Fizyka 2 Wykład 3 1
Równanie Schrödingera
Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną.
Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy reprezentację połoŜeniową i korzystamy z postulatów matematycznych.
Prowadzi to do zagadnienia własnego dla operatora energii:
Erwin Schrödinger
1887-1961
równanie Schrödingera dla stanów stacjonarnych Od funkcji falowej un(x) wymaga się aby była:
� ciągła wraz z pochodnymi
� nieosobliwa
� jednoznaczna
Fizyka 2 Wykład 3 2
Sens fizyczny funkcji falowej: Rozpatrzmy średnie połoŜenie cząstki w stanie un(x):
Uzasadnienie: bo xx =ˆ w reprezentacji połoŜeniowej a więc w rozpatrywanym przypadku kolejność działań nie jest istotna i moŜna zmienić kolejność pod całką
Wniosek: 2nu ma sens gęstości prawdopodobieństwa a warunek unormowania
funkcji własnych ∫∞
∞−=12dxun ma prosty sens matematyczny.
WaŜne:
przy takiej interpretacji faza funkcji falowej jest nie istotna i nie ma interpretacji fizycznej (!).
Fizyka 2 Wykład 3 3
Przykład:
Dana jest studnia potencjału o szerokości a i nieskończenie wysokich ścianach jak na rysunku.
Wewnątrz studni potencjał V(x) jest zerowy.
Rozpatrzmy dozwolone energie wewnątrz tej studni.
Równanie Schrödingera da się dla tej studni zapisać jako:
Warunki brzegowe: Ψ(x) = 0 dla x = 0 oraz dla x = a (Wyjaśnienie: w tych punktach V(x) osiąga ∞ a pozostałe wyrazy w równaniu są skończone).
Fizyka 2 Wykład 3 4
Ogólne rozwiązanie takiego równania róŜniczkowego jest:
MoŜna dobrać inna postać rozwiązania dobierając spośród moŜliwych superpozycji fal płaskich eikx
przy czym od razu widać, Ŝe B’ = 0 ze względu na Ψ(0) = 0.
A z warunku sin(kx)|x = a = 0 wynika k = n π/a dla n= 0,1,2,3,...
Tyle matematyka.
Fizyka 2 Wykład 3 5
A fizyka ?
� Rozwiązanie z k = 0 jest trywialne - studnia jest pusta
� Energie odpowiadające stanom n=1,2,3.... są
� skoro ogólnie ∫∞
∞−=12dxun to w naszym przypadku
bo na zewnątrz studni cząstki nie ma.
Aby tak było amplituda fali musi spełnić warunek
(Ćwiczenie do domu: proszę to sprawdzić!!! )
Rozwiązanie jest więc falą stojącą: śeby ona powstała wewnątrz studni musi zachodzić superpozycja fal biegnących w przeciwnych kierunkach oraz odbicia na krańcach studni.
Fizyka 2 Wykład 3 6
Fizyka 2 Wykład 3 7
Równania ruchu w mechanice kwantowej Postulat
czas jest zwykłą zmienną - nie jest operatorem
SpostrzeŜenie
a) wymiar iloczynu zmiennych E t = wymiar iloczynu zmiennych x oraz p
b) na mocy zasady komplementarności, w reprezentacji połoŜeniowej, gdy operatorem połoŜenia jest zmienna x
to operatorem pędu jest:
Czynimy więc załoŜenie:
energii odpowiada operator
(Uwaga: nie ma znaku ‘-‘ w przeciwieństwie do operatora pędu)
ZałoŜenie to jest równoznaczne z równością operatorową
gdzie H jest operatorem Hamiltona poznanym w poprzednim rozdziale.
Fizyka 2 Wykład 3 8
Równanie Schrödingera zaleŜne od czasu
Postulat o postaci operatora energii pozwala sformułować zagadnienie niestacjonarne w mechanice kwantowej Schrödingera:
gdzie opuściłem znak operatora nad zmienną połoŜenia.
Równanie to jest całkowicie postulowane - jedynym jego uzasadnieniem jest zgodność z doświadczeniem.
Jeśli potencjał nie jest funkcją czasu to moŜna dokonać separacji zmiennych pisząc .
Fizyka 2 Wykład 3 9
Po podstawieniu do równania Schrödingera zaleŜnego od czasu i podzieleniu obu stron przez Ψ i uporządkowaniu:
Lewa stron równania jest tylko funkcją czasu.
Prawa stron - tylko funkcją połoŜenia
Muszą być więc równe stałej –
z zagadnienia stacjonarnego (zagadnienie własne operatora Hamiltona H) wynika, Ŝe stałą jest energia.
Prowadzi to do separacji zmiennych.
Otrzymuje się dwa równania – jedno zaleŜne tylko do czasu a drugie – od zmiennych przestrzennych.
WaŜne: dla wszystkich zagadnień analizowanych w mechanice Schrödingera równanie dla części zaleŜnej od czasu jest identyczne! Dlatego w wielu podręcznikach, po jego omówieniu, juŜ się do niego nie wraca.
Fizyka 2 Wykład 3 10
Rozwiązaniem równania zaleŜnego tylko od czasu:
jest .
Ostatecznie więc rozwiązaniem zagadnienia niestacjonarnego jest
gdzie
n - zespół liczb kwantowych, które jednoznacznie numerują stany,
ψn jest rozwiązaniem zagadnienia stacjonarnego (patrz poprzedni rozdział).
Fizyka 2 Wykład 3 11
Przykład: Cząstka swobodna 0)( =rVr
Przeprowadzamy separacje zmiennych,
część zaleŜna od czasu jest zawsze taka sama
ale poziomy energii trzeba wyznaczyć z części przestrzennej równania Schrödingera (tj. z zagadnienia stacjonarnego):
ma rozwiązania w postaci oraz energie własne
Fizyka 2 Wykład 3 12
SpostrzeŜenia:
1) dla cząstki swobodnej energia oraz pęd przyjmują wartości ciągłe
2) dla cząstki swobodnej zawsze 0]ˆ,ˆ[ =pH
bo a operator pędu a stąd 0],[ 2 =∇∇
3) proszę sprawdzić (!) : gdzie
Bardzo waŜny wniosek ogólny
Jeśli dwa operatory komutują to mają wspólne funkcje własne.
Interpretacja fizyczna:
Jeśli dwa pomiary nie zakłócają się na wzajem to operatory odpowiadające tym pomiarom mają wspólne funkcje własne.
Fizyka 2 Wykład 3 13
Inny wniosek
Dla cząstki swobodnej
jak w fizyce klasycznej.
A ponadto:
Pełna funkcja falowa dla cząstki swobodnej da się zapisać jako:
jest to więc fala de Broglie’a o wektorze falowym
oraz częstości
� W tzw. starej teorii kwantów fala de Broglie’a była postulowana
� W mechanice Schrödingera postuluje się pewien aparat matematyczny i otrzymuje się właściwą postać fali de Broglie’a.
Fizyka 2 Wykład 3 14
Przykład:
Cząstka o masie m porusza się swobodnie po zamkniętej nici o długości L.
Znaleźć poziomy energetyczne tej cząstki.
Równanie ruchu ma postać:
Rozwiązaniem tego równania są fale płaskie ikxCex =)(ψ
a stałą C naleŜy wyznaczyć z warunku unormowania
(Proszę sobie stałą C wyznaczyć!).
Nić jest zamknięta tj. a stąd wynikają dozwolone poziomy energetyczne:
Widać, Ŝe gdy L → ∞, widmo energii staje się quasi-ciągłe i dyskretną strukturę poziomów energetycznych moŜna pominąć.
Fizyka 2 Wykład 3 15
Przykład:
Dla cząstki z poprzedniego przykładu znaleźć widmo operatora pędu.
Skorzystamy z zasady komplementarności:
Zbadamy komutator
a więc operator energii i operator pędu w omawianym przypadku mają wspólne funkcje własne tzn.
Fizyka 2 Wykład 3 16
� Paczka fal Rozwiązania w postaci funkcji harmonicznych nie mogą odpowiadać cząstkom zlokalizowanym
- gęstość prawdopodobieństwa z nimi związana jest jednakowa wszędzie.
Aby zbadać zachowanie się kwantowej cząstki naleŜy posłuŜyć się paczką fal. Wybierzemy funkcję widmową (amplitudę) w postaci funkcji Gaussa:
Taka postać jest wygodna ze względu na łatwość dokonywania obliczeń.
(Inne postacie funkcji widmowej moŜna wygenerować samemu pod adresem:
http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html za pomocą programu Wave Packet Explorer) {hyperlink: http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html}
Fizyka 2 Wykład 3 17
Nasza funkcja falowa przyjmie postać:
Dodaliśmy (płaskie) fale de Broglie’a z amplitudą f(p) zaleŜną od pędu p.
Proszę pamiętać, Ŝe p = ħ k, gdzie k = 2π/λ jest liczbą falową.
Przykład: zamiast całkować dodajmy do siebie tylko 15 takich fal zakładając, Ŝe dla n-tej fali (n=-7,-6,...,0,...6,7) pęd p =
p0 + n ∆p , gdzie ∆p jest stałą.
Rysunek po prawej: część rzeczywistą takiej paczki fal dla chwili t0 i t > t0.
Widać dosyć dobrze zlokalizowaną paczkę (poza pewnym obszarem jej amplituda jest znikoma) ale obwiednia jej silnie oscyluje. Ten efekt zmniejsza się gdy składników paczki fal jest więcej.
Fizyka 2 Wykład 3 18
Stopień lokalizacji fali zaleŜy teŜ od szerokości funkcji widmowej f(p).
Widać to poniŜej na wykresach części rzeczywistej i urojonej paczki fal dla dwóch róŜnych szerokości funkcji widmowej: wąska funkcja widmowa daje bardziej rozmytą paczkę. Jeszcze lepiej widać to na wykresie gęstości prawdopodobieństwa (kwadrat modułu paczki fal) po prawej gdzie pokazano te same paczki fal , odpowiednio. UWAGA: porównywać naleŜy wykresy dla t = 0 – w trakcie ewolucji w czasie paczka fal poszerza się (ulega „rozmyciu”).
Fizyka 2 Wykład 3 19
MoŜna scałkować wyraŜenie na paczkę falową po pędzie
(po to dobraliśmy f(p) w takiej postaci aby to całkowanie było moŜliwe analitycznie)
a wtedy .
Funkcja eksponencjalna to fala nośna szybkozmienna w czasie i przestrzeni.
Amplituda M(x,t):
gdzie paczka porusza się z prędkością grupową
Fizyka 2 Wykład 3 20
Przykład: paczka falowa w spoczynku Rozpływanie się paczki fal wynika z tego, Ŝe zawiera ona zarówno fale harmoniczne o dodatnich jak i ujemnych pędach.
Fizyka 2 Wykład 3 21
Przykład:
Demonstracja zasady nieoznaczoności Heisenberga
Dobieramy tak funkcje widmowe dla 3 paczek aby:
o ich prędkość grupowa v0 = p0/m była jednakowa
o ich szerokość w pędzie σp była róŜna
o w chwili t = 0 spełnione było