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Física Geral e Experimental I Prof. Ms. Alysson Cristiano Beneti
Instituto Tecnológico do Sudoeste PaulistaFaculdade de Engenharia Elétrica – FEEBacharelado em Engenharia Elétrica
Aula 8 Movimento em 2 e 3 Dimensões:
Vetores Posição, Velocidade e Aceleração
IPAUSSU-SP2012
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Posição e Deslocamentor rA localização de uma partícula ou de um objeto que se
comporte como partícula pode ser especificada através do vetor posição , um vetor que liga um ponto de referência à partícula.
Exemplo:
r
kzjyixr
kmjmimr )5()2()3(
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Posição e Deslocamentor rQuando uma partícula se move, seu vetor posição varia de
uma posição para . O vetor deslocamento da partícula é dado por: 1r
inicialfinal rrr 2r r
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Exemplos1) O vetor posição de uma partícula é inicialmente
e depois passa a ser. Qual é o deslocamento da
partícula de para ?
kmjmimr )5()2()3(1
kmjmimr )8()2()9(2
r 1r 2r
kmimr
kjir
kmjmimkmjmimr
rrr
)3()12(
]58[]22[)]3(9[
])5()2()3[(])8()2()9[(
12
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Velocidade Média e Velocidade Instantânea médv v
Se uma partícula sofre um deslocamento em um intervalo de tempo , a velocidade média é dada por:
rt
t
kzjyixv
t
rv médméd
Se uma partícula sofre um deslocamento em um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a zero a velocidade recebe o nome de instantânea, e representa a velocidade do móvel naquele exato instante:
dt
rdv
rt )0( t
Como ler: a velocidade instantânea é a função derivada da posição em relação ao tempo.
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Introdução ao Cálculo Diferencial
Para estudar os movimentos é necessário conhecer a derivação, que é um instrumento de cálculo. Não vamos nos preocupar agora em entender plenamente o que significa derivar, pois a disciplina Cálculo proporcionará isto. Vamos entender um pouco da técnica de derivação de polinômios.
A função horária das posições de um MUV é dada por:
A função horária da velocidade é derivada da posição em relação ao tempo:
A função horária da aceleração é derivada da velocidade (ou derivada segunda da posição):
2..2
1. tatvxx oo
tavdt
dxv o .
constante2
2
dt
xd
dt
dva
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Exemplos1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções
horárias da velocidade e da aceleração:
(SI) .4.520 2ttx Resolvendo para a velocidade:
(SI) .85
.8.50
.4.2.5.1.20.0
.4.5.20
10
121110
210
tv
ttv
tttdt
dxv
tttx
O expoente da variável t é multiplicado pelo termo do polinômio
Subtrai-se 1 do expoente da variável t
1
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Exemplos1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções
horárias da velocidade e da aceleração:
(SI) .4.520 2ttx
(SI) 8
.80
.8.1.5.0
.8.5
0
1110
10
a
ta
ttdt
dva
ttv O expoente da variável t é multiplicado pelo termo do polinômio
Subtrai-se 1 do expoente da variável t
1
Resolvendo para a aceleração:
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(SI) .1810
.18.100
.9.2.10.1.35.0
.9.10.35
10
121110
210
tv
ttv
tttdt
dxv
tttx
Problema proposto1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções
horárias da velocidade e da aceleração:
(SI) .9.1035 2ttx
1
Resolvendo para a velocidade:
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(SI) 18
.180
.18.1.10.0
.18.10
0
1110
10
a
ta
ttdt
dva
ttv
Problema proposto1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções
horárias da velocidade e da aceleração:
(SI) .9.1035 2ttx
1
Resolvendo para a aceleração:
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Velocidade Instantânea v
Agora que sabemos calcular algumas derivadas, voltamos à velocidade
dt
rdv
Como ler: a velocidade instantânea é a função derivada da posição em relação ao tempo.
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Velocidade Instantânea v
dt
rdv
Graficamente, a velocidade instantânea é a tangente do ângulo entre a reta tangente à curva do gráfico da posição em função do tempo e o eixo horizontal.
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Aceleração Média e Aceleração Instantânea méda a
Se uma partícula sofre uma variação de velocidade em um intervalo de tempo , a aceleração média é dada por:
vt
t
kvjviva
t
va médméd
Se uma partícula sofre uma variação de velocidade em um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a zero a aceleração recebe o nome de instantânea, e representa a aceleração do móvel naquele exato instante:
2
2
dt
xd
dt
vda
vt )0( t
Como ler: a aceleração instantânea é a função derivada da velocidade em relação ao tempo ou função derivada segunda da posição em relação ao tempo.
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Cálculo do vetor velocidade Cálculo do vetor posição
Exemplo1) Um coelho atravessa um estacionamento, no qual um conjunto de
eixos foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:
No instante t=15s, qual é o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração? Represente os vetores graficamente.
30.1,9.22,0
28.2,7.31,02
2
tty
ttx
jmimr
jyixr
my
y
y
mx
x
x
)57()25,66(
57
305,1365,49
3015.1,915.22,0
25,66
2810875,69
2815.2,715.31,0
2
2
r v
101112
101112
.30.0.1,9.1).22,0.(2
/1,2
2,715.62,0
2,7.62,0
.28.0.2,7.1).31,0.(2
tttv
dt
dyv
smv
v
tv
tttv
dt
dxv
y
y
x
x
x
x
x
jsmismv
jvivv
smv
v
tv
yx
y
y
y
)/5,2()/1,2(
/5,2
1,915.44,0
1,9.44,0
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1) Um coelho atravessa um estacionamento, no qual um conjunto de eixos foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:
No instante t=15s, qual é o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração? Represente os vetores graficamente.
Cálculo do vetor aceleração
Exemplo
30.1,9.22,0
28.2,7.31,02
2
tty
ttx
a
2
1011
01
/62,0
.2,7.0).62,0.(1
.2,7.62,0
sma
tta
ttv
dt
dva
x
x
x
xx
jsmisma
jaiaa
sma
tta
ttv
dt
dva
yx
y
y
y
yy
)/44,0()/62,0(
/44,0
.1,9.0).44,0.(1
.1,9.44,0
22
2
1011
01
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Representações gráficas:
Exemplo
jmimr )57()25,66(
jsmismv )/5,2()/1,2(
jsmisma )/44,0()/62,0( 22
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1) (Halliday, p.84) Um pósitron sofre um deslocamentoe termina com o vetor posição em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron?
2) (Halliday, p.84) O vetor posição de um íon é inicialmentee 10s depois passa a ser , com todos os valores em metros. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade média durante os 10s?
3) (Halliday, p.85) Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por
a) Escreva a expressão para sua velocidade em função do tempo;b) Escreva a expressão para sua aceleração em função do tempo;
Problemas Propostos
kjir 632
kjr 43
kjir 265
kjir 282
ktjtir 24
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4) A velocidade inicial de um próton é ; após 4s, passa a ser (em m/s). Para esses 4s, determine quais são:a) a aceleração média do próton na notação de vetores unitários;b) o módulo do vetor aceleração média;c) o ângulo entre o vetor aceleração média e o semi-eixo x positivo.
Problemas Propostos
kjiv 324
kjiv 522