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FiltrodeKalman
Adaptadode:Aguirre,Cap.9- IntroduçãoàIndentificação deSistemas,
Ed.UFMG,3ªedição
IdentificaçãodeSistemasDinâmicos
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Introdução
• ModeloLinearDiscreto
mk
rk mediçõeseentradadesequência
PxIniciaisCondições
ÂÎÂÎ yu00 ,ˆ
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FunçãodeProbabilidade
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FunçãodedensidadedeProbabilidadeGaussiana
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Combinaçãode2sensores
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Medidasdeummesmoinstrumento
NovaNomenclatura
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OCasoDinâmico
MovimentodoObjeto:e.g.AproximaçãodeEuler
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OFiltrodeKalman Discreto
LeideMovimento– propagaçãodovetordeestadosestimado:
NovaNomenclatura
Predição
Correção
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MatrizdeCovariância
• Errodeestimaçãonapropagação
Matrizdecovariânciade
...
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EquaçõesdeFiltrodeKalman DiscretoPredição
Correção
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11
Acesso às variáveis deestado:• Asvariáveis deestado não podem ser medidas diretamente• Qualamelhor estimativa - “ótima”apartir dasmedidas?
MeasuringDevices Estimator
MeasurementErrorSources
SystemState(desiredbutnotknown)
ExternalControls
ObservedMeasurements
OptimalEstimateofSystemState
SystemErrorSources
System
BlackBox
Abordagens:i)derivar y,ii)Modelo Malha aberta,iii)Observador,iv)Filtro deKalman
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http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
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Gaussiana
http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
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http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
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http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
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http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
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http://www.mudancasabruptas.com.br/Filtro%20de%20Kalman_Iniciantes.pdf
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Exemplo:Apenas moodelo dePosition
Moving Still
[Welch&Bishop]
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Exemplo:ModelPosição eVelocidade
[Welch&Bishop]
Moving Still
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Filtro Multi-modelo
[Welch&Bishop]
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[Welch&Bishop]
FiltroMulti-modelo
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Results:MultipleModels
[Welch&Bishop]
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Filtro deKalman
https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter
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EquaçõesdeFiltrodeKalman DiscretoPredição
Correção
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EstimaçãodeParâmetros- FiltrodeKalmanFiltro deKalman
ïïî
ïïí
ì
-=
-+=
+=
--
--
---
1'
1
1'
1
11
'1
]ˆ[ˆˆ][
kkkkk
kkkkkk
kkkkkkk
PKPP
yK
RPPK
y
qyqq
yyy
îíì
+=+G+F=
-
-
kkk
kkkk
vHxywuxx
1
1
Parâmetros
Sinaisïî
ïí
ì
FF-FF=
G+F-+G+F=
+FFFF=
--
----
---
'1
'1
1111
1''1
''1
)]ˆ([ˆˆ][
kkkk
kkkkkkk
kkkk
PHKPP
uxHyKuxxRHPHHPK y
ïî
ïíì
+=
=
-
-
kkTkk
kk
ey 1
1
qy
ModelonoEspaçodeEstados
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EstimaçãodasMatrizesdeEstado
!𝒙$%&= Φ𝒙$+Γ𝒖$ + 𝒘$ 𝒚$ = 𝐻𝒙$+𝒗$
Parâmetros
ïïî
ïïí
ì
-=
-+=
+=
--
--
---
1'
1
1'
1
11
'1
]ˆ[ˆˆ][
kkkkk
kkkkkk
kkkkkkk
PKPP
yK
RPPK
y
qyqq
yyyïî
ïíì
+=
=
-
-
kkTkk
kk
ey 1
1
qy
VariantesdoFiltrodeKalman
Variáveis
Matrizes Est.
a)
b)
c)
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Estimaçãoconjuntadeestadoseparâmetros
Matrizaumentada:
Dificuldade:
- Dimensão daMatriz deCovariância P– Estabilidade!!
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OFiltrodeKalman EstendidoModelonão-linear
Jacobianas: