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Faut-il brûler la logique classique?
Les logiques modales
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C. I. Lewis, 1918 : les « paradoxes » de l’implication matérielle
(1) (2)
ad impossibile sequitur quodlibet Ex: si « l’eau bout à 100° » est vraie, alors il
est vrai que « si Charlemagne fut empereur, alors l’eau bout à 100° »
Distinguer une « implication stricte » d’une implication matérielle?
)( pqp )( qpp
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Implication stricte
P implique strictement Q si et seulement s’il est impossible que P soit vrai sans que Q le soit
Fait intervenir la notion de modalité
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… une idée pas neuve
Aristote, Premiers Analytiques cf. discussion sur l’aporie de Diodore Kronos
(J. Vuillemin, 1984)
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Aporie de Diodore - 1
A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de p, alors s’il n’est pas
possible que q, il n’est pas possible que p C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais, D – de ce qui se réalise il n’a jamais été vrai qu’il ne
se réalisera pas, E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera
jamais, il a été vrai (à quelque moment) qu’il ne se réalisera jamais
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Aporie de Diodore - 1
A – le passé est irrévocable, B – si q suit nécessairement de
p, alors s’il n’est pas possible que q, il n’est pas possible que p
C – il y a des possibles qui ne se réaliseront jamais,
D – de ce qui se réalise il n’a jamais été vrai qu’il ne se réalisera pas,
E – de ce qui ne se réalise pas et ne se réalisera jamais, il a été vrai (à quelque moment) qu’il ne se réalisera jamais
Pp MPp
L(p q)(Mq Mp)
(Mp p Fp)
p PFp
p Fp PFp
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Intérêt des logiques modales
Introduire : le temps dans la logique (logique temporelle) sous
l’aspect d’opérateurs tels que P et F (passé et futur), les considérations de contingence et de nécessité
(logique aléthique), celles de permission et d’obligation (logique
déontique) les notions de savoir et de croyance (logiques
épistémiques et doxastiques).
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opérateurs
logique aléthique : le nécessaire est le dual du possible
logique déontique : l’obligatoire est le dual du permis
logique de la prouvabilité : le prouvable est le dual du « consistant avec »
◊p □p
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Premières approches : Lewis et Langford, 1932
Présentation à la Hilbert
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Interprétation « naturelle »:□p = « il est nécessaire que p »
La logique modale (propositionnelle) est une extension du calcul propositionnel :
– Toute logique modale doit contenir comme théorèmes au minimum toutes les tautologies du CP,
– Comme il existe une procédure pour les déterminer (décidabilité), on peut admettre que chaque tautologie du CP est prise comme axiome
L’approche syntaxique (2)
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+ axiomes « propres », permettant de manipuler « □ »Axiomes CP : toute formule ayant la forme d’une
tautologieAxiome K : □() (□ □) Règles : modus ponens :
|— |— |—
nécessitation : |— |— □
L’approche syntaxique (3)
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Sémantique de la logique modale
Sémantique dite « de Kripke » Deux notions-clés :
– Monde possible– Relation d’accessibilité
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La théorie des mondes possibles
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Semantic frame
Un « frame » F est un couple (W, ) où:– W : un ensemble non vide (de « mondes possibles ») une relation binaire sur W
Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V) où:
– F est un « frame »– V est une application de {p1, p2, …, pn} W dans {0,1} (à
chaque lettre propositionnelle et chaque monde possible: une valeur de vérité)
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Sémantique (3)
Si dans le modèle M, V(p, w) = 1 (p: une lettre propositionnelle, w: un monde), on écrit:
VM,w(p) = 1 ou:
|=M,w p ou encore w |=M p On étend V à toute formule au moyen de:
– VM,w() = 1 ssi VM,w() = VM,w() = 1– VM,w() = 0 ssi VM,w() = VM,w() = 0– VM,w() = 1 ssi VM,w() = 0– VM,w( �) = 1 ssi pour tout w’ tel que ww’, VM,w’() = 1
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Liens entre propriétés de et formules vraies dans une logique modale
Supposons que nous prenions comme axiome supplémentaire, la formule :
□ Quelle est sa signification en termes de
« frame » ou de « relation d’accessibilité »?
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Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w0, alors est vraie dans ce monde actuel
Autrement dit: w0 fait partie de ces mondes accessibles à partir de lui-même
w0 w0 Autrement dit: est réflexive
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Propriétés de et formules vraies
Idem pour:
□ □□ Si est vraie dans tout monde accessible au monde actuel w0,
alors c’est le cas également de □ Pour que □ soit vraie dans tout monde w accessible à w0, il
faut que soit vraie dans tout monde accessible à tout monde w accessible à w0.
Donc la formule exprime le fait que si est vraie dans tout monde accessible à w0, alors elle est encore vraie dans tout monde accessible à tout monde accessible à w0.
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ceci est assuré si:
est transitive
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Qu’en est-il de:
◊□ ?
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S’il existe un monde possible accessible au monde actuel où
□ est vraie, alors est vraie dans le monde actuel Soit w1 ce monde, dire que □ est vraie dans w1, c’est dire
que est vraie dans tout monde possible accessible à w1 Si on veut que toujours en ce cas, soit vraie dans w0, il suffit
que w0 soit toujours accessible à w1 Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0
Donc que soit symétrique
![Page 22: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/22.jpg)
Caractérisation (2)
□ (axiome T) caractérise les frames réflexifs
□ □□ (axiome 4) caractérise les frames transitifs
◊□ (axiome B) caractérise les frames symétriques
◊ □◊ (axiome 5) caractérise les frames euclidiens
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Différentes logiques
On a vu K (pas de propriété particulière de ) (logique modale minimale)
K + □ : logique T T + □ □□ : logique S4 S4 + ◊ □◊ : logique S5 si on ajoute □ : collapsus (retour à CP)
![Page 24: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/24.jpg)
Logique épistémique (1)
|—
|— Ktoute vérité (logique) est connue…!
(omniscience) Axiome K : si x sait que A B alors s’il sait A, il sait
B (« distribution ») Connaissance : x sait que Modus ponens
![Page 25: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/25.jpg)
Logique épistémique (2)
4 : Ki Ki Ki Axiome de l’introspection positive 5 : Ki Ki Ki Axiome de l’introspection négative B : KiKi ???
![Page 26: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/26.jpg)
8- La logique et les processus
Logique linéaire
![Page 27: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/27.jpg)
Le calcul des séquents (Gentzen, 1934)comme méthode de décision pour la logique classique et la logique intuitionniste
Prouver:
(A B) ((B C) (A C))
![Page 28: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/28.jpg)
démonstration
A B, B C, A, B | B, C A B, B C, A, B, C | C
A B, B C, A | A, C A B, B C, A, B | C
A B, B C, A | C
A B, B C | A C
A B | (B C) (A C)
| (A B) ((B C) (A C))
![Page 29: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/29.jpg)
axiome :
[ D] : A, |- , B [ G] : |- , A B, |- |- , AB A B, |-
[ D] : A, |- [ G] : |- , A
|- , A A, |-
Règles logiques
A, |- , A
coupure : |- , A A, |- ’
, |- , ’
![Page 30: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/30.jpg)
Règles structurelles
Affaiblissement :à gauche : |- à droite : |-
, A |- |- A, Contraction :à gauche : , A, A |- à droite : |- A, A,
, A |- |- A, Permutationà gauche : , A, B, |- à droite : |- ’, A, B,
, B, A, |- |- ’, B, A,
![Page 31: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/31.jpg)
Gentzen - suite
Hauptsatz : Le système sans coupure permet de prouver
les mêmes séquents que le système avec coupure !
Alors… La règle de coupure ne sert à rien? Si!
![Page 32: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/32.jpg)
Calcul intuitionniste
dissymétriser le calcul: les séquents ont au plus une formule en partie droite
empêche tiers exclu et double négation
Isomorphisme de Curry-Howard – types = formules -termes = preuves– réduction = élimination de la coupure
![Page 33: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/33.jpg)
Pourquoi casser les symétries?
En logique classique, |- A, ’|- B, ’
, ’ |- A B, , ’
et
|- A, |- B, |- A B,
sont équivalentes (à cause des règles de contraction et d’affaiblissement)
![Page 34: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/34.jpg)
Pourquoi casser les symétries?
Mais si on supprime ces règles?
![Page 35: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/35.jpg)
Pourquoi casser les symétries?
La logique linéaire (1985) : 1- partie conjonctive
[ G] , A, B |- [ D] |- A, ’|- B, ’, A B |- , ’ |- A B, , ’
[& G]1 , A |- [& D] |- A, |- B,
, A & B |- |- A & B,
[& G]2 , B |- , A & B |-
![Page 36: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/36.jpg)
Logique linéaire – 2partie disjonctive
[ G] |- A, B, [ D] , A |- ’, B |- ’ |- A B, , ’, A B |- , ’
[ D]1 |- A, [ G] , A |- , B|-
|- A B, , A B |-
[ D]2 |- B, |- A B,
[ D] : A, |- [ G] : |- , A |- , A A, |-
NB : A –o B A B
![Page 37: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/37.jpg)
Logique linéaire - 3
Retrouver la logique classique?
A B !A –o B Le rôle des exponentielles : réintroduire localement
les règles structurelles
, A |- [intro !] , !A, !A |- [contraction]
, !A |- , !A |-
|- [affaiblissement]
, !A |-
![Page 38: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/38.jpg)
Le menu….
Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix
fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou
pomme)
![Page 39: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/39.jpg)
Le menu….
Prix : 16 € Entrée : au choix jambon ou salade Plat de résistance : entrecôte Accompagnement : frites à volonté Déssert : au choix
fromage ou fruit de saison selon arrivage (pêche ou
pomme)
![Page 40: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/40.jpg)
La formule…
16 €
--o
(jambon & salade)
(entrecôte !frites)
(fromage & (pomme pêche))
![Page 41: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/41.jpg)
Autre exemple
Il y a un siège disponible sur Londres – Bruxelles Marie est à Londres John est à Londres
En principe:
Marie peut prendre l’avion pour Bruxelles
John peut prendre l’avion pour Bruxelles
Donc : Marie et John peuvent prendre l’avion pour Bruxelles
![Page 42: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/42.jpg)
En réalité…
Soit les prémisses :x (Londres(x) –o Brux(x))
pour tout individu x, s’il est à Londres, il peut aller à Bruxellesmais cette formule est utilisable une seule fois
Londres(Marie)Londres(John)Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie) et
Brux(John)
![Page 43: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/43.jpg)
déduction
x (Londres(x) –o Brux(x))Londres(Marie) –o Brux(Marie)Londres(Marie) Brux(Marie)
Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie) Brux(Marie)Londres(John) Londres(John)
Donc : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John) Brux(Marie) Londres(John)
Ou bien : x (Londres(x) –o Brux(x)), Londres(Marie), Londres(John) Brux(John) Londres(Marie)
![Page 44: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/44.jpg)
Plus sérieux…
!(e (electron(e) –o z position(e, z)))
!(e (electron(e) –o z’ vitesse(e, z’)))
Impossible de prouver :
!(e (electron(e) –o z position(e, z) z’ vitesse(e, z’)))
![Page 45: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/45.jpg)
déduction
!(e (electron(e) –o z position(e, z)))
electron(i)
electron(i) –o z position(i, z)
z position(i, z)
Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas le réutiliser pour prouver z’ vitesse(e, z’)
![Page 46: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/46.jpg)
Prouver c’est aussi planifier
cf. une action produit un changement dans le monde
utilise des ressources se réalise par combinaison d’actions plus
élémentaires
![Page 47: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/47.jpg)
a
c
poser c sur la table
![Page 48: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/48.jpg)
a
c
poser c sur la table
![Page 49: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/49.jpg)
a
c
poser c sur la table
![Page 50: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/50.jpg)
a
c
poser c sur la table
![Page 51: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/51.jpg)
a c
poser c sur la table
![Page 52: Faut-il brûler la logique classique? Les logiques modales](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062307/551d9d8c497959293b8c1e2b/html5/thumbnails/52.jpg)
ca
poser c sur la table
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Passer de l’état du monde: main vide (V) c en haut de pile (donc accessible) (H(c)) c sur a (S(c, a))à main vide c en haut de pile c en bas de pile (B(c)) a en haut de pile
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décrit par le séquent :V, H(c), S(c, a) VH(c)B(c)H(a)
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Actions élémentaires
prendre(x) : V, H(x), B(x) T(x) poser(x) : T(x) VH(x)B(x) oter(x, y) : V, H(x), S(x, y) T(x)H(y) mettre(x, y) : T(x), H(y) VH(x)S(x,
y)
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preuve
T(c) V H(c) B(c) H(a) H(a)------------------------------------------------- -
droiteT(c), H(a) V H(c) B(c) H(a)----------------------------------------------- -
gaucheV, H(c), S(c, a) T(c) H(a) T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a)-----------------------------------------------------------------------------------coupureV, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)
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preuve
poser(c) H(a) H(a)-------------------------------------- -
droiteT(c), H(a) V H(c) B(c)
H(a)------------------------------------
gaucheoter(c, a) T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a)-----------------------------------------------------------------------------------coupureV, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)
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preuve action?
On peut extraire une composition d’actions d’une preuve
comme on peut extraire un programme d’une preuve (informatique théorique)
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interaction
& : choix « actif » (vous avez le choix entre … et …)
: choix « passif » (l’un ou l’autre, vous ne décidez pas)
: les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé
: les deux, en parallèle, par exemple l’échange (l’un contre l’autre)
: le changement de point de vue
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interprétation
Interaction la logique n’est plus seulement interprétable comme
« décrivant un extérieur », elle s’interprète « par rapport à elle-même »,
autrement dit elle réfère à ses propres procédures : l’interprétation des règles se fait dans un dialogue interne et le système se voit ainsi doté d’une dynamique des preuves
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La logique et les processus
une science formelle des processus informationnels convergents
Applications:– Linguistique– Biologie – Sciences cognitives (Krivine)
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biologie
Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur vivant »– Physique : matière, énergie, temps…– Biologie : Physique + information, codage, contrôle…– Arithmétique : chaînes d’entiers, récursivité, codage…– Informatique : arithmétique + programme + machine… »– « comme dans le cas de la construction d’une machine, dans celui
de la construction d’une cellule, on a besoin d’un livre de recettes… cela demande ensuite qu’on soit capable de changer le texte de la recette en quelque chose de concret : ceci consiste dans le « transfert d’information ». Dans une cellule, ce transfert d’information est assuré par le programme génétique »
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conclusion
au cœur d’un processus contemporain de mathématisation à propos d’objets qui n’ont pas pu jusqu’à présent être l’objet d’un tel processus, faute d’outils mathématiques adéquats
il était assez imprévisible et il reste curieux que ce soit la logique, dans son propre développement interne, qui donne aujourd’hui de tels outils, via l’intégration qu’elle opère des lois de fonctionnement de machines abstraites.