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Ansatzfunktion
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Finite Elemente in 1D und 2D
Johannes Veit
Ein Blick uber den Tellerrand ... mit FreeFem++
8. Januar 2016
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2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
4 KonvergenzanalyseKonvergenzanalyseFreeFEM-Plots
5 Quellen
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Gliederung1 Ruckblick
Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation
2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Laplace-Problem auf demEinheitsquadrat
Laplace - Gleichung:
−∆u(x) = 0
• Man betrachte das Problem auf dem Intervall Ω=(0; 1)
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2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Aus der ersten Sitzung wissen wir
Finde u0 ∈ V : a(u0, v) = F (v) ∀v ∈ V⇓
Finde u0,h ∈ Vh : a(u0,h, vh) = F (vh) ∀v ∈ Vh
wobei Vh ⊂ V mit dim Vh <∞
Ist ϕ1, . . . , ϕn eine Basis von Vh und u0,h =∑n
i=1 αiϕi ergibtsich das lineare Gleichungssystem
Aα = b mit Aij = a(ϕj , ϕi ), bi = F (ϕi ), i , j = 1, . . . , n.
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Gliederung1 Ruckblick
Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation
2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Diskretisierung
• Definition: Diskretisierung bedeutet die Gewinnung einerdiskreten Teilmenge
• Hier wird das Gebiet Ω in aquidistante Teilmengen ∆zerlegt.
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Quellen
Gliederung1 Ruckblick
Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation
2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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5 Quellen
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Ansatzfunktion im Raum Vh
X rh = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P r (K ) ∀K ∈ Th
• r beschreibt den Grad der Ansatzfunktion bzw. derPolynome (hier: linear = 1, quadratisch = 2)
• Lineare Ansatzfunktion• Basisfunktion von X 1
h zum Knoten xi
ϕi (x) =
x−xi−1xi−xi−1
fur xi−1 ≤ x ≤ xi ,xi+1−xxi+1−xi
fur xi ≤ x ≤ xi+1,
0 sonst.
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• quadratische Ansatzfunktion
X 2h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P2(K ) ∀K ∈ Th
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Quellen
Lineares Gleichungssystemv(x) =
∑6i=1 αiϕi (x) , (allgemein v(x) =
∑Ni=1 αiϕi )
= (Π1hv)(x)→ αi = v(xi )
FEM: X 1h = span (ϕi )
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Quellen
Gliederung1 Ruckblick
Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation
2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
4 KonvergenzanalyseKonvergenzanalyseFreeFEM-Plots
5 Quellen
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Genauigkeit
Eine fundamentales Werkzeug der Galerkin-Methode ist dasCea-Lemma
VorraussetzungenSei V ein reeller Hilbertraum mit der Norm ‖ · ‖.Sei a:V × V → R eine Bilinearform, die
• beschrankt(aquivalent dazu stetig), d. h.|a(u, v)| ≤ M‖u‖ ‖v‖ fur eine Konstante M > 0 und ∀u, v∈ V
• und koerzitiv ist, d. h. a(v , v) ≥ α‖v‖2 fur eine Konstanteα > 0 und ∀v ∈ V
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Cea-Lemma
Dann besagt das Cea-Lemma:
‖u − uh‖V ≤Mα
infwh∈Vh
‖u − wh‖V ,
, dass die Approximation der Losung uh aus dem Unterraum Vhhochstens um die Konstante M
α schlechter ist als die besteApproximation fur u im Raum Vh.Hierbei ist
• u= exakte L“osung des Randwertproblems• uh = Approximation• fur kleine h geht uh gegen u• h beschreibt Intervallgrosse, ist Proportional zur
Abweichung
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Diskretisierung in 2D
Man betrachte das Problem auf der Flache Ω (z.B. =(0; 1)2)
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2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Quellen
Ansatzfunktion in 2d• Darstellung der Basisfunktion auf dem Raum
X 1h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P1(K ) ∀K ∈ Th
(lineare Basisfunktionen)• Hier wird Ω in Dreiecke zerlegt• Nj = 1, an benachbarten Knoten xn±1 = 0
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Quellen
Ansatzfunktion in 2d
• Darstellung der Basisfunktion auf dem Raum
X 2h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P2(K ) ∀K ∈ Th
(quadratische Basisfunktionen)• Auch hier wird Ω in Dreiecke zerlegt• Nj = 1 oder 0, an benachbarten Knoten xn±1 = 0 oder 1,
an Knoten xn±2 = 0
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Ansatzfunktion imRaum Vh
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Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation
2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Regeln fur die Dreiecke
• Keine Ecke eines Dreiecks darf auf einer Kante einesanderen Dreiecks liegen.
• Folgende Anordnung ware verboten:
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• Das Verhaltnis vom Inkreis zur grossten Seite jedesDreiecks ist nach oben beschrankt
hKγk
< c ∀K ∈ Th
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2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Ansatzfunktion
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Interpolationsabschaetzung
• Folgende Bedingung wird auf das Cea-Lemma angewendet:
|v − Πrhv |Hm(Ω) ≤ Chr+1−m|v |Hr+1(Ω) ∀v ∈ H r+1(Ω)
• C ist eine Konstante, unabhangig von h und u• Cea-Lemma:
‖u−uh‖V ≤Mα
infwh∈Vh
‖u−wh‖V ≤Mα‖u−Πr
hu‖V V = H10 (Ω)
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FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
FEM im2D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion
Regeln fur dieDreiecke
Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
• Hieraus ergibt sich fur u ∈ H r+1(Ω) und uh ∈ X rh(Ω)
‖u − uh‖V ≤Mα
Chr |u|Hr+1(Ω)
• Hier kann man die Approximation durch 2 Artenverbessern:
1 h kleiner machen2 r erhohen, also finite Elemente hoherer Ordnung
verwenden
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FiniteElemente in1D und 2D
Johannes Veit
RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
GalerkinApproximation
FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
FEM im2D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion
Regeln fur dieDreiecke
Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
• Man erhalt nun Vorschriften fur den Approximationsfehler
‖u − uh‖H1(Ω) ≤ Chr‖u‖Hr+1(Ω)
‖u − uh‖L2(Ω) ≤ Chr+1‖u‖Hr+1(Ω)
• Plottet man diesen Fehler gegen h (log-log-Plot), erhaltman verschiedene Steigungen
• Diese Steigungen zeigen r , also den Grad der verwendetenAnsatzfunktionen
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FiniteElemente in1D und 2D
Johannes Veit
RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
GalerkinApproximation
FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
FEM im2D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion
Regeln fur dieDreiecke
Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
FE-Approximation
Gegeben sei das Poisson-Problem:
−∆u = f in Ωu = g auf Γ = ∂Ω
Gesucht sei
uh ∈ X 1h∫
Ω∆u ∆v dx =
∫Ω
f vh dx ∀v ∈ Vh
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Johannes Veit
RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
GalerkinApproximation
FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
FEM im2D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion
Regeln fur dieDreiecke
Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
Hier wurde anhand der exakten Losungu(x , y) = sin(2 ∗ π ∗ x)cos(2 ∗ π ∗ y) gelost
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FiniteElemente in1D und 2D
Johannes Veit
RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
GalerkinApproximation
FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
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Ansatzfunktion
Regeln fur dieDreiecke
Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
Gliederung1 Ruckblick
Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation
2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
4 KonvergenzanalyseKonvergenzanalyseFreeFEM-Plots
5 Quellen
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Johannes Veit
RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
GalerkinApproximation
FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
FEM im2D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion
Regeln fur dieDreiecke
Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
FreeFEM-Plots
• Wechseln wir nun zum Programm FreeFEM
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Johannes Veit
RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
GalerkinApproximation
FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
FEM im2D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion
Regeln fur dieDreiecke
Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
Quellen
• A. Quarteroni: Numerical Models for DifferentialProblems, 2nd Ed., Springer-Verlag Italia 2014
• Einfuhrungsvortrag Dr. Steffen Weißer (ein Blick uber denTellerrand ... mit FreeFem++)
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RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
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Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
Zusammenfassung
• Approximation von Problemen mit der Galerkin-Methode• Zerlegung des Intervalls (1D) oder der Flache(2D) in
Teilstucke der Breite h• Stuckweise Aufstellen durch Basisfunktionen der Ordnung
r• Durchfuhrung und Visualisierung der Approximation durch
FreeFEM• Berechnen des Fehlers mit eigenem Programm