de las propiedades de los
determinantes de tres filas. La relacion entre este determinante S y sus elementos Φm,n es
dado por la ecuacion [8]
S = |Φn,m| =
∣∣∣∣∣∣Φ1,1 Φ1,2 Φ1,3
Φ2,1 Φ2,2 Φ2,3
Φ3,1 Φ3,2 Φ3,3
∣∣∣∣∣∣ . (4.129)
El objetivo del determinante de Stackel, es encontrar todos los elementos de las
ecuaciones diferenciales ordinarias en las que es separable la ecuacion tridimensional de
Helmholtz, la cual tiene la siguiente forma
1
fn
∂
∂χn
[fn∂Xn
∂χn
]+ [α1Φn,1 + α2Φn,2 + α3Φn,3]Xn = 0. (4.130)
Para cada sistema de coordenadas, obtenemos las funciones y elementos que forman el
determinante de Stackel.
Iniciamos con los factores de escala y aplicamos la siguiente igualdad
h1h2h3/h2n = fn(χn)gn(χ). (4.131)
Esto es, el producto de la funcion fn de χn solo alguna funcion gn veces las otras χ’s
4.3. Determinante de Stackel 87
Con las funciones f , obtenemos el determinante S, con la siguiente ecuacion
S =f1(χ1)f2(χ2)f3(χ3)
h1h2h3
. (4.132)
Esta ecuacion junto con la ecuacion (4.131), integran la condicion de Robertson, la cual
unicamente la cumplen once sistemas de coordenadas para esta ecuacion[8].
Ahora podemos calcular los menores del determinante, ya que conocemos el determi-
nante S y los factores de escala hn.
Mn =S
h2n
. (4.133)
Despues, con la propiedad de ortogonalidad de los determinantes, usamos la siguiente
ecuacion para obtener los elementos del determinante, siempre teniendo en cuenta que φn1,
φn2 y φn3 deben ser funciones de χn unicamente.
para los elementos : Φ1,1, Φ2,1 y Φ3,1
M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S, (4.134)
para los elementos: Φ1,2, Φ2,2 and Φ3,2.
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0, (4.135)
y finalmente para los elementos: Φ1,3, Φ2,3 y Φ3,3.
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0. (4.136)
De esta manera, obtenemos todos los elementos de la matriz de Stackel
En este sentido, a continuacion presentamos un detallado ejemplo de la obtencion de
las funciones y elementos que permiten construir el determinante de Stackel para el caso de
las coordenadas Cilındricas Elıpticas y conicas. La obtencion de la matriz de Stackel para el
resto de sistemas coordenados se pueden consultar en el Apendice B
Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z)
Lo primero que se requiere es conocer los factores de escala, para este sistema son
hξ = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2,
hη = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2,
hz = 1
(4.137)
88 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
Despues encontramos las funciones f , para ello hacemos los siguientes calculos
hξhηhz = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2(1) = d2(cosh2 ξ − cos2 η). (4.138)
Lo reemplazamos, y conseguimos lo siguiente
hξhηhzh2ξ
=d2(cosh2 ξ − cos2 η)
d2(cosh2 ξ − cos2 η)= (1) ; f1 = 1,
hξhηhzh2η
=d2(cosh2 ξ − cos2 η)
d2(cosh2 ξ − cos2 η)= (1) ; f2 = 1,
hξhηhzh2z
=d2(cosh2 ξ − cos2 η)
1= (1)
(d2(cosh2 ξ − cos2 η
)= ; f3 = 1.
(4.139)
Despues, encontramos el determinante S
S =hξhηhzf1f2f3
=d2(cosh2 ξ − cos2 η)
1= d2(cosh2 ξ − cos2 η). (4.140)
Sı nosotros aplicamos identidades trigonometricas cosh2 ξ = 12
cosh 2ξ + 12
y cos2 η =12
cos 2η + 12, ahora el determinante S es:
S =d2
2(cosh 2ξ − cos 2η), (4.141)
de esta forma, encontramos los menores.
M1 =S
h2ξ
=d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
= 1,
M2 =S
h2η
=d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
= 1,
M3 =S
h2z
=d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
1=d2
2(cosh 2ξ − cos 2η).
(4.142)
Con estos resultados, procedemos a encontrar cada elementos de la matriz. Para la
primer columna, reemplazamos los valores de el menor M , la ecuacion es
(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 +d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,1 =
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η). (4.143)
Recordemos que los elementos Φn,m puede contener unicamente variables χn. Por lo
tanto los valores que satisfacen la ecuacion es
4.3. Determinante de Stackel 89
(1)(d2
2cosh 2ξ) + (1)(−d
2
2cos 2η) +
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)(0) =
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η). (4.144)
Luego tenemos Φ1,1 = d2
2cosh 2ξ, Φ2,1 = −d2
2cos 2η and Φ3,1 = 0.
Para la siguiente columna de la matriz los calculos son
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0,
(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 +d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,2 = 0,
(1) (−1) + (1)(1) +d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)(0) = 0.
(4.145)
Los resultados son Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0.
Finalmente para la ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0,
(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 +d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,3 = 0,
(1)
(−d
2
2(cosh 2ξ)
)+ (1)
(d2
2(cos 2η)
)+d2
2(cosh 2ξ − cos 2η) (1) = 0.
(4.146)
los resultados son Φ1,3 = −d2
2(cosh 2ξ), Φ2,3 = d2
2(cos 2η) y Φ3,3 = 1
De esta forma tenemos todos los elementos, y al sustituirlos en la matriz de Stackel
tenemos d2
2cosh 2ξ −1 −d2
2(cosh 2ξ)
−d2
2cos 2η 1 d2
2(cos 2η)
0 0 1
. (4.147)
Una vez que tenemos la matriz de Stackel y las funciones f(χ), sustituimos en la
ecuacion (4.130) y para cada valor tenemos
1
1
d
dξ
[1dR
dξ
]+
[α1d2
2cosh 2ξ − α2 − α3
d2
2cosh 2ξ
]R = 0, (4.148)
1
1
d
dη
[1dN
dη
]+
[−α1
d2
2cos 2η + α2 + α3
d2
2cos 2η
]N = 0, (4.149)
1
1
d
dz
[1dZ
dz
]+ α3Z = 0. (4.150)
90 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
Sı hacemos α1 = k2, α2 = an y α3 = k2z .
1
1
d
dξ
[1dR
dξ
]− (
k2d2
2cosh 2ξ − an −
k2zd
2
2(cosh 2ξ)R = 0, (4.151)
1
1
d
dη
[1dN
dη
]+ [−k
2d2
2cos 2η + an +
k2zd
2
2(cos 2η)]N = 0, (4.152)
1
1
d
dz
[1dZ
dz
]+ (k2
z)Z = 0. (4.153)
Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe)
Los factores de escala son:
hr =1,
hθe =r
√θ2e − ϕ2
e
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e),
hϕe =r
√θ2e − ϕ2
e
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e).
(4.154)
por simplicidad, definimos
g(θe) = (θ2e − b2)(c2 − θ2
e),
g(ϕe) = (b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e).
(4.155)
Despues realizamos los siguientes calculos para encontrar las funciones f
hrhθehϕe = (1)r
√θ2e − ϕ2
e√g(θe)
r
√θ2e − ϕ2
e√g(ϕe)
=r2(θ2
e − ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
. (4.156)
Ahora
hrhθehϕeh2r
=
r2(θ2e−ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
1=(r2)( (θ2
e − ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
); f1 = r2,
hrhθehϕeh2θe
=
r2(θ2e−ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
r2(θ2e−ϕ2e)
g(θe)
=(√
g(θe))( 1√
g(ϕe)
); f2 =
√g(θe),
hrhθehϕeh2ϕe
=
r2(θ2e−ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
r2(θ2e−ϕ2e)
g(ϕe)
=(√
g(ϕe))( 1√
g(θe)
); f3 =
√g(ϕe),
(4.157)
4.3. Determinante de Stackel 91
de esta manera, podemos ver que f1 = r2, f2 =√g(θe) y f3 =
√g(ϕe)
Una vez que conocemos las funciones f , podemos calcular el determinante S
S =hrhθehϕef1f2f3
=
r2(θ2e−ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
r2√g(θe)
√g(ϕe)
=θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe), (4.158)
con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
M1 =S
h2r
=
θ2e−ϕ2e
g(θe)g(ϕe)
1=
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe),
M2 =S
h2θe
=
θ2e−ϕ2e
g(θe)g(ϕe)
r2(θ2e−ϕ2e)
g(θe)
=1
r2g(ϕe),
M3 =S
hϕe=
θ2e−ϕ2e
g(θe)g(ϕe)
r2(θ2e−ϕ2e)
g(ϕe)
=1
r2g(θe).
(4.159)
Una vez que contamos con estos resultados, procedemos a obtener los elementos de la
matriz de Stackel. Para la primer columna y sustituyendo los valores de los menores M , la
ecuacion esθ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)Φ1,1 +
1
r2g(ϕe)Φ2,1 +
1
r2g(θe)Φ3,1 =
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe), (4.160)
los valores que satisfacen las condiciones son
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)(1) +
(1
r2g(ϕe)
)(0) +
(1
r2g(θe)
)(0) =
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe), (4.161)
de esta manera Φ1,1 = 1, Φ2,1 = 0 y Φ3,1 = 0.
Siempre tomando en cuenta las restricciones para cada fila, es decir, que la fila solo
debe ser funcion de una sola variable. Para la siguiente columna
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0,
y sustituyendo los menores
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)Φ1,2 +
(1
r2g(ϕe)
)Φ2,2 +
(1
r2g(θe)
)Φ3,2 = 0, (4.162)
los valores que satisfacen la ecuacion son
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)
(− 1
r2
)+
(1
r2g(ϕe)
)(θ2e
g(θe)
)+
(1
r2g(θe)
)(−ϕ2
e
g(ϕe)
)= 0. (4.163)
92 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
Por lo tanto Φ1,2 = − 1r2
, Φ2,2 = θ2eg(θe)
y Φ3,2 = −ϕ2e
g(ϕe). Para la tercera y ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
reemplazando los menores
θ2e − ϕ2
e
g(θ)g(ϕe)Φ1,3 +
1
r2g(ϕe)Φ2,3 +
1
r2g(θe)Φ3,3 = 0, (4.164)
la ecuacion satisface los siguientes valores
θ2e − ϕ2
g(θe)g(ϕe)(0) +
1
r2g(ϕe)(−1
g(θe)) +
1
r2g(θe)(
1
g(ϕe)) = 0, (4.165)
Entonces Φ1,3 = 0, Φ2,3 = −1g(θe)
y Φ3,3 = 1g(ϕe)
.
Tenemos ahora todos los elementos de la matriz de Stackel, estos son 1 − 1r2
0
0 θ2eg(θe)
−1g(θe)
0 −ϕ2e
g(ϕe)1
g(ϕe)
. (4.166)
sustituyendo g(θe) y g(ϕe) 1 − 1r2
0
0 θ2e(θ2e−b2)(c2−θ2e)
−1(θ2e−b2)(c2−θ2e)
0 −ϕ2e
(b2−ϕ2e)(c
2−ϕ2e)
1(b2−ϕ2
e)(c2−ϕ2
e)
. (4.167)
Con el determinante y las funciones f(χ) sustituimos en la ecuacion (4.130) y para cada
valor de χ tenemos1
r2
d
dr
[r2dR
dr
]+ (α1 −
α2
r2)R = 0. (4.168)
1√(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)
d
dθe
[√(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)dΘ
dθe
]+ [
α2θ2e
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)− α3
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)]Θ = 0, (4.169)
1√(b2 − ϕ2
e)(c2 − ϕ2
e)
d
dϕe
[√(b2 − ϕ2
e)(c2 − ϕ2
e)dE
dϕe
]− [
α2ϕ2e
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
+α3
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
]E = 0, (4.170)
4.4. Conclusiones 93
Realizamos las derivadas y proponemos α1 = k2, α2 = n(n+1) y α3 = q(b2 +c2), donde
n y q son adimensionales,
d2R
dr2+
2
r
dR
dr+ (k2 − n(n+ 1)
r2)R = 0, (4.171)
d2Θ
dθ2e
− θe[2θ2e − (b2 + c2)]
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)
dΘ
dθe+ [
n(n+ 1)θ2e
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)− q(b2 + c2)
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)]Θ = 0, (4.172)
d2E
dϕ2e
+ϕe[2ϕ
2e − (b2 + c2)]
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
dE
dϕe− [
n(n+ 1)ϕ2e
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
+q(b2 + c2)
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
]E = 0. (4.173)
4.4. Conclusiones
En este capıtulo, desarrollamos la separacion de variables de la ecuacion escalar
tridimensional de Helmholtz en sus respectivos once sistemas de coordenadas, empleando
la tradicional tecnica de separacion de variables.
Tambien presentamos como una tecnica alternativa de la separacion de variables el
determinante de Stackel, el cual es poco conocido, pero permite una forma sistematizada de
separar la ecuacion de Helmholtz aun para las coordenadas mas complejas.
Una vez que tenemos la ecuacion de Helmholtz separada para todos los sistemas de
coordenadas, en el siguiente capitulo daremos inicio a encontrar sus soluciones fundamentales
94 Capıtulo 4. Separabilidad de la ecuacion tridimensional de Helmholtz
Capıtulo 5
Campos de ondas simetricos de la ecuacion de
Helmholtz
En el capıtulo previo obtuvimos las ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de la
separacion de la ecuacion escalar de Helmholtz.
En este cap+itulo, presentamos las soluciones de las ecuaciones diferenciales para
los sistemas de coordenadas con simetrıa de traslacion y de rotacion: rectangulares,
circulares cilındricas, cilındricas elıpticas, cilındricas parabolicas, esfericas, esferoidales
prolatas, esferoidales oblatas y parabolicas.
Para presentar estas soluciones fundamentales, primero normalizaremos las ecuaciones a
una forma canonica. Despues, estudiamos las condiciones y caracterısticas que estas funciones
deben cumplir, de tal manera que permitan representar ondas propagantes en cada uno de
los sistemas de coordenadas mencionados.
5.0.1. Soluciones
Al obtener la forma canonica de las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se
separa la ecuacion de Helmholtz, estas son adimensionales, es decir son independientes de
las unidades, lo que nos permite tratamiento mas practico para encontrar sus soluciones.
En nuestro caso, la normalizacion es realizada con respecto al numero de onda k, y de esta
manera, las soluciones pueden aplicarse a diferentes tipos de ondas fısicas, sin el problema
del manejo de grandes diferencias en los ordenes de magnitud entre una aplicacion y otra,
por ejemplo haces opticos, ondas electromagneticas, ondas mecanicas, ondas acusticas, entre
otras, sin ninguna complicacion
El metodo de expansion en series de potencias ofrece una buena alternativa para solucion
de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables, el metodo
de series comunmente empleado es el metodo de Frobenius [14].
En general, la tecnica consiste en: proponer una serie de potencias, la cual es sustituida
en la ecuacion diferencial, posteriormente desarrollamos las respectivas derivadas, escribimos
95
96 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
la ecuacion resultante como una serie de potencias y factorizamos, resultando una ecuacion
en diferencias, que debe cumplir con ser cero, y finalmente esta ecuacion es resuelta de una
forma recursiva o matricial.
Otra razon por la que las series de potencias son apropiadas para encontrar las soluciones
es que estas se pueden llevar a un programa de computadora, que al realizar los calculos
obtienen resultados confiables de estas soluciones. Empleando esta tecnica de solucion,
obtuvimos en su mayorıa las funciones, mediante la implementacion de programas numericos
en el software matematico Matlab.
5.0.2. Condicion de radiacion de Sommerfeld
La condicion de radiacion, gobierna el comportamiento de los campos a grandes
distancias y esta basado en el principio de causalidad.
Si queremos mostrar que una solucion de la ecuacion de Helmholtz, puede representar
una onda propagante, la condicion de desvanecimiento en el infinito por si sola no es
suficiente. Por lo tanto, si tenemos un problema optico en el cual las fuentes estan en el
dominio finito (con una distribucion discreta o continua), y la cual puede ser resuelta para un
numero de onda k dado, podemos siempre agregar una funcion E0 a la solucion. Por lo tanto
los problemas de oscilacion (en contraste con los problemas de potencial) no son unicamente
determinados por las fuentes en el dominio finito. Por esta razon, es necesario considerar
una condicion mas rigurosa al infinito, esto es la condicion de radiacion. Sommerfeld [38]
escribio textualmente condicion de radiacion: ((las fuentes deben ser fuentes, no huecos, de
energıa. La energıa que es radiada de una fuente debe desvanecerse en infinito; la energıa no
debe ser radiada desde el infinito en las singularidades de el campo (las ondas planas son
excluidas ya que para ellas incluso con la condicion E = 0 no se lleva a cabo en infinito )).
Esta condicion es representada por la siguiente ecuacion
lımr→∞
r(∂u
∂r+ iku) = 0. (5.1)
Esta se le llama en general condicion de radiacion y se aplicara a todos los problemas
opticos, acusticos y electrodinamicos de oscilacion que se generan por las fuentes en el
dominio finito. Para el caso de un numero arbitrario de dimensiones h, la condicion toma la
forma general
lımr→∞
rh−1
2 (∂u
∂r+ iku) = 0. (5.2)
Desde el punto de vista fısico, podemos considerar dos valores para h, h = 2 para las
coordenadas clasificadas como cilındricas y h = 3 para el resto de las coordenadas.
Para cada sistema de coordenadas unicamente para una de las variables coordenadas
es la que va a satisfacer la condicion de Sommerfeld, y esta es la coordenada radial para la
5.1. Coordenadas Cilındricas 97
cual su lımite superior es infinito.
5.1. Coordenadas Cilındricas
5.1.1. Coordenadas Rectangulares
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas rectangulares, obtuvimos
las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
d2X
dx2+ k2
xX = 0,
d2Y
dy2+ k2
yY = 0,
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0.
(5.3)
Recordemos que las tres ecuaciones estan relacionadas por k2 = k2x + k2
y + k2z .
La primera cosa que haremos para este y los diez sistemas de coordenadas restantes,
es encontrar la forma canonica de cada ecuacion diferencial ordinaria. Ya se ha mencionado
al principio del capıtulo, lo relevante a la forma canonica para la interpretacion fısica de las
ecuaciones, que despues de todo, estas se derivan de una ecuacion completamente fısica.
Para la representacion en la forma canonica en este sistema, dividimos cada ecuacion
entre su correspondiente constante de separacion. Y luego hacemos los siguientes cambios de
variable kxx→ x, kyy → y y kzz → z. Recordando que x, y y z tienen unidades de longitud
y el numero de onda k esta dado en unidades de longitud−1. De esta forma, el resultado de
la multiplicacion es adimensional. Tenemos
d2X
dx2+X = 0,
d2Y
dy2+ Y = 0,
d2Z
dz2+ Z = 0.
(5.4)
Las ecuaciones 5.4 son llamadas del oscilador simple [39]. Tenemos la misma ecuacion
para las tres variables, la solucion es
C1 cosx+ C2 sinx, (5.5)
98 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
o tambien
C1eix + C2e
−ix. (5.6)
Donde i es el numero imaginario√−1; C1 y C2 son constantes arbitrarias. Para detalles
de la obtencion de la solucion revisar el apendice C.
Ahora describiremos el significado fısico de esta soluciones. Recordemos que la ecuacion
de onda tiene solucion de la forma f(kx ± ωt), y esta representa ondas viajeras, entrando
o saliendo dependiendo del signo; donde la dependencia del tiempo fue separada cuando
se propuso la solucion e−iωt y nos resulto la ecuacion de Helmholtz. Por lo tanto, cuando
encontramos la solucion de la ecuacion de Helmholtz, y sı queremos la solucion de la ecuacion
de onda, debemos multiplicar nuestra solucion por e−iωt, y al observar el resultado, podremos
determinar si representa ondas viajeras o estacionarias. De esta forma, para soluciones de
la forma eikx, si x es real y positiva, tenemos ondas viajeras no atenuables en direccion de
x positiva. Esto es porque la multiplicacion de eikx por e−iωt, nos resulta ei(kx−ωt) la cual
representa ondas viajeras salientes
Soluciones de la forma coseno(kx) y seno(kx) con x real, representa ondas estacionarias.
Esto lo podemos ver al multiplicar cos kxRe (e−iωt) ya que esto es igual a cos kx cosωt, que
describe una onda que oscila en el tiempo pero su dependencia espacial es estacionaria. Por
otra parte, si aplicamos identidades trigonometricas, tenemos 12(cos kx− ωt + cos kx+ ωt),
esta representa la suma de don ondas viajando en sentido contrario, cuyo resultado es una
onda estacionaria
Como podemos ver diferentes soluciones de la ecuacion diferencial, puede representar
diferentes situaciones fısicas.
Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas
rectangulares es
Exyz = X(x)Y (y)Z(z). (5.7)
Estas soluciones son llamadas funciones de onda elementales. Combinaciones lineales
de las soluciones elementales de onda, tambien son soluciones de la ecuacion de Helmholtz.
Las soluciones se visualizan con las bien conocidas ondas planas, que son de la forma
ei(ωt∓k·r). (5.8)
Donde k = kxi + ky j + kzk es el vector de onda, cuya magnitud es el numero de onda k,
y r = xi + yj + zk, por otra parte k · r =constante, esto significa que hay un instante, la
fase de las ondas en una superficie de referencia forman un conjunto de planos, cada uno
perpendicular a la direccion de propagacion.
Es importante enfatizar, que las ondas planas no satisfacen la condicion de radiacion
de Sommerfeld, ya que para ellos, incluso la condicion E = 0 no se lleva a cabo en el infinito,
es decir nunca se atenuan[38].
5.1. Coordenadas Cilındricas 99
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.1: Solucion en coordenadas Rectangulares a) Funcion seno b) Funcion coseno c)
Perfil del frente de onda d) Valor absoluto de la solucion fundamental
En la Figura 5.1 presentamos las graficas de las funciones coseno y seno en a) y b)
respectivamente, en c) mostramos el perfil del frente onda que corresponde exactamente
a una onda plana, y en d) tenemos el valor absoluto de la funcion que representa ondas
viajeras, donde podemos notar que su magnitud permanece constante para todos los valores,
esto significa que las ondas viajeras no se atenuan, probando de esta manera que no satisface
100 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
la condicion de radiacion de Sommerfeld. Otra situacion que se presente es que tenemos una
funcion par (coseno) y una funcion impar (seno), lo cual ocurre para todas las soluciones de
la ecuacion de Helmholtz en todos los sistemas de coordenadas. La ecuacion del oscilador
simple es la mas corta de todas las ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la ecuacion
de Helmholtz se separa, y esta aparece para otros siete sistemas de coordenadas, por lo que
se hara referencia a las explicaciones y graficos que se muestran en esta seccion.
5.1.2. Coordenadas Cilındricas Circulares
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas circulares,
obtuvieron las siguiente ecuaciones diferenciales.
ρ2d2R
dρ2+ ρ
dR
dρ+ (k2
t ρ2 − n2)R = 0,
d2Φ
dϕ2+ n2Φ = 0,
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0.
(5.9)
La primera ecuacion es la conocida ecuacion de Bessel, para obtener la forma canonica
de esta funcion, multiplicamos el primer termino pork2t
k2t
y el segundo termino por ktkt
, de esta
forma, la ecuacion no se altera, y realizamos el siguiente cambio de variable ktρ→ ρ. Para la
segunda ecuacion, ϕ es un angulo y no tiene unidades, n es una constante adimensional, esta
ecuacion ya esta en su forma canonica. Para la tercera ecuacion, dividimos por la constante
de separacion y hacemos el siguiente cambio de variable kzz → z. La forma canonica de las
tres ecuaciones son
ρ2d2R
dρ2+ ρ
dR
dρ+ (ρ2 − n2)R =0,
d2Φ
dϕ2+ n2Φ =0,
d2Z
dz2+ Z =0.
(5.10)
La ecuacion para la variable ϕ, tiene solucion einϕ, donde n es un numero entero. En el
caso de la ecuacion de la variable z, la solucion es e−iz.
Como se menciono la ecuacion para la variable ρ es la ecuacion de Bessel. Por lo tanto,
las soluciones son las funciones Bessel de orden n. Las funciones de Bessel de primer tipo,
5.1. Coordenadas Cilındricas 101
Jn, no es la unica solucion fısica [18]. La ecuacion de Bessel es una ecuacion diferencial de
segundo orden y por lo tanto tambien tiene otra solucion, esta es la funcion Bessel de segundo
tipo, tambien llamadas funciones Neumann, Nm. Por lo tanto la solucion completa es
C1Jn(ρ) + C2Nn(ρ). (5.11)
Donde C1 o C2 son dos constantes arbitrarias, cada una puede ser una solucion, o una
combinacion lineal de ambas tambien lo es.
Con la suma de estas soluciones se obtienen funciones Hankel de orden n, Hn, la cual
son las soluciones fundamentales de la ecuacion de Bessel que representan ondas viajeras
[18]. Estas son:
H1n(κρρ) = Jn(ρ) + iNn(ρ),
H2n(ρ) = Jn(ρ)− iNn(ρ).
(5.12)
Para detalles de la obtencion de la soluciones, revisar el apendice C. Para comprobar
la condicion fısica de la solucion, es necesario conocer el desarrollo asintotico de la solucion,
para la funcion Bessel tenemos
Jn(ρ) ≈√
2
πρcos (ρ− nπ
2− π
4),
Nn(ρ) ≈√
2
πρsin (ρ− nπ
2− π
4),
H1n(ρ) ≈
√2
πρei(ρ−
nπ2−π
4),
H2n(ρ) ≈
√2
πρe−i(ρ−
nπ2−π
4).
(5.13)
De esta manera, recordemos que ρ → ktρ debido al cambio de variable que hicimos.
Podemos ver que las soluciones de tipo Jn y Nn por sı solas representan ondas estacionarias,
similarmente al coseno y seno respectivamente en las coordenadas rectangulares.
Ahora H1n representa ondas viajeras entrantes, y H2
n representa ondas viajeras salientes.
Y no menos importante, podemos notar que H1n y H2
n asintoticamente satisfacen la condicion
de radiacion de Sommerfeld.
La variable radial del sistema de coordenadas circulares, corresponde a la superficie
mostrada en la Figura 3.4 a), descrita por un cilindro circular derecha.
102 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.2: Solucion en coordenadas cilındricas circulares, a) Funcion Bessel de primer tipo,
b) Funcion Bessel de segundo tipo, c) Perfil del frente de onda y d) Valor absoluto de la
solucion fundamental
En la Figura 5.2 podemos ver en a) la funcion Bessel de primer tipo de orden 0, 1, 2, 3 en
b) funciones Neumann de order 0, 1, 2, 3, en c) el perfil del frente de onda que es exactamente
una onda cilındrica, y en d) el valor absoluto de la suma Jn(ρ) + iNn(ρ) la cual representa
ondas viajeras, y podemos observar como decae a una razon de 1/√ρ, de igual manera
podemos ver que las lınea de la solucion fundamental son uniformes, por que si mostraran
5.1. Coordenadas Cilındricas 103
oscilaciones, esto representarıa un error, ya que significarıa que la ondas se auto enfocan
durante la propagacion en un medio uniforme. Sin embargo nos permitimos comentar que
debido a que algunas soluciones implican sumas infinitas en las cuales podrıan presentarse
errores numericos al implementarlo en un programa de computadora.
5.1.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas elıpticas,
obtuvimos las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
d2E
dξ2− (c− k2
t d2
2cosh 2ξ)E = 0,
d2N
dη2+ (c− k2
t d2
2cos 2η)N = 0,
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0.
(5.14)
La variables ξ y η son adimensionales, las dimensiones son dadas por la constante d
(distancia del origen a los focos de la elipse), por lo tanto, proponemos q = (dkt/2)2, las
ecuaciones para estas dos variables estaran en su forma canonica al realizar este cambio.
Para la ecuacion correspondiente a la variable z hacemos el cambio de variable kzz → z. De
esta forma las ecuaciones canonicas son
d2E
dξ2− (a− 2q cosh 2ξ)E =0,
d2N
dη2+ (a− 2q cos 2η)N =0,
d2Z
dz2+ Z =0.
(5.15)
Las dos primeras ecuaciones son las ecuaciones de Mathieu, las cuales tienen como
solucion las funciones Mathieu [3].
Similarmente a las coordenadas cilındricas circulares, la ecuacion de Helmholtz podemos
separarla en una parte longitudinal que depende de la coordenada z y una transversal que
depende de las coordenadas η y ξ [19]. Estas ecuaciones tambien son llamadas ecuaciones
angular y radial de Mathieu.
104 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
La variable angular de este sistema es η con dominio [0, 2π), y a ella le corresponde la
ecuacion angular de Mathieu que tiene como solucion
C1ce(η, q) + C2se(η, q). (5.16)
Donde ce2η y se2η+1 son las funciones angular Mathieu par e impar respectivamente,
ademas C1 y C2 son constantes arbitrarias. Podemos ver en la Figura 5.3 que estas funciones
son oscilantes
(a) (b)
Figura 5.3: Funcion Mathieu Angular Par a) q=10 b) q=25
(a) (b)
Figura 5.4: Funcion Mathieu Angular impar a) q=10 b) q=25
5.1. Coordenadas Cilındricas 105
La ecuacion correspondiente a la variable ξ con dominio [0,∞) tiene como solucion la
funcion Mathieu radial
C1Je(ξ, q) + C2Ne(ξ, q). (5.17)
Donde Je(ξ, q) y Ne(ξ, q) son las funciones Mathieu radiales par e impar respecti-
vamente. C1 y C2 son constantes arbitrarias. Si q es positiva tenemos una funcion radial
Mathieu oscilatoria, pero si q es negativa tenemos una funcion radial Mathieu evanescente
[32]. Por otra parte, al igual que en las funciones Bessel, tenemos las funciones Mathieu
Hankel, estas son
Me(1)m =Jem(ξ, q) + iNe(ξ, q),
Me(2)m =Jem(ξ, q)− iNe(ξ, q),
Mo(1)m =Jom(ξ, q) + iNo(ξ, q),
Mo(1)m =Jom(ξ, q)− iNo(ξ, q).
(5.18)
La expansion asintotica de la funcion Mathieu Hankel es
Me(1),(2)2m ' p2n
A0
√2
πv2
e±i(v2−π4
),
Me(1),(2)2m ' − p2n+1√
qA1
√2
πv2
e±i(v2−π4
),
Me(1),(2)2m ' s2n+2
qB2
√2
πv2
e±i(v2−π4
),
Me(1),(2)2m ' − s2n+1√
qB1
√2
πv2
e±i(v2−π4
).
(5.19)
Donde v2 =√qe−ξ y los coeficientes p y s son
p2n(q) = ce2n(0, q)ce2n(π
2, q),
p2n+1(q) = ce2n+1(0, q)ce′2n+1(π
2, q),
s2n+2(q) = se′2n+2(0, q)se′2n+2(π
2, q),
s2n+1(q) = se′2n+1(0, q)se2n+1(π
2, q).
(5.20)
donde el apostrofe en ce′ y se′ denota la derivada de ce y se con respecto a ξ.
106 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
Podemos ven en la Figura 5.5 la funcion radial Mathieu, en a) de primer tipo par, en b)
de segundo tipo par, en c) el perfil de onda descrita por un cilindro elıptico, y en d) el valor
absoluto de las soluciones fundamentales, las lıneas no presentan oscilaciones y decaen a una
razon de 1/√ξ. Esta funcion satisface perfectamente la condicion de radiacion de Sommerfeld.
En la Figura 5.6 presentamos la funcion radial Mathieu impar, en a) primer tipo, en b)
segundo tipo, en c) el perfil de la onda y en d el valor absoluto de la solucion fundamental
del sistema de coordenadas cilındrico elıptico, las lıneas no presentan oscilaciones y decaen
tambien a razon de 1/√ξ.
5.1.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas parabolicas
obtuvimos las siguientes ecuaciones
d2M
dµ2+ [µ2k2
t − 2kta]M = 0,
d2V
dν2+ [ν2k2
t + 2kta]V = 0,
d2Z
dz2+ k2
zZ = 0.
(5.21)
Las primeras dos ecuaciones las multiplicamos por 12kt
, y proponemos los cambios de
variable (2kt)1/2µ→ µ y (2kt)
1/2ν → ν, obteniendo de esta forma, su representacion canonica.
Para la tercera ecuacion, al igual que para los sistemas clasificado como cilındricos, dividimos
entre su constante se separacion y realizamos el cambio kzz → z. La forma canonica de las
tres ecuaciones para este sistema coordenado son
d2M
dµ2+ [
µ2
4− a]M = 0,
d2V
dν2+ [
ν2
4+ a]V = 0,
d2Z
dz2+ Z = 0.
(5.22)
Similarmente a las coordenadas cilındricas circulares y cilındricas elıpticas, la solucion de la
parte transversal es independiente de la coordenada longitudinal [40]. Para la coordenada z
5.1. Coordenadas Cilındricas 107
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.5: Solucion en coordenadas cilındricas a) Funcion Radial Mathieu de primer tipo
par b) Funcion Radial Mathieu de primer tipo impar, c) Perfil de onda y d) Valor absoluto
de la solucion fundamental
o componente longitudinal, tenemos funciones armonicas de z, es decir, e−iz. Las ecuaciones
correspondientes a las variables µ y ν que son la parte transversal, tenemos las siguientes
soluciones
C1Pe(µ, a) + C2Po(µ, a), (5.23)
C1Pe(ν,−a) + C2Po(ν,−a). (5.24)
108 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
(a) (b)
(c)
Figura 5.6: Solucion en coordenadas cilındricas, a) Funcion radial Mathieu de segundo tipo
par, b) Funcion radial Mathieu de segundo tipo impar, y c) Solucion fundamental
Para estas expresiones utilizamos la notacion usada en [40]. Donde Pe es la solucion par
y Po es la solucion impar
Utilizando el metodo de Frobenius y su expansion de Taylor con µ = 0 la solucion es
[41]:
P (µ, a) =∞∑n=0
c2nµ2n
(2n)!
=1 + cµ2
2!+ (a2 − 1
2)µ4
4!+ (a3 − 7
2a)µ6
6!+ (a4 − 11a2 +
15
4)µ8
8!+ ...
(5.25)
donde c0 = 1, c2 = a y cn = acn−2 − (n−2)(n−3)cn−44
. Y por lo tanto
5.1. Coordenadas Cilındricas 109
P (µ, a) =∞∑n=0
c2n+1µ2n+1
(2n+ 1)!
=z + cµ3
3!+ (a2 − 3
2)µ5
5!+ (a3 − 13
2a)µ7
7!+ (a4 − 17a2 +
63
4)µ9
9!+ ...
(5.26)
donde c1 = 1, c3 = a and cn = acn−2 − (n−2)(n−3)cn−44
.
Para las soluciones con respecto a la variable ν, unicamente cambiamos a por −a. Es
importante mencionar que la ecuacion de Helmholtz es este sistema coordenado, tambien se
obtienen como soluciones las funciones Weber, pero estas no muestran un comportamiento
oscilatorio para grandes valores, es decir, no satisfacen la condicion de radiacion de
Sommerfeld, por lo que no permiten representar ondas viajeras
Por el contrario las funciones parabolicas cilındricas, tienen el comportamiento
oscilatorio asintotico, y la envolvente decae como 1õ. Esto es similar a lo que ocurre con el
resto de las coordenadas cilındricas
En la Figura 5.7, podemos apreciar el comportamiento oscilatorio de las funciones
parabolicas cilındricas, para µ par e impar.
(a) (b)
Figura 5.7: Funcion cilındrica parabolica para µ a) Par b) Impar
Sin embargo, la variable radial de el sistema de coordenadas cilındricas parabolicas
corresponde a la que mostramos en la Figura 3.8 (b), descrita por medio cilindro parabolico.
La funcion de onda viajera es
Pe(a, ν) + iPo(a, ν) (5.27)
110 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
En la figura 5.8 presentamos las funciones cilındricas parabolicas para −a, las cuales
corresponde a la solucion de la ecuacion diferencial de la variable ν, en a) par, en b) impar,
en c) el perfil del frente de onda, y en d el valor absoluto de la solucion viajera, donde es
necesario que a > 1. La cual es congruente con la expansion asintotica para µ y a moderada
y corresponde a las siguientes igualdades [41].
W (a, µ) =
√2k
µ(s1(a, µ) cos
(1
4µ2 − a lnµ+
1
2φ2
)− s2(a, µ) sin
(1
4µ2 − a lnµ+
1
2φ2)
).
(5.28)
Donde s(a, µ) = s1(a, µ) + is2(a, µ), y s(a, µ) ∼∑∞
r=0(−i)r Γ(2r+1/2+ia)Γ(1/2+ia)
12rr!µ2r
En estas igualdades observamos como la funcion decae a razon de 1√(ν)
, lo que nos
permite corroborar que estas funciones cumplen con la condicion de radiacion de Sommerfeld.
5.1. Coordenadas Cilındricas 111
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.8: Solucion en coordenadas Cilındricas Parabolicas ν a) Funcion cilındrica parabolica
par b) Funcion cilındrica parabolica impar, d) Perfil del frente de onda y c) valor absoluto
de la solucion fundamental
112 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
5.2. Coordenadas Rotacionales
5.2.1. Coordenadas Esfericas
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esfericas, obtuvimos las
siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
r2d2R
dr2+ 2r
dR
dr+ (κ2r2 −Q)R = 0,
(1− x2)d2P (x)
dx2− 2x
dP (x)
dx+ [Q− m2
1− x2]P (x) = 0,
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0.
(5.29)
La primer ecuacion es la conocida ecuacion de Bessel esferica. Trabajando con esta ecuacion,
primero multiplicamos el primer termino por k2
k2 , y el segundo por kk, esto no altera la ecuacion,
y despues hacemos el cambio kr → r. La segunda y tercera ecuacion son adimensionales, por
lo que podemos decir que ya estan normalizadas. Las formas canonicas para estas ecuaciones
son:
r2d2R
dr2+ 2r
dR
dr+ (r2 −Q)R = 0,
(1− x2)d2P (x)
dx2− 2x
dP (x)
dx+ [Q− m2
1− x2]P (x) = 0, x = cos θ,
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0.
(5.30)
Para la coordenada ϕ tenemos la familiar ecuacion del oscilador simple, con solucion e−imϕ.
Ademas, para la coordenada angular θ tenemos la funcion asociada de Legendre. Esta es una
ecuacion diferencial de segundo orden, por esta razon la solucion completa es
C1Pmn (x) + C2Q
mn (x). (5.31)
Donde Pmn es la funcion asociada de Legendre de primer tipo y Qm
n es la funcion asociada
de Legendre de segundo tipo. C1 y C2 son constantes arbitrarias. En la Figura 5.9 podemos
apreciar el comportamiento oscilatorio de estas funciones. Es comun, que en algunos textos
no se considere el rol de la funcion de segundo tipo, en la interpretacion fısica de la solucion
de las coordenadas esfericas, debido a que presenta singularidades en los extremos de su
intervalo [−1, 1].
5.2. Coordenadas Rotacionales 113
(a) (b)
Figura 5.9: Funcion asociada de Legendre a) primer tipo b) segundo tipo
En este sistema es claro que la coordenada radial es r, y es mostrada en la Figura 3.10
(a), descrita por esferas concentricas centradas en el origen. La ecuacion correspondiente a
esta coordenada es la ecuacion de Bessel esferica. Similarmente a la coordenada radial en
coordenadas cilındricas, las jn no son la unicas soluciones, tambien tenemos las funciones
Neumann esfericas nn. No es necesario realizar los calculos para encontrar estas funciones,
debido a que es posible deducirlas a partir de las funciones Bessel empleando las siguientes
igualdades
jn(r) =
√π
2rJn+1/2(r),
nn(r) =
√π
2rNn+1/2(r),
(5.32)
la general solucion que representa ondas viajeras son las funciones Hankel esfericas, esta son
obtenidas a partir de las Bessel y Neumann esfericas
h(1)n (r) = jn(r) + inn(r),
h(2)n (r) = jn(r)− inn(r),
(5.33)
para aplicar la condicion de radiacion, es necesario conocer la expansion asintotica de las
funciones Hankel esfericas, estas son:
h(1)n (r) ≈ 1
reir−
n+12π,
h(2)n (r) ≈ 1
re−ir−
n+12π.
(5.34)
114 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
Podemos ver que la funcion tiene un comportamiento oscilatorio y su envolvente decae como1r, de esta manera, nosotros aplicamos la condicion de radiacion, por lo que la ecuacion 5.2
es
lımr→∞
r(∂u
∂r+ iκu) = 0. (5.35)
Y la funcion Hankel esferica, satisface esta condicion.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.10: Solucion en coordenadas Esfericas a) Funcion Bessel esferica de primer tipo b)
Funcion Bessel esferica de Segundo tipo, c) Perfil del frente de onda y d) valor absoluto de
la solucion fundamental
5.2. Coordenadas Rotacionales 115
En la Figura 5.10 presentamos en a) Funciones Bessel esfericas de prime tipo, en b) funciones
Neumann esfericas, c) el perfil del frente de onda, y en d) el valor absoluto de la solucion
fundamental, en la que observamos que decae a razon de 1r
convergiendo a cero.
5.2.2. Coordenadas Esferoidales Prolatas
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales prolatas
presentadas en el capıtulo cuatro, obtuvimos las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
(ξ2 − 1)d2R
dξ2+ 2ξ
dR
dξ−(anm − d2k2ξ2 +
m2
ξ2 − 1
)R = 0, (5.36)
(1− η2)d2Θ
dη2− 2η
dΘ
dη+
(anm − d2k2η2 +− m2
1− η2
)Θ = 0, (5.37)
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0. (5.38)
Debido a las variables son adimensionales, ya que estas son dadas por la distancia focal d, es
suficiente con proponer el cambio c = kd para obtener la forma canonica de estas ecuaciones
(ξ2 − 1)d2R
dξ2+ 2ξ
dR
dξ− (an,m − c2ξ2 +
m2
(ξ2 − 1))R = 0,
(1− η2)d2Θ
dη2− 2η
dΘ
dη+ (an,m − c2η2 − m2
(1− η2))Θ = 0,
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0.
(5.39)
De esta manera podemos notar que la ecuacion para la variable ϕ es la ecuacion
armonica simple y por lo tanto tiene solucion e−imϕ, donde m es el numero de ciclos completos
para la funcion Φ. Las primeras dos ecuaciones son conocidas como: ecuacion de onda radial
prolata y ecuacion de onda angular prolata respectivamente.
Iniciamos trabajando con la ecuacion angular, esta es la ecuacion respecto a la variable
η. Esta ecuacion tiene tres puntos singulares, dos regulares en η = ±1 y uno irregular en
η =∞.
Esta ecuacion puede ser resuelta proponiendo soluciones en terminos de potencia de η
o en potencias de (1− η2) [41]. Sin embargo la propuesta de solucion mas utilizada es la que
esta basada en la generalizacion de el sistema esferico.
116 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
Cuando k = 0 y por lo tanto c = 0, la ecuacion angular se reduce a la funcion asociada
de Legendre, por esta razon, estas funciones pueden ser llamadas funcion de onda Legendre
[10]. De esta manera, las soluciones de esta ecuacion son propuestas como una suma infinita
de funciones asociadas de Legendre.
S(1)mn(c, η) =
∞∑r=0,1
′dmnr (c)Pmm+k(η). (5.40)
En el apendice C, podemos revisar explıcitamente las operaciones para estas funciones y los
valores caracterısticos de esta ecuacion.
Recordemos que la ecuacion es de segundo orden, y por lo tanto tiene una segunda
solucion, la funcion Angular de segundo tipo. Para la cual proponemos una solucion de la
forma
S(2)mn(c, η) =
∞∑r=−∞
′dmnr Qmm+k(η). (5.41)
La funcion asociada de Legendre de segundo tipo tiene un comportamiento asintotico
logarıtmico en |η| = 1, por lo tanto, la funcion angular de segundo tipo es singular en
estos puntos. Aunque estas soluciones han sido consideradas que no tienen aplicaciones
fısicas, nosotros consideramos que podrıan ser aplicadas al estudio de las fluctuaciones en
una superficie esferoidal debido a un impacto, donde el impacto podrıa ser representado por
la singularidad en uno de los extremos y las oscilaciones podrıan estar presente a lo largo de
la superficie del esferoide.
Ahora, en la Figura 5.11, mostramos la funcion de onda angular de primer tipo, para
c = 5 en (a) para m = 0 con n = 1, 2, 3, 4 y en (b) para m = 2 con n = 2, 3, 4, 5. Es
importante notar que n puede ser solo tan grande o igual que m.
5.2. Coordenadas Rotacionales 117
(a) (b)
Figura 5.11: Funcion de onda angular prolata de primer tipo a) m=0, c=5 y b) m=2, c=5
Continuando ahora con la Figura 5.12 podemos ver la funcion de onda angular de segundo
tipo, donde podemos apreciar la singularidad en los extremos de estas funciones, esto es en
a) para c = 5 con m = 0 y n = 0, 1, 2, 3, en b) para c = 5, m = 2 y n = 2, 3, 4, 5
(a) (b)
Figura 5.12: Funcion de onda angular prolata de segundo tipo a) m=0,c=5 b) m=2,c=5
En la Figura 5.13 presentamos las funciones angular prolatas las cuales tienen un
comportamiento muy similar al Gaussiano, estas caracterısticas junto con otros parametros
118 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
fueron utilizados por Rodriguez [33] para establecer la conexion entre los parametros fısicos de
las soluciones de haces esferoidales noparaxiales y la familia de haces Gaussianos paraxiales.
(a) (b)
Figura 5.13: Funcion de onda Angular de segundo tipo a) m=0,n=0 b) m=1,n=1
Por otra parte, para la funcion de onda radial Rm,n(c, ξ), cuando k = 0 y en consecuencia
c = 0, esta ecuacion se reduce a la ecuacion de Bessel esferica. Entonces, en base a esto,
la solucion que se propone es una suma infinita de funciones Bessel esfericas. Tenemos la
siguiente solucion [6]
R(1)mn(c, ξ) =
[∞∑
r=0,1
′dmnr2m+ r
r!
]−1(ξ2 − 1
ξ2
)m/2 ∞∑r=0,1
′ir+m+ndmnr2m+ r
r!jm+r(cξ), (5.42)
R(2)mn(c, ξ) =
[∞∑
r=0,1
′dmnr2m+ r
r!
]−1(ξ2 − 1
ξ2
)m/2 ∞∑r=0,1
′ir+m+ndmnr2m+ r
r!ym+r(cξ), (5.43)
R(3)mn(c, ξ) =
[∞∑
r=0,1
′dmnr2m+ r
r!
]−1(ξ2 − 1
ξ2
)m/2 ∞∑r=0,1
′ir+m+ndmnr2m+ r
r!h
(1)(2)m+r (cξ), (5.44)
donde j, y y h son las funciones esfericas Bessel, Neumann y Hankel respectivamente. Los
valores caracterısticos am,n son similares a los de la ecuacion de onda angular y pueden ser
calculadas de la misma manera para estas funciones.
Para una extension de las operaciones y calculos para obtener estas soluciones, ver
Apendice C.
5.2. Coordenadas Rotacionales 119
En la Figura 5.14 podemos observar el comportamiento oscilatoria de la funcion de
onda radial, en (a) primer tipo R(1)m,n(c, ξ), para m = 1, c = 5 y n = 1, 2, 3, 4; en (b) segundo
tipo R(2)m,n(c, ξ), in (c) podemos ver el perfil del frente de onda para estos campos radiantes, y
en (d) el comportamiento del valor absoluto para las soluciones fundamentales R(1)m,n+ iR
(2)m,n.
Podemos claramente notar que estas soluciones permiten representar campos radiantes, note
en la Figura (d) como la solucion fundamental decae como 1r, y esta tiende a cero conforme
incrementa ξ.
120 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.14: Solucion en coordenadas Esferoidales Prolatas para los parametros m = 2, c = 5
a) Funcion de onda Radial Prolata Primer tipo b) Funcion de onda Radial Prolata segundo
tipo c) Perfil del frente de onda y d) Valor absoluto de la solucion fundamental
Ahora en la Figura 5.12 tenemos la funcion de onda Radial para los parametros m = 1, c = 5
y n = 1, 2, 3, 4 en (a) primer tipo en (b) segundo tipo y en (c) el comportamiento del valor
absoluto para la solucion fundamental.
5.2. Coordenadas Rotacionales 121
(a) (b)
(c)
Figura 5.15: Solucion en coordenadas Esferoidales Prolatas con parametros m = 2 c = 5 a)
Funcion de onda Radial alargada primer tipo b) Funcion de onda Radial alargada segundo
tipo y c) Valor absoluto de la solucion fundamental
Similar a las funciones Bessel esfericas, en las funciones radial, tenemos una funcion de
onda radial de tercer tipo R(3)m,n y cuanto tipo R
(4)m,n. Todas estas funciones se relacionan como
sigue
R(3)m,n = R(1)
m,n + iR(2)m,n,
R(4)m,n = R(1)
m,n − iR(2)m,n.
(5.45)
Para realizar los calculos de las funciones radial de segundo tipo, estas funciones
presentan problemas para pequenos valores cξ, debido a que las funciones Bessel esfericas
converge muy lentamente, otra expansion es usada [6].
122 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
Recordemos que para representar ondas viajera, es necesario que las funciones satisfagan
la condicion de radiacion de Sommerfeld. Para lo cual debemos conocer el comportamiento
asintotico, por lo cual se tienen las siguiente ecuaciones [41].
R(1)m,n −−−→
cξ→∞
1
cξcos [cξ − 1
2(n+ 1)π],
R(2)m,n −−−→
cξ→∞
1
cξsin [cξ − 1
2(n+ 1)π],
R(3)m,n −−−→
cξ→∞
1
cξei[cξ−
12
(n+1)π],
R(4)m,n −−−→
cξ→∞
1
cξe−i[cξ−
12
(n+1)π].
(5.46)
Se puede apreciar que R(1)m,n y R
(2)m,n representan por si solas ondas estacionarias y R
(3)m,n y
R(4)m,n representan ondas viajeras entrantes y salientes respectivamente. Ademas, tienen una
atenuacion 1ξ, esto es consistente, ya que las ondas esferoidales convergen a esfericas.
5.2.3. Coordenadas Esferoidales Oblatas
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales oblatas,
obtenemos las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
(ξ2 + 1)d2R
dξ2+ 2ξ
dR
dξ−(anm − k2d2ξ2 − m2
ξ2 + 1
)E = 0, (5.47)
(1− η2)d2Θ
dη2− 2η
dΘ
dη+
(an,m + k2d2η2 − 1
1− η2
)N = 0, (5.48)
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0, (5.49)
Debido a que las variables son adimensionales, y las dimensiones son dadas por la
distancia focal d, por lo que unicamente con el cambio c = kd, obtenemos la forma canonica
de estas ecuaciones
5.2. Coordenadas Rotacionales 123
(ξ2 + 1)d2R
dξ2+ 2ξ
dR
dξ− (an,m − c2ξ2 − m2
ξ2 + 1)R = 0, c = kd,
(1− η2)d2Θ
dη2− 2η
dΘ
dη+ (an,m + c2 − m2
1− η2)Θ = 0,
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0.
(5.50)
Nuevamente tenemos presente la ecuacion armonica simple para la variable ϕ, y por
lo tanto tiene solucion e−imϕ. Esta ecuacion la tenemos presente en los cuatro sistemas de
coordenadas clasificados como rotacionales.
Las soluciones de la ecuacion con respecto a la variable η es la funcion de onda angular
oblata. La cual podemos obtener directamente de las prolata unicamente haciendo el cambio
c por −ic, de esta forma la funciones de onda angular achatadas de primer y segundo tipo
son definidas como sigue
S(1)mn(−ic, η) =
∞∑r=0,1
′dmnr (−ic)Pmm+k(η), (5.51)
S(2)mn(−ic, η) =
∞∑r=−∞
′dmnr (−ic)Qmm+k(η). (5.52)
Los coeficientes de expansion dmnr (−ic) pueden ser calculados usando las mismas
operaciones que para las alargadas, solo cambiando c por −ic.
En la Figura 5.16 podemos ver las funciones de onda Angular achatadas de primer tipo,
en (a) para m = 1, c = 5 y n = 0, 1, 2, 3 en (b) para m = 1, c = 5 y n = 1, 2, 3, 4,
124 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
(a) (b)
Figura 5.16: Funcion de onda Angular oblata de primer tipo a)m=0, c=5 b) m=1, c=5
Ahora en la Figura 5.17 presentamos la funcion de onda angular oblata de segundo
tipo, en (a) para m = 1, c = 1 y n = 1, 2, 3, 4, en (b) para m = 2, c = 1 y n = 2, 3, 4, 5. En
esta funcion tiene singularidades en ±1 similarmente a las prolatas.
(a) (b)
Figura 5.17: Funcion de onda Angular oblata de segundo tipo a) m=1, c=1 b) m=2, c=1
5.2. Coordenadas Rotacionales 125
La funcion de onda radial oblata puede ser obtenida de la prolata, haciendo los siguientes
cambios c por −ic y ξ por iξ.
En la Figura 5.19 podemos ver el comportamiento de la funcion de onda radial achatada
de primer tipo, en (a) para m = 1, c = 5 y n = 1, 2, 3, 4, en (b) para m = 2, c = 5 y
n = 2, 3, 4, 5. En ellas es posible observar su comportamiento oscilatorio y su convergencia a
cero para valores de ξ grandes.
Estas funciones radiales achatadas tambien son de cuatro tipos, las ultimas dos son
combinaciones de las primeras dos
R(3)m,n(−ic, iξ) = R(1)
m,n(−ic, iξ) + iR(2)m,n(−ic, iξ),
R(4)m,n(−ic, iξ) = R(1)
m,n(−ic, iξ)− iR(2)m,n(−ic, iξ).
(5.53)
Con la consideracion de el rango alternativo −∞ < ξ < ∞, para este sistema de
coordenadas, fue como Rodriguez [42], explico a detalle el formalismo para los lımites de los
haces paraxiales y noparaxiales
Finalmente para este sistema de coordenadas es necesario tener la expansion asintotica
de estas funciones para constatar que satisface la condicion de radiacion. La convergencia es
similar a las coordenadas esferoidales prolatas debido a la multiplicacion (−ic)(iξ) = cξ.
R(1)m,n −−−→
cξ→∞
1
cξcos [cξ − 1
2(n+ 1)π],
R(2)m,n −−−→
cξ→∞
1
cξsin [cξ − 1
2(n+ 1)π],
R(3)m,n −−−→
cξ→∞
1
cξei[cξ−
12
(n+1)π],
R(4)m,n −−−→
cξ→∞
1
cξe−i[cξ−
12
(n+1)π].
(5.54)
Por lo tanto, tenemos que R(1)m,n(−ic, iξ) y R
(2)m,n(−ic, iξ) representan ondas estacionarias
[18], R(3)m,n(−ic, iξ) R(4)
m,n(−ic, iξ) representan ondas viajeras entrantes y salientes respectiva-
mente. En la Figura 5.19 presentamos funciones de onda radial oblatas con parametros c = 5
y m = 1, en a de primer tipo para n = 1, 2, 3, 4, en b) de segundo tipo para n = 1, 2, 3, 4, en
c) el perfil de onda tıpico de este sistema coordenado un esferoide de revolucion achatado, y
en d el valor absoluto de la solucion fundamental. El comportamiento de convergencia a cero
a razon de 1/r se observa en las graficas de la solucion fundamental, sumado a la formula
de expansion asintotica de estas funciones se comprueba su cumplimiento de la condicion de
radiacion de Sommerfeld.
126 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.18: Solucion en coordenadas Esferoidales Oblatas con parametros c = 5, m = 1
a)Funcion de onda radial oblata primer tipo b) Funcion de onda radial oblata segundo tipo
c) perfil del frente de onda y d) Valor absoluto de la solucion fundamental
5.2.4. Coordenadas Parabolicas
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas parabolicas, obtenemos
las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
5.2. Coordenadas Rotacionales 127
d2M
dµ2+
1
µ
dM
dµ+ (k2µ2 − kq2 − m2
µ2)M = 0, (5.55)
d2V
dν2+
1
ν
dV
dν+ [k2ν2 + kq2 − m2
ν2]V = 0, (5.56)
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0. (5.57)
Para obtener la forma canonica de las dos primera ecuaciones, multiplicamos por 1k
cada
ecuacion, con en fin obtener en todos los terminos de las ecuaciones las variables multiplicadas
por el numero de onda k, una vez logrado esto hacemos el cambio de variable k1/2µ → µ
para la primer ecuacion y k1/2ν → ν para la segunda, resultando
d2M
dµ2+
1
µ
dM
dµ+ [µ2 − q2 − m2
µ2]M = 0,
d2V
dν2+
1
ν
dV
dν+ [ν2 + q2 − m2
ν2]V = 0,
d2Φ
dϕ2+m2Φ = 0.
(5.58)
La ecuacion con respecto a la variable acimutal ϕ, al igual que el resto de las coordenadas
rotacionales tiene solucion e−imϕ.
Las otras dos ecuaciones son practicamente iguales, la diferencia entre ellas es la con-
stante q2, en una positiva y en la otra negativa. Sı observamos detenidamente estas ecuaciones
podemos notar que es muy simular a la ecuacion Bessel. Cuando el numero de onda para
esta ecuacion es cero k = 0, tenemos exactamente la ecuacion de Bessel. Por esta razon, un
nombre apropiado para esta ecuacion es ecuacion de onda Bessel [10].
Tenemos un par de alternativas para resolver esta ecuacion, la primera es realizando
los cambios de variable µ2 = v y M = v−1/2V y obtenemos la ecuacion hipergeometrica
confluente (Whittaker) [43]. Al realizar estos cambios las soluciones involucran numero
complejos [22], y no es facil de apreciar su comportamiento oscilatorio.
128 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
La otra alternativa es resolver la ecuacion de Bessel utilizando el metodo de Frobenius,
el cual es claramente similar al de las funciones Bessel, y en efecto cuando k = 0, el resultado
corresponde a la funcion Bessel.
En el apendice C mostramos las operaciones necesarias para encontrar la solucion de la
ecuacion de onda Bessel, tambien tenemos su correspondiente solucion para la de segundo
tipo, la cual podemos llamar funcion de onda Neumann.
La solucion completa para valores no enteros de m, es
AJwm(q2, ν) +BJw−m(q2, ν). (5.59)
Para la solucion de la ecuacion correspondiente a la variable ν, unicamente cambiamos
q2 por −q2, es decir
AJwm(−q2, µ) +BJw−m(−q2, µ). (5.60)
Al igual que ocurre para las funciones Bessel convencionales, para valores enteros de m
es necesario utilizar las funciones de segundo tipo. La solucion fundamental para este sistema
implicara la suma de la de primer tipo mas el imaginario de la de segundo tipo, esto es
AJwm(q2, ν) + iBNwm(q2, ν). (5.61)
En la Figura 5.19, presentamos la funcion de onda Bessel, con parametro q = 8 y
m = 0, 1, 2, 3 en (a) de primer tipo, en (b) de segundo tipo o funcion de onda Neumann, en
c) el perfil del frente de onda y en d) el comportamiento del valor absoluto de la solucion
fundamental, donde podemos notar su comportamiento asintotico a cero al incrementar el
valor de la variable.
De estas soluciones, podemos determinar las funciones que representan ondas viajeras,
estas funciones son equivalentes a las funciones Hankel.
H(1)p (q2, ν) = Jwp(q
2, ν) + iNwp(q2, µ),
H(2)p (q2, ν) = Jwp(q
2, ν)− iNwp(q2, ν).(5.62)
Cuando el valor de ν tiende a infinito las funciones converge a las funciones parabolicas
cilındricas con atenuacion a una razon de 1√ν, esto lo podemos apreciar en la ecuacion
diferencial ordinaria de onda Bessel, pues para valores grandes tenemos un termino
multiplicado por 1ν
y otro por 1µ2 y se hacen cero para valore grandes quedando la ecuacion
diferencial cilındrica parabolica. Es ası, que satisface la condicion de radiacion de Sommerfeld.
5.2. Coordenadas Rotacionales 129
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.19: Solucion en coordenadas Parabolicas a) Funcion de onda Bessel, b) funcion de
onda Neumann c) perfil del frente de onda, y d) Valor absoluto de la solucion fundamental
Por otra parte, las funciones de onda Bessel para −q2, y continuando con las referencias
a las funciones Bessel, a esta funciones las llamamos funcion de onda Bessel modificada,
debido a que tambien puede ser obtenida haciendo el cambio µ→ iµ en la funcion de onda
Bessel. Pero la diferencia con las Bessel modificadas es que estas si oscilan. Al incrementar
130 Capıtulo 5. Campos de ondas simetricos de la ecuacion de Helmholtz
el valor de q, las oscilaciones aparecen a una distancia cada vez mayor del origen, tal y como
lo vemos en las Figura 5.20.
(a) (b)
Figura 5.20: Funcion de onda Bessel modificada a) q = 3 y p b) q = 4 y p
Para este sistema de coordenadas encontramos que la variables que nos permite
representar campos radiantes, es la correspondiente a la variable ν cuyo perfil describe una
parabola negativa.
5.3. Conclusiones
En este capıtulo presentamos las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias y
sus graficas, las cuales resultaron de la separacion de la ecuacion de Helmholtz en los sistemas
de coordenadas con simetrıa de traslacion y rotacion: rectangulares, cilındricas circulares,
cilındricas elıpticas, cilındricas parabolicas, esfericas, esferoidales prolatas, esferoidales
oblatas y parabolicas.
Tambien identificamos la ecuacion de la variable radial y mostramos que su solucion
nos representa ondas viajeras, mostramos las condiciones que deben satisfacer y mostramos
las graficas de esta solucion fundamental.
Para el siguiente capıtulo, continuaremos con las soluciones de los sistemas de
coordenadas menos comunes.
Capıtulo 6
Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de
Helmholtz
En este capıtulo, presentamos las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias
correspondientes a los sistemas coordenados elipticoidales: conicas, paraboloidales y
elipsoidales
De manera similar al capıtulo previo, a fin de presentar las soluciones normalizamos las
ecuaciones en su forma canonica. Luego estudiaremos las caracterısticas de estas soluciones
que permiten representar ondas radiantes, para cada uno de estos sistemas de coordenadas
6.1. Introduccion
En los textos de la fısica matematica es difıcil de encontrar estos sistemas de
coordenadas, y aun mas difıcil es encontrar las soluciones a la ecuacion de Helmholtz para
estos sistemas de coordenadas. Sin embargo, en el cada vez mas importante estudio de los
fenomenos de campo relacionados con las condiciones de contorno o simetrıas complejas, que
pueden ser estudiados de una mejor manera en los sistemas de coordenadas que mejor se
adapten a ellos.
Presentaremos las soluciones (funciones especiales) que son poco comunes. Incluso
algunas de estas funciones sus graficas no se encuentran en la literatura, por ejemplo,
las funciones de onda paraboloidales, o algunas no muestran suficiente informacion de su
comportamiento, como por ejemplo las funciones de onda Lame [44]. Ya que estas funciones
son las mas complejas que se pueden obtener de la separacion de la ecuacion de Helmholtz.
Repetimos el procedimiento utilizado para los sistemas de coordenadas mas comunes,
primeramente vamos a normalizar la ecuacion en su forma canonica, por lo que, el resultado
son ecuaciones adimensionales. Esta normalizacion no se ha encontrado en la literatura para
las ecuaciones de algunos de estos sistemas de coordenadas, en ciertos textos los autores
no tuvieron en cuenta las unidades en los terminos de las ecuaciones, cuando se asignan
131
132 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
las constantes de separacion, lo que conlleva a errores fısicos, porque las unidades no son
uniformes para todos los terminos de la ecuacion.
Una vez que tenemos las ecuaciones sin dimensiones, procederemos a encontrar sus
correspondientes soluciones, utilizaremos tambien el metodo de series de potencias. Sin
embargo, para los sistemas elipsoidales y paraboloidales, a pesar de que las ecuaciones para
estos sistemas son extremadamente difıciles de tratar, se lograron conseguir los resultados
mediante la propuesta de soluciones tal como las series de potencias, pero aun requiere una
mayor estabilidad de estos, debido a que, contamos con tecnicas numericas para encontrar y
estudiar un mayor numero de parametros. Mas detalles de las soluciones de estas ecuaciones
diferenciales ordinarias las podemos encontrar en el Apendice C.
Mas tarde, presentaremos los graficos donde se observa el comportamiento de estas
soluciones. A pesar de tener las soluciones, es indispensable tener precaucion para determinar
si estas soluciones pueden representar ondas viajeras, es decir, que satisfagan la condicion
de radiacion Sommerfeld.
6.2. Coordenadas Elipticoidales
6.2.1. Coordenadas Conicas
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas conicas, obtenemos las
siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
r2d2R
dr2+ 2r
dR
dr+ (k2r2 − n(n+ 1))R = 0, (6.1)
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)d2Θ
dθ2e
− θe[2θ2e − (b2 + c2)]
dΘ
dθe+ [n(n+ 1)θ2
e − q(b2 + c2)]Θ = 0, (6.2)
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)d2Φ
dϕ2e
+ ϕe[2ϕ2e − (b2 + c2)]
dΦ
dϕe− [n(n+ 1)ϕ2
e + q(b2 + c2)]Φ = 0. (6.3)
La primera ecuacion es la unica que contiene el numero de onda k, para obtener su
forma canonica, multiplicamos el primer termino por k2
k2 , y el segundo por kk. Posteriormente
hacemos el cambio de variable kr → r. Para las otras dos ecuaciones no es necesario hacer
los cambios .
El conjunto de tres ecuaciones diferenciales en su forma canonica es
6.2. Coordenadas Elipticoidales 133
r2d2R
dr2+ 2r
dR
dr+ (r2 − n(n+ 1))R = 0,
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)d2Θ
dθ2e
− θe[2θ2e − (b2 + c2)]
dΘ
dθe+ [n(n+ 1)θ2
e − q(b2 + c2)]Θ = 0,
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)d2Φ
dϕ2e
+ ϕe[2ϕ2e − (b2 + c2)]
dΦ
dϕe− [n(n+ 1)ϕ2
e + q(b2 + c2)]Φ = 0.
(6.4)
La ecuacion (6.1) es exactamente la ecuacion Bessel esferica, si nosotros recordamos en
este sistema la superficie correspondiente a la variable r son esferas concentricas identicas a
las coordenadas esfericas.
Por lo tanto, la solucion completa de esta ecuacion es
Ajn(r) +Bnn(r), (6.5)
donde A y B son constantes arbitrarias, ademas jn y nn son las funciones Bessel esfericas
de primer y segundo tipo respectivamente, de las cuales obtenemos las de tercer y cuarto
tipo. Las llamadas funciones Hankel esfericas.
h(1)n (r) = jn(r) + inn(r),
h(2)n (r) = jn(r)− inn(r).
(6.6)
Estas funciones Hankel esfericas h(1)n (r) y h
(2)n (r) representan ondas viajeras entrantes
y salientes respectivamente. De manera individual jn y yn representan ondas estacionarias.
En la Figura 6.1, presentamos las funciones Bessel esfericas para n = 0, 1, 2, 3, en a) de
primer tipo, en b) de segundo tipo, en c el perfil del frente de onda y en d) el comportamiento
del valor absoluto de la solucion fundamental. La solucion es igual que para las coordenadas
esfericas, es decir, estas funciones pueden representar campos radiantes, las diferencias entre
estos dos sistemas se encuentra en los dos coordenadas restantes.
134 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.1: a)Funcion Bessel esfericas, b)Funciones Neumann esfericas, c) Perfil del frente
de onda, y d) Valor absoluto de la solucion fundamental
Las ecuaciones restantes correspondientes a las variables θe y ϕe son llamadas ecuacion
de Lame, debemos tener presente que estas son equivalentes a las coordenadas angular y
acimutal en las coordenadas esfericas, pero con trayectorias elipticoidales. Ambas ecuaciones
son iguales.
Existes cinco formas de solucionar la ecuacion de Lame: la Jacobiana, la Weierstrassian,
dos formas algebraicas y una trigonometrica [45, 46, 60].
6.2. Coordenadas Elipticoidales 135
Para una forma mas general de esta ecuacion, proponemos los siguientes cambios
h2 = c2−b2c2
y el modulo complementario h′2 = b2
c2, y realizando algebra obtenemos la siguiente
ecuacion de Lame [46]
(1− θ2e)(1− h2θ2
e)d2Θ
dθ2e
− θe(1 + h2 − 2h2θ2e)dΘ
dθe+ (q − n(n+ 1)θ2
e) = 0. (6.7)
Tomando esta forma de la ecuacion Lame, y haciendo el cambio de variable θe → sn z,
donde sn en la funcion elıptica Jacobi, obtenemos la forma de Jacobiana de esta funcion.
A pesar de que la funcion Lame tiene mas de un siglo de ser conocida, es difıcil encontrar
en la literatura fısica-matematicas graficas de estas funciones. En recientes trabajos se han
presentado estudios y aplicaciones de la funcion Lame en su forma Jacobiana, incluyendo
algunas graficas [20, 48].
La solucion de esta ecuacion en su forma algebraica se realiza empleando series de
potencia, pero la mas utilizada es haciendo uso de las funciones Elıpticas Jacobianas.
Nosotros hemos descrito el sistema de coordenadas empleando la forma algebraica, por esta
razon las soluciones las encontraremos para la misma forma algebraica
Entonces proponemos la solucion de la forma
Lmn (θe) = θr/2e (1− θe)s/2(1− h2θ2e)t/2
n∑j=0
aj(1− θ2e)j, (6.8)
donde r, s, t son cero o uno, p = (1/2)(n − r − s − t). Para valores fijos de n existen
2n+ 1 parametros de separacion qmn . Tenemos ocho posibles soluciones, que corresponden a
las ocho posibles combinaciones r, s, t.
Al sustituir esta serie en la ecuacion (6.7), obtenemos una ecuacion de recurrencia, la
cual puede resolverse como un problema de eigenvalores.
La construccion de estas funciones son de manera similar a las funciones Mathieu, es
decir, para funciones par dos con diferentes periodos, y para impares otras dos con periodos
diferentes tambien [46]. Esto aplica perfectamente cuando se usa la forma Jacobiana, pero
para la forma algebraica, los periodos no son simples o dobles. Pero siguen siendo ocho
posibles soluciones, cuatro pares y cuatro impares. Para su representacion utilizamos las
siguientes variables
Km2n Lm2n+2 Mm
2n+2 Nm2n+2 Km
2n+1 Lm2n+1 Mm2n+1 Nm
2n+3. (6.9)
Para detalles de las operaciones realizadas para resolver la ecuacion de Lame, podemos
ver el Apendice C
Ahora mostramos las graficas de las funciones Lame de primer tipo, en las Figura 6.2
en (a) para Km2n con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3, en (b) para Lm2n+2 con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3.
136 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
(a) (b)
Figura 6.2: Funcion Lame de primer tipo a) Km2n con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3 b) Lm2n+2 con
n = 8 y m = 0, 1, 2, 3.
En la Figura 6.3 podemos tenemos la funcion Lame de primer tipo, en (a) para Mm2n+1
con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3, en (b) para Nm2n+3 con n = 8 y m = 0, 1, 2, 3.
(a) (b)
Figura 6.3: funcion Lame de primer tipo a) Mm2n+1 b) Nm
2n+3
6.2. Coordenadas Elipticoidales 137
En la figura 6.4 presentamos la funcion Lame de primer tipo , en a para Km2n+1 con
n = 9 y m = 0, 1, 2, 3, en (b) para Lm2n+1 con n = 9 y m = 0, 1, 2, 3.
(a) (b)
Figura 6.4: Lame function first kind a) Km2n+1 b) Lm2n+1
En la Figura 6.5 tenemos la funcion Lame de primer tipo, en a para Mm2n+2 con n = 9
y m = 0, 1, 2, 3, en (b) para Nm2n+2 con n = 9 y m = 0, 1, 2, 3.
(a) (b)
Figura 6.5: Lame function a) Mm2n+1 b) Nm
2n+1
138 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
Es importante mencionar que estas funciones se utilizan para representar los elipsoidales
armonicos, las cuales son equivalentes las esfericos armonicos, debido a que estas funciones
tambien son soluciones de la ecuacion de Laplace en coordenadas elipsoidales.
6.2.2. Coordenadas Paraboloidales
Existen pocos trabajos de la solucion de la ecuacion de Helmholtz en este sistema
de coordenadas, e incluso hasta el momento no encontramos graficas en la literatura
especializada para estas soluciones.
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas Paraboloidales, tenemos
el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, resaltando la congruencia de la
unidades en todos los terminos de estas ecuaciones al incluir el numero de onda k como parte
de las constantes de separacion
(µe − c)(µe − b)d2M
dµ2e
+ [2µe − (b+ c)]dM
dµe+[k2µ2
e − sk(b+ c) + kpµe]M = 0,
(c− νe)(b− νe)d2V
dν2e
+ [2νe − (b+ c)]dV
dνe+[k2ν2
e − sk(b+ c) + kpνe]V = 0,
(c− ϕe)(ϕe − b)d2Φ
dϕ2e
− [2ϕe − (b+ c)]dΦ
dϕe−[k2ϕ2
e − sk(b+ c) + kpϕ]
Φ = 0.
(6.10)
Estas tres ecuaciones en esta forma algebraica son conocidas como Ecuacion de onda
Paraboloidal o tambien son llamadas ecuacion de onda baer [13], podemos notar que las tres
ecuaciones son iguales, en la ecuacion con respecto a νe, invertimos los factores (c−νe)(b−νe)por (νe − c)(νe − b), y en la ecuacion con respecto a ϕe invertimos el factor (c − ϕe) para
obtener −(ϕe − c) y multiplicamos la ecuacion por −1, de esta forma las tres ecuaciones
quedan exactamente iguales. Para obtener las soluciones de las variables coordenadas se debe
evaluar la ecuacion de Onda Baer para el rango correspondiente de la variable coordenada,
por ejemplo si queremos resolverla con respecto a ϕe la ecuacion la debemos evaluar en el
rango (b, c) que es el rango de esta variable.
En este sentido, primero obtendremos la forma canonica de estas ecuaciones, para ello
multiplicamos el primer termino por k2
k2 , y el segundo termino por kk, para despues proponer
el siguiente cambio ck = c, bk = b y kµ = µ. Repetimos este procedimiento para las tres
ecuaciones, y de esta forma tenemos las ecuaciones de las coordenadas paraboloidales en su
forma canonica
6.2. Coordenadas Elipticoidales 139
(µe − c)(µe − b)d2M
dµ2e
+ [2µe − (b+ c)]dM
dµe+[µ2e − s(b+ c) + pµe
]M = 0,
(c− νe)(b− νe)d2V
dν2e
+ [2νe − (b+ c)]dV
dνe+[ν2e − s(b+ c) + pνe
]V = 0,
(c− ϕe)(ϕe − b)d2Φ
dϕ2e
− [2ϕe − (b+ c)]dΦ
dϕe−[ϕ2e − s(b+ c) + pϕe
]Φ = 0.
(6.11)
Ahora, para la solucion de esta ecuacion diferencial son escasos los trabajos existentes,
y de los pocos existentes la mayorıa opta por solucionarla en su forma trigonometrica, pues
parecıa ser el camino viable para resolver esta ecuacion. Sin embargo hemos encontrado que a
pesar de que matematicamente resolvemos la ecuacion de manera correcta, no necesariamente
esta podrıa tener un significado fısico apropiado, congruente con la representacion de ondas
propagantes, que es precisamente el significado de la ecuacion de Helmholtz. En este sentido,
para las soluciones de la ecuacion de onda Paraboloidal, iniciamos trabajandola en su
forma trigonometrica, que es donde autores como Urwin y Arscott la resuelven [46, 49].
Encontramos que unicamente muestran resultados analıticos para la variable angular, sin
presentar graficas de estas soluciones.
Recordemos que los sistemas de coordenadas los obtenemos a partir de las ecuaciones de
transformacion, y estas ecuaciones no estas restringidas a una sola funcion, si no que pueden
emplearse funciones equivalentes que dan exactamente las mismas superficies coordenadas,
el sistema Paraboloidal nosotros lo hemos presentado a partir de funciones algebraicas,
pero tambien se tiene una forma trigonometrica de representarlo. Es precisamente en
la forma trigonometrica donde se han obtenido mas resultados de esta ecuacion. Por
esta razon consideramos que es importante mostrar las soluciones obtenidas en la forma
trigonometrica, para lo cual iniciaremos obteniendo la ecuacion de onda Paraboloidal en su
forma trigonometrica.
Para realizar la conversion de la forma algebraica a la trigonometrica, proponemos el
siguiente cambio de variable ψ = cos2 ϕe y tambien consideramos b = 0 y c = 1, obteniendo
la siguiente ecuacion
d2Φ
dψ2+ (β + γ cos 2ψ − 1
2cos 4ψ)Φ, (6.12)
donde β = 32
+ 2p − 4s y γ = 2(p + 1) esta es la ecuacion de onda Paraboloidal
en su forma trigonometrica, que tambien es general ya que si queremos las ecuaciones
para las otras dos variables coordenadas, unicamente tenemos que reemplazar ϕ → iµeor ϕ→ iνe + (1/2)π. La ecuacion 6.12 es conocida como la ecuacion de hill de tres terminos,
o tambien ecuacion de Whittaker-Hill [46, 49]. Ya en esta ecuacion, si deseamos resolverla
140 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
mediante series trigonometricas, tendremos una relacion de recurrencia de cinco terminos
entre los coeficientes, ası que la propuesta de series trigonometricas es complicada de aplicar.
Por lo tanto, proponemos los siguientes cambios
(1/2) = −(1/8)χ2, β = α− 1
8χ2, γ = −(p+ 1)χ, (6.13)
entonces tenemos
d2Φ
dψ2+ [α− 1
8χ− (p+ 1)χ cos 2ψ +
1
8χ2 cos 4ψ]Φ = 0. (6.14)
La transformacion
Φ = Ψe−14χ cos 2φ, (6.15)
se reduce a [46, 49].
d2Ψ
dφ2+ χ sin 2φ
dΨ
dφ+ (α− pχ cos 2φ)Ψ = 0, (6.16)
esta es la ecuacion de Ince. Esta ecuacion diferencial lineal fue estudiada primeramente
por Ince [50]. En esta ecuacion si hacemos que p tienda a infinito y χ a cero, de tal manera
que pχ sea finito, entonces esta ecuacion se convierte en la ecuacion de Mathieu. Es mas la
ecuacion de Mathieu tambien se puede obtener desde la forma algebraica, haciendo cero el
termino que contiene a el numero de onda k2, tenemos la Ecuacion de Baer y posteriormente
realizando un cambio de variable obtenemos la ecuacion de Mathieu, es decir la ecuacion de
Mathieu tambien aparece al separar la ecuacion de Laplace en coordenadas Paraboloidales.
Tal como para la ecuacion de Mathieu, las soluciones periodicas de la ecuacion de
Ince podrıan ser par e impar, con periodos simple o doble; recientemente Bandres [51, 52],
presento graficas y aplicaciones de estas funciones.
Para solucionarla podemos proponer una solucion de la forma
Ψ =∞∑r=0
A2r cos 2rφ. (6.17)
Ince demostro que, cuando p es par entero, es decir, p = 2n y ademas α se escoge de
manera que An+1 = 0, despues con r = n mostro que An+2 = 0 y tambien An+3=An+4=...0,
la solucion es una serie finita terminando en An cos 2nφ [50]. Ahora tenemos cuatro soluciones
y estas son representadas como sigue [46, 49]
6.2. Coordenadas Elipticoidales 141
C2m2n =
n∑r=0
A2r cos 2rφ,
C2m2n+1 =
n∑r=0
A2r+1 cos (2r + 1)φ,
S2m2n+2 =
n∑r=0
B2r+2 sin (2r + 2)φ,
S2m2n+1 =
n∑r=0
B2r+1 sin (2r + 1)φ.
(6.18)
Una vez que tenemos las soluciones polinomiales de la ecuacion de Ince, retomamos el
cambio que se hizo para obtener la ecuacion de Whittaker-Hill, y obtenemos
hcmp (φ, χ) = e−14χ cos 2φCm
p (φ, χ),
hsmp (φ, χ) = e−14χ cos 2φSmp (φ, χ),
(6.19)
Donde hc y hs son las funciones de onda paraboloidal trigonometrica par e impar
respectivamente. De esta forma, presentamos las graficas para estas funciones, que
corresponden a la coordenada φ, la cual es equivalente a la coordenada acimutal en las
coordenadas rotacionales y con la transformacion a la forma trigonometrica nuevos rangos
son: −π < φ < π. En la Figura 6.6, podemos ver la funcion de onda paraboloidal angular,
en (a) hc(φ, χ) para p = 2, m = 2 y χ = 0, 1, 2, 3, en (b) hc(φ, χ) para p = 3, m = 1 y
χ = 0, 1, 2, 3, estas son las funciones par de perıodo simple y doble.
(a) (b)
Figura 6.6: Funcion de onda paraboloidal angular par a) p = 2, m = 2 b) p = 3, m = 1
142 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
En la Figura 6.7 mostramos la funcion de onda paraboloidal impar, in (a) para hs(ϕ, χ)
con p = 2, m = 2 y χ = 0, 1, 2, 3, en (b) hs(ϕ, χ) para p = 3, m = 1 y χ = 0, 1, 2, 3.
(a) (b)
Figura 6.7: Funcion de onda paraboloidal impar a) p = 2, m = 2 b) p = 3, m = 3
El primer problema que encontramos es que el parametro χ es obtenido a partir de
proponer una igualdad que implica numeros imaginarios, debido a que nosotros normalizamos
la ecuacion solo es igual a i veces una constante. Sı este parametro es un numero complejo la
funcion de onda paraboloidal nos resulta un numero complejo. Matematicamente es correcto
pero fısicamente no nos proporciona significado.
Por otra parte, de acuerdo con el trabajo de Arscott y Urwin [46, 49], si nosotros
queremos obtener las soluciones para las otras dos variables de el sistema de coordenadas
paraboloidales, solo es necesario hacer los cambios φ→ iµe o ϕ→ iνe + (1/2)π. Por ejemplo
para µe tenemos
hcmp (iµ, χ) = e−14χ cosh 2µCm
p (iµ, χ),
hsmp (iµ, χ) = e−14χ cosh 2µSmp (iµ, χ).
(6.20)
Esta situacion es similar a lo que ocurre con las funciones radiales Mathieu, cuando
se solucionan mediante sumatorias de funciones hiperbolicas, salvo que con las funciones
Mathieu el problema con las funciones hiperbolicas se corrige al obtener sus soluciones
6.2. Coordenadas Elipticoidales 143
en terminos de las funciones Bessel, consiguiendo de esta manera obtener soluciones
convergentes para valores grandes [3]. Sin embargo para las funciones paraboloidales aun
no han sido obtenidas en termino de otras funciones.
De acuerdo con esta teorıa, cuando hacemos estos cambios de variables por imaginarios
la solucion podrıa representar ondas viajeras, sin embargo, al proponer estos cambios de
variable y ver las soluciones, es claro que, a pesar de que la suma de las funciones hiperbolicas
crece rapidamente, en la funcion exponencial elevada a una funcion coseno hiperbolico
numericamente hace que sea practicamente cero aun para valores pequenos. A fin de verificar
estas observaciones obtuvimos graficas para diferentes valores y parametros, donde podemos
revisar el comportamiento de estas funciones.
Debido a los ordenes de de magnitud resultantes de las multiplicaciones y sumas
de las funciones hiperbolicas, pudimos notar un comportamiento de incremente en la
magnitud de las funciones al resolver las impares, pero debido a los valores extremadamente
grandes, los resultados divergen. Esto solo nos permitio observar la funcion para valores
muy pequenos. Posteriormente consideramos resolver numericamente esta ecuacion en
la forma trigonometrica, fue ası que obtuvimos resultados para valores mayores, y nos
permitio observar el comportamiento de estas soluciones para el caso trigonometrico.
Ahora, en la Figura 6.8 presentamos la funcion de onda paraboloidal par para la variable
µ, en (a) obtenida a partir de hc(µ, χ) con χ = 0,5, m = 4 y p = 42, 44, 46, 48, en (b) funcion
de onda paraboloidal impar obtenida a partir de hs(µ, χ) con los mismo parametros, donde
es claro ver que la solucion par tiene un buen comportamiento, pero la solucion impar
incrementa su magnitud conforme aumenta el valor de µ. Lo cual definitivamente no nos
permitira representar ondas viajeras.
Con la finalidad de observar el comportamiento de estas soluciones para valores mayores
de µ la resolvimos empleando tecnicas de solucion numerica, las cuales presentamos en la
Figura 6.9, en esta podemos ver un comportamiento similar al que se obtuvo en la ecuacion de
Whittaker-Hill, es decir la funcion par oscila y disminuye su amplitud, solo que la frecuencia
aumenta y posteriormente tiende a cero de forma exponencial, tal y como se aprecia en
la Figura, ahora para la solucion impar oscila pero a la vez incrementa su amplitud al
incrementar µ, sin embargo, posteriormente la magnitud tambien disminuye de manera
exponencial. La frecuencia en ambos casos se incrementa a valores muy grandes. Con la
finalidad de obtener mas informacion realizamos graficas contra cosh2 µ donde la funcion
tendio a ser periodica pero los incrementos en la magnitud para la funcion impar se siguen
presentando. Si graficamos el absoluto de la suma de las funciones par e impar es creciente
con oscilaciones muy grandes, que tampoco permite la representacion de ondas propagantes.
Para tener mayor certeza de los resultados, estas funciones en la forma trigonometrica
fueron obtenidas con los mismos parametros que emplearemos para obtener las soluciones
en la forma algebraica. A pesar de que la forma trigonometrica de la funcion de onda
144 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
paraboloidal, no nos permite obtener las soluciones fundamentales de la ecuacion de
Helmholtz, estas funciones podrıan tener otras aplicaciones, tal como ocurre con las funciones
Weber en las coordenadas cilındricas parabolicas.
(a) (b)
Figura 6.8: Funcion de onda paraboloidal a) Par b) Impar
(a) (b)
Figura 6.9: Funcion de onda paraboloidal a) Par b) Impar
6.2. Coordenadas Elipticoidales 145
Ahora enfocandonos en la ecuacion de onda paraboloidal en la forma algebraica ecuacion
de onda Baer, realizamos algunos calculos empleando el metodo de Frobenius, pero aun
es necesario llevar a cabo mas pruebas de la solucion empleando este metodo. Entonces
decidimos resolverla empleando tecnicas numericas. Obtuvimos resultados alentadores al
resolverla en esta forma, debido a que estas son consistentes con los que se han sido obtenidos
para el resto de sistema de coordenadas.
Los valores de las constantes son b = 0 y c = 1, es decir, los mismos que empleamos para
realizar la transformacion a la forma trigonometrica. Al resolver la ecuacion de onda Baer
para valores entre b y c, tenemos oscilaciones que convergen unicamente para este rango, esto
es equivalente a la variable angular de los sistemas rotacionales, y para valores mas grandes
que c, este tiene un comportamiento que disminuye a razon de 1/√
(ν), es decir, converge a
cero con forme la variable independiente tiende a infinito.
En la Figura 6.10 presentamos los resultados para la ecuacion de onda paraboloidal, en
a) funcion par, en b) funcion impar, en c) el perfil del frente de onda y en d el valor absoluto
de la solucion fundamental.
Al observar esta Figura 6.10 podemos notar el comportamiento oscilatorio de las
soluciones, donde el primer valor de la funcion esta en la constante c. Tambien es posible
apreciar su convergencia a cero a razon de 1/√
(ν), lo que es congruente con la condicion
de radiacion de Sommerfeld, sin embargo en el valor absoluto de la solucion fundamental
tenemos la presencia de pequenos oscilaciones, las cuales son deficiencia del metodo numerico,
hemos realizado algunas pruebas y observamos que el problema se encuentra principalmente
en la fase de la solucion impar. Nosotros continuamos trabajando en la busqueda de optimizar
estos resultados numericos, y al mismo tiempo utilizar el metodo de Frobenius para una
solucion analıtica. En las cuales tenemos la certeza de obtener mejores resultados.
146 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.10: Funcion de onda paraboloidal a) par, b) impar , c) perfil del frente de onda, y
d) valor absoluto de la solucion fundamental
6.2. Coordenadas Elipticoidales 147
6.2.3. Coordenadas elipsoidales
De la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas elipsoidales, obtuvimos
el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales.
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2)d2L
dξ2e
+ ξe[2ξ2e − (b2 − c2)]
dL
dξe+ [k2ξ4
e + p(p+ 1)ξ2e + q(b2 + c2)]L = 0,
(η2e − b2)(c2 − η2
e)d2M
dη2e
− ηe[2η2e − (b2 + c2)]
dM
dηe− [k2η4
e + p(p+ 1)η2e + q(b2 + c2)]M = 0,
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)d2N
dϕ2e
+ ϕe[2ϕ2e − (b2 − c2)]
dN
dϕe+ [k2ϕ4
e + p(p+ 1)ϕ2 + q(b2 + c2)]N = 0.
(6.21)
Podemos observar que las tres ecuaciones son iguales, la diferencia se encuentra en
el rango de las variables. Para obtener la forma canonica de la primer ecuacion, primero
multiplicamos por k2, adicionalmente el primer termino lo multiplicamos por k2
k2 , y el segundo
por kk, esto, permite que la ecuacion sea adimensional, y ahora podemos proponer el cambio
de variable ck → c, bk → b y kξe → ξe. Posteriormente repetimos el mismo proceso para
las dos ecuaciones restantes, solo que los cambios con sus respectivas variables coordenadas.
Ahora tenemos la forma canonica de las ecuaciones del sistema de coordenadas elipsoidales.
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2)d2L
dξ2e
+ ξe[2ξ2e − (b2 − c2)]
dL
dξe+ [ξ4
e + p(p+ 1)ξ2e + q(b2 + c2)]L = 0,
(η2e − b2)(η2
e − c2)d2M
dη2e
+ ηe[2η2e − (b2 + c2)]
dM
dηe+ [η4
e + p(p+ 1)η2e + q(b2 + c2)]M = 0,
(ϕ2e − b2)(ϕ2
e − c2)d2Φ
dϕ2e
+ ϕe[2ϕ2e − (b2 − c2)]
dΦ
dϕe+ [ϕ4
e + p(p+ 1)ϕ2e + q(b2 + c2)]Φ = 0.
(6.22)
Las tres ecuaciones son iguales, y estas son conocidas como ecuacion de onda Elipsoidal
o ecuacion del onda Lame, de acuerdo con las variables coordenadas, podemos determinar
la region de convergencia de la solucion. Esto es consistente con las superficies que se
presentaron de este sistema, presentadas en el capıtulo 3, analizando esas figuras, esperamos
que la solucion nos permita representar ondas viajeras es la que corresponde a la ecuacion
de la variable ξe para la cual tenemos un elipsoide para valores c2 < ξ2e .
Desarrollos analıticos, enfocados en el caso asintotico de esta ecuacion fueron presentado
por Fedoryuk [53, 54, 55]. A fin de resolver esta ecuacion, encontramos dos metodos, el
primer metodo implica llevar a cabo cambio de variable y posteriormente proponer una
148 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
solucion tipo series de potencia, el cual fue propuesto por Arscott [56], sin embargo, en su
publicacion no proporciona graficas de estas soluciones, despues Willatzen [44], utilizando
tecnicas similares presento graficas pero con rangos muy cortos, que no permiten obtener
informacion apropiada del comportamiento de las soluciones, especialmente para analizar si
pueden representar ondas viajeras.
La otra tecnica de solucion es la numerica, que a pesar que aun es necesario mejorar la
precision de esta solucion, nos permiten obtener resultados satisfactorios para las soluciones
fundamentales de este sistema coordenado.
Nosotros trabajamos con ambas tecnicas, para la primera ya hemos tenido exito en la
obtencion de resultados, sin embargo, todavıa es necesario tener un control con los valores
propios de esta ecuacion, consideramos que es importante presentar los calculos de este
metodo tenemos la ecuacion para la variable ξe
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2)∂2L
∂ξ2e
+ ξe[2ξ2e − (b2 − c2)]
∂L
∂ξe+ [ξ4
e + p(p+ 1)ξ2e + q(b2 + c2)]L = 0. (6.23)
Con un cambio en la notacion, esta ecuacion es identica a la ecuacion de Lame presen-
tada en Morse and Feshbach [8]. La ultima y la mas intratable de las ecuaciones diferenciales
ordinarias en las cuales se separa la ecuacion de Helmholtz [46]. Sin embargo, Arscott usa
una forma diferente de la ecuacion de onda elipsoidal. Al obtener la forma algebraica como
una ecuacion general de las tres ecuaciones del sistema, usando t como variable.
t(t− 1)(t− a)∂2L
∂t2+
1
2[3t2 − 2(1 + a)t+ a]
∂L
∂t+ [λ+ µt+ γt2]L = 0, (6.24)
hacemos la transformacion t = ξ2, y la ecuacion 6.23 resulta
t(t−b2)(t−c2)∂2L
∂t2+
1
2[3t2−2(b2 +c2)t+b2c2]
∂L
∂t+
1
4[q(b2 +c2)+p(p+1)t+ t2]L = 0. (6.25)
Sı proponemos una nueva variable t = b2t, tenemos
t(t−1)(t− c2
b2)∂2L
∂t2+
1
2[3t2−2(1+
c2
b2)t+
c2
b2]∂L
∂t+
1
4[q(b2 + c2)
b2+p(p+1)t+b2t2]L = 0. (6.26)
Comparando con la ecuacion 6.24, resulta que
c2
b2= a, q(b2 + c2) = 4b2λ, p(p+ 1) = −4µ, 1 =
4
b2γ. (6.27)
6.2. Coordenadas Elipticoidales 149
Ahora trabajamos con la ecuacion (6.24), es posible escribir L en la forma [56, 44]:
L(t) = t%/2(t− 1)σ/2(t− c)τ/2F (t), (6.28)
donde %, σ y τ son 0 o 1, es decir, ocho diferentes tipos de L son posibles, y F es
una integral funcion de t. Esta expresion para L(t) garantiza que cualquier solucion sigue
siendo una de las cuatro formas de solucion de cada ecuacion (??). La funcion F puede
ser encontrada numericamente, nosotros insertando la ecuacion (6.28) dentro de la ecuacion
(6.24) construimos la solucion; en el apendice C mostramos a detalle las operaciones y
calculos para encontrar F
La relacion de recurrencia que se obtiene cuando proponemos la solucion formada por
series de la forma F (t) =∑∞
r=0Ar(t− t0)r, tiene cuatro terminos, lo que no permite aplicar
operaciones matriciales para encontrar los eigenvalores, entonces se utiliza un metodo de
recurrencia hacia atras propuesto por Arscott [56].
La ecuacion de onda elipsoidal es un problema de dos parametros. a es un parametro
geometrico, γ tiene un significado fısico tal como la frecuencia. Entonces podemos conocer
estos dos parametros, y nuestro problema es usualmente determinado por los eigenvalores µ
y λ.
Con el desarrollo de estas operaciones, obtuvimos las graficas que presentamos en la
Figura 6.11, podemos observar que presenta un comportamiento oscilatorio acoplada a su
decaimiento, el cual asintoticamente es [53]
Lw ∼ ξ−1, exp−iγξ1/2. (6.29)
Figura 6.11: Funcion de onda Lame % = σ = τ = 0, n = 0,m = 0
150 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
Como se menciono, este metodo requiere dos eigenvalores, aun tenemos trabajo que
hacer para tomar el control total de estos parametros, que requieren alta precision, para
nuestro caso tomamos los eigenvalores de los resultados presentados por Willatzen [44].
Por otra parte, empleando tecnicas numericas hemos encontrado las soluciones
fundamentales a esta ecuacion. Ademas comparando los resultados numericos con los
obtenidos por el otro metodo, los resultados son muy similares.
En la Figura 6.12 presentamos los resultados numericos de la solucion a la ecuacion de
onda Lame, en a) par, en b) impar, en (c) el perfil del frente de onda y en d) el valor absoluto
de la solucion fundamental.
Para tener una mayor confianza en los resultados, hemos colocado una lınea en la
Figura d, esto es 1/r, y a pesar de que el metodo numerico requiere de mayor precision, en
lo referente al comportamiento oscilatorio y al decaimiento de las soluciones, cumple. Lo que
nos permite afirmar que satisface la condicion de radiacion Sommerfeld. Por lo tanto, estas
funciones pueden representar ondas viajeras, la funcion de onda elipsoidal pare e impar, por
si solas representan ondas estacionarias. Por lo tanto, las soluciones fundamentales estan
dadas por
Lwe(ξe) + iLwo(ξe). (6.30)
Seguiremos trabajando para obtener resultados numericos cada vez mas precisos y
exactos, lo mismo en encontrar soluciones analıticas empleando el metodo de Frobenius,
o alguna combinacion de estas, para tener mejores resultados de estas funciones.
6.3. Conclusiones 151
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.12: Funcion de onda Lame o elipsoidal, a) par, b) impar, c) perfil del frente de
onda, y d) Valor absolutos de la solucion fundamental
6.3. Conclusiones
En este capıtulo, hemos presentado, la normalizacion en su forma canonica para
ecuaciones diferenciales ordinarias de los sistemas de coordenadas elipticoidales.
Despues obtuvimos el total de soluciones para estos sistemas de coordenadas, se
152 Capıtulo 6. Campos de ondas elipticoidales de la ecuacion de Helmholtz
comprobo que la solucion que nos permite representar ondas viajeras, se encuentra solo en
una variable de las tres que componen el sistema coordenado. Obtuvimos para esta variable
la solucion fundamental. Comprobamos que satisfacen la condicion de radiacion Sommerfeld,
y en este sentido, presentamos los graficos de estas soluciones.
En el siguiente capıtulo presentamos las conclusiones generales y e el trabajo futuro
para esta investigacion.
Capıtulo 7
Conclusiones Generales y trabajos futuros
Hemos realizado un estudio de la ecuacion escalar tridimensional de Helmholtz, para
los once sistema de coordenadas en el que se puede separar.
Iniciamos obteniendo la ecuacion vectorial de Helmholtz a partir de las ecuaciones de
Maxwell, indicamos que nos centramos en los valores positivos del numero de onda k, es
decir, solo las soluciones oscilatorias propagantes, que nos permiten la representacion de la
radiacion de campos electromagneticos. En este sentido, introdujimos el metodo para re-
solver la ecuacion vectorial de Helmholtz empleando las funciones vectoriales L, M y N , que
se obtienen a partir de las soluciones de la ecuacion escalar de Helmholtz.
Las ecuacion tridimensional escalar de Helmholtz se puede separar en los sigu-
ientes once sistemas de coordenadas: rectangular, cilındrica circular, elıptico cilındrico
parabolico cilındrico, esferico, alargado esferoidal, achatado esferoidal, parabolica,conicas,
paraboloidales y elipsoidales; y por lo tanto presentamos la correspondiente ecuacion de
Helmholtz para cada una de estas de coordenadas sistemas, mostramos como llegar a el-
las, a partir de la metricas o factores de escala de cada sistema de coordenadas. Tambien
presentamos apropiadamente, las superficies asociadas a las variables para cada uno de los
sistemas de coordenadas. Las clasificamos de acuerdo a sus caracterısticas en tres grupos, co-
ordenadas cilındricas, coordenadas rotacionales y las coordenadas elipticoidales destacando
la representacion unıvoca de un solo punto de interseccion de estas superficies para cada sis-
tema coordenado, ademas describimos las trayectorias o desplazamientos de estas superficies
en funcion del valor de sus variables.
A continuacion presentamos de manera resumida las superficies y las ecuaciones de
transformacion para los once sistemas de coordenadas.
153
154 Capıtulo 7. Conclusiones Generales y trabajos futuros
Sistema de
coordenadasEcuacion de
transformacion
Superficies coordenadas Sistema
Rectangular
x = x
y = y
z = z −∞<x<∞ −∞<y<∞ −∞<z<∞
Cilındrico Circular
x = ρ sinϕ
y = ρ cosϕ
z = z 0≤ρ<∞ 0≤ϕ<2π −∞<z<∞
Cilındrico Elıptico
x = f cosh ξ cos η
y = f sinh ξ sin η
z = z 0≤ξ<∞ 0≤η<2π −∞<z<∞
Cilındrico
Parabolico
x = µν
y = 12(µ2 − ν2)
z = z 0≤µ<∞ −∞<ν<∞ −∞<z<∞
Sistema de
coordenadas
Ecuacion de
transformacionSuperficies coordenadas Sistema
Esfericas
x = r sin θ cosϕ
y = r sin θ sinϕ
z = r cos θ0≤r<∞ 0≤θ≤π 0≤ϕ<2π
Esferoidal prolata
x = d sinh ξ sin η cosϕ
y = d sinh ξ sin η sinϕ
z = d cosh ξ cos η0≤ξ<∞ 0≤η≤π 0≤ϕ<2π
Esferoidal Oblata
x = d cosh ξ cos η cosϕ
y = d cosh ξ cos η sinϕ
z = d sinh ξ sin η0≤ξ<∞ −π/2<η<π/2 0≤ϕ<2π
Parabolicas
x = µν cosϕ
y = µν sinϕ
z = 12(µ2 − ν2)
0≤µ<∞ 0≤ν<∞ 0≤ϕ<2π
155
Sistema de
coordenadasEcuacion de
transformacion
Superficies coordenadas Sistema
Conicas
x = rθeϕeab
y =√
r2(θ2e−a2)(ϕ2e−a2)
a2(a2−b2)
z =√
r2(θ2e−b2)(ϕ2e−b2)
b2(b2−a2)0≤<r<∞ a2<θe<b2 0≤ϕe<a2
Paraboloidal
x =√
(µe−c)(c−νe)(c−ϕe)(c−b)
y =√
(µe−b)(b−νe)(ϕe−b)(c−b)
z = µe + νe + ϕe − b− c 0≤ρ<∞ 0≤ϕ<π −∞<z<∞
Elipsoidal
x = ηeξeϕebc
y =√
(ξ2e−b2)(η2e−b2)(b2−ϕ2
e)b2(c2−b2)
z =√
(ξ2e−c2)(c2−ηe)(c2−ϕe)c2(c2−b2)
0≤ξ<∞ 0≤η<2π −∞<z<∞
Por otra parte, utilizando la transformacion conformal, se obtuvo la relacion entre los cu-
atro sistemas de coordenadas bidimensionales: Rectangulares, circulares, elıpticas, paraboli-
cas
Como una tecnica alternativa para llevar a cabo la separacion de variables de la ecuacion
de Helmholtz, presentamos el determinante de Stackel. Mostramos el procedimiento para con-
struir el determinante de Stackel y sus complementos, que permiten la separacion de una
manera sistematica, incluso a los sistemas de coordenadas donde el metodo tradicional es
complicado.
Una vez obtenidos los conjuntos de ecuaciones diferenciales para cada sistema de co-
ordenadas, normalizamos las ecuaciones en su forma canonica. Que facilita en gran medida,
llevar los resultados a los campos electromagneticos u opticos, sin preocuparse por las di-
mensiones de la longitud de onda.
Con el fin de presentar las soluciones, hemos mostrado graficas de las soluciones de las
ecuaciones diferenciales que se mencionan en la tabla 7.1. Cuando vimos el comportamiento
de las soluciones, tambien observamos que hay convergencias similares o incluso similitudes
entre las mismas funciones que son solucion, y como no serlo, si todas surgen de una ecuacion
en comun, la ecuacion de Helmholtz.
156 Capıtulo 7. Conclusiones Generales y trabajos futuros
Cuad
ro7.
1:R
esum
ende
las
ecuac
iones
dif
eren
cial
esor
din
aria
sN
oO
rdin
ary
Diff
eren
tial
Sol
uti
on
1d2X
dx2
+X
=0
coskxx
,si
nkxx
2ρ
2d2R
dρ2
+ρdR dρ
+(ρ
2−n
2)R
=0
Jn(ktρ
),Nn(ktρ
)
3d2R
dξ2−
(a−
2qco
sh2ξ
)R=
0Jo n
(ξ,q
),Je n
(ξ,q
),No n
(ξ,q
),Ne n
(ξ,q
)
4d2N
dη2
+(a−
2qco
s2η
)N=
0cen(η,q
),sen(η,q
)
5d2R
dµ
2+
[µ2 4−a]R
=0
Pe(µ,a
),Po(µ,a
)
6r2
d2R
dr2
+2r
dR dr
+(r
2−n
(n+
1))R
=0
j n(kr),
nn(kr)
7(1−x
2)d
2P
(x)
dx2−
2xdP
(x)
dx
+[n
(n+
1)−
m2
1−x2]P
(x)
=0
Pm n
(x),Qm n
(x)
8(ξ
2−
1)d2R
dξ2
+2ξ
dR dξ−
(an,m−c2ξ2
+m
2
(ξ2−
1))R
=0
R1 mn(ξ,c
),R
2 mn(ξ,c
)
91−η
2)d
2N
dη2−
2ηdN dη
+(an,m−c2η
2−
m2
(1−η2))N
=0
S1 mn(η,c
),S
2 mn(η,c
)
10(ξ
2+
1)d2R
dξ2
+2ξ
dR dξ−
(an,m−c2ξ2−
m2
ξ2+
1)R
=0
R1 mn(iξ,−ic
),R
2 mn(iξ,−ic
)
11(1−η
2)d
2Θ
dη2−
2ηdΘ dη
+(an,m
+c2−
m2
1−η2)Θ
=0
S1 mn(η,−ic
),S
2 mn(η,−ic
)
12d2M
dµ
2+
1 µdM dµ
+(µ
2−q2−
m2
µ2
)M=
0Jwp(q
2,µ
),Nwp(q
2,µ
)
13(θ
2−b2
)(c2−θ2
)d2Θ
dθ2−θ[
2θ2−
(b2
+c2
)]dΘ dθ
+[n
(n+
1)θ2−q(b2
+c2
)]Θ
=0
Lm n
(θ)
14(µ−c)
(µ−b)d2M
dµ
2+
[2µ−
(b+c)
]dM dµ
+[ µ2 −
q(b
+c)
+p(p
+1)µ] M
=0
Pw
(µ)
15(ξ
2−b2
)(ξ2−c2
)d2L
dξ2
+ξ[
2ξ2−
(b2−c2
)]dL dξ
+[ξ
4+p(p
+1)ξ2
+q(b2
+c2
)]L
=0
Lwm n
(ξ)
1F
unci
onar
mon
ica
sim
ple
9F
unci
onde
onda
Angu
lar
Ala
rgad
a
2F
unci
onB
esse
l10
Funci
onde
onda
Rad
ial
achat
ada
3F
unci
onM
athie
uR
adia
l11
Funci
onde
onda
Angu
lar
achat
ada
4F
unci
onM
athie
uA
ngu
lar
12F
unci
onde
onda
Bes
sel
5F
unci
onci
lındri
caP
arab
olic
a13
Funci
onL
ame
6F
unci
onB
esse
les
feri
ca14
Funci
onde
onda
Par
abol
oidal
7F
unci
onL
egen
dre
15F
unci
onde
onda
Lam
e
8F
unci
onde
onda
Rad
ial
alar
gada
7.1. Trabajos futuros 157
Con el fin de presentar las soluciones, hemos mostrado graficas de las soluciones de las
ecuaciones diferenciales que se mencionan en la tabla 7.1. Cuando vimos el comportamiento
de las soluciones, tambien observamos que hay convergencias similares o incluso similitudes
entre las mismas funciones que son solucion, y como no serlo, si todas surgen de una ecuacion
en comun, la ecuacion de Helmholtz.
Dentro de los resultados relevantes se encontro que para todos los sistemas de
coordenadas, las soluciones que permiten representar ondas viajeras solo recaen en una sola
variable coordenada, incluso en sistemas en los que mas de una variable contiene rangos de
infinito, como las parabolicas y las paraboloidales, esta es la coordenada radial.
Del mismo modo, se encontro que las soluciones que nos permiten representar los campos
propagantes y que satisfacen la condicion de radiacion Sommerfeld, son las de tipo Hankel,
es decir, una solucion compleja, donde la parte real es la solucion par y la parte imaginaria
en la solucion impar. Y cuando se obtuvo el valor absoluto, sucedio como se esperaba, que
la amplitud de esta soluciones disminuyeran a una tasa de 1/r1/2 o 1/r de acuerdo con el
sistema de coordenadas. Ası de igual forma, concluimos que la solucion de par e impar por
si solas representan ondas estacionarias.
Con el desarrollo de este trabajo se han encontrado resultados importantes, pero esto
es solo el comienzo de algo mas grande, debido a que algunos resultados son mejorables, y
mas aun la enorme cantidad de aplicaciones fısicas que tendran y pueden tomar como base
los resultados que hemos presentado aquı.
7.1. Trabajos futuros
Ya que se tiene la totalidad de las soluciones de la ecuacion de Helmholtz, y de
acuerdo con la teorıa de funciones vectoriales L, M , N , podemos obtener la solucion
de la ecuacion vectorial de Helmholtz, a pesar de que ya se han realizado para algunos
sistemas de coordenadas aun estan pendientes otras mas, como los sistemas catalogados
como elipticoidales. Y ası, con las soluciones vectoriales se podra trabajar la polarizacion y
la transferencia de impulso, que solo es posible estudiarlos con estas soluciones.
Las ecuaciones que se muestran en la tabla 7.1 pueden ser constituidas como una
ecuacion Sturm-Liuville, y por lo tanto, se puede demostrar que las soluciones Sturm-Liuville
son ortogonales en un intervalo (a, b) [13]. Entonces, dado unas soluciones Sturm-Liuville y
una funcion arbitraria f en un intervalo (a, b), la funcion f puede ser expresada en terminos
de una sumatoria tipo serie de Fourier de funciones propias que se obtienen como solucion
de estas ecuaciones diferenciales.
Ası como podemos construir algun tipo de haces como la suma de ondas planas,
podrıamos hacerlo tambien para una suma de haces Bessel y construir otro tipo de frente
158 Capıtulo 7. Conclusiones Generales y trabajos futuros
de onda, solo por mencionar algun ejemplo, en este sentido deja abierta la posibilidad de
aplicar estas soluciones ortogonales a problemas electromagneticos diferentes.
Las ecuaciones de Laplace, de Calor y de Schrodinger son casos particulares de la
ecuacion de Helmholtz, por lo que es posible lograr la separacion de variables para estas
ecuaciones y encontrar todas sus soluciones, aunque algunas de ellas podrıan ser similares a
los presentados en esta investigacion .
Apendice A
Construccion de la ecuacion Helmholtz
En este apendice mostramos la obtencion de la ecuacion de Helmholtz para los once
sistemas de coordenadas en las que es separable.
La ecuacion de Helmholtz es
∇2E + k2E = 0. (A.1)
Donde ∇2 es el Laplaciano, k es el numero de onda y E es la funcion escalar solucion
de la ecuacion
Esta ecuacion diferencial parcial esta compuesta por dos terminos, para obtener el
primer termino usaremos la forma general del Laplaciano para coordenadas ortogonales, el
cual esta basado en los factores de escala.
El Laplaciano en coordenadas ortogonales es [14]
∇2E =1
h1h2h3
[∂
∂q1
(h2h3
h1
∂
∂q1
E) +∂
∂q2
(h1h3
h2
∂
∂q2
E) +∂
∂q3
(h1h2
h3
∂
∂q3
E)
](A.2)
Donde (h1, h2, h3) son los factores de escala y (q1, q2, q3) son las variables de el sistema
de coordenadas
En general, primero realizamos las operaciones entre los factores de escala que
aparecen indicados en la ecuacion A.2, posteriormente sustituimos estos resultados en esta
ecuacion, realizamos algebra para simplificar, y finalmente una vez obtenido el Laplaciano lo
sustituimos en la ecuacion de Helmholtz. Estas operaciones las realizaremos para cada uno
de los sistemas de coordenadas, los cuales presentamos a continuacion
A.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z)
Los factores de escala son
159
160 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
hx =1
hy =1
hz =1
(A.3)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hxhyhz = (1)(1)(1)
= 1(A.4)
hyhzhx
= (1)(1)/(1)
= 1
(A.5)
hxhzhy
= (1)(1)/(1)
= 1
(A.6)
hxhxhz
= (1)(1)/(1)
= 1
(A.7)
Reemplazamos las variables de este sistema y los resultados de las operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, obteniendo
∇2E =∂2E
∂x2+∂2E
∂y2+∂2E
∂z2(A.8)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas Rectangulares
∂2E
∂x2+∂2E
∂y2+∂2E
∂z2+ k2E = 0 (A.9)
A.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z) 161
A.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z)
Los factores de escala son:
hρ = 1
hϕ = ρ
hz = 1
(A.10)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hρhϕhz = (1)(ρ)(1)
= ρ(A.11)
hϕhzhρ
= (1)(ρ)/(1)
= ρ
(A.12)
hρhzhϕ
= (1)(1)/(ρ)
=1
ρ
(A.13)
hρhϕhz
= (1)(ρ)/(1)
= ρ
(A.14)
Reemplazamos las variables de este sistema y los resultados de las operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, obteniendo
1
ρ
∂
∂ρ(ρ∂E
∂ρ) +
1
ρ2
∂2E
∂ϕ2+∂2E
∂z2(A.15)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas Cilındricas circulares
1
ρ
∂
∂ρ(ρ∂E
∂ρ) +
1
ρ2
∂2E
∂ϕ2+∂2E
∂z2+ k2E = 0 (A.16)
162 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
A.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z)
Los factores de escala son
hξ = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2
hη = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2
hz = 1
(A.17)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hξhηhz = (d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(1)
= d2(cosh2 ξ − cos2 η)(A.18)
hηhzhξ
= (d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(1)/(d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)
= 1
(A.19)
hξhzhη
= (d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(1)/(d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)
= 1
(A.20)
hξhηhz
= (d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)(d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2)/(1)
= d2(cosh2 ξ − cos2 η)
(A.21)
Reemplazamos las variables de este sistema y los resultados de las operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, obteniendo
∇2E =1
d2(cosh2 ξ − cos2 η)
(∂2E
∂ξ2+∂2E
∂η2
)+∂2E
∂z2(A.22)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas Cilındricas elıpticas
1
d2(cosh2 ξ − cos2 η)
(∂2E
∂ξ2+∂2E
∂η2
)+∂2E
∂z2+ k2E = 0 (A.23)
A.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) 163
A.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z)
Los factores de escala son:
hµ = (µ2 + ν2)1/2
hν = (µ2 + ν2)1/2
hz = 1
(A.24)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hµhνhz = (µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2(1)
= µ2 + ν2(A.25)
hνhzhµ
= (µ2 + ν2)1/2(1)/(µ2 + ν2)1/2
= 1
(A.26)
hµhzhν
= (µ2 + ν2)1/2(1)/(µ2 + ν2)1/2
= 1
(A.27)
hµhνhz
= (µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2/(1)
= µ2 + ν2
(A.28)
Reemplazamos las variables de este sistema y los resultados de las operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, obteniendo
∇2E =1
µ2 + ν2
(∂2E
∂µ2+∂2E
∂ν2
)+∂2E
∂z2(A.29)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas Cilındricas parabolicas
1
µ2 + ν2
(∂2E
∂µ2+∂2E
∂ν2
)+∂2E
∂z2+ k2E = 0 (A.30)
164 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
A.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ)
Los factores de escala son:
hr = 1
hθ = r
hϕ = r sin θ
(A.31)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hrhθhϕ = (1)(r)(r sin θ)
= r2 sin θ(A.32)
hθhϕhr
= (r)(r sin θ)/(1)
= r2 sin θ
(A.33)
hrhϕhθ
= (1)(r sin θ)/(r)
= sin θ
(A.34)
hρhθhϕ
= (1)(r)/(r sin θ)
=1
sin θ
(A.35)
Reemplazamos las variables de este sistema y los resultados de las operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, obteniendo
1
r2
∂
∂r
(r2∂E
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂
(sin θ
∂E
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2E
∂ϕ= 0 (A.36)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas esfericas
1
r2
∂
∂r
(r2∂E
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂
(sin θ
∂E
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2E
∂ϕ+ k2E = 0 (A.37)
A.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) 165
A.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ)
Para este sistema de coordenadas vamos a obtener la ecuacion de Helmholtz en su forma
algebraica y trigonometricas.
Para el caso trigonometrico tenemos los factores de escala
hξ = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2
hη = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2
hϕ = d sinh ξ sin η
(A.38)
Para las operaciones entre los factores de escala trigonometricos tenemos
hξhηhϕ = d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2a(sinh2 ξ + sin2 η)1/2d sinh ξ sin η
= d2(sinh2 ξ + sin2 η)d sinh ξ sin η (A.39)
hηhϕhξ
=d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2d sinh ξ sin η
d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2
= d sinh ξ sin η
(A.40)
hξhϕhη
=d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2d sinh ξ sin η
d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2
= d sinh ξ sin η
(A.41)
hξhηhϕ
=d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2d(sinh2 ξ + sin2 η)1/2
d sinh ξ sin η
=d(sinh2 ξ + sin2 η)
sinh ξ sin η
(A.42)
Reemplazamos las variables de este sistema y los resultados de las operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, obteniendo
∇2E =
1
d3(sinh2 ξ + sin2 η) sinh ξ sin η
{∂
∂ξ
[(d sinh ξ sin η)
∂
∂ξE
]+
∂
∂η
[(d sinh ξ sin η)
∂
∂ηE
]
+∂
∂ϕ
(d(sinh2 ξ + sin2 η)
sinh ξ sin η
)∂
∂ϕE
}(A.43)
166 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
Simplificando
∇2E =
1
sinh ξ sin η
{∂
∂ξ
[(sinh ξ sin η)
∂
∂ξE
]+
∂
∂η
[(sinh ξ sin η)
∂
∂ηE
]
+
((sinh2 ξ + sin2 η)
sinh ξ sin η
)∂2E
∂ϕ2
}+ k2d2(sinh2 ξ + sin2 η)E (A.44)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la forma trigonometri-
ca de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales prolatas
1
sinh ξ
∂
∂ξ
[sinh ξ
∂
∂ξE
]+
1
sin η
∂
∂η
[sin η
∂
∂ηE
]+
(sinh2 ξ + sin2 η
sinh2 ξ sin2 η
)∂2E
∂ϕ2+ k2d2(sinh2 ξ + sin2 η)E = 0 (A.45)
Para la forma algebraica tenemos los siguientes factores de escala
hξ = d
(ξ2 − η2
ξ2 − 1
)1/2
hη = d
(ξ2 − η2
1− η2
)1/2
hϕ = d[(ξ2 − 1)(1− η2)
]1/2(A.46)
Las operaciones algebraicas entre los factores de escala
hξhηhϕ = d
(ξ2 − η2
ξ2 − 1
)1/2
d
(ξ2 − η2
1− η2
)1/2
d[(ξ2 − 1)(1− η2)
]1/2= d3(ξ2 − η2)
(A.47)
A.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) 167
hηhϕhξ
=d(ξ2−η2
1−η2
)1/2
d [(ξ2 − 1)(1− η2)]1/2
d(ξ2−η2
ξ2−1
)1/2
=d (ξ2 − η2)
1/2(ξ2 − 1)
1/2(ξ2−η2
ξ2−1
)1/2
=d (ξ2 − 1)
1/2(1
ξ2−1
)1/2
= d(ξ2 − 1
)
(A.48)
hξhϕhη
=d(ξ2−η2
ξ2−1
)1/2
d [(ξ2 − 1)(1− η2)]1/2
d(ξ2−η2
1−η2
)1/2
=d(ξ2−η2
1
)1/2
(1− η2)1/2(
ξ2−η2
1−η2
)1/2
=d (1− η2)
1/2(1
1−η2
)1/2
= d(1− η2
)
(A.49)
hξhηhϕ
=d(ξ2−η2
ξ2−1
)1/2
d(ξ2−η2
1−η2
)1/2
d [(ξ2 − 1)(1− η2)]1/2
=d ξ2−η2
[(ξ2−1)(1−η2)]1/2
[(ξ2 − 1)(1− η2)]1/2
=d(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)
(A.50)
Reemplazando las variables de este sistema y los resultados de la operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, tenemos
168 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
∇2E =
1
d2(ξ2 − η2)
{∂
∂ξ
[(ξ2 − 1
) ∂∂ξE
]+
∂
∂η
[(1− η2
) ∂∂ηE
]+
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)
∂2
∂ϕ2E
}(A.51)
Despues, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion de Helmholtz y multiplicando por
d2(ξ2 − η2) obtenemos
∂
∂ξ
[(ξ2 − 1
) ∂E∂ξ
]+
∂
∂η
[(1− η2
) ∂E∂η
]+
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)
∂2E
∂ϕ2+ k2d2(ξ2 − η2)E = 0
(A.52)
A.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ)
Para este sistema tambien encontraremos la ecuacion de Helmholtz para su forma
trigonometrica y algebraica
Para la forma trigonometrica tenemos los siguientes factores de escala
hξ = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2
hη = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2
hϕ = d cosh ξ sin η
(A.53)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala trigonometricos tenemos
hξhηhϕ = d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d cosh ξ sin η
= d2(cosh2 ξ − sin2 η)d cosh ξ sin η (A.54)
hηhϕhξ
=d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d cosh ξ sin η
d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2
= d cosh ξ sin η
(A.55)
hξhϕhη
=d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d cosh ξ sin η
d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2
= d cosh ξ sin η
(A.56)
A.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) 169
hξhηhϕ
=d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2d(cosh2 ξ − sin2 η)1/2
d cosh ξ sin η
=d(cosh2 ξ − sin2 η)
cosh ξ sin η
(A.57)
Reemplazando las variables de este sistema y los resultados de la operaciones entre los
factores de escala trigonometricos en la ecuacion A.2, tenemos
∇2E =
1
d2(cosh2 ξ − sin2 η)d cosh ξ sin η
{∂
∂ξ
[(d cosh ξ sin η)
∂E
∂ξ
]+
∂
∂η
[(d cosh ξ sin η)
∂E
∂η
]+d(cosh2 ξ − sin2 η)
cosh ξ sin η
∂2E
∂ϕ2
}(A.58)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la forma trigonometri-
ca de ecuacion de Helmholtz en coordenadas esferoidales oblatas
1
cosh ξ
∂
∂ξ
[(cosh ξ)
∂E
∂ξ
]+
1
sin η
∂
∂η
[(sin η)
∂E
∂η
]+
(cosh2 ξ − sin2 η)
cosh2 ξ sin2 η
∂2E
∂ϕ2+k2d2(cosh2 ξ−sin2 η)E = 0
(A.59)
Para la forma algebraica tenemos los siguientes factores de escala
hξ = d
(ξ2 + η2
ξ2 + 1
)1/2
hη = d
(ξ2 + η2
1− η2
)1/2
hϕ = d[(ξ2 + 1)(1− η2)
]1/2(A.60)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala algebraicos tenemos
hξhηhϕ = d
(ξ2 + η2
ξ2 + 1
)1/2
d
(ξ2 + η2
1− η2
)1/2
d[(ξ2 + 1)(1− η2)
]1/2= d3(ξ2 + η2)
(A.61)
170 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
hηhϕhξ
=d(ξ2+η2
1−η2
)1/2
d [(ξ2 + 1)(1− η2)]1/2
d(ξ2+η2
ξ2+1
)1/2
=d (ξ2 + η2)
1/2(ξ2 + 1)
1/2(ξ2+η2
ξ2+1
)1/2
=d (ξ2 + 1)
1/2(1
ξ2+1
)1/2
= d(ξ2 + 1
)
(A.62)
hξhϕhη
=d(ξ2+η2
ξ2+1
)1/2
d [(ξ2 + 1)(1− η2)]1/2
d(ξ2+η2
1−η2
)1/2
=d(ξ2+η2
1
)1/2
(1− η2)1/2(
ξ2+η2
1−η2
)1/2
=d (1− η2)
1/2(1
1−η2
)1/2
= d(1− η2
)
(A.63)
hξhηhϕ
=d(ξ2+η2
ξ2+1
)1/2
d(ξ2+η2
1−η2
)1/2
d [(ξ2 + 1)(1− η2)]1/2
=d ξ2+η2
[(ξ2+1)(1−η2)]1/2
[(ξ2 + 1)(1− η2)]1/2
=d(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)
(A.64)
Reemplazando las variables de este sistema y los resultados de la operaciones entre los
factores de escala trigonometricos en la ecuacion A.2, tenemos
A.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) 171
∇2E =
1
d2(ξ2 + η2)
{∂
∂ξ
[(ξ2 + 1
) ∂E∂ξ
]+
∂
∂η
[(1− η2
) ∂E∂η
]+
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)
∂2E
∂ϕ2
}(A.65)
Despues, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion de Helmholtz y multiplicando por
d2(ξ2 + η2) obtenemos
∂
∂ξ
[(ξ2 + 1
) ∂E∂ξ
]+
∂
∂η
[(1− η2
) ∂E∂η
]+
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)
∂2E
∂ϕ2+ k2d2(ξ2 + η2)E = 0
(A.66)
A.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ)
Los factores de escala son:
hµ = (µ2 + ν2)1/2
hν = (µ2 + ν2)1/2
hϕ = µν
(A.67)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hµhνhz = (µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2(µν)
= µν(µ2 + ν2)(A.68)
hνhzhµ
=(µ2 + ν2)1/2(µν)
(µ2 + ν2)1/2
= µν
(A.69)
hµhzhν
=(µ2 + ν2)1/2(µν)
(µ2 + ν2)1/2
= µν
(A.70)
hµhνhz
=(µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2
µν
=µ2 + ν2
µν
(A.71)
172 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
Reemplazando las variables de este sistema y los resultados de la operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, tenemos
∇2E =1
µ(µ2 + ν2)
∂
∂µ
(µ∂E
∂µ
)+
1
ν(µ2 + ν2)
∂
∂ν
(ν∂E
∂ν
)+
1
µ2ν2
∂2E
∂ϕ2(A.72)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas parabolicas
1
µ(µ2 + ν2)
∂
∂µ
(µ∂E
∂µ
)+
1
ν(µ2 + ν2)
∂
∂ν
(ν∂E
∂ν
)+
1
µ2ν2
∂2E
∂ϕ2+ k2E = 0 (A.73)
A.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe)
Los factores de escala para este sistema coordenado son:
h1 =1
h2 =r
√θ2e − ϕ2
e
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)
h3 =r
√θ2e − ϕ2
e
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
(A.74)
Por simplicidad definimos
f(θe) =√
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)
f(ϕe) =√
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
(A.75)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hrhθehϕe = (1)r
√θ2e − ϕ2
e
f(θe)r
√θ2e − ϕ2
e
f(ϕe)
=r2(θ2
e − ϕ2e)
f(θe)f(ϕe)
(A.76)
hθehϕehr
=r
√θ2e−ϕ2
e
f(θe)r
√θ2e−ϕ2
e
f(ϕe)
1
=r2(θ2
e − ϕ2e)
f(θe)f(ϕe)
(A.77)
A.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) 173
hrhϕehθe
=(1)r
√θ2e−ϕ2
e
f(ϕe)
r
√θ2e−ϕ2
e
f(θe)
=f(θe)
f(ϕe)
(A.78)
hrhθehϕe
=(1)r
√θ2e−ϕ2
e
f(θe)
r
√θ2e−ϕ2
e
f(ϕe)
=f(ϕe)
f(θe)
(A.79)
Reemplazando las variables de este sistema y los resultados de la operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, tenemos
∇2E =1
r2
∂
∂r
(r2∂E
∂r
)+
f(θe)
r2(θ2e − ϕ2)
∂
∂θe
(f(θe)
∂E
∂θe
)+
f(ϕe)
r2(θ2e − ϕ2
e)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)(A.80)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas conicas
1
r2
∂
∂r
(r2∂E
∂r
)+
f(θe)
r2(θ2e − ϕ2
e)
∂
∂θe
(f(θe)
∂E
∂θe
)+
f(ϕe)
r2(θ2e − ϕ2
e)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+k2E = 0
(A.81)
A.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe)
Los factores de escala son:
hµe =
√(µe − νe)(µe − ϕe)(µe − c)(µe − b)
hνe =
√(µe − νe)(ϕe − νe)
(c− νe)(b− νe)
hϕe =
√(ϕe − νe)(µe − ϕe)(c− ϕe)(ϕe − b)
(A.82)
174 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
Por simplicidad definimos
f(µe) =√
(µe − c)(µe − b)
f(νe) =√
(c− νe)(b− νe)
f(ϕe) =√
(c− ϕe)(ϕe − b)
(A.83)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hµehνehϕe =
√(µe − νe)(µe − ϕe)
f(µe)
√(µe − νe)(ϕe − νe)
f(νe)
√(ϕe − νe)(µe − ϕe)
f(ϕe)
=(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)
f(µe)f(νe)f(ϕe)
(A.84)
hνehϕehµe
=
√(µe−νe)(ϕe−νe)
f(νe)
√(ϕe−νe)(µe−ϕe)
f(ϕe)√(µe−νe)(µe−ϕe)
f(µe)
=f(µe)
√(µe − νe)(ϕe − νe)
√(ϕe − νe)(νe − ϕe)
f(νe)f(ϕe)√
(µe − νe)(µe − ϕe)
=
√(ϕe − νe)(ϕe − νe)f(νe)f(ϕe)
(f(µe)
√(µe − νe)(µe − ϕe)(µe − νe)(µe − ϕe)
)
=(ϕe − νe)f(νe)f(ϕe)
f(µe)
(A.85)
hµehϕehνe
=
√(µe−νe)(µe−ϕe)
f(µe)
√(ϕe−νe)(µe−ϕe)
f(ϕe)√(µe−νe)(ϕe−νe)
f(νe)
=f(νe)
√(µe − νe)(µ− ϕe)
√(ϕe − νe)(µe − ϕe)
f(µe)f(ϕe)√
(µe − νe)(ϕe − νe)
=
√(µe − ϕe)(µe − ϕe)f(µe)f(ϕe)
(f(νe)
√(µe − νe)(ϕe − νe)(µe − νe)(ϕe − νe)
)
=(µe − ϕe)f(µe)f(ϕe)
f(νe)
(A.86)
A.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) 175
hµehνehϕe
=
√(µe−νe)(µe−ϕe)
f(µe)
√(µe−νe)(ϕe−νe)
f(νe)√(ϕe−νe)(µe−ϕe)
f(ϕe)
=f(ϕe)
√(µe − νe)(µe − ϕe)
√(µe − νe)(ϕe − νe)
f(µe)f(νe)√
(ϕe − νe)(µe − ϕe)
=
√(µe − ϕe)(µe − νe)f(µe)f(νe)
(f(ϕe)
√(µe − ϕe)(ϕe − νe)(ϕe − νe)(µe − ϕe)
)
=(µe − νe)f(µe)f(νe)
f(ϕe)
(A.87)
Reemplazando las variables de este sistema y los resultados de la operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, tenemos
∇2E =f(µe)
(µe − νe)(µe − ϕe)∂
∂µe
(f(µe)
∂E
∂µe
)+
f(νe)
(µe − νe)(ϕe − νe)∂
∂νe
(f(νe)
∂E
∂νe
)+
f(ϕe)
(µe − ϕe)(ϕe − νe)∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)(A.88)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas paraboloidales
f(µe)
(µe − νe)(µe − ϕe)∂
∂µe
(f(µe)
∂E
∂µe
)+
f(νe)
(µe − νe)(ϕe − νe)∂
∂νe
(f(νe)
∂E
∂νe
)+
f(ϕe)
(µe − ϕe)(ϕe − νe)∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+ k2E = 0 (A.89)
A.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe)
Los factores de escala son:
176 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
hξe =
√(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2)
hηe =
√(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)
(η2e − b2)(c2 − η2
e)
hϕe =
√(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
(A.90)
Por simplicidad definimos
f(ξe) =√
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2)
f(ηe) =√
(η2e − b2)(c2 − η2
e)
f(ϕe) =√
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
(A.91)
Para las operaciones algebraicas entre los factores de escala tenemos
hξehηehϕ =
√(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
f(ξe)
√(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)
f(ηe)
√(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
f(ϕe)
=(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
f(ξe)f(ηe)f(ϕe)
(A.92)
hηehϕehξe
=
√(η2e−ϕ2
e)(ξ2e−η2
e)
f(ηe)
√(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)
f(ϕe)√(ξ2e−η2
e)(ξ2e−ϕ2e)
f(ξe)
=f(ξe)
√(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)√
(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
f(ηe)f(ϕe)√
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
=
√(η2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
f(µe)f(ϕe)
(f(ξe)
√(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
)
=(η2e − ϕ2
e)
f(ηe)f(ϕe)f(ξe)
(A.93)
A.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) 177
hξehϕehηe
=
√(ξ2e−η2
e)(ξ2e−ϕ2e)
f(ξe)
√(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)
f(ϕe)√(η2e−ϕ2
e)(ξ2e−η2
e)
f(ηe)
=f(ηe)
√(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)√
(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
f(ξe)f(ϕe)√
(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)
=
√(ξ2e − ϕ2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
f(ξe)f(ϕe)
(f(ηe)
√(ξ2e − η2
e)(η2e − ϕ2
e)
(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)
)
=(ξ2e − ϕ2
e)
f(ξe)f(ϕe)f(ηe)
(A.94)
hξehηehϕe
=
√(ξ2e−η2
e)(ξ2e−ϕ2e)
f(ξe)
√(η2e−ϕ2
e)(ξ2e−η2
e)
f(ηe)√(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)
f(ϕe)
=f(ϕe)
√(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)√
(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)
f(ξe)f(ηe)√
(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
=
√(ξ2e − η2
e)(ξ2e − η2
e)
f(ξe)f(ηe)
(f(ϕe)
√(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
)
=(ξ2e − η2
e)
f(ξe)f(ηe)f(ϕe)
(A.95)
Reemplazando las variables de este sistema y los resultados de la operaciones entre los
factores de escala en la ecuacion A.2, tenemos
∇2E =f(ξe)
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
∂
∂ξe
(f(ξe)
∂E
∂ξe
)+
f(ηe)
(ξ2e − η2
e)(η2e − ϕ2
e)
∂
∂ηe
(f(ηe)
∂E
∂ηe
)+
f(ϕe)
(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)(A.96)
Ahora, sustituyendo el Laplaciano en la ecuacion A.1, obtenemos la ecuacion de
Helmholtz en coordenadas elipsoidales
178 Apendice A. Construccion de la ecuacion Helmholtz
f(ξe)
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
∂
∂ξe
(f(ξe)
∂E
∂ξe
)+
f(ηe)
(ξ2e − η2
e)(η2e − ϕ2
e)
∂
∂ηe
(f(ηe)
∂E
∂ηe
)+
f(ϕe)
(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
∂
∂ϕe
(f(ϕe)
∂E
∂ϕe
)+ k2E = 0 (A.97)
Apendice B
Determinante de Stackel
El objetivo del determinante de Stackel, es encontrar los elementos que forman las
tres ecuaciones diferenciales ordinarias en las que se separa la ecuacion tridimensional de
Helmholtz, estas ecuaciones ordinarias tiene la siguiente forma general
1
fn
∂
∂χn
[fn∂Xn
∂χn
]+ [α1Φn,1 + α2Φn,2 + α3Φn,3]Xn = 0 (B.1)
Para cada sistema de coordenadas, obtenemos los elementos que integran la matriz
de Stackel. Ası como las funciones que aparecen en la formula general de la ecuacion de
Helmholtz.
Dado que conocemos los factores de escala, los sustituimos en la siguiente igualdad
h1h2h3/h2n = fn(χn)gn(χ) n = 1, 2, 3 (B.2)
Esta ecuacion nos indica, que la que el producto de los tres factores de escala dividido
entre el cuadrado del factor de escala correspondiente a la variable χn es igual a la funcion
fn(χn) veces alguna funcion gn de las restantes χ’s. De esta forma es como determinamos la
fn de la ecuacion general de Helmholtz.
Con las funciones fn, obtenemos el determinante S, a partir de la siguiente ecuacion
S =f1(χ1)f2(χ2)f3(χ3)
h1h2h3
(B.3)
Esta ecuacion junto con la ecuacion B.2, integran la condicion de Robertson, la cual
cumplen unicamente once sistemas de coordenadas[8].
Una vez que conocemos S y empleando los factores de escala hn, calculamos los menores
del
Mn =S
h2n
(B.4)
179
180 Apendice B. Determinante de Stackel
Ahora, empleando la propiedad de ortogonalidad de los determinantes, y utilizando la
siguiente ecuacion obtenemos los elementos del determinante, pero siempre con la premisa
de que φn1, φn2 y φn3 deben ser funciones de χn unicamente.
Para los elementos Φ1,1, Φ2,1 y Φ3,1
M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S (B.5)
para los elementos: Φ1,2, Φ2,2 y Φ3,2.
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0 (B.6)
y para los elementos restante: Φ1,3, Φ2,3 y Φ3,3.
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0 (B.7)
De esta manera tenemos todos los elementos del determinante de Stackel.
A continuacion procedemos a construir la matriz de Stackel para cada uno de los
sistemas de coordenadas en los que la ecuacion de Helmholtz es separable.
B.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z)
Los factores de escala
hx =1
hy =1
hz =1
(B.8)
Dado que conocemos los factores h procedemos a calcular las funciones fn, y obtenemos
los siguientes resultados
hxhyhzh2x
=(1)(1)(1)/(1) = 1; f1 = 1
hxhyhzh2y
=(1)(1)(1)/(1) = 1; f2 = 1
hxhyhzh2z
=(1)(1)(1)/(1) = 1; f3 = 1
(B.9)
a continuacion, calculamos el valor del determinante S, por lo tanto
S =hxhyhzf1f2f3
=(1)(1)(1)
(1)(1)(1)= 1 (B.10)
B.1. Coordenadas Rectangulares (x, y, z) 181
Para obtener los elemento que integran el determinante, calculamos el valor de los
menores Mi, estos son
M1 =S/h2x = 1
M2 =S/h2y = 1
M3 =S/h2z = 1
(B.11)
despues, calculamos los elementos del determinante, considerando las restricciones de
renglon, para la primer columna
M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S (B.12)
reemplazando los menores Mn
(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 + (1)Φ3,1 = 1 (B.13)
Comunmente la constante de separacion se encuentra en la diagonal principal de la
matriz de Stackel, es decir, Φn,m para m = n, por esta razon, buscamos que estos elementos
tengan valores positivos. Esta ecuacion es igual a 1 entonces Φ1,1 = 1, por lo tanto los otros
elementos son Φ2,1 = 0 y Φ3,1 = 0.
La siguiente ecuacion
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 + (1)Φ3,2 = 0(B.14)
Para este caso, el elemento Φ2,2 lo hacemos 1, por considerar que es positivo, por lo
tanto para los otros elementos uno es −1 y el otro 0. De esta manera, los elementos quedan
Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0.
y para la ultima ecuacion
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 + (1)Φ3,3 = 0(B.15)
los valores encontrados que cumplen con la igualdad son Φ1,3 = −1, Φ2,3 = 0 y Φ3,3 = 1.
De esta forma, tenemos todos los elementos del determinante al sustituirlos la matriz
es 1 −1 −1
0 1 0
0 0 1
(B.16)
182 Apendice B. Determinante de Stackel
B.2. Coordenadas Cilındricas Circulares (ρ, ϕ, z)
Los factores de escala para este sistema son
hρ =1
hϕ =ρ
hz =1
(B.17)
Con los factores de escala vamos a encontrar las funciones f , por simplicidad, primero
encontramos el siguiente termino
hρhϕhz = ρ (B.18)
ahora realizamos las operaciones, primero
hρhϕhzh2ρ
=ρ
1= ρ(1) ; f1 = ρ
hρhϕhzh2ϕ
=ρ
ρ= 1 ; f2 = 1
hρhϕhzh2z
=ρ
1= (1) (ρ) ; f3 = 1
(B.19)
Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S
S =hρhϕhzf1f2f3
=ρ
ρ= 1 (B.20)
con el determinante S y los factores de escala, calculamos los menores
M1 =S
h21
=1
1= 1
M2 =S
h22
=1
ρ2=
1
ρ2
M3 =S
h23
=1
1= 1
(B.21)
con estos resultados, podemos encontrar los elementos de la primer columna. Para la
cual se debe satisface que
M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M1Φ3,1 = S (B.22)
B.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z) 183
Ademas tenemos que cumplir que el renglon n contiene solo la variable χn, sustituyendo
los menores encontramos que
(1)Φ1,1 + (1
ρ2)Φ2,1 + (1)Φ3,1 = 1 (B.23)
Podemos notar que los valores que satisfacen la ecuacion son
(1)(1) + (1
ρ2)(0) + (1)(0) = 1 (B.24)
por lo tanto Φ1,1 = 1, Φ2,1 = 0, Φ1,1 = 0
Para la siguiente columna, tenemos la ecuacion
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
(1)Φ1,2 + (1
ρ2)Φ2,2 + (1)Φ3,2 = 0
(1)
(− 1
ρ2
)+
(1
ρ2
)(1) + (1)(0) = 0
(B.25)
Por consiguiente Φ1,2 = − 1ρ2
, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0.
Para la tercera y ultima columna, las operaciones son
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
(1)Φ1,3 +1
ρ2Φ2,3 + (1)Φ3,3 = 0
(1)(−1) +1
ξ21
(0) + (1)(1) = 0
(B.26)
los valores correspondientes son Φ1,3 = −1, Φ2,3 = 0 y Φ3,3 = 1
De esta forma tenemos todos los elementos de la matriz de Stackel 1 − 1ρ2−1
0 1 0
0 0 1
(B.27)
B.3. Coordenadas Cilındricas Elıpticas (ξ, η, z)
Los factores de escala para este sistema son
hξ = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2
hη = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2
hz = 1
(B.28)
184 Apendice B. Determinante de Stackel
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
hξhηhz = d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2d(cosh2 ξ − cos2 η)1/2(1) = d2(cosh2 ξ − cos2 η) (B.29)
lo reemplazamos, y obtenemos
hξhηhzh2ξ
=d2(cosh2 ξ − cos2 η)
d2(cosh2 ξ − cos2 η)= (1) ; f1 = 1
hξhηhzh2η
=d2(cosh2 ξ − cos2 η)
d2(cosh2 ξ − cos2 η)= (1) ; f2 = 1
hξhηhzh2z
=d2(cosh2 ξ − cos2 η)
1= (1)
(d2(cosh2 ξ − cos2 η
)= ; f3 = 1
(B.30)
Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S
S =hξhηhzf1f2f3
=d2(cosh2 ξ − cos2 η)
1= d2(cosh2 ξ − cos2 η) (B.31)
Sı aplicamos identidades trigonometricas cosh2 ξ = 12
cosh 2ξ+ 12
y cos2 η = 12
cos 2η+ 12
, ahora el determinante S es
S =d2
2(cosh 2ξ − cos 2η) (B.32)
con estos resultados podemos calcular los menores
M1 =S
h2ξ
=d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
= 1
M2 =S
h2η
=d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
= 1
M3 =S
h2z
=d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
1=d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)
(B.33)
Con estos resultados procedemos a obtener cada uno de los elementos de la matriz.
Para la primer columna, sustituimos los valores de los menores M , la ecuacion es
(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 +f 2
2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,1 =
f 2
2(cosh 2ξ − cos 2η) (B.34)
Recordemos que los elementos Φn,m pueden contener unicamente χm. Por lo tanto los
valores que satisfacen la igualdad son
B.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z) 185
(1)(d2
2cosh 2ξ) + (1)(−d
2
2cos 2η) +
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)(0) =
d2
2(cosh 2ξ − cos 2η) (B.35)
Luego entonces Φ1,1 = d2
2cosh 2ξ, Φ2,1 = −d2
2cos 2η y Φ3,1 = 0.
Para la siguiente columna tenemos
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 +d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,2 = 0
(1) (−1) + (1)(1) +d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)(0) = 0
(B.36)
Los resultados son Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0
Para la ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 +d2
2(cosh 2ξ − cos 2η)Φ3,3 = 0
(1)
(−d
2
2(cosh 2ξ)
)+ (1)
(d2
2(cos 2η)
)+d2
2(cosh 2ξ − cos 2η) (1) = 0
(B.37)
con resultados Φ1,3 = −d2
2(cosh 2ξ), Φ2,3 = d2
2(cos 2η) y Φ3,3 = 1
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel d2
2cosh 2ξ −1 −d2
2(cosh 2ξ)
−d2
2cos 2η 1 d2
2(cos 2η)
0 0 1
(B.38)
B.4. Coordenadas Cilındricas Parabolicas (µ, ν, z)
Los factores de escala para este sistema son
hµ =√µ2 + ν2
hν =√µ2 + ν2
hz =1
(B.39)
186 Apendice B. Determinante de Stackel
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
hµhνhz =√µ2 + µ2
√µ2 + ν2(1) = ξ2
1 + ξ22 (B.40)
Ahora
hµhνhzh2µ
=µ2 + ν2
µ2 + ν2= 1 ; f1 = 1
hµhνhzh2ν
=µ2 + ν2
µ2 + ν2= 1 ; f2 = 1
hµhνhzh2z
=µ2 + ν2
1= µ2 + µ2 = (1)
(µ2 + ν2
); f3 = 1
(B.41)
Una vez obtenidas las funciones f , calculamos el determinante S
S =hµhνhzf1f2f3
=µ2 + ν2
1= µ2 + ν2 (B.42)
Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
M1 =S
h2µ
=µ2 + ν2
µ2 + ν2= 1
M2 =S
h2ν
=µ2 + ν2
µ2 + ν2= 1
M3 =S
h2z
=µ2 + ν2
1= µ2 + ν2
(B.43)
Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer
columna
M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = (1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 + (µ2 + ν2)Φ3,1 (B.44)
Los valores que satisfacen la condicion son
(1)(µ2) + (1)(ν2) + (µ2 + ν2)(0) = µ2 + ν2 (B.45)
Por lo tanto, tenemos que Φ1,1 = µ2, Φ2,1 = ν2 y Φ3,1 = 0.
Para la siguiente columna
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 + (µ2 + ν2)Φ3,2 = 0
(1)(−1) + (1)(1) + (0)(µ2 + ν2) = 0
(B.46)
B.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ) 187
los resultado que satisfacen la igualdad son Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0. Para la
ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 + (µ2 + ν2)Φ3,3 = 0
(1)(−µ2) + (1)(−ν2
)+ (µ2 + ν2) (1) = 0
(B.47)
Los parametros que satisfacen la igualdad son Φ1,3 = −µ2, Φ2,3 = −ν2 y Φ3,3 = 1.
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel µ2 −1 −µ2
ν2 1 −ν2
0 0 1
(B.48)
B.5. Coordenadas Esfericas (r, θ, ϕ)
Los factores de escala para este sistema son
hr = 1
hθ = r
hϕ = r sin θ
(B.49)
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
hrhθhϕ = (1) (r) (r sin θ) = r2 sin θ (B.50)
y ahora
hrhθhϕh2r
=r2 sin θ
1= r2 sin θ = r2 (sin θ) ; f1 = r2
hrhθhϕh2θ
=r2 sin θ
r2= (1) sin θ ; f2 = sin θ
hrhθhϕh2ϕ
=r2 sin θ
r sin θ= (1)r ; f3 = 1
(B.51)
Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S
S =hrhθhϕf1f2f3
=r2 sin θ
r2 sin θ= 1 (B.52)
188 Apendice B. Determinante de Stackel
Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
M1 =S
h2r
=1
1= 1
M2 =S
h2θ
=1
r2=
1
r2
M3 =S
h2ϕ
=1
r2 sin2 θ=
1
r2 sin2 θ
(B.53)
Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer
columna sustituyendo los menores M tenemos
(1)Φ1,1 +1
r2 sin2 θΦ2,1 + (
1
r2 sin2 θ)Φ3,1 = 1 (B.54)
Los valores que satisfacen la ecuacion son
(1)(1) +1
r2(0) + (
1
r2 sin2 θ)(0) = 1 (B.55)
por lo tanto Φ1,1 = 1, Φ2,1 = 0 and Φ3,1 = 0.
Para la siguiente columna
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
1Φ1,2 +1
r2Φ2,2 +
1
r2 sin2 θΦ3,2 = 0
(1)
(− 1
r2
)+
1
r2(1) +
1
r2 sin2 θ(0) = 0
(B.56)
De esta forma obtenemos que Φ1,2 = − 1r2
, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0. Para la ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
(1)Φ1,3 +1
r2Φ2,3 +
1
r2 sin2 θΦ3,3 = 0
(1)(0) +1
r2
(− 1
sin2 θ
)+
1
r2 sin2 θ(1) = 0
(B.57)
Entonces obtenemos que Φ1,3 = 0, Φ2,3 = − 1sin2 θ
y Φ3,3 = 1
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel 1 − 1r2
0
0 1 − 1sin2 θ
0 0 1
(B.58)
B.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ) 189
B.6. Coordenadas Esferoidales Prolatas (ξ, η, ϕ)
Los factores de escala para este sistema son
hξ = d
(ξ2 − η2
ξ2 − 1
)1/2
hη = d
(ξ2 − η2
1− η2
)1/2
hϕ = d[(ξ2 − 1)(1− η2)
]1/2(B.59)
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
hξhηhϕ = d
(ξ2 − η2
ξ2 − 1
)1/2
d
(ξ2 − η2
1− η2
)1/2
d[(ξ2 − 1)(1− η2)
]1/2= d3(ξ2 − η2)
(B.60)
ahora
hξhηhϕh2ξ
=d3(ξ2 − η2)
d2(ξ2−η2
ξ2−1
) = (ξ2 − 1)(d) ; f1 = ξ2 − 1
hξhηhϕh2η
=d3(ξ2 − η2)
d2(ξ2−η2
1−η2
) = (1− η2)(d) ; f2 = 1− η2
hξhηhϕh2ϕ
=d3(ξ2 − η2)
d2 [(ξ2 − 1)(1− η2)]= (d)
((ξ2 − η2)
[(ξ2 − 1)(1− η2)]
); f3 = d
(B.61)
Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S
S =hξhηhϕf1f2f3
=d3(ξ2 − η2)
d(ξ2 − 1)(1− η2)= d2 (ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)(B.62)
Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
M1 =S
h2ξ
=d2 (ξ2−η2)
(ξ2−1)(1−η2)
d2(ξ2−η2
ξ2−1
) =1
1− η2
M2 =S
h2η
=d2 (ξ2−η2)
(ξ2−1)(1−η2)
d2(ξ2−η2
1−η2
) =1
ξ2 − 1
M3 =S
h2ϕ
=d2 (ξ2−η2)
(ξ2−1)(1−η2)
d2 [(ξ2 − 1)(1− η2)]=
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)2(1− η2)2
(B.63)
190 Apendice B. Determinante de Stackel
Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer
columna, reemplazando los menores M tenemos
1
(1− η2)Φ1,1 +
1
(ξ2 − 1)Φ2,1 +
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)2(1− η2)2Φ3,1 = d2 (ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)(B.64)
los valores que satisfacen las condiciones son
1
(1− η2)
(d2ξ2
ξ2 − 1
)+
1
(ξ2 − 1)
(− d2η2
1− η2
)+
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)2(1− η2)2(0) = d2 (ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)(1− η2)(B.65)
Por lo tanto Φ1,1 = d2ξ2
ξ2−1, Φ2,1 = − d2η2
1−η2 y Φ3,1 = 0.
Para la siguiente columna
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
sustituyendo los menores
1
(1− η2)Φ1,2 +
1
(ξ2 − 1)Φ2,2 +
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)2(1− η2)2Φ3,2 = 0 (B.66)
obtenemos
1
(1− η2)
(−1
ξ2 − 1
)+
1
(ξ2 − 1)
(1
1− η2
)+
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)2(1− η2)2(0) = 0 (B.67)
de esta forma Φ1,2 = − 1ξ2−1
, Φ2,2 = 11−η2 y Φ3,2 = 0. Para la ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
reemplazando los menores
1
(1− η2)Φ1,3 +
1
(ξ2 − 1)Φ2,3 +
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)2(1− η2)2Φ3,3 = 0 (B.68)
los valores que satisfacen las condiciones son
1
(1− η2)
(− 1
(ξ2 − 1)2
)+
1
(ξ2 − 1)
(− 1
(1− η2)2
)+
(ξ2 − η2)
(ξ2 − 1)2(1− η2)2(1) = 0 (B.69)
por lo tanto Φ1,3 = − 1(ξ2−1)2
, Φ2,3 = − 1(1−η2)2
y Φ3,3 = 1
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackeld2ξ2
ξ2−1− 1ξ2−1
− 1(ξ2−1)2
− d2η2
1−η21
1−η2 − 1(1−η2)2
0 0 1
(B.70)
B.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ) 191
B.7. Coordenadas Esferoidales Oblatas (ξ, η, ϕ)
Los factores de escala para este sistema son
hξ = d
(ξ2 + η2
ξ2 + 1
)1/2
hη = d
(ξ2 + η2
1− η2
)1/2
hϕ = d[(ξ2 + 1)(1− η2)
]1/2(B.71)
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
hξhηhϕ = d
(ξ2 + η2
ξ2 + 1
)1/2
d
(ξ2 + η2
1− η2
)1/2
d[(ξ2 + 1)(1− η2)
]1/2= d3(ξ2 + η2)
(B.72)
Ahora
hξhηhϕh2ξ
=d3(ξ2 + η2)
d2(ξ2+η2
ξ2+1
) =(ξ2 + 1)(d) ; f1 = ξ2 + 1
hξhηhϕh2η
=d3(ξ2 + η2)
d2(ξ2+η2
1−η2
) =(1− η2)(d) ; f2 = 1− η2
hξhηhϕh2ϕ
=d3(ξ2 + η2)
d2 [(ξ2 + 1)(1− η2)]=(d)
((ξ2 + η2)
[(ξ2 + 1)(1− η2)]
); f3 = d
(B.73)
Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S
S =hξhηhϕf1f2f3
=d3(ξ2 + η2)
d(ξ2 + 1)(1− η2)= d2 (ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)(B.74)
Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
M1 =S
h2ξ
=d2 (ξ2+η2)
(ξ2+1)(1−η2)
d2(ξ2+η2
ξ2+1
) =1
1− η2
M2 =S
h2η
=d2 (ξ2+η2)
(ξ2+1)(1−η2)
d2(ξ2+η2
1−η2
) =1
ξ2 + 1
M3 =S
h2ϕ
=d2 (ξ2+η2)
(ξ2+1)(1−η2)
d2 [(ξ2 + 1)(1− η2)]=
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)2(1− η2)2
(B.75)
192 Apendice B. Determinante de Stackel
Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer
columna, reemplazando los menores M , tenemos
1
(1− η2)Φ1,1 +
1
(ξ2 + 1)Φ2,1 +
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)2(1− η2)2Φ3,1 = d2 (ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)(B.76)
los valores que satisfacen las condiciones son
1
(1− η2)
(d2ξ2
ξ2 + 1
)+
1
(ξ2 + 1)
(d2η2
1− η2
)+
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)2(1− η2)2(0) = d2 (ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)(1− η2)(B.77)
obtenemos que Φ1,1 = d2ξ2
ξ2+1, Φ2,1 = d2η2
1−η2 y Φ3,1 = 0.
Siempre considerando las restricciones de renglon. Para la siguiente columna
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
sustituyendo los menores
1
(1− η2)Φ1,2 +
1
(ξ2 + 1)Φ2,2 +
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)2(1− η2)2Φ3,2 = 0 (B.78)
1
(1− η2)
(−1
ξ2 + 1
)+
1
(ξ2 + 1)
(1
1− η2
)+
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)2(1− η2)2(0) = 0 (B.79)
de esta manera Φ1,2 = − 1ξ2+1
, Φ2,2 = 11−η2 y Φ3,2 = 0. Para la tercer columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
reemplazando los menores
1
(1− η2)Φ1,3 +
1
(ξ2 + 1)Φ2,3 +
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)2(1− η2)2Φ3,3 = 0 (B.80)
los valores que satisfacen las restricciones son
1
(1− η2)
(1
(ξ2 + 1)2
)+
1
(ξ2 + 1)
(−1
(1− η2)2
)+
(ξ2 + η2)
(ξ2 + 1)2(1− η2)2(1) = 0 (B.81)
ası, encontramos que Φ1,3 = 1(ξ2+1)2
, Φ2,3 = − 1(1−η2)2
y Φ3,3 = 1
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackeld2ξ2
ξ2+1− 1ξ2+1
1(ξ2+1)2
d2η2
1−η21
1−η2 − 1(1−η2)2
0 0 1
(B.82)
B.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ) 193
B.8. Coordenadas Parabolicas (µ, ν, ϕ)
Los factores de escala para este sistema son
hµ =(µ2 + ν2)1/2
hν =(µ2 + ν2)1/2
hϕ =µν
(B.83)
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
hµhνhϕ = (µ2 + ν2)1/2(µ2 + ν2)1/2µν = (µ2 + ν2)µν (B.84)
Ahora
hµhνhϕh2µ
=(µ2 + ν2)µν
(µ2 + ν2)= (µ)(ν) ; f1 = µ
hµhνhϕh2ν
=(µ2 + ν2)µν
(µ2 + ν2)= (ν)(µ) ; f2 = ν
hµhνhϕh2ϕ
=(µ2 + ν2)µν
µ2ν2= (1)
(µ2 + ν2
µν
); f3 = 1
(B.85)
Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S
S =hµhνhϕf1f2f3
=(µ2 + ν2)µν
µν= µ2 + ν2 (B.86)
Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
M1 =S
h2µ
=µ2 + ν2
µ2 + ν2= 1
M2 =S
h2ν
=µ2 + ν2
µ2 + ν2= 1
M3 =S
h2ϕ
=µ2 + ν2
µ2ν2=µ2 + ν2
µ2ν2
(B.87)
Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer
columna
M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S
(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 + (µ2 + ν2
µ2ν2)Φ3,1 = µ2 + ν2
(B.88)
194 Apendice B. Determinante de Stackel
reemplazando los menores M
(1)Φ1,1 + (1)Φ2,1 + (µ2 + ν2
µ2ν2)Φ3,1 = µ2 + ν2 (B.89)
los valores que satisfacen son
(1)(µ2) + (1)(ν2) + (µ2 + ν2
µ2ν2)(0) = µ2 + ν2 (B.90)
por lo tanto Φ1,1 = µ2, Φ2,1 = ν2 y Φ3,1 = 0.
para la siguiente columna y reemplazando los menores
(1)Φ1,2 + (1)Φ2,2 + (µ2 + ν2
µ2ν2)Φ3,2 = 0 (B.91)
los valores que satisfacen son
(1)(−1) + (1)(1) + (µ2 + ν2
µ2ν2)(0) = 0 (B.92)
de esta forma Φ1,2 = −1, Φ2,2 = 1 y Φ3,2 = 0. Para la ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
(1)Φ1,3 + (1)Φ2,3 + (µ2 + ν2
µ2ν2)Φ3,3 = 0
(1)(− 1
µ2) + (1)(− 1
ν2) + (
µ2 + ν2
µ2ν2) (1) = 0
(B.93)
ası, encontramos que Φ1,3 = − 1µ2 , Φ2,3 = − 1
ν2 y Φ3,3 = 1
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel µ2 −1 − 1µ2
ν2 1 − 1ν2
0 0 1
(B.94)
B.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe)
Los factores de escala para este sistema son
B.9. Coordenadas Conicas (r, θe, ϕe) 195
hr =1
hθe =r
√θ2e − ϕ2
e
(θ2e − b2)(c2 − θ2
e)
hϕe =r
√θ2e − ϕ2
e
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
(B.95)
Por simplicidad definimos
g(θe) = (θ2e − b2)(c2 − θ2
e)
g(ϕe) = (b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
(B.96)
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
hrhθehϕe = (1)r
√θ2e − ϕ2
e√g(θe)
r
√θ2e − ϕ2
e√g(ϕe)
=r2(θ2
e − ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
(B.97)
Ahora
hrhθehϕeh2r
=
r2(θ2e−ϕ2)√g(θe)√g(ϕe)
1=(r2)( (θ2
e − ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
); f1 = r2
hrhθehϕeh2θe
=
r2(θ2e−ϕ2)√g(θe)√g(ϕe)
r2(θ2e−ϕ2e)
g(θe)
=(√
g(θe))( 1√
g(ϕe)
); f2 =
√g(θe)
hrhθehϕeh2ϕe
=
r2(θ2e−ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
r2(θ2e−ϕ2e)
g(ϕe)
=(√
g(ϕe))( 1√
g(θe)
); f3 =
√g(ϕe)
(B.98)
de esta forma, podemos ver que f1 = r2, f2 =√g(θe) y f3 =
√g(ϕe)
Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S
S =hrhθehϕef1f2f3
=
r2(θ2e−ϕ2e)√
g(θe)√g(ϕe)
r2√g(θe)
√g(ϕe)
=θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)(B.99)
Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
196 Apendice B. Determinante de Stackel
M1 =S
h2r
=
θ2e−ϕ2e
g(θe)g(ϕe)
1=
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)
M2 =S
h2θe
=
θ2e−ϕ2e
g(θe)g(ϕe)
r2(θ2e−ϕ2e)
g(θe)
=1
r2g(ϕe)
M3 =S
hϕe=
θ2e−ϕ2e
g(θe)g(ϕe)
r2(θ2e−ϕ2e)
g(ϕe)
=1
r2g(θe)
(B.100)
Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer
columna reemplazando los menores M , la ecuacion es
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)Φ1,1 +
1
r2g(ϕe)Φ2,1 +
1
r2g(θe)Φ3,1 =
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)(B.101)
los valores que satisfacen son
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)(1) +
(1
r2g(ϕe)
)(0) +
(1
r2g(θe)
)(0) =
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)(B.102)
por lo tanto Φ1,1 = 1, Φ2,1 = 0 y Φ3,1 = 0.
para la siguiente columna
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
sustituyendo los menores
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)Φ1,2 +
(1
r2g(ϕe)
)Φ2,2 +
(1
r2g(θe)
)Φ3,2 = 0 (B.103)
los valores que satisfacen son
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)
(− 1
r2
)+
(1
r2g(ϕe)
)(θ2e
g(θe)
)+
(1
r2g(θe)
)(−ϕ2
e
g(ϕe)
)= 0 (B.104)
Por lo tanto Φ1,2 = − 1r2
, Φ2,2 = θ2eg(θe)
y Φ3,2 = −ϕ2e
g(ϕe). Para la tercer columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
reemplazando los menores
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)Φ1,3 +
1
r2g(ϕe)Φ2,3 +
1
r2g(θe)Φ3,3 = 0 (B.105)
B.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) 197
los valores que satisfacen son
θ2e − ϕ2
e
g(θe)g(ϕe)(0) +
1
r2g(ϕe)(−1
g(θe)) +
1
r2g(θe)(
1
g(ϕe)) = 0 (B.106)
De esta manera Φ1,3 = 0, Φ2,3 = −1g(θe)
y Φ3,3 = 1g(ϕe)
.
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackel
1 − 1r2
0
0 θ2eg(θe)
−1g(θe)
0 −ϕ2e
g(ϕe)1
g(ϕe)
(B.107)
sustituyendo g(θe) y g(ϕe), el resultado final es
1 − 1r2
0
0 θ2e(θ2e−b2)(c2−θ2e)
−1(θ2e−b2)(c2−θ2e)
0 −ϕ2e
(b2−ϕ2e)(c
2−ϕ2e)
1(b2−ϕ2
e)(c2−ϕ2
e)
(B.108)
B.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe)
Los factores de escala para este sistema son
hµe =
√(µe − νe)(µe − ϕe)(µe − c)(µe − b)
hνe =
√(µe − νe)(ϕe − νe)
(c− νe)(b− νe)
hϕe =
√(ϕe − νe)(µe − ϕe)(c− ϕe)(ϕe − b)
(B.109)
por simplicidad definimos
g(µe) = (µe − c)(µe − b)g(νe) = (c− νe)(b− νe)g(ϕe) = (c− ϕe)(ϕe − b)
(B.110)
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
198 Apendice B. Determinante de Stackel
hµehνehϕe =
√(µe − νe)(µe − ϕe)√
g(µe)
√(µe − νe)(ϕe − νe)√
g(νe)
√(ϕe − νe)(µe − ϕe)√
g(ϕe)
=(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)√
g(µe)g(νe)g(ϕe)
(B.111)
Ahora,
hµehνehϕeh2µe
=
(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)√g(µe)g(νe)g(ϕe)
(µe−νe)(µe−ϕe)g(µe)
=(√
g(µe))( (ϕe − νe)√
g(νe)g(ϕe)
); f1 =
√g(µe)
hµehνehϕeh2νe
=
(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)√g(µe)g(νe)g(ϕe)
(µe−νe)(ϕe−νe)g(νe)
=(√
g(νe))( (µe − ϕe)√
g(µe)g(ϕe)
); f2 =
√g(νe)
hµehνehϕeh2ϕe
=
(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)√g(µe)g(νe)g(ϕe)
(ϕe−νe)(µe−ϕe)g(ϕe)
=(√
g(ϕe))( (µe − νe)√
g(µe)g(νe)
); f3 =
√g(ϕe)
(B.112)
De estos resultado podemos notar que f1 =√g(µe), f2 =
√g(νe) y f3 =
√g(ϕe)
Una vez conocidas las funciones f , obtenemos el determinante S
S =hµehνehϕef1f2f3
=
(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)√g(µe)g(νe)g(ϕe)√
g(µe)g(νe)g(ϕe)=
(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)g(µe)g(νe)g(ϕe)
(B.113)
Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
M1 =S
h2µe
=
(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)g(µe)g(ν)g(ϕe)
(µe−νe)(µe−ϕe)g(µe)
=(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)
M2 =S
h2νe
=
(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)g(µe)g(νe)g(ϕe)
(µe−νe)(ϕe−νe)g(νe)
=(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)
M3 =S
h2ϕe
=
(µe−νe)(µe−ϕe)(ϕe−νe)g(µe)g(νe)g(ϕe)
(ϕe−νe)(µe−ϕe)g(ϕe)
=(µe − νe)g(µe)g(νe)
(B.114)
Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer
columna
M1Φ1,1 +M2Φ2,1 +M3Φ3,1 = S
B.10. Coordenadas Paraboloidales (µe, νe, ϕe) 199
reemplazando los menores M
(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)
Φ1,1 +(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)
Φ2,1 +(µe − νe)g(µe)g(νe)
Φ3,1 =(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)
g(µe)g(νe)g(ϕe)(B.115)
Recordemos que el renglon n pueden contener unicamente variables χn. Donde los
valores que satisfacen la ecuacion son
(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)
(µ2e
g(µe)
)+
(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)
(ν2e
g(νe)
)+
(µe − νe)g(µe)g(νe)
(−ϕ2
e
g(ϕe)
)=
(µe − νe)(µe − ϕe)(ϕe − νe)g(µe)g(νe)g(ϕe)
(B.116)
por lo tanto Φ1,1 = µ2e
g(µe), Φ2,1 = ν2
e
g(νe)y Φ3,1 = −ϕ2
e
g(ϕe).
para la siguiente columna
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
sustituyendo los menores
(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)
Φ1,2 +(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)
Φ2,2 +(µe − νe)g(µe)g(νe)
Φ3,2 = 0 (B.117)
los valores que satisfacen son
(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)
(−1
g(µe)
)+
(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)
(−1
g(νe)
)+
(µe − νe)g(µe)g(νe)
(1
g(ϕe)
)= 0 (B.118)
de esta forma Φ1,2 = −1g(µe)
, Φ2,2 = −1g(νe)
y Φ3,2 = 1g(ϕe)
. Para la ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
sustituyendo los menores
(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)
Φ1,3 +(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)
Φ2,3 +(µe − νe)g(µe)g(νe)
Φ3,3 = 0 (B.119)
los valores que satisfacen son
(ϕe − νe)g(νe)g(ϕe)
(µeg(µe)
)+
(µe − ϕe)g(µe)g(ϕe)
(νe
g(µe)
)+
(µe − νe)g(µe)g(νe)
(−ϕeg(ϕe)
)= 0 (B.120)
Por lo tanto Φ1,3 = µeg(µe)
, Φ2,3 = νeg(νe)
and Φ3,3 = −ϕeg(ϕe)
200 Apendice B. Determinante de Stackel
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackelµ2e
g(µe)−1g(µe)
µeg(µe)
ν2e
g(νe)−1g(νe)
νeg(νe)
−ϕ2e
g(ϕe)1
g(ϕe)−ϕeg(ϕe)
(B.121)
reemplazando g(µe), g(νe) y g(ϕe)µ2e
(µe−c)(µe−b)−1
(µe−c)(µe−b)µe
(µe−c)(µe−b)ν2e
(c−νe)(b−νe)−1
(c−νe)(b−νe)νe
(c−νe)(b−νe)−ϕ2
e
(c−ϕe)(ϕe−b)1
(c−ϕe)(ϕe−b)−ϕe
(c−ϕe)(ϕe−b)
(B.122)
B.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe)
Los factores de escala para este sistema son
hξe =
√(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)
(ξ2e − b2)(ξ2
e − c2)
hηe =
√(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)
(η2e − b2)(c2 − η2
e)
hϕe =
√(ξ2e − ϕ2)(η2
e − ϕ2e)
(b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
(B.123)
por simplicidad definimos
g(ξe) = (ξ2e − b2)(ξ2
e − c2)
g(ηe) = (η2e − b2)(c2 − η2
e)
g(ϕe) = (b2 − ϕ2e)(c
2 − ϕ2e)
(B.124)
ahora
hξehηehϕe =
√(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)√g(ξe)
√(η2e − ϕ2
e)(ξ2e − η2
e)√g(ηe)
√(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)√g(ϕe)
=(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)√g(ξe)g(ηe)g(ϕe)
(B.125)
B.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) 201
para encontrar las funciones f , hacemos los siguientes calculos
hξehηehϕeh2ξe
=
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)√g(ξe)g(ηe)g(ϕe)
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)g(ξe)
=(√
g(ξe))( (η2
e − ϕ2e)√
g(ηe)g(ϕe)
); f1 =
√g(ξe)
hξehηehϕeh2ηe
=
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)√g(ξe)g(ηe)g(ϕe)
(η2e−ϕ2
e)(ξ2e−η2
e)g(ηe)
=(√
g(ηe))( (ξ2
e − ϕ2e)√
g(ξe)g(ϕe)
); f2 =
√g(ηe)
hξehηehϕeh2ϕe
=
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)√g(ξe)g(ηe)g(ϕe)
(ξ2e−ϕ2e)(η
2e−ϕ2
e)g(ϕe)
=(√
g(ϕe))( (ξ2
e − η2e)√
g(ξe)g(ηe)
); f3 =
√g(ϕe)
(B.126)
De estos resultado podemos ver que f1 =√g(ξe), f2 =
√g(ηe) y f3 =
√g(ϕe)
Ya que conocemos las funciones f , podemos calcular el determinante S
S =hξehηehϕef1f2f3
=
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)√g(ξe)g(η)g(ϕe)√
g(ξe)g(ηe)g(ϕe)=
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ηe)g(ϕe)(B.127)
Con el determinante S y los factores de escala encontramos los menores
M1 =S
h2ξe
=
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)g(ξe)g(ηe)g(ϕe)
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)g(ξe)
=(η2e − ϕ2
e)
g(ηe)g(ϕe)
M2 =S
h2ηe
=
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)g(ξe)g(ηe)g(ϕe)
(η2e−ϕ2
e)(ξ2e−η2
e)g(ηe)
=(ξ2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ϕe)
M3 =S
h2ϕe
=
(ξ2e−η2e)(ξ2e−ϕ2
e)(η2e−ϕ2
e)g(ξe)g(ηe)g(ϕe)
(η2e−ϕ2
e)(ξ2e−η2
e)g(ηe)
=(ξ2e − η2
e)
g(ξe)g(ηe)
(B.128)
Ahora ya podemos calcular los elementos de la matriz de Stackel. Para la primer
columna y reemplazando los menores M , la ecuacion es
((η2e − ϕ2
e)
g(ηe)g(ϕe)
)Φ1,1 +
((ξ2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ϕe)
)Φ2,1 +
((ξ2e − η2
e)
g(ξe)g(ηe)
)Φ3,1 =
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ηe)g(ϕe)(B.129)
Si observamos en la ecuacion, nos damos cuenta que lo primero es buscar en todos los
terminos de la ecuacion tengan el mismo denominador y luego trabajar con el numerador
202 Apendice B. Determinante de Stackel
((η2e − ϕ2
e)
g(ηe)g(ϕe)
)ξ4e
g(ξe)+
((ξ2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ϕe)
)−η4
e
g(ηe)+
((ξ2e − η2
e)
g(ξe)g(ηe)
)ϕ4e
g(ϕe)=
(ξ2e − η2
e)(ξ2e − ϕ2
e)(η2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ηe)g(ϕe)(B.130)
con esto, tenemos que todos los denominadores son iguales, y con un algebra podemos
ver que
(ξ2e − ϕ2
e)η4e − (η2
e − ϕ2e)ξ
4e + (η2
e − ξ2e )ϕ
4e = (ξ2
e − ϕ2e)(η
2e − ϕ2
e)(η2e − ξ2
e )
por lo tanto Φ1,1 = ξ4eg(ξe)
, Φ2,1 = −η4e
g(ηe)y Φ3,1 = ϕ4
e
g(ϕe).
Para la siguiente columna
M1Φ1,2 +M2Φ2,2 +M3Φ3,2 = 0
sustituyendo los menores((η2e − ϕ2
e)
g(ηe)g(ϕe)
)Φ1,2 +
((ξ2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ϕe)
)Φ2,2 +
((ξ2e − η2
e)
g(ξe)g(ηe)
)Φ3,2 = 0 (B.131)
Nuevamente podemos notar que para todos los terminos de la ecuacion pueden tener el
mismo denominador, y en esta ocasion la suma de los numeradores es cero directamente.Por
lo tanto
((η2e − ϕ2
e)
g(ηe)g(ϕe)
)1
g(ξe)+
((ξ2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ϕe)
)−1
g(ηe)+
((ξ2e − η2
e)
g(ξe)g(ηe)
)1
g(ϕe)= 0 (B.132)
De esta forma Φ1,2 = 1g(ξe)
, Φ2,2 = −1g(ηe)
y Φ3,2 = 1g(ϕe)
. Para la ultima columna
M1Φ1,3 +M2Φ2,3 +M3Φ3,3 = 0
reemplazando los menores((η2e − ϕ2
e)
g(ηe)g(ϕ)
)Φ1,3 +
((ξ2e − ϕ2
e)
g(ξ)g(ϕe)
)Φ2,3 +
((ξ2e − η2
e)
g(ξe)g(ηe)
)Φ3,3 = 0 (B.133)
los valores que satisfacen son((η2e − ϕ2
e)
g(ηe)g(ϕe)
)ξ2e
g(ξe)+
((ξ2e − ϕ2
e)
g(ξe)g(ϕe)
)−η2
e
g(etae)+
((ξ2e − η2
e)
g(ξe)g(ηe)
)ϕ2e
g(ϕe)= 0 (B.134)
por lo tanto Φ1,3 = ξ2eg(ξe)
, Φ2,3 = ξ2eg(ξe)
and Φ3,3 = ϕ2e
g(ϕe)
B.11. Coordenadas Elipsoidales (ξe, ηe, ϕe) 203
Ahora sustituimos todos los elementos en la matriz de Stackelξ4eg(ξe)
1g(ξe)
ξ2eg(ξe)
−η4e
g(ηe)−1g(ηe)
−η2e
g(ηe)ϕ4e
g(ϕe)1
g(ϕe)ϕ2e
g(ϕe)
(B.135)
reemplazando g(ξe), g(ηe) y g(ϕe) tenemos el resultado finalξ4e
(ξ2e−b2)(ξ2e−c2)1
(ξ2e−b2)(ξ2e−c2)ξ2e
(ξ2e−b2)(ξ2e−c2)−η4
e
(η2e−b2)(c2−η2
e)−1
(η2e−b2)(c2−η2
e)−η2
e
(η2e−b2)(c2−η2
e)ϕ4e
(b2−ϕ2e)(c
2−ϕ2e)
1(b2−ϕ2
e)(c2−ϕ2
e)ϕ2e
(b2−ϕ2e)(c
2−ϕ2e)
(B.136)
204 Apendice B. Determinante de Stackel
Apendice C
Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
En esta seccion mostramos de forma resumida, las tecnicas y operaciones, que llevan a la
solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias que resultan de la separacion de la ecuacion
tridimensional de Helmholtz. Para cada uno de los once sistemas de coordenadas se obtienen
tres ecuaciones, pero algunas de ellas se repiten en mas de un sistema coordenado o en el
mismo sistema en mas de una coordenada, de esta forma tenemos 15 ecuaciones diferenciales
ordinarias diferentes. El metodo de solucion que prevalece para resolver las ecuaciones es el
de Frobenius. A continuacion damos inicio con la ecuacion mas sencilla de todas la funcion
armonica simple.
C.1. Funcion armonica simple
Esta ecuacion es
d2X
dx2+X = 0 (C.1)
Considerando la forma general de las ecuaciones diferenciales lineales homogeneas de
segundo orden como:
ad2X
dx2+ b
dX
dx+ cX = 0 (C.2)
Proponemos unas solucion de la forma Cerx, donde r, y C son constantes arbitrarias.
Sustituyendo X = Cerx en la ecuacion C.1 y realizando las derivadas
ad2(Cerx)
dx2+ b
d(Cerx)
dx+ c(Cerx) =r2Cerx + arCerx + Cberx
=Cerx(ar2 + br + c) = 0
(C.3)
Esta igualdad es verdadera si y solo si, r es una raız de ar2 +br+c. Este polinomio es llamada
polinomio caracterıstico de la ecuacion C.2, y sus raıces r1 y r2 son las raıces caracterısticas.
205
206 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
Las soluciones dependen de los resultados de r1 y r2, por ejemplo, si r1 6= r2 la solucion
es
X = C1er1x + C2e
r2x (C.4)
Ahora, para nuestro caso en particular, en la ecuacion armonica simple tenemos que
a = 1 y b = 0, entonces el polinomio caracterıstico queda r2 + c, donde c nos representa en
este caso el numero de onda al cuadrado c = k2, por lo tanto, r = ±ik, y la solucion es
X = C1eikx + C2e
−ikx (C.5)
Esta es la solucion de la ecuacion armonica simple.
Otro de resolver esta ecuacion armonica simple es mediante series de potencia. Para
ello proponemos una solucion de la forma X =∑∞
n=0 anxn. Reemplazandola en la ecuacion
C.1 y derivando, tenemos
∞∑n=0
[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + an]xn = 0 (C.6)
se debe cumplir que
(n+ 2)(n+ 1)an+2 + an = 0 (C.7)
Escogiendo a0 = 1 y a1 = 0, para la solucion par, tenemos la siguiente relacion de
recurrencia
a2n =(−1)n
(2n)!(C.8)
al reemplazarla en la sumatoria tenemos
a2n =(−1)n
(2n)!x2n (C.9)
podemos ver, que la serie obtenida es la expansion de Taylor de la funcion coseno(x).
Esto es, encontramos que la funcion coseno es solucion de la ecuacion C.1. Si ahora escogemos
a0 = 0 y a1 = 1, para la solucion impar, el resultado es la funcion seno(x). Cada una de estas
funciones es solucion, y la suma de ellas tambien lo es, y por la identidad de Euler obtenemos
las soluciones en la forma exponencial que son las que nos representan ondas propagantes.
C.2. Funcion Bessel y Bessel esferica 207
C.2. Funcion Bessel y Bessel esferica
Esta ecuacion resulta en las coordenadas cilındricas circulares
ρ2d2R
dρ2+ ρ
dR
dρ+ (ρ2 − n2)R = 0 (C.10)
presenta una singularidad regular en ρ = 0, donde n es un entero no-negativo y es el
orden de la funcion.
Para resolver esta ecuacion, proponemos una solucion en serie de potencias de la forma
R =∞∑m=0
amρm+p (C.11)
Donde ρ > 0 y a0 6= 0. Sustituyendo en la ecuacion y realizando las derivadas, resulta
ρ2
∞∑m=0
(m+ p)(m+ p− 1)amρm+p−2 + ρ
∞∑m=0
(m+ p)amρm+p−1+
ρ2
∞∑m=0
amρm+p − n2
∞∑m=0
amρm+p = 0 (C.12)
agrupando y factorizando, resulta
∞∑m=0
[(m+ p)(m+ p− 1) + (m+ p)− n2]amρm+p +
∞∑m=0
amρm+p+2 = 0 (C.13)
reescribimos los ındices de la ultima sumatoria en la forma∑∞
m=2 am−2ρm+p, y
evaluamos para m = 0, 1
(p2 − n2)a0xn + (1 + 2n)a1x
n+1+∞∑m=2
{[(m+ p)(m+ p− 1) + (m+ p)− n2
]am + am−2
}ρm+n = 0 (C.14)
el factor p2− n2 que multiplica a a0 debe ser cero, por lo tanto p = ±n, dado que a0 es
una constante arbitraria diferente de cero; en el segundo termino, el coeficiente es diferente
de cero para cualquier valor de n, debemos establecer a1 = 0, de esta forma podemos deducir
que a3 = a5 = a7 = ... = 0.
208 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
De esta manera a fin de satisfacer la igualdad, nos aseguramos que el termino entre
corchetes es tambien cero. Primero escogemos para p = n y tenemos
∞∑m=2
[m(m+ 2n)am + am−2]ρm+n = 0 (C.15)
para satisfacer la ecuacion, el termino entre corchetes tiene que ser cero; por lo tanto
tenemos la siguiente relacion de recurrencia
am =−am−2
m(m+ 2n)(C.16)
de esta relacion obtenemos
a2m =(−1)ma0
2mm!(m+ n)!(C.17)
si seleccionamos a0 = 1, la solucion correspondiente es dada por
R =∞∑m=0
(−1)mx2m+n
2mm!(m+ n)!(C.18)
acomodando y usando la identidad de la funcion Gamma, el resultado es
R =∞∑m=0
(−1)m
m!Γ(m+ n+ 1)
(x2
)2m+n
(C.19)
Esta es la funcion Bessel de primer tipo de orden n.
Ahora, si n no es entero y a0 6= 0, la segunda solucion independiente es definida
reemplazando n por −n.
Pero para n entero la segunda solucion es:
X =2
π
{[γ + ln (ρ/2)] Jn(ρ)− 1
2(ρ/2)−n
n−1∑m=0
(n−m− 1)!(ρ/2)2m
m!−
1
2(ρ/2)n
∞∑m=0
(−1)m(ρ/2)2m
m!(m+ n)!
[m∑l=1
1
l+
m+n∑l=1
1
l
]}(C.20)
Esta es conocida como funcion Bessel de segundo tipo o funcion Neumann
La ecuacion de Bessel esferica surge de la separacion de la ecuacion de Helmholtz en
coordenadas esfericas especıficamente para la coordenada radial
r2d2R
dr2+ 2r
dR
dr+ (κ2r2 −Q)R = 0 (C.21)
C.3. Funcion Mathieu 209
Las soluciones de esta ecuacion son las funciones Bessel esfericas y las Neumann
esfericas, y estas se pueden deducir a partir de las funciones Bessel, para ello utilizamos
las siguientes igualdades
jn(r) =
√π
2rJn+1/2(r)
nn(r) =
√π
2rNn+1/2(r)
(C.22)
De esta forma tenemos las soluciones la ecuacion de Bessel esferica.
C.3. Funcion Mathieu
Esta ecuacion resulta en la separacion de la ecuacion de Helmholtz en coordenadas
cilındricas elıpticas, y tambien de la ecuacion de Laplace en coordenadas paraboloidales. La
forma estandar de la ecuacion Mathieu es
d2N
dη2+ (a− 2q cos 2η)N = 0 (C.23)
y de la ecuacion Mathieu modificada
d2E
dξ2− (a− 2q cosh 2ξ)E = 0 (C.24)
Pero debido a la variable coordenada de la cual resultan, tambien son llamadas ecuacion
Mathieu angular y Mathieu radial.
Primero trabajamos con la funcion angular. La solucion de la ecuacion C.23 es requerida
es muchos problemas fısicos por ser una funcion periodica univaluada con periodo π or 2π.
Los valores de a que satisfacen esta condicion son conocidos como valores caracterısticos
(eigenvalores). Las soluciones de primer tipo son denotadas como cem(η, q) y sem(η, q), los
sımbolos ce y se son abreviaciones de coseno − eliptico y seno − eliptico. Dado que estas
funciones son periodicas pueden ser expandidas como una serie seno o coseno de Fourier [43],
tenemos entonces
210 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
ce2n(η, q) =∞∑j=0
A2j(q) cos 2jη
ce2n+1(η, q) =∞∑j=0
A2j+1(q) cos (2j + 1)η
se2n+1(η, q) =∞∑j=0
B2j+1(q) sin (2j + 1)η
se2n+2(η, q) =∞∑j=0
B2j+2(q) sin (2j + 2)η
(C.25)
donde n = 0, 1, 2, ... y A y B son los coeficientes de expansion y dependen del parametro
q.
Sustituyendo una serie a la vez dentro de la ecuacion C.23 obtenemos las siguientes
relaciones de recurrencia, de manera resumida son
para ce2n(η, q)
aA0 − qA2 =0
(a− 4)A2 − q(2A0 + A4) =0
[a− (2j)2]A2j − q(A2j−2 + A2j+2) =0 (j ≥ 2)
(C.26)
para ce2n+1(η, q)
(a− 1− q)A1 − qA3 =0
[a− (2j + 1)2]A2j+1 − q(A2j−1 + A2j+3) =0 (j ≥ 1)(C.27)
para se2n+1(η, q)
(b− 1− q)B1 − qB3 =0
[b− (2j + 1)2]B2j+1 − q(B2j−1 +B2j+3) =0 (j ≥ 1)(C.28)
para se2n+1(η, q)
(b− 4)B2 − qB4 =0
[b− (2j + 2)2]B2j+2 − q(B2j +B2j+4) =0 (j ≥ 1)(C.29)
Los valores caracterısticos a(q) y b(q) pueden ser determinados resolviendo estas
relaciones como un problema de valores propios
C.3. Funcion Mathieu 211
a −q 0 0 . . . 0 0
−2q a− 4 −q 0 0 . . . 0
0 −q a− 16 −q 0 0 . . .
0 0. . . . . . . . . 0 0
· · · 0 0 −q a− (2j)2 −q 0
0 . . . 0 0. . . . . . . . .
A0
A2
A4
...
A2j
...
= 0 (C.30)
{[C1]− a[I]}[A] = 0 (C.31)
De esta forma, queda resuelto el problema, donde [A] es el vector caracterıstico
correspondiente al valor caracterıstico a. De manera similar son encontrados las soluciones
para el resto de las relaciones de recurrencia. Nosotros tomamos la ventaja de la manipulacion
de matrices del software Matlab, especıficamente las librerıas que tiene para solucionar
problemas de valores propios. Ahora, para la ecuacion de Mathieu modificada C.24, esta
solucion se puede obtener a partir de la solucion de la funcion Mathieu angular, reescribiendo
η por iξ, aplicando este cambio a las ecuaciones C.25 tenemos
Je2n(ξ, q) =∞∑j=0
A2j(q) cosh 2jξ
Je2n+1(ξ, q) =∞∑j=0
A2j+1(q) cosh (2j + 1)ξ
Jo2n+1(ξ, q) =∞∑j=0
B2j+1(q) sinh (2j + 1)ξ
Jo2n+2(ξ, q) =∞∑j=0
B2j+2(q) sinh (2j + 2)ξ
(C.32)
Las sumatorias en terminos de funciones hiperbolicas divergen rapidamente, y esto es
inconveniente para los calculos. Afortunadamente las funciones Mathieu modificadas pueden
ser expresadas es terminos del producto de funciones Bessel [3], y estas sumatorias convergen
apropiadamente.
212 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
Je2n(ξ, q) =ce2n(0, q)
A0
∞∑j=0
A2jJ2j(2√q sinh ξ)
Je2n+1(ξ, q) =ce2n+1(0, q)√qA1
coth ξ∞∑j=0
(2j + 1)A2j+1J2j+1(2√q sinh ξ)
Jo2n+1(ξ, q) =se′2n+1(0, q)√qB1
∞∑j=0
B2j+1J2j+1(√q sinh ξ)
Jo2n+2(ξ, q) =se′2n+2(0, q)
qB2
coth ξ∞∑j=0
(2j + 2)B2j+2J2j+2(√q sinh ξ)
(C.33)
Donde la prima (′) denota la derivada con respecto a ξ. De esta manera tenemos las
soluciones para las ecuaciones de Mathieu angular y radial.
C.4. Funcion de Legendre
Esta ecuacion diferencial corresponde a la ecuacion de la variable angular θ en el sistema
de coordenadas esfericas, es la ecuacion asociada de Legendre.
Haciendo Q = p(p+ 1), tenemos
(1− x2)d2P (x)
dx2− 2x
dP (x)
dx+
[p(p+ 1)− m2
1− x2
]P (x) = 0, x = cos θ (C.34)
Para resolver esta ecuacion, partimos de la ecuacion de Legendre
(1− x2)d2P (x)
dx2− 2x
dP (x)
dx+ p(p− 1)P (x) = 0 (C.35)
Para resolverla proponemos una solucion de la forma∑∞
j=0 ajxj, la sustituimos en la
ecuacion y realizando las derivadas, tenemos
(1− x2)∞∑j=0
j(j − 1)ajxj−2 − 2x
∞∑j=0
jajxj−1 + p(p+ 1)
∞∑j=0
ajxj = 0 (C.36)
Expandiendo,
∞∑j=0
j(j − 1)ajxj−2 −
∞∑j=0
j(j − 1)ajxj −
∞∑j=0
2jajxj + p(p+ 1)
∞∑j=0
ajxj = 0 (C.37)
C.4. Funcion de Legendre 213
Reescribimos los ındices en la primer sumatoria y factorizando, obtenemos
∞∑j=0
{(j + 2)(j + 1)aj+2 + [p(p+ 1)− j(j − 1)− 2j]aj}xj = 0 (C.38)
Para garantizar que la igualdad se cumpla, el factor entre corchetes debe ser cero. Al
igualarlo a cero obtenemos la siguiente relacion de recurrencia
aj+2 = −(p+ j + 1)(p− j)(j + 2)(j + 1)
aj (C.39)
Notemos que los valores de a0 determina a2, a4, ..., mientras que a1 determina a3, a5, ....
Con esto obtenemos
a2j =(−1)j(p+ 2j − 1)...(p+ 1)p...p(−2j + 2)
(2j)!a0
a2j+1 =(−1)j(p+ 2j)...(p+ 2)(p− 1)...(p− 2j + 1)
(2j + 1)!a1
(C.40)
Para cada valor de p podemos obtener una solucion P1(x), P2(x). Primero, las soluciones
pares a0 = 1 y a1 = 0, y posteriormente las impares a0 = 0 and a1 = 1.Tenemos
P1 =1− (p+ 1)p
2 · 1x2 + ...+ (−1)ja2jx
2j
P2 =x− (p+ 2)(p− 1)
3 · 2x3 + ...+ (−1)ja2j+1x
2j+1
(C.41)
Asumimos que p = n, donde n es un numero no negativo. Si n = j debemos tener
an+2 = 0; por lo tanto an+4 = an+6 · · · = 0, deducimos de esto que n = 2j y n = 2j + 1, por
lo tanto P1 tiene soluciones de grado 2j y P2 de grado 2j + 1.
P2j =1− (2j + 1)2j
2x2 + ...+ (−1)ja2jx
2j
P2j+1 =x− (2j + 3)2j
6x3 + ...+ (−1)ja2j+1x
2j+1
(C.42)
Es comun estandarizar esta funcion, para ello cada solucion se divide entre el valor de
la funcion en x = 1, de la siguiente manera
P2j =P1(x)
P1(1)
P2j+1 =P2(x)
P2(1)
(C.43)
214 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
Para el primer valor de n, tenemos
P0 = 1, P1 = x, P2 =1
2(3x2 − 1), P3 =
1
2(5x3 − 3x) (C.44)
Otra forma comun de obtener las soluciones es usar la formula [14]
Pn =1
2n
n/2∑j=0
(−1)j(2n− 2j)!
j!(n− j)!(n− 2j)!xn−2j (C.45)
o tambien la formula de Rodrigues
Pn =1
2nn!
(d
dx
)n(x2 − 1)n (C.46)
Una vez que tenemos la funcion de Legendre podemos obtener la funcion asociada de
Legendre [14], por la formula
Pmn (x) = (1− x2)m/2
dm
dxmPn(x) (C.47)
La ecuacion de Legendre es de segundo orden por lo que tiene dos soluciones, para
obtener la funcion asociada de Legendre de segundo tipo partimos de la funcion de Legendre
de primer tipo
Qn(x) = Pn(x)
[1
2ln
(1 + x
1− x
)− φ(n)
]+
n∑j=1
(−1)j(n+ j)!
(j!)2(n− j)!φ(j)
(1− x
2
)j(C.48)
Donde φ(0) = 0 y φ(n) = 1 + 12
+ 13
+ · · ·+ 1n
para (n > 0).
La formula final resultante es
Qmn (x) = (−1)m(1− x2)m/2
dm
dxmQn(x) (C.49)
C.5. Funcion de Onda Esferoidal
Las ecuaciones de onda esferoidal prolata son
(ξ2 − 1)d2E
dξ2+ 2ξ
dE
dξ−(an,m − c2ξ2 +
m2
(ξ2 − 1)
)E = 0 (C.50)
(1− η2)d2N
dη2− 2η
dN
dη+
(an,m − c2η2 − m2
(1− η2)
)N = 0 (C.51)
El parametro que nos da las dimensiones en este sistema de coordenadas es d, el cual
es la distancia semi-focal del elipsoide.
C.5. Funcion de Onda Esferoidal 215
C.5.1. Funcion de Onda Angular
Cuando c = 0, la ecuacion de onda esferoidal se reduce a la ecuacion asociada de
Legendre, por lo tanto, la funcion de onda angular S, es encontrada a partir de una expansion
en series infinitas de la funcion asociada de Legendre, tanto la de primer tipo como la de
segundo tipo
S(1)mn(c, η) =
∞∑r=0,1
′dmnr Pmm+k(η) (C.52)
S(2)mn(c, η) =
∞∑r=−∞
′dmnr Qmm+k(η) (C.53)
Donde dmnr (c) son los coeficientes de expansion a ser determinados, Pmm+k(η) y Qm
m+k(η)
son las funciones asociadas de Legendre de primer y segundo tipo respectivamente, esto es
para el sistema prolato, y con el cambio de c por −ic lo tenemos para el sistema oblato. El
apostrofe en el signo de la sumatoria indica que la sumatoria es llevada a cabo para valores
pares de j cuando (n−m) es par y para valores impares cuando (n−m) es impar.
Sustituyendo (C.52) dentro de (C.50), obtenemos
∞∑r=0,1
′dmnr
{d
dη(1− η2)
d
dη[Pmm+k(η)] + [amn − c2ξ2 +
m2
(ξ2 − 1)]Pmm+k(η)
}= 0 (C.54)
Trabajando con la formulas adecuadas de las funciones de Legendre, obtenemos las
siguientes relaciones de recurrencia
(2m+ r + 2)(2m+ r + 1)
(2m+ 2r + 5)(2m+ 2r + 3)c2dmnr+2(c) +
[(m+ r)(m+ r + 1)
− amn(c) +2(m+ r)(m+ r + 1)− 2m2 − 1
(2m+ 2r − 1)(2m+ 2r + 3)c2
]dmnr (c)
+r(r − 1)
(2m+ 2r − 3)(2m+ 2r − 1)c2dmnr−2(c) (C.55)
Para simplificar, definimos
216 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
αr =(2m+ r + 2)(2m+ r + 1)
(2m+ 2r + 5)(2m+ 2r + 3)c2
βr =(m+ r)(m+ r + 1) +2(m+ r)(m+ r + 1)− 2m2 − 1
(2m+ 2r − 1)(2m+ 2r + 3)c2
γr =r(r − 1)
(2m+ 2r − 3)(2m+ 2r − 1)c2
(C.56)
la ecuacion C.55 se convierte en
α0dmn2 (c) + [β0 − amn(c)] dmn0 (c) =0
α1dmn3 (c) + [β1 − amn(c)]dmn1 (c) =0
γrdmnr−2(c), γrd
mnr−2(c), αrd
mnr+2(c) + [βr − amn(c)]dmnr (c) + γrd
mnr−2(c) =0, (r ≥ 2)
(C.57)
De esta ecuacion podemos determinar las coeficientes de expansion, ademas de que
esta representa un sistema homogeneo de ecuaciones que permite determinar la relacion
dmnr (c)/dmnr−2(c). A fin de obtener una solucion no trivial de este sistema, el determinante
debe ser cero, para lo cual necesitamos determinar los valores caracterısticos amn. Esto es
equivalente a resolver el problema tridiagonal de valores propios dado por [43].β0 α0
γ2 β2 α2
. . .
γ2r β2r α2r
. . .
dmn0
dmn2...
dmn2r...
= amn
dmn0
dmn2...
dmn2r...
(C.58)
(n−m) = par
y β1 α1
γ3 β3 α3
. . .
γ2r+1 β2r+1 α2r+1
. . .
dmn1
dmn3...
dmn2r+1...
= amn
dmn1
dmn3...
dmn2r+1...
(C.59)
(n−m) = impar
Con esto obtenemos la secuencia de valores caracterısticos amn(c) para m y c dados.
C.5. Funcion de Onda Esferoidal 217
Otro metodo es mediante el uso de relaciones de recurrencia. Una apropiada
normalizacion, podrıa eliminar la arbitrariedad de los coeficientes. De esta forma, cuando
c → 0, las funciones de onda angular se reducen a las funciones asociada de Legendre, por
lo tanto, podemos ver que dmnr satisface la relacion de normalizacion
S(1)mn(c, 0) = Pm
n (0) =(−1)(n−m)/2(n+m)!
2n(n−m
2
)!(n+m
2
)!
(n−m)even (C.60)
S ′(1)mn(c, 0) = P ′
mn (0) =
(−1)(n−m−1)/2(n+m+ 1)!
2n(n−m−1
2
)!(n+m+1
2
)!
(n−m)odd (C.61)
Para la evaluacion de la funcion de onda esferoidal de segundo tipo, es un poco mas
complicado, porque la sumatoria debe ser extendida de −∞ a +∞. La ecuacion (C.53) puede
ser expandida como sigue
S(2)mn(c, η) =
∞∑r=0,1
′dmnr Qmm+k(η) +
−2m+1,−2m∑r=−1,−2
′dmnr Qmm+k(η) +
∞∑r=2m+1,2m+2
′dmn−rQmm−k(η) (C.62)
C.5.2. Funcion de Onda Radial
Cuando c = 0 la ecuacion de onda esferoidal convergen a las funciones bessel esfericas.
Por lo tanto las funciones de onda radial Rmn(c, ξ), puede ser expandida como una serie de
funciones Bessel esfericas.
Las soluciones para el sistema prolato son Rmn(c, ξ) y para obtener las soluciones del
sistema oblato cambiamos c por ic y ξ por iξ, es decir, Rmn(−ic, iξ). Cuando c → 0,
las soluciones de primer tipo R(1)mn y segundo tipo R
(2)mn se reducen a las funciones Bessel
y Neumann esfericas respectivamente. Los valores caracterısticos amn son iguales a los
obtenidos para la ecuacion C.50, es decir, se pueden emplear los que se obtuvieron para
la funcion de onda Angular
La funcion de onda radial esta dada por [6]
R(1)mn(c, ξ) =
[∞∑
r=0,1
′dmnr2m+ r
r!
]−1(ξ2 − 1
ξ2
)m/2 ∞∑r=0,1
′ir+m+ndmnr2m+ r
r!jm+r(cξ) (C.63)
R(1)mn(c, ξ) =
[∞∑
r=0,1
′dmnr2m+ r
r!
]−1(ξ2 − 1
ξ2
)m/2 ∞∑r=0,1
′ir+m+ndmnr2m+ r
r!ym+r(cξ) (C.64)
218 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
R(1)mn(c, ξ) =
[∞∑
r=0,1
′dmnr2m+ r
r!
]−1(ξ2 − 1
ξ2
)m/2 ∞∑r=0,1
′ir+m+ndmnr2m+ r
r!h
(1)(2)m+r (cξ) (C.65)
donde j, y y h son las funciones Bessel, Neumann y Hankel esfericas respectivamente.
Las soluciones Smn(c, η) y Rmn(c, ξ) son proporcionales entre sı [43], podemos escribir
la solucion prolata
S(1)mn(c, z) = κ(1)
mn(c)R(1)mn(c, z) (C.66)
Donde el factor proporcional κ(1)mn(c) es [6]
κ(1)mn(c) =
(2m+ 1)(n+m)∑∞
r=0 dmnr (c)2m+r
r!
2m+ndmn0 (c)cmm!(n−m2
)!(n+m2
)!(n−m)even (C.67)
κ(1)mn(c) =
(2m+ 3)(n+m+ 1)∑∞
r=1 dmnr (c)2m+r
r!
2m+ndmn1 (c)cm+1m!(n−m−12
)!(n+m+12
)!(n−m)even (C.68)
para las funciones oblatas, tenemos
S(1)mn(−ic, iz) = κ(1)mn(−ic)R(1)mn(−ic, iz) (C.69)
C.6. Funcion de Onda Bessel
Las ecuaciones diferenciales ordinarias canonicas obtenidas de la separacion de la
ecuacion de Helmholtz en coordenadas parabolicas son
d2M
dµ2+
1
µ
dM
dµ+
[µ2 − q2 − m2
µ2
]M = 0 (C.70)
d2V
dν2+
1
ν
dV
dν+
[ν2 + q2 − m2
ν2
]V = 0 (C.71)
Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones de onda Bessel [10], debido a que
cuando k → 0 en la ecuacion de Helmholtz, las ecuaciones resultantes son la ecuacion de
Bessel y la de Bessel modificada.
Estas ecuaciones de las coordenadas parabolicas pueden ser resueltas empleando el
metodo de Frobenius. Presenta una singularidad regular en µ = 0. Por lo tanto, proponemos
una solucion de la forma M =∑∞
m=0 anµm+β. Reemplazando en la ecuacion diferencial y
realizando las derivadas, tenemos
C.6. Funcion de Onda Bessel 219
∞∑m=0
am(m+ β)(m+ β − 1)µm+β +∞∑m=0
am(m+ β)µm+β
+∞∑m=0
amµm+β+4 +
∞∑m=0
amq2µm+β+2 −
∞∑m=0
amp2µm+β = 0 (C.72)
reescribiendo los subındices en las sumatorias del tercer y cuarto termino, las ecuaciones
resultan
∞∑m=0
µm+β[am[(m+ β)2 − p2
]+ am−4 + am−2q
2]
= 0 (C.73)
para m = 0 tenemos
a0[β(β − 1) + β − p2]xβ = 0 (C.74)
pero a 6= 0 resulta
β = ±p (C.75)
para m = 1 y tomando β = p
a1[1 + 2p]x1+p = 0 (C.76)
concluimos que a1 = 0, por lo tanto, a1 = a3 = a5..... = 0, para m = 2[a24(1 + p) + a0q
2]µ1+p (C.77)
y para m ≥ 4
∞∑k=4
µm+p[am[(m+ p)2 − p2
]+ am−4κ
2 + am−2q2]
= 0 (C.78)
con el fin de cumplir con la igualdad, los terminos entre corchetes deben ser cero
ak[(k + p)2 − p2
]+ ak−4κ
2 + ak−2q2 = 0 (C.79)
ahora obtenemos la siguiente relacion de recurrencia
am =am−4 + am−2q
2
(m+ p)2 − p2(C.80)
Por conveniencia, dejemos a0 = (q/2)p
Γ(p+1), y obtenemos la expansion en series de la funcion
de onda Bessel [10],
220 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
M(µ) =(qµ/2)p
Γ(p+ 1)
{1− (qµ/2)2
Γ(p+ 1)+
(qµ/2)4
2!(p+ 1)(p+ 2)
[1− 4(p+ 1)
q4
]− (qµ/2)6
3!(p+ 1)(p+ 2)(p+ 3)
[1− 4(3p+ 5)
q4
]}(C.81)
(µ/2) factorizado dentro del numerador de la serie, podemos representar el factor con
el siguiente determinante
∆m(p) =
q2 2 0 . . . 0
1 q2 4 0 . . . 0
0 1 q2 6 0 . . .
0 0. . . . . . . . . 0
· · · 0 0 1 q2 2(m− 1)
0 . . . 0 0 1 q2
(C.82)
despues, podemos representar la serie de una forma compacta
M(µ) = (qµ/2)p∞∑m=0
(−1)m∆m(p)(µ/2)2m
m!Γ(m+ p+ 1)(C.83)
con ∆0 = 1 y ∆1 = q2. Similarmente para β = −p
M(µ) = (qµ/2)−p∞∑m=0
(−1)m∆m(−p)(µ/2)2m
m!Γ(m− p+ 1)(C.84)
La solucion completa para valores no enteros de p, es
AMp(q, µ) +BM−p(q, µ) (C.85)
La solucion para la ecuacion de la variable ν, unicamente cambiamos q2 por −q2, es decir,
Np(q2, ν) = Mp(−q2, µ) (C.86)
Finalmente, como en las funciones Bessel para valores enteros de p es necesario obtener
la funcion de onda de segundo tipo. Definida por
C.7. Funcion de Onda Paraboloidal 221
M2m(q, µ) =
2
πq2p
{[γ + ln (qµ/2)] ∆m(−p)M1
p (q, µ)
− 1
2(q/2)p22pµ−p
p−1∑n=0
(p− n− 1)!∆n(−p)(µ/2)2n
n!
+1
2(qµ/2)p
∞∑n=0
(−1)n(µ/2)2n
n!(m+ p)!
{4
n+p−1∑l=1
(p−2l)Ml(l+1)−∆n(p)∆p(−p)
[n∑l=1
1
l+
m+p∑l=1
1
l
]}}(C.87)
Similarmente, sı k = 0, recuperamos la funcion de onda Bessel de segundo tipo.
C.7. Funcion de Onda Paraboloidal
La forma canonica de la ecuacion de onda paraboloidal es
(c− ϕe)(ϕe − b)d2Φ
dϕ2e
− [2ϕe − (b+ c)]dΦ
dϕe−[ϕ2e − s(b+ c) + pϕe
]Φ = 0 (C.88)
Si consideramos b = 0 y c = 1, obtenemos
√(ϕ)(1− ϕ)
d
dϕ(√
(ϕ)(1− ϕ)dΦ
dϕ)− (ϕ2 + pϕ− s)Φ = 0 (C.89)
haciendo el cambio de variable ϕ = cos2 z, y realizando las derivadas, tenemos
dϕ = −2 sin z cos zdz, y haciendo los calculos resulta
√cos2 z sin2 z
−2 sin z cos z
d
dz
(√cos2 z sin2 z
−2 sin z cos z
dΦ
dz
)−[(1
2[cos 2z + 1])2 + p(
cos 2z
2+
1
2)− s
]Φ = 0
(C.90)
1
−2
d
dz
(1
−2
dΦ
dz
)−{
(1
4[cos2 2z + 2 cos 2z + 1]) + p(
1
2[cos 2z + 1])− s
}Φ = 0 (C.91)
1
4
d2Φ
dz2−{
1
4
(1
2[cos 4z + 1] + 2 cos 2z + 1
)+ p(
1
2[cos 2z + 1])− s
}Φ = 0 (C.92)
multiplicamos todo por 4 y expandemos.
222 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
d2Φ
dz2−{(
1
2cos 4z +
1
2+ 2 cos 2z + 1
)+ (2p cos 2z + 2p)− 4s
}Φ = 0 (C.93)
d2Φ
dz2−{
1
2cos 4z + 2(1 + p) cos 2z +
3
2+ 2p− 4s
}Φ = 0 (C.94)
Si proponemos β = 3 + 2p − 4s y γ = 2(p + 1), obtenemos la ecuacion de Hill de tres
terminos que tambien es llamada ecuacion de Whittaker-Hill [49]
dΦ
dϕ2+ (β + γ cos 2ψ − 1
2cos 4ψ)Φ (C.95)
a fin de encontrar la solucion de esta ecuacion, proponemos
(1/2) = −(1/8)χ2, β = α− 1
8χ2, γ = −(p+ 1)χ (C.96)
la cual resulta
d2Φ
dϕ2+ α− 1
8χ− (p+ 1)χ cos 2ψ +
1
8χ2 cos 4ψΦ (C.97)
ahora, la trasformacion
Φ = φe−14χ cos 2ϕ (C.98)
reduce a [46, 49]
d2φ
dϕ2+ χ sin 2ϕ
dφ
dϕ+ (α− pχ cos 2ϕ)φ (C.99)
la cual es la ecuacion de Ince. Sı p y χ tienden simultaneamente a cero y a infinito
respectivamente, en la cual el producto pχ permanece finito, obtenemos la ecuacion de
Mathieu. Para resolver la ecuacion proponemos una solucion de la forma
φ =∞∑r=0
A2r cos 2rϕ (C.100)
.
Ince mostro que, cuando p es un entero par, es decir p = 2n y si ademas α es
seleccionada de tal manera que An+1 = 0, luego con r = n mostro que An+2 = 0 y tambien
An+3=An+4 = ..,0, ası la solucion es una serie finita terminando con An cos 2nϕ [50]. Despues
tenemos cuatro soluciones y estas estan representadas como sigue [46, 49]
C.7. Funcion de Onda Paraboloidal 223
C2m2n =
n∑r=0
A2r cos 2rϕ
C2m2n+1 =
n∑r=0
A2r+1 cos (2r + 1)ϕ
S2m2n+2 =
n∑r=0
B2r+2 sin (2r + 2)ϕ
S2m2n+1 =
n∑r=0
B2r+1 sin (2r + 1)ϕ
(C.101)
Sustituyendo C.108 dentro de la ecuacion C.99 obtenemos las siguientes relaciones de
recurrencia [50, 52]
C2m2n , p = 2n
(n+ 1)χA1 =aA0,
(n+ 2)χA2 =(a− 4)A1 − 2nχA0,
(n+ r + 2)χAr+2 =[a− 4(r + 1)2]Ar+1 + (r − n)χAr
(C.102)
S2m2n , p = 2n
(n+ 1)χB2 =(a− 4)B1,
(n+ r + 2)χBr+2 =[a− 4(r + 1)2]Br+1 + (r − n)χBr
(C.103)
C2m+12n+1 , p = 2n+ 1
(n+ 2)χA1 =[a− (n+ 1)χ− 1]A0,
(n+ r + 2)χAr+1 =[a− (2r + 1)2]Ar + (r − n− 1)χAr−1
(C.104)
S2m2n+1, p = 2n+ 1
(n+ 2)χB1 =[a+ (n+ 1)χ− 1]B0,
(n+ r + 2)χBr+1 =[a− (2r + 1)2]Br + (r − n− 1)χBr−1
(C.105)
Estas relaciones de recurrencia son resueltas como un problema de valores propios. Por
ejemplo para C2m2n tenemos
224 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
0 (n+ 1)χ 0 . . . 0
2nχ 4 (n+ 2)χ 0 . . . 0
0 (n− 1)χ 16 (n+ 3)χ 0 . . .
0 0. . . . . . . . . 0
· · · 0 0 (n− r + 1)χ 4(n− 1)2 2nχ
0 . . . 0 0 χ 4n2
(C.106)
Una vez obtenidos los polinomios de Ince, sustituimos los cambios realizados para
obtener la funcion de onda Paraboloidal
hcmp (ϕ, χ) = e−14χ cos 2ϕCm
p (ϕ, χ)
hsmp (ϕ, χ) = e−14χ cos 2ϕSmp (ϕ, χ)
(C.107)
Ahora, para el caso de la coordenada radial, es necesario que hacer el cambio ϕ→ iϕ,
y la solucion es
C2m2n =e−
14χ cosh 2ϕ
n∑r=0
A2r cosh 2rϕ
C2m2n+1 =e−
14χ cosh 2ϕ
n∑r=0
A2r+1 cosh (2r + 1)ϕ
S2m2n+2 =e−
14χ cosh 2ϕ
n∑r=0
B2r+2 sinh (2r + 2)ϕ
S2m2n+1 =e−
14χ cosh 2ϕ
n∑r=0
B2r+1 sinh (2r + 1)ϕ
(C.108)
Donde los coeficientes A y B son los mismo que la funcion de onda paraboloidal angular.
Estas ultimas series presentan problemas para su calculo, debido a que el primer factor es
una funcion exponencial elevada a otra exponencial negativa y esto ocasiona que se haga
tienda a cero aun para valores pequenos.
C.8. Funcion Lame
La funcion Lame se presenta cuando separamos la ecuacion de Helmholtz en
coordenadas Conicas y al separar la ecuacion de Laplace en coordenadas Elipsoidales
C.8. Funcion Lame 225
[45, 57, 5, 60]. Esta ecuacion puede ser resuelta en su forma Jacobiana, Weierstrassiana,
trigonometrica o algebraica. Cuando h → 1, la funcion de Lame degenera dentro de la
funcion de Legendre, mientras que cuando h→ 0 y n→∞, el producto n(n+l)h2 tiende a un
lımite finito, las funciones de Lame degenera dentro de las funciones de Mathieu periodicas.
Trabajaremos con la forma algebraica de la ecuacion de Lame. La forma mas general de la
ecuacion de Lame en su forma algebraica es [46]
(1− θ2)(1− h2θ2)d2Θ
dθ2− θ(1 + h2 − 2h2θ2)
dΘ
dθ+ (q − n(n+ 1)θ2) = 0 (C.109)
Para n valores fijos existen 2n+ 1 parametros de separacion qnm, con m = 0, 1, 2, ..., 2n,
eigenvalores, conducen 2n + 1 correspondientes funciones Lame. Para resolver proponemos
una solucion de la forma
Lmn (θ) = θr√
1− θ2s√
1− h2θ2t
p∑j=0
aj(1− θ2)j (C.110)
donde r, s, t son cero o uno y p = (1/2)(n − r − s − t). De acuerdo con el principal
producto en la ecuacion C.110 las funciones Lame son divididas en ocho tipos, esto, de
acuerdo con las posibles combinaciones de r, s, t. Sı nosotros definimos N = n/2 para n par
y N = (n − 1)/2 para n impar, en la tabla C.1 mostramos los ocho posibles tipos de las
funciones Lame [46].
Cuadro C.1: Tipos de la funcion Lame
Tipo Producto principal para n par para n impar
1 - N+1
2 h N+1
3√
1− θ2 N+1
4√
1− h2θ2 N+1
5√
1− θ2√
1− h2θ2 N
6 h√
1− θ2 N
7 h√
1− h2θ2 N
8 h√
1− θ2√
1− h2θ2 N
Para el tipo 1− 4 tenemos p = N y para el tipo 5− 8 tenemos p = N − 1. Sustituyendo
C.110 en C.109 obtenemos la siguiente relacion de recurrencia
FjQj−1 + (Gj − qmn )Qj +HjQj+1 = 0, j = 0, ..., p, (C.111)
226 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
∆m(p) =
G0 H0 0 . . . 0
F1 G1 H1 0 . . . 0
0 F2 G2 H2 0 . . .
0 0. . . . . . . . . 0
· · · 0 0 Fp−1 Gp−1 Hp−1
0 . . . 0 0 Fp Gp
(C.112)
con Q−1 = Qp+1 = Qp+2 = 0. Por lo tanto tenemos una tridiagonal Matriz, la cual se
resuelve como un problema de valores propios. qmn son los valores propios y Q son los vectores
propios. Para obtener una solucion unica establecemos Qp = 1.
Los coeficientes F,G,H dependen del tipo de funcion Lame, esto se muestra en la
siguiente tabla [58, 59, 48]
Cuadro C.2: Coeficientes de la matriz tridiagonal de la funcion Lame
Type Fj Gj Hj
1 −(2N − 2j + 2)(2N + 2j − 1)h2 2N(2N + 1)h2 − 4j2(h2 − h′2) −(2j + 2)(2j + 1)h′2
2 −(2N − 2j + 2)(2N + 2j + 1)h2 (2N + 1)(2N + 2)h2 − 4jh2 + (2j + 1)2h′2 −(2j + 2)(2j + 1)h′2
3 −(2N − 2j + 2)(2N + 2j + 1)h2 (2N + 1)(2N + 2)h2 − (2j + 1)2(h2 − h′2) −(2j + 2)(2j + 3)h′2
4 −(2N − 2j + 2)(2N + 2j + 1)h2 2N(2N + 1)h2 − (2j + 2)2h2 + (2j + 1)2h′2 −(2j + 2)(2j + 1)h′2
5 −(2N − 2j)(2N + 2j + 1)h2 2N(2N + 1)h2 − (2j + 1)2h2 + (2j + 2)2h′2 −(2j + 2)(2j + 3)h′2
6 −(2N − 2j)(2N + 2j + 1)h2 2N(2N + 1)h2 − (2j + 1)2h2 + (2j + 2)2h′2 −(2j + 2)(2j + 3)h′2
7 −(2N − 2j)(2N + 2j + 1)h2 2N(2N + 1)h2 − (2j + 1)2(h2 − h′2) −(2j + 2)(2j + 1)h′2
8 −(2N − 2j)(2N + 2j + 3)h2 (2N + 1)(2N + 2)h2 − (2j + 2)2(h2 − h′2) −(2j + 2)(2j + 3)h′2
Lo siguiente es implementar este sistema en un lenguaje de programacion o un software
matematico. Debido a la facilidad en el manejo de las operaciones matriciales hemos utilizado
el software Matlab para la implementacion.
C.9. Funcion de Onda Lame
La ecuacion de onda elipsoidal o Lame, resulta de la separacion de variables de la
ecuacion de Helmholtz en coordenadas elipsoidales
La ecuacion de onda Lame en su forma algebraica es
t(t− 1)(t− a)∂2Lw
∂t2+
1
2[3t2 − 2(1 + a)t+ a]
∂Lw
∂t+ [λ+ βt+ γt2]Lw = (C.113)
C.9. Funcion de Onda Lame 227
Esta ecuacion es la ecuacion diferencial ordinaria mas complicada que resulta de la
separacion de la ecuacion tridimensional de Helmholtz [46, 44]. Esto, porque la solucion por
series involucra al menos cuatro terminos en la relacion de recurrencia entre los coeficientes de
dichas series. La ecuacion de onda Lame tiene tres singularidades regulares y una singularidad
irregular en infinito. Cuando el numero de onda k → 0, nos lleva a la ecuacion de Lame. Esta
ecuacion es un problema de dos parametros. Tenemos dos parametros conocidos a y γ, a es
el parametro geometrico y γ esta relacionado con la frecuencia. Los otros dos parametros de
la ecuacion λ y β son los valores propios a determinar. Esta ecuacion presenta ocho tipos de
solucion, similar a la ecuacion de Lame, estas soluciones tienen la forma
Lw(t) = t%/2(t− 1)σ/2(t− c)τ/2F (t) (C.114)
Donde F (t) es una funcion integral de t; %, σ y τ son 0 o 1, las ocho posibles
combinaciones de estas variables, nos dan como resultado ocho diferentes tipos de la funcion
de onda Lame Insertando la ecuacion C.114 dentro de la ecuacion C.115, conduce a la la
siguiente ecuacion diferencial [56, 44]
t(t−1)(t−a)∂2F (t)
∂t2+
1
2[A2t
2−2A1t+A0]∂F (t)
∂t+ [λ−λ0 + (β+β0)t+γt2]F (t) = (C.115)
donde
A0 = (2%+ 1)a, A1 = (1 + %)(1 + a) + τ + σa, A2 = 2(%+ σ + τ) + 3
λ0 =1
4[(%+ τ)2 + (%+ σ)2a], β0 =
1
4(%+ σ + τ)(%+ σ + τ + 1)
(C.116)
A fin de calcular la funcion de onda Lame, nosotros asumimos F (t) en la forma de series
de potencia en t.
F (t) =∞∑r=0
αr(t− t0)r (C.117)
donde t0 es una constante. Ahora insertando F (t) en la ecuacion C.115 nos lleva a la
ecuacion de recurrencia:
N0rαr + [N2
r+1 +N1r+1(r + 1) +N0
r+1r(r + 1)]αr+1
+ [N2r+2 +N1
r+2(r + 2) +N0r+2(r + 2)(r + 1)]αr+2
[N1r+3(r + 3)(r + 2) +N0
r+3(r + 2)]αr+3 +N0r+4αr+4 = 0 (C.118)
228 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
con
N0r = γ, N2
r+1 = β + β0 + 2γt0 N1r+1 =
1
2A2, N0
r+1 = 1
N2r+2 = λ− λ0 + (β + β0)t0 + γt20, +N1
r+2 = A2t0 − A1, N0r+2 = 3t0 − 1− a
N1r+3 =
1
2A2t
20−A1t0 +
1
2A0, N0
r+3 = (2t0− 1)(t0− a) + t20− t0, N0r+4 = (t20− t0)(t0− a)
(C.119)
Escogemos el parametro de expansion t0 = 1, para las ocho combinaciones de %, σ, y
τ , con esta seleccion de t0 el termino que implica αr+4 en la ecuacion C.118 desaparece y la
formula de recursion de cinco terminos se simplifica a una formula de recursion de cuatro
terminos.
Primeramente, especificamos el posible conjunto (discreto) de β y λ en γ = 0
correspondiente a el problema de la ecuacion de Laplace. De ello se deduce que el coeficiente
en αr+1 para r = n− 1 se hace cero cuando
β = −β0 − n(n− 1)− 1
2A2n (C.120)
In este caso, una solucion polinomial finita para F puede ser encontrada empleando la
condicion para λ que el determinante de la primera n + 1 ecuaciones se atenua, es decir, se
obtiene una ecuacion de grado n + 1 en λ. Por lo tanto, tenemos n + 1 λ soluciones para
cada valor de n [denotada λmn donde m = 0, 1, 2, ..., n] esta determinado que todos son reales;
esta indexacion es de las mas usadas para las funciones de onda Lame. Esta soluciones dan
valores iniciales en γ = 0 para el subsecuente calculo de las constantes de separacion β(γ) y
λ(γ) con valores finitos de γ. Valores de β(γ) y λ(γ) son obtenidos utilizando el metodo de
Newton el cual se sabe que es localmente convergente [56].
Este metodo de Newton es empleado como sigue: Una vez que los valores de β(γ) y
λ(γ) han sido calculado para un valor dado de γ, estimaciones de primer orden del nuevo
valor de β y λ [β + ∆β y λ+ ∆λ, respectivamente] correspondientes a γ + ∆γ son definidos
como sigue
β(γ + ∆γ) = β(γ) + ∆β, λ(γ + ∆γ) = λ(γ) + ∆λ, (C.121)
donde ∆β y ∆λ son dados por
∆β∂G
∂β
∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]
+ ∆λ∂G
∂λ
∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]
+ ∆γ∂G
∂γ
∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]
= 0
∆β∂H
∂β
∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]
+ ∆λ∂H
∂λ
∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]
+ ∆γ∂H
∂γ
∣∣∣∣[β(γ,λ(γ),γ)]
= 0
(C.122)
C.9. Funcion de Onda Lame 229
y
G(β, λ, γ) = N0rαr + [N2
r+1 +N1r+1(r + 1) +N0
r+1r(r + 1)]αr+1
+ [N2r+2 +N1
r+2(r + 2) +N0r+2(r + 2)(r + 1)]αr+2
[N1r+3(r + 3)(r + 2) +N0
r+3(r + 2)]αr+3 +N0r+4αr+4 r = M − 2 (C.123)
H(β, λ, γ) = N0rαr + [N2
r+1 +N1r+1(r + 1) +N0
r+1r(r + 1)]αr+1
+ [N2r+2 +N1
r+2(r + 2) +N0r+2(r + 2)(r + 1)]αr+2
[N1r+3(r + 3)(r + 2) +N0
r+3(r + 2)]αr+3 +N0r+4αr+4 r = M − 1 (C.124)
El parametro M es seleccionado como un valor entero proximo a N/2 en la
implementacion numerica. Es necesario especificar como los valores αr, r = 0, 1, ..., N ,
para una serie de potencias F son determinadas antes de las derivadas parciales ∂G∂λ
, ∂G∂γ
,∂H∂β
, ∂H∂λ
y ∂H∂γ
pueden ser calculadas. Los αr son calculados tomando primero αN = 1,
αN+1 = αN+2 = αN+3 = αN+4 = 0 y despues calculando αr hacia atras hasta αM empleando
la ecuacion C.118 con r = N − 1, N − 2, ...,M . Donde la solucion encontrada satisface
αr = 0∀r > N + 1, y es convergente por construccion. A continuacion, la ecuacion C.118 es
utilizada con r = 0, 1, 2, ...,M − 3 para calcular α0 hacia adelante hasta αM . El valor inicial
de α0 es fijado de tal modo que al encontrarse los dos αM sean iguales. Las ecuaciones que
no se utilizan en la determinacion de los valores de αr son las ecuaciones de G y H en la
ecuacion C.123 la cual es usada en la aplicacion del metodo de Newton. Los coeficientes ∂G∂β
,
etc. pueden ser encontrados de las siguientes relaciones de recurrencia
∂G
∂β=−N2
r+1αr+1 − t0N2r+2αr+2
∂G
∂λ=−Nr+2αr+2
∂G
∂γ=−N2
rαr − 2t0N2r+1αr+1 − t20N2
r+2αr+2
(C.125)
obtenida por diferenciacion explıcita de la ecuacion C.123. Esto completa las
estimaciones de la derivacion de primer orden de las constantes de separacion β + ∆β y
λ+ ∆λ en γ + ∆γ.
El procedimiento iterativo que continua en la busqueda de los valores de convergencia
para β + ∆β y λ + ∆λ correspondiente a la actualizacion del valor γ + ∆γ, es obtenido al
230 Apendice C. Solucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias
emplear el metodo de Newton, ahora con ∆γ = 0 bajo los valores de β + ∆β y λ + ∆λ en
el paso de iteracion i e i+ 1 son similares.
EL procedimiento computacional basico puede ser descrito como sigue
Un par de valores de prueba β(0), λ(0) son seleccionados e i es establecida en 0;
Un valor moderadamente grande de N es tomado y estimados de α(i)r son calculados
La ecuacion C.123 y con la ayuda del metodo de Newton son utilizados para obtener
mejores estimaciones β(i+1), λ(i+1), el paso (2) es repetido reemplazando i por i + 1 y
ası se continua hasta que β(i), λ(i) y β(i+1), λ(i+1) cumplan con la precision requerida.
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