Fenômenos de TransporteAula- Equação da energia para regime permanente
Professor: Gustavo Si lva
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IntroduçãoComo já visto, através da equação da continuidade é possível realizar o balanço das vazões em massa entre seções de entrada ou saída de um escoamento em regime permanente. Sabemos que a energia não pode ser criada nem destruída, e sim transformada, assim é possível através da equação da energia fazer o balanço das energias, da mesma forma como é feito para as massas.
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Tipos de energias mecânicasassociadas a um fluido
a) Energia potencial (Ep):
É a energia associada à sua posição no campo da gravidade em relação a um determinado plano horizontal de referência.
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[1]
Enegia potencial (Ep)𝐸𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 = 𝐺 ∙ 𝑧
Tipos de energias mecânicasassociadas a um fluido
b) Energia cinética (Ec):
É associada ao movimento do fluido.
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Enegia cinética (Ec)
𝐸𝑐 =𝑚 ∙ 𝑣2
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Tipos de energias mecânicasassociadas a um fluido
c) Energia de pressão (Epr):
Corresponde a energia que o fluído possui devido a pressão que atua no escoamento do fluido.
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Enegia de pressão (Epr)
𝐸𝑝𝑟 = 𝑝 ∙ 𝑑𝑉
𝑑𝐸𝑝𝑟 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑝 ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑝 ∙ 𝑑𝑉
Tipos de energias mecânicasassociadas a um fluido
d) Energia mecânica total do fluido (E):
É a soma de todas as energias mecânicas.
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Energia mecânica total do fluido (E) 𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑟
𝐸 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 +𝑚 ∙ 𝑣2
2+ 𝑝 ∙ 𝑑𝑉
Equação de BernoulliA equação de Bernoulli admite diversas hipóteses simplificadoras, porém para chegarmos na equação geral da energia é importante compreendermos a equação simplificada.
As hipóteses adotadas são:
a) regime permanente;
b) sem máquina no trecho de escoamento em estudo. Ou seja, não existe fornecimento ou retirada de energia do fluído por meio de bombas ou turbinas;
c) sem perda de energia por atrito;
d) propriedades uniformes nas seções;
e) fluido incompressível;
f) sem troca de calor.
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Equação de BernoulliCom as hipóteses b, c e f temos que não existe fornecimento ou perda de energia no sistema.
Para seção 1 temos:
Para seção 2 temos:
Como a energia permanece inalterada, temos que:
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𝑑𝐸1 = 𝑑𝑚1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧1 +𝑑𝑚1 ∙ 𝑣1
2
2+ 𝑝1𝑑𝑉1
𝑑𝐸2 = 𝑑𝑚2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧2 +𝑑𝑚2 ∙ 𝑣2
2
2+ 𝑝2𝑑𝑉2
𝑑𝐸1 = 𝑑𝐸2 𝑑𝑚2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧2 +𝑑𝑚2 ∙ 𝑣2
2
2+ 𝑝2𝑑𝑉2 = 𝑑𝑚1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧1 +
𝑑𝑚1 ∙ 𝑣12
2+ 𝑝1𝑑𝑉1
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Equação de BernoulliComo 𝜌 =
𝑑𝑚
𝑑𝑉, temos que dV =
𝑑𝑚
𝜌
Sabemos que 𝜌1 = 𝜌2 pois o fluido é incompressível, também sabemos que 𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2 pois se trata de regime permanente.
Dividindo a equação por 𝑔 obtemos a equação de Bernoulli.
Onde H é a energia total por unidade de peso ou carga total.
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𝑑𝑚2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧2 +𝑑𝑚2 ∙ 𝑣2
2
2+𝑝2𝜌2𝑑𝑚2 = 𝑑𝑚1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧1 +
𝑑𝑚1 ∙ 𝑣12
2+𝑝1𝜌1𝑑𝑚1
𝑔 ∙ 𝑧2 +𝑣22
2+𝑝2𝜌= 𝑔 ∙ 𝑧1 +
𝑣12
2+𝑝1𝜌
𝑧2 +𝑣22
2𝑔+𝑝2𝛾= 𝑧1 +
𝑣12
2𝑔+𝑝1𝛾
𝐻2 = 𝐻1
A unidade de medida de energia é o Joule
𝐽 = 𝑁 ∙ 𝑚 =𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
𝑠2
Como 𝐻 =𝐽
𝑁, temos que 𝐻[𝑚]
Exercício
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[1]
Exercício
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[1]
Exercício
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Equação da energiae presença de uma máquina
Como vimos, uma máquina pode retirar ou fornecer energia ao fluido. É chamando de “bomba” qualquer máquina que forneça energia e “turbina”, qualquer máquina que retire energia do sistema.
Tínhamos que 𝐻1 = 𝐻2 para casos onde não haviam máquinas. Porém se houver uma bomba entre as seções 1 e 2, então temos que 𝐻1 < 𝐻2 pois a bomba acrescentou energia ao fluido, logo 𝐻1 + 𝐻𝐵 = 𝐻2, onde 𝐻𝐵 é denominado de carga manométrica da bomba. Da mesma forma, se houver uma turbina entre as seções 1 e 2 temos que 𝐻1 > 𝐻2, logo 𝐻1 − 𝐻𝑇 = 𝐻2, onde 𝐻𝑇 é denominado de carga manométrica da turbina.
Como queremos uma equação geral, adotaremos 𝐻𝑀 para carga manométrica da máquina(𝐻𝑀=𝐻𝐵 ou 𝐻𝑀=-𝐻𝑇).
Acrescentando 𝐻𝑀 a equação passa a ser:
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𝑧1 +𝑣12
2𝑔+𝑝1𝛾+ 𝐻𝑀 = 𝑧2 +
𝑣22
2𝑔+𝑝2𝛾
Potência da máquina e noção de rendimento
Antes de tudo, definiremos ‘potência do fluido’. Potência pode ser definida como sendo energia mecânica por unidade de tempo e é representada por N:
Onde N é a potência do fluido.
A potência retirada ou fornecida ao fluido por uma máquina pode ser calculada como:
Porém a potência retirada ou fornecida ao fluido não é igual a potência da máquina, isto ocorre devido as perdas que ocorrem principalmente devido a atritos.
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N=𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜=𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑝𝑒𝑠𝑜×𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜= 𝐻𝑄𝐺 = 𝐻𝛾𝑄
N= 𝐻𝑀𝛾𝑄
Potência da máquina e noção de rendimento
Para bombas temos:
Como a potência da bomba não é igual a potência recebida pelo fluido, temos que o rendimento da bomba é dado por:
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η𝐵 =𝑁
𝑁𝐵
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Potência da máquina e noção de rendimento
Para turbinas temos:
O rendimento da turbina é dado por:
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η𝑇 =𝑁𝑇𝑁
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Exercício
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Equação da energia para fluido real
Retirando a hipótese de fluido ideal iremos considerar os atritos internos no escoamento do fluido. Considerando fluido ideal em um sistema sem bomba ou turbina, tínhamos que 𝐻1 = 𝐻2, porém considerando a perda de energia por unidade de peso (𝐻𝑝1,2) temos que 𝐻1 = 𝐻2 +𝐻𝑝1,2 . Por fim considerando a presença de uma máquina temos:
E a potência dissipada:
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𝐻1+ 𝐻𝑀= 𝐻2 + 𝐻𝑝1,2
𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝐻𝑝1,2𝛾𝑄
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Exercício
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Exercício
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Exercício
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Exercício
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Equação da energia paradiversas entradas e saídas.
Até o momento, nos balanços de energia tínhamos apenas umas entrada e uma saída, porém caso tivermos múltiplas entradas e múltiplas saídas não podemos utilizar a equação utilizada até o momento. Mantendo as hipóteses da equação de Bernoulli, temos que a energia que entra no sistema deve ser igual a energia que sai do sistema no mesmo intervalo de tempo:
Dividendo a equação por unidade de tempo, temos:
Energia por unidade de tempo é potência:
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𝑒𝐸 =
𝑠𝐸
𝑒𝑁 =
𝑠𝑁 𝑜𝑢
𝑒𝛾𝑄𝐻 =
𝑠𝛾𝑄𝐻
𝑒𝐸/𝑡 =
𝑠𝐸 /𝑡
[1]
Equação da energia para diversas entradas e saídas.
No caso de considerarmos a presença de uma máquina e de perdas por atrito, temos:
Onde 𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝛾𝑄𝐻𝑝
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𝑒𝛾𝑄𝐻 + 𝑁 =
𝑠𝛾𝑄𝐻 + 𝑁𝑑𝑖𝑠𝑠
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Exercício
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Exercício
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Exercício
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Bibliografia
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[1] Brunetti, Franco, Mecânica dos fluidos, Editora Pearson Prentice Hall, 409 p. : São Paulo il. c2005